Разбираемся в том что такое окружность и круг. Формула площади круга и длины окружности.

Мы каждый день встречаем множество предметов, по форме которые образовывают круг или напротив окружность. Иногда возникает вопрос, что такое окружность и чем она отличается от круга. Конечно же, мы все проходили уроки геометрии, но иногда не помешает освежить знания весьма простыми объяснениями.

Что такое длина окружности и площадь круга: определение

Итак, окружность является замкнутой кривой линией, которая ограничивает или же напротив, образует круг. Обязательное условие окружности — у нее есть центр и все точки равноудалены от него. Проще говоря, окружность это гимнастический обруч (или как его часто называют хула-хуп) на плоской поверхности.

Длина окружности это общая длина той самой кривой, которая образует окружность. Как известно вне зависимости от размеров окружности соотношение ее диаметра и длины равно числу π = 3,141592653589793238462643.

Из этого следует, что π=L/D, где L — длина окружности, а D — диаметр окружности.

Если Вам известен диаметр, то длину можно найти по простой формуле: L= π* D

В случае если известен радиус: L=2 πR

Мы разобрались, что такое окружность и можем перейти к определению круга.

Круг — это геометрическая фигура, которая окружена окружностью. Или же, круг это фигура, рубеж которой состоит из большого количества точек равноудаленных от центра фигуры. Вся площадь, которая находится внутри окружности, включая ее центр, называется кругом.

Стоит заметить, что у окружности и круга, который находится в ней значения радиуса и диаметра одинаковые. А диаметр в свою очередь в два раза больше чем радиус.

Круг имеет площадь на плоскости, которую можно узнать при помощи простой формулы:

Где S — площадь круга, а R — радиус данного круга.

Чем круг отличается от окружности: объяснение

Основное отличие между кругом и окружностью — это то, что круг — геометрическая фигура, а окружность — замкнутая кривая. Также обратите внимание на отличия между окружностью и кругом:

  • Окружность это замкнутая линия, а круг — площадь внутри этой окружности;
  • Окружность это кривая линия на плоскости, а круг — пространство, сомкнутое в кольцо окружностью;
  • Сходство между окружностью и кругом: радиус и диаметр;
  • У круга и окружности единый центр;
  • В случае если заштриховывается пространство внутри окружности, оно превращается в круг;
  • У окружности есть длина, но ее нет у круга, и наоборот, у круга есть площадь, которой нет у окружности.

Круг и окружность: примеры, фото

Для наглядности предлагаем рассмотреть фото, на котором слева изображен круг, а справа окружность.

Формула длины окружности и площади круга: сравнение

Формула длины окружности L=2 πR

Формула площади круга S= πR²

Обратите внимание, что в обеих формулах присутствует радиус и число π. Данные формулы рекомендуется выучить наизусть, так как они простейшие и обязательно пригодятся в повседневной жизни и на работе.

Площадь круга по длине окружности: формула

S=π(L/2π)=L²/4π, где S — площадь круга, L — длина окружности.

Видео: Что такое круг, окружность и радиус


Окружность – это фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки.

Основные понятия:

Центр окружности – это точка, равноудаленная от точек окружности.

Радиус – это расстояние от точек окружности до ее центра (равен половине диаметра, рис.1).

Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности (рис.1).

Хорда – это отрезок, соединяющий две точки окружности (рис.1).

Касательная – это прямая, имеющая только одну общую точку с окружностью. Проходит через точку окружности перпендикулярно диаметру, проведенному в эту точку (рис.1).

Секущая – это прямая, проходящая через две различные точки окружности (рис.1).

Единичная окружность – это окружность, радиус которой равен единице.

Дуга окружности – это часть окружности, разделенная двумя несовпадающими точками окружности.

1 радиан – это угол, образуемый дугой окружности, равной длине радиуса (рис.4).
1 радиан = 180˚ : π ≈ 57,3˚

Центральный угол – это угол с вершиной в центре окружности. Равен градусной мере дуги, на которую опирается (рис.2).

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Равен половине градусной меры дуги, на которую опирается (рис.3).

Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими .

Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными .

Длина окружности и площадь круга:

Обозначения:
Длина окружности – C
Длина диаметра – d
Длина радиуса – r

Значение π:
Отношение длины окружности к длине ее диаметра обозначается греческой буквой π (пи).

22
π = -
7

Формула длины окружности:

C = πd, или C = 2πr

Формулы площади круга:

C · r
S = --
2

π · D 2
S = ---
4

Площадь кругового сектора и кругового сегмента.

Круговой сектор – это часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла.
Формула площади кругового сектора:

πR 2
S = --- α
360

где π – постоянная величина, равная 3,1416; R – радиус круга; α – градусная мера соответствующего центрального угла.

Круговой сегмент – это общая часть круга и полуплоскости.
Формула площади кругового сегмента:

πR 2
S = --- α ± S Δ
360

где α – градусная мера центрального угла, который содержит дугу этого кругового сегмента; S Δ - площадь треугольника с вершинами в центре круга и в концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор.

Знак «минус» надо брать, когда α < 180˚, а знак «плюс» надо брать, когда α > 180˚.

Уравнение окружности в декартовых координатах x , y c центром в точке (a; b ):

(x – a ) 2 + (y – b ) 2 = R 2

Окружность, описанная около треугольника (рис.4).

Окружность, вписанная в треугольник (рис.5).

Углы, вписанные в окружность (рис.3).

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность .

Основные понятия:

Угол делит плоскость на две части. Каждая из этих частей называется плоским углом .

Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными .

Плоский угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом (рис.2)



Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности.

Частные случаи и формулы:

1) Из точки C, находящейся вне окружности, проведем касательную к окружности и обозначим точку их соприкосновения буквой D.

Затем из той же точки C проведем секущую и точки пересечения секущей и окружности обозначим буквами А и B (рис.8).

В этом случае:

CD 2 = AC · BC

2) Проведем в окружности диаметр AB. Затем из точки C, находящейся на окружности, проведем перпендикуляр к этому диаметру и обозначим получившийся отрезок CD (рис.9).

В этом случае:

CD 2 = AD · BD.

Окружность - геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка (O) называется центром окружности .
Радиус окружности - это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. Все радиусы имеют одну и ту же длину (по определению).
Хорда - отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром . Центр окружности является серединой любого диаметра.
Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности . Дуга называется полуокружностью , если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
Длина единичной полуокружности обозначается через π .
Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º .
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом .
Круговой сектор - часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора .
Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими .
Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными .

Взаимное расположение прямой и окружности

  1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.
  2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности .
  3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек
    4. .

Центральные и вписанные углы

Центральный угол - это угол с вершиной в центре окружности.
Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Теорема о вписанном угле

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

  • Следствие 1.
    Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

  • Следствие 2.
    Вписанный угол, опирающийся на полуокружность - прямой.

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Основные формулы

  • Длина окружности:
C = 2∙π∙R
  • Длина дуги окружности:
R = С/(2∙π) = D/2
  • Диаметр:
D = C/π = 2∙R
  • Длина дуги окружности:
l = (π∙R) / 180∙α ,
где α - градусная мера длины дуги окружности)
  • Площадь круга:
S = π∙R 2
  • Площадь кругового сектора:
S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Уравнение окружности

(x - x о) 2 + (y - y о) 2 = r 2
  • Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:
x 2 + y 2 = r 2

Окружностью называется кривая замкнутая линия на плоскости, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки; эта точка называется центром окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом .

Отрезок прямой, соединяющий точку окружности с её центром, называется радиусом (рис. 84).

Так как все точки окружности находятся от центра на одном и том же расстоянии, то все радиусы одной и той же окружности равны между собой. Радиус обыкновенно обозначается буквой R или r .

Точка, взятая внутри окружности, находится от её центра на расстоянии, меньшем радиуса. В этом легко убедиться, если через данную точку провести радиус (рис. 85).

Точка, взятая вне окружности, находится от её центра на расстоянии, большем радиуса. В этом легко убедиться, если соединить данную точку с центром окружности (рис. 85).

Отрезок прямой, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

Хорда, проходящая через центр, называется диаметром (рис. 84). Диаметр обыкновенно обозначается буквой D. Диаметр равен двум радиусам:

Так как все радиусы одного и того же круга равны между собой, то и все диаметры данного круга равны между собой.

Теорема . Хорда, не проходящая через центр круга, меньше диаметра, проведённого в том же круге.

В самом деле, если проведём какую-нибудь хорду, например АВ, и соединим её концы с центром О (рис. 86), то увидим, что хорда АВ меньше ломаной линии АО + ОВ, т. е. АВ r, а так как 2r = D, то АВ

Если круг перегнуть по диаметру (рис. 87), то обе части круга и окружности совместятся. Диаметр делит круг и окружность на две равные части.

Два круга (две окружности) называются равными, если их можно наложить друг на друга так, чтобы они совместились.

Поэтому два круга (две окружности) с равными радиусами равны.

2. Дуга окружности.

Часть окружности называется дугой.

Слово «дуга» иногда заменяется знаком \(\breve{ }\). Дуга обозначается двумя или тремя буквами, из которых две ставятся на концах дуги, а третья - у какой-нибудь точки дуги. На чертеже 88 обозначены две дуги: \(\breve{ACB}\) и \(\breve{ADB}\).

В том случае, когда дуга меньше полуокружности, она обычно обозначается двумя буквами. Так, дугу АDВ можно обозначить \(\breve{AB}\) (рис. 88). О хорде, которая соединяет концы дуги, говорят, что она стягивает дугу.

Если передвинуть дугу АС (рис. 89, а) так, чтобы она скользила поданной окружности, и если при этом она совпадает с дугой МN, то \(\breve{AC}\) = \(\breve{NM}\).

На чертеже 89, б дуги АС и АВ не равны между собой. Начинаются обе дуги в точке А, но одна дуга \(\breve{AB}\) составляет только часть другой дуги \(\breve{AC}\).

Поэтому \(\breve{AC}\) > \(\breve{AB}\); \(\breve{AB}\)

Построение окружности по трем точкам

Задача. Через три точки, не лежащие на одной прямой, провести окружность.

Пусть нам даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой (черт.311).

Соединим эти точки отрезками АВ и ВС. Чтобы найти точки равноудалённые от точек А и В разделим отрезок АВ пополам и через середину (точку М) проведём прямую перпендикулярную к АВ. Каждая точка этого перпендикуляра одинаково удалена от точек А и В.

Чтобы найти точки, равноудалённые от точек В и С, разделим отрезок ВС пополам и через его середину (точку N) проведем прямую, перпендикулярную ВС. Каждая точка этого перпендикуляа одинаково удалена от точек В и С.

Точка О пересечения этих перпендикуляров будет находиться на одинаковом расстоянии от данных точек А, В и С (АО = ВО = СО). Если мы, приняв точку О за центр круга, радиусом, равным АО, проведём окружность, то она пройдёт через все данные точки А, В и С.

Точка О является единственной точкой, которая может служить центром окружности, проходящей через три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, так как два перпендикуляра к отрезкам АВ и ВС могут пересечься только в одной точке. Значит, задача имеет единственное решение.

Примечание . Если три точки А, В и С будут лежать на одной прямой, то задача не будет иметь решения, так как перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС будут параллельны и не будет существовать точки, одинаково удаленной от точек А, В, С, т. е. точки, которая могла бы служить центром искомой окружности.

Если соединить отрезком точки А и С и середину этого отрезка (точку К) соединить с центром окружности О, то ОК будет перпендикулярна к АС (черт. 311), так как в равнобедренном треугольнике АОС ОК является медианой, поэтому ОК⊥АС.

Следствие. Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведённые через их середины пересекаются в одной точке.

Окру́жность - это фигура, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности.

Окружность нулевого радиуса (вырожденная окружность) является точкой, иногда этот случай исключается из определения.

Энциклопедичный YouTube

    1 / 5

    Окружность и ее свойства (bezbotvy)

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Математика: подготовка к ОГЭ и ЕГЭ. Планиметрия. Окружности и их свойства

    Математика 26. Циркуль. Окружность и круг - Шишкина школа

    УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ. ЗАДАНИЕ 18 (С5). АРТУР ШАРИФОВ

    Субтитры

Обозначение

Если окружность проходит, например, через точки A, B, C, то её обозначают указанием этих точек в круглых скобках: (A, B, C). Тогда дугу окружности, проходящую через точки A, B, C, обозначают как дуга ABC (или дуга AC), а так же υ ABC (или υ AC).

Другие определения

  • Окружность диаметра AB A, B AB виден под прямым углом (Определение через угол, опирающийся на диаметр окружности).
  • Окружность с хордой AB - это фигура, состоящая из точек A, B и всех точек плоскости, из которых отрезок AB виден под постоянным углом с одной стороны, равным вписанному углу дуги AB , и под другим постоянным углом с другой стороны, равным 180 градусов минус вписанный угол дуги AB , указанный выше (Определение через вписанный угол).
  • Фигура состоящая из таких точек X , {\displaystyle X,} что отношение длин отрезков AX и BX постоянно: A X B X = c ≠ 1 , {\displaystyle {\frac {AX}{BX}}=c\neq 1,} является окружностью (Определение через окружность Аполлония).
  • Фигура, состоящая из всех таких точек, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до двух данных точек равна заданной величине, большей половины квадрата расстояния между данными точками, также является окружностью (Определение через теорему Пифагора для произвольного прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, с гипотенузой, являющейся диаметром окружности).
  • M внутри неё провести любые хорды AB , CD , EF и т. д., тогда справедливы равенства: A M ⋅ M B = C M ⋅ M D = E M ⋅ M F = … {\displaystyle AM\cdot {MB}=CM\cdot {MD}=EM\cdot {MF}=\dots } . Равенства всегда будут выполняться независимо от выбора точки M и направлений проведенных через неё хорд (Определение через пересекающиеся хорды).
  • Окружность - замкнутая, самонепересекающаяся фигура, обладающая следующим свойством. Если через произвольную точку M вне её провести две касательные до точек их касания с окружностью, например, A и B , тогда их длины всегда будут равны: M A = M B {\displaystyle MA=MB} . Равенство всегда будет выполняться независимо от выбора точки M (Определение через равные касательные).
  • Окружность - замкнутая, самонепересекающаяся фигура, обладающая следующим свойством. Отношение длины любой её хорды к синусу любого её вписанного угла , опирающегося на эту хорду, есть величина постоянная, равная диаметру этой окружности (Определение через теорему синусов).
  • Окружность - это частный случай эллипса , у которого расстояние между фокусами равно нулю (Определение через вырожденный эллипс).

Связанные определения для одной окружности

  • Геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше, чем заданное ненулевое, называется кругом .
  • Радиус - не только величина расстояния, но и отрезок , соединяющий центр окружности с одной из её точек. Радиус всегда равен половине диаметра окружности.
  • Радиус всегда перпендикулярен к касательной прямой, проведенной к окружности в его общей точке с окружностью. То есть радиус является одновременно и нормалью к окружности.
  • Окружность называется единичной , если её радиус равен единице. Единичная окружность является одним из основных объектов тригонометрии .
  • Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой . Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром .
  • Любые две не совпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности . Дуга называется полуокружностью , если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
  • Длина единичной полуокружности обозначается через .
  • Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
  • Касательная к окружности всегда перпендикулярна её радиусу (и диаметру), проведенному в точке касания, который является нормалью , проведенной в данной точке.
  • Прямая, проходящая через две различных точки окружности, называется секущей .

Определение треугольников для одной окружности

  • Треугольник ABC называется вписанным в окружность (A,B,C), если все три его вершины A, B и C лежат на этой окружности. При этом окружность называется описанной окружностью треугольника ABC (См. Описанная окружность).
  • Касательная к окружности, проведенная через любую вершину вписанного в неё треугольника антипараллельна стороне треугольника, противоположной данной вершине.
  • Треугольник ABC называется описанным около окружности (A",B",C"), если все три его стороны AB, BC и CA касаются этой окружности в некоторых точках соответственно C", A" и B". При этом окружность называется вписанной окружностью треугольника ABC (См. Вписанная окружность).

Определения углов для одной окружности

  • Угол, образуемый дугой окружности, равной по длине радиусу, принимается за 1 радиан .
  • Центральный угол - угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен радианной/градусной мере дуги, на которую опирается (см. рис.).
  • Вписанный  угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается (см. рис.).
  • Внешний угол для Вписанного  угла - угол, образованный одной стороной и продолжением другой стороны вписанного угла (см. рис. угол θ коричневого цвета). Внешний угол для вписанного с другой стороны угла окружности имеет ту же величину θ .
  • Угол между окружностью и прямой - угол между прямой и касательной к окружности в точке пересечения прямой и окружности. Оба угла между пересекающимися окружностью и прямой равны.
  • Угол, опирающийся на диаметр окружности - угол вписанный в эту окружность, стороны которого содержат конца диаметра. Он всегда является прямым.

Связанные определения для двух окружностей

  • Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими .
  • Две окружности, имеющие лишь одну общую точку, называются касающимися внешним образом, если их круги не имеют других общих точек, и внутренним образом, если их круги лежат один внутри другого.
  • Две окружности, имеющие две общие точки, называются пересекающимися . Их круги (ими ограниченные) пересекаются по области, называемой двойным круговым сегментом.
  • Углом между двумя пересекающимися (или касающимися) окружностями называется угол между их касательными, проведенными в общей точке пересечения (или касания).
  • Также углом между двумя пересекающимися (или касающимися) окружностями можно считать угол между их радиусами (диаметрами), проведенными в общей точке пересечения (или касания).
  • Поскольку для любой окружности её радиус (или диаметр) и касательная, проведенные через любую точку окружности, взаимно перпендикулярны, то радиус (или диаметр) можно считать нормалью к окружности, построенной в данной её точке. Следовательно, два типа углов, определенных в двух предыдущих двух пунктах, всегда будут равны между собой, как углы со взаимно перпендикуярными сторонами.
  • прямым углом , называются ортогональными . Окружности можно считать ортогональными , если они образуют прямой угол друг с другом.
  • Радикальная ось двух окружностей - геометрическое место точек , степени которых относительно двух заданных окружностей равны. Иными словами, равны длины четырех касательных, проведенных к двум данным окружностям из любой точки M данного геометрического места точек .

Определения углов для двух окружностей

  • Угол между двумя пересекающимися окружностями - угол между касательными к окружностям в точке пересечения этих окружностей. Оба угла между двумя пересекающимися окружностями равны.
  • Угол между двумя непересекающимися окружностями - угол между двумя общимикасательными к двум окружностям, образуемый в точке пересечения этих двух касательных. Точка пересечения этих двух касательных должна лежать между двумя окружностями, а не со стороны одной из них (этот угол не рассматривается). Оба вертикальных угла между двумя непересекающимися окружностями равны.

Ортогональность

  • Две окружности, пересекающиеся под прямым углом , называются ортогональными . Окружности можно считать ортогональными , если они образуют прямой угол друг с другом.
  • Две пересекающиеся в точках A и B окружности с центрами O и O" называются ортогональными , если являются прямыми углы OAO" и OBO". Именно это условие гарантирует прямой угол между окружностями. В этом случае перпендикулярны радиусы (нормали) двух окружностей, проведенные в точку их пересечения. Следовательно, перпендикулярны и касательные двух окружностей, проведенные в точку их пересечения. Касательная окружности перпендикулярна радиусу (нормали), проведенному в точку касания. Обычно угол между кривыми - это угол между их касательными, проведенными в точке их пересечения.
  • Возможно другое дополнительное условие. Пусть две пересекающиеся в точках A и B окружности имеют середины пресекающихся дуг в точках C и D, то есть дуга AС равна дуге СB, дуга AD равна дуге DB. Тогда эти окружности называются ортогональными , если являются прямыми углы СAD и СBD.

Связанные определения для трех окружностей

  • Три окружности называются взаимно касающимися (пресекающимися), если любые две из них касаются (пресекаются) друг друга.
  • В геометрии радикальный центр трёх окружностей - это точка пересечения трёх радикальных осей пар окружностей. Если радикальный центр лежит вне всех трёх окружностей, то он является центром единственной окружности (радикальной окружности ), которая пересекает три данные окружности ортогонально .

Лемма Архимеда

Доказательство

Пусть G {\displaystyle G} - гомотетия, переводящая малую окружность в большую. Тогда ясно, что A 1 {\displaystyle A_{1}} является центром этой гомотетии. Тогда прямая B C {\displaystyle BC} перейдет в какую-то прямую a {\displaystyle a} , касающуюся большой окружности, а A 2 {\displaystyle A_{2}} перейдет в точку на этой прямой и принадлежащей большой окружности. Вспомнив, что гомотетия переводит прямые в параллельные им прямые, понимаем, что a ∥ B C {\displaystyle a\parallel BC} . Пусть G (A 2) = A 3 {\displaystyle G(A_{2})=A_{3}} и D {\displaystyle D} - точка на прямой a {\displaystyle a} , такая, что - острый, а E {\displaystyle E} - такая точка на прямой a {\displaystyle a} , что ∠ B A 3 E {\displaystyle \angle BA_{3}E} - острый. Тогда, так как a {\displaystyle a} - касательная к большой окружности ∠ C A 3 D {\displaystyle \angle CA_{3}D} = {\displaystyle =} ∠ C B A 3 {\displaystyle \angle CBA_{3}} = ∠ B A 3 E = ∠ B C A 3 {\displaystyle =\angle BA_{3}E=\angle BCA_{3}} . Следовательно △ B C A 3 {\displaystyle \bigtriangleup BCA_{3}} - равнобедренный, а значит ∠ B A 1 A 3 = ∠ C A 1 A 3 {\displaystyle \angle BA_{1}A_{3}=\angle CA_{1}A_{3}} , то есть A 1 A 2 {\displaystyle A_{1}A_{2}} - биссектриса угла ∠ B A 1 C {\displaystyle \angle BA_{1}C} .

Теорема Декарта для радиусов четырех попарно касающихся окружностей

Теорема Декарта" утверждает, что радиусы любых четырёх взаимно касающихся окружностей удовлетворяют некоторому квадратному уравнению . Их иногда называют окружностями Содди .

Свойства

x 2 + y 2 = R 2 . {\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}.}

Уравнение окружности, проходящей через точки (x 1 , y 1) , (x 2 , y 2) , (x 3 , y 3) , {\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2}\right),\left(x_{3},y_{3}\right),} не лежащие на одной прямой (с помощью определителя):

| x 2 + y 2 x y 1 x 1 2 + y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 y 3 1 | = 0. {\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0.} { x = x 0 + R cos ⁡ φ y = y 0 + R sin ⁡ φ , 0 ⩽ φ < 2 π . {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+R\cos \varphi \\y=y_{0}+R\sin \varphi \end{cases}},\;\;\;0\leqslant \varphi <2\pi .}

В декартовой системе координат окружность не является графиком функции , но она может быть описана как объединение графиков двух следующих функций:

y = y 0 ± R 2 − (x − x 0) 2 . {\displaystyle y=y_{0}\pm {\sqrt {R^{2}-(x-x_{0})^{2}}}.}

Если центр окружности совпадает с началом координат, функции принимают вид:

y = ± R 2 − x 2 . {\displaystyle y=\pm {\sqrt {R^{2}-x^{2}}}.}

Полярные координаты

Окружность радиуса R {\displaystyle R} с центром в точке (ρ 0 , ϕ 0) {\displaystyle \left(\rho _{0},\phi _{0}\right)} .