Напомним необходимые сведения о комплексных числах.

Комплексное число - это выражение вида a + bi , где a , b - действительные числа, а i - так называемая мнимая единица , символ, квадрат которого равен –1, то есть i 2 = –1. Число a называется действительной частью , а число b - мнимой частью комплексного числа z = a + bi . Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a . Видно, что действительные числа - это частный случай комплексных чисел.

Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi ) ± (c + di ) = (a ± c ) + (b ± d )i , а умножение - по правилу (a + bi ) · (c + di ) = (ac – bd ) + (ad + bc )i (здесь как раз используется, что i 2 = –1). Число = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi . Равенство z · = a 2 + b 2 позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:

(Например, .)

У комплексных чисел есть удобное и наглядное геометрическое представление: число z = a + bi можно изображать вектором с координатами (a ; b ) на декартовой плоскости (или, что почти то же самое, точкой - концом вектора с этими координатами). При этом сумма двух комплексных чисел изображается как сумма соответствующих векторов (которую можно найти по правилу параллелограмма). По теореме Пифагора длина вектора с координатами (a ; b ) равна . Эта величина называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается |z |. Угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси абсцисс (отсчитанный против часовой стрелки), называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z . Аргумент определен не однозначно, а лишь с точностью до прибавления величины, кратной 2π радиан (или 360°, если считать в градусах) - ведь ясно, что поворот на такой угол вокруг начала координат не изменит вектор. Но если вектор длины r образует угол φ с положительным направлением оси абсцисс, то его координаты равны (r · cos φ ; r · sin φ ). Отсюда получается тригонометрическая форма записи комплексного числа: z = |z | · (cos(Arg z ) + i sin(Arg z )). Часто бывает удобно записывать комплексные числа именно в такой форме, потому что это сильно упрощает выкладки. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме выглядит очень просто: z 1 · z 2 = |z 1 | · |z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i sin(Arg z 1 + Arg z 2)) (при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются). Отсюда следуют формулы Муавра : z n = |z | n · (cos(n · (Arg z )) + i sin(n · (Arg z ))). С помощью этих формул легко научиться извлекать корни любой степени из комплексных чисел. Корень n-й степени из числа z - это такое комплексное число w , что w n = z . Видно, что , а , где k может принимать любое значение из множества {0, 1, ..., n – 1}. Это означает, что всегда есть ровно n корней n -й степени из комплексного числа (на плоскости они располагаются в вершинах правильного n -угольника).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Алгебраической формой комплексного числа является запись комплексного числа \(\ z \) в виде \(\ z=x+i y \), где \(\ x \) и \(\ y \) - вещественные числа, \(\ i \) - мнимая единица, удовлетворяющая соотношению \(\ i^{2}=-1 \)

Число \(\ x \) называется вещественной частью комплексного числа \(\ z \) и обозначается \(\ x=\operatorname{Re} z \)

Число \(\ y \) называется мнимой частью комплексного числа \(\ z \) и обозначается \(\ y=\operatorname{Im} z \)

Например:

Комплексное число \(\ z=3-2 i \) и его присоединенное число \(\ \overline{z}=3+2 i \)записаны в алгебраической форме.

Мнимая величина \(\ z=5 i \)записывается в алгебраической форме.

Кроме того, в зависимости от решаемой задачи вы можете перевести комплексное число в тригонометрическую или экспоненциальную.

Задача

Напишите число \(\ z=\frac{7-i}{4}+13 \) в алгебраической форме, найдите ее действительную и мнимую части, а также сопряженное число.

Решение.

Применяя термин деление фракций и правило сложения дробей, получим:

\(\ z=\frac{7-i}{4}+13=\frac{7}{4}+13-\frac{i}{4}=\frac{59}{4}-\frac{1}{4} i \)

Поэтому вещественная часть комплексного числа \(\ z=\frac{5 g}{4}-\frac{1}{4} i \) есть число \(\ x=\operatorname{Re} z=\frac{59}{4} \) , мнимая часть - число \(\ y=\operatorname{Im} z=-\frac{1}{4} \)

Сопряженное число: \(\ \overline{z}=\frac{59}{4}+\frac{1}{4} i \)

Ответ

\(\ z=\frac{59}{4}-\frac{1}{4} i \), \(\ \operatorname{Re} z=\frac{59}{4} \), \(\ \operatorname{Im} z=-\frac{1}{4} \), \(\ \overline{z}=\frac{59}{4}+\frac{1}{4} i \)

Действия комплексных чисел в алгебраической форме сравнение

Два комплексных числа \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) называются равными, если \(\ x_{1}=x_{2} \), \(\ y_{1}=y_{2} \) т. e. Их действительная и мнимая части равны.

Задача

Определить, для каких х и у два комплексных числа \(\ z_{1}=13+y i \) и \(\ z_{2}=x+5 i \) равны.

Решение

По определению два комплексных числа равны, если их действительная и мнимая части равны, т. e. \(\ x=13 \), \(\ y=5 \).

Ответ \(\ x=13 \), \(\ y=5 \)

прибавление

Добавление комплексных чисел \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) выполняется путем прямого суммирования вещественной и мнимой частей:

\(\ z_{1}+z_{2}=x_{1}+i y_{1}+x_{2}+i y_{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)+i\left(y_{1}+y_{2}\right) \)

Задача

Найти сумму комплексных чисел \(\ z_{1}=-7+5 i \), \(\ z_{2}=13-4 i \)

Решение.

Действительной частью комплексного числа \(\ z_{1}=-7+5 i \) является число \(\ x_{1}=\operatorname{Re} z_{1}=-7 \) , мнимая часть - число \(\ y_{1}=\mathrm{Im} \), \(\ z_{1}=5 \) . Реальная и мнимая части комплексного числа \(\ z_{2}=13-4 i \) равны соответственно \(\ x_{2}=\operatorname{Re} z_{2}=13 \) и \(\ y_{2}=\operatorname{Im} z_{2}=-4 \) .

Следовательно, сумма комплексных чисел:

\(\ z_{1}+z_{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)+i\left(y_{1}+y_{2}\right)=(-7+13)+i(5-4)=6+i \)

Ответ

\(\ z_{1}+z_{2}=6+i \)

Подробнее о добавлении комплексных чисел в отдельной статье: Добавление комплексных чисел.

Вычитание

Вычитание комплексных чисел \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) и \(\ z_{2}=x_{2}+i y_{2} \) выполняется путем прямого вычитания действительной и мнимой частей:

\(\ z_{1}-z_{2}=x_{1}+i y_{1}-\left(x_{2}+i y_{2}\right)=x_{1}-x_{2}+\left(i y_{1}-i y_{2}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)+i\left(y_{1}-y_{2}\right) \)

Задача

найти разницу сложных чисел \(\ z_{1}=17-35 i \), \(\ z_{2}=15+5 i \)

Решение.

Найдите действительную и мнимую части комплексных чисел \(\ z_{1}=17-35 i \), \(\ z_{2}=15+5 i \) :

\(\ x_{1}=\operatorname{Re} z_{1}=17, x_{2}=\operatorname{Re} z_{2}=15 \)

\(\ y_{1}=\operatorname{Im} z_{1}=-35, y_{2}=\operatorname{Im} z_{2}=5 \)

Поэтому разница комплексных чисел:

\(\ z_{1}-z_{2}=\left(x_{1}-x_{2}\right)+i\left(y_{1}-y_{2}\right)=(17-15)+i(-35-5)=2-40 i \)

Ответ

\(\ z_{1}-z_{2}=2-40 i \) умножение

Умножение комплексных чисел \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) и \(\ z_{2}=x_{2}+i y_{2} \)выполняется путем непосредственного рождения чисел в алгебраической форме с учетом свойства мнимой единицы \(\ i^{2}=-1 \) :

\(\ z_{1} \cdot z_{2}=\left(x_{1}+i y_{1}\right) \cdot\left(x_{2}+i y_{2}\right)=x_{1} \cdot x_{2}+i^{2} \cdot y_{1} \cdot y_{2}+\left(x_{1} \cdot i y_{2}+x_{2} \cdot i y_{1}\right)= \)

\(\ =\left(x_{1} \cdot x_{2}-y_{1} \cdot y_{2}\right)+i\left(x_{1} \cdot y_{2}+x_{2} \cdot y_{1}\right) \)

Задача

Найти произведение комплексных чисел \(\ z_{1}=1-5 i \)

Решение.

Комплекс комплексных чисел:

\(\ z_{1} \cdot z_{2}=\left(x_{1} \cdot x_{2}-y_{1} \cdot y_{2}\right)+i\left(x_{1} \cdot y_{2}+x_{2} \cdot y_{1}\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5)=15-23 i \)

Ответ

\(\ z_{1} \cdot z_{2}=15-23 i \) разделение

Фактор комплексных чисел \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) и \(\ z_{2}=x_{2}+i y_{2} \) определяется путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное число с знаменателем:

\(\ \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{x_{1}+i y_{1}}{x_{2}+i y_{2}}=\frac{\left(x_{1}+i y_{1}\right)\left(x_{2}-i y_{2}\right)}{\left(x_{2}+i y_{2}\right)\left(x_{2}-i y_{2}\right)}=\frac{x_{1} \cdot x_{2}+y_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}+i \frac{x_{2} \cdot y_{1}-x_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} \)

Задача

Чтобы разделить число 1 на комплексное число \(\ z=1+2 i \).

Решение.

Поскольку мнимая часть действительного числа 1 равна нулю, фактор равен:

\(\ \frac{1}{1+2 i}=\frac{1 \cdot 1}{1^{2}+2^{2}}-i \frac{1 \cdot 2}{1^{2}+2^{2}}=\frac{1}{5}-i \frac{2}{5} \)

Ответ

\(\ \frac{1}{1+2 i}=\frac{1}{5}-i \frac{2}{5} \)

Рассмотрим квадратное уравнение .

Определим его корни .

Не существует действительного числа, квадрат которого равен -1. Но если формулой определить оператор i как мнимую единицу, то решение этого уравнения можно записать в виде . При этом и - комплексные числа, в которых -1 это действительная часть, 2 или во втором случае -2 – мнимая часть. Мнимая часть – это также действительное (вещественное) число. Мнимая часть, умноженная на мнимую единицу, означает уже мнимое число .

В общем виде комплексное число имеет вид

z = x + iy ,

где x, y – вещественные числа, – мнимая единица. В ряде прикладных наук, например, в электротехнике, электронике, теории сигналов мнимая единица обозначается через j . Вещественные числа x = Re{z} и y = Im{ z} называются вещественной и мнимой частями числа z. Выражение называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Любое действительное число есть частный случай комплексного числа в виде . Мнимое число тоже частный случай комплексного числа .

Определение множества комплексных чисел С

Это выражение читается следующим образом: множество С , состоящее из элементов , таких что x и y принадлежат множеству действительных чисел R и - это мнимая единица. Отметим, что и т.д.

Два комплексных числа и равны, если и только если равны их действительные и мнимые части, т.е. и .

Комплексные числа и функции широко используются в науке и технике, в частности, в механике, анализе и расчете цепей переменного тока, аналоговой электронике, в теории и обработке сигналов, в теории автоматического управления и др. прикладных науках.

1. Арифметика комплексных чисел

Сложение двух комплексных чисел состоит в сложении их действительных и мнимых частей, т.е.

Соответственно разность двух комплексных чисел

Комплексное число называется комплексно сопряженным числу z = x + iy.

Комплексно сопряженные числа z и z * отличаются знаками мнимой части. Очевидно, что

.

Любое равенство между комплексными выражениями остается справедливым, если в этом равенстве всюду i заменить на - i , т.е. перейти к равенству сопряженных чисел. Числа i и – i алгебраически неразличимы, поскольку .

Произведение (умножение) двух комплексных чисел может быть вычислено следующим образом:

Деление двух комплексных чисел:

Пример :

1. Комплексная плоскость

Комплексное число графически можно представить в прямоугольной системе координат. Зададим в плоскости прямоугольную систему координат (x, y).

На оси Ox будем располагать действительные части x , она называется действительной (вещественной) осью , на оси Oy –мнимые части y комплексных чисел. Она носит название мнимой оси . При этом каждому комплексному числу соответствует определенная точка плоскости, и такая плоскость называется комплексной плоскостью . Точке А комплексной плоскости будет соответствовать вектор ОА .

Число x называется абсциссой комплексного числа , число y – ординатой .

Пара комплексно сопряженных чисел отображается точками, расположенными симметрично относительно действительной оси.

Если на плоскости задать полярную систему координат , то каждое комплексное число z определяется полярными координатами . При этом модуль числа – это полярный радиус точки, а угол - её полярный угол или аргумент комплексного числа z .

Модуль комплексного числа всегда неотрицательный. Аргумент комплексного числа не определяется однозначно. Главное значение аргумента должно удовлетворять условию . Каждой точке комплексной плоскости соответствует также общее значение аргумента . Аргументы, отличающиеся значением, кратным 2π, считаются равными. Аргумент числа нуль не определен.

Главное значение аргумента определяют по выражениям:

Очевидно, что

При этом
, .

Представление комплексного числа z в виде

называется тригонометрической формой комплексного числа.

Пример .

1. Показательная форма комплексных чисел

Разложение в ряд Маклорена для функций действительного аргумента имеет вид:

Для экспоненциальной функции комплексного аргумента z разложение имеет аналогичный характер

.

Разложение в ряд Маклорена для экспоненциальной функции мнимого аргумента можно представить как

Получившееся тождество называется формулой Эйлера .

Для отрицательного аргумента оно имеет вид

Комбинируя эти выражения, можно определить следующие выражения для синуса и косинуса

.

Пользуясь формулой Эйлера, из тригонометрической формы представления комплексных чисел

можно получить показательную (экспоненциальную, полярную) форму комплексного числа, т.е. его представление в виде

,

где - полярные координаты точки с прямоугольными координатами (x, y ).

Число, сопряженное комплексному числу , в показательной форме записывается следующим образом .

Для показательной формы легко определить следующие формулы умножения и деления комплексных чисел

Т.е., в показательной форме произведение и деление комплексных чисел выполняется проще, чем в алгебраической форме. При умножении модули сомножителей перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое число сомножителей. В частности, при умножении комплексного числа z на i вектор z поворачивается против часовой стрелки на 90

При делении модуль числителя делится на модуль знаменателя, и из аргумента числителя вычитается аргумент знаменателя.

Используя показательную форму комплексных чисел, можно получить выражения для известных тригонометрических тождеств. Например, из тождества

с помощью формулы Эйлера можно записать

Приравнивая действительную и мнимую части в данном выражении, получаем выражения для косинуса и синуса суммы углов

1. Степени, корни и логарифмы комплексных чисел

Возведение комплексного числа в натуральную степень n производится по формуле

Пример . Вычислим .

Представим число в тригонометрической форме

’

Применяя формулу возведения в степень, получим

Положив в выражении значение r = 1, получим так называемую формулу Муавра , при помощи которой можно определять выражения синусов и косинусов кратных углов.

Корень n –й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, определяемых по выражению

Пример . Найдем .

Для этого выразим комплексное число () к тригонометрической форме

.

По формуле вычисления корня из комплексного числа, получаем

Логарифм комплексного числа z – это число w , для которого . Натуральный логарифм комплексного числа имеет бесконечное множество значений и вычисляется по формуле

Состоит из действительной (косинусоидальной) и мнимой (синусоидальной) части. Такое напряжение можно представлять как вектор длиной U m , начальной фазой (углом) , вращающийся с угловой скоростью ω .

При этом если комплексные функции складываются, то складываются их вещественные и мнимые части. Если комплексная функция умножается на константу или вещественную функцию, то её вещественная и мнимая части умножаются на тот же множитель. Дифференцирование / интегрирование такой комплексной функции сводится к дифференцированию / интегрированию вещественной и мнимой части.

Например, дифференцирование выражения комплексного напряжения

заключается в умножении его на iω - вещественная часть функции f(z), а – мнимая часть функции. Примеры: .

Значение z изображается точкой в комплексной плоскости z, а соответствующее значение w - точкой в комплексной плоскости w . При отображении w = f(z) линии плоскости z переходят в линии плоскости w , фигуры одной плоскости в фигуры другой, но формы линий или фигур могут существенно измениться.

		Алгебраическая форма записи комплексного числа................................................................
		Плоскость комплексных чисел....................................................................................................
		Комплексно сопряжённые числа.................................................................................................
	Действия с комплексными числами в алгебраической форме...............................................
		Сложение комплексных чисел.................................................................................................
		Вычитание комплексных чисел...............................................................................................
		Умножение комплексных чисел..............................................................................................
		Деление комплексных чисел....................................................................................................
	Тригонометрическая форма записи комплексного числа.......................................................
	Действия с комплексными числами в тригонометрической форме......................................
		Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме.........................................
		Деление комплексных чисел в тригонометрической форме...............................................
		Возведение комплексного числа в целую положительную степень..................................
		Извлечение корня целой положительной степени из комплексного числа.....................
		Возведение комплексного числа в рациональную степень.................................................
		Комплексные ряды......................................................................................................................
		Комплексные числовые ряды.................................................................................................
		Степенные ряды в комплексной плоскости.........................................................................
		Двусторонние степенные ряды в комплексной плоскости...............................................
		Функции комплексного переменного.......................................................................................
		Основные элементарные функции........................................................................................
		Формулы Эйлера......................................................................................................................
		Показательная форма представления комплексного числа..............................................
		Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями..........................
		Логарифмическая функция.....................................................................................................
		Общая показательная и общая степенная функции...........................................................
	Дифференцирование функций комплексного переменного.................................................
		Условия Коши-Римана............................................................................................................
		Формулы для вычисления производной...............................................................................
		Свойства операции дифференцирования.............................................................................
		Свойства действительной и мнимой частей аналитической функции............................

	Восстановление функции комплексного переменного по её действительной или мнимой
		Способ №1. С помощью криволинейного интеграла.....................................................
		Способ №2. Непосредственное применение условий Коши-Римана..........................
		Способ №3. Через производную искомой функции.......................................................
	Интегрирование функций комплексного переменного.........................................................
	Интегральная формула Коши....................................................................................................
	Разложение функций в ряды Тейлора и Лорана.....................................................................
	Нули и особые точки функции комплексного переменного................................................
		Нули функции комплексного переменного.....................................................................
		Изолированные особые точки функции комплексного переменного.........................

14.3 Бесконечно удалённая точка как особая точка функции комплексного переменного

	Вычеты...........................................................................................................................................
		Вычет в конечной точке......................................................................................................
		Вычет функции в бесконечно удаленной точке..............................................................
	Вычисление интегралов с помощью вычетов.........................................................................
	Вопросы для самопроверки........................................................................................................
	Литература....................................................................................................................................
	Предметный указатель................................................................................................................

Предисловие

Правильно распределить время и силы при подготовке к теоретической и практической частям экзамена или аттестации по модулю достаточно сложно, тем более что в период сессии времени всегда не хватает. И как показывает практика, справиться с этим получается не у всех. В результате на экзамене одни студенты правильно решают задачи, но затрудняются ответить на простейшие теоретические вопросы, а другие могут сформулировать теорему, но не могут её применить.

Настоящие методические рекомендации для подготовки к экзамену по курсу «Теория функций комплексного переменного» (ТФКП) являются попыткой разрешить это противоречие и обеспечить одновременное повторение теоретического и практического материала курса. Руководствуясь принципом «Теория без практики мертва, практика без теории слепа», они содержат как теоретические положения курса на уровне определений и формулировок, так и примеры, иллюстрирующие применение каждого приведенного теоретического положения, и, тем самым, облегчающие его запоминание и понимание.

Цель предлагаемых методических рекомендаций – помочь студенту подготовиться к экзамену на базовом уровне. Иными словами, составлен расширенный рабочий справочник, содержащий основные моменты, используемые на занятиях по курсу ТФКП, и необходимые при выполнении домашнего задания и подготовке к контрольным мероприятиям. Помимо самостоятельной работы студентов, настоящее электронное учебное издание можно использовать при проведении занятий в интерактивной форме с использованием электронной доски или для размещения в системе дистанционного обучения.

Обращаем внимание, что настоящий труд не заменяет собой ни учебников, ни конспекта лекций. Для углублённого изучения материала рекомендуется обращаться к соответствующим разделам изданного в МГТУ им. Н.Э. Баумана базового учебника .

В конце пособия помещён список рекомендуемой литературы и предметный указатель, в который входят все выделенные в текстеполужирным курсивом термины. Предметный указатель состоит из гиперссылок на разделы, в которых эти термины строго определены или описаны и где приведены примеры, иллюстрирующие их применение.

Пособие предназначено для студентов 2 курса всех факультетов МГТУ им. Н.Э. Баумана.

1. Алгебраическая форма записи комплексного числа

Запись вида z = x + iy , где x , y - действительные числа, i - мнимая единица (т.е. i 2 = − 1)

называют алгебраической формой записи комплексного числа z. При этом x называют действительной частью комплексного числа и обозначают Re z (x = Re z ), y называют мнимой частью комплексного числа и обозначают Im z (y = Im z ).

Пример. У комплексного числа z = 4 − 3i действительная часть Re z = 4 , а мнимая Im z = − 3 .

2. Плоскость комплексных чисел

В теории функций комплексного переменного рассматривают плоскость комплексных чисел , которую обозначают либо, либо используют буквы, обозначающие комплексные числа z , w и т.п.

Горизонтальная ось комплексной плоскости называется действительной осью , на ней располагают действительные числа z = x + 0 i = x .

Вертикальная ось комплексной плоскости называется мнимой осью , на ней располагают

3. Комплексно сопряжённые числа

Числа z = x + iy и z = x − iy называют комплексно сопряжёнными . На комплексной плоскости им соответствуют точки, симметричные относительно действительной оси.

4. Действия с комплексными числамив алгебраической форме

4.1 Сложение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел

z 1 = x 1 + iy 1

и z 2 = x 2 + iy 2 называется комплексное число

z 1 + z 2

= (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i (y 1 + y 2 ) .

операция

сложения

комплексных чисел аналогична операции сложения алгебраических двучленов.

Пример. Суммой двух комплексных чисел z 1 = 3 + 7i и z 2

= −1 +2 i

будет комплексное число

z 1 + z 2 = (3 +7 i ) +(−1 +2 i ) = (3 −1 ) +(7 +2 ) i = 2 +9 i .

Очевидно,

суммой комплексно

сопряжённых

является

действительное

z + z = (x + iy) + (x − iy) = 2 x = 2 Re z .

4.2 Вычитание комплексных чисел

Разностью двух комплексных чисел z 1 = x 1 + iy 1

X 2 +iy 2

называется

комплексное

число z 1 − z 2 = (x 1 + iy 1 ) − (x 2 + iy 2 ) = (x 1 − x 2 ) + i (y 1 − y 2 ) .

Пример. Разностью двух комплексных чисел

z 1 = 3 −4 i

и z 2

= −1 +2 i

будет комплексное

число z 1 − z 2 = (3 − 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3 − (− 1) ) + (− 4 − 2) i = 4 − 6i .

Разностью

комплексно сопряжённых

является

z − z = (x + iy) − (x − iy) = 2 iy = 2 i Im z .

4.3 Умножение комплексных чисел

Произведением двух комплексных чисел

z 1 = x 1 + iy 1

и z 2 = x 2 + iy 2

называется комплексное

z 1z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1x 2 + iy 1x 2 + iy 2 x 1 + i 2 y 1 y 2

= (x 1x 2 − y 1 y 2 ) + i (y 1x 2 + y 2 x ) .

образом, операция умножения комплексных чисел аналогична операции умножения алгебраических двучленов с учётом того, что i 2 = − 1.

План урока.

1. Организационный момент.

2. Изложение материала.

3. Домашнее задание.

4. Подведение итогов урока.

Ход урока

I. Организационный момент .

II. Изложение материала .

Мотивация.

Расширение множества вещественных чисел состоит в том, что к действительным числам присоединяются новые числа (мнимые). Введение этих чисел связано с невозможностью во множестве действительных чисел извлечения корня из отрицательного числа.

Введение понятия комплексного числа.

Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа, записываются в виде bi , где i – мнимая единица, причем i 2 = - 1 .

Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.

Определение . Комплексным числом называется выражение вида a + bi , где a и b - действительные числа. При этом выполняются условия:

а) Два комплексных числа a 1 + b 1 i и a 2 + b 2 i равны тогда и только тогда, когда a 1 =a 2 , b 1 =b 2 .

б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i .

в) Умножение комплексных чисел определяется правилом:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i .

Алгебраическая форма комплексного числа.

Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.

Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0

Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с действительным числом a : a + 0i = a .

Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и обозначается bi : 0 + bi = bi .

Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi , отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.

1) Сложение.

Определение . Суммой комплексных чисел z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i называется комплексное число z , действительная часть которого равна сумме действительных частей z 1 и z 2 , а мнимая часть - сумме мнимых частей чисел z 1 и z 2 , то есть z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i .

Числа z 1 и z 2 называются слагаемыми.

Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 .

2º. Ассоциативность: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Комплексное число –a –bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi . Комплексное число, противоположное комплексному числу z , обозначается -z . Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0

Пример 1. Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i) .

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i .

2) Вычитание.

Определение. Вычесть из комплексного числа z 1 комплексное число z 2 z, что z + z 2 = z 1 .

Теорема . Разность комплексных чисел существует и притом единственна.

Пример 2. Выполните вычитание (4 – 2i) - (-3 + 2i) .

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i .

3) Умножение.

Определение . Произведением комплексных чисел z 1 =a 1 +b 1 i и z 2 =a 2 +b 2 i называется комплексное число z , определяемое равенством: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i .

Числа z 1 и z 2 называются сомножителями.

Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z 1 z 2 = z 2 z 1 .

2º. Ассоциативность: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

4º. z · = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2 - действительное число.

На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.

В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.

Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i) .

1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i .

2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i .

4) Деление.

Определение . Разделить комплексное число z 1 на комплексное число z 2 , значит найти такое комплексное число z , что z · z 2 = z 1 .

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z 2 ≠ 0 + 0i .

На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

Пусть z 1 = a 1 + b 1 i , z 2 = a 2 + b 2 i , тогда

.

В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.

Пример 4. Найти частное .

5) Возведение в целую положительную степень.

а) Степени мнимой единицы.

Пользуясь равенством i 2 = -1 , легко определить любую целую положительную степень мнимой единицы. Имеем:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 и т. д.

Это показывает, что значения степени i n , где n – целое положительное число, периодически повторяется при увеличении показателя на 4 .

Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.

Пример 5. Вычислите: (i 36 + i 17) · i 23 .

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

б) Возведение комплексного числа в целую положительную степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых комплексных сомножителей.

Пример 6. Вычислите: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.