تحديد محيط دائرة نصف قطرها قطر الوتر. ما هي الدائرة كشكل هندسي: الخصائص والخصائص الأساسية

دعونا نفهم ما هي الدائرة والدائرة. صيغة مساحة الدائرة والمحيط.

نواجه كل يوم العديد من الأشياء التي تكون على شكل دائرة، أو على العكس من ذلك، دائرة. في بعض الأحيان يطرح السؤال ما هي الدائرة وكيف تختلف عن الدائرة. بالطبع، لقد أخذنا جميعًا دروسًا في الهندسة، ولكن في بعض الأحيان لا يضر تحسين معرفتك ببعض التفسيرات البسيطة جدًا.

ما هو محيط ومساحة الدائرة: التعريف

لذا فإن الدائرة عبارة عن خط منحني مغلق يحد أو على العكس من ذلك يشكل دائرة. الشرط الأساسي للدائرة هو أن يكون لها مركز وأن تكون جميع نقاطها على مسافة متساوية منه. ببساطة، الدائرة عبارة عن طوق جمباز (أو كما يطلق عليه غالبًا طوق الهولا) على سطح مستو.

محيط الدائرة هو الطول الإجمالي للمنحنى الذي يشكل الدائرة. وكما هو معروف، بغض النظر عن حجم الدائرة، فإن نسبة قطرها إلى طولها تساوي الرقم π = 3.141592653589793238462643.

ويترتب على ذلك أن π=L/D، حيث L هو المحيط وD هو قطر الدائرة.

إذا كنت تعرف القطر، فيمكن إيجاد الطول باستخدام صيغة بسيطة: L= π* D

إذا كان نصف القطر معروفًا: L=2 πR

لقد اكتشفنا ما هي الدائرة ويمكننا الانتقال إلى تعريف الدائرة.

الدائرة هي الشكل الهندسي، وهو محاط بدائرة. أو الدائرة هي الشكل الذي يتكون حده من كمية كبيرةنقاط متساوية البعد عن مركز الشكل. المنطقة بأكملها الموجودة داخل الدائرة، بما في ذلك مركزها، تسمى دائرة.

ومن الجدير بالذكر أن الدائرة والدائرة التي تقع فيها لهما نفس نصف القطر والقطر. والقطر بدوره أكبر بمرتين من نصف القطر.

تحتوي الدائرة على مساحة على مستوى، ويمكن إيجادها باستخدام صيغة بسيطة:

حيث S هي مساحة الدائرة، و R هو نصف قطر الدائرة.

كيف تختلف الدائرة عن الدائرة: شرح

الفرق الرئيسي بين الدائرة والدائرة هو أن الدائرة هي شكل هندسي، في حين أن الدائرة عبارة عن منحنى مغلق. لاحظ أيضًا الاختلافات بين الدائرة والدائرة:

الدائرة عبارة عن خط مغلق، والدائرة هي المساحة الموجودة داخل تلك الدائرة؛
الدائرة عبارة عن خط منحني على المستوى، والدائرة عبارة عن مساحة مغلقة في حلقة بدائرة؛
أوجه التشابه بين الدائرة والدائرة: نصف القطر والقطر؛
الدائرة والمحيط لهما مركز واحد؛
إذا كان الفضاء الموجود داخل الدائرة مظللا فإنه يتحول إلى دائرة؛
الدائرة لها طول، لكن الدائرة ليس لها طول، والعكس صحيح، الدائرة لها مساحة، ولا توجد في الدائرة.

الدائرة والمحيط: أمثلة وصور

من أجل الوضوح، نقترح النظر إلى الصورة التي تظهر دائرة على اليسار ودائرة على اليمين.

صيغة محيط ومساحة الدائرة: المقارنة

صيغة المحيط L=2 πR

صيغة مساحة الدائرة S= πR²

يرجى ملاحظة أن كلتا الصيغتين تحتويان على نصف القطر والرقم π. يوصى بحفظ هذه الصيغ، لأنها أبسط وستكون مفيدة بالتأكيد الحياة اليوميةوفي العمل.

مساحة الدائرة حسب المحيط: الصيغة

S=π(L/2π)=L²/4π، حيث S هي مساحة الدائرة، L هو المحيط.

فيديو: ما هي الدائرة والمحيط ونصف القطر؟

دائرةهو الشكل الذي يتكون من جميع نقاط المستوى المتساوية البعد عن نقطة معينة.

المفاهيم الأساسية:

مركز الدائرةهي نقطة متساوية البعد عن النقاط الموجودة على الدائرة.

نصف القطر- هذه هي المسافة من نقاط الدائرة إلى مركزها (تساوي نصف القطر، شكل 1).

القطرهو وتر يمر عبر مركز الدائرة (الشكل 1).

وترهو الجزء الذي يربط بين نقطتين على الدائرة (الشكل 1).

الظلهو خط مستقيم يشترك مع الدائرة في نقطة واحدة فقط. يمر بنقطة على الدائرة المتعامدة مع القطر المرسوم على هذه النقطة (شكل 1).

قاطعهو خط مستقيم يمر بنقطتين مختلفتين من الدائرة (الشكل 1).

دائرة الوحدةهي دائرة نصف قطرها يساوي واحدًا.

قوس الدائرةهو جزء من دائرة مقسومًا على نقطتين متباعدتين على الدائرة.

1 راديانهي الزاوية التي يشكلها قوس الدائرة يساوي طول نصف القطر (الشكل 4).
1 راديان = 180˚ : π ≈ 57.3˚

الزاوية المركزيةهي زاوية رأسها يقع في مركز الدائرة. يساوي درجة قياس القوس الذي يرتكز عليه (الشكل 2).

زاوية مكتوبةهي الزاوية التي يقع رأسها على دائرة ويتقاطع ضلعاها مع هذه الدائرة. يساوي نصف درجة قياس القوس الذي يرتكز عليه (الشكل 3).

يتم استدعاء دائرتين لهما مركز مشترك متراكز.

تسمى دائرتان متقاطعتان بزاوية قائمة متعامد.

محيط ومساحة الدائرة:

التسميات:
محيط - ج
طول القطر - د
طول نصف القطر - ص

معنىπ :
يُشار إلى نسبة محيط الدائرة إلى طول قطرها بالحرف اليوناني π (pi).

22
π = -
7

صيغة محيط:

C = πd، أو C = 2πr

الصيغ لمنطقة الدائرة:

كر
س = --
2

ب د2
س = ---
4

مساحة القطاع الدائري والقطعة الدائرية.

القطاع الدائريهو جزء الدائرة الواقع داخل الزاوية المركزية المقابلة لها.
صيغة لمنطقة القطاع الدائري:

بي آر 2
س = ---α
360

أين π - قيمة ثابتة تساوي 3.1416؛ ر - نصف قطر الدائرة؛ α - قياس درجة الزاوية المركزية المقابلة.

قطعة دائرية- هذا الجزء العامدائرة ونصف الطائرة.
صيغة مساحة القطعة الدائرية:

بي آر 2
س = ---α ± س Δ
360

أين α - قياس درجة الزاوية المركزية التي تحتوي على قوس هذا الجزء الدائري؛ س Δ - مساحة المثلث الذي تقع رؤوسه في وسط الدائرة وفي نهايات نصف القطر مما يحد القطاع المقابل.

يجب أن تؤخذ علامة الطرح عندما α< 180˚, а знак «плюс» надо брать, когда α >180˚.

معادلة الدائرة بالإحداثيات الديكارتيةس, ذ تتمركز عند النقطة (أ؛ ب):

(س -أ) 2 + (ص – ب) 2 = ر 2

دائرة محاطة بمثلث (الشكل 4).

دائرة منقوشة في مثلث (الشكل 5).

الزوايا المدرجه في دائرة (الشكل 3).

تسمى الزاوية التي يقع رأسها على دائرة ويتقاطع ضلعاها مع هذه الدائرة مكتوب في دائرة.

المفاهيم الأساسية:

زاوية تقسم المستوى إلى قسمين. ويسمى كل جزء من هذه الأجزاء زاوية مسطحة.

تسمى الزوايا المستوية ذات الجوانب المشتركة إضافي.

تسمى الزاوية المستوية التي يقع رأسها في مركز الدائرة الزاوية المركزية(الشكل 2)

التناسب بين أجزاء الأوتار وقطاعات الدائرة.

حالات وصيغ خاصة:

1) من النقطة C، الواقعة خارج الدائرة، ارسم مماسًا للدائرة وحدد نقطة اتصالها بالحرف D.

ثم نرسم قاطعًا من نفس النقطة C ونشير إلى نقاط تقاطع القاطع والدائرة بالحرفين A و B (الشكل 8).

في هذه الحالة:

القرص المضغوط 2 =مكيف الهواء ·قبل الميلاد

2) ارسم القطر AB على شكل دائرة. ثم، من النقطة C الموجودة على الدائرة، ارسم عموديًا على هذا القطر وحدد الجزء الناتج CD (الشكل 9).

في هذه الحالة:

القرص المضغوط 2 =إعلان. ·دينار بحريني.

دائرة- شكل هندسي يتكون من جميع نقاط المستوى الواقعة على مسافة معينة من نقطة معينة.

وتسمى هذه النقطة (O). مركز الدائرة.
نصف قطر الدائرة- هذا هو الجزء الذي يربط المركز بأي نقطة في الدائرة. جميع أنصاف الأقطار لها نفس الطول (حسب التعريف).
وتر- القطعة التي تربط نقطتين على الدائرة. يسمى الوتر الذي يمر عبر مركز الدائرة القطر. مركز الدائرة هو منتصف أي قطر.
أي نقطتين على الدائرة تقسمها إلى قسمين. ويسمى كل جزء من هذه الأجزاء قوس الدائرة. يسمى القوس نصف دائرةإذا كانت القطعة الواصلة بين طرفيها قطرا.
يُشار إلى طول نصف دائرة الوحدة بـ π .
مجموع قياسات درجات قوسين من دائرة ذات طرفين مشتركين يساوي 360 درجة.
يسمى الجزء من المستوى الذي تحيط به الدائرة في كل مكان.
القطاع الدائري- جزء من دائرة يحدها قوس ونصف قطرين يربطان طرفي القوس بمركز الدائرة. يسمى القوس الذي يحد القطاع قوس القطاع.
يتم استدعاء دائرتين لهما مركز مشترك متراكز.
تسمى دائرتان متقاطعتان بزاوية قائمة متعامد.

الموضع النسبي للخط المستقيم والدائرة

إذا كانت المسافة من مركز الدائرة إلى الخط المستقيم أقل من نصف قطر الدائرة ( د)، فإن الخط المستقيم والدائرة لديهما نقطتان مشتركتان. في هذه الحالة يتم استدعاء الخط قاطعفيما يتعلق بالدائرة.
إذا كانت المسافة من مركز الدائرة إلى الخط المستقيم تساوي نصف قطر الدائرة، فإن الخط المستقيم والدائرة لهما نقطة مشتركة واحدة فقط. هذا الخط يسمى مماس للدائرة، وتسمى النقطة المشتركة بينهما نقطة التماس بين الخط والدائرة.
إذا كانت المسافة من مركز الدائرة إلى الخط المستقيم أكبر من نصف قطر الدائرة، فالخط المستقيم والدائرة ليس لديهم نقاط مشتركة

الزوايا المركزية والمسجلة

الزاوية المركزيةهي زاوية رأسها يقع في مركز الدائرة.
زاوية مكتوبة- الزاوية التي يقع رأسها على دائرة ويتقاطع ضلعاها مع الدائرة.

نظرية الزاوية المنقوشة

تقاس الزاوية المحيطية بنصف القوس الذي تقع عليه.

النتيجة الطبيعية 1.
الزوايا المحيطية المقابلة لنفس القوس متساوية.

النتيجة الطبيعية 2.
الزاوية المحيطية التي يقابلها نصف دائرة هي زاوية قائمة.

نظرية حاصل ضرب شرائح الأوتار المتقاطعة.

إذا تقاطع وتران من دائرة، فإن حاصل ضرب قطعتي الوتر الواحد يساوي حاصل ضرب قطعتي الوتر الآخر.

الصيغ الأساسية

محيط:

ج = 2∙π∙R

طول القوس الدائري:

ص = С/(2∙π) = د/2

القطر:

D = C/π = 2∙R

طول القوس الدائري:

ل = (π∙R) / 180∙α,
أين α - قياس درجة طول القوس الدائري)

منطقة الدائرة:

S = π∙R 2

مساحة القطاع الدائري :

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

معادلة الدائرة

في نظام مستطيلالمعادلة الإحداثية لنصف قطر الدائرة صتتمركز في نقطة ما ج(x o;y o) له الشكل:

(س - س س) 2 + (ص - ص س) 2 = ص 2

معادلة دائرة نصف قطرها r ومركزها عند نقطة الأصل لها الشكل:

س 2 + ص 2 = ص 2

الدائرة عبارة عن خط منحني مغلق على مستوى، جميع نقاطه على مسافة واحدة من نقطة واحدة؛ وتسمى هذه النقطة مركز الدائرة.

يسمى الجزء من المستوى الذي تحده الدائرة بالدائرة.

يسمى الجزء المستقيم الذي يصل نقطة على الدائرة بمركزها بنصف القطر(الشكل 84).

بما أن جميع نقاط الدائرة تقع على نفس المسافة من المركز، فإن جميع أنصاف أقطار الدائرة نفسها متساوية مع بعضها البعض. يُشار عادةً إلى نصف القطر بالحرف رأو ص.

النقطة المأخوذة داخل دائرة تقع من مركزها على مسافة أقل من نصف القطر. من السهل التحقق من ذلك إذا قمت برسم نصف قطر عبر هذه النقطة (الشكل 85).

النقطة المأخوذة خارج الدائرة تقع من مركزها على مسافة أكبر من نصف القطر. يمكن التحقق من ذلك بسهولة عن طريق ربط هذه النقطة بمركز الدائرة (الشكل 85).

يسمى الجزء المستقيم الذي يصل بين نقطتين على الدائرة بالوتر.

الوتر الذي يمر عبر المركز يسمى القطر(الشكل 84). يُشار إلى القطر عادةً بالحرف D. القطر يساوي نصف قطر:

بما أن جميع أنصاف أقطار الدائرة نفسها متساوية، فإن جميع أقطار الدائرة المعطاة متساوية مع بعضها البعض.

نظرية. الوتر الذي لا يمر بمركز الدائرة أصغر من القطر المرسوم في نفس الدائرة.

في الواقع، إذا رسمنا بعض الوتر، على سبيل المثال AB، وقمنا بتوصيل طرفيه بالمركز O (الشكل 86)، فسنرى أن الوتر AB أقل من الخط المكسور AO + OB، أي AB r، ومنذ 2 ص= د، ثم أ ب

إذا كانت الدائرة عازمة على طول القطر (الشكل 87)، فسيتم محاذاة كلا أجزاء الدائرة والدائرة. يقسم القطر الدائرة والمحيط إلى قسمين متساويين.

تسمى دائرتان (دائرتان) متساويتين إذا كان من الممكن تركيبهما على بعضهما البعض بحيث تتطابقان.

لذلك، دائرتان (دائرتان) لهما أنصاف أقطار متساوية متساويان.

2. قوس الدائرة.

جزء من الدائرة يسمى قوس.

يتم أحيانًا استبدال كلمة "قوس" بالعلامة \(\breve( )\). يُشار إلى القوس بحرفين أو ثلاثة أحرف، يوضع اثنان منها في نهايات القوس، والثالث في نقطة ما على القوس. في الرسم 88، يُشار إلى قوسين: \(\breve(ACB)\) و\(\breve(ADB)\).

عندما يكون القوس أصغر من نصف دائرة، يُشار إليه عادةً بحرفين. وبالتالي، يمكن تعيين قوس ADB \(\breve(AB)\) (الشكل 88). يقال إن الوتر الذي يصل بين طرفي القوس يقابل القوس.

إذا قمنا بتحريك القوس AC (الشكل 89، أ) بحيث ينزلق على طول الدائرة المحددة، وإذا كان يتزامن في نفس الوقت مع القوس MN، فإن \(\breve(AC)\) = \(\breve (نانومتر)\).

في الرسم 89، ب، القوسان AC وAB ليسا متساويين. يبدأ كلا القوسين عند النقطة A، لكن القوس الواحد \(\breve(AB)\) ليس سوى جزء من القوس الآخر \(\breve(AC)\).

لذلك \(\breve(AC)\) > \(\breve(AB)\); \(\breve(AB)\)

بناء دائرة باستخدام ثلاث نقاط

مهمة. ارسم دائرة تمر بثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط.

دعونا نعطي ثلاث نقاط A وB وC التي لا تقع على نفس الخط المستقيم (الشكل 311).

دعونا نربط هذه النقاط بالقطاعين AB و BC. للعثور على نقاط متساوية البعد عن النقطتين A وB، قم بتقسيم القطعة AB إلى نصفين وارسم خطًا عموديًا على AB عبر المنتصف (النقطة M). كل نقطة من هذا العمودي تكون بعيدة بشكل متساوٍ عن النقطتين A وB.

للعثور على نقاط متساوية البعد عن النقطتين B وC، نقسم القطعة BC إلى نصفين ونرسم خطًا مستقيمًا عموديًا على BC عبر منتصفها (النقطة N). كل نقطة من هذا المتعامد تكون بعيدة بشكل متساوٍ عن النقطتين B وC.

ستكون النقطة O من تقاطع هذه المتعامدين على نفس المسافة من هذه النقاط A وB وC (AO = BO = CO). إذا أخذنا النقطة O كمركز دائرة نصف قطرها يساوي AO، ورسمنا دائرة، فسوف تمر بجميع النقاط المعطاة A وB وC.

النقطة O هي النقطة الوحيدة التي يمكن أن تكون بمثابة مركز الدائرة التي تمر عبر النقاط الثلاث A وB وC التي لا تقع على نفس الخط، حيث أن العمودين على القطع AB وBC يمكن أن يتقاطعا عند نقطة واحدة فقط. هذا يعني أن المشكلة لها حل فريد.

ملحوظة. إذا كانت ثلاث نقاط A وB وC تقع على نفس الخط، فلن يكون للمشكلة حل، لأن الخطوط المتعامدة على القطع AB وBC ستكون متوازية ولن تكون هناك نقطة متساوية البعد عن النقاط A وB وC ، أي النقطة التي يمكن أن تكون بمثابة مركز الدائرة المطلوبة.

إذا قمنا بتوصيل النقطتين A وC بقطعة ووصلنا منتصف هذا الجزء (النقطة K) بمركز الدائرة O، فسيكون OK عموديًا على AC (الشكل 311)، لأنه في المثلث المتساوي الساقين AOC OK هو الوسيط، وبالتالي OK⊥AC.

عاقبة. ثلاثة خطوط متعامدة على أضلاع مثلث مرسومة من منتصفها تتقاطع عند نقطة واحدة.

دائرةهو الشكل الذي يتكون من جميع النقاط على المستوى المتساوية البعد عن نقطة معينة. وتسمى هذه النقطة مركز الدائرة.

الدائرة التي نصف قطرها صفر (الدائرة المنحلة) هي نقطة؛ وفي بعض الأحيان يتم استبعاد هذه الحالة من التعريف.

يوتيوب الموسوعي

1 / 5

الدائرة وخصائصها (bezbotvy)

دائرة منقوشة ومحدودة - من bezbotvy

الرياضيات: التحضير لامتحان OGE وامتحان الدولة الموحدة. قياس المساحة. الدوائر وخصائصها

الرياضيات 26. البوصلات. الدائرة والدائرة - مدرسة شيشكينا

معادلة الدائرة. المهمة 18 (ج5). آرثر شريفوف

ترجمات

تعيين

إذا مرت دائرة مثلاً بالنقاط أ، ب، ج، فيتم الإشارة إليها من خلال الإشارة إلى هذه النقاط بين قوسين: (أ، ب، ج). ثم يُشار إلى قوس الدائرة التي تمر عبر النقاط A، B، C بالقوس ABC (أو القوس AC)، وكذلك υ ABC (أو υ AC).

تعريفات أخرى

دائرة القطر أ.ب أ، ب أ.بمرئية بزاوية قائمة (التعريف من خلال الزاوية يعتمد على قطر الدائرة).

دائرة مع وتر أ.بهو شخصية مكونة من النقاط أ، بوجميع نقاط المستوى الذي منه القطعة أ.بمرئية بزاوية ثابتة من جانب واحد، تساوي الزاوية المحيطية للقوس AB، وعلى زاوية ثابتة أخرى من الجانب الآخر، تساوي 180 درجة ناقص الزاوية المحيطية للقوس AB، المشار إليه أعلاه (التعريف من خلال زاوية منقوشة).
شخصية تتكون من هذه النقاط X , (\displaystyle X,)أن نسبة أطوال القطاعات الفأسو بي اكسباستمرار: A X B X = c ≠ 1 , (\displaystyle (\frac (AX)(BX))=c\neq 1,)هي دائرة (التعريف من خلال دائرة أبولونيوس).
الشكل الذي يتكون من جميع هذه النقاط، والتي يساوي مجموع مربعات المسافات إلى نقطتين معلومتين قيمة معينة أكبر من نصف مربع المسافة بين النقاط المعطاة، هو أيضًا دائرة (التعريف من خلال نظرية فيثاغورس التعسفية المثلث الأيمنمنقوش في دائرة، والوتر هو قطر الدائرة).
مارسم أي أوتار بداخله أ.ب, قرص مضغوط, إي إفالخ، فالمساواة صحيحة: أ M ⋅ M B = C M ⋅ M D = E M ⋅ M F = … (\displaystyle AM\cdot (MB)=CM\cdot (MD)=EM\cdot (MF)=\dots ). سيتم دائمًا تحقيق المساواة بغض النظر عن اختيار النقطة مواتجاهات الأوتار المرسومة من خلالها (التعريف من خلال الأوتار المتقاطعة).
الدائرة هي شكل مغلق غير متقاطع مع نفسه، ويتميز بالخاصية التالية: إذا من خلال نقطة تعسفية موخارجها ارسم مماسين لنقاط اتصالهما بالدائرة مثلا أو ب، فستكون أطوالها متساوية دائمًا: م أ = م ب (\displaystyle MA=MB). ستظل المساواة دائمًا بغض النظر عن اختيار النقطة م(التعريف من خلال الظلال المتساوية).
الدائرة هي شكل مغلق غير متقاطع مع نفسه، ويتميز بالخاصية التالية: نسبة طول أي من الأوتار إلى جيب أي منها زاوية مكتوبةبناءً على هذا الوتر، هي قيمة ثابتة تساوي قطر هذه الدائرة (التعريف من خلال نظرية الجيب).
الدائرة هي حالة خاصةالقطع الناقص، حيث تكون المسافة بين البؤرتين صفر (التعريف من حيث القطع الناقص المنحل).

التعريفات ذات الصلة لدائرة واحدة

يسمى الموقع الهندسي للنقاط في المستوى، الذي لا تكون المسافة منه إلى نقطة معينة أكبر من مسافة معينة غير الصفر، في كل مكان .
نصف القطر- ليس فقط المسافة، ولكن أيضًا الجزء الذي يربط مركز الدائرة بإحدى نقاطها. نصف القطر دائمًا نصف القطرالدوائر.
يكون نصف القطر دائمًا عموديًا على خط المماس المرسوم للدائرة عند النقطة المشتركة بينها وبين الدائرة. وهذا يعني أن نصف القطر هو أيضًا العمودي للدائرة.
تسمى الدائرة أعزب ، إذا كان نصف قطرها يساوي واحدًا. دائرة الوحدةهو أحد الأشياء الرئيسية في علم المثلثات.
يسمى الجزء الذي يربط بين نقطتين على الدائرة وتر. يسمى الوتر الذي يمر عبر مركز الدائرة القطر.
أي نقطتين غير متطابقتين على الدائرة تقسمها إلى قسمين. ويسمى كل جزء من هذه الأجزاء قوس الدائرة. يسمى القوس نصف دائرةإذا كانت القطعة الواصلة بين طرفيها قطرا.
يُشار إلى طول نصف دائرة الوحدة بـ .

يسمى الخط المستقيم الذي له نقطة مشتركة واحدة مع الدائرة الظلإلى دائرة، والنقطة المشتركة بينهما تسمى نقطة تماس الخط والدائرة.
الظلإلى الدائرة يكون دائمًا متعامدًا مع نصف القطر (والقطر) المرسوم عند نقطة الاتصال، وهو طبيعي، نفذت في هذه المرحلة.
يسمى الخط المستقيم الذي يمر بنقطتين مختلفتين على الدائرة قاطع.

تحديد المثلثات لدائرة واحدة

يسمى المثلث ABC مكتوب في دائرة(أ، ب، ج) إذا كانت رؤوسها الثلاثة أ، ب، ج تقع على هذه الدائرة. في هذه الحالة تسمى الدائرة دائرة مقيدة المثلث ABC(انظر الدائرة المقيدة).
الظلإلى الدائرة المرسومة عبر أي رأس من رؤوس المثلث المدرج فيها تكون موازية لجانب المثلث المقابل للرأس المعطى.
يسمى المثلث ABC محصورة حول دائرة(A,B,C") إذا لامست أضلاعها الثلاثة AB وBC وCA هذه الدائرة في بعض النقاط C وA" وB" على التوالي. في هذه الحالة تسمى الدائرة دائرة مكتوبةالمثلث ABC (انظر الدائرة المنقوشة).

تعريفات الزوايا لدائرة واحدة

الزاوية التي يشكلها قوس دائرة يساوي نصف قطرها تساوي 1 راديان.

المركزيةالزاوية - الزاوية التي يقع رأسها في مركز الدائرة. الزاوية المركزية تساوي قياس الراديان/الدرجة للقوس الذي تقع عليه (انظر الشكل).
منقوشة الزاوية - الزاوية التي يقع رأسها على دائرة ويتقاطع ضلعاها مع هذه الدائرة. زاوية مكتوبةيساوي نصف درجة القوس الذي يرتكز عليه (انظر الشكل).
الزاوية الخارجيةل منقوشة الزاوية - الزاوية التي يشكلها أحد الجانبين واستمرار الجانب الآخر منقوشةالزاوية (انظر الشكل. الزاوية θ بني). الزاوية الخارجيةلأن الزاوية المرسومة على الجانب الآخر من الدائرة لها نفس القيمة θ .
الزاوية بين الدائرة والخط المستقيم- الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم والمماس للدائرة عند نقطة تقاطع الخط المستقيم مع الدائرة. الزاويتان المحصورتان بين الدائرة المتقاطعة والخط المستقيم متساويتان.
الزاوية المقابلة لقطر الدائرة- زاوية محيطة في هذه الدائرة تحتوي أضلاعها على أطراف القطر. هو دائما مباشر.

التعريفات ذات الصلة لدائرتين

يتم استدعاء دائرتين لهما مركز مشترك متراكز.
يتم استدعاء دائرتين لهما نقطة مشتركة واحدة فقط بخصوص خارجيا، إذا لم يكن هناك نقاط مشتركة أخرى في دوائرهم، و داخلياإذا كانت دائرتهما تقع إحداهما داخل الأخرى.
تسمى دائرتان لهما نقطتان مشتركتان متقاطعة. وتتقاطع دوائرها (المحدودة بها) في منطقة تسمى قطعة الدائرة المزدوجة.
زاويةبين دائرتين متقاطعتين (أو مماسين) هي الزاوية بين مماسيهما المرسومة عند نقطة التقاطع المشتركة (أو مماس).
أيضًا زاويةبين دائرتين متقاطعتين (أو مماستين)، يمكننا أن نفكر في الزاوية بين أنصاف أقطارها (أقطارها) المرسومة عند نقطة التقاطع المشتركة (أو التماس).
نظرًا لأن نصف القطر (أو القطر) لأي دائرة والظل المرسوم عبر أي نقطة من الدائرة متعامدان بشكل متبادل، فيمكن اعتبار نصف القطر (أو القطر) طبيعيإلى دائرة مبنية عند نقطة معينة. وبالتالي، فإن نوعي الزوايا المحددين في الفقرتين السابقتين سيكونان دائمًا متساويين، مثل الزوايا ذات الجوانب المتعامدة.
تسمى الزاوية اليمنى متعامد. يمكن عد الدوائر متعامد، إذا شكلوا زاوية قائمة مع بعضهم البعض.
المحور الجذري لدائرتين- المحل الهندسي للنقاط التي تكون درجاتها بالنسبة لدائرتين متساويتين. بمعنى آخر، أطوال المماسات الأربعة المرسومة لدائرتين معلومتين من أي نقطة متساوية منظرا للموقع الهندسي للنقاط.

تعريفات الزاوية لدائرتين

الزاوية المحصورة بين دائرتين متقاطعتين- الزاوية بين مماسات الدوائر عند نقطة تقاطع هذه الدوائر. الزاويتان المحصورتان بين دائرتين متقاطعتين متساويتان.
الزاوية بين دائرتين منفصلتين- الزاوية بين مماسين مشتركين لدائرتين تكونتا عند نقطة تقاطع هذين الظلين. ويجب أن تقع نقطة تقاطع هذين المماسين بين الدائرتين، وليس على جانب إحداهما (لا تؤخذ هذه الزاوية بعين الاعتبار). الزاويتان الرأسيتان بين دائرتين منفصلتين متساويتان.

التعامد

تسمى دائرتان متقاطعتان بزاوية قائمة متعامد. يمكن عد الدوائر متعامد، إذا شكلوا زاوية قائمة مع بعضهم البعض.
تسمى دائرتان متقاطعتان عند النقطتين A وB ومركزهما O وO متعامد، إذا كانت الزاويتان OAO" وOBO" زاويتين قائمتين. هذا هو الشرط الذي يضمن الزاوية اليمنىبين الدوائر. في هذه الحالة، يكون نصف قطر الدائرتين متعامدًا مع نقطة تقاطعهما. وبالتالي، فإن مماسات الدائرتين المرسومتين إلى نقطة تقاطعهما تكون متعامدة أيضًا. يكون مماس الدائرة عموديًا على نصف القطر (العادي) المرسوم إلى نقطة التماس. عادة، الزاوية بين المنحنيات هي الزاوية بين مماساتها المرسومة عند نقطة تقاطعها.
شرط إضافي آخر ممكن. دع دائرتين تتقاطعان عند النقطتين A و B لهما نقاط منتصف الأقواس المتقاطعة عند النقطتين C و D، أي أن القوس AC يساوي القوس CB، والقوس AD يساوي القوس DB. ثم يتم استدعاء هذه الدوائر متعامد، إذا كانت الزاويتان CAD وCBD زاويتين قائمتين.

التعاريف ذات الصلة للدوائر الثلاث

تسمى الدوائر الثلاث متماسة (متقاطعة) إذا تلامست أي اثنتين منها (تقاطعت) مع بعضها البعض.
في الهندسة مركز جذريالدوائر الثلاث هي نقطة تقاطع المحاور الجذرية الثلاثة لأزواج الدوائر. إذا كان مركز الجذر يقع خارج الدوائر الثلاث فهو مركز دائرة واحدة ( دائرة جذرية)، الذي يتقاطع مع ثلاث دوائر معينة متعامد.

أرخميدس ليما

دليل

يترك جي (\displaystyle G)- التماثل الذي يحول الدائرة الصغيرة إلى دائرة كبيرة. ثم فمن الواضح أن ا 1 (\displaystyle A_(1))هو مركز هذه التجانسية. ثم على التوالي ب ج (\displaystyle قبل الميلاد)سوف تذهب إلى نوع من الخط المستقيم أ (\displaystyle أ)مماس للدائرة الكبرى، و ا 2 (\displaystyle A_(2))سوف يذهب إلى نقطة على هذا الخط وينتمي إلى دائرة كبيرة. وإذ نتذكر أن التجانس يحول الخطوط إلى خطوط موازية لها، فإننا نفهم ذلك أ ∥ ب ج (\displaystyle a\parallel BC). يترك غ (أ 2) = أ 3 (\displaystyle G(A_(2))=A_(3))و د (\displaystyle D)- نقطة على السطر أ (\displaystyle أ)، بحيث تكون حادة، و ه (\displaystyle E)- مثل هذه النقطة على السطر أ (\displaystyle أ)، ماذا ∠ ب أ 3 ه (\displaystyle \angle BA_(3)E)- حار. ثم منذ ذلك الحين أ (\displaystyle أ)- مماس للدائرة الكبرى ∠ ج أ 3 د (\displaystyle \angle CA_(3)D)= (\displaystyle =)∠ ج ب أ 3 (\displaystyle \angle CBA_(3))= ∠ B A 3 E = ∠ B C A 3 (\displaystyle =\angle BA_(3)E=\angle BCA_(3)). لذلك △ ب ج أ 3 (\displaystyle \bigtriangleup BCA_(3))- متساوي الساقين، وهو ما يعني ∠ ب أ 1 أ 3 = ∠ ج أ 1 أ 3 (\displaystyle \angle BA_(1)A_(3)=\angle CA_(1)A_(3))، إنه ا 1 ا 2 (\displaystyle A_(1)A_(2))- منصف الزاوية ∠ ب أ 1 ج (\displaystyle \angle BA_(1)C).

نظرية ديكارت لنصف قطر أربع دوائر مماسية زوجية

نظرية ديكارت"تنص على أن نصف قطر أي أربع دوائر مماسة بشكل متبادل تحقق معادلة تربيعية معينة. يطلق عليهم أحيانًا اسم دوائر Soddy.

ملكيات

س 2 + ص 2 = ر 2 .

(\displaystyle x^(2)+y^(2)=R^(2).) معادلة الدائرة التي تمر بالنقاط(x 1 , y 1) , (x 2 , y 2) , (x 3 , y 3) , (\displaystyle \left(x_(1),y_(1)\right),\left(x_(2) ،y_(2)\يمين)،\يسار(x_(3)،y_(3)\يمين)،)

عدم الاستلقاء على نفس الخط المستقيم (باستخدام المحدد): |< 2 π . {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+R\cos \varphi \\y=y_{0}+R\sin \varphi \end{cases}},\;\;\;0\leqslant \varphi <2\pi .}

س 2 + ص 2 × ص 1 × 1 2 + ص 1 2 × 1 ص 1 1 × 2 2 + ص 2 2 × 2 ص 2 1 × 3 2 + ص 3 2 × 3 ص 3 1 |

= 0. (\displaystyle (\begin(vmatrix)x^(2)+y^(2)&x&y&1\\x_(1)^(2)+y_(1)^(2)&x_(1)&y_(1) )&1\\x_(2)^(2)+y_(2)^(2)&x_(2)&y_(2)&1\\x_(3)^(2)+y_(3)^(2)&x_ (3)&y_(3)&1\end(vmatrix))=0.)

( x = x 0 + R cos ⁡ φ y = y 0 + R sin ⁡ φ , 0 ⩽ φ

في نظام الإحداثيات الديكارتية، الدائرة ليست رسمًا بيانيًا لدالة، ولكن يمكن وصفها بأنها اتحاد الرسوم البيانية للوظيفتين التاليتين:

y = y 0 ± R 2 − (x − x 0) 2 .

(\displaystyle y=y_(0)\pm (\sqrt (R^(2)-(x-x_(0))^(2))).) إذا تطابق مركز الدائرة مع نقطة الأصل، فإن الوظائف تأخذ الشكل:تتمركز في نقطة ما ص = ± R 2 − x 2 ..