صيغة المربعات الصغرى باستخدام معادلة خطية. الانحدارالخطي. باستخدام طريقة المربعات الصغرى (LSM). خوارزمية لتنفيذ طريقة المربعات الصغرى
مثال.
بيانات تجريبية على قيم المتغيرات Xو فيترد في الجدول.
نتيجة محاذاة الوظيفة 
استخدام طريقة التربيع الصغرى، تقريب هذه البيانات بالاعتماد الخطي ص = الفأس + ب(البحث عن المعلمات أو ب). اكتشف أي من الخطين أفضل (بمعنى طريقة المربعات الصغرى) يضبط البيانات التجريبية. جعل الرسم.
جوهر طريقة المربعات الصغرى (LSM).
تكمن المشكلة في إيجاد معاملات التبعية الخطية التي لها دالة متغيرين أو ب 
يأخذ أصغر قيمة. هذا هو ، بالنظر إلى البيانات أو بسيكون مجموع الانحرافات التربيعية للبيانات التجريبية من الخط المستقيم الموجود هو الأصغر. هذه هي النقطة الكاملة لطريقة المربعات الصغرى.
وبالتالي ، يتم تقليل حل المثال إلى إيجاد الحد الأقصى لدالة من متغيرين.
اشتقاق الصيغ لإيجاد المعاملات.
نظام من معادلتين مع مجهولين يتم تجميعها وحلها. إيجاد مشتقات جزئية لدالة فيما يتعلق بالمتغيرات أو ب، فنحن نساوي هذه المشتقات بصفر. 
نقوم بحل نظام المعادلات الناتج بأي طريقة (على سبيل المثال طريقة الاستبدالأو) والحصول على الصيغ لإيجاد المعاملات باستخدام طريقة المربعات الصغرى (LSM). 
مع البيانات أو بوظيفة يأخذ أصغر قيمة. يتم تقديم الدليل على هذه الحقيقة.
هذه هي الطريقة الكاملة للمربعات الصغرى. صيغة البحث عن المعلمة أيحتوي على المجاميع ، و ، والمعلمة ن- كمية البيانات التجريبية. يوصى بحساب قيم هذه المبالغ بشكل منفصل. معامل في الرياضيات او درجة بوجدت بعد الحساب أ.
حان الوقت لتذكر المثال الأصلي.
حل.
في مثالنا ن = 5. نقوم بملء الجدول لتسهيل حساب المبالغ التي تم تضمينها في صيغ المعاملات المطلوبة. 
يتم الحصول على القيم الموجودة في الصف الرابع من الجدول بضرب قيم الصف الثاني في قيم الصف الثالث لكل رقم أنا.
يتم الحصول على القيم الموجودة في الصف الخامس من الجدول بتربيع قيم الصف الثاني لكل رقم أنا.
قيم العمود الأخير في الجدول هي مجاميع القيم عبر الصفوف.
نستخدم معادلات طريقة المربعات الصغرى لإيجاد المعاملات أو ب. نستبدل بها القيم المقابلة من العمود الأخير في الجدول: 
لذلك، ص = 0.165 س + 2.184هو الخط المستقيم التقريبي المطلوب.
يبقى معرفة أي من الخطوط ص = 0.165 س + 2.184أو تقترب بشكل أفضل من البيانات الأصلية ، أي لعمل تقدير باستخدام طريقة المربعات الصغرى.
تقدير خطأ طريقة المربعات الصغرى.
للقيام بذلك ، تحتاج إلى حساب مجموع الانحرافات التربيعية للبيانات الأصلية من هذه السطور 
و 
، تتوافق القيمة الأصغر مع السطر الذي يقارب البيانات الأصلية بشكل أفضل من حيث طريقة المربعات الصغرى. 
منذ ذلك الحين الخط ص = 0.165 س + 2.184تقرب البيانات الأصلية بشكل أفضل.
رسم توضيحي لطريقة المربعات الصغرى (LSM).
كل شيء يبدو رائعا على الرسوم البيانية. الخط الأحمر هو الخط الموجود ص = 0.165 س + 2.184، الخط الأزرق ، النقاط الوردية هي البيانات الأصلية.
ما هذا ، ولماذا كل هذه التقريبات؟
أنا شخصياً أستخدمه لحل مشاكل تنعيم البيانات والاستيفاء والاستقراء (في المثال الأصلي ، قد يُطلب منك العثور على قيمة القيمة المرصودة ذفي س = 3او متى س = 6وفقًا لطريقة MNC). لكننا سنتحدث أكثر عن هذا لاحقًا في قسم آخر من الموقع.
دليل.
لذلك عندما وجدت أو بتأخذ الدالة أصغر قيمة ، فمن الضروري في هذه المرحلة أن تكون مصفوفة الشكل التربيعي للتفاضل من الدرجة الثانية للوظيفة كانت ايجابية مؤكدة. دعونا نظهر ذلك.
تقريب البيانات التجريبية هو طريقة تعتمد على استبدال البيانات التي تم الحصول عليها تجريبياً بوظيفة تحليلية تمر أو تتطابق بشكل وثيق عند النقاط العقدية مع القيم الأولية (البيانات التي تم الحصول عليها أثناء التجربة أو التجربة). يوجد حاليًا طريقتان لتحديد وظيفة تحليلية:
من خلال بناء استيفاء متعدد الحدود بدرجة n يمر مباشرة من خلال جميع النقاطمجموعة معينة من البيانات. في هذه الحالة ، يتم تمثيل دالة التقريب على النحو التالي: استيفاء متعدد الحدود في صيغة لاغرانج أو استيفاء متعدد الحدود في صيغة نيوتن.
من خلال بناء كثير الحدود التقريبي n- درجة يمر قريبة من النقاطمن مجموعة البيانات المحددة. وبالتالي ، تعمل وظيفة التقريب على تلطيف جميع الضوضاء العشوائية (أو الأخطاء) التي قد تحدث أثناء التجربة: تعتمد القيم المقاسة أثناء التجربة على عوامل عشوائية تتقلب وفقًا لقوانينها العشوائية (أخطاء القياس أو الأداة ، عدم الدقة أو التجريبية أخطاء). في هذه الحالة ، يتم تحديد دالة التقريب بطريقة المربعات الصغرى.
طريقة المربعات الصغرى(في الأدب الإنجليزي ، المربعات الصغرى العادية ، OLS) هي طريقة رياضية تعتمد على تعريف دالة تقريبية ، والتي تم إنشاؤها في أقرب نقطة من النقاط من مجموعة معينة من البيانات التجريبية. يتم تحديد القرب من الدالتين الأولي والتقريب F (x) بواسطة مقياس رقمي ، أي: يجب أن يكون مجموع الانحرافات التربيعية للبيانات التجريبية من المنحنى التقريبي F (x) هو الأصغر.
منحنى ملائم تم إنشاؤه بواسطة طريقة المربعات الصغرى
يتم استخدام طريقة المربعات الصغرى:
لحل أنظمة المعادلات شديدة التحديد عندما يتجاوز عدد المعادلات عدد المجهول ؛
للبحث عن حل في حالة أنظمة المعادلات غير الخطية العادية (غير المحددة بإفراط) ؛
لتقريب قيم النقطة ببعض الوظائف التقريبية.
يتم تحديد دالة التقريب بواسطة طريقة المربعات الصغرى من حالة الحد الأدنى لمجموع الانحرافات التربيعية لوظيفة التقريب المحسوبة من مجموعة معينة من البيانات التجريبية. تتم كتابة معيار طريقة المربعات الصغرى على النحو التالي:
قيم دالة التقريب المحسوبة عند النقاط العقدية ،
مجموعة محددة من البيانات التجريبية عند نقاط العقد.
يحتوي المعيار التربيعي على عدد من الخصائص "الجيدة" ، مثل التفاضل ، مما يوفر حلاً فريدًا لمشكلة التقريب مع وظائف تقريب متعددة الحدود.
اعتمادًا على ظروف المشكلة ، فإن دالة التقريب هي كثير حدود من الدرجة m
لا تعتمد درجة دالة التقريب على عدد النقاط العقدية ، ولكن يجب أن يكون بُعدها دائمًا أقل من بُعد (عدد النقاط) لمجموعة معينة من البيانات التجريبية.
∙ إذا كانت درجة دالة التقريب م = 1 ، فإننا نقرب دالة الجدول بخط مستقيم (الانحدار الخطي).
∙ إذا كانت درجة دالة التقريب م = 2 ، فإننا نقرب دالة الجدول بمكافئ تربيعي (تقريب تربيعي).
∙ إذا كانت درجة دالة التقريب م = 3 ، فإننا نقرب دالة الجدول بمقطع مكافئ مكعب (تقريب تكعيبي).
في الحالة العامة ، عندما يكون مطلوبًا إنشاء كثير حدود تقريبي للدرجة m لقيم جدولية معينة ، تتم إعادة كتابة شرط الحد الأدنى لمجموع الانحرافات التربيعية على جميع النقاط العقدية بالشكل التالي:
- معاملات غير معروفة لكثير الحدود التقريبي للدرجة م ؛
عدد قيم الجدول المحددة.
الشرط الضروري لوجود حد أدنى من الوظيفة هو المساواة إلى الصفر من مشتقاتها الجزئية فيما يتعلق بالمتغيرات غير المعروفة . نتيجة لذلك ، نحصل على نظام المعادلات التالي:
دعنا نحول نظام المعادلات الخطي الناتج: افتح الأقواس وانقل المصطلحات الحرة إلى الجانب الأيمن من التعبير. نتيجة لذلك ، سيتم كتابة النظام الناتج من التعبيرات الجبرية الخطية بالشكل التالي:
يمكن إعادة كتابة هذا النظام من التعبيرات الجبرية الخطية في شكل مصفوفة:
نتيجة لذلك ، تم الحصول على نظام المعادلات الخطية ذات البعد m + 1 ، والذي يتكون من m + 1 غير معروف. يمكن حل هذا النظام باستخدام أي طريقة لحل المعادلات الجبرية الخطية (على سبيل المثال ، طريقة غاوس). نتيجة للحل ، سيتم العثور على معلمات غير معروفة لوظيفة التقريب التي توفر الحد الأدنى لمجموع الانحرافات التربيعية لوظيفة التقريب من البيانات الأصلية ، أي أفضل تقريب تربيعي ممكن. يجب أن نتذكر أنه إذا تغيرت قيمة واحدة من البيانات الأولية ، فإن جميع المعاملات ستغير قيمها ، حيث يتم تحديدها بالكامل بواسطة البيانات الأولية.
تقريب البيانات الأولية بالاعتماد الخطي
(الانحدارالخطي)
كمثال ، ضع في اعتبارك طريقة تحديد دالة التقريب ، والتي يتم تقديمها كعلاقة خطية. وفقًا لطريقة المربعات الصغرى ، تتم كتابة شرط الحد الأدنى لمجموع الانحرافات المربعة على النحو التالي:
إحداثيات النقاط العقدية للجدول ؛
معاملات غير معروفة للدالة التقريبية ، والتي تُعطى كعلاقة خطية.
الشرط الضروري لوجود حد أدنى من الوظيفة هو المساواة إلى الصفر من مشتقاتها الجزئية فيما يتعلق بالمتغيرات غير المعروفة. نتيجة لذلك ، نحصل على نظام المعادلات التالي:
دعونا نحول النظام الخطي الناتج من المعادلات.
نحل نظام المعادلات الخطية الناتج. يتم تحديد معاملات دالة التقريب في الشكل التحليلي على النحو التالي (طريقة كرامر):
توفر هذه المعاملات بناء دالة تقريبية خطية وفقًا لمعيار تقليل مجموع مربعات دالة التقريب من قيم جدولية معينة (بيانات تجريبية).
خوارزمية لتنفيذ طريقة المربعات الصغرى
1. البيانات الأولية:
بالنظر إلى مجموعة من البيانات التجريبية مع عدد القياسات N
يتم إعطاء درجة التقريب كثير الحدود (م)
2. خوارزمية الحساب:
2.1. يتم تحديد المعاملات لبناء نظام معادلات ذات أبعاد
معاملات نظام المعادلات (الجانب الأيسر من المعادلة)
- فهرس رقم عمود المصفوفة المربعة لنظام المعادلات
الأعضاء الأحرار في نظام المعادلات الخطية (الجانب الأيمن من المعادلة)
- فهرس رقم صف المصفوفة المربعة لنظام المعادلات
2.2. تكوين نظام معادلات خطية ذات أبعاد.
2.3 حل نظام معادلات خطية لتحديد المعاملات غير المعروفة لكثير الحدود التقريبي للدرجة م.
2.4 تحديد مجموع الانحرافات التربيعية لكثير الحدود التقريبي من القيم الأولية على جميع النقاط العقدية
القيمة التي تم العثور عليها لمجموع الانحرافات التربيعية هي الحد الأدنى الممكن.
التقريب مع وظائف أخرى
تجدر الإشارة إلى أنه عند تقريب البيانات الأولية وفقًا لطريقة المربعات الصغرى ، تُستخدم أحيانًا دالة لوغاريتمية ودالة أسية ودالة طاقة كدالة تقريبية.
تقريب السجل
ضع في اعتبارك الحالة عندما يتم إعطاء دالة التقريب بواسطة دالة لوغاريتمية في النموذج:
اختيار نوع دالة الانحدار ، أي نوع النموذج المدروس لاعتماد Y على X (أو X على Y) ، على سبيل المثال ، نموذج خطي y x = a + bx ، من الضروري تحديد القيم المحددة لمعاملات النموذج.
لقيم مختلفة من a و b ، من الممكن بناء عدد لا حصر له من التبعيات بالشكل y x = a + bx ، أي ، هناك عدد لا حصر له من الأسطر على مستوى الإحداثيات ، لكننا بحاجة إلى مثل هذا الاعتماد الذي يتوافق مع القيم المرصودة بأفضل طريقة. وبالتالي ، يتم اختزال المشكلة في اختيار أفضل المعاملات.
نحن نبحث عن دالة خطية a + bx ، تعتمد فقط على عدد معين من الملاحظات المتاحة. للعثور على الوظيفة الأكثر ملاءمة للقيم الملاحظة ، نستخدم طريقة المربعات الصغرى.
دلالة: Y i - القيمة المحسوبة بالمعادلة Y i = a + bx i. y i - القيمة المقاسة ، ε i = y i -Y i - الفرق بين القيم المقاسة والمحسوبة ، ε i = y i -a-bx i.
تتطلب طريقة المربعات الصغرى أن يكون ε i ، الفرق بين y i المقاس وقيم Y i المحسوبة من المعادلة ، في حده الأدنى. لذلك ، نجد المعاملين a و b بحيث يكون مجموع الانحرافات التربيعية للقيم المرصودة من القيم الموجودة على خط الانحدار المستقيم هو الأصغر:
من خلال التحقيق في وظيفة الحجج هذه وبمساعدة المشتقات إلى أقصى حد ، يمكننا إثبات أن الدالة تأخذ قيمة دنيا إذا كان المعاملان a و b من حلول النظام:
(2)
إذا قسمنا طرفي المعادلات العادية على n ، نحصل على:
بشرط 
(3)
يحصل 
، من هنا ، باستبدال قيمة a في المعادلة الأولى ، نحصل على:
في هذه الحالة ، يسمى b معامل الانحدار ؛ أ يسمى العضو الحر في معادلة الانحدار ويتم حسابه بواسطة الصيغة:
الخط المستقيم الناتج هو تقدير لخط الانحدار النظري. لدينا:
لذا، 
هي معادلة انحدار خطي.
يمكن أن يكون الانحدار مباشرًا (b> 0) وعكسيًا (b مثال 1. نتائج قياس قيم X و Y معطاة في الجدول:
| س ط | -2 | 0 | 1 | 2 | 4 |
| ذ أنا | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 3 |
بافتراض وجود علاقة خطية بين X و Y y = a + bx ، حدد المعاملين a و b باستخدام طريقة المربعات الصغرى.
حل. هنا ن = 5
س ط = -2 + 0 + 1 + 2 + 4 = 5 ؛
س ط 2 = 4 + 0 + 1 + 4 + 16 = 25
س ط ص ط = -2 0.5 + 0 1 + 1 1.5 + 2 2 + 4 3 = 16.5
ص أنا = 0.5 + 1 + 1.5 + 2 + 3 = 8
والنظام العادي (2) له الشكل 
لحل هذا النظام ، نحصل على: ب = 0.425 ، أ = 1.175. لذلك ص = 1.175 + 0.425 س.
مثال 2. هناك عينة من 10 ملاحظات للمؤشرات الاقتصادية (X) و (Y).
| س ط | 180 | 172 | 173 | 169 | 175 | 170 | 179 | 170 | 167 | 174 |
| ذ أنا | 186 | 180 | 176 | 171 | 182 | 166 | 182 | 172 | 169 | 177 |
مطلوب العثور على نموذج معادلة انحدار Y على X. قم ببناء عينة لخط الانحدار Y على X.
حل. 1. لنفرز البيانات حسب القيمتين x i و y i. نحصل على طاولة جديدة:
| س ط | 167 | 169 | 170 | 170 | 172 | 173 | 174 | 175 | 179 | 180 |
| ذ أنا | 169 | 171 | 166 | 172 | 180 | 176 | 177 | 182 | 182 | 186 |
لتبسيط العمليات الحسابية ، سنقوم بتجميع جدول حساب ندخل فيه القيم العددية اللازمة.
| س ط | ذ أنا | س ط 2 | س ط ص ط |
| 167 | 169 | 27889 | 28223 |
| 169 | 171 | 28561 | 28899 |
| 170 | 166 | 28900 | 28220 |
| 170 | 172 | 28900 | 29240 |
| 172 | 180 | 29584 | 30960 |
| 173 | 176 | 29929 | 30448 |
| 174 | 177 | 30276 | 30798 |
| 175 | 182 | 30625 | 31850 |
| 179 | 182 | 32041 | 32578 |
| 180 | 186 | 32400 | 33480 |
| ∑x أنا = 1729 | أنا أنا = 1761 | ∑x ط 2 299105 | ∑x i y i = 304696 |
| س = 172.9 | ص = 176.1 | س ط 2 = 29910.5 | س ص = 30469.6 |
وفقًا للصيغة (4) ، نحسب معامل الانحدار
وبالصيغة (5)
وبالتالي ، فإن معادلة انحدار العينة تبدو مثل y = -59.34 + 1.3804x.
دعنا نرسم النقاط (x i؛ y i) على مستوى الإحداثيات ونضع علامة على خط الانحدار.
الشكل 4
يوضح الشكل 4 كيف توجد القيم الملاحظة بالنسبة إلى خط الانحدار. لتقدير انحرافات y i عن Y i عدديًا ، حيث y i هي قيم ملحوظة ، و Y i هي قيم يتم تحديدها بواسطة الانحدار ، سنقوم بعمل جدول:
| س ط | ذ أنا | نعم أنا | Y i -y i |
| 167 | 169 | 168.055 | -0.945 |
| 169 | 171 | 170.778 | -0.222 |
| 170 | 166 | 172.140 | 6.140 |
| 170 | 172 | 172.140 | 0.140 |
| 172 | 180 | 174.863 | -5.137 |
| 173 | 176 | 176.225 | 0.225 |
| 174 | 177 | 177.587 | 0.587 |
| 175 | 182 | 178.949 | -3.051 |
| 179 | 182 | 184.395 | 2.395 |
| 180 | 186 | 185.757 | -0.243 |
يتم حساب قيم Y i وفقًا لمعادلة الانحدار.
يتم تفسير الانحراف الملحوظ لبعض القيم المرصودة عن خط الانحدار من خلال العدد القليل من الملاحظات. عند دراسة درجة الاعتماد الخطي لـ Y على X ، يتم أخذ عدد الملاحظات في الاعتبار. يتم تحديد قوة الاعتماد من خلال قيمة معامل الارتباط.
الذي يجد أوسع تطبيق في مختلف مجالات العلم والممارسة. يمكن أن تكون الفيزياء والكيمياء والبيولوجيا والاقتصاد وعلم الاجتماع وعلم النفس وما إلى ذلك. بإرادة القدر ، غالبًا ما أتعامل مع الاقتصاد ، وبالتالي سأرتب لك اليوم تذكرة إلى بلد رائع يسمى الاقتصاد القياسي=) ... كيف لا تريد ذلك ؟! إنه جيد جدًا هناك - عليك فقط أن تقرر! … ولكن ما تريده بالتأكيد هو أن تتعلم كيفية حل المشكلات المربعات الصغرى. وعلى وجه الخصوص ، سيتعلم القراء المجتهدون حلها ليس فقط بدقة ، ولكن أيضًا بسرعة كبيرة ؛-) ولكن أولاً بيان عام للمشكلة+ مثال ذو صلة:
دع المؤشرات تدرس في بعض المجالات التي لها تعبير كمي. في الوقت نفسه ، هناك كل الأسباب للاعتقاد بأن المؤشر يعتمد على المؤشر. يمكن أن يكون هذا الافتراض فرضية علمية وقائمة على الفطرة السليمة. دعونا نترك العلم جانبًا ، ونستكشف المزيد من المجالات الشهية - مثل محلات البقالة. للدلالة به:
- مساحة البيع بالتجزئة لمتجر بقالة ، متر مربع ،
- حجم المبيعات السنوي لمتجر بقالة مليون روبل.
من الواضح تمامًا أنه كلما زادت مساحة المتجر ، زاد حجم مبيعاته في معظم الحالات.
افترض أنه بعد إجراء الملاحظات / التجارب / الحسابات / الرقص باستخدام الدف ، لدينا بيانات رقمية تحت تصرفنا: 
مع متاجر البقالة ، أعتقد أن كل شيء واضح: - هذه هي منطقة المتجر الأول ، - حجم مبيعاتها السنوي ، - مساحة المتجر الثاني ، - حجم مبيعاتها السنوية ، إلخ. بالمناسبة ، ليس من الضروري على الإطلاق الوصول إلى المواد المصنفة - يمكن الحصول على تقييم دقيق إلى حد ما لدوران باستخدام الإحصاء الرياضي. ومع ذلك ، لا تشتت انتباهك ، مسار التجسس التجاري مدفوع بالفعل =)
يمكن أيضًا كتابة البيانات الجدولية في شكل نقاط وتصويرها بالطريقة المعتادة بالنسبة لنا. النظام الديكارتي .
دعنا نجيب على سؤال مهم: كم عدد النقاط اللازمة لدراسة نوعية؟
كلما كان ذلك أفضل ، كلما كان ذلك أفضل. الحد الأدنى المسموح به للمجموعة يتكون من 5-6 نقاط. بالإضافة إلى ذلك ، مع وجود كمية صغيرة من البيانات ، لا ينبغي تضمين النتائج "غير الطبيعية" في العينة. لذلك ، على سبيل المثال ، يمكن لمتجر النخبة الصغير أن يساعد في تنفيذ أوامر من حيث الحجم أكبر من "زملائهم" ، مما يؤدي إلى تشويه النمط العام الذي يجب العثور عليه!
إذا كان الأمر بسيطًا للغاية ، فنحن بحاجة إلى اختيار وظيفة ، جدولالذي يمر أقرب ما يمكن من النقاط 
. تسمى هذه الوظيفة تقريبي
(تقريب - تقريب)أو الوظيفة النظرية
. بشكل عام ، يظهر هنا على الفور "متظاهر" واضح - متعدد الحدود من الدرجة العالية ، يمر الرسم البياني الخاص به عبر جميع النقاط. لكن هذا الخيار معقد ، وغالبًا ما يكون غير صحيح. (لأن الرسم البياني سوف "ينفخ" طوال الوقت ويعكس بشكل سيء الاتجاه الرئيسي).
وبالتالي ، يجب أن تكون الوظيفة المرغوبة بسيطة بما فيه الكفاية وتعكس في نفس الوقت التبعية بشكل كافٍ. كما قد تتخيل ، تسمى إحدى طرق العثور على هذه الوظائف المربعات الصغرى. أولاً ، دعنا نحلل جوهرها بطريقة عامة. دع بعض الوظائف تقرب البيانات التجريبية: 
كيف تقيم دقة هذا التقريب؟ دعونا نحسب أيضًا الفروق (الانحرافات) بين القيم التجريبية والوظيفية (ندرس الرسم). الفكرة الأولى التي تتبادر إلى الذهن هي تقدير حجم المجموع ، لكن المشكلة هي أن الاختلافات يمكن أن تكون سلبية. (على سبيل المثال، 
)
والانحرافات نتيجة لهذا الجمع تلغي بعضها البعض. لذلك ، كتقدير لدقة التقريب ، فإنه يقترح نفسه لأخذ المجموع الوحداتالانحرافات:
أو في شكل مطوي: (فجأة ، من لا يعرف: هو رمز الجمع ، وهو متغير مساعد - "عداد" ، يأخذ القيم من 1 إلى).
من خلال تقريب النقاط التجريبية بوظائف مختلفة ، سنحصل على قيم مختلفة لـ ، ومن الواضح أنه عندما يكون هذا المجموع أصغر ، تكون هذه الوظيفة أكثر دقة.
مثل هذا الأسلوب موجود ويسمى طريقة المعامل الأقل. ومع ذلك ، فقد أصبح من الناحية العملية أكثر انتشارًا. طريقة التربيع الصغرى، حيث يتم التخلص من القيم السلبية المحتملة ليس بواسطة المعامل ، ولكن عن طريق تربيع الانحرافات:
، وبعد ذلك يتم توجيه الجهود لاختيار مثل هذه الوظيفة التي مجموع الانحرافات التربيعية 
كانت صغيرة بقدر الإمكان. في الواقع ، ومن هنا جاء اسم الطريقة.
والآن نعود إلى نقطة مهمة أخرى: كما هو مذكور أعلاه ، يجب أن تكون الوظيفة المحددة بسيطة للغاية - ولكن هناك أيضًا العديد من هذه الوظائف: خطي , القطعي, متسارع, لوغاريتمي, من الدرجة الثانية إلخ. وبالطبع أود هنا على الفور "تقليص مجال النشاط". أي فئة من الوظائف تختار للبحث؟ تقنية بدائية لكنها فعالة:
- أسهل طريقة لرسم النقاط 
على الرسم وتحليل موقعهم. إذا كانت تميل إلى أن تكون في خط مستقيم ، فعليك البحث عنها معادلة الخط المستقيم 
مع القيم المثلى و. بعبارة أخرى ، تتمثل المهمة في العثور على هذه المعاملات - بحيث يكون مجموع الانحرافات التربيعية هو الأصغر.
إذا كانت النقاط موجودة ، على سبيل المثال ، على طول مقارنة مبالغ فيها، فمن الواضح أن الدالة الخطية ستعطي تقريبًا ضعيفًا. في هذه الحالة ، نبحث عن أكثر المعاملات "ملاءمة" لمعادلة القطع الزائد 
- تلك التي تعطي الحد الأدنى لمجموع المربعات 
.
لاحظ الآن أننا نتحدث في كلتا الحالتين وظائف متغيرين، الحجج التي البحث عن خيارات التبعية:
وفي جوهرها ، نحتاج إلى حل مشكلة معيارية - لإيجاد على الأقل دالة من متغيرين.
تذكر مثالنا: لنفترض أن نقاط "المتجر" تميل إلى أن تكون موجودة في خط مستقيم وأن هناك كل الأسباب للاعتقاد بوجود الاعتماد الخطيدوران من منطقة التجارة. دعنا نجد معاملي هذه "أ" و "تكون" بحيث يكون مجموع الانحرافات التربيعية 
كان الأصغر. كل شيء كالمعتاد - أولاً المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى. وفق القاعدة الخطيةيمكنك التفريق أسفل رمز المجموع: 
إذا كنت ترغب في استخدام هذه المعلومات لمقال أو ورقة بحثية ، فسأكون ممتنًا جدًا للرابط الموجود في قائمة المصادر ، فلن تجد مثل هذه الحسابات التفصيلية في أي مكان: 
لنصنع نظامًا قياسيًا: 
نقوم باختزال كل معادلة بـ "اثنين" ، بالإضافة إلى "تفكيك" المجاميع: 
ملحوظة
: تحليل بشكل مستقل لماذا يمكن حذف "a" و "be" من رمز المجموع. بالمناسبة ، رسميًا يمكن عمل ذلك بالمجموع
دعنا نعيد كتابة النظام في شكل "تطبيقي": 
وبعد ذلك يبدأ رسم خوارزمية حل مشكلتنا:
هل نعرف إحداثيات النقاط؟ نعلم. مسائل حسابية 
ممكن نجد بسهولة. نحن نؤلف أبسط نظام من معادلتين خطيتين مع مجهولين("a" و "beh"). نحل النظام ، على سبيل المثال ، طريقة كرامر، مما أدى إلى نقطة ثابتة. تدقيق حالة كافية لأقصى حد، يمكننا التحقق من أن الوظيفة في هذه المرحلة 
تصل بدقة الحد الأدنى. يرتبط التحقق بحسابات إضافية ، وبالتالي سنتركه وراء الكواليس. (إذا لزم الأمر ، يمكن عرض الإطار المفقود). نستخلص الاستنتاج النهائي:
وظيفة 
أفضل طريقة (على الأقل مقارنة بأي دالة خطية أخرى)تقرب النقاط التجريبية 
. بشكل تقريبي ، يمر الرسم البياني الخاص به في أقرب وقت ممكن من هذه النقاط. في التقاليد الاقتصاد القياسيتسمى أيضًا وظيفة التقريب الناتجة معادلة الانحدار الخطي المقترنة
.
المشكلة قيد النظر لها أهمية عملية كبيرة. في الحالة مع مثالنا ، المعادلة 
يسمح لك بالتنبؤ بنوع دوران ("yig")سيكون في المتجر بقيمة أو أخرى من قيمة منطقة البيع (معنى واحد أو آخر لـ "س"). نعم ، ستكون التوقعات الناتجة مجرد توقع ، ولكن في كثير من الحالات ستصبح دقيقة تمامًا.
سأقوم بتحليل مشكلة واحدة فقط بالأرقام "الحقيقية" ، حيث لا توجد صعوبات فيها - كل الحسابات تتم على مستوى المناهج الدراسية في الصفوف من 7 إلى 8. في 95٪ من الحالات ، سيُطلب منك العثور على دالة خطية فقط ، لكن في نهاية المقالة سأوضح أنه لم يعد من الصعب العثور على معادلات القطع الزائد والأسس وبعض الدوال الأخرى.
في الواقع ، يبقى توزيع الأشياء الجيدة الموعودة - حتى تتعلم كيفية حل مثل هذه الأمثلة ليس فقط بدقة ، ولكن أيضًا بسرعة. ندرس بعناية المعيار:
مهمة
نتيجة لدراسة العلاقة بين مؤشرين ، تم الحصول على أزواج الأرقام التالية: 
باستخدام طريقة المربعات الصغرى ، أوجد الدالة الخطية التي تقترب بشكل أفضل من العملية التجريبية (يختبر)بيانات. ارسم رسمًا ، في نظام إحداثيات مستطيل ديكارتي ، يرسم نقاطًا تجريبية ورسمًا بيانيًا للوظيفة التقريبية 
. أوجد مجموع الانحرافات التربيعية بين القيم التجريبية والنظرية. اكتشف ما إذا كانت الوظيفة أفضل (من حيث طريقة المربعات الصغرى)نقاط تجريبية تقريبية.
لاحظ أن قيم "x" هي قيم طبيعية ، وهذا له معنى مميز وذا معنى ، والذي سأتحدث عنه بعد قليل ؛ لكنها بالطبع يمكن أن تكون كسرية. بالإضافة إلى ذلك ، اعتمادًا على محتوى مهمة معينة ، يمكن أن تكون قيمتا "X" و "G" سالبة كليًا أو جزئيًا. حسنًا ، لقد تم تكليفنا بمهمة "مجهولة الهوية" ، ونبدأها حل:
نجد معاملات الوظيفة المثلى كحل للنظام: 
لأغراض تدوين أكثر إحكاما ، يمكن حذف متغير "العداد" ، لأنه من الواضح بالفعل أن الجمع يتم من 1 إلى.
من الأنسب حساب المبالغ المطلوبة في شكل جدول: 
يمكن إجراء الحسابات باستخدام آلة حاسبة صغيرة ، ولكن من الأفضل استخدام برنامج Excel - سواء بشكل أسرع أو بدون أخطاء ؛ شاهد فيديو قصير:
وهكذا ، نحصل على ما يلي نظام:
هنا يمكنك ضرب المعادلة الثانية في 3 و اطرح الثاني من مصطلح المعادلة الأول حسب المصطلح. لكن هذا هو الحظ - في الممارسة العملية ، غالبًا ما تكون الأنظمة غير موهوبة ، وفي مثل هذه الحالات يتم حفظها طريقة كرامر:
، لذلك فإن النظام لديه حل فريد.
لنقم بفحص. أتفهم أنني لا أريد ذلك ، لكن لماذا تتخطى الأخطاء حيث لا يمكنك تفويتها مطلقًا؟ عوّض عن الحل الموجود في الجانب الأيسر من كل معادلة في النظام:
يتم الحصول على الأجزاء الصحيحة من المعادلات المقابلة ، مما يعني أن النظام قد تم حله بشكل صحيح.
وبالتالي ، فإن وظيفة التقريب المطلوبة: - from جميع الوظائف الخطيةمن الأفضل تقريب البيانات التجريبية بواسطتها.
على عكس مستقيم
اعتماد دوران المتجر على منطقته ، والاعتماد الموجود هو يعكس
(مبدأ "الأكثر - الأقل")، ويتم الكشف عن هذه الحقيقة على الفور من خلال السلبية معامل الزاوي. وظيفة 
يخبرنا أنه مع زيادة مؤشر معين بمقدار وحدة واحدة ، تنخفض قيمة المؤشر التابع متوسطبمقدار 0.65 وحدة. كما يقولون ، كلما ارتفع سعر الحنطة السوداء ، قل بيعها.
لرسم دالة التقريب ، نجد اثنين من قيمها:
وتنفيذ الرسم: 
يسمى الخط الذي تم إنشاؤه خط الاتجاه
(أي ، خط الاتجاه الخطي ، أي في الحالة العامة ، الاتجاه ليس بالضرورة خطًا مستقيمًا). الجميع على دراية بتعبير "أن نكون في الاتجاه" ، وأعتقد أن هذا المصطلح لا يحتاج إلى تعليقات إضافية.
احسب مجموع الانحرافات التربيعية 
بين القيم التجريبية والنظرية. هندسيًا ، هذا هو مجموع مربعات أطوال المقاطع "القرمزية" (اثنان منها صغيرتان جدًا ولا يمكنك حتى رؤيتهما).
دعونا نلخص العمليات الحسابية في جدول: 
يمكن تنفيذها يدويًا مرة أخرى ، فقط في حالة ما إذا سأقدم مثالاً للنقطة الأولى: 
ولكن من الأكثر فاعلية القيام بالطريقة المعروفة بالفعل:
دعنا نكرر: ما معنى النتيجة؟من جميع الوظائف الخطيةوظيفة 
الأس هو الأصغر ، أي أنه أفضل تقريب في عائلته. وهنا ، بالمناسبة ، السؤال الأخير للمشكلة ليس عرضيًا: ماذا لو الوظيفة الأسية المقترحة 
هل سيكون من الأفضل تقريب النقاط التجريبية؟
دعنا نجد المجموع المقابل للانحرافات التربيعية - لتمييزها ، سأقوم بتعيينها بالحرف "إبسيلون". التقنية هي نفسها تمامًا: 
ومرة أخرى لكل حساب حريق للنقطة الأولى: 
في Excel ، نستخدم الوظيفة القياسية EXP (يمكن العثور على بناء الجملة في تعليمات Excel).
خاتمة: ، لذا فإن الدالة الأسية تقترب من النقاط التجريبية أسوأ من الخط المستقيم 
.
ولكن تجدر الإشارة هنا إلى أن "الأسوأ" هو لا يعني بعد، ما الخطأ. لقد قمت الآن ببناء رسم بياني لهذه الدالة الأسية - وهو أيضًا يمر بالقرب من النقاط 
- لدرجة أنه بدون دراسة تحليلية يصعب تحديد الوظيفة الأكثر دقة.
هذا يكمل الحل ، وأعود إلى مسألة القيم الطبيعية للحجة. في دراسات مختلفة ، كقاعدة عامة ، يتم ترقيم الأشهر أو السنوات أو الفترات الزمنية المتساوية الأخرى بعلامة "X" طبيعية أو اقتصادية أو اجتماعية. ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، مثل هذه المشكلة.
أنا مبرمج الكمبيوتر. لقد حققت أكبر قفزة في مسيرتي عندما تعلمت أن أقول: "أنا لا أفهم شيئا!"الآن لا أخجل من إخبار نجم العلم بأنه يلقي لي محاضرة ، وأنني لا أفهم ما الذي يتحدث عنه ، النجم اللامع. وهذا صعب للغاية. نعم ، من الصعب والمحرج الاعتراف بأنك لا تعرف. من يحب أن يعترف بأنه لا يعرف أساسيات شيء ما هناك. بحكم مهنتي ، لا بد لي من حضور عدد كبير من المحاضرات والمحاضرات ، حيث أشعر بالنعاس في الغالبية العظمى من الحالات ، لأنني لا أفهم شيئًا. وأنا لا أفهم لأن المشكلة الضخمة للوضع الحالي في العلوم تكمن في الرياضيات. يفترض أن جميع الطلاب على دراية بجميع مجالات الرياضيات (وهو أمر سخيف). إن الاعتراف بأنك لا تعرف ما هو المشتق (أن هذا متأخر قليلاً) هو عار.
لكنني تعلمت أن أقول إنني لا أعرف ما هو الضرب. نعم ، لا أعرف ما هو الجبر الفرعي على جبر الكذب. نعم ، لا أعرف سبب الحاجة إلى المعادلات التربيعية في الحياة. بالمناسبة ، إذا كنت متأكدًا من أنك تعرف ، فلدينا شيء نتحدث عنه! الرياضيات عبارة عن سلسلة من الحيل. يحاول علماء الرياضيات إرباك الجمهور وتخويفهم ؛ حيث لا يوجد ارتباك ولا سمعة ولا سلطة. نعم ، إنه لأمر مرموق التحدث بأكثر لغة مجردة ممكنة ، وهذا مجرد هراء في حد ذاته.
هل تعرف ما هو المشتق؟ على الأرجح ستخبرني عن حد علاقة الاختلاف. في السنة الأولى للرياضيات في جامعة ولاية سانت بطرسبرغ ، فيكتور بتروفيتش خافين لي مُعرفمشتق كمعامل للمصطلح الأول لسلسلة تايلور للوظيفة عند النقطة (كان جمبازًا منفصلاً لتحديد سلسلة تايلور بدون مشتقات). ضحكت على هذا التعريف لفترة طويلة ، حتى فهمت أخيرًا ما يدور حوله. المشتق ليس أكثر من مجرد قياس لمدى تشابه الدالة التي نشتقها مع الدالة y = x ، y = x ^ 2 ، y = x ^ 3.
يشرفني الآن أن أحاضر الطلاب الذين خائفالرياضيات. إذا كنت تخاف من الرياضيات - فنحن في الطريق. بمجرد أن تحاول قراءة بعض النصوص ويبدو لك أنها معقدة للغاية ، فاعلم أنها مكتوبة بشكل سيئ. أنا أزعم أنه لا توجد منطقة واحدة في الرياضيات لا يمكن التحدث عنها "على الأصابع" دون فقدان الدقة.
التحدي الذي يواجه المستقبل القريب: لقد وجهت طلابي لفهم ماهية أداة التحكم الخطية التربيعية. لا تخجل ، تضيع ثلاث دقائق من حياتك ، اتبع الرابط. إذا كنت لا تفهم شيئًا ، فنحن في الطريق. أنا (عالم رياضيات-مبرمج محترف) لم أفهم شيئًا أيضًا. وأؤكد لكم أنه يمكن تسوية ذلك "على الأصابع". في الوقت الحالي لا أعرف ما هو ، لكنني أؤكد لكم أننا سنكون قادرين على معرفة ذلك.
لذا ، فإن المحاضرة الأولى التي سأقدمها لطلابي بعد أن يأتوا إليّ وهم يركضون في حالة من الرعب مع الكلمات التي تقول إن أداة التحكم الخطية التربيعية هي خلل فظيع لن تتقنه أبدًا في حياتك طرق المربعات الصغرى. هل يمكنك حل المعادلات الخطية؟ إذا كنت تقرأ هذا النص ، فعلى الأرجح لا.
لذلك ، بالنظر إلى نقطتين (x0 ، y0) ، (x1 ، y1) ، على سبيل المثال ، (1،1) و (3،2) ، فإن المهمة هي إيجاد معادلة خط مستقيم يمر عبر هاتين النقطتين:
توضيح
يجب أن يكون لهذا الخط المستقيم معادلة مثل ما يلي:
هنا لا نعرف ألفا وبيتا ، لكن نقطتين من هذا الخط معروفان:
يمكنك كتابة هذه المعادلة في شكل مصفوفة:
هنا يجب أن نجري استطراداً غنائياً: ما هي المصفوفة؟ المصفوفة ليست سوى مصفوفة ثنائية الأبعاد. هذه طريقة لتخزين البيانات ، ولا يجب إعطاء المزيد من القيم لها. الأمر متروك لنا بالضبط لتفسير مصفوفة معينة. بشكل دوري ، سأفسرها على أنها رسم خرائط خطي ، وبشكل دوري كشكل تربيعي ، وأحيانًا ببساطة كمجموعة من المتجهات. سيتم توضيح كل هذا في السياق.
دعنا نستبدل المصفوفات المحددة بتمثيلها الرمزي:
ثم يمكن العثور بسهولة على (alpha، beta):
بشكل أكثر تحديدًا لبياناتنا السابقة:
مما يؤدي إلى المعادلة التالية لخط مستقيم يمر بالنقطتين (1،1) و (3،2):
حسنًا ، كل شيء واضح هنا. ولنجد معادلة الخط المستقيم المار ثلاثةالنقاط: (x0، y0)، (x1، y1) و (x2، y2):
أوه أوه أوه ، لكن لدينا ثلاث معادلات لاثنين من المجهولين! سيقول عالم الرياضيات القياسي أنه لا يوجد حل. ماذا سيقول المبرمج؟ وسيعيد كتابة نظام المعادلات السابق أولاً بالشكل التالي:
في حالتنا ، المتجهات i و j و b ثلاثية الأبعاد ، لذلك (في الحالة العامة) لا يوجد حل لهذا النظام. أي متجه (alpha \ * i + beta \ * j) يقع في المستوى الممتد بواسطة المتجهات (i، j). إذا كانت b لا تنتمي إلى هذا المستوى ، فلا يوجد حل (لا يمكن تحقيق المساواة في المعادلة). ما يجب القيام به؟ دعونا نبحث عن حل وسط. دعونا نشير بواسطة ه (ألفا ، بيتا)كيف بالضبط لم نحقق المساواة:
وسنحاول تقليل هذا الخطأ:
لماذا مربع؟
نحن لا نبحث فقط عن الحد الأدنى من القاعدة ، ولكن عن الحد الأدنى من مربع القاعدة. لماذا؟ تتطابق النقطة الدنيا نفسها ، ويعطي المربع وظيفة سلسة (دالة تربيعية للوسيطات (ألفا ، بيتا)) ، بينما يعطي الطول فقط وظيفة في شكل مخروط ، غير قابل للتفاضل عند أدنى نقطة. برر. المربع هو أكثر ملاءمة.
من الواضح أن الخطأ يتم تصغيره عندما يكون المتجه همتعامد مع الطائرة التي امتدت من قبل المتجهات أناو ي.
توضيح
بمعنى آخر: نحن نبحث عن خط بحيث يكون مجموع الأطوال التربيعية للمسافات من جميع النقاط إلى هذا الخط ضئيلًا:
تحديث: هنا لدي دعامة ، يجب قياس المسافة إلى الخط عموديًا ، وليس الإسقاط الإملائي. المعلق على حق.
توضيح
بكلمات مختلفة تمامًا (بعناية ، غير رسمية بشكل جيد ، ولكن يجب أن تكون واضحة على الأصابع): نأخذ جميع الخطوط الممكنة بين جميع أزواج النقاط ونبحث عن الخط المتوسط بين الكل:
توضيح
تفسير آخر على الأصابع: نعلق زنبركًا بين جميع نقاط البيانات (لدينا هنا ثلاث نقاط) والخط الذي نبحث عنه ، وخط حالة التوازن هو بالضبط ما نبحث عنه.
شكل تربيعي الحد الأدنى
لذلك ، بالنظر إلى المتجه بويمتد المستوى بواسطة متجهات أعمدة المصفوفة أ(في هذه الحالة (x0، x1، x2) و (1،1،1)) ، نحن نبحث عن متجه هبحد أدنى للطول. من الواضح أن الحد الأدنى يمكن تحقيقه فقط للمتجه ه، متعامد مع المستوى الممتد بواسطة متجهات أعمدة المصفوفة أ:بمعنى آخر ، نحن نبحث عن متجه x = (alpha، beta) بحيث:
أذكرك أن هذا المتجه x = (alpha، beta) هو الحد الأدنى للدالة التربيعية || e (alpha، beta) || ^ 2:
من المفيد هنا أن نتذكر أنه يمكن تفسير المصفوفة وكذلك الشكل التربيعي ، على سبيل المثال ، يمكن تفسير مصفوفة الهوية ((1،0) ، (0،1)) على أنها دالة في x ^ 2 + y ^ 2:
شكل تربيعي
يُعرف كل هذا الجمباز بالانحدار الخطي.
معادلة لابلاس مع شرط حدود ديريتشليت
الآن أبسط مشكلة حقيقية: هناك سطح مثلثي معين ، من الضروري تنعيمه. على سبيل المثال ، لنقم بتحميل نموذج وجهي:
الالتزام الأصلي متاح. لتقليل التبعيات الخارجية ، أخذت رمز عارض البرامج الخاص بي ، الموجود بالفعل على Habré. لحل النظام الخطي ، أستخدم OpenNL ، إنه حل رائع ، لكن من الصعب جدًا تثبيته: تحتاج إلى نسخ ملفين (.h + .c) إلى مجلد مشروعك. كل التجانس يتم بواسطة الكود التالي:
لـ (int د = 0 ؛ د<3; d++) {
nlNewContext();
nlSolverParameteri(NL_NB_VARIABLES, verts.size());
nlSolverParameteri(NL_LEAST_SQUARES, NL_TRUE);
nlBegin(NL_SYSTEM);
nlBegin(NL_MATRIX);
for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) {
nlBegin(NL_ROW);
nlCoefficient(i, 1);
nlRightHandSide(verts[i][d]);
nlEnd(NL_ROW);
}
for (unsigned int i=0; i
إحداثيات X و Y و Z قابلة للفصل ، وأنا أقوم بتنعيمها بشكل منفصل. أي أنني قمت بحل ثلاثة أنظمة من المعادلات الخطية ، لكل منها نفس عدد المتغيرات مثل عدد الرؤوس في نموذجي. الصفوف n الأولى من المصفوفة A بها صف واحد فقط لكل صف ، وأول n من الصفوف من المتجه b لها إحداثيات النموذج الأصلي. أي أنني أربط بين موضع الرأس الجديد وموضع الرأس القديم - لا ينبغي أن تكون الموضع الجديد بعيدًا جدًا عن الموضع القديم.
جميع الصفوف اللاحقة من المصفوفة A (الوجوه. الحجم () * 3 = عدد حواف كل المثلثات في الشبكة) لها تكرار واحد للعدد 1 وتكرار واحد هو -1 ، بينما المتجه ب له مكونات صفرية متقابلة. هذا يعني أنني وضعت زنبركًا على كل حافة من شبكتنا المثلثية: تحاول جميع الحواف الحصول على نفس رأس نقطة البداية والنهاية.
مرة أخرى: جميع الرؤوس متغيرات ، ولا يمكنها أن تنحرف بعيدًا عن موضعها الأصلي ، لكنها في نفس الوقت تحاول أن تصبح متشابهة مع بعضها البعض.
ها هي النتيجة:
سيكون كل شيء على ما يرام ، فالنموذج ناعم حقًا ، لكنه ابتعد عن حافته الأصلية. دعنا نغير الكود قليلاً:
لـ (int i = 0 ؛ i<(int)verts.size(); i++) { float scale = border[i] ? 1000: 1; nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, scale); nlRightHandSide(scale*verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); }
في المصفوفة A ، بالنسبة للرؤوس الموجودة على الحافة ، لا أضيف صفًا من الفئة v_i = verts [i] [d] ، ولكن أضف 1000 * v_i = 1000 * verts [i] [d]. ماذا تغير؟ وهذا يغير الصيغة التربيعية للخطأ. الآن لن يكلف الانحراف الفردي عن القمة عند الحافة وحدة واحدة ، كما كان من قبل ، ولكن 1000 * 1000 وحدة. أي أننا علقنا زنبركًا أقوى على القمم المتطرفة ، يفضل الحل أن يمد الآخرين بقوة أكبر. ها هي النتيجة:
لنضاعف قوة الينابيع بين القمم:
معامل nl (الوجه [j] ، 2) ؛ معامل nl (الوجه [(j + 1)٪ 3] ، -2) ؛
من المنطقي أن يصبح السطح أكثر سلاسة:
والآن أقوى بمئة مرة:
ما هذا؟ تخيل أننا غمسنا حلقة سلكية في الماء والصابون. نتيجة لذلك ، سيحاول فيلم الصابون الناتج الحصول على أقل انحناء ممكن ، بحيث يلامس نفس الحد - حلقة الأسلاك الخاصة بنا. هذا بالضبط ما حصلنا عليه من خلال إصلاح الحدود وطلب سطح أملس بالداخل. تهانينا ، لقد حللنا للتو معادلة لابلاس بشروط حدود ديريتشليت. يبدو جيدا؟ ولكن في الواقع ، هناك نظام واحد فقط من المعادلات الخطية لحلها.
معادلة بواسون
دعونا نحصل على اسم رائع آخر.لنفترض أن لدي صورة مثل هذه:
الجميع بخير ، لكني لا أحب الكرسي.
قطعت الصورة إلى نصفين: 
وسأختار كرسي بيدي: 
ثم سأقوم بسحب كل ما هو أبيض في القناع إلى الجانب الأيسر من الصورة ، وفي نفس الوقت سأقول طوال الصورة بأكملها أن الاختلاف بين وحدتي بكسل متجاورتين يجب أن يكون مساويًا للفرق بين وحدتي بكسل متجاورتين. الصورة الصحيحة:
لـ (int i = 0 ؛ i ها هي النتيجة: لدي عدد من الصور لعينات نسيج مثل هذه: مهمتي هي صنع زخارف سلسة من صور بهذه الجودة. أولاً ، أبحث (تلقائيًا) عن نمط متكرر: إذا قمت بقص هذا المربع الرباعي هنا ، فبسبب التشوهات ، لن تتقارب الحواف ، إليك مثال على نمط مكرر أربع مرات: نص مخفي هنا جزء حيث يكون التماس مرئيًا بوضوح: لذلك ، لن أقطع على طول خط مستقيم ، ها هو خط القطع: نص مخفي وهنا يتكرر النمط أربع مرات: نص مخفي وشظتها لتوضيحها: أفضل بالفعل ، لم يتم القطع في خط مستقيم ، متجاوزًا جميع أنواع تجعيد الشعر ، ولكن لا يزال التماس مرئيًا بسبب الإضاءة غير المستوية في الصورة الأصلية. هذا هو المكان الذي يتم فيه إنقاذ طريقة المربعات الصغرى لمعادلة بواسون. ها هي النتيجة النهائية بعد محاذاة الإضاءة: تبين أن الملمس سلس تمامًا ، وكل هذا تلقائيًا من صورة ذات جودة متواضعة للغاية. لا تخف من الرياضيات ، ابحث عن تفسيرات بسيطة ، وستكون محظوظًا في الهندسة.
مثال من الحياة الواقعية
أنا عمدا لم تلحس النتائج ، لأن. أردت فقط أن أوضح بالضبط كيف يمكنك تطبيق أساليب المربعات الصغرى ، هذا رمز تدريب. اسمحوا لي الآن أن أعطي مثالا من الحياة: 
يبحث
قد نخطرك بالمقالات الجديدة ،