يتم النظر بالتفصيل في أمثلة حلول التكاملات حسب الأجزاء ، والتي تحتوي تكاملها على اللوغاريتم ، قوس الزاوية ، قوس ظل الزاوية ، وكذلك اللوغاريتم لقوة عددية ولوغاريتم كثير الحدود.

محتوى

أنظر أيضا: طريقة التكامل بالأجزاء
جدول التكاملات غير المحددة
طرق حساب التكاملات غير المحددة
الوظائف الأساسية الأساسية وخصائصها

صيغة التكامل حسب الأجزاء

أدناه ، عند حل الأمثلة ، يتم تطبيق صيغة التكامل على حدة:
;
.

أمثلة على التكاملات التي تحتوي على اللوغاريتم والدوال المثلثية العكسية

فيما يلي أمثلة للتكاملات التي تتكامل حسب الأجزاء:
, , , , , , .

عند الدمج ، يتم الإشارة إلى هذا الجزء من التكامل والذي يحتوي على اللوغاريتم أو الدوال المثلثية العكسية بواسطة u ، والباقي - بواسطة dv.

فيما يلي أمثلة مع حلول مفصلة لهذه التكاملات.

مثال لوغاريتم بسيط

نحسب التكامل الذي يحتوي على حاصل ضرب كثير الحدود واللوغاريتم:

هنا يحتوي التكامل على اللوغاريتم. عمل بدائل
ش = ln x، dv = x 2 dx. ثم
,
.

نتكامل بالأجزاء.
.

.
ثم
.
في نهاية الحسابات نضيف الثابت C.

مثال على لوغاريتم أس 2

لنأخذ مثالاً يتضمن فيه التكامل و اللوغاريتم لقوة صحيحة. يمكن أيضًا أن تتكامل هذه التكاملات مع الأجزاء.

عمل بدائل
ش = (ln x) 2، dv = x dx. ثم
,
.

يتم حساب التكامل المتبقي أيضًا بالأجزاء:
.
بديل
.

مثال حيث تكون وسيطة اللوغاريتم كثيرة الحدود

جزئيًا ، يمكن حساب التكاملات ، التي يتضمن تكاملها لوغاريتمًا تكون حجته دالة متعددة الحدود أو عقلانية أو غير منطقية. كمثال ، دعنا نحسب التكامل مع اللوغاريتم الذي تكون سعته متعددة الحدود.
.

عمل بدائل
ش = تسجيل الدخول (× 2-1)، dv = x dx.
ثم
,
.

نحسب التكامل المتبقي:
.
لا نكتب علامة المقياس هنا. ln | × 2-1 |، لأن التكامل معرّف لـ x 2 - 1 > 0 . بديل
.

مثال قوس قزح

ضع في اعتبارك مثالًا للتكامل الذي يشتمل على التكامل و القوس.
.

عمل بدائل
ش = أركسين x,
.
ثم
,
.

علاوة على ذلك ، نلاحظ أنه تم تعريف التكامل و | x |< 1 . نوسع علامة المقياس تحت اللوغاريتم ، مع مراعاة ذلك 1 - س> 0و 1 + س> 0.

مثال قوس الظل

دعنا نحل مثال قوس الظل:
.

نتكامل بالأجزاء.
.
لنأخذ الجزء الصحيح من الكسر:
x 8 = س 8 + س 6 - س 6 - س 4 + س 4 + x 2 - س 2-1 + 1 = (× 2 + 1) (× 6 - × 4 + × 2-1) + 1;
.
ندمج:
.
أخيرا لدينا.

مضاد ومتكامل

1. مضاد. تسمى الوظيفة F (x) المشتقة العكسية للدالة f (x) على الفاصل الزمني X ، إذا كانت المساواة F "(x) \ u003d f (x) لأي x من X

T.7.13 (إذا كانت F (x) مشتقة عكسية للدالة f (x) في الفترة X ، فإن الوظيفة f (x) لها عدد لا نهائي من المشتقات العكسية ، وكل هذه المشتقات العكسية لها شكل F (x) + С ، حيث С ثابت تعسفي (الخاصية الرئيسية للمشتق العكسي).

2. جدول المشتقات العكسية. بالنظر إلى أن إيجاد المشتق العكسي هو عملية معكوسة للتفاضل ، وبدءًا من جدول المشتقات ، نحصل على الجدول التالي للمشتقات العكسية (للتبسيط ، يوضح الجدول مشتقًا عكسيًا واحدًا F (x) ، وليس الشكل العام للمشتقات العكسية F (خ) + ج):

	عكسي		عكسي

الدالة العكسية واللوغاريتمية

دالة لوغاريتمية ، دالة معكوسة للدالة الأسية. L. و. يعني

تسمى قيمتها y ، المقابلة لقيمة الوسيطة x ، اللوغاريتم الطبيعي للعدد x. بحكم التعريف ، العلاقة (1) تعادل

(البريد رقم غير نظير). منذ ey> 0 لأي y حقيقي ، ثم L. f. يتم تعريفه فقط من أجل x> 0. بمعنى أكثر عمومية ، L. f. استدعاء الوظيفة

لوغاريتم متكامل بدرجة عكسية

حيث أ> 0 (أ؟ 1) هي قاعدة عشوائية من اللوغاريتمات. ومع ذلك ، في التحليل الرياضي ، تعتبر وظيفة InX ذات أهمية خاصة ؛ يتم تقليل وظيفة logaX إليها بواسطة الصيغة:

حيث م = 1 / في أ. L. و. - إحدى الوظائف الأساسية الرئيسية ؛ يسمى الرسم البياني الخاص به (الشكل 1) باللوغاريتمات. الخصائص الرئيسية لـ L. f. تتبع من الخصائص المقابلة للدالة الأسية واللوغاريتمات ؛ على سبيل المثال ، L. f. يفي بالمعادلة الوظيفية

ل 1< х, 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:

يتم التعبير عن العديد من التكاملات من حيث L. f .؛ على سبيل المثال

L. و. يحدث بشكل متكرر في حساب التفاضل والتكامل وتطبيقاته.

L. و. كان معروفًا جيدًا لعلماء الرياضيات في القرن السابع عشر. لأول مرة ، تم النظر في العلاقة بين المتغيرات ، التي عبر عنها L. f. ، بواسطة J. Napier (1614). قدم العلاقة بين الأرقام واللوغاريتمات الخاصة بهم باستخدام نقطتين تتحركان على طول خطوط مستقيمة متوازية (الشكل 2). أحدهما (Y) يتحرك بشكل موحد ، بدءًا من C ، والآخر (X) ، بدءًا من A ، يتحرك بسرعة تتناسب مع المسافة من B. إذا وضعنا SU = y ، XB = x ، إذن ، وفقًا لـ هذا التعريف ،

dx / dy = - kx ، من أين.

L. و. على المستوى المركب ، يتم تعريف دالة متعددة القيم (ذات قيمة غير محدودة) لجميع قيم الوسيطة z؟ 0 تدل على Lnz. فرع لا لبس فيه من هذه الوظيفة ، كما هو محدد

Inz \ u003d In؟ z؟ + i arg z،

حيث arg z هي سعة العدد المركب z ، تسمى القيمة الأساسية لـ L. f. لدينا

Lnz = lnz + 2kpi ، k = 0 ، ± 1 ، ± 2 ، ...

جميع قيم L. f. للسالب: z الحقيقية هي أعداد مركبة. أول نظرية مرضية لـ L. f. في الطائرة المعقدة قدمها L. Euler (1749) ، الذي انطلق من التعريف

تكامل اجزاء. أمثلة الحل

مرحبا مجددا. سنتعلم اليوم في الدرس كيفية التكامل حسب الأجزاء. تعتبر طريقة التكامل بالأجزاء أحد الأركان الأساسية لحساب التفاضل والتكامل المتكامل. في الاختبار ، الاختبار ، يُعرض على الطالب دائمًا حل تكاملات الأنواع التالية: أبسط تكامل (انظر المقال)أو جزء لا يتجزأ من تغيير المتغير (انظر المقال)أو التكامل فقط طريقة التكامل بالأجزاء.

كما هو الحال دائمًا ، يجب أن تكون في متناول اليد: جدول التكاملاتو جدول مشتق. إذا كنت لا تزال لا تملكها ، فيرجى زيارة مخزن موقعي: الصيغ والجداول الرياضية. لن أتعب من التكرار - من الأفضل طباعة كل شيء. سأحاول تقديم جميع المواد بطريقة متسقة وبسيطة ويمكن الوصول إليها ؛ لا توجد صعوبات معينة في الدمج حسب الأجزاء.

ما المشكلة التي يحلها التكامل بالأجزاء؟ طريقة التكامل بالأجزاء تحل مشكلة مهمة للغاية ، فهي تسمح لك بدمج بعض الوظائف غير الموجودة في الجدول ، عملوظائف ، وفي بعض الحالات - وخاصة. كما نتذكر ، لا توجد صيغة ملائمة: . لكن هناك هذا: هي صيغة التكامل حسب الأجزاء الشخصية. أعلم ، أعلم ، أنت الوحيد - معها سنعمل الدرس بأكمله (إنه أسهل بالفعل).

وعلى الفور القائمة في الاستوديو. يتم أخذ تكاملات الأنواع التالية حسب الأجزاء:

1) , ، - اللوغاريتم ، اللوغاريتم مضروبًا في بعض كثيرة الحدود.

2) ,هي دالة أسية مضروبة في بعض كثيرة الحدود. يتضمن هذا أيضًا التكاملات مثل - دالة أسية مضروبة في كثير حدود ، لكنها عمليًا هي 97 بالمائة ، ويتفاخر الحرف "e" الجميل تحت التكامل. ... تبين أن المقال شيء غنائي ، نعم ... لقد حان الربيع.

3) , ، هي دوال مثلثية مضروبة في بعض كثيرات الحدود.

4) ، - الدوال المثلثية العكسية ("الأقواس") ، "الأقواس" ، مضروبة في بعض كثيرة الحدود.

أيضًا ، يتم أخذ بعض الكسور في أجزاء ، وسننظر أيضًا في الأمثلة المقابلة بالتفصيل.

تكاملات اللوغاريتمات

مثال 1

كلاسيك. من وقت لآخر ، يمكن العثور على هذا التكامل في الجداول ، لكن من غير المرغوب فيه استخدام إجابة جاهزة ، لأن المعلم مصاب بمرض البري بري في الربيع وسيوبخ كثيرًا. لأن التكامل قيد الدراسة ليس جدولي بأي حال من الأحوال - فهو مأخوذ في أجزاء. نحن نقرر:

نقطع الحل للحصول على تفسيرات وسيطة.

نستخدم صيغة التكامل بالأجزاء:

يتم تطبيق الصيغة من اليسار إلى اليمين

ننظر إلى الجانب الأيسر:. من الواضح ، في مثالنا (وفي كل الأمثلة الأخرى التي سننظر فيها) ، يجب الإشارة إلى شيء ما ، وشيء ما.

في تكاملات النوع قيد الدراسة ، نشير دائمًا إلى اللوغاريتم.

من الناحية الفنية ، يتم تنفيذ تصميم الحل على النحو التالي ، نكتب في العمود:

هذا هو ، لأننا أشرنا إلى اللوغاريتم ، و- الجزء المتبقي Integrand.

الخطوة التالية: ابحث عن التفاضل:

الفرق هو نفسه تقريبًا مثل المشتق ، لقد ناقشنا بالفعل كيفية العثور عليه في الدروس السابقة.

الآن نجد الدالة. من أجل العثور على الوظيفة ، من الضروري التكامل الجانب الأيمنمساواة أقل:

الآن نفتح الحل ونبني الجانب الأيمن من الصيغة:.
بالمناسبة ، إليك مثال لحل نهائي مع بعض الملاحظات:

اللحظة الوحيدة في المنتج ، قمت بإعادة الترتيب على الفور ، وبما أنه من المعتاد كتابة المضاعف قبل اللوغاريتم.

كما ترى ، فإن تطبيق صيغة التكامل على حدة أدى بشكل أساسي إلى تقليل الحل إلى تكاملين بسيطين.

يرجى ملاحظة أنه في بعض الحالات تماما بعدعند تطبيق الصيغة ، يتم إجراء التبسيط بالضرورة ضمن التكامل المتبقي - في المثال قيد الدراسة ، قمنا بتقليل التكامل و "x".

لنقم بفحص. للقيام بذلك ، عليك أن تأخذ مشتق الإجابة:

تم الحصول على التكامل الأصلي ، مما يعني أن التكامل قد تم حله بشكل صحيح.

أثناء التحقق ، استخدمنا قاعدة تمايز المنتج: . وهذه ليست مصادفة.

صيغة التكامل حسب الأجزاء والصيغة هذه قاعدتان مقلوبتان.

مثال 2

أوجد التكامل غير المحدد.

المُتكامل هو حاصل ضرب اللوغاريتم وكثير الحدود.
نحن نقرر.

سأصف مرة أخرى بالتفصيل الإجراء الخاص بتطبيق القاعدة ، في المستقبل سيتم عرض الأمثلة بإيجاز أكثر ، وإذا واجهت أي صعوبات في حلها بنفسك ، فأنت بحاجة إلى العودة إلى المثالين الأولين من الدرس .

كما ذكرنا سابقًا ، من الضروري تعيين اللوغاريتم (حقيقة أنه في درجة لا يهم). نشير الجزء المتبقي Integrand.

نكتب في عمود:

أولاً نجد التفاضل:

هنا نستخدم قاعدة اشتقاق دالة معقدة . ليس من قبيل المصادفة أن في الدرس الأول للموضوع تكامل غير محدد. أمثلة الحللقد ركزت على حقيقة أنه من أجل إتقان التكاملات ، تحتاج إلى "الحصول على يدك" على المشتقات. يجب أن تواجه المشتقات أكثر من مرة.

الآن نجد الدالة ، لذلك نتكامل الجانب الأيمنمساواة أقل:

من أجل التكامل ، طبقنا أبسط صيغة جدولية

أنت الآن جاهز لتطبيق الصيغة . نفتحه بعلامة النجمة و "نصمم" الحل وفقًا للجانب الأيمن:

تحت التكامل ، لدينا مرة أخرى كثيرة الحدود في اللوغاريتم! لذلك ، تتم مقاطعة الحل مرة أخرى ويتم تطبيق قاعدة التكامل بالأجزاء مرة أخرى. لا تنس أنه في حالات مماثلة ، يتم دائمًا الإشارة إلى اللوغاريتم.

سيكون من الجيد أن تتمكن في هذه المرحلة من إيجاد أبسط التكاملات والمشتقات شفهيًا.

(1) لا ترتبك في العلامات! غالبًا ما يتم فقد علامة ناقص هنا ، لاحظ أيضًا أن علامة الطرح تنطبق للجميعقوس ، ويجب فتح هذه الأقواس بشكل صحيح.

(2) قم بتوسيع الأقواس. نبسط التكامل الأخير.

(3) نأخذ التكامل الأخير.

(4) "تمشيط" الجواب.

إن الحاجة إلى تطبيق قاعدة التكامل بالأجزاء مرتين (أو حتى ثلاث مرات) أمر شائع.

والآن بعض الأمثلة لحل مستقل:

مثال 3

أوجد التكامل غير المحدد.

يتم حل هذا المثال عن طريق تغيير طريقة المتغير (أو الاندماج تحت العلامة التفاضلية)! ولماذا لا - يمكنك محاولة تناوله على أجزاء ، تحصل على شيء مضحك.

مثال 4

أوجد التكامل غير المحدد.

لكن هذا التكامل يتكامل مع الأجزاء (الكسر الموعود).

هذه أمثلة على الحل الذاتي والحلول والإجابات في نهاية الدرس.

يبدو أنه في الأمثلة 3،4 تتشابه عمليات التكامل ، لكن طرق الحل مختلفة! هذه بالضبط هي الصعوبة الرئيسية في إتقان التكاملات - إذا اخترت طريقة خاطئة لحل التكامل ، فيمكنك العبث بها لساعات ، كما هو الحال مع اللغز الحقيقي. لذلك ، كلما حللت العديد من التكاملات ، كلما كان الاختبار والاختبار أسهل. بالإضافة إلى ذلك ، في السنة الثانية ستكون هناك معادلات تفاضلية ، وبدون خبرة في حل التكاملات والمشتقات لا يوجد شيء يمكن القيام به هناك.

من خلال اللوغاريتمات ، ربما أكثر من كافية. بالنسبة لوجبة خفيفة ، يمكنني أيضًا أن أتذكر أن طلاب التكنولوجيا يطلقون على لوغاريتمات ثدي الإناث =). بالمناسبة ، من المفيد أن تعرف عن ظهر قلب الرسوم البيانية للوظائف الأولية الرئيسية: الجيب وجيب التمام والظل القوسي والأس ، ومتعدد الحدود من الدرجة الثالثة والرابعة ، إلخ. لا ، بالطبع ، الواقي الذكري على الكرة الأرضية
لن أسحب ، لكن الآن ستتذكر الكثير من القسم الرسوم البيانية والوظائف =).

تكاملات الأس مضروبة في كثير الحدود

قاعدة عامة:

مثال 5

أوجد التكامل غير المحدد.

باستخدام خوارزمية مألوفة ، ندمج حسب الأجزاء:

إذا واجهت أي صعوبات في التكامل ، فعليك العودة إلى المقالة طريقة التغيير المتغير في تكامل غير محدد.

الشيء الآخر الوحيد الذي يجب فعله هو "تمشيط" الإجابة:

ولكن إذا لم تكن تقنية الحساب الخاصة بك جيدة جدًا ، فاترك الخيار الأكثر ربحية كإجابة. او حتى

بمعنى ، يعتبر المثال محلولًا عند أخذ آخر تكامل. لن يكون هذا خطأ ، إنها مسألة أخرى قد يطلبها المعلم لتبسيط الإجابة.

مثال 6

أوجد التكامل غير المحدد.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". تم دمج هذا التكامل مرتين بأجزاء. يجب إيلاء اهتمام خاص للإشارات - من السهل الخلط بينها ، ونتذكر أيضًا ذلك - وظيفة معقدة.

ليس هناك الكثير ليقال عن العارضين. يمكنني فقط أن أضيف أن اللوغاريتم الأسي والطبيعي هما وظيفتان عكسيتان ، هذا أنا في موضوع الرسوم البيانية المسلية للرياضيات العليا =) توقف ، توقف ، لا تقلق ، المحاضر رصين.

تكاملات الدوال المثلثية مضروبة في كثير الحدود

قاعدة عامة: دائما لتقف على كثير الحدود

مثال 7

أوجد التكامل غير المحدد.

التكامل بالأجزاء:

هممم ... ولا شيء للتعليق عليه.

المثال 8

أوجد التكامل غير المحدد

هذا مثال لحل افعل ذلك بنفسك

المثال 9

أوجد التكامل غير المحدد

مثال آخر مع كسر. كما في المثالين السابقين ، يتم الإشارة إلى كثير الحدود بواسطة.

التكامل بالأجزاء:

إذا واجهت أي صعوبات أو سوء فهم في العثور على التكامل ، فإنني أوصي بحضور الدرس تكاملات الدوال المثلثية.

المثال 10

أوجد التكامل غير المحدد

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك".

تلميح: قبل استخدام طريقة التكامل حسب الأجزاء ، يجب عليك تطبيق بعض المعادلات المثلثية التي تحول ناتج دالتين مثلثتين إلى دالة واحدة. يمكن أيضًا استخدام الصيغة في سياق تطبيق طريقة التكامل حسب الأجزاء ، والتي تكون أكثر ملاءمة لها.

ربما هذا كل شيء في هذه الفقرة. لسبب ما ، تذكرت سطرًا من نشيد قسم الفيزياء والرياضيات "وموجة الرسم البياني الجيبية بعد الموجة تسير على طول محور الإحداثي" ....

تكاملات الدوال المثلثية العكسية.
تكاملات الدوال المثلثية العكسية مضروبة في كثير الحدود

قاعدة عامة: دائمًا ما يرمز إلى الدالة المثلثية العكسية.

أذكرك أن الدوال المثلثية العكسية تشمل القوسين ، القوسين ، قوس ظل الزاوية ، قوس ظل القوس. من أجل الإيجاز ، سأشير إليهم على أنهم "أقواس"

التكاملات المعقدة

تكمل هذه المقالة موضوع التكاملات غير المحددة ، وتتضمن التكاملات التي أعتبرها صعبة للغاية. تم إنشاء الدرس بناءً على طلب متكرر من الزوار الذين أعربوا عن رغبتهم في تحليل أمثلة أكثر صعوبة على الموقع.

من المفترض أن قارئ هذا النص مستعد جيدًا ويعرف كيفية تطبيق تقنيات التكامل الأساسية. يجب على الدمى والأشخاص غير الواثقين جدًا من التكاملات الرجوع إلى الدرس الأول - تكامل غير محدد. أمثلة الحلحيث يمكنك تعلم الموضوع من الصفر تقريبًا. يمكن للطلاب الأكثر خبرة التعرف على تقنيات وأساليب التكامل ، والتي لم تتم مواجهتها بعد في مقالاتي.

ما التكاملات التي سيتم النظر فيها؟

أولاً ، نعتبر التكاملات ذات الجذور ، والتي نستخدم الحل لها تباعاً استبدال متغيرو تكامل اجزاء. هذا ، في أحد الأمثلة ، يتم الجمع بين طريقتين في وقت واحد. وحتى اكثر.

ثم سوف نتعرف على شيء مثير للاهتمام ومبتكرة طريقة تقليل تكامل نفسه. لم يتم حل عدد قليل من التكاملات بهذه الطريقة.

سيكون الرقم الثالث من البرنامج عبارة عن تكاملات للكسور المعقدة ، والتي تجاوزت السجل النقدي في المقالات السابقة.

رابعًا ، سيتم تحليل التكاملات الإضافية من الدوال المثلثية. على وجه الخصوص ، هناك طرق تتجنب الاستبدال المثلثي الشامل الذي يستغرق وقتًا طويلاً.

(2) في التكامل ، نقسم البسط على حد المقام على حد.

(3) نستخدم خاصية الخطية للتكامل غير المحدد. في التكامل الأخير ، على الفور ضع الوظيفة تحت علامة التفاضل.

(4) نأخذ التكاملات المتبقية. لاحظ أنه يمكنك استخدام الأقواس في اللوغاريتم وليس في المعامل ، لأن.

(5) نقوم بإجراء الاستبدال العكسي ، معبرًا من الاستبدال المباشر "te":

يمكن للطلاب الماسوشيين التفريق بين الإجابة والحصول على التكامل الأصلي ، كما فعلت للتو. لا ، لا ، لقد أجريت الشيك بالمعنى الصحيح =)

كما ترى ، في سياق الحل ، كان لا بد من استخدام أكثر من طريقتين للحل ، لذلك للتعامل مع مثل هذه التكاملات ، فأنت بحاجة إلى مهارات تكامل واثقة وليس أقل خبرة.

من الناحية العملية ، بالطبع ، الجذر التربيعي أكثر شيوعًا ، وهنا ثلاثة أمثلة لحل مستقل:

مثال 2

أوجد التكامل غير المحدد

مثال 3

أوجد التكامل غير المحدد

مثال 4

أوجد التكامل غير المحدد

هذه الأمثلة من نفس النوع ، لذا فإن الحل الكامل في نهاية المقالة سيكون فقط للمثال 2 ، في الأمثلة 3-4 - إجابة واحدة. أي بديل يجب استخدامه في بداية القرارات ، على ما أعتقد ، واضح. لماذا اخترت نفس النوع من الأمثلة؟ غالبا ما توجد في أدوارهم. في كثير من الأحيان ، ربما ، شيء من هذا القبيل .

ولكن ليس دائمًا ، عندما يكون جذر الدالة الخطية تحت قوس الظل ، وجيب الجيب ، وجيب التمام ، والأس ، ووظائف أخرى ، يجب تطبيق عدة طرق في وقت واحد. في عدد من الحالات ، من الممكن "النزول بسهولة" ، أي بعد الاستبدال مباشرة ، يتم الحصول على تكامل بسيط ، والذي يتم أخذه بشكل أساسي. أسهل المهام المقترحة أعلاه هو المثال 4 ، حيث يتم الحصول على تكامل بسيط نسبيًا بعد الاستبدال.

طريقة اختزال التكامل في نفسه

طريقة ذكية وجميلة. دعونا نلقي نظرة على كلاسيكيات هذا النوع:

مثال 5

أوجد التكامل غير المحدد

يوجد مربع ذو حدين تحت الجذر ، وعند محاولة دمج هذا المثال ، يمكن أن يعاني إبريق الشاي لساعات. يتم أخذ هذا التكامل بالأجزاء ويختزل لنفسه. من حيث المبدأ ، ليس من الصعب. إذا كنت تعرف كيف.

دعنا نشير إلى التكامل المدروس بحرف لاتيني ونبدأ الحل:

التكامل بالأجزاء:

(1) نقوم بإعداد التكامل والتقسيم على أساس كل مصطلح على حدة.

(2) نقسم التكامل والمصطلح حسب المصطلح. ربما لا يفهم الجميع ، سأكتب بمزيد من التفصيل:

(3) نستخدم خاصية الخطية للتكامل غير المحدد.

(4) نأخذ التكامل الأخير (لوغاريتم طويل).

الآن دعونا نلقي نظرة على بداية الحل:

وللنهاية:

ماذا حدث؟ نتيجة لتلاعباتنا ، تضاءل التكامل في نفسه!

مساواة البداية والنهاية:

ننتقل إلى الجانب الأيسر مع تغيير العلامة:

ونقوم بهدم الشيطان إلى الجانب الأيمن. نتيجة ل:

كان يجب إضافة الثابت ، بالمعنى الدقيق للكلمة ، في وقت سابق ، لكنني أضفته في النهاية. أوصي بشدة بقراءة ما هي الخطورة هنا:

ملحوظة: بشكل أكثر دقة ، تبدو المرحلة النهائية من الحل كما يلي:

هكذا:

يمكن إعادة تسمية الثابت بـ. لماذا يمكنك إعادة تسمية؟ لأنه لا يزال يتطلب أيالقيم ، وبهذا المعنى لا فرق بين الثوابت و.
نتيجة ل:

حيلة مماثلة مع إعادة تسمية ثابتة تستخدم على نطاق واسع في المعادلات التفاضلية. وهناك سأكون صارما. وهنا لا أسمح بمثل هذه الحريات إلا من أجل عدم الخلط بينك وبين الأشياء غير الضرورية والتركيز على طريقة التكامل ذاتها.

مثال 6

أوجد التكامل غير المحدد

تكامل نموذجي آخر للحل المستقل. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس. سيكون الاختلاف مع إجابة المثال السابق!

إذا كان هناك مربع ثلاثي الحدود تحت الجذر التربيعي ، فإن الحل في أي حال يختزل إلى المثالين اللذين تم تحليلهما.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك التكامل . كل ما عليك القيام به هو مقدما حدد مربعًا كاملاً:
.
بعد ذلك ، يتم تنفيذ الاستبدال الخطي الذي يدير "دون أي عواقب":
، مما أدى إلى تكامل. شيء مألوف ، أليس كذلك؟

أو هذا المثال ذو الحدين المربع:
اختيار مربع كامل:
وبعد الاستبدال الخطي ، نحصل على التكامل ، والذي يتم أيضًا حله بواسطة الخوارزمية المدروسة بالفعل.

ضع في اعتبارك مثالين نموذجيين آخرين لكيفية تقليل جزء لا يتجزأ من نفسه:
هو تكامل الأس مضروبًا في الجيب ؛
هو تكامل الأس مضروبًا في جيب التمام.

في التكاملات المدرجة حسب الأجزاء ، سيتعين عليك التكامل مرتين بالفعل:

مثال 7

أوجد التكامل غير المحدد

التكامل هو الأس مضروبًا في الجيب.

نتكامل بالأجزاء مرتين ونختزل التكامل في نفسه:

نتيجة التكامل المزدوج بالأجزاء ، يتم تقليل التكامل إلى نفسه. يساوي بداية الحل ونهايته:

ننتقل إلى الجانب الأيسر مع تغيير العلامة ونعبر عن تكاملنا:

مستعد. على طول الطريق ، من المستحسن تمشيط الجانب الأيمن ، أي خذ الأس من الأقواس وضع الجيب وجيب التمام بين قوسين بترتيب "جميل".

لنعد الآن إلى بداية المثال ، أو بالأحرى إلى التكامل بالأجزاء:

لأننا عيّننا العارض. السؤال الذي يطرح نفسه ، هو الأس الذي يجب أن يُشار إليه دائمًا؟ ليس من الضروري. في الواقع ، في يعتبر لا يتجزأ جوهريا لا يهم، ما الذي يجب الإشارة إليه ، يمكن للمرء أن يسير في الاتجاه الآخر:

لماذا هذا ممكن؟ لأن الأس يتحول إلى نفسه (عند التفريق والتكامل) ، يتحول الجيب وجيب التمام بشكل متبادل (مرة أخرى ، عند التفريق والدمج).

أي أنه يمكن الإشارة إلى الدالة المثلثية أيضًا. لكن ، في المثال المدروس ، هذا أقل عقلانية ، حيث ستظهر الكسور. إذا كنت ترغب في ذلك ، يمكنك محاولة حل هذا المثال بالطريقة الثانية ، يجب أن تكون الإجابات هي نفسها.

المثال 8

أوجد التكامل غير المحدد

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". قبل أن تقرر ، فكر في ما هو الأكثر ربحية في هذه الحالة لتعيينه للدالة الأسية أو المثلثية؟ الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

وبالطبع ، لا تنس أن معظم الإجابات في هذا الدرس يسهل التحقق منها عن طريق التفاضل!

لم تعتبر الأمثلة هي الأصعب. في الممارسة العملية ، تكون التكاملات أكثر شيوعًا ، حيث يكون الثابت في كل من الأس وفي وسيطة الدالة المثلثية ، على سبيل المثال:. سيتعين على الكثير من الناس الخلط في مثل هذا التكامل ، وغالبًا ما أشعر بالارتباك. الحقيقة هي أنه في الحل هناك احتمال كبير لظهور الكسور ، ومن السهل جدًا فقد شيء بسبب عدم الانتباه. بالإضافة إلى ذلك ، هناك احتمال كبير للخطأ في العلامات ، لاحظ أن هناك علامة ناقص في الأس ، وهذا يؤدي إلى صعوبة إضافية.

في المرحلة النهائية ، غالبًا ما يتضح شيء مثل هذا:

حتى في نهاية الحل ، يجب أن تكون حذرًا للغاية وأن تتعامل بشكل صحيح مع الكسور:

تكامل الكسور المعقدة

نقترب ببطء من خط الاستواء في الدرس ونبدأ في النظر في تكاملات الكسور. مرة أخرى ، ليست جميعها معقدة للغاية ، فقط لسبب أو لآخر ، كانت الأمثلة "خارج الموضوع" قليلاً في مقالات أخرى.

استمرار موضوع الجذور

المثال 9

أوجد التكامل غير المحدد

في المقام تحت الجذر يوجد مربع ثلاثي الحدود زائد خارج الجذر "الملحق" على شكل "x". يتم حل جزء لا يتجزأ من هذه الصورة باستخدام تعويض قياسي.

نحن نقرر:

الاستبدال هنا بسيط:

النظر إلى الحياة بعد الاستبدال:

(1) بعد التعويض ، نختزل الحدود الموجودة تحت الجذر إلى قاسم مشترك.
(2) نخرجه من تحت الجذر.
(3) نختزل البسط والمقام بمقدار. في نفس الوقت ، تحت الجذر ، قمت بإعادة ترتيب الشروط بترتيب مناسب. مع بعض الخبرة ، يمكن تخطي الخطوتين (1) و (2) عن طريق تنفيذ الإجراءات المعلقة شفهياً.
(4) التكامل الناتج كما تتذكر من الدرس تكامل بعض الكسور، حلت طريقة اختيار المربع الكامل. حدد مربعًا كاملاً.
(5) من خلال التكامل ، نحصل على لوغاريتم عادي "طويل".
(6) نقوم بعملية الاستبدال العكسي. إذا في البداية ، ثم العودة:.
(7) يهدف الإجراء النهائي إلى تصفيف النتيجة: تحت الجذر ، نعيد المصطلحات مرة أخرى إلى قاسم مشترك ونخرجها من تحت الجذر.

المثال 10

أوجد التكامل غير المحدد

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". هنا ، يضاف ثابت إلى x المنفرد ، والاستبدال هو نفسه تقريبًا:

الشيء الوحيد الذي يجب القيام به بالإضافة إلى ذلك هو التعبير عن "x" من البديل:

الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

في بعض الأحيان في مثل هذا التكامل ، قد يكون هناك مربع ذو حدين تحت الجذر ، وهذا لا يغير طريقة حل الحل ، بل سيكون أبسط. تشعر الفرق:

المثال 11

أوجد التكامل غير المحدد

المثال 12

أوجد التكامل غير المحدد

حلول وإجابات موجزة في نهاية الدرس. تجدر الإشارة إلى أن المثال 11 هو بالضبط التكامل ذو الحدين، طريقة الحل التي تم أخذها في الاعتبار في الدرس تكاملات الدوال اللاعقلانية.

لا يتجزأ من كثير الحدود الذي لا يمكن حله من الدرجة الثانية إلى الدرجة

(كثير الحدود في المقام)

نادر ، ولكنه ، مع ذلك ، يحدث في الأمثلة العملية على شكل التكامل.

المثال 13

أوجد التكامل غير المحدد

لكن دعنا نعود إلى المثال برقم الحظ 13 (بصراحة ، لم أخمن). هذا التكامل هو أيضًا من فئة أولئك الذين يمكن أن تعاني معهم إلى حد كبير إذا كنت لا تعرف كيفية حلها.

يبدأ الحل بتحول اصطناعي:

أعتقد أن الجميع يفهم بالفعل كيفية قسمة البسط على حد المقام على حد.

يتم أخذ التكامل الناتج في أجزاء:

للحصول على جزء لا يتجزأ من النموذج (هو رقم طبيعي) ، قمنا بالاشتقاق متكررصيغة التخفيض:
، أين هو جزء لا يتجزأ من درجة أقل.

دعونا نتحقق من صحة هذه الصيغة للتكامل الذي تم حله.
في هذه الحالة: ، نستخدم الصيغة:

كما ترى ، الإجابات هي نفسها.

المثال 14

أوجد التكامل غير المحدد

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". يستخدم حل العينة الصيغة المذكورة أعلاه مرتين على التوالي.

إذا كانت تحت الدرجة غير قابل للتحللثلاثي الحدود المربع ، ثم يتم تقليل الحل إلى ذي الحدين عن طريق استخراج المربع الكامل ، على سبيل المثال:

ماذا لو كان هناك كثير حدود إضافي في البسط؟ في هذه الحالة ، يتم استخدام طريقة المعاملات غير المحددة ، ويتم توسيع معامل التكامل إلى مجموع الكسور. لكن في ممارستي لمثل هذا المثال لم نتقابل مطلقا، لذلك تخطيت هذه الحالة في المقالة تكاملات دالة كسرية عقلانية، سأتخطاه الآن. في حالة استمرار حدوث مثل هذا التكامل ، راجع الكتاب المدرسي - كل شيء بسيط هناك. لا أعتبر أنه من المناسب تضمين مادة (حتى بسيطة) ، واحتمال الاجتماع يميل إلى الصفر.

تكامل الدوال المثلثية المعقدة

مرة أخرى ، صفة "صعب" لمعظم الأمثلة مشروطة إلى حد كبير. لنبدأ بالظلال والظل في القوى العليا. من وجهة نظر الطرق المستخدمة في حل الظل والظل هي نفسها تقريبًا ، لذلك سأتحدث أكثر عن الظل ، مما يعني أن الطريقة الموضحة لحل التكامل صالحة أيضًا لـ cotangent.

في الدرس أعلاه ، نظرنا إلى استبدال عالمي مثلثيلحل نوع معين من تكاملات الدوال المثلثية. عيب الاستبدال المثلثي العام هو أن تطبيقه غالبًا ما يؤدي إلى تكاملات مرهقة مع حسابات صعبة. وفي بعض الحالات ، يمكن تجنب الاستبدال المثلثي العالمي!

تأمل مثالًا قانونيًا آخر ، تكامل الوحدة مقسومًا على الجيب:

المثال 17

أوجد التكامل غير المحدد

هنا يمكنك استخدام التعويض المثلثي العام والحصول على الإجابة ، ولكن هناك طريقة أكثر منطقية. سأقدم حلاً كاملاً مع التعليقات لكل خطوة:

(1) نستخدم الصيغة المثلثية لجيب الزاوية المزدوجة.
(2) نقوم بإجراء تحول مصطنع: في المقام نقسم ونضرب في.
(3) طبقًا للصيغة المعروفة في المقام ، فإننا نحول الكسر إلى ظل.
(4) نضع الوظيفة تحت علامة التفاضل.
(5) نأخذ التكامل.

زوجان من الأمثلة البسيطة لحلها بنفسك:

المثال 18

أوجد التكامل غير المحدد

تلميح: الخطوة الأولى هي استخدام صيغة التخفيض ونفذ بعناية إجراءات مشابهة للمثال السابق.

المثال 19

أوجد التكامل غير المحدد

حسنًا ، هذا مثال بسيط جدًا.

أكمل الحلول والإجابات في نهاية الدرس.

أعتقد الآن أنه لن يواجه أي شخص مشاكل مع التكاملات:
وما إلى ذلك وهلم جرا.

ما هي الفكرة من وراء هذه الطريقة؟ الفكرة هي استخدام التحويلات والصيغ المثلثية لتنظيم الظلال فقط ومشتق الظل في التكامل. أي أننا نتحدث عن استبدال: . في الأمثلة 17-19 ، استخدمنا هذا الاستبدال بالفعل ، لكن التكاملات كانت بسيطة جدًا لدرجة أنها تم إجراؤها مع إجراء مكافئ - وضع الدالة تحت علامة التفاضل.

يمكن إجراء تفكير مماثل ، كما ذكرت سابقًا ، من أجل ظل التمام.

هناك أيضًا شرط مسبق رسمي لتطبيق البديل أعلاه:

مجموع قوى جيب التمام والجيب هو عدد صحيح سالب حتى رقم، على سبيل المثال:

للحصول على رقم صحيح سالب حتى رقم EVEN.

! ملحوظة : إذا كان التكاملاند يحتوي على جيب فقط أو جيب التمام فقط ، فسيتم أخذ التكامل حتى مع وجود درجة فردية سالبة (أبسط الحالات موجودة في الأمثلة رقم 17 ، 18).

ضع في اعتبارك مهمتين أكثر أهمية لهذه القاعدة:

المثال 20

أوجد التكامل غير المحدد

مجموع درجات الجيب وجيب التمام: 2-6 \ u003d -4 - عدد صحيح سالب حتى رقم EVEN ، مما يعني أنه يمكن اختزال التكامل إلى الظل ومشتقاته:

(1) دعونا نحول المقام.
(2) حسب الصيغة المعروفة نحصل عليها.
(3) لنحول المقام.
(4) نستخدم الصيغة .
(5) نحضر الوظيفة تحت علامة التفاضل.
(6) نقوم بعملية الاستبدال. قد لا يقوم الطلاب الأكثر خبرة بالاستبدال ، ولكن لا يزال من الأفضل استبدال الظل بحرف واحد - فهناك خطر أقل للارتباك.

المثال 21

أوجد التكامل غير المحدد

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك".

انتظر ، تبدأ جولات البطولة =)

غالبًا ما يوجد في Integrand "hodgepodge":

المثال 22

أوجد التكامل غير المحدد

يحتوي هذا التكامل في البداية على الظل ، والذي يشير على الفور إلى فكرة مألوفة بالفعل:

سأترك التحول المصطنع في البداية وبقية الخطوات بدون تعليق ، حيث سبق أن قيل كل شيء أعلاه.

زوجان من الأمثلة الإبداعية لحل مستقل:

المثال 23

أوجد التكامل غير المحدد

المثال 24

أوجد التكامل غير المحدد

نعم ، بالطبع ، يمكنك خفض درجات الجيب وجيب التمام واستخدام الاستبدال المثلثي العام ، لكن الحل سيكون أكثر كفاءة وأقصر بكثير إذا تم رسمه من خلال الظل. الحل الكامل والإجابات في نهاية الدرس