الأعداد المركبة هي أمثلة معقدة. الصيغة الجبرية لكتابة العدد المركب. مقدمة لمفهوم العدد المركب
دعونا نتذكر المعلومات الضرورية حول الأعداد المركبة.
رقم معقدهو تعبير عن النموذج أ + ثنائية، أين أ, بهي أعداد حقيقية، و أنا- ما يسمى وحدة خيالية، رمز مربعه يساوي –1، أي أنا 2 = -1. رقم أمُسَمًّى الجزء الحقيقي، والرقم ب - الجزء الخياليرقم معقد ض = أ + ثنائية. لو ب= 0، ثم بدلا من ذلك أ + 0أنايكتبون ببساطة أ. ويمكن ملاحظة أن الأرقام الحقيقية هي حالة خاصةأرقام معقدة.
العمليات الحسابية على الأعداد المركبة هي نفسها التي تتم على الأعداد الحقيقية: حيث يمكن جمعها وطرحها وضربها وقسمتها على بعضها البعض. الجمع والطرح يتم وفق القاعدة ( أ + ثنائية) ± ( ج + دي) = (أ ± ج) + (ب ± د)أنا، والضرب يتبع القاعدة ( أ + ثنائية) · ( ج + دي) = (تيار متردد – دينار بحريني) + (إعلان + قبل الميلاد)أنا(هنا يتم استخدامه ذلك أنا 2 = -1). الرقم = أ – ثنائيةمُسَمًّى مترافقة معقدةل ض = أ + ثنائية. المساواة ض · = أ 2 + ب 2 يتيح لك فهم كيفية قسمة رقم مركب على رقم مركب آخر (غير صفر):
(على سبيل المثال، .)
الأعداد المركبة لها تمثيل هندسي مناسب ومرئي: الرقم ض = أ + ثنائيةيمكن تمثيله بواسطة متجه بإحداثيات ( أ; ب) على المستوى الديكارتي (أو، وهو نفس الشيء تقريبًا، نقطة - نهاية المتجه بهذه الإحداثيات). في هذه الحالة، يتم تصوير مجموع رقمين مركبين على أنه مجموع المتجهات المقابلة (والتي يمكن العثور عليها باستخدام قاعدة متوازي الأضلاع). وفقا لنظرية فيثاغورس، طول المتجه مع الإحداثيات ( أ; ب) يساوي . تسمى هذه الكمية وحدةرقم معقد ض = أ + ثنائيةويشار إليه بـ | ض|. تسمى الزاوية التي يصنعها هذا المتجه مع الاتجاه الموجب للمحور السيني (تحسب عكس اتجاه عقارب الساعة). دعوىرقم معقد ضويشار إليه بواسطة Arg ض. لم يتم تعريف الوسيطة بشكل فريد، ولكن فقط حتى إضافة قيمة من مضاعفات الرقم 2 π
راديان (أو 360 درجة، إذا تم حسابه بالدرجات) - فمن الواضح أن الدوران بهذه الزاوية حول الأصل لن يغير المتجه. ولكن إذا كان متجه الطول صيشكل زاوية φ
مع الاتجاه الموجب لمحور x فإن إحداثياته تساوي ( صكوس φ
; صخطيئة φ
). من هنا اتضح التدوين المثلثيرقم مركب: ض = |ض| · (كوس (أرج ض) + أناالخطيئة (الأرجنتين ض)). غالبًا ما يكون من المناسب كتابة الأعداد المركبة بهذا الشكل، لأنه يبسط العمليات الحسابية إلى حد كبير. إن ضرب الأعداد المركبة في الصورة المثلثية أمر بسيط للغاية: ض 1 · ض 2 = |ض 1 | · | ض 2 | · (كوس (أرج ض 1 + أرج ض 2) + أناالخطيئة (الأرجنتين ض 1 + أرج ض 2)) (عند ضرب عددين مركبين، يتم ضرب وحداتهما وإضافة وسائطهما). من هنا تابع صيغ موافر: ض ن = |ض|ن· (كوس( ن· (أرج ض)) + أناالخطيئة( ن· (أرج ض)))). باستخدام هذه الصيغ، من السهل تعلم كيفية استخراج الجذور من أي درجة من الأعداد المركبة. جذر الدرجة التاسعةمن رقم ض- هذا رقم مركب ث، ماذا ث ن = ض. ومن الواضح أن 
، وأين كيمكن أن تأخذ أي قيمة من المجموعة (0، 1، ...، ن– 1). وهذا يعني أن هناك دائما بالضبط نجذور نالدرجة الرابعة من العدد المركب (على المستوى يقعون في رؤوس العدد المنتظم ن-غون).
تعريف
الصورة الجبرية للعدد المركب هي كتابة العدد المركب \(\z\) على الصورة \(\z=x+i y\)، حيث \(\x\) و \(\y\) أعداد حقيقية , \(\i\ ) - وحدة وهمية تحقق العلاقة \(\i^(2)=-1\)
الرقم \(\ x \) يسمى الجزء الحقيقي من الرقم المركب \(\ z \) ويشار إليه بواسطة \(\ x=\operatorname(Re) z \)
الرقم \(\y\) يسمى الجزء التخيلي من الرقم المركب \(\z\) ويشار إليه بـ \(\y=\operatorname(Im) z\)
على سبيل المثال:
العدد المركب \(\ z=3-2 i \) والرقم المجاور له \(\ \overline(z)=3+2 i \) مكتوبان بالصورة الجبرية.
الكمية التخيلية \(\ z=5 i \) مكتوبة على الصورة الجبرية.
بالإضافة إلى ذلك، اعتمادًا على المشكلة التي تقوم بحلها، يمكنك تحويل رقم مركب إلى رقم مثلثي أو أسي.
اكتب العدد \(\z=\frac(7-i)(4)+13\) على الصورة الجبرية، وأوجد أجزائه الحقيقية والتخيلية، بالإضافة إلى العدد المرافق له.
باستخدام مصطلح تقسيم الكسور وقاعدة جمع الكسور نحصل على:
\(\z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1)(4)ط\)
ولذلك، فإن الجزء الحقيقي من العدد المركب \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) هو الرقم \(\ x=\operatorname(Re) z= \frac(59) (4) \) ، الجزء التخيلي هو الرقم \(\ y=\operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \)
الرقم المرافق: \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)
\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \)، \(\ \operatorname(Re) z=\frac(59)(4) \)، \(\ \اسم المشغل(Im) z=-\frac(1)(4) \)، \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)
أفعال الأعداد المركبة في المقارنة الجبرية
يقال أن العددين المركبين \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) متساويان إذا كان \(\ x_(1)=x_(2) \), \(\ y_(1 )= y_(2) \) أي أجزاؤهما الحقيقية والتخيلية متساوية.
حدد أي x وy العددان المركبان \(\ z_(1)=13+y i \) و \(\ z_(2)=x+5 i \) متساويان.
بحكم التعريف، يكون العددان المركبان متساويين إذا كانت أجزاؤهما الحقيقية والتخيلية متساوية، أي. \(\x=13\)، \(\y=5\).
إضافة
تتم عملية جمع الأعداد المركبة \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) عن طريق جمع الأجزاء الحقيقية والتخيلية مباشرة:
\(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\يمين) +i\left(y_(1)+y_(2)\right) \)
أوجد مجموع الأعداد المركبة \(\ z_(1)=-7+5 i \), \(\ z_(2)=13-4 i \)
الجزء الحقيقي من العدد المركب \(\ z_(1)=-7+5 i \) هو الرقم \(\ x_(1)=\operatorname(Re) z_(1)=-7 \) ، الرقم التخيلي الجزء هو الرقم \( \ y_(1)=\mathrm(Im) \), \(\ z_(1)=5 \) . الأجزاء الحقيقية والتخيلية للعدد المركب \(\ z_(2)=13-4 i \) تساوي \(\ x_(2)=\operatorname(Re) z_(2)=13 \) و \( \ y_(2) على التوالي )=\operatorname(Im) z_(2)=-4 \) .
وبالتالي فإن مجموع الأعداد المركبة هو:
\(\z_(1)+z_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\right)+i\left(y_(1)+y_(2)\right)=(-7+ 13)+i(5-4)=6+i \)
\(\ ض_(1)+z_(2)=6+i \)
اقرأ المزيد عن إضافة الأعداد المركبة في مقالة منفصلة: إضافة الأعداد المركبة.
الطرح
يتم إجراء طرح الأعداد المركبة \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) و \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) عن طريق الطرح المباشر الأجزاء الحقيقية والخيالية:
\(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_(1)-x_(2) +\left(i y_(1)-i y_(2)\right)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right) ) \)
أوجد الفرق بين الأعداد المركبة \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \)
أوجد الأجزاء الحقيقية والتخيلية للأعداد المركبة \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \) :
\(\ x_(1)=\اسم المشغل(Re) z_(1)=17, x_(2)=\اسم المشغل(Re) z_(2)=15 \)
\(\ y_(1)=\اسم المشغل(Im) z_(1)=-35, y_(2)=\اسم المشغل(Im) z_(2)=5 \)
وبالتالي فإن الفرق بين الأعداد المركبة هو:
\(\z_(1)-z_(2)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right)=(17-15) )+i(-35-5)=2-40 ط \)
\(\ z_(1)-z_(2)=2-40 i \) الضرب
يتم تنفيذ ضرب الأعداد المركبة \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) و \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) عن طريق الإنشاء المباشر الأعداد على الصورة الجبرية مع مراعاة خاصية الوحدة التخيلية \(\i^(2)=-1\) :
\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1)+i y_(1)\right) \cdot\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\left(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i ص_(1)\يمين)=\)
\(\ =\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) ) \cdot y_(1)\يمين) \)
أوجد حاصل ضرب الأعداد المركبة \(\z_(1)=1-5 i\)
مجمع الأعداد المركبة:
\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 )=15-23 ط\)
\(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) القسمة
يتم تحديد عامل الأعداد المركبة \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) و \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) بالضرب البسط والمقام للرقم المرافق مع المقام:
\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\left (x_(1)+i y_(1)\يمين)\left(x_(2)-i y_(2)\يمين))(\left(x_(2)+i y_(2)\يمين)\left (x_(2)-i y_(2)\right))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2) +y_(2)^(2))+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2) )^(2)) \)
لتقسيم الرقم 1 على العدد المركب \(\z=1+2 i\).
وبما أن الجزء التخيلي من العدد الحقيقي 1 هو صفر، فإن العامل هو:
\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^( 2)+2^(2))=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5)\)
\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)
النظر في المعادلة التربيعية.
دعونا نحدد جذورها.
لا يوجد عدد حقيقي مربعه -1 ولكن إذا قمنا بتعريف المشغل بصيغة أناكوحدة وهمية، فيمكن كتابة حل هذه المعادلة على النحو التالي: 
. في نفس الوقت 
و 
- الأعداد المركبة التي -1 هو الجزء الحقيقي، 2 أو في الحالة الثانية -2 هو الجزء التخيلي. الجزء التخيلي هو أيضًا عدد حقيقي. الجزء التخيلي مضروبا في الوحدة التخيلية يعني بالفعل رقم وهمي.
بشكل عام، العدد المركب له الشكل
ض = س + iy ,
أين س، ص- الأعداد الحقيقية - الوحدة التخيلية. في عدد من العلوم التطبيقية، على سبيل المثال، في الهندسة الكهربائية والإلكترونيات ونظرية الإشارة، يُشار إلى الوحدة التخيلية بالرمز ي. أرقام حقيقية س = إعادة (ض)و ص =أنا أكون(ض)يتم استدعاؤها أجزاء حقيقية وخياليةأرقام ض.يسمى التعبير شكل جبريكتابة عدد مركب.
أي رقم حقيقي هو حالة خاصة للرقم المركب في النموذج 
. الرقم التخيلي هو أيضًا حالة خاصة من العدد المركب 
.
تعريف مجموعة الأعداد المركبة ج
يقرأ هذا التعبير كما يلي: تعيين مع، تتكون من عناصر من هذا القبيل سو ذتنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية روهي وحدة خيالية. لاحظ أن الخ.
رقمين معقدين 
و 
يكونان متساويين إذا وفقط إذا كانت أجزاؤهما الحقيقية والتخيلية متساوية، أي. و .
تستخدم الأعداد والوظائف المعقدة على نطاق واسع في العلوم والتكنولوجيا، ولا سيما في الميكانيكا وتحليل وحساب دوائر التيار المتردد، والإلكترونيات التناظرية، في نظرية ومعالجة الإشارات، في نظرية التحكم الآلي والعلوم التطبيقية الأخرى.
- حسابية الأعداد المركبة
جمع عددين مركبين يتكون من جمع أجزائهما الحقيقية والتخيلية، أي.
وبناء على ذلك، فإن الفرق بين رقمين مركبين
رقم معقد 
مُسَمًّى بشكل شامل مترافقرقم ض =س+iy.
الأعداد المترافقة المعقدة z و z * تختلف في إشارات الجزء التخيلي. من الواضح أن
.
وأي مساواة بين التعبيرات المعقدة تظل صالحة إذا كان في كل مكان هذه المساواة أنااستبدل بـ -
أنا، أي. انتقل إلى مساواة الأعداد المترافقة. أرقام أناو –
أنالا يمكن تمييزها جبريا، منذ ذلك الحين 
.
يمكن حساب حاصل ضرب (ضرب) عددين مركبين كما يلي:
قسمة عددين مركبين:
مثال:
- طائرة معقدة
يمكن تمثيل العدد المركب بيانياً في نظام إحداثيات مستطيل. دعونا نضعها في الطائرة نظام مستطيلالإحداثيات (س، ص).
على المحور ثورسنضع الأجزاء الحقيقية س، يطلق عليه المحور الحقيقي (الحقيقي).، على المحور أوي– أجزاء خيالية ذأرقام معقدة. إنه يسمى محور وهمي. في هذه الحالة، يتوافق كل عدد مركب مع نقطة معينة على المستوى، ويسمى هذا المستوى طائرة معقدة. نقطة أسوف يتوافق المستوى المعقد مع المتجه الزراعة العضوية.
رقم سمُسَمًّى الإحداثي السينيعدد مركب، عدد ذ – ينسق.
يتم تمثيل زوج من الأعداد المترافقة المعقدة بنقاط تقع بشكل متماثل حول المحور الحقيقي.
 |
إذا كنا على متن الطائرة نظام الإحداثيات القطبيةثم كل عدد مركب ضيتم تحديدها بواسطة الإحداثيات القطبية. في نفس الوقت وحدةأرقام 
هو نصف القطر القطبي للنقطة، والزاوية 
- زاويتها القطبية أو وسيطة العدد المركب ض.
معامل العدد المركب 
دائما غير سلبية. لا يتم تحديد وسيطة الرقم المركب بشكل فريد. يجب أن تفي القيمة الرئيسية للحجة بالشرط 
. تتوافق أيضًا كل نقطة من المستوى المعقد المعنى العامدعوى. تعتبر الوسائط التي تختلف بمضاعفات 2π متساوية. الوسيطة رقم صفر غير محددة.
يتم تحديد القيمة الرئيسية للوسيطة من خلال التعبيرات:
من الواضح أن
في نفس الوقت
, 
.
تمثيل الأعداد المركبة ضفي النموذج
مُسَمًّى شكل مثلثيرقم معقد.
مثال.
- شكل توضيحيأرقام معقدة
التحلل في سلسلة ماكلورينلوظائف الحجة الحقيقية 
لديه النموذج:
للحصول على دالة أسية ذات وسيطة معقدة ضالتحلل مشابه
.
يمكن تمثيل توسعة سلسلة ماكلورين للدالة الأسية للوسيطة التخيلية على النحو التالي:
الهوية الناتجة تسمى صيغة أويلر.
بالنسبة للحجة السلبية، فهي تحتوي على الشكل
من خلال الجمع بين هذه التعبيرات، يمكنك تحديد التعبيرات التالية لجيب الجيب وجيب التمام
.
باستخدام صيغة أويلر، من الصورة المثلثية لتمثيل الأعداد المركبة
يمكن الحصول عليها إرشادية(الأسي، القطبي) شكل رقم مركب، أي. تمثيلها في الشكل
,
أين 
- الإحداثيات القطبية للنقطة مع إحداثيات مستطيلة (س,ذ).
يُكتب مرافق العدد المركب بالصيغة الأسية على النحو التالي.
بالنسبة للشكل الأسي فمن السهل تحديده الصيغ التاليةضرب وقسمة الأعداد المركبة
أي أنه في الصورة الأسية، يكون حاصل ضرب الأعداد المركبة وتقسيمها أبسط مما هو عليه في الصورة الجبرية. عند الضرب، يتم ضرب وحدات العوامل، وتضاف الوسائط. تنطبق هذه القاعدة على أي عدد من العوامل. على وجه الخصوص، عند ضرب عدد مركب ضعلى أناناقلات ضيدور عكس اتجاه عقارب الساعة 90
في القسمة، يتم قسمة معامل البسط على معامل المقام، ويتم طرح سعة المقام من سعة البسط.
باستخدام الصورة الأسية للأعداد المركبة، يمكننا الحصول على تعبيرات للمتطابقات المثلثية المعروفة. على سبيل المثال، من الهوية
باستخدام صيغة أويلر يمكننا الكتابة
بمساواة الأجزاء الحقيقية والتخيلية في هذا التعبير، نحصل على تعبيرات لجيب التمام وجيب مجموع الزوايا
- قوى وجذور ولوغاريتمات الأعداد المركبة
رفع عدد مركب إلى درجة طبيعية نأنتجت وفقا للصيغة
مثال. دعونا نحسب 
.
دعونا نتخيل رقما في شكل مثلثي
’
وبتطبيق الصيغة الأسية نحصل على
عن طريق وضع القيمة في التعبير ص= 1 نحصل على ما يسمى صيغة موافر، والتي يمكنك من خلالها تحديد تعبيرات الجيب وجيب التمام لزوايا متعددة.
جذر ن-القوة رقم مركب ضلديه نقيم مختلفة يحددها التعبير
مثال. دعونا نجد ذلك.
للقيام بذلك، نعبر عن العدد المركب () في شكل مثلثي
.
باستخدام صيغة حساب جذر العدد المركب، نحصل على
لوغاريتم العدد المركب ض- هذا هو الرقم ث، من أجلها. اللوغاريتم الطبيعي لعدد مركب له عدد لا نهائي من القيم ويتم حسابه بواسطة الصيغة
يتكون من جزء حقيقي (جيب التمام) وجزء وهمي (جيب). يمكن تمثيل هذا الجهد كمتجه للطول ش م , المرحلة الأولية(زاوية) تدور بسرعة زاوية ω .
علاوة على ذلك، إذا أضيفت وظائف معقدة، فسيتم إضافة أجزائها الحقيقية والتخيلية. إذا ضربت دالة مركبة في دالة ثابتة أو حقيقية، فإن أجزائها الحقيقية والتخيلية تضرب في نفس العامل. إن التمايز/التكامل لهذه الوظيفة المعقدة يعود إلى التمايز/التكامل بين الأجزاء الحقيقية والخيالية.
على سبيل المثال، التمييز بين تعبيرات الإجهاد المعقدة
هو ضربه iω هو الجزء الحقيقي من الدالة f(z)، و 
- الجزء التخيلي من الوظيفة . أمثلة: 
.
معنى ضيتم تمثيلها بنقطة في المستوى z المعقد، والقيمة المقابلة ث- نقطة في المستوى المركب ث. عندما يتم عرضها ث = و(ض)خطوط الطائرة ضتحويل إلى خطوط الطائرة ث، أشكال من مستوى ما إلى أشكال من مستوى آخر، لكن أشكال الخطوط أو الأشكال يمكن أن تتغير بشكل ملحوظ.
الصيغة الجبرية لكتابة العدد المركب ........................... ......... ................... |
|||
مستوى الأعداد المركبة ........................................... ................................ ........................................ ........................................... ... |
|||
الأعداد المركبة المركبة ........................................... .................... .............................. ........................... |
|||
العمليات على الأعداد المركبة في الصورة الجبرية ........................................... ......... .... |
|||
جمع الأعداد المركبة ........................................... .......................................................................... ................. |
|||
طرح الأعداد المركبة ........................................... .................... .............................. ........................... |
|||
ضرب الأعداد المركبة ........................................... ........................... ............................. .................. |
|||
تقسيم الأعداد المركبة ........................................... .................... .............................. ........................... ... |
|||
شكل مثلثيكتابة عدد مركب ........................................... ............... ............ |
|||
العمليات على الأعداد المركبة في الصورة المثلثية ........................................... ......... |
|||
ضرب الأعداد المركبة في الصورة المثلثية ........................................... ........ |
|||
قسمة الأعداد المركبة على الصورة المثلثية ........................................... ............ ... |
|||
رفع عدد مركب إلى قوة صحيحة موجبة .......................... ............ |
|||
استخراج جذر درجة عدد صحيح موجب من عدد مركب .......................... |
|||
رفع عدد مركب إلى قوة عقلانية ........................... .................. ..... |
|||
سلسلة معقدة ........................................... ... .............................................................. ......... .................... |
|||
سلسلة الأعداد المركبة ........................................... .................... .............................. ........................... |
|||
متسلسلة القوى في المستوى المركب ........................................... ............ ........................................ |
|||
مزدوج الجوانب سلسلة السلطةفي المستوى المعقد ........................................... ..... |
|||
وظائف المتغير المعقد ........................................... .......................................................... |
|||
الوظائف الأساسية الأساسية ................................ ................................ . .......... .............................................. . |
|||
صيغ أويلر ........................................... ... .............................................................. ......... .................... |
|||
الشكل الأسي لتمثيل العدد المركب .......................... ........................... . |
|||
العلاقة بين الدوال المثلثية والقطع الزائد .............................. |
|||
الدالة اللوغاريتمية ........................................... ... .............................................................. ......... ... |
|||
وظائف القوة الأسية والعامة ........................................... ............ ............... |
|||
التمايز بين وظائف المتغير المعقد ........................................... ......... ... |
|||
شروط كوشي ريمان ........................................... ..... ................................................ ............ ............ |
|||
صيغ لحساب المشتقة ........................................... ....... ................................... |
|||
خصائص عملية التمايز ........................................... ................................ ........................... |
|||
خواص الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة التحليلية ........................... |
|||
إعادة بناء دالة لمتغير معقد من صورته الحقيقية أو الخيالية |
|||
الطريقة رقم 1. استخدام التكامل المنحني ........................................... ...... ....... |
|||
الطريقة رقم 2. التطبيق المباشر لشروط كوشي-ريمان. |
|||
الطريقة رقم 3. من خلال مشتقة الدالة المطلوبة .......................... ............ ......... |
|||
تكامل وظائف المتغير المعقد ........................................... ......... .......... |
|||
صيغة كوشي المتكاملة ........................................... ..... ................................................ ........... ... |
|||
توسيع الوظائف في سلسلة تايلور ولورانت ........................................... .......... ........................... |
|||
الأصفار والنقاط المفردة لدالة متغير معقد ........................................... ............. ..... |
|||
أصفار دالة لمتغير معقد .......................... .......... ....................... |
|||
النقاط المفردة المعزولة لدالة المتغير المركب................................................. |
|||
14.3 نقطة عند اللانهاية كنقطة فريدة لدالة لمتغير معقد
الخصومات .............................................. .......................................................... ............. ........................................... ... |
|||
الخصم عند النقطة الأخيرة ........................................... ...... ........................................................... ............ ...... |
|||
بقايا دالة عند نقطة ما لا نهاية ........................................... ............ ............... |
|||
حساب التكاملات باستخدام البقايا ........................................... .......................................... |
|||
أسئلة الاختبار الذاتي ................................ ................................ . ........................... ............................. ........................... ....... |
|||
الأدب................................................. .................................................. ...... ................................... |
|||
فهرس الموضوع ........................................... ... .............................................................. ......... .............. |
|||
مقدمة
توزيع الوقت والجهد بشكل صحيح عند التحضير للنظري و أجزاء عمليةيعد الحصول على شهادة الامتحان أو الوحدة أمرًا صعبًا للغاية، خاصة أنه لا يوجد دائمًا وقت كافٍ أثناء الجلسة. وكما تظهر الممارسة، لا يمكن للجميع التعامل مع هذا. ونتيجة لذلك، أثناء الامتحان، يقوم بعض الطلاب بحل المسائل بشكل صحيح، ولكنهم يجدون صعوبة في الإجابة على أبسط الأسئلة النظرية، بينما يمكن للآخرين صياغة نظرية، ولكن لا يمكنهم تطبيقها.
هذه الإرشادات للتحضير للامتحان في دورة "نظرية وظائف المتغير المركب" (TFCP) هي محاولة لحل هذا التناقض وضمان التكرار المتزامن للمادة النظرية والعملية للدورة. مسترشدة بمبدأ "النظرية دون ممارسة ميتة، والممارسة دون نظرية عمياء"، فهي تحتوي على الأحكام النظرية للدورة على مستوى التعريفات والصياغات، بالإضافة إلى أمثلة توضح تطبيق كل موقف نظري معين، وبالتالي تسهيل حفظه وفهمه.
الغرض من المقترح توصيات منهجية- مساعدة الطالب على الاستعداد للامتحان المستوى الأساسي. بمعنى آخر، تم تجميع كتاب مرجعي موسع يحتوي على النقاط الرئيسية المستخدمة في الفصول الدراسية في دورة TFKP والضرورية عند الأداء العمل في المنزلوالتحضير لأحداث السيطرة. بجانب عمل مستقلالطلاب، يمكن استخدام هذا المنشور التعليمي الإلكتروني عند إجراء الفصول الدراسية بشكل تفاعلي باستخدام لوحة إلكترونية أو لوضعه في نظام التعلم عن بعد.
يرجى ملاحظة أن هذا العمل لا يحل محل الكتب المدرسية أو ملاحظات المحاضرات. ل دراسة متعمقةبالنسبة للمادة، يوصى بالرجوع إلى الأقسام ذات الصلة المنشورة في جامعة MSTU. ن. كتاب بومان الأساسي.
توجد في نهاية الدليل قائمة بالأدبيات الموصى بها وفهرس للموضوعات يتضمن كل ما تم إبرازه في النص مائل غامقشروط. يتكون الفهرس من روابط تشعبية للأقسام التي يتم فيها تعريف أو وصف هذه المصطلحات بشكل صارم وحيث يتم تقديم أمثلة لتوضيح استخدامها.
الدليل مخصص لطلاب السنة الثانية من جميع كليات جامعة MSTU. ن. بومان.
1. الشكل الجبري لكتابة العدد المركب
تدوين النموذج z = x + iy، حيث x، y أرقام حقيقية، i وحدة وهمية (أي i 2 = − 1)
يسمى الشكل الجبري لكتابة العدد المركب z. في هذه الحالة، x يسمى الجزء الحقيقي من العدد المركب ويشار إليه بـ Re z (x = Re z)، ويسمى y الجزء التخيلي من العدد المركب ويشار إليه بـ Im z (y = Im z).
مثال. العدد المركب z = 4 − 3i له جزء حقيقي Re z = 4 وجزء وهمي Im z = − 3 .
2. مستوى الأعداد المركبة
في تعتبر نظريات وظائف المتغير المعقدمستوى الأعداد المركبة، والتي يتم الإشارة إليها إما أو باستخدام الحروف التي تشير إلى الأعداد المركبة z، w، وما إلى ذلك.
يسمى المحور الأفقي للمستوى المركب المحور الحقيقي، يتم وضع الأعداد الحقيقية z = x + 0 i = x عليها.
يُسمى المحور الرأسي للمستوى المركب بالمحور التخيلي؛
3. الأعداد المترافقة المعقدة
يتم استدعاء الأرقام z = x + iy و z = x − iy مترافقة معقدة. على المستوى المركب فإنها تتوافق مع نقاط متناظرة حول المحور الحقيقي.
4. العمليات على الأعداد المركبة في الصورة الجبرية
4.1 جمع الأعداد المركبة
مجموع عددين مركبين |
ض 1 = س 1 + ط 1 |
و z 2 = x 2 + iy 2 يسمى عددا مركبا |
|||||||||||
ض 1 + ض 2 |
= (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i (y 1 + y 2 ) . |
عملية |
إضافة |
||||||||||
الأعداد المركبة تشبه عملية جمع ذوات الحدين الجبرية. |
|||||||||||||
مثال. مجموع رقمين مركبين z 1 = 3 + 7i و z 2 |
= −1 +2 ط |
سيكون عددا معقدا |
|||||||||||
ض 1 + ض 2 = (3 +7 i ) +(−1 +2 i ) = (3 −1 ) +(7 +2 ) i = 2 +9 i . |
|||||||||||||
بوضوح، |
المبلغ الإجمالي |
مترافق |
يكون |
حقيقي |
|||||||||
ض + ض = (x + iy) + (x − iy) = 2 x = 2 رد ض . |
|||||||||||||
4.2 طرح الأعداد المركبة |
|||||||||||||
الفرق بين رقمين مركبين z 1 = x 1 + iy 1 |
× 2 + ط 2 |
مُسَمًّى |
شامل |
||||||||||
عدد z 1 − z 2 = (x 1 + iy 1 ) − (x 2 + iy 2 ) = (x 1 − x 2 ) + i (y 1 − y 2 ) . |
|||||||||||||
مثال. الفرق بين رقمين مركبين |
ض 1 = 3 −4 ط |
و ض 2 |
= −1 +2 ط |
سيكون هناك شامل |
|||||||||
عدد z 1 − z 2 = (3 − 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3 − (− 1) ) + (− 4 − 2) i = 4 − 6i . |
|||||||||||||
بالفارق |
مترافقة معقدة |
يكون |
|||||||||||
z − z = (x + iy) − (x − iy) = 2 iy = 2 i Im z . |
|||||||||||||
4.3 ضرب الأعداد المركبة |
|||||||||||||
منتج عددين مركبين |
ض 1 = س 1 + ط 1 |
و ض 2 = س 2 + ط 2 |
تسمى معقدة |
||||||||||
ض 1z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1x 2 + iy 1x 2 + iy 2 x 1 + i 2 y 1 y 2 |
= (x 1x 2 − y 1 y 2 ) + i (y 1x 2 + y 2 x ) . |
||||||||||||
وبالتالي فإن عملية ضرب الأعداد المركبة تشبه عملية ضرب ذوات الحدين الجبرية، مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن i 2 = − 1.
خطة الدرس.
1. اللحظة التنظيمية.
2. عرض المادة.
3. الواجبات المنزلية.
4. تلخيص الدرس.
تقدم الدرس
I. اللحظة التنظيمية.
ثانيا. عرض المادة.
تحفيز.
يتكون توسيع مجموعة الأعداد الحقيقية من إضافة أرقام جديدة (وهمية) إلى الأعداد الحقيقية. ويرجع إدخال هذه الأعداد إلى استحالة استخراج جذر العدد السالب في مجموعة الأعداد الحقيقية.
مقدمة لمفهوم العدد المركب.
الأعداد التخيلية، التي نكمل بها الأعداد الحقيقية، مكتوبة في النموذج ثنائية، أين أناهي وحدة وهمية، و ط 2 = - 1.
وبناء على ذلك نحصل على التعريف التالي للعدد المركب.
تعريف. الرقم المركب هو تعبير عن النموذج أ + ثنائية، أين أو ب- أرقام حقيقية. وفي هذه الحالة يتم استيفاء الشروط التالية:
أ) عددان مركبان أ 1 + ب 1 طو أ 2 + ب 2 طيساوي إذا وفقط إذا أ 1 = أ 2, ب 1 = ب 2.
ب) يتم تحديد عملية جمع الأعداد المركبة بواسطة القاعدة:
(أ 1 + ب 1 ط) + (أ 2 + ب 2 ط) = (أ 1 + أ 2) + (ب 1 + ب 2) ط.
ج) يتم تحديد ضرب الأعداد المركبة بواسطة القاعدة:
(أ 1 + ب 1 ط) (أ 2 + ب 2 ط) = (أ 1 أ 2 - ب 1 ب 2) + (أ 1 ب 2 - أ 2 ب 1) ط.
الصورة الجبرية لعدد مركب.
كتابة عدد مركب على الصورة أ + ثنائيةتسمى الصورة الجبرية للعدد المركب، حيث أ- الجزء الحقيقي، ثنائيةهو الجزء الخيالي، و ب– العدد الحقيقي .
رقم معقد أ + ثنائيةيعتبر مساوياً للصفر إذا كانت أجزاؤه الحقيقية والتخيلية تساوي صفراً: أ = ب = 0
رقم معقد أ + ثنائيةفي ب = 0يعتبر نفس العدد الحقيقي أ: أ + 0i = أ.
رقم معقد أ + ثنائيةفي أ = 0ويسمى وهمية بحتة ويشار إليه ثنائية: 0 + ثنائية = ثنائية.
رقمين معقدين ض = أ + ثنائيةو = أ - ثنائية، والتي تختلف فقط في علامة الجزء التخيلي، تسمى المترافقة.
العمليات على الأعداد المركبة في الصورة الجبرية.
يمكنك إجراء العمليات التالية على الأعداد المركبة في الصورة الجبرية.
1) الإضافة.
تعريف. مجموع الأعداد المركبة ض 1 = أ 1 + ب 1 طو ض 2 = أ 2 + ب 2 طيسمى عددا مركبا ض، الجزء الحقيقي منه يساوي مجموع الأجزاء الحقيقية ض 1و ض 2والجزء التخيلي هو مجموع الأجزاء التخيلية من الأعداد ض 1و ض 2، إنه ض = (أ 1 + أ 2) + (ب 1 + ب 2)ط.
أرقام ض 1و ض 2تسمى المصطلحات.
جمع الأعداد المركبة له الخصائص التالية:
1 درجة. التبادلية: ض 1 + ض 2 = ض 2 + ض 1.
2 درجة. الترابط: (ض 1 + ض 2) + ض 3 = ض 1 + (ض 2 + ض 3).
3 درجة. رقم معقد -أ-بييسمى عكس العدد المركب ض = أ + ثنائية. العدد المركب عكس العدد المركب ض، يشار -ض. مجموع الأعداد المركبة ضو -ضيساوي الصفر: ض + (-ض) = 0
مثال 1: إجراء عملية الجمع (3 – ط) + (-1 + 2ط).
(3 – ط) + (-1 + 2ط) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) ط = 2 + 1ط.
2) الطرح.
تعريف.اطرح من عدد مركب ض 1رقم معقد ض 2 ض،ماذا ض + ض 2 = ض 1.
نظرية. الفرق بين الأعداد المركبة موجود وهو فريد من نوعه.
مثال 2: إجراء عملية الطرح (4 - 2ط) - (-3 + 2ط).
(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.
3) الضرب.
تعريف. منتج الأعداد المركبة ض 1 =أ 1 +ب 1 طو ض 2 = أ 2 + ب 2 طيسمى عددا مركبا ض، والتي تحددها المساواة: ض = (أ 1 أ 2 - ب 1 ب 2) + (أ 1 ب 2 + أ 2 ب 1)ط.
أرقام ض 1و ض 2تسمى العوامل.
ضرب الأعداد المركبة له الخصائص التالية:
1 درجة. التبادلية: ض 1 ض 2 = ض 2 ض 1.
2 درجة. الترابط: (ض 1 ض 2) ض 3 = ض 1 (ض 2 ض 3)
3 درجة. توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع:
(ض 1 + ض 2) ض 3 = ض 1 ض 3 + ض 2 ض 3.
4 درجة. ض = (أ + ثنائية)(أ – ثنائية) = أ 2 + ب 2- العدد الحقيقي.
ومن الناحية العملية، يتم ضرب الأعداد المركبة وفق قاعدة ضرب مجموع في مجموع والفصل بين الجزأين الحقيقي والتخيلي.
في المثال التالي، سننظر في ضرب الأعداد المركبة بطريقتين: بالقاعدة وضرب المجموع بمجموع.
مثال 3: قم بعملية الضرب (2 + 3ط) (5 - 7ط).
1 طريقة. (2 + 3ط) (5 – 7ط) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)ط = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )ط = 31 + ط.
الطريقة 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) القسمة.
تعريف. قسمة عدد مركب ض 1إلى عدد معقد ض 2يعني العثور على مثل هذا العدد المركب ض، ماذا ض · ض 2 = ض 1.
نظرية.حاصل الأعداد المركبة موجود وهو فريد إذا ض 2 ≠ 0 + 0i.
عمليًا، يتم إيجاد حاصل قسمة الأعداد المركبة عن طريق ضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
يترك ض 1 = أ 1 + ب 1 ط, ض 2 = أ 2 + ب 2 ط، ثم
.
في المثال التالي، سنقوم بإجراء القسمة باستخدام صيغة وقاعدة الضرب بالرقم المرافق للمقام.
مثال 4. أوجد حاصل القسمة 
.
5) رفع إلى قوة كاملة إيجابية.
أ) قوى الوحدة التخيلية.
الاستفادة من المساواة ط 2 = -1فمن السهل تحديد أي قوة عددية موجبة للوحدة التخيلية. لدينا:
أنا 3 = أنا 2 أنا = -أنا،
ط 4 = ط 2 ط 2 = 1،
أنا 5 = أنا 4 أنا = أنا،
ط 6 = ط 4 ط 2 = -1،
أنا 7 = أنا 5 أنا 2 = -أنا،
ط 8 = ط 6 ط 2 = 1إلخ.
وهذا يدل على أن قيم الدرجة في، أين ن- عدد صحيح موجب، يتكرر بشكل دوري مع زيادة المؤشر بمقدار 4 .
ولذلك لرفع العدد أناإلى قوة كاملة موجبة، يجب أن نقسم الأس على 4 وبناء أناإلى قوة أسها يساوي باقي القسمة.
مثال 5: احسب: (ط 36 + ط 17) ط 23.
ط 36 = (ط 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.
ط 23 = ط 4 × 5+3 = (ط 4) 5 × ط 3 = 1 · ط 3 = - ط.
(ط 36 + ط 17) · ط 23 = (1 + ط) (- ط) = - ط + 1= 1 – ط.
ب) يتم رفع عدد مركب إلى قوة صحيحة موجبة وفقًا لقاعدة رفع ذات الحدين إلى القوة المقابلة، لأنها حالة خاصة لضرب العوامل المعقدة المتطابقة.
مثال 6: احسب: (4 + 2ط) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
يبحث
يمكننا إعلامك بالمقالات الجديدة ،