1. يقسم الوسيط المثلث إلى مثلثين متساويين في المساحة.

2. يتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة، مما يقسم كل منها بنسبة 2:1، اعتباراً من الرأس. هذه النقطة تسمى مركز الثقلمثلث.

3. يتم تقسيم المثلث بأكمله حسب متوسطاته إلى ستة مثلثات متساوية.

خصائص منصفات المثلث

1. منصف الزاوية هو موضع النقاط المتساوية البعد عن جوانب هذه الزاوية.

2. منصف الزاوية الداخلية للمثلث يقسم الضلع المقابل إلى أجزاء متناسبة مع الأضلاع المجاورة: .

3. نقطة تقاطع منصفات المثلث هي مركز الدائرة المحصورة في هذا المثلث.

خصائص ارتفاعات المثلث

1. في المثلث القائم الزاوية، الارتفاع المرسوم من الرأس الزاوية اليمنى، ويقسمه إلى مثلثين مشابهين للمثلث الأصلي.

2. في مثلث حاد الزوايا، يقطع ارتفاعان منه ارتفاعات متشابهة مثلثات.

خصائص المنصفات العمودية للمثلث

1. كل نقطة من المنصف العمودي على القطعة تكون متساوية البعد عن طرفي هذه القطعة. والعكس صحيح أيضًا: فكل نقطة متساوية البعد من طرفي القطعة تقع على المنصف العمودي عليها.

2. نقطة تقاطع المنصفات المتعامدة المرسومة على جانبي المثلث هي مركز الدائرة المحيطة بهذا المثلث.

خاصية خط الوسط للمثلث

خط الوسط للمثلث يوازي أحد أضلاعه ويساوي نصف ذلك الضلع.

تشابه المثلثات

مثلثين مشابهإذا تم استدعاء أحد الشروط التالية علامات التشابه:

· زاويتان لمثلث واحد تساوي زاويتين لمثلث آخر.

· يتناسب ضلعان في مثلث مع ضلعين في مثلث آخر، وتكون الزوايا المتكونة من هذين الضلعين متساوية؛

· ثلاثة أضلاع لمثلث واحد تتناسب على التوالي مع ثلاثة أضلاع لمثلث آخر.

في المثلثات المتشابهة، تكون الخطوط المتناظرة (الارتفاعات والمتوسطات والمنصفات وما إلى ذلك) متناسبة.

نظرية الجيب

نظرية جيب التمام

2= ب 2+ ج2- 2قبل الميلادكوس

صيغ منطقة المثلث

1. المثلث الحر

أ، ب، ج -الجانبين. - الزاوية بين الجانبين أو ب; - نصف محيط؛ ص-نصف قطر الدائرة المقيدة؛ ص-نصف قطر الدائرة المنقوشة س-مربع؛ ح أ -الارتفاع المرسوم عليه جانب أ.

س = آه أ

S = أب الخطيئة

س = العلاقات العامة

2. المثلث الأيمن

أ، ب -الساقين. ج-الوتر. ح ج -الارتفاع المرسوم على الجانب ج.

S = الفصل ج S = أب

3. مثلث متساوي الأضلاع

رباعيات

خصائص متوازي الأضلاع

· تساوي الجانبين المتقابلين؛

· الزوايا المتقابلة متساوية؛

· تنقسم الأقطار إلى نصفين حسب نقطة التقاطع.

· مجموع الزوايا المجاورة لأحد الجانبين هو 180 درجة؛

مجموع مربعات الأقطار يساوي مجموع مربعات جميع جوانبها:

د 1 2 + د 2 2 =2(أ 2 + ب 2).

يكون الشكل الرباعي متوازي أضلاع إذا:

1. أن ضلعيه المتقابلين متساويان ومتوازيان.

2. الجوانب المتقابلة متساوية في الأزواج.

3. الزوايا المتقابلة متساوية في الأزواج.

4. يتم تقسيم الأقطار إلى نصفين حسب نقطة التقاطع.

خصائص شبه منحرف

· خط وسطه يوازي القاعدتين ويساوي نصف مجموعهما.

· إذا كان شبه المنحرف متساوي الساقين فإن أقطاره متساوية وزوايا القاعدة متساوية؛

· إذا كان شبه المنحرف متساوي الساقين فيمكن وصف دائرة حوله؛

· إذا كان مجموع القواعد يساوي مجموع الأضلاع فيمكن كتابة دائرة فيه.

خصائص المستطيل

الأقطار متساوية.

متوازي الأضلاع يكون مستطيلاً إذا:

1. أن تكون إحدى زواياه مستقيمة.

2. أقطارها متساوية.

خصائص المعين

· جميع خصائص متوازي الأضلاع.

الأقطار متعامدة.

الأقطار هي منصفات زواياه.

1. يكون متوازي الأضلاع معينًا إذا:

2. ضلعاه المتجاوران متساويان.

3. قطراه متعامدان.

4. أحد القطرين هو منصف زاويته.

خصائص المربع

· جميع أركان المربع صحيحة؛

· أقطار المربع متساوية ومتعامدة، ونقطة التقاطع تنصف وتنصف زوايا المربع.

المستطيل هو مربع إذا كان لديه أي خصائص المعين.

الصيغ الأساسية

1. أي شكل رباعي محدب
د 1,د 2 -الأقطار. - الزاوية بينهما؛ س-مربع.

س = د 1 د 2 خطيئة

ملحوظة. في هذا الدرسانطلق المواد النظريةوحل المسائل الهندسية في موضوع "الوسيط في المثلث القائم الزاوية". إذا كنت بحاجة إلى حل مشكلة هندسية غير موجودة هنا، فاكتب عنها في المنتدى. ومن المؤكد تقريبا أن يتم استكمال الدورة.

خصائص متوسط ​​المثلث القائم الزاوية

تحديد الوسيط

• تتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة وتنقسم عند هذه النقطة إلى قسمين بنسبة 2:1، من رأس الزاوية. تسمى نقطة تقاطعهم مركز ثقل المثلث (نادرًا ما يتم استخدام مصطلح "النقطه الوسطى" للإشارة إلى هذه النقطة في المشكلات) ،
• يقسم الوسيط المثلث إلى مثلثين متساويين في الحجم.
• يقسم المثلث على ثلاثة متوسطات إلى ستة مثلثات متساوية.
• الجانب الأكبر من المثلث يتوافق مع الوسيط الأصغر.

تستخدم المشكلات الهندسية المقترحة للحل بشكل أساسي ما يلي خواص متوسط ​​المثلث القائم الزاوية.

• مجموع مربعات المتوسطات المسقطة على أرجل المثلث القائم يساوي خمسة مربعات من المتوسطات المسقطة على الوتر (الصيغة 1)
• انخفض الوسيط إلى وتر المثلث القائم الزاوية يساوي نصف الوتر(الصيغة 2)
• متوسط ​​الوتر في المثلث القائم هو يساوي نصف قطر الدائرة المحيطة بهاإعطاء مثلث قائم الزاوية (الصيغة 2)
• انخفض الوسيط إلى الوتر يساوي نصف الجذر التربيعي لمجموع مربعي الساقين(الصيغة 3)
• الوسيط المخفض إلى الوتر يساوي حاصل قسمة طول الساق على جيبي الساق المقابلة زاوية حادة(الصيغة 4)
• الوسيط المخفض إلى الوتر يساوي حاصل قسمة طول الساق على جيبي التمام للزاوية الحادة المجاورة للساق (الصيغة 4)
• مجموع مربعات أضلاع المثلث القائم الزاوية يساوي ثمانية مربعات من الوسيط المسقط إلى الوتر (الصيغة 5)

التدوين في الصيغ:

أ، ب- أرجل المثلث الأيمن

ج- الوتر في المثلث الأيمن

إذا أشرنا إلى المثلث بالرمز ABC، إذن

قبل الميلاد = أ

(إنه الجانبين أ، ب، ج- تكون متقابلة للزوايا المتناظرة)

م أ- الوسيط المرسوم على الساق أ

م ب- الوسيط المرسوم على الساق ب

م ج - متوسط ​​المثلث الأيمن، مرسومة إلى الوتر مع

ألفا (ألفا)- زاوية الكابينة المقابلة للجانب أ

مشكلة حول الوسيط في المثلث القائم

متوسطات المثلث القائم المرسوم على الساقين تساوي 3 سم و 4 سم على التوالي. أوجد وتر المثلث

حل

قبل البدء في حل المشكلة، دعونا ننتبه إلى نسبة طول الوتر في المثلث القائم الزاوية والوسيط الذي ينخفض ​​عليه. للقيام بذلك، دعونا ننتقل إلى الصيغ 2، 4، 5 خصائص الوسيط في المثلث القائم. تشير هذه الصيغ بوضوح إلى نسبة الوتر إلى الوسيط، والتي تم تخفيضها عليها من 1 إلى 2. لذلك، لتسهيل الحسابات المستقبلية (والتي لن تؤثر على صحة الحل بأي شكل من الأشكال، ولكنها ستجعله أكثر دقة) ملائم)، نشير إلى أطوال الأرجل AC وBC بالمتغيرين x وy كـ 2x ​​و2y (وليس x وy).

النظر في المثلث الأيمن ADC. الزاوية C صحيحة حسب شروط المشكلة، والضلع AC مشترك مع المثلث ABC، والضلع CD يساوي نصف BC حسب خواص الوسيط. ثم حسب نظرية فيثاغورس

أس 2 + سي دي 2 = م 2

بما أن AC = 2x، CD = y (بما أن الوسيط يقسم الساق إلى جزأين متساويين)، إذن
4س 2 + ص 2 = 9

في الوقت نفسه، ضع في اعتبارك المثلث القائم الزاوية EBC. كما أن لها زاوية مستقيمة C حسب شروط المشكلة، الضلع BC شائع مع الضلع BC الأصلي المثلث ABC، والساق EC، من خلال خاصية الوسيط، يساوي نصف الساق AC للمثلث الأصلي ABC.
وفقا لنظرية فيثاغورس:
إي سي 2 + بي سي 2 = بي إي 2

بما أن EC = x (الوسيط يقسم الساق إلى نصفين)، BC = 2y، إذن
× 2 + 4ص 2 = 16

بما أن المثلثات ABC وEBC وADC متصلة بأضلاع مشتركة، فإن المعادلتين الناتجتين مرتبطتان أيضًا.
دعونا نحل نظام المعادلات الناتج.
4س 2 + ص 2 = 9
× 2 + 4ص 2 = 16

المثلث هو مضلع له ثلاثة أضلاع، أو خط مغلق متقطع له ثلاث وصلات، أو شكل مكون من ثلاثة أجزاء تربط بين ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط المستقيم (انظر الشكل 1).

العناصر الأساسية للمثلث ABC

القمم - النقاط أ، ب، ج؛

الأطراف - المقاطع a = BC، وb = AC، وc = AB التي تربط القمم؛

الزوايا - α، β، γ مكونة من ثلاثة أزواج من الجوانب. غالبًا ما يتم تحديد الزوايا بنفس طريقة تسمية الرءوس، بالأحرف A وB وC.

والزاوية التي تتكون من أضلاع المثلث والواقعة في باطنه تسمى زاوية داخلية، والمجاورة لها هي الزاوية المجاورة للمثلث (2، ص 534).

الارتفاعات والمتوسطات والمنصفات وخطوط الوسط في المثلث

بالإضافة إلى العناصر الرئيسية في المثلث، يتم أيضًا أخذ الأجزاء الأخرى ذات الخصائص المثيرة للاهتمام في الاعتبار: الارتفاعات والمتوسطات والمنصفات وخطوط الوسط.

ارتفاع

ارتفاعات المثلث- هي عموديات تسقط من رؤوس المثلث إلى الجانبين المتقابلين.

لرسم الارتفاع، يجب عليك تنفيذ الخطوات التالية:

1) ارسم خطًا مستقيمًا يحتوي على أحد أضلاع المثلث (إذا كان الارتفاع مرسومًا من رأس زاوية حادة في مثلث منفرج)؛

2) من الرأس الواقع مقابل الخط المرسوم، ارسم قطعة من النقطة إلى هذا الخط، وصنع زاوية قدرها 90 درجة معها.

تسمى النقطة التي يتقاطع فيها الارتفاع مع جانب المثلث قاعدة الارتفاع (انظر الشكل 2).

خصائص ارتفاعات المثلث

في المثلث القائم، الارتفاع المرسوم من رأس الزاوية القائمة يقسمه إلى مثلثين مشابهين للمثلث الأصلي.

في المثلث حاد الزوايا، يقطع ارتفاعاه المثلثات المتشابهة عنه.

إذا كان المثلث حادا فإن جميع قواعد الارتفاعات تنتمي إلى أضلاع المثلث، وفي المثلث المنفرج يقع ارتفاعان على استمرار الجانبين.

ثلاثة ارتفاعات في مثلث حاد تتقاطع عند نقطة واحدة وتسمى هذه النقطة مركز تقويم العظام مثلث.

متوسط

الوسطاء(من اللاتينية mediana - "الوسطى") - هذه هي الأجزاء التي تربط رؤوس المثلث بنقاط منتصف الجوانب المقابلة (انظر الشكل 3).

لتكوين الوسيط يجب عليك تنفيذ الخطوات التالية:

1) العثور على منتصف الجانب؛

2) قم بتوصيل النقطة التي تقع في منتصف جانب المثلث بالرأس المقابل بقطعة.

خصائص متوسطات المثلث

يقسم الوسيط المثلث إلى مثلثين متساويين في المساحة.

تتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة، مما يقسم كل منها بنسبة 2:1، اعتبارًا من الرأس. هذه النقطة تسمى مركز الثقل مثلث.

يتم تقسيم المثلث بأكمله بواسطة متوسطاته إلى ستة مثلثات متساوية.

منصف

منصفات(من اللاتينية مكرر - مرتين وسيكو - قطع) هي قطع الخط المستقيم المحاطة داخل المثلث الذي يشطر زواياه (انظر الشكل 4).

لبناء منصف، يجب عليك تنفيذ الخطوات التالية:

1) إنشاء شعاع يخرج من رأس الزاوية وتقسيمه إلى قسمين متساويين (منصف الزاوية).

2) العثور على نقطة تقاطع منصف زاوية المثلث مع الجانب المقابل؛

3) حدد القطعة التي تربط قمة المثلث بنقطة التقاطع على الجانب الآخر.

خصائص منصفات المثلث

منصف زاوية المثلث يقسم الضلع المقابل بنسبة تساوي النسبة بين الضلعين المتجاورين.

منصفات زوايا داخليةالمثلثات تتقاطع عند نقطة واحدة. تسمى هذه النقطة مركز الدائرة المنقوشة.

منصفات الزوايا الداخلية والخارجية متعامدة.

إذا كان منصف زاوية خارجية للمثلث يتقاطع مع امتداد الضلع المقابل فإن ADBD=ACBC.

تتقاطع منصفات إحدى الزوايا الداخلية والزاويتين الخارجيتين للمثلث عند نقطة واحدة. وهذه النقطة هي مركز إحدى دوائر هذا المثلث الثلاثة.

تقع قواعد منصفات الزاويتين الداخلية والخارجية للمثلث على نفس الخط المستقيم إذا لم يكن منصف الزاوية الخارجية موازياً للضلع المقابل للمثلث.

إذا كانت منصفات الزوايا الخارجية للمثلث غير متوازية الجانبين المتقابلين، فإن قاعدتيهما تقعان على نفس الخط المستقيم.

عند دراسة أي موضوع في الدورة المدرسية، يمكنك تحديد حد أدنى معين من المشكلات، وبعد إتقان طرق حلها، سيتمكن الطلاب من حل أي مشكلة على مستوى متطلبات البرنامج حول الموضوع قيد الدراسة. أقترح النظر في المشكلات التي ستسمح لك برؤية العلاقات المتبادلة بين الموضوعات الفردية في دورة الرياضيات المدرسية. ولذلك، فإن نظام المهام المترجمة هو وسائل فعالةالتكرار والتعميم والتنظيم المواد التعليميةأثناء تحضير الطلاب للامتحان.

اجتياز الامتحان لن يكون غير ضروري معلومات إضافيةحول بعض عناصر المثلث دعونا نفكر في خصائص متوسط ​​المثلث والمسائل التي يمكن استخدام هذه الخصائص في حلها. المهام المقترحة تنفذ مبدأ تمايز المستوى. يتم تقسيم جميع المهام بشكل مشروط إلى مستويات (يشار إلى المستوى بين قوسين بعد كل مهمة).

دعونا نتذكر بعض خصائص متوسط ​​المثلث

الخاصية 1. اثبات أن متوسط ​​المثلث اي بي سي، مأخوذة من قمة الرأس أ، أقل من نصف مجموع الجوانب أ.بو مكيف الهواء.

دليل

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

الملكية 2. يقطع الوسيط المثلث إلى منطقتين متساويتين.

دليل

دعونا نرسم من الرأس B للمثلث ABC الوسيط BD والارتفاع BE..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

وبما أن القطعة BD هي الوسيط، إذن

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} الخاصية 4. متوسطات المثلث تقسم المثلث إلى 6 مثلثات متساوية.

دليل

لنثبت أن مساحة كل مثلث من المثلثات الستة التي يقسم إليها المتوسطات المثلث ABC تساوي مساحة المثلث ABC. للقيام بذلك، خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، المثلث AOF وقم بإسقاط AK المتعامد من الرأس A إلى الخط BF.

بسبب الخاصية 2

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

العقار 6. الوسيط في المثلث القائم الزاوية المرسوم من رأس الزاوية القائمة يساوي نصف الوتر.

دليل

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

عواقب:1. يقع مركز الدائرة المحاطة بمثلث قائم الزاوية في منتصف الوتر.

2. إذا كان طول الوسيط في مثلث يساوي نصف طول الضلع المرسوم عليه، فإن هذا المثلث قائم الزاوية.

المهام

عند حل كل مشكلة لاحقة، يتم استخدام الخصائص المثبتة.

№1 المواضيع: مضاعفة الوسيط. الصعوبة: 2+

علامات وخصائص متوازي الأضلاع الدرجات: 8,9

حالة

على استمرار الوسيط أكون.مثلث اي بي سيلكل نقطة متم تأجيل الجزء (دكتور في الطب)، متساوي أكون.. اثبات أن الرباعي اي بي دي سي- متوازي الأضلاع.

حل

دعونا نستخدم إحدى علامات متوازي الأضلاع. أقطار الشكل الرباعي اي بي دي سيتتقاطع عند نقطة ما موتقسيمه إلى نصفين، وبالتالي الشكل الرباعي اي بي دي سي- متوازي الأضلاع.