إيماءة وإيماءة بثلاثة أرقام أو أكثر. إيماءة ونوك الأرقام - القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام أمثلة على العثور على إيماءة وإيماءة

القاسم المشترك الأكبر

التعريف 2

إذا كان العدد الطبيعي a قابلاً للقسمة على عدد طبيعي $b$، فإن $b$ يسمى مقسومًا على $a$، ويسمى $a$ مضاعف $b$.

اجعل $a$ و $b$ عددين طبيعيين. يُطلق على الرقم $c$ القاسم المشترك لكل من $a$ و$b$.

مجموعة القواسم المشتركة للأرقام $a$ و $b$ محدودة، حيث لا يمكن أن يكون أي من هذه المقسومات أكبر من $a$. وهذا يعني أن من بين هذه المقسومات أكبر وهو ما يسمى القاسم المشترك الأكبر للأعداد $a$ و $b$ ويرمز له بالرموز التالية:

$GCD\(a;b)\ أو \D\(a;b)$

للعثور على القاسم المشترك الأكبر لعددين تحتاج إلى:

ابحث عن حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو القاسم المشترك الأكبر المطلوب.

مثال 1

ابحث عن GCD للأرقام $121$ و$132.$

242 دولارًا = 2\cdot 11\cdot 11$

132 دولارًا = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

اختر الأرقام المضمنة في توسيع هذه الأرقام

242 دولارًا = 2\cdot 11\cdot 11$

132 دولارًا = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

ابحث عن حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو القاسم المشترك الأكبر المطلوب.

$GCD=2\cdot 11=22$

مثال 2

أوجد gcd لأحاديات الحد $63$ و$81$.

سوف نجد وفقا للخوارزمية المقدمة. للقيام بذلك:

دعونا نحلل الأرقام إلى عوامل أولية

63 دولارًا = 3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

نختار الأرقام التي تم تضمينها في توسيع هذه الأرقام

63 دولارًا = 3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

لنجد حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو القاسم المشترك الأكبر المطلوب.

$GCD=3\cdot 3=9$

يمكنك العثور على GCD لرقمين بطريقة أخرى، وذلك باستخدام مجموعة من قواسم الأرقام.

مثال 3

ابحث عن GCD للأرقام $48$ و $60$.

حل:

دعونا نجد مجموعة المقسومات للرقم $48$: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

الآن لنجد مجموعة قواسم الرقم $60$:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$ $

دعونا نجد تقاطع هذه المجموعات: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - ستحدد هذه المجموعة مجموعة المقسومات المشتركة للأرقام $48$ و$60 $. أكبر عنصر في هذه المجموعة سيكون الرقم 12$. وهذا يعني أن القاسم المشترك الأكبر للأرقام $48$ و$60$ هو $12$.

تعريف القروض المتعثرة

التعريف 3

المضاعفات الشائعة للأعداد الطبيعية$a$ و$b$ هو عدد طبيعي مضاعف لكل من $a$ و$b$.

المضاعفات الشائعة للأرقام هي أرقام قابلة للقسمة على الأرقام الأصلية بدون باقي، على سبيل المثال، بالنسبة للأرقام $25$ و$50$، فإن المضاعفات المشتركة ستكون الأرقام $50,100,150,200$، إلخ.

يُطلق على أصغر مضاعف مشترك اسم المضاعف المشترك الأصغر ويُشار إليه بالرمز LCM$(a;b)$ أو K$(a;b).$

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لعددين، عليك:

تحليل الأعداد إلى عوامل أولية
اكتب العوامل التي هي جزء من العدد الأول وأضف إليها العوامل التي هي جزء من الثاني وليست جزءا من الأول

مثال 4

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام $99$ و$77$.

سوف نجد وفقا للخوارزمية المقدمة. لهذا

تحليل الأعداد إلى عوامل أولية

99 دولارًا = 3\cdot 3\cdot 11$

اكتب العوامل المتضمنة في الأول

أضف إليها مضاعفات هي جزء من الثاني وليست جزءا من الأول

ابحث عن حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو المضاعف المشترك الأصغر المطلوب

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

غالبًا ما يكون تجميع قوائم مقسومات الأرقام مهمة كثيفة العمالة. هناك طريقة للعثور على GCD تسمى الخوارزمية الإقليدية.

البيانات التي تعتمد عليها الخوارزمية الإقليدية:

إذا كان $a$ و $b$ عبارة عن أعداد طبيعية، و $a\vdots b$، فإن $D(a;b)=b$

إذا كان $a$ و $b$ عبارة عن أعداد طبيعية مثل $b

باستخدام $D(a;b)= D(a-b;b)$، يمكننا تقليل الأرقام قيد النظر تباعًا حتى نصل إلى زوج من الأرقام بحيث يكون أحدهما قابلاً للقسمة على الآخر. ثم أصغر هذه الأرقام سيكون القاسم المشترك الأكبر المطلوب للأرقام $a$ و $b$.

خصائص GCD وLCM

أي مضاعف مشترك لـ $a$ و$b$ قابل للقسمة على K$(a;b)$
إذا كان $a\vdots b$، فإن К$(a;b)=a$

إذا كان K$(a;b)=k$ و$m$ عددًا طبيعيًا، فإن K$(am;bm)=km$

إذا كان $d$ هو القاسم المشترك لـ $a$ و $b$، فإن K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

إذا كان $a\vdots c$ و $b\vdots c$، فإن $\frac(ab)(c)$ هو المضاعف المشترك لـ $a$ و $b$

بالنسبة لأي أعداد طبيعية $a$ و$b$، فإن المساواة تنطبق

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

أي قاسم مشترك للأرقام $a$ و $b$ هو قاسم للرقم $D(a;b)$

هذه المقالة مخصصة لمسألة إيجاد القاسم المشترك الأكبر. أولاً، سنشرح ما هو ونعطي عدة أمثلة، ونقدم تعريفات القاسم المشترك الأكبر لأرقام 2 أو 3 أو أكثر، وبعد ذلك سنتناول الخصائص العامة لهذا المفهوم ونثبتها.

ما هي القواسم المشتركة

لفهم القاسم المشترك الأكبر، نقوم أولاً بصياغة القاسم المشترك للأعداد الصحيحة بشكل عام.

في مقالنا عن المضاعفات والمقسومات، قلنا أن العدد الصحيح له دائمًا عدة قواسم. نحن هنا مهتمون بمقسومات عدد معين من الأعداد الصحيحة في وقت واحد، وخاصة تلك المشتركة (المتطابقة) للجميع. دعونا نكتب التعريف الأساسي.

التعريف 1

القاسم المشترك لعدة أعداد صحيحة هو الرقم الذي يمكن أن يكون مقسومًا على كل رقم من المجموعة المحددة.

مثال 1

فيما يلي أمثلة على هذا المقسوم: ثلاثة سيكون قاسمًا مشتركًا للأرقام - 12 و 9، نظرًا لأن التساويات 9 = 3 · 3 و − 12 = 3 · (− 4) صحيحة. الأعداد 3 و - 12 لهما عوامل مشتركة أخرى، مثل 1، − 1 و − 3. لنأخذ مثالا آخر. الأعداد الصحيحة الأربعة 3 و − 11 و − 8 و 19 سيكون لها عاملان مشتركان: 1 و - 1.

بمعرفة خصائص قابلية القسمة، يمكننا القول إن أي عدد صحيح يمكن قسمته على واحد وسالب واحد، مما يعني أن أي مجموعة من الأعداد الصحيحة سيكون لها قاسمان مشتركان على الأقل.

لاحظ أيضًا أنه إذا كان لدينا مقسوم مشترك b لعدة أرقام، فيمكن قسمة نفس الأرقام على الرقم المقابل، أي على - b. من حيث المبدأ، يمكننا فقط أخذ المقسومات الموجبة، وبالتالي فإن جميع المقسومات المشتركة ستكون أيضًا أكبر من 0. يمكن أيضًا استخدام هذا الأسلوب، ولكن لا ينبغي تجاهل الأرقام السالبة تمامًا.

ما هو القاسم المشترك الأكبر (GCD)

وفقًا لخصائص قابلية القسمة، إذا كان b مقسومًا على عدد صحيح a لا يساوي 0، فإن معامل b لا يمكن أن يكون أكبر من معامل a، وبالتالي فإن أي رقم لا يساوي 0 له عدد محدود من المقسومات. وهذا يعني أن عدد القواسم المشتركة لعدة أعداد صحيحة، واحد منها على الأقل يختلف عن الصفر، سيكون محدودًا أيضًا، ومن مجموعتها بأكملها يمكننا دائمًا اختيار العدد الأكبر (لقد تحدثنا بالفعل عن مفهوم الأكبر وأصغر عدد صحيح، ننصحك بتكرار هذه المادة).

في مزيد من المناقشات، سنفترض أن واحدًا على الأقل من مجموعة الأرقام التي نحتاج إلى إيجاد القاسم المشترك الأكبر لها سيكون مختلفًا عن 0. إذا كانت جميعها تساوي 0، فيمكن أن يكون المقسوم عليها أي عدد صحيح، وبما أن هناك عددًا لا نهائيًا منها، فلا يمكننا اختيار أكبرها. بمعنى آخر، من المستحيل إيجاد القاسم المشترك الأكبر لمجموعة أرقام تساوي 0.

دعنا ننتقل إلى صياغة التعريف الرئيسي.

التعريف 2

القاسم المشترك الأكبر لعدة أرقام هو أكبر عدد صحيح يقسم كل هذه الأرقام.

في الكتابة، غالبًا ما يُشار إلى القاسم المشترك الأكبر بالاختصار GCD. بالنسبة لعددين يمكن كتابتهما بالشكل gcd (a، b).

مثال 2

ما هو مثال gcd لعددين صحيحين؟ على سبيل المثال، بالنسبة للعددين 6 و-15 سيكون 3. دعونا نبرر هذا. أولاً، نكتب جميع قواسم العدد ستة: ± 6، ± 3، ± 1، ثم جميع قواسم العدد 15: ± 15، ± 5، ± 3 و± 1. بعد ذلك، نختار القيم المشتركة: وهي − 3 و− 1 و1 و3. من بينها، عليك أن تختار أكبر عدد. سيكون هذا 3.

بالنسبة لثلاثة أرقام أو أكثر، سيكون تحديد العامل المشترك الأكبر هو نفسه تقريبًا.

التعريف 3

سيكون القاسم المشترك الأكبر لثلاثة أرقام أو أكثر هو أكبر عدد صحيح يقسم كل هذه الأرقام في نفس الوقت.

بالنسبة للأرقام a 1، a 2، ...، a n، من المناسب الإشارة إلى المقسوم عليه بـ GCD (a 1، a 2، ...، a n). تتم كتابة قيمة المقسوم عليه كـ GCD (a 1, a 2, ..., a n) = b.

مثال 3

فيما يلي أمثلة على القاسم المشترك الأكبر لعدة أعداد صحيحة: 12، - 8، 52، 16. سيكون مساويًا لأربعة، مما يعني أنه يمكننا كتابة GCD (12، - 8، 52، 16) = 4.

يمكنك التحقق من صحة هذه العبارة من خلال تدوين جميع قواسم هذه الأرقام ثم اختيار أكبرها.

من الناحية العملية، غالبًا ما تكون هناك حالات يكون فيها القاسم المشترك الأكبر مساويًا لأحد الأرقام. يحدث هذا عندما يمكن تقسيم جميع الأرقام الأخرى على رقم معين (في الفقرة الأولى من المقالة قدمنا دليلاً على هذا البيان).

مثال 4

وبالتالي، فإن القاسم المشترك الأكبر للأرقام 60 و 15 و - 45 هو 15، حيث أن خمسة عشر قابل للقسمة ليس فقط على 60 و - 45، ولكن أيضًا على نفسه، ولا يوجد مقسوم أكبر لكل هذه الأرقام.

حالة خاصة تتكون من أرقام coprime. وهي أعداد صحيحة ذات قاسم مشترك أكبر هو 1.

الخصائص الأساسية لخوارزمية GCD والخوارزمية الإقليدية

القاسم المشترك الأكبر له بعض الخصائص المميزة. دعونا نصيغها في شكل نظريات ونثبت كل منها.

لاحظ أن هذه الخصائص تمت صياغتها للأعداد الصحيحة الأكبر من الصفر، وسوف نأخذ في الاعتبار المقسومات الموجبة فقط.

التعريف 4

الأرقام a و b لها القاسم المشترك الأكبر يساوي gcd لـ b و a، أي gcd (a, b) = gcd (b, a). عكس الأرقام لا يؤثر على النتيجة النهائية.

تتبع هذه الخاصية تعريف GCD ذاته ولا تحتاج إلى إثبات.

التعريف 5

إذا كان من الممكن قسمة الرقم a على الرقم b، فإن مجموعة القواسم المشتركة لهذين الرقمين ستكون مشابهة لمجموعة قواسم الرقم b، أي gcd (a, b) = b.

دعونا نثبت هذا البيان.

الدليل 1

إذا كان العددان a وb لهما قواسم مشتركة، فيمكن قسمة أي منهما عليهما. في الوقت نفسه، إذا كان a مضاعفًا لـ b، فإن أي مقسوم على b سيكون أيضًا مقسومًا على a، لأن قابلية القسمة لها خاصية مثل العبور. هذا يعني أن أي مقسوم عليه b سيكون مشتركًا بين العددين a وb. وهذا يثبت أنه إذا تمكنا من قسمة a على b، فإن مجموعة جميع قواسم كلا الرقمين سوف تتطابق مع مجموعة قواسم الرقم الواحد b. وبما أن القاسم الأكبر لأي رقم هو هذا الرقم نفسه، فإن القاسم المشترك الأكبر للرقمين a وb سيكون أيضًا مساويًا لـ b، أي. جي سي دي (أ، ب) = ب . إذا كانت a = b، فإن gcd (a, b) = gcd (a, a) = gcd (b, b) = a = b، على سبيل المثال، gcd (132, 132) = 132.

باستخدام هذه الخاصية، يمكننا إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين إذا أمكن قسمة أحدهما على الآخر. وهذا المقسوم عليه يساوي أحد هذين الرقمين اللذين يمكن قسمة الرقم الثاني عليهما. على سبيل المثال، gcd (8، 24) = 8، نظرًا لأن 24 هو أحد مضاعفات الثمانية.

التعريف 6 الدليل 2

دعونا نحاول إثبات هذه الخاصية. لدينا في البداية المساواة a = b q + c، وأي قاسم مشترك لـ a وb سوف يقسم c أيضًا، وهو ما يفسره خاصية قابلية القسمة المقابلة. ولذلك فإن أي قاسم مشترك لـ b وc سوف يقسم a. وهذا يعني أن مجموعة المقسومات المشتركة a وb سوف تتطابق مع مجموعة المقسومات b وc، بما في ذلك أكبرها، مما يعني أن المساواة gcd (a, b) = gcd (b, c) صحيحة.

التعريف 7

الخاصية التالية تسمى الخوارزمية الإقليدية. بمساعدتها، يمكنك حساب القاسم المشترك الأكبر لعددين، وكذلك إثبات خصائص GCD الأخرى.

قبل صياغة الخاصية، ننصحك بتكرار النظرية التي أثبتناها في مقال القسمة على الباقي. وفقًا لها، يمكن تمثيل الرقم القابل للقسمة a على شكل b · q + r، حيث يكون b هنا مقسومًا عليه، وq يمثل عددًا صحيحًا (يُسمى أيضًا حاصل القسمة غير المكتمل)، وr هو الباقي الذي يفي بالشرط 0 ≥ r ≥ ب.

لنفترض أن لدينا عددين صحيحين أكبر من 0، حيث تكون المساواة التالية صحيحة:

أ = ب ف 1 + ص 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

تنتهي هذه المساواة عندما يصبح r k + 1 يساوي 0. سيحدث هذا بالتأكيد، نظرًا لأن التسلسل b > r 1 > r 2 > r 3، ... عبارة عن سلسلة من الأعداد الصحيحة المتناقصة، والتي لا يمكن أن تتضمن سوى عدد محدود منها. هذا يعني أن r k هو القاسم المشترك الأكبر لـ a وb، أي r k = gcd (a, b).

أولًا، نحتاج إلى إثبات أن r k هو قاسم مشترك للرقمين a وb، وبعد ذلك، فإن r k ليس مجرد مقسوم عليه، بل هو القاسم المشترك الأكبر لعددين محددين.

دعونا نلقي نظرة على قائمة المساواة أعلاه، من الأسفل إلى الأعلى. وفقا للمساواة الأخيرة ،
يمكن قسمة r k − 1 على r k . بناءً على هذه الحقيقة، بالإضافة إلى الخاصية المثبتة السابقة للقاسم المشترك الأكبر، يمكن القول بأن r k − 2 يمكن قسمتها على r k ، نظرًا لأن
r k − 1 مقسوم على r k و r k مقسوم على r k .

المساواة الثالثة من الأسفل تسمح لنا باستنتاج أن r k − 3 يمكن قسمتها على r k ، إلخ. والثاني من الأسفل أن b يقبل القسمة على r k، والأول أن a يقبل القسمة على r k. ومن كل هذا نستنتج أن r k هو القاسم المشترك للعددين a وb.

الآن دعونا نثبت أن r k = GCD (a , b) . ما الذي يجب القيام به لهذا؟ أظهر أن أي قاسم مشترك لـ a وb سوف يقسم r k. دعونا نشير إلى ذلك ص 0 .

دعونا ننظر إلى نفس قائمة المساواة، ولكن من الأعلى إلى الأسفل. بناءً على الخاصية السابقة، يمكننا أن نستنتج أن r 1 يقبل القسمة على r 0، مما يعني أنه وفقًا للمساواة الثانية، r 2 مقسوم على r 0. ننزل جميع المعادلات ومن الأخير نستنتج أن r k قابل للقسمة على r 0 . لذلك، r k = gcd (a , b) .

وبعد النظر في هذه الخاصية، نستنتج أن مجموعة المقسومات المشتركة a وb تشبه مجموعة قواسم GCD لهذه الأرقام. هذا البيان، الذي هو نتيجة لخوارزمية إقليديان، سيسمح لنا بحساب جميع المقسومات المشتركة لعددين محددين.

دعنا ننتقل إلى خصائص أخرى.

التعريف 8

إذا كان a وb عددين صحيحين لا يساويان 0، فيجب أن يكون هناك عددان صحيحان آخران u 0 وv 0 حيث تكون المساواة GCD (a, b) = a · u 0 + b · v 0 صالحة.

المساواة الواردة في بيان الخاصية هي تمثيل خطي للقاسم المشترك الأكبر للعددين a وb. وتسمى علاقة بيزوت، ويسمى الرقمان u 0 و v 0 بمعاملات بيزوت.

الدليل 3

دعونا نثبت هذه الخاصية. دعونا نكتب تسلسل المساواة باستخدام الخوارزمية الإقليدية:

تخبرنا المساواة الأولى أن r 1 = a − b · q 1 . دعونا نشير إلى 1 = s 1 و − q 1 = t 1 ونعيد كتابة هذه المساواة بالصيغة r 1 = s 1 · a + t 1 · b. هنا الأرقام s 1 و t 1 ستكون أعدادًا صحيحة. المساواة الثانية تسمح لنا باستنتاج أن r 2 = b − r 1 · q 2 = b − (s 1 · a + t 1 · b) · q 2 = − s 1 · q 2 · a + (1 − t 1 · س2) ب . دعونا نشير إلى − s 1 · q 2 = s 2 و 1 − t 1 · q 2 = t 2 ونعيد كتابة المساواة بالشكل r 2 = s 2 · a + t 2 · b، حيث s 2 و t 2 سيكونان أيضًا الأعداد الصحيحة. وذلك لأن مجموع الأعداد الصحيحة وحاصل ضربها والفرق بينها هي أيضًا أعداد صحيحة. بنفس الطريقة تمامًا نحصل على المساواة الثالثة r 3 = s 3 · a + t 3 · b، ومن المساواة التالية r 4 = s 4 · a + t 4 · b، إلخ. في النهاية نستنتج أن r k = s k · a + t k · b للعدد الصحيح s k و t k . بما أن r k = GCD (a, b)، فإننا نشير إلى s k = u 0 و t k = v 0. ونتيجة لذلك، يمكننا الحصول على تمثيل خطي لـ GCD بالشكل المطلوب: GCD (a, b) = a · u 0 + ب · ت 0.

التعريف 9

GCD (m a, m b) = m GCD (a, b) لأي قيمة طبيعية لـ m.

الدليل 4

يمكن تبرير هذه الخاصية على النحو التالي. دعونا نضرب طرفي كل مساواة في الخوارزمية الإقليدية بالرقم m ونحصل على GCD (m · a, m · b) = m · r k، و r k هو GCD (a, b). وهذا يعني gcd (m a, m b) = m gcd (a, b). إنها خاصية القاسم المشترك الأكبر التي يتم استخدامها عند إيجاد GCD باستخدام طريقة التحليل.

التعريف 10

إذا كان الرقمان a و b لهما قاسم مشترك p، فإن gcd (a: p, b: p) = gcd (a, b): p. في الحالة التي يكون فيها p = GCD (a, b) نحصل على GCD (a: GCD (a, b)، b: GCD (a, b) = 1، وبالتالي فإن الأرقام a: GCD (a, b) وb : GCD (a، b) أولية نسبيًا.

بما أن a = p (a: p) و b = p (b: p)، إذن، بناءً على الخاصية السابقة، يمكننا إنشاء مساواة بالصيغة gcd (a, b) = gcd (p (a: p)، p · (b: p)) = p · GCD (a: p , b: p) ومن بينها سيكون هناك دليل على هذه الخاصية. نستخدم هذه العبارة عندما نقوم بتبسيط الكسور العادية إلى صورة غير قابلة للاختزال.

التعريف 11

القاسم المشترك الأكبر لـ a 1، a 2، …، a k سيكون الرقم d k، والذي يمكن العثور عليه عن طريق حساب GCD (a 1، a 2) = d 2، GCD (d 2، a 3) = d 3 , GCD (د 3 , أ 4) = د 4 , … , GCD (د ك - 1 , أ ك) = د ك .

هذه الخاصية مفيدة عند إيجاد القاسم المشترك الأكبر لثلاثة أرقام أو أكثر. باستخدامه، يمكنك تقليل هذا الإجراء إلى عمليات تحتوي على رقمين. أساسها هو نتيجة طبيعية من الخوارزمية الإقليدية: إذا كانت مجموعة القواسم المشتركة a 1 وa 2 وa 3 تتطابق مع المجموعة d 2 وa 3، فإنها ستتزامن أيضًا مع المقسومات d 3. قواسم الأرقام a 1 وa 2 وa 3 وa 4 ستتطابق مع قواسم d 3، مما يعني أنها ستتطابق أيضًا مع قواسم d 4، وما إلى ذلك. في النهاية، نحصل على أن القواسم المشتركة للأرقام a 1، a 2، ...، a k سوف تتطابق مع المقسومات d k، وبما أن القاسم الأكبر للرقم d k سيكون هذا الرقم نفسه، فإن GCD (a) 1، أ 2، ...، أ ك) = د ك.

هذا كل ما نود أن نخبرك به عن خصائص القاسم المشترك الأكبر.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

دعونا نحل المشكلة. لدينا نوعان من ملفات تعريف الارتباط. بعضها شوكولاتة والبعض الآخر عادي. هناك 48 قطعة شوكولاتة، و36 قطعة عادية. يتعين عليك الحصول على أكبر عدد ممكن من الهدايا من ملفات تعريف الارتباط هذه، ويجب عليك استخدامها جميعًا.

أولاً، دعونا نكتب جميع قواسم كل من هذين الرقمين، حيث يجب أن يكون كلا الرقمين قابلاً للقسمة على عدد الهدايا.

نحصل على،

48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

دعونا نجد من بين المقسومات المشتركة بين الرقمين الأول والثاني.

العوامل المشتركة ستكون: 1، 2، 3، 4، 6، 12.

العامل المشترك الأكبر على الإطلاق هو الرقم 12. ويسمى هذا الرقم العامل المشترك الأكبر للرقمين 36 و48.

بناءً على النتائج التي تم الحصول عليها، يمكننا أن نستنتج أنه يمكن صنع 12 هدية من جميع ملفات تعريف الارتباط. ستحتوي إحدى هذه الهدايا على 4 قطع من ملفات تعريف الارتباط بالشوكولاتة و3 قطع من ملفات تعريف الارتباط العادية.

إيجاد القاسم المشترك الأكبر

أكبر عدد طبيعي يقسم رقمين a وb بدون باقي يسمى القاسم المشترك الأكبر لهذه الأرقام.

في بعض الأحيان يتم استخدام الاختصار GCD لتقصير الإدخال.

تحتوي بعض أزواج الأرقام على رقم واحد باعتباره القاسم المشترك الأكبر لها. تسمى هذه الأرقام الأعداد الأولية المتبادلة.على سبيل المثال، الأرقام 24 و 35 لها GCD = 1.

كيفية العثور على القاسم المشترك الأكبر

للعثور على القاسم المشترك الأكبر، ليس من الضروري كتابة جميع قواسم الأرقام المعطاة.

يمكنك أن تفعل ذلك بشكل مختلف. أولاً، قم بتحليل كلا الرقمين إلى عوامل أولية.

48 = 2*2*2*2*3,
36 = 2*2*3*3.

والآن، من بين العوامل التي يشملها مفك الرقم الأول، سنقوم بشطب جميع العوامل التي لم تدخل في مفك الرقم الثاني. في حالتنا، هذان اثنان من التعادل.

48 = 2*2*2*2*3 ,
36 = 2*2*3 *3.

العوامل المتبقية هي 2 و2 و3. وحاصل ضربها هو 12. وسيكون هذا الرقم هو القاسم المشترك الأكبر للرقمين 48 و36.

ويمكن توسيع هذه القاعدة لتشمل حالة الثلاثة والأربعة وما إلى ذلك. أرقام.

المخطط العام لإيجاد القاسم المشترك الأكبر

1. قسمة الأعداد إلى عوامل أولية.
2. من العوامل التي يشملها مفك أحد هذه الأعداد، قم بشطب العوامل التي لم تدخل في مفك الأعداد الأخرى.
3. احسب حاصل ضرب العوامل المتبقية.

الفصل 1. الأعداد الطبيعية

1.6. القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر

لقد قمنا سابقًا بتسمية مقسومات الأرقام. الآن دعونا نحاول تحليل الأعداد المركبة إلى عوامل أولية.

تعريف

إن تحليل عدد ما إلى عوامل أولية يعني تمثيله كحاصل متساوي للأعداد الأولية.

سيبدو التحليل إلى عوامل أولية للأعداد كما يلي:
; .
يمكن تمثيل التحلل إلى عوامل أولية للأعداد بشكل آخر:

198	2	2574	2	255	3
	3	1287	3		5
	3		3		17
	11		11
			13

الآن سأكتب هذا على السطر
.

جيد جدًا! أنت مجرد عبقري.

ما زلت لا أفهم كيف خمنت بهذه السرعة أن الرقم قابل للقسمة على ؟

وهذا بسيط. لقد استخدمت اختبار القسمة على . دعونا ننتبه إلى حقيقة أنه في الأعمال التي سجلتها للتو، يتكرر الرقم.

تعريف

ويسمى الرقم الذي يتم قسمة كل من هذه الأرقام عليه القاسم المشترك لهذه الأرقام.

أولئك. في حالتنا، الرقم هو القاسم المشترك؟

نعم، هذا ما أردت أن أقوله. وإذا أخذنا الأرقام و، فكما ترى، فإن لها ثلاثة قواسم مشتركة: و (لا تعد).

لا أفهم؟...

تعريف

يُطلق على القاسم المشترك الأكبر لهذه الأرقام اسم القاسم المشترك الأكبر ويُختصر بـ GCD.

يجب أن تتذكر أن GCD يلعب دورًا كبيرًا في الرياضيات.

أستطيع أن أرى بالفعل أن جميع المفاهيم في الرياضيات تلعب دورًا كبيرًا. وكيف نتذكرهم جميعا؟ كيفية العثور على GCD هذا؟

لا تقلق، سوف تصبح لا تُنسى بمرور الوقت إذا كنت تستخدمها بانتظام.
لذلك دعونا نستمر. للعثور على جي سي ديعدة أرقام، يمكنك تحليلها إلى عوامل أولية، وكتابة عواملها الأولية المشتركة وضربها.

هذا جيد. لكن هناك أرقام ليس لها قاسم مشترك سوى الواحد! على سبيل المثال، و، و .

نعم، لقد لاحظت بشكل صحيح.

تعريف

تسمى الأرقام التي ليس لها قواسم مشتركة (باستثناء واحد) أعدادًا أولية نسبيًا.

فماذا يعني هذا: جميع الأعداد الأولية ستكون أيضًا أولية نسبيًا؟

وفي هذه الحالة أنت على حق! ومع ذلك، مازلنا بحاجة إلى النظر في هذا المفهوم باعتباره المضاعف المشترك الأصغر للمضاعف المشترك الأصغر.

تعريف

ويسمى الرقم الذي يقبل القسمة على كل من هذه الأرقام المضاعف المشترك لهذه الأرقام.

لذلك، بالنسبة للأرقام والمضاعف المشترك سيكون كل رقم من الأرقام: , , , , LCM.

أحسنت. في رأيك، ما هو المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأولية؟

سأكتشف ذلك الآن. ليس لديهم قواسم مشتركة غير الوحدة، وبالتالي فإن منتجهم هو المقياس المشترك الأصغر الخاص بهم!

هذا مذهل بكل بساطة! يا له من استنتاج عظيم.
وفي نهاية بحثنا، أريد أن أخبرك بكيفية العثور على LOC إذا لم يكن واضحًا.

في هذه الحالة، يتم تقسيم هذه الأرقام إلى عوامل أولية. ثم يتم كتابة جميع العوامل من العدد الأكبر وتضاف إليها العوامل المفقودة من مفكوكات الأعداد المتبقية.

نعم، أنا راضٍ، لقد أعجبني ذلك.

هذه المقالة حول إيجاد القاسم المشترك الأكبر (GCD)رقمين أو أكثر. أولاً، دعونا نلقي نظرة على خوارزمية إقليدس التي تسمح لك بالعثور على gcd لعددين. بعد ذلك، سنركز على الطريقة التي تسمح لنا بحساب gcd للأرقام كحاصل ضرب عواملها الأولية المشتركة. بعد ذلك، سننظر في إيجاد القاسم المشترك الأكبر لثلاثة أرقام أو أكثر، وسنقدم أيضًا أمثلة لحساب gcd للأرقام السالبة.

التنقل في الصفحة.

خوارزمية إقليدية لإيجاد GCD

لاحظ أنه إذا انتقلنا إلى جدول الأعداد الأولية منذ البداية، فسنكتشف أن الرقمين 661 و113 هما أرقام أولية، ويمكننا أن نقول منها على الفور أن القاسم المشترك الأكبر لهما هو 1.

إجابة:

جي سي دي(661, 113)=1 .

إيجاد GCD عن طريق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية

دعونا نفكر في طريقة أخرى للعثور على GCD. يمكن إيجاد القاسم المشترك الأكبر عن طريق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية. دعونا صياغة القاعدة: إن gcd لعددين صحيحين موجبين a وb يساوي حاصل ضرب جميع العوامل الأولية المشتركة الموجودة في التحليلات الأولية للأعداد a وb.

دعونا نعطي مثالا لشرح قاعدة العثور على GCD. دعونا نعرف تحليل الأرقام 220 و 600 إلى عوامل أولية، فهي على الشكل 220=2·2·5·11 و 600=2·2·2·3·5·5. العوامل الأولية المشتركة في تحليل الأعداد 220 و600 هي 2 و2 و5. ولذلك، gcd(220, 600)=2·2·5=20.

وبالتالي، إذا قمنا بتحليل الرقمين a وb إلى عوامل أولية وأوجدنا حاصل ضرب جميع عواملهما المشتركة، فسنجد القاسم المشترك الأكبر للرقمين a وb.

لنفكر في مثال للعثور على GCD وفقًا للقاعدة المذكورة.

مثال.

أوجد القاسم المشترك الأكبر للرقمين 72 و 96.

حل.

دعونا نحلل الرقمين 72 و 96 إلى عوامل أولية:

أي 72=2·2·2·3·3 و 96=2·2·2·2·2·3. العوامل الأولية المشتركة هي 2 و 2 و 2 و 3. ومن ثم، gcd(72, 96)=2·2·2·3=24.

إجابة:

جي سي دي(72, 96)=24 .

وفي ختام هذه الفقرة نلاحظ أن صحة القاعدة السابقة لإيجاد GCD تنبع من خاصية القاسم المشترك الأكبر والتي تنص على أن GCD(م أ 1 , م ب 1)=م GCD(أ 1 , ب 1)، حيث m هو أي عدد صحيح موجب.

العثور على gcd لثلاثة أرقام أو أكثر

يمكن اختزال العثور على القاسم المشترك الأكبر لثلاثة أرقام أو أكثر إلى إيجاد gcd لعددين بشكل تسلسلي. لقد ذكرنا ذلك عند دراسة خصائص GCD. هناك قمنا بصياغة النظرية وإثباتها: القاسم المشترك الأكبر لعدة أرقام a 1، a 2، ...، a k يساوي الرقم d k، والذي تم العثور عليه عن طريق الحساب التسلسلي GCD(a 1, a 2)=d 2 , GCD(d 2, a 3) = d 3, GCD(d 3, a 4)=d 4,..., GCD(d k-1, a k)=d k.

دعونا نرى كيف تبدو عملية العثور على gcd لعدة أرقام من خلال النظر إلى حل المثال.

مثال.

أوجد القاسم المشترك الأكبر لأربعة أعداد 78، 294، 570، 36.

حل.

في هذا المثال، 1 = 78، 2 = 294، 3 = 570، 4 = 36.

أولاً، باستخدام الخوارزمية الإقليدية، نحدد القاسم المشترك الأكبر d 2 للرقمين الأولين 78 و294. عند القسمة نحصل على المساواة 294 = 78 3 + 60 ; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 و18=6·3. وبالتالي، د 2 =GCD(78, 294)=6.

الآن دعونا نحسب د 3 =GCD(د 2، أ 3)=GCD(6، 570). دعونا نطبق الخوارزمية الإقليدية مرة أخرى: 570=6·95، وبالتالي، d 3 = GCD(6, 570)=6.

يبقى أن نحسب د 4 =GCD(د 3، أ 4)=GCD(6، 36). بما أن 36 يقبل القسمة على 6، فإن d 4 = GCD(6, 36) = 6.

وبالتالي، فإن القاسم المشترك الأكبر للأرقام الأربعة المعطاة هو d 4 = 6، أي gcd(78, 294, 570, 36)=6.

إجابة:

جي سي دي(78, 294, 570, 36)=6 .

يتيح لك تحليل الأرقام إلى عوامل أولية أيضًا حساب GCD لثلاثة أرقام أو أكثر. في هذه الحالة، يتم العثور على القاسم المشترك الأكبر باعتباره حاصل ضرب جميع العوامل الأولية المشتركة للأرقام المحددة.

مثال.

احسب gcd للأرقام من المثال السابق باستخدام عواملها الأولية.

حل.

دعونا نحلل الأرقام 78 و294 و570 و36 إلى عوامل أولية، فنحصل على 78=2·3·13، 294=2·3·7·7، 570=2·3·5·19، 36=2·2 ·3·3. العوامل الأولية المشتركة لجميع هذه الأعداد الأربعة هي الرقمين 2 و 3. لذلك، جي سي دي(78, 294, 570, 36)=2·3=6.