التعريف حسب المحيط. ما هي الدائرة كشكل هندسي: الخصائص والخصائص الأساسية

دائرة - الشكل الهندسي، يتكون من جميع نقاط المستوى الواقعة على مسافة معينة من نقطة معينة.

وتسمى هذه النقطة (O). مركز الدائرة.
نصف قطر الدائرة- هذا هو الجزء الذي يربط المركز بأي نقطة في الدائرة. جميع أنصاف الأقطار لها نفس الطول (حسب التعريف).
وتر- قطعة تربط نقطتين على الدائرة. يسمى الوتر الذي يمر عبر مركز الدائرة القطر. مركز الدائرة هو منتصف أي قطر.
أي نقطتين على الدائرة تقسمها إلى قسمين. ويسمى كل جزء من هذه الأجزاء قوس الدائرة. يسمى القوس نصف دائرةإذا كانت القطعة الواصلة بين طرفيها قطرا.
يُشار إلى طول نصف دائرة الوحدة بـ π .
مجموع قياسات درجات قوسين من دائرة ذات طرفين مشتركين يساوي 360 درجة.
يسمى الجزء من المستوى الذي تحيط به الدائرة في كل مكان.
القطاع الدائري- جزء من دائرة يحدها قوس ونصف قطرين يربطان طرفي القوس بمركز الدائرة. يسمى القوس الذي يحد القطاع قوس القطاع.
يتم استدعاء دائرتين لهما مركز مشترك متراكز.
تسمى دائرتان متقاطعتان بزوايا قائمة متعامد.

الموضع النسبي للخط المستقيم والدائرة

إذا كانت المسافة من مركز الدائرة إلى الخط المستقيم أقل من نصف قطر الدائرة ( د)، فإن الخط المستقيم والدائرة لديهما نقطتان مشتركتان. في هذه الحالة يتم استدعاء الخط قاطعفيما يتعلق بالدائرة.
إذا كانت المسافة من مركز الدائرة إلى الخط المستقيم تساوي نصف قطر الدائرة، فإن الخط المستقيم والدائرة لهما نقطة مشتركة واحدة فقط. هذا الخط يسمى مماس للدائرة، وتسمى النقطة المشتركة بينهما نقطة التماس بين الخط والدائرة.
إذا كانت المسافة من مركز الدائرة إلى الخط المستقيم أكبر من نصف قطر الدائرة، فالخط المستقيم والدائرة ليس لديهم نقاط مشتركة

الزوايا المركزية والمسجلة

الزاوية المركزيةهي زاوية رأسها يقع في مركز الدائرة.
زاوية مكتوبة- الزاوية التي يقع رأسها على دائرة ويتقاطع ضلعاها مع الدائرة.

نظرية الزاوية المنقوشة

تقاس الزاوية المحيطية بنصف القوس الذي تقع عليه.

النتيجة الطبيعية 1.
الزوايا المحيطية المقابلة لنفس القوس متساوية.

النتيجة الطبيعية 2.
الزاوية المحيطية التي يقابلها نصف دائرة هي زاوية قائمة.

نظرية حاصل ضرب شرائح الأوتار المتقاطعة.

إذا تقاطع وتران من دائرة، فإن حاصل ضرب قطعتي الوتر الواحد يساوي حاصل ضرب قطعتي الوتر الآخر.

الصيغ الأساسية

محيط:

ج = 2∙π∙R

طول القوس الدائري:

ص = С/(2∙π) = د/2

القطر:

D = C/π = 2∙R

طول القوس الدائري:

ل = (π∙R) / 180∙α,
أين α - قياس درجة طول القوس الدائري)

منطقة الدائرة:

S = π∙R 2

مساحة القطاع الدائري :

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

معادلة الدائرة

في نظام مستطيلالمعادلة الإحداثية لنصف قطر الدائرة صتتمركز في نقطة ما ج(x o;y o) له الشكل:

(س - س س) 2 + (ص - ص س) 2 = ص 2

معادلة دائرة نصف قطرها r ومركزها عند نقطة الأصل لها الشكل:

س 2 + ص 2 = ص 2

أولا، دعونا نفهم الفرق بين الدائرة والدائرة. ولرؤية هذا الاختلاف، يكفي أن نفكر في ماهية كلا الرقمين. هذه هي عدد لا حصر له من النقاط على المستوى، وتقع على مسافة متساوية من نقطة مركزية واحدة. ولكن، إذا كانت الدائرة تتكون أيضًا من مساحة داخلية، فهي لا تنتمي إلى الدائرة. اتضح أن الدائرة عبارة عن دائرة تحدها (دائرة (ص))، وعدد لا يحصى من النقاط الموجودة داخل الدائرة.

بالنسبة لأي نقطة L تقع على الدائرة، تنطبق المساواة OL=R. (طول القطعة OL يساوي نصف قطر الدائرة).

القطعة التي تصل بين نقطتين على الدائرة هي وتر.

الوتر الذي يمر مباشرة بمركز الدائرة هو القطرهذه الدائرة (د). يمكن حساب القطر باستخدام الصيغة: D=2R

محيطمحسوبة بالصيغة: C=2\pi R

مساحة الدائرة: S=\pi R^(2)

قوس الدائرةويسمى الجزء الذي يقع بين نقطتيه منه. تحدد هاتان النقطتان قوسين من الدائرة. يحمل القرص المضغوط الوتر قوسين: CMD وCLD. الحبال المتطابقة تقابل أقواسًا متساوية.

الزاوية المركزيةتسمى الزاوية التي تقع بين نصفي قطرين .

طول القوسيمكن العثور عليها باستخدام الصيغة:

استخدام مقياس الدرجة: القرص المضغوط = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
باستخدام قياس الراديان: CD = \alpha R

القطر المتعامد على الوتر يقسم الوتر والأقواس المنقبضة به إلى النصف.

إذا تقاطع الأوتار AB و CD من الدائرة عند النقطة N، فإن منتجات شرائح الأوتار المفصولة بالنقطة N تكون متساوية مع بعضها البعض.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

المماس لدائرة

مماس لدائرةمن المعتاد تسمية خط مستقيم له نقطة مشتركة مع الدائرة.

إذا كان الخط يحتوي على نقطتين مشتركتين، فإنه يسمى قاطع.

إذا قمت برسم نصف القطر إلى نقطة المماس، فسيكون عموديًا على مماس الدائرة.

لنرسم مماسين من هذه النقطة إلى دائرتنا. اتضح أن شرائح الظل ستكون متساوية، وسيكون مركز الدائرة موجودا على منصف الزاوية مع قمة الرأس عند هذه النقطة.

أس = سي بي

والآن لنرسم مماسًا وقاطعًا للدائرة من النقطة التي لدينا. نحصل على أن مربع طول القطعة المماسية سيكون مساويًا لمنتج القطعة القاطعة بأكملها وجزءها الخارجي.

AC^(2) = CD \cdot BC

يمكننا أن نستنتج: منتج قطعة كاملة من القاطع الأول وجزءه الخارجي يساوي منتج قطعة كاملة من القاطع الثاني وجزءه الخارجي.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

زوايا في دائرة

إن قياسات درجات الزاوية المركزية والقوس الذي تقع عليه متساوية.

\زاوية COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

زاوية مكتوبةهي الزاوية التي يقع رأسها على دائرة، وجوانبها تحتوي على أوتار.

ويمكنك حسابه بمعرفة حجم القوس، فهو يساوي نصف هذا القوس.

\زاوية AOB = 2 \زاوية ADB

بناءً على القطر، الزاوية المحيطية، الزاوية القائمة.

\زاوية CBD = \زاوية CED = \زاوية CAD = 90^ (\circ)

الزوايا المحيطية التي لها نفس القوس متطابقة.

الزوايا المحيطية المرتكزة على وتر واحد متطابقة أو مجموعها يساوي 180^ (\circ) .

\زاوية ADB + \زاوية AKB = 180^ (\circ)

\زاوية ADB = \زاوية AEB = \زاوية AFB

على نفس الدائرة توجد رؤوس المثلثات ذات الزوايا المتطابقة وقاعدة معينة.

الزاوية ذات الرأس داخل الدائرة وتقع بين وترين تساوي نصف مجموع القيم الزاوية لأقواس الدائرة الموجودة ضمن الزوايا المعطاة والرأسية.

\زاوية DMC = \زاوية ADM + \زاوية DAM = \frac(1)(2) \يسار (\cup DmC + \cup AlB \يمين)

الزاوية التي رأسها خارج الدائرة وتقع بين قاطعين تساوي نصف الفرق في القيم الزاوية لأقواس الدائرة الموجودة داخل الزاوية.

\زاوية M = \زاوية CBD - \زاوية ACB = \frac(1)(2) \يسار (\cup DmC - \cup AlB \يمين)

دائرة مكتوبة

دائرة مكتوبةهي دائرة مماسة لجوانب المضلع.

عند النقطة التي تتقاطع فيها منصفات زوايا المضلع يقع مركزه.

لا يجوز إدراج دائرة في كل مضلع.

تم العثور على مساحة المضلع الذي يحتوي على دائرة منقوشة بالصيغة:

س = العلاقات العامة،

p هو نصف محيط المضلع،

r هو نصف قطر الدائرة المنقوشة.

ويترتب على ذلك أن نصف قطر الدائرة المنقوشة يساوي:

ص = \frac(S)(ع)

مجموع الأطوال الجانبين المتقابلينستكون متطابقة إذا كانت الدائرة مدرجة في شكل رباعي محدب. والعكس صحيح: تدخل الدائرة في شكل رباعي محدب إذا كان مجموع أطوال الأضلاع المتقابلة متطابقًا.

أ ب + تيار مستمر = م + ق.م

من الممكن كتابة دائرة في أي من المثلثات. واحدة فقط . عند النقطة التي يتقاطع فيها المنصفان زوايا داخليةالشكل، سيكون مركز هذه الدائرة المنقوشة.

يتم حساب نصف قطر الدائرة المنقوشة بالصيغة:

ص = \frac(S)(ع) ,

حيث p = \frac(a + b + c)(2)

دائرة حولها

إذا مرت دائرة عبر كل قمة من مضلع، فعادة ما تسمى هذه الدائرة وصف حول المضلع.

عند نقطة تقاطع المنصفات المتعامدة لجوانب هذا الشكل سيكون مركز الدائرة المحيطة.

يمكن العثور على نصف القطر عن طريق حسابه على أنه نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث المحدد بواسطة أي رؤوس ثلاثية للمضلع.

هناك الشرط التالي: لا يمكن وصف الدائرة حول شكل رباعي إلا إذا كان مجموع الزوايا المقابلة لها يساوي 180^( \circ) .

\الزاوية A + \الزاوية C = \الزاوية B + \الزاوية D = 180^ (\circ)

حول أي مثلث يمكنك وصف دائرة، واحدة فقط. سيكون مركز هذه الدائرة عند النقطة التي تتقاطع فيها المنصفات المتعامدة لجوانب المثلث.

يمكن حساب نصف قطر الدائرة المحددة باستخدام الصيغ:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

أ، ب، ج هي أطوال أضلاع المثلث،

S هي مساحة المثلث.

نظرية بطليموس

وأخيرا، النظر في نظرية بطليموس.

تنص نظرية بطليموس على أن حاصل ضرب الأقطار يساوي مجموع حاصل ضرب الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي الدائري.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

دعونا نفهم ما هي الدائرة والدائرة. صيغة مساحة الدائرة والمحيط.

نواجه كل يوم العديد من الأشياء التي تكون على شكل دائرة، أو على العكس من ذلك، دائرة. في بعض الأحيان يطرح السؤال ما هي الدائرة وكيف تختلف عن الدائرة. بالطبع، لقد أخذنا جميعًا دروسًا في الهندسة، ولكن في بعض الأحيان لا يضر تحسين معرفتك ببعض التفسيرات البسيطة جدًا.

ما هو محيط ومساحة الدائرة: التعريف

لذا فإن الدائرة عبارة عن خط منحني مغلق يحد أو على العكس من ذلك يشكل دائرة. الشرط الأساسي للدائرة هو أن يكون لها مركز وأن تكون جميع النقاط على مسافة متساوية منه. ببساطة، الدائرة عبارة عن طوق جمباز (أو كما يطلق عليه غالبًا طوق الهولا) على سطح مستو.

محيط الدائرة هو الطول الإجمالي للمنحنى الذي يشكل الدائرة. وكما هو معروف، بغض النظر عن حجم الدائرة، فإن نسبة قطرها إلى طولها تساوي الرقم π = 3.141592653589793238462643.

ويترتب على ذلك أن π=L/D، حيث L هو المحيط وD هو قطر الدائرة.

إذا كنت تعرف القطر، فيمكن إيجاد الطول باستخدام صيغة بسيطة: L= π* D

إذا كان نصف القطر معروفًا: L=2 πR

لقد اكتشفنا ما هي الدائرة ويمكننا الانتقال إلى تعريف الدائرة.

الدائرة هي شكل هندسي محاط بدائرة. أو الدائرة هي الشكل الذي يتكون حده من كمية كبيرةنقاط متساوية البعد عن مركز الشكل. المنطقة بأكملها الموجودة داخل الدائرة، بما في ذلك مركزها، تسمى دائرة.

ومن الجدير بالذكر أن الدائرة والدائرة التي تقع فيها لهما نفس نصف القطر والقطر. والقطر بدوره أكبر بمرتين من نصف القطر.

تحتوي الدائرة على مساحة على مستوى، ويمكن إيجادها باستخدام صيغة بسيطة:

حيث S هي مساحة الدائرة، و R هو نصف قطر الدائرة.

كيف تختلف الدائرة عن الدائرة: شرح

الفرق الرئيسي بين الدائرة والدائرة هو أن الدائرة هي شكل هندسي، في حين أن الدائرة عبارة عن منحنى مغلق. لاحظ أيضًا الاختلافات بين الدائرة والدائرة:

الدائرة عبارة عن خط مغلق، والدائرة هي المساحة الموجودة داخل تلك الدائرة؛
الدائرة عبارة عن خط منحني على المستوى، والدائرة عبارة عن مساحة مغلقة في حلقة بدائرة؛
أوجه التشابه بين الدائرة والدائرة: نصف القطر والقطر؛
الدائرة والمحيط لهما مركز واحد؛
إذا كان الفضاء الموجود داخل الدائرة مظللا فإنه يتحول إلى دائرة؛
الدائرة لها طول، لكن الدائرة ليس لها طول، والعكس صحيح، الدائرة لها مساحة، ولا توجد في الدائرة.

الدائرة والمحيط: أمثلة وصور

من أجل الوضوح، نقترح النظر إلى الصورة التي تظهر دائرة على اليسار ودائرة على اليمين.

صيغة محيط ومساحة الدائرة: المقارنة

صيغة المحيط L=2 πR

صيغة مساحة الدائرة S= πR²

يرجى ملاحظة أن كلتا الصيغتين تحتويان على نصف القطر والرقم π. يوصى بحفظ هذه الصيغ، لأنها أبسط وستكون مفيدة بالتأكيد الحياة اليوميةوفي العمل.

مساحة الدائرة حسب المحيط: الصيغة

S=π(L/2π)=L²/4π، حيث S هي مساحة الدائرة، L هو المحيط.

فيديو: ما هي الدائرة والمحيط ونصف القطر؟

ل الخطوط العريضة العامةلتخيل ما هي الدائرة، انظر إلى حلقة أو طوق. يمكنك أيضًا إحضار كوب وكوب دائريين ووضعهما رأسًا على عقب على قطعة من الورق ورسمهما بقلم رصاص. مع التكبير المتكرر، سيصبح الخط الناتج سميكًا وليس سلسًا تمامًا، وستكون حوافه غير واضحة. الدائرة كشكل هندسي ليس لها خاصية مثل السماكة.

الدائرة: التعريف والوسائل الأساسية للوصف

الدائرة عبارة عن منحنى مغلق يتكون من عدة نقاط تقع في نفس المستوى وعلى مسافة متساوية من مركز الدائرة. في هذه الحالة، يكون المركز في نفس المستوى. وكقاعدة عامة، يتم الإشارة إليه بالحرف O.

المسافة من أي نقطة على الدائرة إلى المركز تسمى نصف القطر ويشار إليها بالحرف R.

إذا قمت بتوصيل أي نقطتين على دائرة، فسيتم تسمية الجزء الناتج بالوتر. الوتر الذي يمر عبر مركز الدائرة هو القطر، ويشار إليه بالحرف D. ويقسم القطر الدائرة إلى قوسين متساويين وهو ضعف طول نصف القطر. وبالتالي، D = 2R، أو R = D/2.

خصائص الحبال

إذا تم رسم وتر عبر أي نقطتين من الدائرة، ثم تم رسم نصف قطر أو قطر بشكل عمودي على الأخير، فإن هذا الجزء سوف يقسم كلاً من الوتر والقوس المقطوع به إلى جزأين متساويين. والعكس صحيح أيضًا: إذا كان نصف القطر (القطر) يقسم الوتر إلى نصفين، فهو عمودي عليه.
إذا تم رسم وتران متوازيين داخل نفس الدائرة، فإن الأقواس المقطوعة بهما، وكذلك تلك الموجودة بينهما، ستكون متساوية.
لنرسم وترين PR وQS متقاطعين داخل الدائرة عند النقطة T. سيكون ناتج قطع وتر مساويًا دائمًا لمنتج شرائح وتر آخر، أي PT x TR = QT x TS.

المحيط: المفهوم العام والصيغ الأساسية

أحد الخصائص الأساسية لهذا الشكل الهندسي هو المحيط. يتم اشتقاق الصيغة باستخدام كميات مثل نصف القطر والقطر والثابت "π"، مما يعكس ثبات نسبة المحيط إلى قطره.

وبالتالي، L = πD، أو L = 2πR، حيث L هو المحيط، D هو القطر، R هو نصف القطر.

يمكن اعتبار صيغة المحيط هي الصيغة الأولية عند إيجاد نصف القطر أو القطر لمحيط معين: D = L/π، R = L/2π.

ما هي الدائرة: الافتراضات الأساسية

ليس لديهم نقاط مشتركة.
لها نقطة مشتركة واحدة، والخط المستقيم يسمى المماس: إذا رسمت نصف قطر عبر المركز ونقطة التماس، فسيكون عموديًا على المماس؛
لها نقطتان مشتركتان، ويسمى الخط القاطع.

2. من خلال ثلاث نقاط عشوائية تقع في نفس المستوى، لا يمكن رسم أكثر من دائرة واحدة.

3. يمكن أن تتلامس دائرتان عند نقطة واحدة فقط، والتي تقع على الجزء الذي يربط بين مراكز هذه الدوائر.

4. في أي دوران بالنسبة للمركز، تتحول الدائرة إلى نفسها.

5. ما هي الدائرة من حيث التماثل؟

نفس انحناء الخط عند أي نقطة؛
نسبة إلى النقطة O؛
تناظر المرآة بالنسبة للقطر.

6. إذا قمت ببناء زاويتين محيطيتين عشوائيتين على نفس قوس الدائرة، فستكونان متساويتين. الزاوية المبنية على قوس يساوي النصف، أي المقطوعة بقطر وتر، تساوي دائمًا 90 درجة.

7. إذا قارنت الخطوط المنحنية المغلقة بنفس الطول، يتبين أن الدائرة تحدد قسم المستوى ذو المساحة الأكبر.

دائرة منقوشة ومحاطة بمثلث

لن تكتمل فكرة ماهية الدائرة دون وصف ملامح علاقتها بالمثلثات.

عند إنشاء دائرة داخل مثلث، فإن مركزها يتطابق دائمًا مع نقطة تقاطع المثلث.
يقع مركز الدائرة المحيطة بالمثلث عند تقاطع العمودين المتوسطين على كل جانب من أضلاع المثلث.
إذا وصفنا دائرة، فسيكون مركزها في منتصف الوتر، أي أن الأخير سيكون القطر.
ستكون مراكز الدوائر المنقوشة والمحددة في نفس النقطة إذا كان أساس البناء

عبارات أساسية عن الدوائر والأشكال الرباعية

لا يمكن وصف الدائرة حول شكل رباعي محدب إلا عندما يكون مجموع زواياه الداخلية المقابلة يساوي 180 درجة.
من الممكن بناء دائرة منقوشة في شكل رباعي محدب إذا كان مجموع أطوال أضلاعها المتقابلة متساويا.
يمكنك وصف دائرة حول متوازي الأضلاع إذا كانت زواياه قائمة.
يمكن رسم الدائرة في متوازي الأضلاع إذا كانت جميع أضلاعها متساوية، أي أنها عبارة عن معين.
لا يمكنك بناء دائرة عبر زوايا شبه المنحرف إلا إذا كان متساوي الساقين. في هذه الحالة، يقع مركز الدائرة المحددة عند تقاطع الشكل الرباعي والعمود الأوسط المرسوم على الجانب.