ثلاثة توائم فيثاغورس وعددهم. ثلاثية فيثاغورس للأرقام (العمل الإبداعي للطالب) ثلاثية فيثاغورس للأرقام

مريحة للغاية الطريقة الدقيقة، الذي يستخدمه المساحون لرسم الخطوط المتعامدة على الأرض، هو كما يلي. فليكن من الضروري رسم خط عمودي من خلال النقطة A إلى الخط المستقيم MN (الشكل 13). قم بتأخير مسافة a من A في اتجاه AM ثلاث مرات. ثم يتم ربط ثلاث عقد على الحبل، وتكون المسافات بينها 4 أ و5 أ. بعد ربط العقد المتطرفة بالنقطتين A و B، اسحب الحبل من العقدة الوسطى. سيتم ترتيب الحبل في مثلث، حيث تكون الزاوية A زاوية قائمة.

هذه الطريقة القديمة، التي يبدو أنها استخدمت منذ آلاف السنين من قبل بناة الأهرامات المصرية، تعتمد على أن كل مثلث تكون أضلاعه بنسبة 3:4:5، حسب نظرية فيثاغورس المعروفة، هو مستطيل، منذ

3 2 + 4 2 = 5 2 .

بالإضافة إلى الأعداد 3، 4، 5، هناك كما هو معروف مجموعة لا حصر لها من الأعداد الصحيحة الموجبة a، b، c، التي تحقق العلاقة

أ2 + ب2 = ج2.

يطلق عليهم أرقام فيثاغورس. وفقا لنظرية فيثاغورس، يمكن أن تكون هذه الأرقام بمثابة أطوال جوانب مثلث قائم الزاوية معين؛ لذلك يُطلق على a وb اسم "الساقين"، ويُسمى c "الوتر".

من الواضح أنه إذا كانت a، b، c عبارة عن ثلاثية من أرقام فيثاغورس، فإن pa، pb، pc، حيث p عامل عدد صحيح، هي أرقام فيثاغورس. على العكس من ذلك، إذا كانت أرقام فيثاغورس لها عامل مشترك، فيمكن اختزالها جميعًا بهذا العامل المشترك، ومرة أخرى تحصل على ثلاثة أرقام فيثاغورس. لذلك، سنقوم أولاً بفحص ثلاثة توائم فقط من أعداد فيثاغورس coprime (يتم الحصول على الباقي منها عن طريق الضرب بعامل صحيح p).

دعونا نبين أنه في كل من هذه الثلاثيات أ، ب، ج، يجب أن تكون إحدى "الساقين" زوجية والأخرى فردية. دعونا نتجادل بالتناقض. إذا كان كلا "الساقين" a وb زوجيين، فإن العدد a 2 + b 2 سيكون زوجيًا، وبالتالي "الوتر". ومع ذلك، فإن هذا يتناقض مع حقيقة أن الأرقام أ، ب، ج ليس لها عوامل مشتركة، لأن ثلاثة أرقام زوجية لها عامل مشترك هو 2. وبالتالي، فإن أحد "الأرجل" على الأقل أ، ب هو فردي.

يبقى هناك احتمال آخر: كلتا "الساقين" فرديتان، و"الوتر" زوجي. ليس من الصعب إثبات أن هذا لا يمكن أن يكون. في الواقع: إذا كانت "الأرجل" لها الشكل

2x + 1 و 2y + 1،

فإن مجموع مربعيهما متساويان

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 = 4(x 2 + x + y 2 + y) + 2،

أي أنه رقم إذا قسم على 4 بقي 2. وفي الوقت نفسه، يجب أن يكون مربع أي رقم زوجي قابلاً للقسمة على 4 دون باقي. وهذا يعني أن مجموع مربعي رقمين فرديين لا يمكن أن يكون مربع عدد زوجي؛ بمعنى آخر، الأعداد الثلاثة لدينا ليست فيثاغورس.

لذلك، من "الأرجل" أ، ب، أحدهما زوجي والآخر فردي. ولذلك فإن العدد a 2 + b 2 فردي، مما يعني أن "الوتر" c هو رقم فردي أيضًا.

لنفترض، على سبيل اليقين، أن "الضلع" a فردي، وb زوجي. من المساواة

أ 2 + ب 2 = ج 2

نحصل بسهولة على:

أ 2 = ج 2 - ب 2 = (ج + ب)(ج - ب).

العوامل c + b و c - b على الجانب الأيمن هي coprime. في الواقع، إذا كان لهذه الأعداد عامل أولي مشترك يختلف عن الواحد، فسيتم قسمة المجموع على هذا العامل

(ج + ب) + (ج - ب) = 2ج،

والفرق

(ج + ب) - (ج - ب) = 2ب،

والعمل

(ج + ب)(ج - ب) = أ 2،

أي أن الأرقام 2c و2b وa سيكون لها عامل مشترك. نظرًا لأن a فردي، فإن هذا العامل يختلف عن الاثنين، وبالتالي فإن الأرقام a، b، c لها نفس العامل المشترك، والذي لا يمكن أن يكون كذلك. يوضح التناقض الناتج أن الأرقام c + b و c - b هي أعداد أولية.

ولكن إذا كان المنتج متبادلا الأعداد الأوليةمربعاً بعينه، فكل واحد منهما مربع، أي:

وبعد حل هذا النظام نجد:

ج = (م 2 + ن 2)/2، ب = (م 2 - ن 2)/2، أ 2 = (ج + ب)(ج - ب) = م 2 ن 2، أ = من.

لذا، فإن أرقام فيثاغورس قيد النظر لها الشكل

أ = م، ب = (م 2 - ن 2)/2، ج = (م 2 + ن 2)/2.

حيث m و n عبارة عن أرقام فردية أولية نسبيًا. يمكن للقارئ التحقق من العكس بسهولة: بالنسبة لأي نوع فردي، فإن الصيغ المكتوبة تعطي ثلاثة أرقام فيثاغورس أ، ب، ج.

فيما يلي عدة توائم ثلاثية من أرقام فيثاغورس تم الحصول عليها بأنواع مختلفة:

بالنسبة لـ m = 3، n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2 لـ m = 5، n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2 لـ m = 7، n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 لـ m = 9، ن = 2 9 1 + 40 2 = 41 2 مع م = 11، ن = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 مع م = 13، ن = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 مع م = 5 , n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2 لـ m = 7، n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2 لـ m = 11، n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2 لـ m = 13، n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 لـ m = 7، n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 لـ m = 9، n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 لـ m = 11، n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2 مع م = 13، ن = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 مع م = 9، ن = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 مع م = 11، ن = 7 77 2 + 2 36 = 2 85

(كل الثلاثيات الأخرى من أرقام فيثاغورس إما لها عوامل مشتركة أو تحتوي على أرقام أكبر من مائة).

» بقلم أستاذ الرياضيات الفخري في جامعة وارويك، المشهور بالعلم إيان ستيوارت، المكرس لدور الأرقام في تاريخ البشرية وأهمية دراستها في عصرنا.

الوتر فيثاغورس

مثلثات فيثاغورسلها زوايا قائمة وجوانب صحيحة. أبسطها لديه أطول جانب يبلغ 5، والبعض الآخر - 3 و 4. هناك 5 متعددات وجوه منتظمة في المجموع. لا يمكن حل معادلة من الدرجة الخامسة باستخدام الجذور الخماسية - أو أي جذور أخرى. لا تحتوي الشبكات الموجودة على المستوى وفي الفضاء ثلاثي الأبعاد على تماثل دوراني خماسي الفصوص، لذا فإن مثل هذا التماثلات غائب في البلورات. ومع ذلك، يمكن العثور عليها في شبكات في الفضاء رباعي الأبعاد وفي هياكل مثيرة للاهتمام تعرف باسم أشباه البلورات.

الوتر من أصغر ثلاثية فيثاغورس

تنص نظرية فيثاغورس على أن الضلع الأطول في المثلث القائم الزاوية (الوتر الشهير) يرتبط بالضلعين الآخرين لهذا المثلث بطريقة بسيطة وجميلة للغاية: مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الوتر. الجانبين الآخرين.

تقليديا، نسمي هذه النظرية باسم فيثاغورس، ولكن في الواقع تاريخها غامض تماما. تشير الألواح الطينية إلى أن البابليين القدماء كانوا يعرفون نظرية فيثاغورس قبل وقت طويل من فيثاغورس نفسه؛ جلبت شهرة المكتشف إليه العبادة الرياضية للفيثاغوريين، الذين اعتقد أنصارهم أن الكون يعتمد على القوانين العددية. عزا المؤلفون القدماء مجموعة متنوعة من النظريات الرياضية إلى فيثاغورس - وبالتالي إلى فيثاغورس، لكن في الواقع ليس لدينا أي فكرة عن نوع الرياضيات التي شارك فيها فيثاغورس نفسه. نحن لا نعرف حتى ما إذا كان بإمكان الفيثاغوريين إثبات نظرية فيثاغورس أو إذا كانوا ببساطة يعتقدون أنها صحيحة. أو، على الأرجح، كان لديهم أدلة مقنعة على حقيقتها، والتي مع ذلك لن تكون كافية لما نعتبره دليلا اليوم.

براهين فيثاغورس

تم العثور على أول دليل معروف على نظرية فيثاغورس في عناصر إقليدس. وهذا دليل معقد إلى حد ما، وذلك باستخدام رسم كان تلاميذ المدارس الفيكتورية يتعرفون عليه على الفور على أنه "سراويل فيثاغورس"؛ الرسم يشبه حقًا تجفيف الملابس الداخلية على الخط. هناك مئات الأدلة الأخرى، ومعظمها يجعل التأكيد أكثر وضوحًا.

// أرز. 33. سروال فيثاغورس

أحد أبسط البراهين هو نوع من الألغاز الرياضية. خذ أي المثلث الأيمنواصنع منها أربع نسخ واجمعها داخل المربع. في أحد الترتيبات نرى مربعًا على الوتر؛ مع الآخر - المربعات على الجانبين الآخرين للمثلث. ومن الواضح أن المساحات في كلتا الحالتين متساوية.

// أرز. 34. اليسار: مربع على الوتر (بالإضافة إلى أربعة مثلثات). على اليمين: مجموع المربعات على الجانبين الآخرين (بالإضافة إلى نفس المثلثات الأربعة). الآن قم بإزالة المثلثات

تشريح بيريجال هو دليل آخر على اللغز.

// أرز. 35. تشريح بيريجال

يوجد أيضًا دليل على النظرية باستخدام ترتيب المربعات على المستوى. ولعل هذه هي الطريقة التي اكتشف بها الفيثاغوريون أو أسلافهم المجهولون هذه النظرية. إذا نظرت إلى كيفية تداخل المربع المنحرف مع مربعين آخرين، يمكنك أن ترى كيفية قطع مربع كبير إلى قطع ثم تجميعها معًا في مربعين أصغر. يمكنك أيضًا رؤية المثلثات القائمة، والتي تعطي جوانبها أبعاد المربعات الثلاثة المعنية.

// أرز. 36. الإثبات بالرصف

هناك أدلة مثيرة للاهتمام تستخدم مثلثات مماثلة في علم المثلثات. هناك ما لا يقل عن خمسين دليلاً مختلفًا معروفًا.

ثلاثية فيثاغورس

في نظرية الأعداد، أصبحت نظرية فيثاغورس مصدرًا لفكرة مثمرة: إيجاد حلول صحيحة للمعادلات الجبرية. ثلاثية فيثاغورس هي مجموعة من الأعداد الصحيحة a وb وc

هندسيًا، يحدد هذا الثلاثي مثلثًا قائمًا بأضلاع صحيحة.

أصغر وتر في ثلاثية فيثاغورس هو 5.

الضلعان الآخران لهذا المثلث هما 3 و 4. هنا

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

الوتر الأكبر التالي هو 10 لأن

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

ومع ذلك، هذا هو في الأساس نفس المثلث ذو الجوانب المزدوجة. الوتر التالي الأكبر والمختلف حقًا هو 13، وهو الوتر التالي

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

عرف إقليدس أن هناك عددًا لا حصر له من الأشكال المختلفة لثلاثة توائم فيثاغورس، وقدم ما يمكن تسميته بصيغة للعثور عليهم جميعًا. لاحقًا، اقترح ديوفانتوس الإسكندري وصفة بسيطة، مطابقة بشكل أساسي للوصفة الإقليدية.

خذ أي عددين طبيعيين واحسب:

منتجهم المزدوج.

اختلاف مربعاتهما؛

مجموع مربعاتهم.

الأرقام الثلاثة الناتجة ستكون جوانب مثلث فيثاغورس.

لنأخذ على سبيل المثال الرقمين 2 و 1. لنحسب:

منتج مزدوج: 2 × 2 × 1 = 4؛

فرق المربعات: 22 - 12 = 3؛

مجموع المربعات: 22 + 12 = 5،

وحصلنا على المثلث الشهير 3-4-5. وإذا أخذنا الرقمين 3 و 2 بدلا من ذلك، نحصل على:

منتج مزدوج: 2 × 3 × 2 = 12؛

فرق المربعات: 32 - 22 = 5؛

مجموع المربعات: 32 + 22 = 13،

وسنحصل على المثلث الأكثر شهرة التالي 5 - 12 - 13. دعونا نحاول أخذ الرقمين 42 و 23 ونحصل على:

المنتج المزدوج: 2 × 42 × 23 = 1932؛

فرق المربعات: 422 - 232 = 1235؛

مجموع المربعات: 422 + 232 = 2293،

لم يسمع أحد من قبل عن المثلث 1235-1932-2293.

لكن هذه الأرقام تعمل أيضًا:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

هناك ميزة أخرى لقاعدة ديوفانتين، والتي تم التلميح إليها بالفعل: بعد أن تلقينا ثلاثة أرقام، يمكننا أن نأخذ رقمًا آخر رقم تعسفيوضربهم جميعا به. وبالتالي، يمكن تحويل مثلث 3-4-5 إلى مثلث 6-8-10 بضرب جميع أضلاعه في 2، أو إلى مثلث 15-20-25 بضرب جميع أضلاعه في 5.

إذا تحولنا إلى لغة الجبر، فإن القاعدة تأخذ الشكل التالي: اجعل u وv وk أعدادًا طبيعية. ثم مثلث قائم الزاوية ذو جوانب

2kuv و k (u2 - v2) لديهما الوتر

هناك طرق أخرى لعرض الفكرة الرئيسية، لكنها تتلخص جميعها في تلك الموضحة أعلاه. تتيح لك هذه الطريقة الحصول على جميع ثلاثيات فيثاغورس.

متعددات الوجوه العادية

هناك بالضبط خمسة متعددات وجوه منتظمة. متعدد السطوح المنتظم (أو متعدد السطوح) هو شكل ثلاثي الأبعاد مع عدد محدود من الوجوه المسطحة. تلتقي الوجوه مع بعضها البعض على خطوط تسمى الحواف؛ وتلتقي الحواف في نقاط تسمى القمم.

ذروة المبادئ الإقليدية هي الدليل على أنه لا يمكن أن يكون هناك سوى خمسة متعددات وجوه منتظمة، أي متعددات الوجوه التي يمثل فيها كل وجه مضلع منتظم (جوانب متساوية، زوايا متساوية)، جميع الوجوه متطابقة وجميع القمم محاطة عدد متساوحواف متباعدة بشكل متساو. فيما يلي خمسة متعددات وجوه منتظمة:

رباعي السطوح بأربعة وجوه مثلثة وأربعة رؤوس وستة حواف.

مكعب، أو سداسي، له 6 وجوه مربعة و8 رؤوس و12 حرفًا؛

المجسم الثماني ذو 8 أوجه مثلثة و6 رؤوس و12 حرفًا؛

الاثني عشر وجهًا مع 12 وجهًا خماسيًا و20 رأسًا و30 حرفًا؛

مجسم عشروني الوجوه له 20 وجهًا مثلثًا و12 رأسًا و30 حرفًا.

// أرز. 37. خمسة متعددات وجوه منتظمة

يمكن أيضًا العثور على متعددات الوجوه المنتظمة في الطبيعة. في عام 1904، نشر إرنست هيجل رسومات لكائنات دقيقة تُعرف باسم الإشعاعات؛ العديد منها على شكل نفس متعددات الوجوه الخمسة المنتظمة. ربما، مع ذلك، قام بتصحيح الطبيعة قليلا، والرسومات لا تعكس تماما شكل كائنات حية معينة. كما لوحظت الهياكل الثلاثة الأولى في البلورات. لن تجد اثنا عشري الوجوه وعشروني الوجوه في البلورات، على الرغم من وجود ثنائيات وجوه وعشرونيات وجوه غير منتظمة هناك في بعض الأحيان. يمكن أن توجد ثنائيات الوجوه الحقيقية على شكل شبه بلورات، والتي تشبه البلورات في كل شيء باستثناء أن ذراتها لا تشكل شبكة دورية.

// أرز. 38. رسومات هيجل: أشعة شعاعية على شكل متعددات وجوه منتظمة

// أرز. 39. تطورات متعددات الوجوه المنتظمة

قد يكون من المثير للاهتمام صنع نماذج من متعددات الوجوه العادية من الورق عن طريق قطع مجموعة من الوجوه المترابطة أولاً - وهذا ما يسمى تطوير متعدد الوجوه؛ يتم طي التطوير على طول الحواف ويتم لصق الحواف المقابلة معًا. من المفيد إضافة وسادة غراء إضافية إلى أحد أضلاع كل زوج من هذه الأزواج، كما هو موضح في الشكل. 39. إذا لم يكن هناك مثل هذه المنصة، يمكنك استخدام شريط لاصق.

معادلة الدرجة الخامسة

لا توجد صيغة جبرية لحل معادلات الدرجة الخامسة.

في منظر عامتبدو معادلة الدرجة الخامسة كما يلي:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

تكمن المشكلة في إيجاد صيغة لحلول هذه المعادلة (يمكن أن تحتوي على ما يصل إلى خمسة حلول). تشير الخبرة في المعادلات التربيعية والمكعبة، وكذلك معادلات الدرجة الرابعة، إلى أن مثل هذه الصيغة يجب أن تكون موجودة أيضًا لمعادلات الدرجة الخامسة، ومن الناحية النظرية، يجب أن تظهر فيها جذور الدرجات الخامسة والثالثة والثانية. مرة أخرى، يمكننا أن نفترض بأمان أن مثل هذه الصيغة، إذا وجدت، ستكون معقدة للغاية.

وتبين في النهاية أن هذا الافتراض خاطئ. في الواقع، لا توجد مثل هذه الصيغة؛ على الأقل لا توجد صيغة تتكون من المعاملات a، b، c، d، e و f، مصنوعة باستخدام الجمع والطرح والضرب والقسمة، وأخذ الجذور. إذن هناك شيء مميز جدًا بشأن الرقم 5. أسباب ذلك سلوك غير عاديإن الحروف A عميقة جدًا، وقد استغرق الأمر الكثير من الوقت لفهمها.

كانت أول علامة على وجود مشكلة هي أنه بغض النظر عن مدى صعوبة محاولة علماء الرياضيات العثور على مثل هذه الصيغة، وبغض النظر عن مدى ذكائهم، فإنهم يفشلون دائمًا. لبعض الوقت، اعتقد الجميع أن الأسباب تكمن في التعقيد المذهل للصيغة. كان يُعتقد أنه لا يمكن لأحد أن يفهم هذا الجبر بشكل صحيح. ومع ذلك، مع مرور الوقت، بدأ بعض علماء الرياضيات يشككون في وجود مثل هذه الصيغة، وفي عام 1823 تمكن نيلز هندريك أبيل من إثبات العكس. لا توجد مثل هذه الصيغة. بعد ذلك بوقت قصير، وجد إيفاريست جالوا طريقة لتحديد ما إذا كانت معادلة من درجة واحدة أو أخرى – الخامسة، السادسة، السابعة، أو أي نوع – قابلة للحل باستخدام هذا النوع من الصيغة.

الاستنتاج من كل هذا بسيط: الرقم 5 مميز. يمكنك حل المعادلات الجبرية (باستخدام الجذور الدرجة التاسعةل معاني مختلفةن) للدرجات 1 و 2 و 3 و 4، ولكن ليس للدرجة الخامسة. هذا هو المكان الذي ينتهي فيه النمط الواضح.

ولا يندهش أحد من أن المعادلات ذات الدرجات الأكبر من 5 تتصرف بشكل أسوأ؛ على وجه الخصوص، لديهم نفس الصعوبة: لا الصيغ العامةلحلها. وهذا لا يعني أن المعادلات ليس لها حلول؛ وهذا لا يعني أيضًا أنه من المستحيل إيجاد قيم عددية دقيقة جدًا لهذه الحلول. الأمر كله يتعلق بالقيود المفروضة على أدوات الجبر التقليدية. وهذا يذكرنا باستحالة تثليث الزاوية باستخدام المسطرة والبوصلة. الجواب موجود ولكن الطرق المذكورة غير كافية ولا تسمح لنا بتحديد ماهيته.

الحد البلوري

لا تحتوي البلورات ذات البعدين والثلاثة أبعاد على تناظر دوراني خماسي الأشعة.

تشكل الذرات الموجودة في البلورة شبكة، أي بنية تكرر نفسها بشكل دوري في عدة اتجاهات مستقلة. على سبيل المثال، يتم تكرار النمط الموجود على ورق الحائط على طول اللفة؛ بالإضافة إلى ذلك، فإنه يتكرر عادة في الاتجاه الأفقي، وأحيانا مع التحول من قطعة واحدة من ورق الحائط إلى أخرى. في الأساس، ورق الحائط عبارة عن بلورة ثنائية الأبعاد.

يوجد 17 نوعًا من أنماط ورق الحائط على المستوى (انظر الفصل 17). وهي تختلف في أنواع التناظر، أي في طرق تحريك النموذج بشكل صارم بحيث يقع تمامًا على نفسه في موضعه الأصلي. وتشمل أنواع التماثل، على وجه الخصوص، خيارات مختلفةالتناظر الدوراني، حيث يجب أن يدور الرسم بزاوية معينة حول نقطة معينة – مركز التناظر.

ترتيب التناظر الدوراني هو عدد المرات التي يمكن فيها تدوير الجسم في دائرة كاملة بحيث تعود جميع تفاصيل النموذج إلى مواقعها الأصلية. على سبيل المثال، الدوران بزاوية 90 درجة هو تناظر دوران من الدرجة الرابعة*. تشير قائمة الأنواع المحتملة من التماثل الدوراني في الشبكة البلورية مرة أخرى إلى غرابة الرقم 5: فهو غير موجود. توجد خيارات ذات تماثل دوران من الترتيب الثاني والثالث والرابع والسادس، ولكن لا يوجد نمط ورق حائط له تماثل دوران من الترتيب الخامس. لا يوجد أيضًا تماثل دوراني من رتبة أكبر من 6 في البلورات، ولكن الانتهاك الأول للتسلسل لا يزال يحدث عند الرقم 5.

ويحدث الشيء نفسه مع الأنظمة البلورية في الفضاء ثلاثي الأبعاد. هنا تكرر الشبكة نفسها في ثلاثة اتجاهات مستقلة. هناك 219 أنواع مختلفةالتناظر، أو 230، إذا اعتبرنا انعكاس المرآة للرسم كنسخة منفصلة عنه - على الرغم من حقيقة أنه في هذه الحالة لا يوجد تناظر مرآة. مرة أخرى، تم ملاحظة التماثلات الدورانية للأوامر 2 و3 و4 و6، ولكن ليس 5. وتسمى هذه الحقيقة بالحبس البلوري.

في الفضاء رباعي الأبعاد، توجد شبكات ذات تناظر من الدرجة الخامسة؛ بشكل عام، بالنسبة للشبكات ذات الأبعاد العالية بما فيه الكفاية، فإن أي ترتيب محدد مسبقًا للتماثل الدوراني ممكن.

// أرز. 40. شبكة كريستال من ملح الطعام. الكرات الداكنة تمثل ذرات الصوديوم، والكرات الخفيفة تمثل ذرات الكلور

أشباه البلورات

على الرغم من أن التناظر الدوراني من الدرجة الخامسة غير ممكن في الشبكات ثنائية أو ثلاثية الأبعاد، إلا أنه يمكن أن يوجد في هياكل أقل انتظامًا قليلًا تُعرف باسم أشباه البلورات. وباستخدام رسومات كيبلر، اكتشف روجر بنروز أنظمة مسطحة تحتوي على المزيد النوع العامالتماثل الخماسي. يطلق عليهم شبه البلورات.

توجد أشباه البلورات في الطبيعة. في عام 1984، اكتشف دانييل شيختمان أن سبيكة من الألومنيوم والمنغنيز يمكن أن تشكل أشباه بلورات. في البداية، استقبل علماء البلورات رسالته بشيء من الشك، ولكن تم تأكيد الاكتشاف لاحقًا، وفي عام 2011 حصل شيختمان على جائزة جائزة نوبلفي الكيمياء. في عام 2009، اكتشف فريق من العلماء بقيادة لوكا بيندي أشباه البلورات في معدن من مرتفعات كورياك الروسية - وهو مركب من الألومنيوم والنحاس والحديد. اليوم يسمى هذا المعدن إيكوساهيدريت. ومن خلال قياس محتوى نظائر الأكسجين المختلفة في المعدن باستخدام مطياف الكتلة، أظهر العلماء أن هذا المعدن لم ينشأ على الأرض. تشكلت قبل حوالي 4.5 مليار سنة، في الوقت الذي كانت فيه النظام الشمسيكان في بداياته، وقضى معظم وقته في حزام الكويكبات، ويدور حول الشمس، حتى غيرت بعض الاضطرابات مداره وأوصلته في النهاية إلى الأرض.

// أرز. 41. على اليسار: واحدة من شبكتين شبه بلوريتين مع تماثل دقيق خمسة أضعاف. على اليمين: النموذج الذري لشبه بلورة عشرينية السطوح من الألومنيوم والبلاديوم والمنغنيز

التعليمية: دراسة عدد من ثلاثيات فيثاغورس، وتطوير خوارزمية لاستخدامها في حالات مختلفة، قم بإنشاء تذكير حول استخدامها.

التعليمية: تكوين موقف واعي تجاه التعلم والتطوير النشاط المعرفيثقافة العمل التربوي.

التنموية: تطوير الحدس الهندسي والجبري والعددي والذكاء والملاحظة والذاكرة.

تقدم الدرس

I. اللحظة التنظيمية

ثانيا. شرح مادة جديدة

المعلم: إن سر القوة الجذابة لثلاثة توائم فيثاغورس لطالما أثار قلق البشرية. تشرح الخصائص الفريدة لثلاثة توائم فيثاغورس دورهم الخاص في الطبيعة والموسيقى والرياضيات. تعويذة فيثاغورس، نظرية فيثاغورس، تبقى في أدمغة الملايين، إن لم يكن المليارات، من الناس. هذه نظرية أساسية يجب على كل تلميذ أن يحفظها. على الرغم من أن نظرية فيثاغورس يمكن أن يفهمها الأطفال في سن العاشرة، إلا أنها تمثل بداية ملهمة لمشكلة فشل أعظم العقول في تاريخ الرياضيات في حلها، وهي نظرية فيرما. فيثاغورس من جزيرة ساموس (انظر. الملحق 1 , الشريحة 4) كان واحدًا من أكثر الشخصيات تأثيرًا وغموضًا في الرياضيات. نظرًا لعدم وجود روايات موثوقة عن حياته وأعماله، فقد أصبحت حياته محاطة بالأساطير والأساطير، وقد يجد المؤرخون صعوبة في فصل الحقيقة عن الخيال. ولكن مما لا شك فيه أن فيثاغورس هو من طور فكرة منطق الأعداد وأننا مدينون له بالعصر الذهبي الأول للرياضيات. بفضل عبقريته، توقف استخدام الأرقام فقط للعد والحسابات وتم تقديرها لأول مرة. درس فيثاغورس خصائص فئات معينة من الأعداد، والعلاقات بينها وبين الأشكال التي تشكل الأعداد. لقد أدرك فيثاغورس أن الأعداد موجودة بشكل مستقل عن العالم المادي، وبالتالي فإن دراسة الأعداد لا تتأثر بعدم دقة حواسنا. وهذا يعني أن فيثاغورس اكتسب القدرة على اكتشاف الحقائق بشكل مستقل عن رأي أي شخص آخر أو تحيزه. الحقائق مطلقة أكثر من أي معرفة سابقة. بناءً على الأدبيات التي تمت دراستها بخصوص ثلاثية فيثاغورس، سنهتم بإمكانية استخدام ثلاثيات فيثاغورس في حل مسائل علم المثلثات. لذلك، سنضع لأنفسنا الهدف: دراسة عدد من ثلاثة توائم فيثاغورس، وتطوير خوارزمية لاستخدامها، وتجميع مذكرة حول استخدامها، وإجراء بحث حول استخدامها في مواقف مختلفة.

مثلث ( الشريحة 14)، الذي تساوي أضلاعه أرقام فيثاغورس، مستطيل الشكل. علاوة على ذلك، فإن أي مثلث من هذا القبيل هو مثلث هيروني، أي مثلث. واحد تكون فيه جميع الجوانب والمساحة أعدادًا صحيحة. وأبسطها المثلث المصري ذو أضلاعه (3، 4، 5).

لنقم بإنشاء سلسلة من ثلاثيات فيثاغورس عن طريق ضرب الأرقام (3، 4، 5) في 2، في 3، في 4. سنحصل على سلسلة من ثلاثيات فيثاغورس، ونرتبها تصاعديًا لأقصى عدد، ونختار منها البدائية. .

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

ثالثا. تقدم الدرس

1. دعونا ندور حول المهام:

1) باستخدام العلاقات بين الدوال المثلثية لنفس الوسيطة، ابحث عن if

ومن المعروف أن .

2) أوجد قيمة الدوال المثلثية للزاوية؟ إذا علم أن:

3) نظام المهام التدريبية حول موضوع "صيغ الإضافة"

مع العلم أن sin = 8/17، cos = 4/5، وهي زوايا الربع الأول، أوجد قيمة التعبير:

مع العلم أن و هي زوايا الربع الثاني، sin = 4/5، cos = – 15/17، أوجد: .

4) نظام المهام التدريبية حول موضوع "صيغ الزاوية المزدوجة"

أ) لتكن sin = 5/13 هي زاوية الربع الثاني. أوجد sin2، cos2، tg2، ctg2.

ب) ومن المعروف أن تيراغرام؟ = 3/4 - زاوية الربع الثالث. أوجد sin2، cos2، tg2، ctg2.

ج) ومن المعروف أن 0< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

د) ومعلوم ذلك , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

هـ) أوجد tan( + ) إذا كان معروفًا أن cos = 3/5، cos = 7/25، حيث و هي زوايا الربع الأول.

و) البحث - زاوية الربع الثالث.

نحن نحل المشكلة بالطريقة التقليدية باستخدام المتطابقات المثلثية الأساسية، ثم نحل نفس المشاكل بطريقة أكثر عقلانية. للقيام بذلك، نستخدم خوارزمية لحل المسائل باستخدام ثلاثية فيثاغورس. لنقم بإنشاء دليل لحل المشكلات باستخدام ثلاثية فيثاغورس. للقيام بذلك، تذكر تعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، زاوية حادةمثلث قائم الزاوية نرسمه حسب ظروف المشكلة على جوانب المثلث القائم نقوم بترتيب ثلاثيات فيثاغورس بشكل صحيح ( أرز. 1). نكتب النسبة ونرتب العلامات. تم تطوير الخوارزمية.

الشكل 1

خوارزمية لحل المشاكل

مراجعة (دراسة) المادة النظرية.

احفظ ثلاثية فيثاغورس البدائية عن ظهر قلب، وإذا لزم الأمر، كن قادرًا على بناء ثلاثية جديدة.

تطبيق نظرية فيثاغورس على النقاط ذات الإحداثيات المنطقية.

تعرف على تعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية الحادة للمثلث القائم الزاوية، وتكون قادرًا على رسم مثلث قائم الزاوية، ووفقًا لظروف المشكلة، ضع ثلاثيات فيثاغورس بشكل صحيح على جانبي المثلث.

تعرف على علامات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام اعتمادًا على موقعها في المستوى الإحداثي.

المتطلبات الضرورية:

معرفة علامات الجيب وجيب التمام والظل والظل في كل ربع من أرباع المستوى الإحداثي؛
معرفة تعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية الحادة للمثلث القائم الزاوية؛
تعرف وتكون قادرًا على تطبيق نظرية فيثاغورس.
معرفة الهويات المثلثية الأساسية، وصيغ الجمع، وصيغ الزاوية المزدوجة، وصيغ نصف الوسيطة؛
تعرف على صيغ التخفيض.

مع مراعاة ما سبق، دعونا نملأ الجدول ( الجدول 1). ويجب إكماله باتباع تعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام أو باستخدام نظرية فيثاغورس للنقاط ذات الإحداثيات المنطقية. في هذه الحالة، من الضروري دائمًا أن نتذكر علامات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، اعتمادًا على موقعها في المستوى الإحداثي.

الجدول 1

ثلاثية الأرقام		خطيئة	كوس	tg	ctg
(3, 4, 5)	أنا ساعة
(6, 8, 10)	الجزء الثاني			-	-
(5, 12, 13)	الجزء الثالث	-	-
(8, 15, 17)	الساعة الرابعة	-		-	-
(9, 40, 41)	أنا ساعة

ل عمل ناجحيمكنك استخدام التعليمات الخاصة باستخدام ثلاثية فيثاغورس.

الجدول 2


(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. دعونا نقرر معا.

1) المشكلة: أوجد cos وtg وctg، إذا كانت sin = 5/13، وإذا كانت - زاوية الربع الثاني.

تشيرفيك فيتالي

تحميل:

معاينة:

منافسة المشاريع العلميةتلاميذ المدارس

ضمن الإقليمية المؤتمر العلمي العملي"يوريكا"

الأكاديمية الصغيرة للعلوم لطلاب كوبان

دراسة أعداد فيثاغورس

قسم الرياضيات.

تشيرفياك فيتالي جيناديفيتش، الصف التاسع

مدرسة موبو الثانوية رقم 14

منطقة كورينوفسكي

فن. زورافسكايا

المشرف العلمي :

مانكو غالينا فاسيليفنا

مدرس الرياضيات

مدرسة موبو الثانوية رقم 14

كورينوفسك 2011

تشيرفياك فيتالي جيناديفيتش

أرقام فيثاغورس

تعليق توضيحي.

موضوع البحث:أرقام فيثاغورس

أهداف البحث:

تحديد وتطوير القدرات الرياضية؛
امتداد التمثيل الرياضيفي هذا الموضوع؛
تكوين اهتمام مستدام بالموضوع؛
تنمية مهارات الاتصال والمهارات الأكاديمية العامة عمل مستقل، القدرة على إجراء مناقشة، يجادل، وما إلى ذلك؛
تكوين وتطوير التفكير التحليلي والمنطقي؛

طرق البحث:

استخدام موارد الإنترنت؛
بالإشارة إلى الأدبيات المرجعية؛
إجراء التجربة؛

خاتمة:

يمكن استخدام هذا العمل في درس الهندسة مواد إضافية، لإجراء دورات اختيارية أو اختيارية في الرياضيات، وكذلك في الأنشطة اللامنهجيةفي الرياضيات.

تشيرفياك فيتالي جيناديفيتش

منطقة كراسنودار، قرية Zhuravskaya، مدرسة MOBU الثانوية رقم 14، الصف التاسع

أرقام فيثاغورس

المشرف العلمي: غالينا فاسيليفنا مانكو، مدرس الرياضيات بالمدرسة الثانوية رقم 14

مقدمة ………………………………………………………………… 3
الجزء الرئيسي

2.1 الصفحة التاريخية ………………………………………………………………………………….4 الصفحة التاريخية

2.2 إثبات الأرجل الزوجية والفردية................................................5-6

2.3 اشتقاق نمط لإيجاد

أرقام فيثاغورس ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.4 خصائص أرقام فيثاغورس ……………………………………………… 8

3. الخاتمة ………………………………………………………………………………………………………… 9

4. قائمة المصادر والأدبيات المستخدمة ............... 10

التطبيقات .............................................. .......................................................... ............. ......11

الملحق الأول …………………………………………………………………………………………………………… 11

الملحق الثاني ……………………………………………………………………………………………………………….13

تشيرفياك فيتالي جيناديفيتش

منطقة كراسنودار، قرية Zhuravskaya، مدرسة MOBU الثانوية رقم 14، الصف التاسع

أرقام فيثاغورس

المشرف العلمي: غالينا فاسيليفنا مانكو، مدرس الرياضيات بالمدرسة الثانوية رقم 14

مقدمة

سمعت عن فيثاغورس وحياته في درس الرياضيات للصف الخامس، واهتممت بمقولة "بنطال فيثاغورس متساوون في جميع الاتجاهات". أثناء دراستي لنظرية فيثاغورس، أصبحت مهتمًا بأرقام فيثاغورس التي أضعهاالغرض من الدراسة: تعرف على المزيد حول نظرية فيثاغورس و " أرقام فيثاغورس».

أهمية الموضوع. لقد أثبت العديد من العلماء حول العالم قيمة نظرية فيثاغورس وثلاثية توائم فيثاغورس على مدى قرون عديدة. تبدو المشكلة التي سيتم مناقشتها في عملي بسيطة للغاية لأنها تعتمد على عبارة رياضية يعرفها الجميع - وهي نظرية فيثاغورس: في أي مثلث قائم الزاوية، يكون المربع المبني على الوتر يساوي مجموع المربعات المبنية على الوتر. الساقين. الآن ثلاثية الأعداد الطبيعية x، y، z، والتيس 2 + ص 2 = ض 2 ، ويسمى عادةثلاثة توائم فيثاغورس. اتضح أن ثلاثة توائم فيثاغورس كانت معروفة بالفعل في بابل. وبالتدريج، وجدهم أيضًا علماء الرياضيات اليونانيون.

الغرض من هذا العمل

استكشاف أرقام فيثاغورس.
فهم كيفية الحصول على أرقام فيثاغورس؛
تعرف على خصائص أرقام فيثاغورس؛
إنشاء خطوط متعامدة بشكل تجريبي على الأرض باستخدام أعداد فيثاغورس؛

وفقاً لهدف العمل تم وضع عدد مما يلي:المهام:

1. دراسة تاريخ نظرية فيثاغورس بشكل أعمق.

2. التحليل خصائص عالميةثلاثة توائم فيثاغورس.

3. تحليل التطبيق العملي لثلاثية فيثاغورس.

موضوع الدراسة:ثلاثيات فيثاغورس.

موضوع البحث: الرياضيات.

طرق البحث: - استخدام موارد الإنترنت؛ - الرجوع إلى الأدب المرجعي. - إجراء التجربة؛

الأهمية النظرية:والدور الذي لعبه اكتشاف ثلاثة توائم فيثاغورس في العلوم؛ التطبيق العملياكتشافات فيثاغورس في حياة الإنسان.

قيمة التطبيقالبحث هو التحليل المصادر الأدبيةوتنظيم الحقائق.

تشيرفياك فيتالي جيناديفيتش

منطقة كراسنودار، قرية Zhuravskaya، مدرسة MOBU الثانوية رقم 14، الصف التاسع

أرقام فيثاغورس

المشرف العلمي: غالينا فاسيليفنا مانكو، مدرس الرياضيات بالمدرسة الثانوية رقم 14

من تاريخ أرقام فيثاغورس.

الصين القديمة:

كتاب الرياضيات تشو بي:[ 2]

«إذا تفككت زاوية قائمة إلى مكوناتها، فإن الخط الواصل بين أطراف أضلاعها يكون 5، عندما تكون القاعدة 3 والارتفاع 4».

مصر القديمة: [2]

كانتور (المؤرخ الألماني الرائد للرياضيات) يعتقد أن المساواة 3² + 4² = 5² كانت معروفة لدى المصريين حوالي عام 2300 قبل الميلاد. هـ ، في عهد الملكأمنمحيتا (حسب البردية رقم 6619 من متحف برلين). بحسب كانتورشخصية, أو "ساحبي الحبال"، الذين قاموا ببناء زوايا قائمة باستخدام مثلثات قائمة ذات أضلاع 3؛ 4 و 5.

بابل: [3]

"إن ميزة علماء الرياضيات اليونانيين الأوائل، مثل طاليس وفيثاغورس وفيثاغورس، ليست في اكتشاف الرياضيات، ولكن في تنظيمها وتبريرها. وفي أيديهم، أصبحت الوصفات الحسابية المبنية على أفكار غامضة علمًا دقيقًا".

تاريخ نظرية فيثاغورس:

ورغم أن هذه النظرية مرتبطة باسم فيثاغورس، إلا أنها كانت معروفة قبله بفترة طويلة.

تم العثور عليه في النصوص البابلية قبل فيثاغورس بـ 1200 عام.

ويبدو أنه كان أول من وجد دليلاً على ذلك. وفي هذا الصدد، تم إدخال المدخل التالي: «... ولما اكتشف أن الوتر في المثلث القائم يتوافق مع الساقين، ضحى بثور مصنوع من عجينة القمح».

تشيرفياك فيتالي جيناديفيتش

منطقة كراسنودار، قرية Zhuravskaya، مدرسة MOBU الثانوية رقم 14، الصف التاسع

أرقام فيثاغورس

المشرف العلمي: غالينا فاسيليفنا مانكو، مدرس الرياضيات بالمدرسة الثانوية رقم 14

دراسة أعداد فيثاغورس.

كل مثلث تكون أضلاعه بنسبة 3:4:5 حسب نظرية فيثاغورس المعروفة، هو مستطيل، إذ

3 2 + 4 2 = 5 2.

بالإضافة إلى الأعداد 3،4 و5، هناك، كما هو معروف، مجموعة لا حصر لها من الأعداد الصحيحة الموجبة a وb وc، مما يحقق العلاقة
أ2 + ب2 = ج2.
تسمى هذه الأرقامأرقام فيثاغورس

من المعروف أن ثلاثة توائم فيثاغورس معروفة منذ فترة طويلة جدًا. في الهندسة المعمارية لشواهد القبور في غابة بوتاميا القديمة، تم العثور على مثلث متساوي الساقين، يتكون من مستطيلين بأضلاع 9 و 12 و 15 ذراعا. تم بناء أهرامات الفرعون سنفرو (القرن السابع والعشرون قبل الميلاد) باستخدام مثلثات أضلاعها 20 و21 و29، بالإضافة إلى 18 و24 و30 عشرات من الأذرع المصرية.[ 1 ]

المثلث القائم ذو الأرجل 3 و 4 والوتر 5 يسمى المثلث المصري. مساحة هذا المثلث تساوي الرقم المثالي 6، ومحيطه 12، وهو الرقم الذي كان يعتبر رمزا للسعادة والرخاء.

وباستخدام حبل مقسم بالعقد إلى 12 جزءًا متساويًا، بنى المصريون القدماء مثلثًا قائمًا وزاوية قائمة. طريقة مريحة ودقيقة للغاية يستخدمها المساحون لرسم الخطوط المتعامدة على الأرض. تحتاج إلى أخذ سلك وثلاثة أوتاد، وترتيب الحبل في مثلث بحيث يتكون أحد الجوانب من 3 أجزاء، والثاني من 4 أجزاء والأخير من خمسة أجزاء من هذا القبيل. سيتم ترتيب الحبل على شكل مثلث به زاوية قائمة.

هذه الطريقة القديمة، التي يبدو أنها استخدمت منذ آلاف السنين من قبل بناة الأهرامات المصرية، تعتمد على حقيقة أن كل مثلث تكون أضلاعه بنسبة 3:4:5، وفقا لنظرية فيثاغورس، هو قائم الزاوية.

شارك إقليدس وفيثاغورس وديوفانتوس والعديد من الآخرين في العثور على ثلاثة توائم فيثاغورس.[ 1]

من الواضح أنه إذا كانت (x، y، z ) هي ثلاثية فيثاغورس، ثم لأي طبيعيك الثلاثي (kx، ky، kz) سيكون أيضًا ثلاثية فيثاغورس. وعلى وجه الخصوص (6، 8، 10)، (9، 12، 15)، إلخ. هم ثلاثة توائم فيثاغورس.

مع زيادة الأعداد، أصبح التوائم الفيثاغورية الثلاثية أقل شيوعًا وأصبح العثور عليهم أكثر صعوبة. اخترع الفيثاغوريون طريقة للبحث

مثل هذه الثلاثيات، وباستخدامها، أثبتت أن هناك عددًا لا نهائيًا من ثلاثيات فيثاغورس.

تسمى الثلاثيات التي ليس لها عوامل مشتركة أكبر من 1 الأبسط.

دعونا نفكر في بعض خصائص ثلاثيات فيثاغورس.[ 1]

وفقا لنظرية فيثاغورس، يمكن لهذه الأرقام أن تكون بمثابة أطوال مثلث قائم الزاوية معين؛ لذلك، يُطلق على a وb اسم "الساقين"، ويُسمى c "الوتر".
من الواضح أنه إذا كانت a، b، c عبارة عن ثلاثية من أرقام فيثاغورس، فإن pa، pb، pc، حيث p عامل عدد صحيح، هي أرقام فيثاغورس.
والبيان المعاكس صحيح أيضا!
لذلك، سنقوم أولاً بفحص ثلاثة توائم فقط من أعداد فيثاغورس coprime (يتم الحصول على الباقي منها عن طريق الضرب بعامل صحيح p).

فلنبين ذلك في كل واحدة منها الثلاثي أ، ب، جيجب أن تكون إحدى "الساقين" متساوية والأخرى غريبة. دعونا نتجادل بالتناقض. إذا كان كلا "الساقين" a وb زوجيين، فإن العدد a سيكون زوجيًا 2 + في 2 ، ومن هنا "الوتر". ولكن هذا يتناقض مع ما الأرقام أ، بو c ليس لهما عوامل مشتركة، حيث أن ثلاثة أرقام زوجية لها عامل مشترك هو 2. وبالتالي، فإن أحد "الساقين" a وb على الأقل فردي.

يبقى هناك احتمال آخر: كلتا "الساقين" فرديتان، و"الوتر" زوجي. ليس من الصعب إثبات أن هذا لا يمكن أن يكون، لأنه إذا كانت "الأرجل" لها الشكل 2 x + 1 و 2y + 1، فإن مجموع مربعاتها يساوي

4x 2 + 4x + 1 + 4ص 2 + 4ص +1 = 4 (س 2 + س + ص 2 + ص) +2، أي. هو الرقم الذي عند قسمته على 4 يتبقى 2. وفي الوقت نفسه، يجب أن يكون مربع أي رقم زوجي قابلاً للقسمة على 4 بدون باقي.

وهذا يعني أن مجموع مربعي رقمين فرديين لا يمكن أن يكون مربع عدد زوجي؛ بمعنى آخر، الأعداد الثلاثة لدينا ليست فيثاغورس.

خاتمة:

إذن، من "الساقين" أ، أحدهما زوجي والآخر فردي. ولذلك الرقم أ 2 + في 2 غريب، مما يعني أن "الوتر" غريب أيضًا.

وجد فيثاغورس صيغًا يمكن كتابتها في الرمزية الحديثة على النحو التالي: a=2n+1, b=2n(n+1), c=2ن 2 +2n+1، حيث n عدد صحيح.

هذه الأرقام هي ثلاثة توائم فيثاغورس.

تشيرفياك فيتالي جيناديفيتش

منطقة كراسنودار، قرية Zhuravskaya، مدرسة MOBU الثانوية رقم 14، الصف التاسع

أرقام فيثاغورس

المشرف العلمي: غالينا فاسيليفنا مانكو، مدرس الرياضيات بالمدرسة الثانوية رقم 14

اشتقاق نمط للعثور على أرقام فيثاغورس.

وإليكم ثلاثيات فيثاغورس التالية:

3, 4, 5; 9+16=25.
5, 12, 13; 25+144=225.
7, 24, 25; 49+576=625.
8, 15, 17; 64+225=289.
9, 40, 41; 81+1600=1681.
12, 35, 37; 144+1225=1369.
20, 21, 29; 400+441=881

من السهل أن نرى أنه عندما نضرب كل رقم من ثلاثية فيثاغورس في 2، 3، 4، 5، وما إلى ذلك، نحصل على الثلاثية التالية.

6, 8, 10;
9,12,15.
12, 16, 20;
15, 20, 25;
10, 24, 26;
18, 24, 30;
16, 30, 34;
21, 28, 35;
15, 36, 39;
24, 32, 40;
14, 48, 50;
30، 40، 50، الخ.

وهي أيضًا أرقام فيثاغورس/

تشيرفياك فيتالي جيناديفيتش

منطقة كراسنودار، قرية Zhuravskaya، مدرسة MOBU الثانوية رقم 14، الصف التاسع

أرقام فيثاغورس

المشرف العلمي: غالينا فاسيليفنا مانكو، مدرس الرياضيات بالمدرسة الثانوية رقم 14

خصائص أعداد فيثاغورس.

عندما نظرت إلى أرقام فيثاغورس، رأيت عددًا من الخصائص:
1) يجب أن يكون أحد أرقام فيثاغورس من مضاعفات الثلاثة؛
2) يجب أن يكون الآخر من مضاعفات الأربعة؛
3) ويجب أن يكون ثلث أرقام فيثاغورس من مضاعفات الخمسة؛

تشيرفياك فيتالي جيناديفيتش

منطقة كراسنودار، قرية Zhuravskaya، مدرسة MOBU الثانوية رقم 14، الصف التاسع

أرقام فيثاغورس

المشرف العلمي: غالينا فاسيليفنا مانكو، مدرس الرياضيات بالمدرسة الثانوية رقم 14

خاتمة.

الهندسة، مثل العلوم الأخرى، نشأت من احتياجات الممارسة. كلمة "هندسة" نفسها هي كلمة يونانية وتعني "مسح الأراضي".

واجه الناس في وقت مبكر جدًا الحاجة إلى القياس قطع الأراضي. بالفعل 3-4 ألف سنة قبل الميلاد. وكانت كل قطعة أرض خصبة في أودية النيل والفرات ودجلة وأنهار الصين مهمة لحياة الناس. وهذا يتطلب قدرًا معينًا من المعرفة الهندسية والحسابية.

تدريجيا، بدأ الناس في قياس ودراسة خصائص الأشكال الهندسية الأكثر تعقيدا.

تم بناء معابد ضخمة في مصر وبابل، ولا يمكن تنفيذ بنائها إلا على أساس الحسابات الأولية. كما تم بناء خطوط أنابيب المياه. كل هذا يتطلب الرسومات والحسابات. بحلول هذا الوقت، كانت الحالات الخاصة لنظرية فيثاغورس معروفة جيدًا، وكانوا يعرفون بالفعل أنه إذا أخذنا مثلثات ذات جوانب x، y، z، حيث x، y، z هي أعداد صحيحة؛س 2 + ص 2 = ض 2 ، فإن هذه المثلثات ستكون قائمة الزاوية.

تم تطبيق كل هذه المعرفة بشكل مباشر في العديد من مجالات الحياة البشرية.

وهكذا، حتى يومنا هذا، يجد الاكتشاف العظيم للعالم والفيلسوف القديم فيثاغورس تطبيقًا مباشرًا في حياتنا.

بناء المنازل والطرق، سفن الفضاءوالسيارات والأدوات الآلية وخطوط أنابيب النفط والطائرات والأنفاق ومترو الأنفاق وغير ذلك الكثير. لثلاثة توائم فيثاغورس تطبيق مباشر في تصميم العديد من الأشياء التي تحيط بنا في الحياة اليومية.

وتستمر عقول العلماء في البحث عن إصدارات جديدة من إثباتات نظرية فيثاغورس.

في ونتيجة لعملي تمكنت من:
1. تعرف على المزيد عن فيثاغورس وحياته والأخوة الفيثاغورسية.
2. التعرف على تاريخ نظرية فيثاغورس.
3. التعرف على أرقام فيثاغورس وخصائصها وتعلم كيفية العثور عليها وتطبيقها في الأنشطة العملية.

تشيرفياك فيتالي جيناديفيتش

منطقة كراسنودار، قرية Zhuravskaya، مدرسة MOBU الثانوية رقم 14، الصف التاسع

أرقام فيثاغورس

المشرف العلمي: غالينا فاسيليفنا مانكو، مدرس الرياضيات بالمدرسة الثانوية رقم 14

الأدب.

الجبر مسلية. يا. بيرلمان (ص 117-120)
www.garshin.ru
image.yandex.ru

4. أنوسوف د. نظرة على الرياضيات وشيء منها. – م: MTsNMO، 2003.

5. موسوعة الأطفال. – م.: دار النشر التابعة لأكاديمية العلوم التربوية في جمهورية روسيا الاتحادية الاشتراكية السوفياتية ، 1959.

6. ستيبانوفا إل.إل. فصول مختارة من نظرية الأعداد الأولية. - م: بروميثيوس، 2001.

7. دبليو سيربينسكي مثلثات فيثاغورس. - م: أوتشبيدجيز، 1959. ص111

التقدم المحرز في البحث الصفحة التاريخية؛ نظرية فيثاغورس. إثبات أن إحدى "الساقين" يجب أن تكون متساوية والأخرى فردية؛ اشتقاق نمط للعثور على أرقام فيثاغورس؛ الكشف عن خصائص أعداد فيثاغورس؛

المقدمة سمعت عن فيثاغورس وحياته في درس الرياضيات للصف الخامس، واهتممت بمقولة "بنطال فيثاغورس متساوون في جميع الاتجاهات". أثناء دراستي لنظرية فيثاغورس، أصبحت مهتماً بأعداد فيثاغورس. لقد حددت هدف بحثي: معرفة المزيد عن نظرية فيثاغورس و"أعداد فيثاغورس".

الحقيقة ستبقى أبدية بمجرد أن يعرفها شخص ضعيف! والآن أصبحت نظرية فيثاغورس صحيحة كما في عصره البعيد

من تاريخ أرقام فيثاغورس. كتاب الرياضيات الصيني القديم Chu-pei: "إذا تم تقسيم الزاوية القائمة إلى الأجزاء المكونة لها، فإن الخط الذي يصل طرفي أضلاعها سيكون 5 عندما تكون القاعدة 3 والارتفاع 4."

أرقام فيثاغورس عند قدماء المصريين يرى كانتور (أكبر مؤرخ ألماني للرياضيات) أن المساواة 3² + 4² = 5² كانت معروفة بالفعل لدى المصريين حوالي عام 2300 قبل الميلاد. أي في عهد الملك أمنمحات (حسب البردية رقم 6619 بمتحف برلين). وفقًا لكانتور، قامت الـ harpedonaptes، أو "ساحبات الحبال"، ببناء زوايا قائمة باستخدام مثلثات قائمة ذات جوانب 3؛ 4 و 5.

نظرية فيثاغورس في بابل “إن ميزة علماء الرياضيات اليونانيين الأوائل، مثل طاليس وفيثاغورس وفيثاغورس، ليست في اكتشاف الرياضيات، ولكن في تنظيمها وتبريرها. وفي أيديهم، أصبحت الوصفات الحسابية المبنية على أفكار غامضة علمًا دقيقًا".

كل مثلث تكون نسبة أضلاعه 3:4:5 حسب نظرية فيثاغورس المعروفة، هو مستطيل، حيث أن 3 2 + 4 2 = 5 2. بالإضافة إلى الأعداد 3،4 و5، هناك ، كما هو معروف، عدد لا نهائي من الأعداد الصحيحة الموجبة a و в و с، مما يحقق العلاقة A 2 + в 2 = с 2. وتسمى هذه الأرقام أرقام فيثاغورس

وفقا لنظرية فيثاغورس، يمكن لهذه الأرقام أن تكون بمثابة أطوال مثلث قائم الزاوية معين؛ لذلك، يُطلق على a وb اسم "الساقين"، ويُسمى c "الوتر". من الواضح أنه إذا كانت a، b، c عبارة عن ثلاثية من أرقام فيثاغورس، فإن pa، pb، pc، حيث p عامل عدد صحيح، هي أرقام فيثاغورس. والبيان المعاكس صحيح أيضا! لذلك، سنقوم أولاً بفحص ثلاثة توائم فقط من أعداد فيثاغورس coprime (يتم الحصول على الباقي منها عن طريق الضرب في عامل صحيح p)

خاتمة! إذن، من بين العددين a وb، أحدهما زوجي والآخر فردي، مما يعني أن الرقم الثالث فردي.

إليكم التوائم الفيثاغورية التالية: 3، 4، 5؛ 9+16=25. 5، 12، 13؛ 25+144=169. 7، 24، 25؛ 49+576=625. 8، 15، 17؛ 64+225=289. 9، 40، 41؛ 81+1600=1681. 12، 35، 37؛ 144+1225=1369. 20، 21، 29؛ 400+441=841

من السهل أن نرى أنه عندما نضرب كل رقم من ثلاثية فيثاغورس في 2، 3، 4، 5، وما إلى ذلك، نحصل على الثلاثية التالية. 6، 8، 10؛ 9,12,15. 12، 16، 20؛ 15، 20، 25؛ 10، 24، 26؛ 18، 24، 30؛ 16، 30، 34؛ 21، 28، 35؛ 15، 36، 39؛ 24، 32، 40؛ 14، 48، 50؛ 30، 40، 50، الخ. وهي أيضًا أرقام فيثاغورس

خصائص أرقام فيثاغورس عند النظر في أرقام فيثاغورس، رأيت عددًا من الخصائص: 1) يجب أن يكون أحد أرقام فيثاغورس من مضاعفات الثلاثة؛ 2) يجب أن يكون واحد منهم مضاعفا لأربعة؛ 3) وآخر من أرقام فيثاغورس يجب أن يكون من مضاعفات العدد خمسة؛

التطبيق العملي لأعداد فيثاغورس

الخلاصة: نتيجة لعملي، تمكنت من: 1. معرفة المزيد عن فيثاغورس وحياته والأخوة الفيثاغورسية. 2. التعرف على تاريخ نظرية فيثاغورس. 3. تعرف على أرقام فيثاغورس وخصائصها وتعلم كيفية العثور عليها. رسم زاوية قائمة بشكل تجريبي باستخدام أرقام فيثاغورس.

ثلاثية فيثاغورس من الأعداد

العمل الإبداعي

طالب 8 "أ"فصل

ماو "صالة الألعاب الرياضية رقم 1"

منطقة أوكتيابرسكي في ساراتوف

بانفيلوف فلاديمير

رئيس — مدرس الرياضيات من أعلى فئة

جريشينا ايرينا فلاديميروفنا

محتوى

مقدمة ………………………………………………………………… 3

الجزء النظري من العمل

العثور على مثلث فيثاغورس الأساسي

(صيغ الهندوس القدماء)……………………………………………… 4

الجزء العمليعمل

تكوين ثلاثية فيثاغورس بطرق مختلفة……………………........6

من الخصائص الهامة لمثلثات فيثاغورس ……………………………………………………………………………………………………………

الخلاصة ………………………………………………………………………………………………………………….9

الأدب ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….10

مقدمة

في هذا العام الدراسيدرسنا في دروس الرياضيات إحدى النظريات الأكثر شعبية في الهندسة - نظرية فيثاغورس. تُستخدم نظرية فيثاغورس في الهندسة في كل خطوة، وقد وجدت تطبيقًا واسعًا في الممارسة وفي الحياة اليومية. ولكن، بالإضافة إلى النظرية نفسها، قمنا أيضًا بدراسة النظرية المقابلة لنظرية فيثاغورس. فيما يتعلق بدراسة هذه النظرية، تعرفنا على ثلاثة توائم من الأعداد فيثاغورس، أي. مع مجموعات من 3 أرقام طبيعيةأ , ب وج ، والتي تكون العلاقة صالحة لها: = + . وتشمل هذه المجموعات، على سبيل المثال، التوائم الثلاثة التالية:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

كان لدي أسئلة على الفور: كم عدد ثلاثية فيثاغورس التي يمكنك التوصل إليها؟ كيف تؤلفهم؟

في كتابنا الهندسي المدرسي، بعد تقديم نظرية العكس لنظرية فيثاغورس، تم تقديم ملاحظة مهمة: يمكن إثبات أن الأرجلأ وب والوترمع يمكن إيجاد المثلثات القائمة الزاوية، والتي يتم التعبير عن أطوال أضلاعها بأعداد طبيعية، باستخدام الصيغ التالية:

أ = 2كم ب = ك( - ) ج = ك( + , (1)

أينك , م , ن - أي الأعداد الطبيعية، وم > ن .

وبطبيعة الحال، يطرح السؤال: كيف يمكن إثبات هذه الصيغ؟ وهل باستخدام هذه الصيغ فقط يمكن تكوين ثلاثة توائم فيثاغورس؟

لقد قمت في عملي بمحاولة للإجابة على الأسئلة التي نشأت في داخلي.

الجزء النظري من العمل

العثور على مثلث فيثاغورس الأساسي (الصيغ الهندوسية القديمة)

أولا نثبت الصيغ (1):

دعونا نشير إلى أطوال الساقينX وفي ، وطول الوتر من خلالض . وفقا لنظرية فيثاغورس لدينا المساواة:+ = .(2)

وتسمى هذه المعادلة معادلة فيثاغورس. تتلخص دراسة مثلثات فيثاغورس في حل المعادلة (2) في الأعداد الطبيعية.

إذا تمت زيادة كل ضلع من أضلاع مثلث فيثاغورس بنفس العدد من المرات، فسنحصل على مثلث قائم جديد مشابه لهذا المثلث مع التعبير عن أضلاعه بالأعداد الطبيعية، أي. مرة أخرى مثلث فيثاغورس.

من بين جميع المثلثات المتشابهة، يوجد أصغر مثلث، فمن السهل تخمين أنه سيكون مثلثًا أضلاعهX وفي يتم التعبير عنها بأعداد أولية متبادلة

(جي سي دي (س، ص )=1).

دعونا نسمي هذا مثلث فيثاغورسرئيسي .

العثور على مثلثات فيثاغورس الأساسية.

دع المثلث (س , ذ , ض ) هو مثلث فيثاغورس الأساسي. أرقامX وفي كلاهما أوليان نسبيًا، وبالتالي لا يمكن أن يكونا متساويين. دعونا نثبت أنهما لا يمكن أن يكونا غريبين. للقيام بذلك، لاحظ ذلكمربع العدد الفردي عند قسمته على 8 يتبقى 1. في الواقع، يمكن تمثيل أي عدد طبيعي فردي على النحو التالي2 ك -1 ، أينك ينتمين .

من هنا: = -4 ك +1 = 4 ك ( ك -1)+1.

أرقام( ك -1) وك – متتالية، إحداهما زوجية بالضرورة. ثم التعبيرك ( ك -1) مقسمة على2 , 4 ك ( ك -1) يقبل القسمة على 8، وهو ما يعني الرقم وإذا قسم على 8 كان الباقي 1.

مجموع مربعي الرقمين الفرديين يعطي الباقي 2 عند القسمة على 8، وبالتالي فإن مجموع مربعي الرقمين الفرديين هو رقم زوجي، ولكن ليس من مضاعف 4، وبالتالي هذا الرقملا يمكن أن يكون مربع عدد طبيعي

إذن فالمساواة (2) لا يمكن أن تحدث إذاس وفي كلاهما غريب.

وبالتالي، إذا كان مثلث فيثاغورس (س، ص، ض ) - الأساسية، ثم من بين الأرقامX وفي يجب أن يكون أحدهما زوجيًا والآخر غريبًا. دع الرقم y يكون زوجيًا. أرقامX وض غريب (غريبض يتبع من المساواة (2)).

من مكافئ.+ = لقد حصلنا على ذلك= ( ض + س )( ض - س ) (3).

أرقامض + س وض - س حيث أن مجموع عددين فرديين والفرق بينهما هو أرقام زوجية، وبالتالي (4):

ض + س = 2 أ , ض - س = 2 ب ، أينأ وب ينتمي لن .

ض + س =2 أ , ض - س = 2 ب ,

ض = أ + ب , س = أ - ب. (5)

ومن هذه المساواة يترتب على ذلكأ وب هي أعداد أولية متبادلة.

دعونا نثبت ذلك من خلال الجدال بالتناقض.

دع GCD (أ , ب )= د ، أيند >1 .

ثمد ض وس ، وبالتالي الأرقامض + س وض - س . ثم على أساس المساواة (3) سيكون مقسوما على الرقم . في هذه الحالةد سيكون القاسم المشتركأرقامفي وX ولكن الأرقامفي وX يجب أن يكون أوليًا نسبيًا.

رقمفي ، كما هو معروف، فهو متساويص = 2ج ، أينمع – عدد طبيعي . المساواة (3) على أساس المساواة (4) تأخذ الشكل التالي: =2أ*2 ب ، أو =أب.

ومن الحساب يعرف ذلكإذا كان حاصل ضرب عددين أوليين نسبيًا هو مربع عدد طبيعي، فإن كل رقم من هذه الأرقام هو أيضًا مربع عدد طبيعي.

وسائل،أ = وب = ، أينم ون هي أعداد أولية نسبيا، لأن هم المقسومات على أعداد coprimeأ وب .

وعلى أساس المساواة (5) لدينا:

ض = + , س = - , = أب = * = ; ج = مليون

ثمص = 2 مليون .

أرقامم ون ، لأن هي أولية نسبيًا ولا يمكن أن تكون متساوية في نفس الوقت. لكن لا يمكن أن يكونا غريبين في نفس الوقت، لأن في هذه الحالةس = - سيكون متساويًا، وهو أمر مستحيل. إذن أحد الأرقامم أون هو زوجي والآخر غريب. بوضوح،ص = 2 مليون يقبل القسمة على 4. وبناء على ذلك، في كل مثلث فيثاغورسي أساسي، يكون أحد أضلاعه على الأقل قابلاً للقسمة على 4. ويترتب على ذلك أنه لا يوجد مثلثات فيثاغورس تكون جميع أضلاعها أعدادًا أولية.

يمكن التعبير عن النتائج التي تم الحصول عليها في شكل النظرية التالية:

جميع المثلثات الأساسية فيهافي هو رقم زوجي تم الحصول عليه من الصيغة

س = - , ذ =2 مليون , ض = + ( م > ن ), أينم ون - جميع أزواج الأعداد الأولية، أحدهما زوجي والآخر فردي (لا يهم أيهما). كل ثلاثية فيثاغورس الأساسية (س، ص، ض )، أينفي - حتى، يتم تحديده بشكل فريد بهذه الطريقة.

أرقامم ون كلاهما لا يمكن أن يكونا زوجيين أو فرديين، لأن في هذه الحالات

س = سيكون متساويًا، وهو أمر مستحيل. إذن أحد الأرقامم أون زوجي والآخر فردي (ذ = 2 مليون القسمة على 4).

الجزء العملي من العمل

تأليف ثلاثية فيثاغورس بطرق مختلفة

وفي صيغ الهندوسم ون - هي أعداد أولية نسبيًا، ولكن يمكن أن تكون أعدادًا متماثلة عشوائيًا، ومن الصعب جدًا تكوين ثلاثة توائم فيثاغورسية باستخدامها. لذلك، دعونا نحاول إيجاد طريقة مختلفة لتأليف ثلاثة توائم فيثاغورس.

= - = ( ض - ذ )( ض + ذ ), أينX - غريب،ذ - حتى،ض - غريب

ضد = ض - ذ , ش = ض + ذ

= الأشعة فوق البنفسجية ، أينش - غريب،ضد - غريب (كوبريم)

لأن إذن فإن حاصل ضرب عددين فرديين هو مربع العدد الطبيعيش = , ضد = , أينك ول - الأعداد الأولية والفردية نسبيًا.

ض - ذ = ض + ذ = ك 2 , ومن هنا، بإضافة المتساويات وطرح الآخر من الواحد، نحصل على:

2 ض = + 2 ذ = - إنه

ض = ص = س = كوالالمبور

41 (قأصفار)*(100…0 (قأصفار) +1)+1 =200…0 (ق-1أصفار) 200…0 (ق-1أصفار) 1

خاصية هامة لمثلثات فيثاغورس

نظرية

في مثلث فيثاغورس الأساسي، يجب أن يكون أحد الأرجل قابلاً للقسمة على 4، ويجب أن يكون أحد الأرجل قابلاً للقسمة على 3، ويجب أن تكون مساحة مثلث فيثاغورس من مضاعفات 6.

دليل

كما نعلم، في كل مثلث فيثاغورس، يوجد على الأقل أحد الأضلاع يقبل القسمة على 4.

دعونا نثبت أن أحد الساقين يقبل القسمة أيضًا على 3.

لإثبات ذلك، لنفترض أنه في مثلث فيثاغورس (س , ذ , ض س أوذ مضاعفات 3.

الآن نثبت أن مساحة مثلث فيثاغورس تقبل القسمة على 6.

كل مثلث فيثاغورس له مساحة معبر عنها بعدد طبيعي يقبل القسمة على 6. ويترتب على ذلك حقيقة أن أحد الأرجل على الأقل يقبل القسمة على 3 وواحد على الأقل من الأرجل يقبل القسمة على 4. مساحة المثلث ، التي تحددها نصف منتج الساقين، يجب التعبير عنها برقم يقبل القسمة على 6 .

خاتمة

في تَقَدم

- تم إثبات صيغ الهندوس القدماء

- أجريت دراسة على عدد ثلاثة توائم فيثاغورس (يوجد عدد لا نهائي منهم)

- تمت الإشارة إلى طرق العثور على ثلاثية فيثاغورس

- تمت دراسة بعض خواص مثلثات فيثاغورس

بالنسبة لي كان الأمر كذلك موضوع مثير للاهتماموأصبح العثور على إجابات لأسئلتي أمرًا صعبًا للغاية نشاط مثير للاهتمام. في المستقبل، أخطط للنظر في العلاقة بين ثلاثية فيثاغورس وتسلسل فيبوناتشي ونظرية فيرما ومعرفة المزيد من خصائص مثلثات فيثاغورس.

الأدب

إل إس. أتاناسيان "الهندسة 7-9 الصفوف" م: التعليم، 2012.

V. Sierpinsky "مثلثات فيثاغورس" M.: Uchpedgiz، 1959.

ساراتوف

2014