بناء المضلعات المنتظمة – الرسم الفني. البنتاغون الذهبي؛ بناء إقليدس كيفية بناء شكل خماسي متساوي

إذا لم يكن لديك بوصلة في متناول اليد، فيمكنك رسم نجمة بسيطة بخمسة أشعة ثم توصيل هذه الأشعة ببساطة. كما ترون في الصورة أدناه، يتم الحصول على البنتاغون منتظم تماما.

الرياضيات علم معقد وله العديد من الأسرار، بعضها مضحك للغاية. إذا كنت مهتمًا بمثل هذه الأشياء، أنصحك بالعثور على كتاب Fun Math.

يمكن رسم الدائرة ليس فقط باستخدام البوصلة. يمكنك، على سبيل المثال، استخدام قلم رصاص وخيط. نقيس القطر المطلوب على الخيط. نقوم بتثبيت أحد الأطراف بإحكام على قطعة من الورق حيث سنرسم دائرة. وعلى الطرف الآخر من الخيط، قم بتثبيت قلم رصاص وإرفاقه. الآن يعمل كما هو الحال مع البوصلة: نسحب الخيط ونضغط برفق بقلم رصاص ونضع علامة على الدائرة حول المحيط.

داخل الدائرة نرسم الفلاحين من المركز: خط عمودي وخط أفقي. ستكون نقطة تقاطع الخط العمودي والدائرة هي قمة الشكل الخماسي (النقطة 1). الآن نقسم النصف الأيمن من الخط الأفقي إلى النصف (النقطة 2). نقيس المسافة من هذه النقطة إلى قمة البنتاغون ونضع هذا الجزء على يسار النقطة 2 (النقطة 3). باستخدام خيط وقلم رصاص، ارسم قوسًا من النقطة 1 بنصف قطر إلى النقطة 3، متقاطعًا مع الدائرة الأولى على اليسار واليمين - ستكون نقاط التقاطع هي رؤوس البنتاغون. دعنا نسميهم النقطتين 4 و 5.

الآن من النقطة 4 نصنع قوسًا يتقاطع مع الدائرة في الأسفل، نصف قطره يساوي الطول من النقطة 1 إلى 4 - ستكون هذه النقطة 6. وبنفس الطريقة من النقطة 5 - سنسميها بالنقطة 7.

كل ما تبقى هو ربط البنتاغون بالرؤوس 1، 5، 7، 6، 4.

أعرف كيفية بناء شكل خماسي بسيط باستخدام البوصلة: أنشئ دائرة، وحدد خمس نقاط، ثم قم بتوصيلها. يمكننا بناء شكل خماسي بأضلاع متساوية؛ ولهذا سنحتاج أيضًا إلى منقلة. لقد وضعنا نفس النقاط الخمس على المنقلة. للقيام بذلك، حدد الزوايا عند 72 درجة. ثم نتواصل أيضًا مع القطاعات ونحصل على الشكل الذي نحتاجه.

يمكن رسم الدائرة الخضراء بنصف قطر عشوائي. سنقوم بتسجيل شكل خماسي منتظم في هذه الدائرة. من المستحيل رسم دائرة دقيقة بدون بوصلة، لكن هذا ليس ضروريا. يمكن عمل الدائرة وجميع الإنشاءات الإضافية يدويًا. بعد ذلك، من خلال مركز الدائرة O، تحتاج إلى رسم خطين مستقيمين متعامدين بشكل متبادل وتعيين إحدى نقاط تقاطع الخط مع الدائرة على أنها A. النقطة A ستكون قمة البنتاغون. نقسم نصف القطر OB إلى نصفين ونضع النقطة C. ومن النقطة C نرسم دائرة ثانية نصف قطرها AC. من النقطة A نرسم دائرة ثالثة نصف قطرها AD. نقاط تقاطع الدائرة الثالثة مع الأولى (E و F) ستكون أيضًا رؤوس البنتاغون. من النقطتين E وF مع نصف قطر AE نقوم بعمل شقوق على الدائرة الأولى ونحصل على القمم المتبقية للمضلع الخماسي G وH.



أتباع الفن الأسود: من أجل رسم البنتاغون ببساطة وبشكل جميل وسريع، يجب عليك رسم الأساس الصحيح والمتناغم للنجم الخماسي (النجمة الخماسية) وربط أطراف أشعة هذا النجم باستخدام خطوط مستقيمة وحتى. إذا تم كل شيء بشكل صحيح، فإن خط الاتصال حول القاعدة سيكون البنتاغون المطلوب.

(في الصورة يوجد نجمة خماسية مكتملة ولكنها غير مملوءة)



بالنسبة لأولئك الذين ليسوا متأكدين من صحة النجم الخماسي: اتخذوا رجل دافنشي الفيتروفي كأساس (انظر أدناه)



إذا كنت بحاجة إلى شكل خماسي، فقط قم بوخز 5 نقاط بشكل عشوائي وسيصبح محيطها الخارجي خماسيًا.

إذا كنت بحاجة إلى خماسي منتظم، فلا يمكن إكمال هذا البناء بدون بوصلة رياضية، لأنه بدونها من المستحيل رسم جزأين متطابقين، ولكن ليس متوازيين. أي أداة أخرى تسمح لك برسم قطعتين متطابقتين ولكن غير متوازيتين تعادل البوصلة الرياضية.



تحتاج أولاً إلى رسم دائرة، ثم أدلة، ثم دائرة منقطة ثانية، والعثور على النقطة العليا، ثم قياس الزاويتين العلويتين، ورسم الزاويتين السفليتين منهما. لاحظ أن نصف قطر البوصلة هو نفسه في جميع أنحاء البناء بأكمله.

كل هذا يتوقف على نوع البنتاغون الذي تحتاجه. إن وجدت، فضع خمس نقاط وربطها ببعضها البعض (طبعًا لا نضع النقاط في خط مستقيم). وإذا كنت بحاجة إلى شكل خماسي صحيح، فخذ أي خمسة على طول (شرائط من الورق، أعواد الثقاب، أقلام الرصاص، وما إلى ذلك)، وقم بوضع البنتاغون وحدد الخطوط العريضة له.

يمكن رسم البنتاغون، على سبيل المثال، من النجم. إذا كنت تعرف كيفية رسم نجمة، لكنك لا تعرف كيفية رسم شكل خماسي، فارسم نجمة بقلم رصاص، ثم قم بتوصيل الأطراف المجاورة للنجمة، ثم امسح النجمة نفسها.

الطريقة الثانية. قم بقص شريط من الورق بطول يساوي الجانب المطلوب من البنتاغون، وعرض ضيق، على سبيل المثال، 0.5 - 1 سم. وفقًا للقالب، قم بقطع أربعة شرائح أخرى متشابهة على طول هذا الشريط بحيث يكون هناك 5 منها المجموع.

ثم ضع ورقة (من الأفضل تثبيتها على الطاولة بأربعة أزرار أو إبر). ثم ضع هذه الخطوط الخمسة على قطعة الورق بحيث تشكل شكلًا خماسيًا. قم بتثبيت هذه الشرائط الخمسة على قطعة من الورق باستخدام دبابيس أو إبر حتى تظل بلا حراك. ثم ضع دائرة حول الشكل الخماسي الناتج وقم بإزالة هذه الخطوط من الورقة.



إذا لم يكن لديك بوصلة وتحتاج إلى بناء شكل خماسي، فيمكنني أن أنصحك بما يلي. لقد بنيتها بهذه الطريقة بنفسي. يمكنك رسم نجمة خماسية عادية. وبعد ذلك، للحصول على البنتاغون، تحتاج فقط إلى ربط جميع رؤوس النجم. هذه هي الطريقة التي تحصل بها على البنتاغون. هذا ما حصلنا عليه



لقد ربطنا رؤوس النجم بخطوط سوداء مستقيمة وحصلنا على شكل خماسي.

ينص قاموس أوزيغوف التوضيحي على أن الشكل الخماسي محاط بخمسة خطوط مستقيمة متقاطعة تشكل خمس زوايا داخلية، بالإضافة إلى أي جسم له شكل مماثل. إذا كان لمضلع معين نفس الجوانب والزوايا، فإنه يسمى منتظم (خماسي).

ما هو المثير للاهتمام حول البنتاغون العادي؟

وبهذا الشكل تم بناء المبنى الشهير لوزارة الدفاع الأمريكية. من بين متعددات الوجوه المنتظمة ثلاثية الأبعاد، فإن الاثني عشر وجهًا هو الوحيد الذي له وجوه على شكل خماسي. وفي الطبيعة لا توجد بلورات على الإطلاق، والتي تشبه وجوهها البنتاغون العادي. بالإضافة إلى ذلك، هذا الشكل عبارة عن مضلع به أقل عدد من الزوايا، ولا يمكن استخدامه لتبليط المنطقة. الخماسي وحده هو الذي له عدد أقطار مماثل لعدد أضلاعه. أوافق، هذا مثير للاهتمام!

الخصائص والصيغ الأساسية

باستخدام صيغ المضلع المنتظم التعسفي، يمكنك تحديد جميع المعلمات الضرورية التي يمتلكها البنتاغون.

• الزاوية المركزية α = 360 / ن = 360/5 = 72 درجة.
• الزاوية الداخلية β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. وبناء على ذلك، فإن مجموع الزوايا الداخلية هو 540 درجة.
• نسبة القطر إلى الجانب هي (1+√5) /2، أي (1.618 تقريبًا).
• يمكن حساب طول ضلع المضلع الخماسي المنتظم باستخدام إحدى الصيغ الثلاث، اعتمادًا على المعلمة المعروفة بالفعل:

• إذا تم وصف دائرة حولها وكان نصف قطرها R معروفًا، فإن a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1.1756*R;
• في حالة إدراج دائرة نصف قطرها r في شكل خماسي منتظم، a = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1.453*r;
• يحدث أنه بدلاً من نصف القطر، يتم معرفة قيمة القطر D، ثم يتم تحديد الجانب على النحو التالي: a ≈ D/1.618.

• يتم تحديد مساحة المضلع الخماسي المنتظم، مرة أخرى، اعتمادًا على المعلمة التي نعرفها:
• إذا كانت هناك دائرة منقوشة أو مقيدة، فتستخدم إحدى الصيغتين:

S = (n*a*r)/2 = 2.5*a*r أو S = (n*R 2 *sin α)/2 ≈ 2.3776*R 2 ;

• يمكن أيضًا تحديد المساحة من خلال معرفة طول الضلع أ فقط:

S = (5*أ 2 *tg54°)/4 ≈ 1.7205* أ 2 .

الخماسي المنتظم: البناء

يمكن بناء هذا الشكل الهندسي بطرق مختلفة. على سبيل المثال، ضعها في دائرة ذات نصف قطر معين أو قم ببنائها على أساس جانب معين. تم وصف تسلسل الإجراءات في كتاب العناصر لإقليدس حوالي 300 قبل الميلاد. على أية حال، سنحتاج إلى بوصلة ومسطرة. دعونا نفكر في طريقة البناء باستخدام دائرة معينة.

1. حدد نصف قطر عشوائيًا وارسم دائرة، مع تحديد مركزها بالنقطة O.

2. على خط الدائرة، حدد نقطة ستكون بمثابة أحد رؤوس البنتاغون. فلتكن هذه النقطة A. قم بتوصيل النقطتين O و A بخط مستقيم.

3. ارسم خطًا عبر النقطة O عموديًا على الخط OA. حدد تقاطع هذا الخط المستقيم مع خط الدائرة بالنقطة B.

4. في منتصف الطريق بين النقطتين O وB، قم ببناء النقطة C.

5. الآن ارسم دائرة مركزها النقطة C وستمر بالنقطة A. مكان تقاطعها مع الخط OB (سيكون داخل الدائرة الأولى) سيكون النقطة D.

6. أنشئ دائرة تمر بـ D يكون مركزها عند A. ويجب تحديد أماكن تقاطعها مع الدائرة الأصلية بالنقطتين E و F.

7. الآن قم ببناء دائرة مركزها هو E. ويجب أن يتم ذلك بحيث تمر عبر A. ويجب تحديد نقطة التقاطع الأخرى للدائرة الأصلية

8. أخيرًا، قم ببناء دائرة عبر A بحيث يكون مركزها عند النقطة F. قم بتسمية التقاطع الآخر للدائرة الأصلية بالنقطة H.

9. الآن كل ما تبقى هو توصيل القمم A، E، G، H، F. سيكون البنتاغون العادي جاهزًا!

$\backslash frac((t^2\; \backslash sqrt\; (25\; +\; 10\backslash sqrt\; 5\; )\; ))(4)\; =$
$\backslash frac(5R^2)(4)\backslash sqrt(\backslash frac(5+\backslash sqrt(5)$

{2}};

الخماسي المنتظم(اليونانية πενταγωνον ) - شكل هندسي، مضلع منتظم بخمسة أضلاع.

ملكيات

• المجسم الاثني عشري هو الشكل المتعدد السطوح المنتظم الوحيد الذي تكون وجوهه خماسية منتظمة.
• البنتاغون، مبنى وزارة الدفاع الأمريكية، له شكل خماسي منتظم.
• الخماسي المنتظم هو مضلع منتظم به أقل عدد من الزوايا التي لا يمكن تجانبها على المستوى.
• لا توجد في الطبيعة بلورات ذات وجوه على شكل خماسي منتظم.
• الخماسي بجميع أقطاره هو إسقاط للرقم 4 البسيط.

انظر أيضا

اكتب مراجعة عن مقال "البنتاغون العادي"

ملحوظات

حسب عدد الجوانب صحيح مثلثات رباعيات انظر أيضا

المضلعات مضلعات النجوم الباركيه على متن الطائرة متعددات الوجوه العادية والباركيه الكروي كيبلر-بوينسو متعدد السطوح قرص العسل متعددات الوجوه رباعية الأبعاد

مقتطف يميز البنتاغون العادي

لم يكن بيتيا يعرف كم من الوقت استمر هذا: لقد استمتع بنفسه، وكان يتفاجأ باستمرار بمتعته ويأسف لأنه لم يكن هناك من يخبره بذلك. أيقظه صوت ليخاتشيف اللطيف.
- جاهز حضرتك هتقسم الحارس نصين.
استيقظت بيتيا.
- لقد طلع الفجر بالفعل، لقد بزغ الفجر بالفعل! - صرخ.
أصبحت الخيول غير المرئية سابقًا مرئية حتى ذيولها، وظهر ضوء مائي من خلال الأغصان العارية. هز بيتيا نفسه، وقفز، وأخذ روبلًا من جيبه وأعطاه إلى ليخاتشيف، ولوح، وجرب السيف ووضعه في الغمد. قام القوزاق بفك قيود الخيول وشددوا أحزمةها.
قال ليخاتشيف: "هنا القائد". خرج دينيسوف من غرفة الحراسة ونادى على بيتيا وأمرهم بالاستعداد.

وبسرعة في شبه الظلام قاموا بتفكيك الخيول وشددوا أحزمتها وفرزوا الفرق. وقف دينيسوف في غرفة الحراسة، وأعطى الأوامر الأخيرة. سار مشاة المجموعة للأمام على طول الطريق واختفوا بسرعة بين الأشجار في ضباب الفجر. أمر إيسول بالقوزاق بشيء. أمسك بيتيا بحصانه على زمامه، منتظرًا بفارغ الصبر أمر الركوب. بعد غسله بالماء البارد، احترق وجهه، وخاصة عينيه، بالنار، وسار البرد على ظهره، وارتجف شيء ما في جسده كله بسرعة وبشكل متساوٍ.
- حسنا، هل كل شيء جاهز بالنسبة لك؟ - قال دينيسوف. - أعطونا الخيول.
تم جلب الخيول . غضب دينيسوف من القوزاق لأن الأحزمة كانت ضعيفة وجلس ووبخه. أمسك بيتيا بالركاب. أراد الحصان، بسبب العادة، أن يعض ساقه، لكن بيتيا، لم يشعر بوزنه، قفز بسرعة إلى السرج، ونظر إلى الوراء في الظلام، فرسان، ركب إلى دينيسوف.
- فاسيلي فيدوروفيتش، هل تثق بي بشيء ما؟ من فضلك... في سبيل الله... - قال. يبدو أن دينيسوف قد نسي وجود بيتيا. نظر إليه مرة أخرى.
قال بصرامة: «أطلب منك شيئًا واحدًا، أن تطيعني ولا تتدخل في أي مكان».
طوال الرحلة، لم يتحدث دينيسوف بكلمة إلى بيتيا وركب بصمت. وعندما وصلنا إلى حافة الغابة، كان الحقل قد أصبح أفتح بشكل ملحوظ. تحدث دينيسوف بصوت هامس مع إيسول، وبدأ القوزاق في تجاوز بيتيا ودينيسوف. عندما مروا جميعًا، ركب دينيسوف حصانه وانحدر إلى أسفل التل. جلست الخيول على أقدامها الخلفية وانزلقت، ونزلت مع راكبيها إلى الوادي. ركب بيتيا بجانب دينيسوف. وكثفت الارتعاش في جميع أنحاء جسده. أصبح أخف وزنا وأخف وزنا، فقط الضباب يخفي الأشياء البعيدة. نزل دينيسوف ونظر إلى الوراء وأومأ برأسه إلى القوزاق الذي يقف بجانبه.
- إشارة! - قال.
رفع القوزاق يده ودوت رصاصة. وفي نفس اللحظة سمع صراخ الخيول الراكضة في المقدمة وصراخ من جوانب مختلفة والمزيد من الطلقات.
في نفس اللحظة التي سمعت فيها الأصوات الأولى للدوس والصراخ، ركض بيتيا إلى الأمام، وضرب حصانه وأطلق زمامه، ولم يستمع إلى دينيسوف، الذي كان يصرخ عليه. بدا لبيتيا أن الفجر بزغ فجأة مثل منتصف النهار في تلك اللحظة التي سُمع فيها صوت الطلقة. ركض نحو الجسر. ركض القوزاق على طول الطريق أمامهم. على الجسر واجه قوزاقًا متخلفًا وركب. كان بعض الأشخاص الذين كانوا أمامنا - لا بد أنهم فرنسيين - يركضون من الجانب الأيمن من الطريق إلى اليسار. سقط أحدهم في الوحل تحت أقدام حصان بيتيا.
احتشد القوزاق حول كوخ واحد، ويفعلون شيئًا ما. سمع صرخة رهيبة من وسط الحشد. ركض بيتيا نحو هذا الحشد، وكان أول ما رآه هو الوجه الشاحب لرجل فرنسي ذو فك سفلي مرتعش، متمسكًا بعمود الرمح الموجه نحوه.
"مرحى!.. يا رفاق... لنا..." صرخ بيتيا، وأعطى زمام الحصان المحموم، وركض للأمام في الشارع.
وسمع صوت طلقات نارية في الأمام. كان القوزاق والفرسان والسجناء الروس الرثون، الذين كانوا يركضون على جانبي الطريق، يصرخون بصوت عالٍ وبطريقة محرجة. رجل فرنسي وسيم، بدون قبعة، ذو وجه أحمر عابس، يرتدي معطفًا أزرقًا، حارب الفرسان بحربة. عندما ركض بيتيا، كان الفرنسي قد سقط بالفعل. لقد تأخرت مرة أخرى، تومض بيتيا في رأسه، وركض إلى حيث سمعت طلقات متكررة. سمعت طلقات نارية في باحة القصر حيث كان مع دولوخوف الليلة الماضية. جلس الفرنسيون هناك خلف السياج في حديقة كثيفة مليئة بالشجيرات وأطلقوا النار على القوزاق المتجمعين عند البوابة. عند الاقتراب من البوابة، رأت بيتيا، في الدخان المسحوق، دولوخوف بوجه شاحب مخضر، وهو يصرخ بشيء للناس. "خذ منعطفا! انتظر المشاة! - صرخ بينما اقترب منه بيتيا.
"انتظر؟.. مرحى!.." صرخ بيتيا، ودون تردد لمدة دقيقة واحدة، ركض بسرعة إلى المكان الذي سُمعت منه الطلقات وحيث كان دخان البارود أكثر كثافة. سُمع دوي طلقة نارية، وأطلقت رصاصات فارغة وأصابت شيئًا ما. ركض القوزاق ودولوخوف خلف بيتيا عبر أبواب المنزل. في وسط الدخان الكثيف المتمايل، ألقى البعض أسلحتهم وركضوا من الأدغال لمقابلة القوزاق، وركض آخرون إلى البركة. ركض بيتيا على حصانه على طول ساحة القصر، وبدلاً من الإمساك بزمام الأمور، لوح بذراعيه بشكل غريب وسريع وسقط أكثر فأكثر من السرج إلى جانب واحد. استراح الحصان، الذي ركض في النار المشتعلة في ضوء الصباح، وسقط بيتيا بشدة على الأرض الرطبة. ورأى القوزاق مدى سرعة ارتعاش ذراعيه وساقيه رغم أن رأسه لم يتحرك. اخترقت الرصاصة رأسه.
بعد التحدث مع ضابط فرنسي كبير، الذي خرج إليه من وراء المنزل مع وشاح على سيفه وأعلن أنهم يستسلمون، نزل دولوخوف من حصانه واقترب من بيتيا، الذي كان مستلقيًا بلا حراك، وذراعيه ممدودتين.
قال عابسًا: "جاهز"، ومضى عبر البوابة للقاء دينيسوف الذي كان قادمًا نحوه.
- قتل؟! - صرخ دينيسوف، ورأى من بعيد الوضع المألوف الذي لا حياة فيه بلا شك والذي يكمن فيه جسد بيتيا.
"جاهز"، كرر دولوخوف، كما لو أن نطق هذه الكلمة كان يسعده، وسرعان ما ذهب إلى السجناء، الذين كانوا محاطين بالقوزاق الراجلين. - لن نأخذه! – صاح دينيسوف.

البنتاغون المنتظم هو شكل هندسي يتكون من تقاطع خمسة خطوط مستقيمة، مما يشكل خمس زوايا متساوية. هذا الرقم يسمى البنتاغون. يرتبط عمل الفنانين ارتباطًا وثيقًا بالبنتاغون - حيث تعتمد رسوماتهم على أشكال هندسية منتظمة. للقيام بذلك، عليك أن تعرف كيفية بناء البنتاغون بسرعة.

لماذا هذا الرقم مثير للاهتمام؟ المبنى على شكل البنتاغون وزارة الدفاع الأمريكية. ويمكن ملاحظة ذلك في الصور الملتقطة من ارتفاع الرحلة. لا توجد بلورات أو أحجار في الطبيعة شكلها يشبه البنتاغون. فقط في هذا الشكل يتطابق عدد الوجوه مع عدد الأقطار.

معلمات البنتاغون المنتظم

البنتاغون المستطيل، مثل أي شكل في الهندسة، له معلماته الخاصة. بمعرفة الصيغ اللازمة، يمكنك حساب هذه المعلمات، مما سيسهل عملية بناء البنتاغون. طرق الحساب والصيغ:

• مجموع الزوايا في المضلعات هو 360 درجة. في الشكل الخماسي المنتظم، جميع الزوايا متساوية، على التوالي، يتم العثور على الزاوية المركزية بهذه الطريقة: 360/5 = 72 درجة؛
• يتم إيجاد الزاوية الداخلية بهذه الطريقة: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 درجات. مجموع الزوايا الداخلية: 108*5 = 540 درجة.

تم العثور على جانب الخماسي باستخدام المعلمات الواردة بالفعل في بيان المشكلة:

• إذا كانت الدائرة محاطة بمخمّس وكان نصف قطرها معروفًا، يتم إيجاد الضلع باستخدام الصيغة التالية: a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin (72/2) = 1.1756*R .
• إذا كان نصف قطر الدائرة المبينة في البنتاغون معروفًا، فإن صيغة حساب ضلع المضلع هي: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1.453*r .
• وبالنظر إلى الحجم المعروف لقطر الخماسي، يتم حساب ضلعه على النحو التالي: a = D/1.618.

مساحة البنتاغون هي نفسها، مثل جانبه، يعتمد على المعلمات الموجودة بالفعل:

• باستخدام نصف القطر المعروف للدائرة المنقوشة، يتم إيجاد المساحة كما يلي: S = (n*a*r)/2 = 2.5*a*r.
• تسمح لك الدائرة المحاطة بالمضلع الخماسي بإيجاد المساحة باستخدام الصيغة التالية: S = (n*R2*sin α)/2 = 2.3776*R2.
• اعتمادًا على جانب الشكل الخماسي: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1.7205*a2.

بناء البنتاغون

يمكنك بناء شكل خماسي منتظم باستخدام المسطرة والبوصلة، بناءً على دائرة منقوشة فيها أو على أحد أضلاعها.

كيفية رسم البنتاغون على أساس دائرة منقوشة؟ للقيام بذلك، تحتاج إلى تخزين البوصلات والمسطرة واتخاذ الخطوات التالية:

1. تحتاج أولاً إلى رسم دائرة مركزها O، ثم تحديد نقطة عليها، A - قمة البنتاغون. يتم رسم قطعة من المركز إلى الأعلى.
2. ثم يتم إنشاء قطعة متعامدة مع الخط المستقيم OA، والتي تمر أيضًا عبر O - مركز الدائرة. يتم تحديد تقاطعها مع الدائرة بالنقطة B. وينقسم الجزء O.B إلى النصف بالنقطة C.
3. ستصبح النقطة C مركز الدائرة الجديدة التي تمر عبر A. النقطة D هي تقاطعها مع الخط المستقيم OB داخل حدود الشكل الأول.
4. بعد ذلك يتم رسم دائرة ثالثة من خلال D، مركزها النقطة A. وتتقاطع مع الشكل الأول عند نقطتين يجب تحديدهما بالحرفين E و F.
5. الدائرة التالية مركزها عند النقطة E وتمر عبر A، ويكون تقاطعها مع الدائرة الأصلية عند نقطة جديدة G.
6. يتم رسم الدائرة الأخيرة في هذا الشكل من خلال النقطة A ومركزها F. وعند تقاطعها مع الدائرة الأولية، يتم وضع النقطة H.
7. في الدائرة الأولى، بعد كل الخطوات التي تم اتخاذها، ظهرت خمس نقاط يجب ربطها بالقطاعات. وهكذا تم الحصول على شكل خماسي منتظم AE G H F.

كيفية بناء البنتاغون العادي بطريقة أخرى؟ باستخدام المسطرة والبوصلة، يمكنك بناء شكل خماسي بشكل أسرع قليلاً. للقيام بذلك تحتاج:

1. أولاً، عليك استخدام البوصلة لرسم دائرة مركزها النقطة O.
2. يتم رسم نصف القطر OA - الجزء المرسوم على الدائرة. وهي مقسمة إلى نصفين بالنقطة B.
3. يتم رسم مقطع OS بشكل عمودي على نصف القطر OA، ويتم توصيل النقطتين B وC بخط مستقيم.
4. والخطوة التالية هي رسم طول المقطع BC باستخدام بوصلة على خط الوسط. تظهر النقطة D متعامدة مع المقطع OA، حيث ترتبط النقطتان B وD لتكوين مقطع جديد.
5. من أجل الحصول على حجم جانب البنتاغون، من الضروري ربط النقطتين C و D.
6. يتم نقل D إلى الدائرة باستخدام البوصلة ويتم تحديده بالنقطة E. من خلال ربط E و C، يمكنك الحصول على الجانب الأول من البنتاغون العادي. باتباع هذه التعليمات، يمكنك أن تتعلم كيفية بناء شكل خماسي متساوي الأضلاع بسرعة، مع الاستمرار في بناء أضلاعه المتبقية مثل الأول.

في الشكل الخماسي ذي الأضلاع المتساوية، تكون الأقطار متساوية وتشكل نجمة خماسية تسمى النجم الخماسي. النسبة الذهبية هي نسبة القطر إلى جانب الخماسي.

البنتاغون غير مناسب لملء الطائرة بالكامل. يؤدي استخدام أي مادة بهذا الشكل إلى ترك فجوات أو إنشاء تداخلات. على الرغم من عدم وجود بلورات طبيعية بهذا الشكل في الطبيعة، إلا أنه عندما يتشكل الجليد على سطح منتجات النحاس الملساء، تظهر جزيئات على شكل خماسي، متصلة بسلاسل.

أسهل طريقة للحصول على شكل خماسي عادي من شريط من الورق هي ربطه في عقدة والضغط عليه قليلاً. هذه الطريقة مفيدة لأولياء أمور أطفال ما قبل المدرسة الذين يرغبون في تعليم أطفالهم التعرف على الأشكال الهندسية.

فيديو

انظر كيف يمكنك رسم شكل خماسي بسرعة.

بناء مسدس منتظم منقوش في دائرة.يعتمد بناء الشكل السداسي على حقيقة أن جانبه يساوي نصف قطر الدائرة المحدودة. لذلك، لبناءها، يكفي تقسيم الدائرة إلى ستة أجزاء متساوية وربط النقاط الموجودة ببعضها البعض (الشكل 60، أ).

يمكن بناء شكل سداسي منتظم باستخدام حافة مستقيمة ومربع 30X60°. لتنفيذ هذا البناء، نأخذ القطر الأفقي للدائرة كمنصف للزوايا 1 و 4 (الشكل 60، ب)، ونبني الجوانب 1 -6، 4-3، 4-5 و7-2، وبعد ذلك نرسم الجوانب 5-6 و3-2.

بناء مثلث متساوي الأضلاع محصور في دائرة. يمكن إنشاء رؤوس مثل هذا المثلث باستخدام بوصلة ومربع بزوايا 30 و60 درجة أو بوصلة واحدة فقط.

دعونا نفكر في طريقتين لبناء مثلث متساوي الأضلاع داخل دائرة.

الطريقة الأولى(الشكل 61، أ) يعتمد على حقيقة أن الزوايا الثلاث للمثلث 7، 2، 3 تحتوي على 60 درجة، والخط العمودي المرسوم عبر النقطة 7 هو الارتفاع ومنصف الزاوية 1. وبما أن الزاوية هو 0-1- 2 يساوي 30 درجة، ثم للعثور على الجانب

1-2 يكفي إنشاء زاوية 30 درجة من النقطة 1 والجانب 0-1. للقيام بذلك، قم بتثبيت العارضة والمربع كما هو موضح في الشكل، ارسم الخط 1-2، والذي سيكون أحد جوانب المثلث المطلوب. لإنشاء الضلع 2-3، ضع العارضة في الموضع الموضح بالخطوط المتقطعة، وارسم خطًا مستقيمًا عبر النقطة 2، والذي سيحدد الرأس الثالث للمثلث.

الطريقة الثانيةيعتمد هذا على حقيقة أنك إذا قمت ببناء شكل سداسي منتظم منقوش في دائرة ثم قمت بتوصيل رؤوسه من خلال أحدها، فسوف تحصل على مثلث متساوي الأضلاع.

لبناء مثلث (الشكل 61، ب)، ضع علامة على نقطة القمة 1 على القطر وارسم خطًا قطريًا 1-4. بعد ذلك، من النقطة 4 بنصف قطر يساوي D/2، نصف قوسًا حتى يتقاطع مع الدائرة عند النقطتين 3 و2. وستكون النقطتان الناتجتان هما الرأسان الآخران للمثلث المطلوب.

بناء مربع داخل دائرة. يمكن القيام بهذا البناء باستخدام مربع وبوصلة.

تعتمد الطريقة الأولى على أن أقطار المربع تتقاطع في مركز الدائرة المحددة وتميل على محاورها بزاوية مقدارها 45 درجة. وبناء على ذلك نقوم بتثبيت العارضة والمربع بزوايا 45° كما هو موضح في الشكل. 62، أ، ​​وحدد النقطتين 1 و3. بعد ذلك، من خلال هذه النقاط نرسم الجوانب الأفقية للمربع 4-1 و3-2 باستخدام العارضة. ثم، باستخدام حافة مستقيمة، نرسم الجوانب الرأسية للمربع 1-2 و4-3 على طول ساق المربع.

الطريقة الثانية تعتمد على حقيقة أن رؤوس المربع تنصف أقواس الدائرة المحصورة بين طرفي القطر (الشكل 62، ب). نحدد النقاط A و B و C في نهايات قطرين متعامدين ومنهما نصف قطر y نصف الأقواس حتى يتقاطعوا مع بعضهم البعض.

بعد ذلك، من خلال نقاط تقاطع الأقواس، نرسم خطوطًا مستقيمة مساعدة، محددة في الشكل بخطوط صلبة. نقاط تقاطعها مع الدائرة ستحدد القمم 1 و 3؛ 4 و 2. نقوم بتوصيل رؤوس المربع المطلوب الذي تم الحصول عليه بهذه الطريقة بالتتابع مع بعضها البعض.

بناء خماسي منتظم منقوش في دائرة.

لتناسب البنتاغون العادي في دائرة (الشكل 63)، نقوم بعمل الإنشاءات التالية.

نحدد النقطة 1 على الدائرة ونعتبرها أحد رؤوس الشكل الخماسي. نحن نقسم القطعة AO إلى النصف. للقيام بذلك، نرسم قوسًا من النقطة A نصف القطر AO حتى يتقاطع مع الدائرة عند النقطتين M وB. ومن خلال ربط هذه النقاط بخط مستقيم، نحصل على النقطة K، التي نربطها بعد ذلك بالنقطة 1. نصف قطر يساوي القطعة A7، نصف قوسًا من النقطة K حتى يتقاطع مع الخط القطري AO عند النقطة H. ومن خلال ربط النقطة 1 بالنقطة H، نحصل على جانب الخماسي. بعد ذلك، باستخدام حل بوصلة يساوي القطعة 1H، واصفًا قوسًا من الرأس 1 إلى التقاطع مع الدائرة، نجد الرؤوس 2 و5. وبعد عمل الشقوق من الرؤوس 2 و5 بنفس حل البوصلة، نحصل على الباقي القمم 3 و 4. نقوم بتوصيل النقاط الموجودة بالتتابع مع بعضها البعض.

بناء خماسي منتظم على طول ضلع معين.

لبناء شكل خماسي منتظم على طول جانب معين (الشكل 64)، نقوم بتقسيم القطعة AB إلى ستة أجزاء متساوية. من النقطتين A و B بنصف القطر AB، نصف الأقواس التي سيعطي تقاطعها النقطة K. ومن خلال هذه النقطة والتقسيم 3 على الخط AB نرسم خطًا رأسيًا.

نحصل على النقطة 1 - قمة البنتاغون. بعد ذلك، بنصف قطر يساوي AB، من النقطة 1 نصف قوسًا حتى يتقاطع مع الأقواس المرسومة مسبقًا من النقطتين A وB. تحدد نقاط تقاطع الأقواس الرؤوس الخماسية 2 و5. نقوم بتوصيل القمم التي تم العثور عليها في السلسلة مع بعضها البعض.

بناء شكل سباعي منتظم منقوش داخل دائرة.

دعونا نعطي دائرة قطرها D؛ تحتاج إلى تركيب شكل سباعي عادي فيه (الشكل 65). قسم القطر الرأسي للدائرة إلى سبعة أجزاء متساوية. من النقطة 7 نصف قطرها يساوي قطر الدائرة D، نصف قوسًا حتى يتقاطع مع استمرار القطر الأفقي عند النقطة F. ونسمي النقطة F قطب المضلع. إذا أخذنا النقطة VII كأحد رؤوس المضلع السباعي، فإننا نرسم الأشعة من القطب F عبر تقسيمات متساوية للقطر الرأسي، والتي سيحدد تقاطعها مع الدائرة الرؤوس VI وV وIV للمضلع السباعي. للحصول على الرءوس / - // - /// من النقاط IV وV وVI، ارسم خطوطًا أفقية حتى تتقاطع مع الدائرة. نقوم بتوصيل القمم التي تم العثور عليها بالتتابع مع بعضها البعض. يمكن إنشاء الشكل السباعي عن طريق سحب الأشعة من القطب F ومن خلال تقسيمات فردية للقطر الرأسي.

الطريقة المذكورة أعلاه مناسبة لبناء مضلعات منتظمة بأي عدد من الجوانب.

يمكن أيضًا إجراء تقسيم الدائرة إلى أي عدد من الأجزاء المتساوية باستخدام البيانات الموجودة في الجدول. 2، والذي يوفر معاملات تجعل من الممكن تحديد أبعاد جوانب المضلعات المنقوشة المنتظمة.