مرحبًا مرة أخرى ، أيها الأصدقاء!

كما وعدت ، سنبدأ من هذا الدرس في تصفح المساحات اللانهائية من عالم التكاملات الشعري والبدء في حل مجموعة متنوعة من الأمثلة (الجميلة جدًا في بعض الأحيان). :)

من أجل التنقل بكفاءة في المجموعة المتكاملة بالكامل وعدم الضياع ، نحتاج فقط إلى أربعة أشياء:

1) جدول التكاملات. كل التفاصيل عنها . كيف بالضبط تعمل معها - في هذا.

2) خصائص الخطية للتكامل غير المحدد (جزء لا يتجزأ من المجموع / الفرق والمنتج بثابت).

3) جدول المشتقات وقواعد التفاضل.

نعم ، لا تتفاجأ! بدون القدرة على حساب المشتقات ، لا يوجد شيء على الإطلاق يمكن ملاحظته في التكامل. موافق ، ليس من المنطقي ، على سبيل المثال ، تعلم القسمة دون معرفة كيفية الضرب. :) وسرعان ما سترى أنه بدون مهارات تفاضل مثالية ، لا يمكنك حساب أي تكامل جاد يتجاوز نطاق الجدولة الأولية.

4) طرق التكامل.

هناك الكثير جدا منهم. لفئة محددة من الوظائف - الخاصة بها. لكن من بين كل تنوعهم الثري ، تبرز ثلاثة أساسيات:

– ,

– ,

– .

عن كل منهم - في دروس منفصلة.

والآن ، أخيرًا ، لنبدأ في حل الأمثلة التي طال انتظارها. لكي لا أقفز من قسم إلى قسم ، سأكرر مرة أخرى مجموعة الرجل النبيل بأكملها ، والتي ستكون مفيدة لعملنا الإضافي. احتفظ بجميع الأدوات في متناول اليد.)

بادئ ذي بدء ، هذا جدول التكاملات:

بالإضافة إلى ذلك ، نحتاج إلى الخصائص الأساسية للتكامل غير المحدد (خصائص الخطية):

حسنًا ، تم إعداد المعدات اللازمة. وقت الذهاب! :)

التطبيق المباشر للجدول

في هذا القسم ، سيتم النظر في أبسط الأمثلة وغير الضارة. الخوارزمية هنا بسيطة للرعب:

1) ننظر إلى الجدول ونبحث عن الصيغة المرغوبة (الصيغ) ؛

2) تطبيق خصائص الخطية (عند الاقتضاء) ؛

3) نقوم بإجراء التحويل وفقًا للصيغ الجدولية ونضيف ثابتًا في النهاية مع (لا تنسى!) ;

4) اكتب الإجابة.

إذا هيا بنا.)

مثال 1

لا توجد مثل هذه الوظيفة في طاولتنا. ولكن هناك تكامل لدالة القوة بشكل عام (المجموعة الثانية). في حالتنا هذه ن = 5. لذلك نعوض بالخمسة بدلاً من n ونحسب النتيجة بعناية:

مستعد. :)

بالطبع ، هذا المثال بدائي للغاية. فقط للتعارف.) ولكن القدرة على تكامل الدرجات تجعل من السهل حساب التكاملات من أي متعدد الحدود وهياكل القوة الأخرى.

مثال 2

تحت مجموع لا يتجزأ. حسنًا ، حسنًا. لدينا خصائص خطية لهذه الحالة. :) نقسم التكامل إلى ثلاثة أعداد منفصلة ، ونخرج جميع الثوابت من علامات التكاملات ونعد كل منها وفقًا للجدول (المجموعة 1-2):

يرجى ملاحظة: ثابت معيظهر في نفس اللحظة عندما تختفي كل علامات التكامل! بالطبع ، بعد ذلك عليك أن تحملها معك باستمرار. اذا مالعمل…

بالطبع ، ليس من الضروري عادة الرسم بمثل هذه التفاصيل. هذا فقط للفهم. للحصول على النقطة.)

على سبيل المثال ، قريبًا جدًا ، دون تردد ، ستقدم عقليًا إجابة للوحوش مثل:

تعد كثيرات الحدود أكثر الدوال حرية في التكاملات.) وفي الاختلافات ، في الفيزياء ، في قوة المواد والتخصصات الجادة الأخرى ، يجب دمج كثيرات الحدود باستمرار. اعتد عليه.)

سيكون المثال التالي أصعب قليلاً.

مثال 3

آمل أن يفهم الجميع أنه يمكن كتابة التكامل الخاص بنا على النحو التالي:

المُتكامل منفصل ، والمُضاعِف dx (رمز التفاضل)- بشكل منفصل.

تعليق:في هذا الدرس المضاعف DX في عملية التكامل وداعالا يشارك بأي شكل من الأشكال ، وفي الوقت الحالي نحن "نطرقه" ذهنياً. :) نحن نعمل فقط مع Integrand. لكن دعونا لا ننسى أمره. قريبًا جدًا ، وسنتذكر شيئًا عنه حرفيًا في الدرس التالي المخصص له. وسنشعر بأهمية وقوة هذه الأيقونة بكامل قوتها!)

في هذه الأثناء ، تتجه أنظارنا إلى وظيفة "التكامل" و "التكامل"

لا تشبه إلى حد كبير وظيفة طاقة ، لكن هذا كل شيء. :) إذا تذكرنا خصائص المدرسة للجذور والدرجات ، فمن الممكن تمامًا تغيير وظيفتنا:

و x مرفوعًا للقوة الأسية ناقص ثلثين هي بالفعل دالة جدولية! المجموعة الثانية ن = -2 / 3. والثابت 1/2 ليس عائقا أمامنا. نأخذها إلى الخارج ، ما وراء علامة التكامل ، وبشكل مباشر وفقًا للصيغة التي نعتبرها:

في هذا المثال ، ساعدتنا الخصائص الأولية للدرجات. وهذه هي الطريقة التي يجب إجراؤها في معظم الحالات ، عندما يكون هناك جذور أو كسور منفردة تحت التكامل. لذلك ، هناك بعض النصائح العملية عند دمج هياكل الطاقة:

نستبدل الكسور بالقوى بأسس سالبة ؛

نستبدل الجذور بقوى بأسس كسرية.

لكن في الإجابة النهائية ، يعتبر الانتقال من الدرجات إلى الكسور والجذور مسألة ذوق. أنا شخصياً أعود إلى الوراء - إنه أكثر إمتاعًا من الناحية الجمالية ، أو شيء من هذا القبيل.

ورجاء ، عد بعناية كل الكسور! نتبع الإشارات بدقة وما يذهب إلى أين - ما هو البسط وما هو المقام.

لما؟ هل سئمت من وظائف الطاقة المملة بالفعل؟ موافق! نأخذ الثور من القرون!

مثال 4

إذا قللنا الآن كل شيء تحت التكامل إلى قاسم مشترك ، فيمكننا حينئذٍ أن نتعثر في هذا المثال بجدية ولفترة طويلة.) لكن بالنظر عن كثب إلى التكامل ، يمكننا أن نرى أن الاختلاف يتكون من دالتين جدوليتين. لذلك دعونا لا ننحرف ، ولكن بدلاً من ذلك نوسع التكامل إلى قسمين:

التكامل الأول هو دالة طاقة عادية ، (المجموعة الثانية ، ن = -1): 1 / س = س -1.

صيغتنا التقليدية لوظيفة الطاقة العكسية

لا يعمل هنا ، ولكن بالنسبة لنا ن = -1هناك بديل جيد - صيغة ذات لوغاريتم طبيعي. هذا:

بعد ذلك ، وفقًا لهذه الصيغة ، سيتم دمج الكسر الأول على النحو التالي:

والكسر الثاني أيضا وظيفة الجدول!تعلمت؟ نعم! هذه السابعصيغة ذات لوغاريتم "مرتفع":

الثابت "أ" في هذه الصيغة يساوي اثنين: أ = 2.

ملاحظة مهمة: يرجى ملاحظة الثابتمع مع تكامل متوسط ​​أنا لا مكانأنا لا أنسب!لماذا ا؟ لأنها ستذهب إلى الإجابة النهائية المثال كله.هذا كافٍ تمامًا.) بالمعنى الدقيق للكلمة ، يجب كتابة الثابت بعد كل تكامل فردي - على الأقل متوسط ​​، على الأقل نهائي: لذلك يتطلب التكامل غير المحدد ...)

على سبيل المثال ، بعد الدمج الأول ، يجب أن أكتب:

بعد الدمج الثاني:

لكن بيت القصيد هو أن مجموع / فرق الثوابت التعسفية هو أيضا بعض ثابت!في حالتنا ، للإجابة النهائية ، نحتاج من التكامل الأول طرح او خصمثانيا. ثم سننجح اختلافثابتين وسيطة:

ج 1-ج 2

ولدينا كل الحق في استبدال هذا الاختلاف في الثوابت ثابت واحد!وأعد تصميمه بالحرف "C" المألوف لدينا. مثله:

ج 1-ج 2 \ u003d ج

لذلك ننسب هذا الثابت نفسه معللنتيجة النهائية والحصول على الجواب:

نعم ، هم كسور! تعد اللوغاريتمات متعددة الطوابق عند دمجها هي الشيء الأكثر شيوعًا. كما اعتدنا على ذلك).

يتذكر:

مع التكامل الوسيط لعدة مصطلحات ، الثابت معبعد كل منهم لا يمكنك الكتابة. يكفي تضمينها في الإجابة النهائية للمثال بأكمله. بالنهايه.

المثال التالي هو أيضًا كسر. من أجل الاحماء.)

مثال 5

في الجدول ، بالطبع ، لا توجد مثل هذه الوظيفة. لكن هناك مماثلوظيفة:

هذا هو الأحدث ثامنمعادلة. مع قوس ظل. :)

هذا:

وأمرنا الله نفسه بتعديل تكاملنا مع هذه الصيغة! لكن هناك مشكلة واحدة: في الصيغة المجدولة من قبل × 2لا يوجد معامل ، لكن لدينا تسعة. لا يمكننا استخدام الصيغة مباشرة بعد. لكن في حالتنا ، المشكلة قابلة للحل تمامًا. لنأخذ أولًا هذه التسعة من الأقواس ، ثم نخرجها بشكل عام من حدود الكسر.)

والكسر الجديد هو الدالة الجدولية التي نحتاجها في الرقم 8! هنا أ 2 \ u003d 4/9. أو أ = 2/3.

كل شئ. نأخذ 1/9 من علامة التكامل ونستخدم الصيغة الثامنة:

هنا الجواب. هذا المثال ، مع معامل من قبل × 2، اخترت ذلك بهذه الطريقة. لتوضيح ما يجب القيام به في مثل هذه الحالات. :) إذا كان من قبل × 2لا يوجد معامل ، إذن سيتم أيضًا دمج هذه الكسور في العقل.

على سبيل المثال:

هنا أ 2 = 5، لذلك فإن "a" نفسها ستكون "جذر خمسة". بشكل عام ، أنت تفهم.)

والآن سنقوم بتعديل وظيفتنا بشكل طفيف: سنكتب المقام تحت الجذر.) الآن سنأخذ مثل هذا التكامل:

مثال 6

المقام له جذر. بطبيعة الحال ، تغيرت أيضًا معادلة التكامل المقابلة ، نعم.) مرة أخرى نتسلق الجدول ونبحث عن الصيغة الصحيحة. لدينا جذور في صيغ المجموعتين الخامسة والسادسة. لكن في المجموعة السادسة ، لا يوجد سوى اختلاف تحت الجذور. ولدينا المجموع. لذلك نحن نعمل على الصيغة الخامسة، مع لوغاريتم "طويل":

عدد أ لدينا خمسة. استبدل الصيغة واحصل على:

وكل الاشياء. هذا هو الجواب. نعم ، نعم ، الأمر بهذه البساطة!

إذا تسللت الشكوك ، فمن الممكن دائمًا (وضروري) التحقق من النتيجة عن طريق التمايز العكسي. دعونا تحقق؟ ثم فجأة ، نوع من الهراء؟

نفرق (لا نولي اهتمامًا للوحدة النمطية ونعتبرها أقواسًا عادية):

كل شيء عادل. :)

بالمناسبة ، إذا غيرنا الإشارة من موجب إلى سالب في التكامل وتحت الجذر ، فستظل صيغة التكامل كما هي. وليس من قبيل المصادفة أن يكون في الجدول تحت الجذر زائد / ناقص. :)

على سبيل المثال:

الأهمية!في حالة الطرح أولالمكان تحت الجذر يجب أن يكون بالضبط × 2، و على ثانيا – عدد. إذا كان كل شيء تحت الجذر هو عكس ذلك ، فستكون الصيغة الجدولية المقابلة بالفعل اخر!

مثال 7

تحت الجذر مرة أخرى ناقص ، ولكن × 2مع خمسة أماكن متغيرة. يبدو مشابهًا ، لكن ليس هو نفسه ... يحتوي جدولنا أيضًا على صيغة لهذه الحالة.) الصيغة رقم ستة ، لم نعمل معها بعد:

والآن - بعناية. في المثال السابق ، عملنا الخمسة كرقم أ . هنا سوف يعمل الخمسة كرقم و 2!

لذلك ، من أجل التطبيق الصحيح للصيغة ، لا تنس أن تأخذ جذر الخمسة:

والآن يتم حل المثال في خطوة واحدة. :)

هذا هو! فقط المصطلحات الموجودة تحت الجذر قد تغيرت أماكنها ، وتغيرت نتيجة التكامل بشكل كبير! اللوغاريتم و قوس القوس ... لذا من فضلك لا تخلط بين هاتين الصيغتين!على الرغم من أن التكاملات متشابهة جدًا ...

علاوة:

في الصيغ الجدولية 7-8 ، توجد معاملات قبل اللوغاريتم وقوس الظل 1 / (2 أ)و 1 / أعلى التوالى. وفي موقف قتالي مقلق ، عند كتابة هذه الصيغ ، غالبًا ما يختلط الأمر حتى على المهووسين بالدراسات 1 / أ، و أين 1 / (2 أ). إليك حيلة بسيطة عليك أن تتذكرها.

في الصيغة رقم 7

مقام التكامل هو فرق المربعات × 2 - أ 2. والتي ، وفقًا لصيغة المدرسة المخيفة ، تتحلل كـ (س أ) (س + أ). على ال اثنينمضاعف. كلمة رئيسية - اثنين. و هؤلاء اثنينعند الدمج ، تذهب الأقواس إلى اللوغاريتم: مع سالب لأعلى ، مع زائد - لأسفل.) والمعامل الموجود أمام اللوغاريتم هو أيضًا 1 / ( 2 أ).

لكن في الصيغة رقم 8

مقام الكسر هو مجموع المربعات.لكن مجموع المربعات x2 + a2لا يمكن تحللها في عوامل أبسط. لذلك مهما قال المرء فإنه يبقى في المقام واحدعامل. وسيكون المعامل أمام ظل القوس أيضًا 1 / أ.

والآن ، من أجل التغيير ، دعنا ندمج شيئًا من حساب المثلثات.)

المثال 8

المثال بسيط. بسيط جدًا لدرجة أن الناس ، دون النظر إلى الطاولة ، يكتبون الإجابة على الفور بفرح و ... وصلوا. :)

نحن نتبع العلامات! هذا هو الخطأ الأكثر شيوعًا عند دمج الجيب / جيب التمام. لا تخلط مع المشتقات!

نعم، (الخطيئة x)" = كوس xو (كوس x)’ = - الخطيئة x.

ولكن!

نظرًا لأن الناس عادة ما يتذكرون المشتقات على أقل تقدير ، حتى لا يتم الخلط بينهم وبين العلامات ، فإن تقنية تذكر التكاملات هنا بسيطة للغاية:

تكامل الجيب / جيب التمام =ناقص مشتق من نفس الجيب / جيب التمام.

على سبيل المثال ، نعلم من المدرسة أن مشتق الجيب يساوي جيب التمام:

(الخطيئة x)" = كوس x.

ثم ل متكامل من نفس الشرط سيكون صحيحًا:

وهذا كل شيء.) مع جيب التمام نفس الشيء.

دعنا نصلح مثالنا:

التحولات الأولية الأولية للتكامل

حتى هذه النقطة ، كانت هناك أبسط الأمثلة. للتعرف على كيفية عمل الجدول وعدم ارتكاب أخطاء في اختيار الصيغة.)

بالطبع ، قمنا ببعض التحولات البسيطة - استبعدنا العوامل ، وقمنا بتقسيمها إلى مصطلحات. لكن الإجابة لا تزال تكمن في السطح بطريقة أو بأخرى.) ومع ذلك ... إذا كان حساب التكاملات يقتصر فقط على الاستخدام المباشر للجدول ، فستكون هناك هدية مجانية كاملة وستصبح الحياة مملة.)

الآن دعونا نلقي نظرة على أمثلة أكثر صلابة. تلك التي يبدو فيها أنه لم يتم تقرير أي شيء بشكل مباشر. لكن يجدر بنا أن نتذكر حرفيًا بضع صيغ أو تحولات في المدرسة الابتدائية ، حيث يصبح الطريق إلى الإجابة بسيطًا ومفهومًا. :)

تطبيق معادلات حساب المثلثات

دعونا نستمر في الاستمتاع بعلم المثلثات.

المثال 9

لا توجد مثل هذه الوظيفة في الجدول. ولكن في علم المثلثات المدرسة هناك هذه الهوية غير المعروفة:

نعبر الآن عن مربع الظل الذي نحتاجه منه وندرجه تحت التكامل:

لماذا يتم هذا؟ وبعد ذلك ، بعد هذا التحول ، سيتم تقليل التكامل الخاص بنا إلى جزأين جدوليين وسيؤخذ في الاعتبار!

نرى:

الآن دعونا نحلل أفعالنا. للوهلة الأولى ، يبدو كل شيء بسيطًا. لكن دعنا نفكر في هذا. إذا كان لدينا مهمة يميزنفس الوظيفة ، ثم سنفعل بالضبطيعرف بالضبط ما يجب القيام به - للتقديم معادلة مشتق دالة معقدة:

وهذا كل شيء. تقنية بسيطة وخالية من المتاعب. إنه يعمل دائمًا ويضمن أن يؤدي إلى النجاح.

لكن ماذا عن التكامل؟ وهنا كان علينا البحث في علم المثلثات ، واستخراج صيغة غامضة على أمل أن تساعدنا بطريقة ما على الخروج وتقليل التكامل إلى جدول جدولي. وهي ليست حقيقة أنها ستساعدنا ، إنها ليست حقيقة على الإطلاق ... ولهذا السبب يعتبر التكامل عملية إبداعية أكثر من التمايز. الفن ، حتى أقول. :) وهذا ليس أصعب مثال. إنها البداية فقط!

المثال 10

ما الذي يلهمك؟ لا يزال جدول التكاملات ضعيفًا ، نعم. ولكن ، إذا نظرت مرة أخرى في خزانة المعادلات المثلثية لدينا ، يمكنك اكتشاف معلومة مفيدة جدًا جدًا صيغة جيب التمام بزاوية مزدوجة:

لذلك نطبق هذه الصيغة على التكامل. في دور "ألفا" لدينا x / 2.

نحن نحصل:

التأثير مذهل ، أليس كذلك؟

يوضح هذان المثالان بوضوح أن التحويل المسبق للوظيفة قبل الدمجمقبولة تمامًا وأحيانًا تجعل الحياة أسهل كثيرًا! وفي التكامل ، يعد هذا الإجراء (تحويل التكامل) أمرًا مبررًا من حيث الحجم أكثر منه في التفاضل. سترى لاحقًا.)

دعنا نلقي نظرة على اثنين من التحولات النموذجية.

صيغ الضرب المختصرة ، توسيع الأقواس ، تقليل الإعجابات وطريقة تقسيم المصطلح.

التحولات المدرسية المبتذلة المعتادة. لكن في بعض الأحيان هم فقط من يدخرون ، نعم).

المثال 11

إذا أخذنا في الاعتبار المشتق ، فلا مشكلة: صيغة مشتق المنتج و- إلى الأمام. لكن الصيغة القياسية ل متكاملمن العمل غير موجود. والطريقة الوحيدة للخروج هنا هي فتح كل الأقواس بحيث يتم الحصول على كثير الحدود تحت التكامل. وسنقوم بطريقة ما بدمج كثير الحدود.) لكننا سنفتح أيضًا الأقواس بحكمة: صيغ الضرب المختصرة هي شيء قوي!

(× 2-1) 2 (× 2 + 1) 2 = ((× 2-1) (× 2 + 1)) 2 = ((× 2) 2-1 2) 2 = (× 4-1) 2 = x 8 - 2x 4 + 1

والآن نعتبر:

وكل الأشياء.)

مثال 12

مرة أخرى ، الصيغة القياسية ل جزء لا يتجزأغير موجود. ومع ذلك ، فإن مقام التكامل يحتوي على وحيدا x.هذا يغير الموقف بشكل جذري.) دعنا نقسم البسط على حد المقام على حد ، ونختصر الكسر الرهيب إلى مجموع غير ضار من دوال الأس الجدولية:

لن أعلق بشكل خاص على إجراءات دمج الدرجات العلمية: فهي ليست صغيرة بعد الآن.)

نقوم بدمج مجموع وظائف القوة. بواسطة لوحة.)

هذا كل شيء.) بالمناسبة ، إذا كان المقام ليس x ، ولكن ، على سبيل المثال ، x + 1، مثله:

إذن ، لم تكن هذه الحيلة في التقسيم على حدة بكل سهولة. إنه بسبب وجود الجذر في البسط وواحد في المقام. سأضطر للتخلص من الجذر. لكن مثل هذه التكاملات أكثر تعقيدًا. عنهم - في دروس أخرى.

نرى! يتعين على المرء فقط تعديل الوظيفة بشكل طفيف - يتغير نهج تكاملها على الفور. في بعض الأحيان بشكل مثير!) لا يوجد مخطط معياري واضح. كل وظيفة لها نهجها الخاص. في بعض الأحيان فريدة من نوعها.

في بعض الحالات ، تكون التحويلات في الكسور أكثر صعوبة.

المثال 13

وهنا ، كيف يمكن اختزال التكامل إلى مجموعة جدولية؟ هنا يمكنك المراوغة ببراعة عن طريق إضافة وطرح التعبير x2في بسط الكسر متبوعًا بقسمة الحد. استقبال ماهر للغاية في التكاملات! شاهد الفصل الرئيسي! :)

والآن ، إذا استبدلنا الكسر الأصلي بفارق كسرين ، فسيتم تقسيم التكامل إلى جزأين جدوليين - دالة القوة المألوفة بالفعل وظل القوس (الصيغة 8):

حسنا ماذا يمكن أن أقول؟ رائع!

تحظى خدعة الجمع / الطرح هذه بشعبية كبيرة في دمج الكسور النسبية. جدا! أوصي بتدوين الملاحظات.

المثال 14

هنا ، أيضًا ، نفس قواعد التكنولوجيا. ما عليك سوى إضافة / طرح واحد لتحديد التعبير في المقام من البسط:

بشكل عام ، الكسور المنطقية (مع كثيرات الحدود في البسط والمقام) هي موضوع منفصل واسع النطاق. الشيء هو أن الكسور المنطقية هي واحدة من فئات قليلة جدًا من الوظائف التي لها طريقة عالمية للتكامل موجود. طريقة التحلل إلى كسور بسيطة مقرونة بـ . لكن هذه الطريقة تستغرق وقتًا طويلاً وتستخدم عادةً كمدفعية ثقيلة. سيخصص له أكثر من درس. في غضون ذلك ، نحن نتدرب ونضع أيدينا على وظائف بسيطة.

دعونا نلخص درس اليوم.

درسنا اليوم بالتفصيل كيفية استخدام الجدول ، مع كل الفروق الدقيقة ، وحللنا العديد من الأمثلة (وليس أكثرها تافهة) وتعرّفنا على أبسط الطرق لتقليل التكاملات إلى تكاملات جدولية. وهكذا سنفعل الآن دائما. مهما كانت الوظيفة الرهيبة ضمن التكامل ، بمساعدة مجموعة متنوعة من التحولات ، فسوف نضمن ، عاجلاً أم آجلاً ، اختزال تكاملنا ، بطريقة أو بأخرى ، إلى مجموعة من الجداول الجدولية.

بعض النصائح العملية.

1) إذا كان هناك كسر تحت التكامل ، في البسط هو مجموع الدرجات (الجذور) ، وفي المقام - وحيد x، ثم نستخدم قسمة البسط على حده على المقام. نستبدل الجذور بالقوى مؤشرات كسرية وتعمل وفق الصيغ 1-2.

2) في التركيبات المثلثية ، أولاً وقبل كل شيء ، نجرب الصيغ الأساسية لعلم المثلثات - زاوية مزدوجة / ثلاثية ،

يمكن أن يكون محظوظا جدا. أو ربما لا ...

3) نستخدم عند الضرورة (خاصة في كثيرات الحدود والكسور)صيغ الضرب المختصرة:

(أ + ب) 2 = أ 2 + 2 أب + ب 2

(أ-ب) 2 = أ 2 -2 أب + ب 2

(أ-ب) (أ + ب) = أ 2-ب 2

4) عند دمج الكسور مع كثيرات الحدود ، نحاول إبراز التعبير (التعبيرات) في البسط في المقام بشكل مصطنع. في كثير من الأحيان ، يتم تبسيط الكسر ويتم تقليل التكامل إلى مجموعة من الكسور المجدولة.

حسنا يا اصدقاء؟ أرى أنك بدأت تحب التكاملات. :) ثم نملأ أيدينا ونحل الأمثلة بأنفسنا.) مواد اليوم كافية تمامًا للتعامل معها بنجاح.

لما؟ لا أعلم، ؟ نعم! لم نمر بهذا بعد.) لكن هنا لا يحتاجون إلى الاندماج بشكل مباشر. وقد تساعدك الدورة المدرسية!)

الإجابات (في حالة فوضى):

للحصول على نتائج أفضل ، أوصي بشدة بشراء مجموعة من المشكلات على GN matan. برمان. أشياء رائعة!

وهذا كل ما لدي لهذا اليوم. حظا طيبا وفقك الله!

ستجد في هذه الصفحة:

1. في الواقع ، جدول المشتقات العكسية - يمكن تنزيله بصيغة PDF وطباعته ؛

2. فيديو عن كيفية استخدام هذا الجدول.

3. مجموعة من الأمثلة على حساب المشتق العكسي من مختلف الكتب والاختبارات.

في الفيديو نفسه ، سنقوم بتحليل الكثير من المهام التي تتطلب حساب وظائف عكسية ، غالبًا ما تكون معقدة جدًا ، ولكن الأهم من ذلك أنها ليست قانون سلطة. يجب معرفة جميع الوظائف الملخصة في الجدول أعلاه عن ظهر قلب ، مثل المشتقات. بدونها ، من المستحيل إجراء مزيد من الدراسة للتكاملات وتطبيقها لحل المشكلات العملية.

نواصل اليوم التعامل مع الأوليات وننتقل إلى موضوع أكثر تعقيدًا بعض الشيء. إذا نظرنا في المرة الأخيرة في المشتقات العكسية فقط من وظائف الطاقة والبنى الأكثر تعقيدًا ، فسنقوم اليوم بتحليل علم المثلثات وأكثر من ذلك بكثير.

كما قلت في الدرس الأخير ، المشتقات العكسية ، على عكس المشتقات ، لا يتم حلها "فارغة" باستخدام أي قواعد قياسية. علاوة على ذلك ، فإن الأخبار السيئة هي أنه ، على عكس المشتق ، قد لا يتم اعتبار المشتق العكسي على الإطلاق. إذا كتبنا دالة عشوائية تمامًا وحاولنا إيجاد مشتقها ، فسننجح باحتمالية عالية جدًا ، لكن المشتقة العكسية لن تُحسب أبدًا في هذه الحالة. ولكن هناك أيضًا أخبار سارة: هناك فئة كبيرة إلى حد ما من الوظائف تسمى الوظائف الأولية ، والتي يسهل حساب المشتقات العكسية لها. وجميع التركيبات الأخرى الأكثر تعقيدًا التي يتم تقديمها في ضوابط مختلفة ومستقلة وامتحانات ، في الواقع ، تتكون من هذه الوظائف الأولية عن طريق الجمع والطرح والإجراءات البسيطة الأخرى. لطالما تم حساب المشتقات العكسية لمثل هذه الدوال وتلخيصها في جداول خاصة. مع هذه الوظائف والجداول سنعمل اليوم.

لكننا سنبدأ ، كما هو الحال دائمًا ، بالتكرار: تذكر ما هي المشتقة العكسية ، ولماذا يوجد عدد لا حصر له منها ، وكيفية تحديد شكلها العام. للقيام بذلك ، قمت باختيار مهمتين بسيطتين.

حل الأمثلة السهلة

مثال 1

لاحظ على الفور أن $ \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (6) $ ووجود $ \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () يلمح $ فورًا إلى أن المشتقة العكسية المطلوبة للدالة مرتبطة بعلم المثلثات. وبالفعل ، إذا نظرنا إلى الجدول ، نجد أن $ \ frac (1) (1 + ((x) ^ (2))) $ ليس سوى $ \ text (arctg) x $. لذلك دعونا نكتب:

من أجل العثور ، عليك كتابة ما يلي:

\ [\ frac (\ pi) (6) = \ text (arctg) \ sqrt (3) + C \]

\ [\ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (6) = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (3) + C \]

المثال رقم 2

نحن هنا نتحدث أيضًا عن الدوال المثلثية. إذا نظرنا إلى الجدول ، فعندئذ ، في الواقع ، سيظهر على النحو التالي:

نحن بحاجة إلى إيجاد من بين مجموعة المشتقات العكسية الكاملة التي تمر عبر النقطة المحددة:

\ [\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () = \ arcsin \ frac (1) (2) + C \]

\ [\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (6) + C \]

دعنا نكتبها أخيرًا:

بكل بساطة. المشكلة الوحيدة هي أنه من أجل حساب المشتقات العكسية للوظائف البسيطة ، تحتاج إلى معرفة جدول المشتقات العكسية. ومع ذلك ، بعد تعلم جدول المشتقات بالنسبة لك ، أعتقد أن هذا لن يكون مشكلة.

حل المسائل التي تحتوي على دالة أسية

لنبدأ بكتابة الصيغ التالية:

\ [((e) ^ (x)) \ إلى ((e) ^ (x)) \]

\ [((a) ^ (x)) \ to \ frac (((a) ^ (x))) (\ ln a) \]

دعونا نرى كيف يعمل كل هذا في الممارسة.

مثال 1

إذا نظرنا إلى محتويات الأقواس ، فسنلاحظ أنه لا يوجد في جدول المشتقات العكسية تعبير مثل $ ((e) ^ (x)) $ في مربع ، لذلك يجب فتح هذا المربع. للقيام بذلك ، نستخدم صيغ الضرب المختصرة:

لنجد المشتق العكسي لكل مصطلح:

\ [((e) ^ (2x)) = ((\ left (((e) ^ (2)) \ right)) ^ (x)) \ to \ frac (((\ left (((e) ^ (2)) \ right)) ^ (x))) (\ ln ((e) ^ (2))) = \ frac (((e) ^ (2x))) (2) \]

\ [((e) ^ (- 2x)) = ((\ left (((e) ^ (- 2)) \ right)) ^ (x)) \ to \ frac (((\ left (((e ) ^ (- 2)) \ right)) ^ (x))) (\ ln ((e) ^ (- 2))) = \ frac (1) (- 2 ((e) ^ (2x))) \]

والآن نجمع كل الحدود في تعبير واحد ونحصل على المشتق العكسي المشترك:

المثال رقم 2

هذه المرة ، الأس أكبر بالفعل ، لذا فإن صيغة الضرب المختصرة ستكون معقدة للغاية. دعنا نفدد الأقواس:

الآن دعنا نحاول أخذ المشتقة العكسية للصيغة الخاصة بنا من هذا البناء:

كما ترى ، لا يوجد شيء معقد وخارق للطبيعة في المشتقات العكسية للدالة الأسية. يتم حساب كل واحد من خلال الجداول ، ومع ذلك ، سيلاحظ الطلاب اليقظون بالتأكيد أن المشتق العكسي $ ((e) ^ (2x)) $ أقرب كثيرًا إلى $ ((e) ^ (x)) $ من $ ((a ) ^ (x)) $. لذا ، ربما توجد بعض القواعد الخاصة التي تسمح ، بمعرفة المشتق العكسي $ ((e) ^ (x)) $ ، بالعثور على $ ((e) ^ (2x)) $؟ نعم ، هناك مثل هذه القاعدة. علاوة على ذلك ، فهو جزء لا يتجزأ من العمل مع جدول المشتقات العكسية. سنقوم الآن بتحليلها باستخدام نفس التعبيرات التي استخدمناها للتو كمثال.

قواعد العمل مع جدول المشتقات العكسية

دعونا نعيد كتابة وظيفتنا:

في الحالة السابقة ، استخدمنا الصيغة التالية لحل المشكلة:

\ [((a) ^ (x)) \ to \ frac (((a) ^ (x))) (\ operatorname (lna)) \]

ولكن الآن لنفعل ذلك بطريقة مختلفة قليلاً: تذكر على أي أساس $ ((e) ^ (x)) \ to ((e) ^ (x)) $. كما ذكرنا سابقًا ، نظرًا لأن مشتق $ ((e) ^ (x)) $ ليس سوى $ ((e) ^ (x)) $ ، لذا فإن مشتقه العكسي سيكون مساويًا لنفس $ ((e) ^ ( x)) $. لكن المشكلة هي أن لدينا $ ((e) ^ (2x)) $ و $ ((e) ^ (- 2x)) $. دعنا الآن نحاول إيجاد المشتق $ ((e) ^ (2x)) $:

\ [((\ left (((e) ^ (2x)) \ right)) ^ (\ prime)) = ((e) ^ (2x)) \ cdot ((\ left (2x \ right)) ^ ( \ رئيس)) = 2 \ cdot ((هـ) ^ (2 س)) \]

دعنا نعيد كتابة بنائنا مرة أخرى:

\ [((\ left (((e) ^ (2x)) \ right)) ^ (\ prime)) = 2 \ cdot (((e) ^ (2x)) \]

\ [((e) ^ (2x)) = ((\ left (\ frac (((e) ^ (2x))) (2) \ right)) ^ (\ prime)) \]

وهذا يعني أنه عند إيجاد المشتق العكسي $ ((e) ^ (2x)) $ ، نحصل على ما يلي:

\ [((e) ^ (2x)) \ to \ frac (((e) ^ (2x))) (2) \]

كما ترى ، حصلنا على نفس النتيجة كما في السابق ، لكننا لم نستخدم الصيغة للعثور على $ ((a) ^ (x)) $. الآن قد يبدو هذا غبيًا: لماذا تعقد العمليات الحسابية عندما تكون هناك صيغة قياسية؟ ومع ذلك ، في التعبيرات الأكثر تعقيدًا ، سترى أن هذه التقنية فعالة جدًا ، أي استخدام المشتقات لإيجاد المشتقات العكسية.

دعنا ، كإحماء ، نجد المشتق العكسي $ ((e) ^ (2x)) $ بطريقة مماثلة:

\ [((\ left (((e) ^ (- 2x)) \ right)) ^ (\ prime)) = ((e) ^ (- 2x)) \ cdot \ left (-2 \ right) \]

\ [((e) ^ (- 2x)) = ((\ left (\ frac (((e) ^ (- 2x))) (- 2) \ right)) ^ (\ prime)) \]

عند الحساب ، سيتم كتابة بنائنا على النحو التالي:

\ [((e) ^ (- 2x)) \ to - \ frac (((e) ^ (- 2x))) (2) \]

\ [((e) ^ (- 2x)) \ to - \ frac (1) (2 \ cdot ((e) ^ (2x))) \]

حصلنا على نفس النتيجة بالضبط ، لكننا ذهبنا في الاتجاه الآخر. بهذه الطريقة ، التي تبدو لنا الآن أكثر تعقيدًا ، ستكون في المستقبل أكثر فاعلية لحساب المشتقات العكسية الأكثر تعقيدًا واستخدام الجداول.

ملحوظة! هذه نقطة مهمة للغاية: يمكن حساب المشتقات العكسية ، مثل المشتقات ، بعدة طرق مختلفة. ومع ذلك ، إذا كانت جميع الحسابات والحسابات متساوية ، فستكون الإجابة هي نفسها. لقد تأكدنا للتو من ذلك في مثال $ ((e) ^ (- 2x)) $ - من ناحية ، قمنا بحساب هذه المشتقة العكسية "طوال الوقت" ، باستخدام التعريف وحسابها بمساعدة التحويلات ، على من ناحية أخرى ، تذكرنا أن $ ((e) ^ (- 2x)) $ يمكن تمثيله كـ $ ((\ left (((e) ^ (- 2)) \ right)) ^ (x)) $ ثم استخدم المشتق العكسي للدالة $ ((a) ^ (x)) $. ومع ذلك ، بعد كل التحولات ، النتيجة هي نفسها كما هو متوقع.

والآن بعد أن فهمنا كل هذا ، حان الوقت للانتقال إلى شيء أكثر جوهرية. سنقوم الآن بتحليل بنائين بسيطين ، ومع ذلك ، فإن التقنية التي سيتم وضعها عند حلها هي أداة أكثر قوة ومفيدة من مجرد "تشغيل" بين المشتقات العكسية المجاورة من الجدول.

حل المشكلة: أوجد المشتقة العكسية للدالة

مثال 1

أعط المقدار الموجود في البسط ، حلل إلى ثلاثة كسور منفصلة:

يعد هذا انتقالًا طبيعيًا ومفهومًا إلى حد ما - فمعظم الطلاب ليس لديهم مشاكل في ذلك. دعنا نعيد كتابة تعبيرنا على النحو التالي:

الآن دعنا نتذكر هذه الصيغة:

في حالتنا ، سوف نحصل على ما يلي:

للتخلص من كل هذه الكسور المكونة من ثلاثة طوابق ، أقترح القيام بما يلي:

المثال رقم 2

على عكس الكسر السابق ، المقام ليس حاصل الضرب ، ولكن المجموع. في هذه الحالة ، لم يعد بإمكاننا قسمة الكسر على مجموع عدة كسور بسيطة ، لكن علينا بطريقة ما أن نحاول التأكد من احتواء البسط على نفس تعبير المقام تقريبًا. في هذه الحالة ، من السهل جدًا القيام بما يلي:

مثل هذا الترميز ، الذي يسمى في لغة الرياضيات "إضافة صفر" ، سيسمح لنا مرة أخرى بتقسيم الكسر إلى جزأين:

لنجد الآن ما كنا نبحث عنه:

هذا كل الحسابات. على الرغم من التعقيد الواضح أكثر مما كان عليه في المشكلة السابقة ، فقد تبين أن حجم الحسابات أصغر.

الفروق الدقيقة في الحل

وهذا هو المكان الذي تكمن فيه الصعوبة الرئيسية في العمل مع الأوليات المجدولة ، وهذا ملحوظ بشكل خاص في المهمة الثانية. الحقيقة هي أنه من أجل تحديد بعض العناصر التي يمكن عدها بسهولة من خلال الجدول ، نحتاج إلى معرفة ما نبحث عنه بالضبط ، وفي البحث عن هذه العناصر يتكون الحساب الكامل للمشتقات العكسية.

بمعنى آخر ، لا يكفي مجرد حفظ جدول المشتقات العكسية - بل يجب أن تكون قادرًا على رؤية شيء لم يوجد بعد ، ولكن ما يعنيه المؤلف والمجمع لهذه المشكلة. هذا هو السبب في أن العديد من علماء الرياضيات والمدرسين والأساتذة يجادلون باستمرار: "ما الذي يأخذ المشتقات العكسية أو التكامل - هل هو مجرد أداة أم هو فن حقيقي؟" في الواقع ، في رأيي الشخصي ، التكامل ليس فنًا على الإطلاق - لا يوجد شيء رائع فيه ، إنه مجرد ممارسة وممارسة مرة أخرى. وللممارسة ، دعونا نحل ثلاثة أمثلة أكثر جدية.

تكامل الممارسة في الممارسة

مهمة 1

لنكتب الصيغ التالية:

\ [((x) ^ (n)) \ to \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \]

\ [\ frac (1) (x) \ to \ ln x \]

\ [\ frac (1) (1 + ((x) ^ (2))) \ to \ text (arctg) x \]

لنكتب ما يلي:

المهمة رقم 2

دعنا نعيد كتابتها على النحو التالي:

مجموع المشتقات العكسية سيكون مساوياً لـ:

المهمة رقم 3

يكمن تعقيد هذه المهمة في حقيقة أنه ، على عكس الوظائف السابقة ، لا يوجد متغير $ x $ أعلاه ، أي ليس من الواضح لنا ما يجب إضافته أو طرحه للحصول على شيء مشابه على الأقل لما هو مذكور أدناه. ومع ذلك ، في الواقع ، يعتبر هذا التعبير أبسط من أي تعبير من التركيبات السابقة ، لأنه يمكن إعادة كتابة هذه الوظيفة على النحو التالي:

قد تسأل الآن: لماذا هذه الوظائف متساوية؟ دعونا تحقق:

دعنا نعيد الكتابة مرة أخرى:

دعنا نغير تعبيرنا قليلاً:

وعندما أشرح كل هذا لطلابي ، تظهر المشكلة نفسها دائمًا تقريبًا: مع الوظيفة الأولى يكون كل شيء أكثر أو أقل وضوحًا ، مع الوظيفة الثانية يمكنك أيضًا اكتشافها بالحظ أو الممارسة ، ولكن ما هو نوع الوعي البديل الذي يفعله تحتاج أن يكون لديك من أجل حل المثال الثالث؟ في الواقع ، لا تخف. التقنية التي استخدمناها عند حساب المشتق العكسي الأخير تسمى "تحليل دالة إلى أبسط" ، وهي تقنية خطيرة للغاية ، وسيتم تخصيص درس فيديو منفصل لها.

في غضون ذلك ، أقترح العودة إلى ما درسناه للتو ، أي الوظائف الأسية وتعقيد المهام إلى حد ما بمحتواها.

مشاكل أكثر تعقيدًا لحل الدوال الأسية العكسية

مهمة 1

لاحظ ما يلي:

\ [((2) ^ (x)) \ cdot ((5) ^ (x)) = ((\ left (2 \ cdot 5 \ right)) ^ (x)) = ((10) ^ (x) ) \]

للعثور على المشتق العكسي لهذا التعبير ، ما عليك سوى استخدام الصيغة القياسية $ ((a) ^ (x)) \ to \ frac (((a) ^ (x))) (\ ln a) $.

في حالتنا ، ستكون البدائية كما يلي:

بالطبع ، على خلفية البناء الذي توصلنا إليه للتو ، يبدو هذا أبسط.

المهمة رقم 2

مرة أخرى ، من السهل ملاحظة أنه من السهل تقسيم هذه الوظيفة إلى فترتين منفصلتين - كسرين منفصلين. دعنا نعيد كتابة:

يبقى إيجاد المشتق العكسي لكل من هذه المصطلحات وفقًا للصيغة أعلاه:

على الرغم من التعقيد الواضح الأكبر للوظائف الأسية مقارنة بوظائف الطاقة ، فقد تبين أن المبلغ الإجمالي للحسابات والحسابات أبسط بكثير.

بالطبع ، بالنسبة للطلاب المطلعين ، فإن ما تعاملنا معه للتو (خاصة على خلفية ما تعاملنا معه من قبل) قد يبدو تعبيرات أولية. ومع ذلك ، باختيار هاتين المهمتين لفيديو تعليمي اليوم ، لم أضع لنفسي هدفًا لإخبارك بخدعة معقدة أخرى - كل ما أردت إظهاره لك هو أنه لا يجب أن تخاف من استخدام حيل الجبر القياسية لتحويل الوظائف الأصلية .

باستخدام تقنية "السر"

في الختام ، أود أن أحلل تقنية أخرى مثيرة للاهتمام ، والتي ، من ناحية ، تتجاوز ما حللناه بشكل أساسي اليوم ، لكنها ، من ناحية أخرى ، أولاً ، ليست معقدة بأي حال من الأحوال ، أي. حتى الطلاب المبتدئين يمكنهم إتقانها ، وثانيًا ، غالبًا ما توجد في جميع أنواع التحكم والعمل المستقل ، أي مع العلم أنه سيكون مفيدًا جدًا بالإضافة إلى معرفة جدول المشتقات العكسية.

مهمة 1

من الواضح أن لدينا شيئًا مشابهًا جدًا لدالة القدرة. كيف يجب أن نمضي قدما في هذه الحالة؟ لنفكر في الأمر: $ x-5 $ يختلف عن $ x $ ليس كثيرًا - فقط أضف $ -5 $. دعنا نكتبها على هذا النحو:

\ [((x) ^ (4)) \ to \ frac (((x) ^ (5))) (5) \]

\ [((\ left (\ frac (((x) ^ (5))) (5) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (5 \ cdot ((x) ^ (4))) (5) = ((س) ^ (4)) \]

دعنا نحاول إيجاد مشتق $ ((\ left (x-5 \ right)) ^ (5)) $:

\ [((\ left (((\ left (x-5 \ right)) ^ (5)) \ right)) ^ (\ prime)) = 5 \ cdot ((\ left (x-5 \ right)) ^ (4)) \ cdot ((\ left (x-5 \ right)) ^ (\ prime)) = 5 \ cdot ((\ left (x-5 \ right)) ^ (4)) \]

هذا يعني:

\ [((\ left (x-5 \ right)) ^ (4)) = ((\ left (\ frac (((\ left (x-5 \ right)) ^ (5))) (5) \ يمين)) ^ (\ رئيس)) \]

لا توجد مثل هذه القيمة في الجدول ، لذلك قمنا الآن باشتقاق هذه الصيغة بأنفسنا ، باستخدام الصيغة القياسية العكسية لدالة القدرة. لنكتب الإجابة على هذا النحو:

المهمة رقم 2

بالنسبة للعديد من الطلاب الذين ينظرون إلى الحل الأول ، قد يبدو أن كل شيء بسيط للغاية: يكفي استبدال $ x $ في دالة الطاقة بتعبير خطي ، وسيصبح كل شيء في مكانه الصحيح. لسوء الحظ ، كل شيء ليس بهذه البساطة ، والآن سنرى هذا.

قياسا على التعبير الأول نكتب ما يلي:

\ [((x) ^ (9)) \ to \ frac (((x) ^ (10))) (10) \]

\ [((\ left (((\ left (4-3x \ right)) ^ (10)) \ right)) ^ (\ prime)) = 10 \ cdot ((\ left (4-3x \ right)) ^ (9)) \ cdot ((\ يسار (4-3x \ يمين)) ^ (\ رئيس الوزراء)) = \]

\ [= 10 \ cdot ((\ left (4-3x \ right)) ^ (9)) \ cdot \ left (-3 \ right) = - 30 \ cdot ((\ left (4-3x \ right)) ^ (9)) \]

بالعودة إلى المشتق الخاص بنا ، يمكننا كتابة:

\ [((\ left (((\ left (4-3x \ right)) ^ (10)) \ right)) ^ (\ prime)) = - 30 \ cdot ((\ left (4-3x \ right) ) ^ (9)) \]

\ [((\ left (4-3x \ right)) ^ (9)) = ((\ left (\ frac (((\ left (4-3x \ right)) ^ (10))) (- 30) \ يمين)) ^ (\ رئيس الوزراء)) \]

من هنا يتبع على الفور:

الفروق الدقيقة في الحل

يرجى ملاحظة: إذا لم يتغير أي شيء بشكل أساسي في المرة الأخيرة ، في الحالة الثانية ، ظهر $ -30 $ بدلاً من $ -10 $. ما هو الفرق بين $ -10 $ و $ -30 $؟ من الواضح ، بمعامل قدره -3 دولارات. سؤال: من أين أتت؟ بالنظر عن كثب ، يمكنك أن ترى أنه تم أخذها كنتيجة لحساب مشتق دالة معقدة - يظهر المعامل الذي كان عند $ x $ في المشتق العكسي أدناه. هذه قاعدة مهمة للغاية ، لم أخطط في البداية لتحليلها على الإطلاق في فيديو تعليمي اليوم ، ولكن بدونها ، سيكون عرض المشتقات العكسية المجدولة غير مكتمل.

لذلك دعونا نفعل ذلك مرة أخرى. يجب ألا تكون هناك وظيفة القوة الرئيسية لدينا:

\ [((x) ^ (n)) \ to \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \]

والآن ، بدلًا من $ x $ ، فلنقم بالتعويض عن التعبير $ kx + b $. ماذا سيحدث بعد ذلك؟ نحتاج إلى إيجاد ما يلي:

\ [((\ left (kx + b \ right)) ^ (n)) \ to \ frac (((\ left (kx + b \ right)) ^ (n + 1))) (\ left (n + 1 \ يمين) \ cdot ك) \]

على أي أساس نؤكد هذا؟ بسيط جدا. دعنا نجد مشتق البناء المكتوب أعلاه:

\ [((\ left (\ frac (((\ left (kx + b \ right)) ^ (n + 1))) (\ left (n + 1 \ right) \ cdot k) \ right)) ^ ( \ رئيس)) = \ فارك (1) (\ يسار (n + 1 \ يمين) \ cdot k) \ cdot \ يسار (n + 1 \ يمين) \ cdot ((\ left (kx + b \ right)) ^ (n)) \ cdot k = ((\ left (kx + b \ right)) ^ (n)) \]

هذا هو نفس التعبير الذي كان في الأصل. وبالتالي ، فإن هذه الصيغة صحيحة أيضًا ، ويمكن استخدامها لتكملة جدول المشتقات العكسية ، لكن من الأفضل تذكر الجدول بأكمله.

استنتاجات من "السر: الاستقبال:

• كلتا الوظيفتين اللتين نظرنا فيهما للتو ، في الواقع ، يمكن اختزالها إلى المشتقات العكسية الموضحة في الجدول عن طريق فتح الدرجات ، ولكن إذا استطعنا التعامل بشكل أو بآخر مع الدرجة الرابعة ، فلن أفعل الدرجة التاسعة على الإطلاق غامر بالكشف.
• إذا قمنا بفتح الدرجات ، فسنحصل على مثل هذا الحجم من العمليات الحسابية بحيث تستغرق مهمة بسيطة وقتًا غير كافٍ.
• هذا هو السبب في أن مثل هذه المهام ، التي توجد بداخلها تعبيرات خطية ، لا تحتاج إلى حل "فارغ". بمجرد أن تقابل المشتق العكسي ، والذي يختلف عن الموجود في الجدول فقط من خلال وجود التعبير $ kx + b $ بالداخل ، تذكر فورًا الصيغة المكتوبة أعلاه ، واستبدلها في المشتق العكسي المجدول ، وسيتحول كل شيء كثيرًا أسرع وأسهل.

بطبيعة الحال ، نظرًا لتعقيد هذه التقنية وخطورتها ، سنعود مرارًا وتكرارًا إلى دراستها في دروس الفيديو المستقبلية ، لكن لدي كل شيء اليوم. آمل أن يساعد هذا الدرس الطلاب الذين يرغبون في فهم المشتقات العكسية والتكامل.

التكاملات المعقدة

تكمل هذه المقالة موضوع التكاملات غير المحددة ، وتتضمن التكاملات التي أعتبرها صعبة للغاية. تم إنشاء الدرس بناءً على الطلب المتكرر للزوار الذين أعربوا عن رغبتهم في تحليل أمثلة أكثر صعوبة على الموقع.

من المفترض أن قارئ هذا النص مستعد جيدًا ويعرف كيفية تطبيق تقنيات التكامل الأساسية. يجب على الدمى والأشخاص غير الواثقين جدًا من التكاملات الرجوع إلى الدرس الأول - تكامل غير محدد. أمثلة الحل حيث يمكنك تعلم الموضوع من الصفر تقريبًا. يمكن للطلاب الأكثر خبرة التعرف على تقنيات وأساليب التكامل ، والتي لم تتم مواجهتها بعد في مقالاتي.

ما التكاملات التي سيتم النظر فيها؟

أولاً ، نعتبر التكاملات ذات الجذور ، والتي نستخدم الحل لها تباعاً استبدال متغير و تكامل اجزاء . هذا هو ، في مثال واحد يتم الجمع بين طريقتين. وحتى اكثر.

ثم سوف نتعرف على شيء مثير للاهتمام ومبتكرة طريقة تقليل تكامل نفسه . لم يتم حل القليل من التكاملات بهذه الطريقة.

سيذهب الرقم الثالث من البرنامج تكاملات الكسور المعقدةالتي تجاوزت ماكينة تسجيل المدفوعات النقدية في المقالات السابقة.

الرابعة ، سيتم تفكيكها تكاملات إضافية للوظائف المثلثية. على وجه الخصوص ، هناك طرق يمكن أن تتجنب الجهد الشاق استبدال عالمي مثلثي.

(2) في التكامل ، نقسم البسط على حد المقام على حد.

(3) نستخدم خاصية الخطية للتكامل غير المحدد. في التكامل الأخير ، على الفور ضع الوظيفة تحت علامة التفاضل .

(4) نأخذ التكاملات المتبقية. لاحظ أنه يمكنك استخدام الأقواس في اللوغاريتم وليس في المعامل ، لأن.

(5) نقوم بإجراء الاستبدال العكسي ، معبرًا من الاستبدال المباشر "te":

يمكن للطلاب الماسوشيين التفريق بين الإجابة والحصول على التكامل الأصلي ، كما فعلت للتو. لا ، لا ، لقد أجريت الشيك بالمعنى الصحيح =)

كما ترى ، في سياق الحل ، كان لا بد من استخدام أكثر من طريقتين للحل ، لذلك للتعامل مع مثل هذه التكاملات ، فأنت بحاجة إلى مهارات تكامل واثقة وليس أقل خبرة.

من الناحية العملية ، بالطبع ، الجذر التربيعي أكثر شيوعًا ، وهنا ثلاثة أمثلة لحل مستقل:

مثال 2

أوجد التكامل غير المحدد

مثال 3

أوجد التكامل غير المحدد

مثال 4

أوجد التكامل غير المحدد

هذه الأمثلة من نفس النوع ، لذا فإن الحل الكامل في نهاية المقالة سيكون فقط للمثال 2 ، في الأمثلة 3-4 - إجابة واحدة. أي بديل يجب استخدامه في بداية القرارات ، على ما أعتقد ، واضح. لماذا اخترت نفس النوع من الأمثلة؟ غالبا ما توجد في أدوارهم. في كثير من الأحيان ، ربما ، شيء من هذا القبيل .

ولكن ليس دائمًا ، عندما يكون جذر الدالة الخطية تحت قوس الظل ، وجيب الجيب ، وجيب التمام ، والأس ، ووظائف أخرى ، يجب تطبيق عدة طرق في وقت واحد. في عدد من الحالات ، من الممكن "النزول بسهولة" ، أي بعد الاستبدال مباشرة ، يتم الحصول على تكامل بسيط ، والذي يتم أخذه بشكل أساسي. أسهل المهام المقترحة أعلاه هو المثال 4 ، حيث يتم الحصول على تكامل بسيط نسبيًا بعد الاستبدال.

طريقة اختزال التكامل في نفسه

طريقة ذكية وجميلة. دعونا نلقي نظرة على كلاسيكيات هذا النوع:

مثال 5

أوجد التكامل غير المحدد

يوجد مربع ذو حدين تحت الجذر ، وعند محاولة دمج هذا المثال ، يمكن أن يعاني إبريق الشاي لساعات. يتم أخذ هذا التكامل بالأجزاء ويختزل لنفسه. من حيث المبدأ ، ليس من الصعب. إذا كنت تعرف كيف.

دعونا نشير إلى التكامل المدروس بحرف لاتيني ونبدأ الحل:

التكامل بالأجزاء:

(1) نقوم بإعداد التكامل والتقسيم على أساس كل مصطلح على حدة.

(2) نقسم التكامل والمصطلح حسب المصطلح. ربما لا يفهم الجميع ، سأكتب بمزيد من التفصيل:

(3) نستخدم خاصية الخطية للتكامل غير المحدد.

(4) نأخذ التكامل الأخير (لوغاريتم طويل).

الآن دعونا نلقي نظرة على بداية الحل:

وللنهاية:

ماذا حدث؟ نتيجة لتلاعباتنا ، فقد اختزل التكامل في نفسه!

يساوي البداية والنهاية:

ننتقل إلى الجانب الأيسر مع تغيير العلامة:

ونقوم بهدم الشيطان إلى الجانب الأيمن. نتيجة ل:

كان يجب إضافة الثابت ، بالمعنى الدقيق للكلمة ، في وقت سابق ، لكنني أضفته في النهاية. أوصي بشدة بقراءة ما هي الخطورة هنا:

ملحوظة: بشكل أكثر دقة ، تبدو المرحلة النهائية من الحل كما يلي:

في هذا الطريق:

يمكن إعادة تسمية الثابت بـ. لماذا يمكنك إعادة تسمية؟ لأنه لا يزال يتطلب أيالقيم ، وبهذا المعنى لا فرق بين الثوابت و.
نتيجة ل:

حيلة مماثلة مع إعادة تسمية ثابتة تستخدم على نطاق واسع في المعادلات التفاضلية . وهناك سأكون صارما. وهنا أسمح بمثل هذه الحريات فقط من أجل عدم الخلط بينك وبين الأشياء غير الضرورية والتركيز على طريقة التكامل ذاتها.

مثال 6

أوجد التكامل غير المحدد

تكامل نموذجي آخر للحل المستقل. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس. سيكون الاختلاف مع إجابة المثال السابق!

إذا كان هناك مربع ثلاثي الحدود تحت الجذر التربيعي ، فإن الحل في أي حال يختزل إلى المثالين اللذين تم تحليلهما.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك التكامل . كل ما عليك القيام به هو مقدما حدد مربعًا كاملاً :
.
بعد ذلك ، يتم تنفيذ الاستبدال الخطي ، والذي يدير "دون أي عواقب":
، مما أدى إلى تكامل. شيء مألوف ، أليس كذلك؟

أو هذا المثال ذو الحدين المربع:
اختيار مربع كامل:
وبعد الاستبدال الخطي ، نحصل على التكامل ، والذي يتم حله أيضًا بواسطة الخوارزمية المدروسة بالفعل.

ضع في اعتبارك مثالين نموذجيين آخرين لكيفية تقليل جزء لا يتجزأ من نفسه:
هو تكامل الأس مضروبًا في الجيب ؛
هو تكامل الأس مضروبًا في جيب التمام.

في التكاملات المدرجة حسب الأجزاء ، سيتعين عليك التكامل مرتين بالفعل:

مثال 7

أوجد التكامل غير المحدد

التكامل هو الأس مضروبًا في الجيب.

نتكامل بالأجزاء مرتين ونختصر التكامل في نفسه:

نتيجة التكامل المزدوج بالأجزاء ، يتم تقليل التكامل إلى نفسه. يساوي بداية الحل ونهايته:

ننتقل إلى الجانب الأيسر مع تغيير العلامة ونعبر عن تكاملنا:

مستعد. على طول الطريق ، من المستحسن تمشيط الجانب الأيمن ، أي خذ الأس من الأقواس وضع الجيب وجيب التمام بين قوسين في ترتيب "جميل".

لنعد الآن إلى بداية المثال ، أو بالأحرى إلى التكامل بالأجزاء:

لأننا عيّننا العارض. السؤال الذي يطرح نفسه ، هو الأس الذي يجب أن يُرمز إليه دائمًا؟ ليس من الضروري. في الواقع ، في يعتبر لا يتجزأ جوهريا لا فرق، ما الذي يجب الإشارة إليه ، يمكن للمرء أن يسير في الاتجاه الآخر:

لماذا هذا ممكن؟ نظرًا لأن الأس يتحول إلى نفسه (عند التفريق والدمج) ، يتحول الجيب وجيب التمام بشكل متبادل (مرة أخرى ، عند التفريق والدمج).

أي أنه يمكن الإشارة إلى الدالة المثلثية أيضًا. لكن ، في المثال المدروس ، هذا أقل عقلانية ، حيث ستظهر الكسور. إذا كنت ترغب في ذلك ، يمكنك محاولة حل هذا المثال بالطريقة الثانية ، يجب أن تكون الإجابات هي نفسها.

المثال 8

أوجد التكامل غير المحدد

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". قبل أن تقرر ، فكر في ما هو أكثر ربحية في هذه الحالة لتعيينه للدالة الأسية أو المثلثية؟ الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

وبالطبع ، لا تنس أن معظم الإجابات في هذا الدرس يسهل التحقق منها عن طريق التفاضل!

لم تعتبر الأمثلة ليست الأصعب. في الممارسة العملية ، تكون التكاملات أكثر شيوعًا ، حيث يكون الثابت في كل من الأس وفي وسيطة الدالة المثلثية ، على سبيل المثال:. سيتعين على الكثير من الناس الخلط في مثل هذا التكامل ، وغالبًا ما أشعر بالارتباك. الحقيقة هي أنه في الحل هناك احتمال كبير لظهور الكسور ، ومن السهل جدًا فقد شيء بسبب عدم الانتباه. بالإضافة إلى ذلك ، هناك احتمال كبير للخطأ في العلامات ، لاحظ أن هناك علامة ناقص في الأس ، وهذا يؤدي إلى صعوبة إضافية.

في المرحلة النهائية ، غالبًا ما يتضح شيء مثل هذا:

حتى في نهاية الحل ، يجب أن تكون حذرًا للغاية وأن تتعامل بشكل صحيح مع الكسور:

تكامل الكسور المعقدة

نقترب ببطء من خط الاستواء في الدرس ونبدأ في النظر في تكاملات الكسور. مرة أخرى ، ليست جميعها معقدة للغاية ، فقط لسبب أو لآخر ، كانت الأمثلة "خارج الموضوع" قليلاً في مقالات أخرى.

استمرار موضوع الجذور

المثال 9

أوجد التكامل غير المحدد

في المقام تحت الجذر يوجد مربع ثلاثي الحدود زائد خارج الجذر "الملحق" على شكل "x". يتم حل جزء لا يتجزأ من هذه الصورة باستخدام تعويض قياسي.

نحن نقرر:

الاستبدال هنا بسيط:

النظر إلى الحياة بعد الاستبدال:

(1) بعد التعويض ، نختزل الحدود الموجودة تحت الجذر إلى قاسم مشترك.
(2) نخرجه من تحت الجذر.
(3) نختزل البسط والمقام بمقدار. في نفس الوقت ، تحت الجذر ، قمت بإعادة ترتيب الشروط بترتيب مناسب. مع بعض الخبرة ، يمكن تخطي الخطوتين (1) و (2) عن طريق تنفيذ الإجراءات المعلقة شفهياً.
(4) التكامل الناتج كما تتذكر من الدرس تكامل بعض الكسور ، حلت طريقة اختيار المربع الكامل. حدد مربعًا كاملاً.
(5) بالتكامل نحصل على لوغاريتم عادي "طويل".
(6) نقوم بعملية الاستبدال العكسي. إذا في البداية ، ثم العودة:.
(7) يهدف الإجراء النهائي إلى تصفيف النتيجة: تحت الجذر ، نعيد المصطلحات مرة أخرى إلى قاسم مشترك ونخرجها من تحت الجذر.

المثال 10

أوجد التكامل غير المحدد

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". هنا ، يضاف ثابت إلى الحرف x ، والاستبدال هو نفسه تقريبًا:

الشيء الوحيد الذي يجب القيام به بالإضافة إلى ذلك هو التعبير عن "x" من البديل:

الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

في بعض الأحيان في مثل هذا التكامل ، قد يكون هناك مربع ذو حدين تحت الجذر ، وهذا لا يغير طريقة حل الحل ، بل سيكون أبسط. تشعر الفرق:

المثال 11

أوجد التكامل غير المحدد

المثال 12

أوجد التكامل غير المحدد

حلول وإجابات موجزة في نهاية الدرس. وتجدر الإشارة إلى أن المثال 11 هو بالضبط التكامل ذو الحدين، طريقة الحل التي تم النظر فيها في الدرس تكاملات الدوال اللاعقلانية .

لا يتجزأ من كثير الحدود غير قابل للتحلل من الدرجة الثانية إلى الدرجة

(كثير الحدود في المقام)

نادر ، ولكنه ، مع ذلك ، يحدث في الأمثلة العملية على شكل التكامل.

المثال 13

أوجد التكامل غير المحدد

لكن دعنا نعود إلى المثال برقم الحظ 13 (بصراحة ، لم أخمن). هذا التكامل هو أيضًا من فئة أولئك الذين يمكن أن تعاني معهم إلى حد كبير إذا كنت لا تعرف كيفية حلها.

يبدأ الحل بتحول اصطناعي:

أعتقد أن الجميع يفهم بالفعل كيفية قسمة البسط على حد المقام على حد.

يتم أخذ التكامل الناتج في أجزاء:

للحصول على جزء لا يتجزأ من النموذج (هو رقم طبيعي) ، قمنا بالاشتقاق متكررصيغة التخفيض:
، أين هو جزء لا يتجزأ من درجة أقل.

دعونا نتحقق من صحة هذه الصيغة للتكامل الذي تم حله.
في هذه الحالة: ، نستخدم الصيغة:

كما ترى ، الإجابات هي نفسها.

المثال 14

أوجد التكامل غير المحدد

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". يستخدم حل العينة الصيغة المذكورة أعلاه مرتين على التوالي.

إذا كانت تحت الدرجة غير قابل للتحللثلاثي الحدود المربع ، ثم يتم تقليل الحل إلى ذي الحدين عن طريق استخراج المربع الكامل ، على سبيل المثال:

ماذا لو كان هناك كثير حدود إضافي في البسط؟ في هذه الحالة ، يتم استخدام طريقة المعاملات غير المحددة ، ويتم توسيع معامل التكامل إلى مجموع الكسور. لكن في ممارستي لمثل هذا المثال لم نتقابل مطلقا، لذلك تخطيت هذه الحالة في المقالة تكاملات دالة كسرية عقلانية ، سأتخطاه الآن. في حالة استمرار حدوث مثل هذا التكامل ، راجع الكتاب المدرسي - كل شيء بسيط هناك. لا أعتبر أنه من المناسب تضمين مادة (حتى بسيطة) ، فإن احتمال الاجتماع يميل إلى الصفر.

تكامل الدوال المثلثية المعقدة

مرة أخرى ، صفة "صعب" لمعظم الأمثلة مشروطة إلى حد كبير. لنبدأ بالظلال والظل في القوى العليا. من وجهة نظر الطرق المستخدمة في حل الظل والظل هي نفسها تقريبًا ، لذلك سأتحدث أكثر عن الظل ، مما يعني أن الطريقة الموضحة لحل التكامل صالحة لـ cotangent أيضًا.

في الدرس أعلاه ، نظرنا إلى استبدال عالمي مثلثيلحل نوع معين من تكاملات الدوال المثلثية. عيب الاستبدال المثلثي العام هو أن تطبيقه غالبًا ما يؤدي إلى تكاملات مرهقة مع حسابات صعبة. وفي بعض الحالات ، يمكن تجنب الاستبدال العام المثلثي!

تأمل مثالًا قانونيًا آخر ، تكامل الوحدة مقسومًا على الجيب:

المثال 17

أوجد التكامل غير المحدد

يمكنك هنا استخدام التعويض المثلثي العام والحصول على الإجابة ، ولكن هناك طريقة أكثر منطقية. سأقدم حلاً كاملاً مع التعليقات لكل خطوة:

(1) نستخدم الصيغة المثلثية لجيب الزاوية المزدوجة.
(2) نقوم بإجراء تحول اصطناعي: في المقام نقسم ونضرب في.
(3) طبقًا للصيغة المعروفة في المقام ، فإننا نحول الكسر إلى ظل.
(4) نضع الوظيفة تحت علامة التفاضل.
(5) نأخذ التكامل.

زوجان من الأمثلة البسيطة لحلها بنفسك:

المثال 18

أوجد التكامل غير المحدد

تلميح: الخطوة الأولى هي استخدام صيغة التخفيض وتنفيذ إجراءات مشابهة للمثال السابق بعناية.

المثال 19

أوجد التكامل غير المحدد

حسنًا ، هذا مثال بسيط جدًا.

حلول كاملة وإجابات في نهاية الدرس.

أعتقد الآن أنه لن يواجه أي شخص مشاكل مع التكاملات:
إلخ.

ما هي الفكرة من وراء هذه الطريقة؟ الفكرة هي استخدام التحويلات والصيغ المثلثية لتنظيم الظل فقط ومشتق الظل في التكامل. أي أننا نتحدث عن استبدال: . في الأمثلة 17-19 ، استخدمنا هذا التعويض بالفعل ، لكن التكاملات كانت بسيطة جدًا بحيث تم إجراؤها بالإجراء المكافئ - جلب الوظيفة تحت علامة التفاضل.

يمكن إجراء تفكير مماثل ، كما ذكرت سابقًا ، من أجل ظل التمام.

هناك أيضًا شرط مسبق رسمي لتطبيق البديل أعلاه:

مجموع قوى جيب التمام والجيب هو عدد صحيح سالب حتى رقم، فمثلا:

للحصول على رقم صحيح سالب حتى رقم EVEN.

! ملحوظة : إذا احتوى التكامل على شرط فقط أو جيب التمام فقط ، فسيتم أخذ التكامل حتى مع وجود درجة فردية سالبة (أبسط الحالات موجودة في الأمثلة رقم 17 ، 18).

ضع في اعتبارك مهمتين أكثر أهمية لهذه القاعدة:

المثال 20

أوجد التكامل غير المحدد

مجموع درجات الجيب وجيب التمام: 2-6 \ u003d -4 - عدد صحيح سالب حتى رقم EVEN ، مما يعني أنه يمكن اختزال التكامل إلى الظل ومشتقاته:

(1) لنحول المقام.
(2) حسب الصيغة المعروفة نحصل عليها.
(3) لنحول المقام.
(4) نستخدم الصيغة .
(5) نحضر الوظيفة تحت علامة التفاضل.
(6) نقوم بعملية الاستبدال. قد لا يقوم الطلاب الأكثر خبرة بالاستبدال ، ولكن لا يزال من الأفضل استبدال الظل بحرف واحد - فهناك خطر أقل للارتباك.

المثال 21

أوجد التكامل غير المحدد

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك".

انتظر ، تبدأ جولات البطولة =)

غالبًا ما يوجد في Integrand "hodgepodge":

المثال 22

أوجد التكامل غير المحدد

يحتوي هذا التكامل في البداية على الظل ، والذي يؤدي على الفور إلى فكرة مألوفة:

سأترك التحول الاصطناعي في البداية وبقية الخطوات بدون تعليق ، حيث سبق أن قيل كل شيء أعلاه.

زوجان من الأمثلة الإبداعية لحل مستقل:

المثال 23

أوجد التكامل غير المحدد

المثال 24

أوجد التكامل غير المحدد

نعم ، بالطبع ، يمكنك خفض درجات الجيب وجيب التمام واستخدام الاستبدال المثلثي العام ، لكن الحل سيكون أكثر كفاءة وأقصر بكثير إذا تم رسمه من خلال الظل. الحل الكامل والإجابات في نهاية الدرس

التكاملات الرئيسية التي يجب على كل طالب معرفتها

التكاملات المدرجة هي الأساس وأساس الأسس. هذه الصيغ ، بالطبع ، يجب تذكرها. عند حساب تكاملات أكثر تعقيدًا ، سيتعين عليك استخدامها باستمرار.

انتبه بشكل خاص للصيغ (5) و (7) و (9) و (12) و (13) و (17) و (19). لا تنس إضافة ثابت عشوائي C للإجابة عند الدمج!

لا يتجزأ من ثابت

∫ أ د س = أ س + ج (1)

تكامل وظيفة الطاقة

في الواقع ، يمكن للمرء أن يقصر نفسه على الصيغتين (5) و (7) ، لكن باقي التكاملات من هذه المجموعة شائعة جدًا لدرجة أنه يستحق الاهتمام بها قليلاً.

∫ س د س = س 2 2 + ج (2)
∫ س 2 د س = س 3 3 + ج (3)
∫ 1 س د س = 2 س + ج (4)
∫ 1 x د x = سجل | x | + C (5)
∫ 1 × 2 د × = - 1 × + ج (6)
∫ س ن د س = س ن + 1 ن + 1 + ج (ن ≠ - 1) (7)

تكاملات الدالة الأسية والوظائف الزائدية

بالطبع ، يمكن اعتبار الصيغة (8) (ربما الأكثر ملاءمة للتذكر) كحالة خاصة للصيغة (9). الصيغتان (10) و (11) لتكاملات الجيب الزائدي وجيب التمام الزائدي مشتقة بسهولة من الصيغة (8) ، ولكن من الأفضل فقط تذكر هذه العلاقات.

∫ ه س د س = ه س + ج (8)
∫ أ س د س = أ س سجل أ + ج (أ> 0 ، أ ≠ 1) (9)
∫ ث ح س د س = ج ح س + ج (10)
∫ ج ح س د س = ث ح س + ج (11)

التكاملات الأساسية للدوال المثلثية

خطأ يرتكبه الطلاب غالبًا: يخلطون بين الإشارات في الصيغتين (12) و (13). بتذكر أن مشتق الجيب يساوي جيب التمام ، يعتقد الكثير من الناس ، لسبب ما ، أن تكامل دالة sinx يساوي cosx. هذا ليس صحيحا! تكامل الجيب هو "ناقص جيب التمام" ، لكن تكامل جيب التمام هو "الجيب فقط":

∫ sin x d x = - cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = - c t g x + C (15)

اختزال التكاملات إلى الدوال المثلثية المعكوسة

الصيغة (16) ، التي تؤدي إلى قوس الظل ، هي بطبيعة الحال حالة خاصة من الصيغة (17) لـ a = 1. وبالمثل ، فإن (18) حالة خاصة لـ (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin x + C = - arccos x + C (18)
∫ 1 أ 2 - س 2 د س = قوسين س أ + ج = - أركوس س أ + ج (أ> 0) (19)

تكاملات أكثر تعقيدًا

من المستحسن أيضًا تذكر هذه الصيغ. يتم استخدامها أيضًا في كثير من الأحيان ، ويكون ناتجها مملاً إلى حد ما.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | + C (20)
∫ 1 x 2 - a 2 d x = ln | س + س 2 - أ 2 | + C (21)
∫ أ 2 - س 2 د س = س 2 أ 2 - س 2 + أ 2 2 أركسين س أ + ج (أ> 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (أ> 0) (23)
∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | س + س 2 - أ 2 | + C (أ> 0) (24)

قواعد التكامل العامة

1) تكامل مجموع وظيفتين يساوي مجموع التكاملات المقابلة: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + g (x) d x (25)

2) تكامل الفرق بين وظيفتين يساوي فرق التكاملات المقابلة: ∫ (f (x) - g (x)) d x = ∫ f (x) d x - ∫ g (x) d x (26)

3) يمكن إخراج الثابت من علامة التكامل: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

من السهل ملاحظة أن الخاصية (26) هي ببساطة مزيج من الخصائص (25) و (27).

4) تكامل دالة معقدة إذا كانت الوظيفة الداخلية خطية: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

هنا F (x) هي المشتق العكسي للدالة f (x). لاحظ أن هذه الصيغة تعمل فقط عندما تكون الوظيفة الداخلية هي Ax + B.

هام: لا توجد صيغة عالمية لتكامل حاصل ضرب وظيفتين ، وكذلك لتكامل الكسر:

∫ و (س) ز ​​(س) د س =؟ ∫ و (س) ز ​​(س) د س =؟ (ثلاثون)

هذا لا يعني ، بالطبع ، أنه لا يمكن دمج جزء أو منتج. كل ما في الأمر أنه في كل مرة ترى فيها جزءًا لا يتجزأ مثل (30) ، عليك أن تبتكر طريقة "للقتال" معه. في بعض الحالات ، سيساعدك التكامل حسب الأجزاء ، في مكان ما سيكون عليك إجراء تغيير في المتغير ، وفي بعض الأحيان يمكن أن تساعدك الصيغ "المدرسية" في الجبر أو علم المثلثات.

مثال بسيط لحساب التكامل غير المحدد

مثال 1. أوجد التكامل: ∫ (3 x 2 + 2 sin x - 7 e x + 12) d x

نستخدم الصيغتين (25) و (26) (تكامل مجموع أو فرق الدوال يساوي مجموع أو فرق التكاملات المقابلة. نحصل على: ∫ 3 x 2 dx + ∫ 2 sin xdx - ∫ 7 exdx + ∫ 12 ديكس

تذكر أنه يمكن إخراج الثابت من علامة التكامل (الصيغة (27)). يتم تحويل التعبير إلى النموذج

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x - 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

لنستخدم الآن جدول التكاملات الأساسية. سنحتاج إلى تطبيق الصيغ (3) و (12) و (8) و (1). دعنا ندمج دالة القوة ، الجيب ، الأس والثابت 1. لا تنس إضافة ثابت عشوائي C في النهاية:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

بعد التحولات الأولية ، نحصل على الإجابة النهائية:

X 3-2 كوس س - 7 ه س + 12 س + ج

اختبر نفسك باستخدام التفاضل: خذ مشتق الدالة الناتجة وتأكد من أنها تساوي التكامل الأصلي.

جدول ملخص التكاملات

∫ أ د س = أ س + ج

∫ س د س = س 2 2 + ج

∫ س 2 د س = س 3 3 + ج

∫ 1 س د س = 2 س + ج

∫ 1 x د x = سجل | x | + ج

∫ 1 × 2 د × = - 1 × + ج

∫ س ن د س = س ن + 1 ن + 1 + ج (ن ≠ - 1)

∫ ه س د س = ه س + ج

∫ أ س د س = أ س ln أ + ج (أ> 0 ، أ ≠ 1)

∫ ث س د س = ج ح س + ج

∫ ج ح س د س = ث ح س + ج

∫ sin x d x = - cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = - c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin x + C = - arccos x + C

∫ 1 أ 2 - س 2 د س = قوسين س أ + ج = - أركوس س أ + ج (أ> 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | + ج

∫ 1 x 2 - a 2 d x = ln | س + س 2 - أ 2 | + ج

∫ أ 2 - س 2 د س = س 2 أ 2 - س 2 + أ 2 2 أركسين س أ + ج (أ> 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (أ> 0)

∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | س + س 2 - أ 2 | + C (أ> 0)

قم بتنزيل جدول التكاملات (الجزء الثاني) من هذا الرابط

إذا كنت تدرس في إحدى الجامعات ، إذا كنت تواجه أي صعوبات في الرياضيات العليا (التحليل الرياضي ، الجبر الخطي ، نظرية الاحتمالات ، الإحصاء) ، إذا كنت بحاجة إلى خدمات مدرس مؤهل ، فانتقل إلى صفحة مدرس في الرياضيات العليا. دعونا نحل مشاكلك معا!

قد تكون مهتمًا أيضًا