النقطة هي نقطة عظمى محلية. القيم القصوى والأكبر والأصغر للوظائف

يتم تعريف التغيير في دالة عند نقطة معينة على أنه حد زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة، والتي تميل إلى الصفر. للعثور عليه، استخدم جدول المشتقات. على سبيل المثال، مشتقة الدالة y = x3 ستكون مساوية لـ y' = x2.

قم بمساواة هذه المشتقة بالصفر (في هذه الحالة x2=0).

أوجد قيمة المتغير المعطى. ستكون هذه هي القيم التي يساوي عندها المشتق المحدد 0. للقيام بذلك، استبدل أرقامًا عشوائية في التعبير بدلاً من x، حيث يصبح التعبير بأكمله صفرًا. على سبيل المثال:

2-2x2= 0
(1-س)(1+س) = 0
س1= 1، س2 = -1

قم برسم القيم التي تم الحصول عليها على خط الإحداثيات وحساب إشارة المشتق لكل من القيم التي تم الحصول عليها. يتم وضع علامة على النقاط على خط الإحداثيات، والتي تعتبر نقطة الأصل. لحساب القيمة في الفواصل الزمنية، استبدل القيم التعسفية التي تطابق المعايير. على سبيل المثال، بالنسبة للدالة السابقة قبل الفاصل الزمني -1، يمكنك تحديد القيمة -2. للقيم من -1 إلى 1، يمكنك تحديد 0، وللقيم الأكبر من 1، حدد 2. استبدل هذه الأرقام في المشتق واكتشف علامة المشتق. في هذه الحالة، المشتقة مع x = -2 ستكون مساوية لـ -0.24، أي. سالب وستكون هناك علامة ناقص في هذه الفترة. إذا كانت x=0، فستكون القيمة مساوية لـ 2، ويتم وضع علامة على هذا الفاصل الزمني. إذا كانت x=1، فإن المشتقة ستكون أيضًا مساوية لـ -0.24 ويتم وضع علامة ناقص.

إذا قام المشتق، عند المرور عبر نقطة على خط الإحداثيات، بتغيير علامته من ناقص إلى زائد، فهذه نقطة دنيا، وإذا كان من زائد إلى ناقص، فهذه نقطة قصوى.

فيديو حول الموضوع

نصيحة مفيدة

للعثور على المشتقة، هناك خدمات عبر الإنترنت تقوم بحساب القيم المطلوبة وعرض النتيجة. في مثل هذه المواقع، يمكنك العثور على مشتقات تصل إلى الدرجة الخامسة.

مصادر:

• إحدى خدمات حساب المشتقات
• أقصى نقطة للوظيفة

تسمى النقاط القصوى للدالة، إلى جانب النقاط الدنيا، بالنقاط القصوى. عند هذه النقاط تغير الوظيفة سلوكها. يتم تحديد القيم القصوى على فترات عددية محدودة وتكون دائمًا محلية.

تعليمات

تسمى عملية إيجاد النقاط القصوى المحلية بالدالة ويتم إجراؤها من خلال تحليل المشتقتين الأولى والثانية للدالة. قبل البدء في الدراسة، تأكد من أن النطاق المحدد لقيم الوسيطات ينتمي إلى القيم الصالحة. على سبيل المثال، بالنسبة للدالة F=1/x، فإن الوسيطة x=0 غير صالحة. أو بالنسبة للدالة Y=tg(x) لا يمكن أن تحتوي الوسيطة على القيمة x=90°.

تأكد من أن الدالة Y قابلة للاشتقاق خلال الفترة الزمنية المحددة بأكملها. أوجد المشتقة الأولى لـ Y." من الواضح أنه قبل الوصول إلى نقطة الحد الأقصى المحلي، تزداد الدالة، وعند المرور بالحد الأقصى تصبح الدالة متناقصة. المشتقة الأولى في المعنى الجسدييصف معدل تغير الوظيفة. وبينما تتزايد الدالة، يكون معدل هذه العملية إيجابيا. عند المرور عبر قيمة عظمى محلية، تبدأ الدالة في التناقص، ويصبح معدل تغير الدالة سالبًا. يحدث انتقال معدل تغير الدالة إلى الصفر عند نقطة الحد الأقصى المحلي.

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. يقولون $f$ لديه الحد الأقصى المحليعند النقطة $x_(0) \in E$، إذا كان هناك حي $U$ للنقطة $x_(0)$ بحيث يكون عدم المساواة $f\left(x\right لجميع $x \in U$ ) \leqslant f راض \left(x_(0)\right)$.

يتم استدعاء الحد الأقصى المحلي حازم ، إذا كان من الممكن اختيار الحي $U$ بحيث يكون لكل $x \in U$ مختلفًا عن $x_(0)$ $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

تعريف
اجعل $f$ دالة حقيقية في المجموعة المفتوحة $E \subset \mathbb(R)^(n)$. يقولون $f$ لديه الحد الأدنى المحليعند النقطة $x_(0) \in E$، إذا كان هناك حي $U$ للنقطة $x_(0)$ بحيث يكون عدم المساواة $f\left(x\right لجميع $x \in U$ ) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

يُطلق على الحد الأدنى المحلي اسم صارم إذا كان من الممكن اختيار الحي $U$ بحيث يكون لكل $x \in U$ مختلفًا عن $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ (0)\يمين)$.

يجمع الحد الأقصى المحلي بين مفهومي الحد الأدنى المحلي والحد الأقصى المحلي.

نظرية ( شرط ضروريأقصى الدالة التفاضلية)
اجعل $f$ دالة حقيقية في المجموعة المفتوحة $E \subset \mathbb(R)^(n)$. إذا كانت الدالة $f$ عند النقطة $x_(0) \in E$ لها حد أقصى محلي عند هذه النقطة، فإن $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ يساوي صفر التفاضل يعادل حقيقة أن الكل يساوي صفر، أي. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

في الحالة أحادية البعد يكون - . دعونا نشير إلى $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$، حيث $h$ هو متجه عشوائي. يتم تعريف الدالة $\phi$ لقيم $t$ التي تكون صغيرة بدرجة كافية من حيث القيمة المطلقة. بالإضافة إلى ذلك، فيما يتعلق بـ ، فهو قابل للتمييز، و $(\phi)' \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
افترض أن $f$ له حد أقصى محلي عند النقطة x $0$. هذا يعني أن الدالة $\phi$ عند $t = 0$ لها حد أقصى محلي، ووفقًا لنظرية فيرما، $(\phi)' \left(0\right)=0$.
إذن، حصلنا على $df \left(x_(0)\right) = 0$، أي. الدالة $f$ عند النقطة $x_(0)$ تساوي الصفر على أي متجه $h$.

تعريف
النقاط التي يكون فيها الفرق صفراً، أي. تلك التي تكون فيها جميع المشتقات الجزئية تساوي الصفر تسمى ثابتة. النقاط الحرجةالوظائف $f$ هي تلك النقاط التي يكون فيها $f$ غير قابل للاشتقاق أو يساوي الصفر. إذا كانت النقطة ثابتة، فلا يترتب على ذلك أن الدالة لها حد أقصى عند هذه النقطة.

مثال 1.
دع $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. ثم $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$، لذا فإن $\left(0,0\right)$ هي نقطة ثابتة، لكن الدالة ليس لها حد أقصى عند هذه النقطة. في الواقع، $f \left(0,0\right) = 0$، ولكن من السهل أن نرى أنه في أي جوار للنقطة $\left(0,0\right)$ تأخذ الدالة قيمًا موجبة وسالبة.

مثال 2.
الدالة $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ لها نقطة ثابتة عند أصلها، لكن من الواضح أنه لا يوجد حد أقصى عند هذه النقطة.

نظرية (شرط كاف للأقصى).
دع الدالة $f$ تكون قابلة للتمييز مرتين بشكل مستمر في المجموعة المفتوحة $E \subset \mathbb(R)^(n)$. اجعل $x_(0) \in E$ نقطة ثابتة و$$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1) ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ ثم

1. إذا كان $Q_(x_(0))$ –، فإن الدالة $f$ عند النقطة $x_(0)$ لها حد أقصى محلي، أي حد أدنى إذا كان النموذج موجبًا محددًا، وحدًا أقصى إذا كان النموذج سلبي محدد؛
2. إذا كانت الصيغة التربيعية $Q_(x_(0))$ غير محددة، فإن الدالة $f$ عند النقطة $x_(0)$ ليس لها حد أقصى.

لنستخدم التوسيع وفقًا لصيغة تايلور (12.7 ص 292). بالنظر إلى أن المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى عند النقطة $x_(0)$ تساوي الصفر، نحصل على $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ right) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\جزئي x_(i) \جزئي x_ (ي)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ حيث $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$، و $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ لـ $h \rightarrow 0$، فإن الجانب الأيمن سيكون موجبًا لأي متجه $h$ بطول صغير بما فيه الكفاية.
لذلك، توصلنا إلى نتيجة مفادها أنه في منطقة معينة من النقطة $x_(0)$ فإن عدم المساواة $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ تظل ثابتة إذا كانت $ فقط x \neq x_ (0)$ (نضع $x=x_(0)+h$\right). هذا يعني أنه عند النقطة $x_(0)$، يكون للدالة قيمة صغرى محلية صارمة، وبالتالي تم إثبات الجزء الأول من نظريتنا.
لنفترض الآن أن $Q_(x_(0))$ هو صيغة غير محددة. ثم هناك المتجهات $h_(1)$, $h_(2)$ مثل $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 دولار. ثم نحصل على $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ بالنسبة لـ $t>0$ الصغيرة بما فيه الكفاية، اليد اليمنى الجانب إيجابي. هذا يعني أنه في أي حي من النقطة $x_(0)$، تأخذ الدالة $f$ قيم $f \left(x\right)$ أكبر من $f \left(x_(0)\right)$.
وبالمثل، نجد أنه في أي حي من النقطة $x_(0)$، تأخذ الدالة $f$ قيمًا أقل من $f \left(x_(0)\right)$. هذا، بالإضافة إلى السابق، يعني أنه عند النقطة $x_(0)$، لا تحتوي الدالة $f$ على حد أقصى.

دعونا نفكر حالة خاصةمن هذه النظرية للدالة $f \left(x,y\right)$ لمتغيرين محددين في حي معين للنقطة $\left(x_(0),y_(0)\right)$ ولها جزئية مستمرة مشتقات الأول في هذا الحي والأوامر الثانية. افترض أن $\left(x_(0),y_(0)\right)$ هي نقطة ثابتة وتشير إلى $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) ), y_(0)\يمين), a_(22)=\frac(\جزئي^(2) f)(\جزئي y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\يمين ) .$$ ثم تأخذ النظرية السابقة الشكل التالي.

نظرية
دع $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. ثم:

1. إذا كان $\Delta>0$، فإن الدالة $f$ لها حد أقصى محلي عند النقطة $\left(x_(0),y_(0)\right)$، أي الحد الأدنى إذا $a_(11)> 0$ والحد الأقصى إذا كان $a_(11)<0$;
2. إذا $\دلتا<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

أمثلة على حل المشكلات

خوارزمية لإيجاد الحد الأقصى لدالة العديد من المتغيرات:

1. العثور على نقاط ثابتة.
2. ابحث عن فرق الدرجة الثانية في جميع النقاط الثابتة
3. باستخدام الشرط الكافي لأقصى دالة ذات العديد من المتغيرات، فإننا نعتبر التفاضل من الدرجة الثانية عند كل نقطة ثابتة

1. تحقق من الدالة لـ extremum $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   حل

   دعونا نوجد المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) - 6 \cdot x.$$ لنؤلف ونحل النظام: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(cases)$$ من المعادلة الثانية نعبر عن $x=4 \cdot y^(2)$ - نعوض به في المعادلة الأولى: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ ونتيجة لذلك، يتم الحصول على نقطتين ثابتتين:
   1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   دعونا نتحقق مما إذا كان الشرط الكافي للأقصى قد تم استيفاءه:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\جزئي^(2) f)(\جزئي x \جزئي y)=-6; \frac(\جزئي^(2) f)(\جزئي y^(2))=48 \cdot y$$
   1) بالنسبة للنقطة $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\جزئي^(2) f)(\جزئي y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) بالنسبة للنقطة $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\جزئي^(2) f)(\جزئي y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$، مما يعني أنه عند النقطة $M_(2)$ يوجد حد أقصى، وبما أن $A_(2)> 0 دولار، فهذا هو الحد الأدنى.
   الإجابة: النقطة $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ هي النقطة الدنيا للدالة $f$.
   

2. تحقق من وظيفة الحد الأقصى $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   حل

   دعونا نجد النقاط الثابتة: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   دعونا نؤلف النظام ونحله: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) ) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(cases) \Rightarrow x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ هي نقطة ثابتة.
   دعونا نتحقق من استيفاء الشرط الكافي للحد الأقصى: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\جزئي y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   الجواب: لا يوجد تطرف.
   

الحد الزمني: 0

التنقل (أرقام الوظائف فقط)

0 من 4 المهام المكتملة

معلومة

قم بإجراء هذا الاختبار لاختبار معرفتك بالموضوع الذي قرأته للتو: الحدود القصوى المحلية لوظائف المتغيرات المتعددة.

لقد أجريت الاختبار بالفعل من قبل. لا يمكنك البدء مرة أخرى.

جاري التحميل التجريبي...

يجب عليك تسجيل الدخول أو التسجيل لتبدأ الاختبار.

يجب عليك إكمال الاختبارات التالية لبدء هذا الاختبار:

نتائج

الإجابات الصحيحة: 0 من 4

وقتك:

انتهى الوقت

لقد حصلت على 0 من 0 نقطة (0)

لقد تم تسجيل نتيجتك على لوحة المتصدرين

1. مع الجواب
2. مع علامة المشاهدة

المهمة 1 من 4

1 .

عدد النقاط: 1

التحقق من الدالة $f$ للنقاط القصوى: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

يمين


خطأ


1. المهمة 2 من 4

   2 .

   عدد النقاط: 1

   هل الدالة $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ لها حد أقصى

النقطة القصوى للدالة هي النقطة في مجال تعريف الدالة التي تأخذ فيها قيمة الدالة قيمة دنيا أو قصوى. تسمى قيم الوظيفة عند هذه النقاط الحدود القصوى (الحد الأدنى والحد الأقصى) للوظيفة.

تعريف. نقطة س1 مجال الوظيفة و(س) يسمى أقصى نقطة للوظيفة ، إذا كانت قيمة الدالة عند هذه النقطة أكبر من قيم الدالة عند نقاط قريبة بدرجة كافية منها، وتقع على يمينها ويسارها (أي أن التباين يحمل و(س0 ) > و(س 0 + Δ س) س1 الحد الأقصى.

تعريف. نقطة س2 مجال الوظيفة و(س) يسمى النقطة الدنيا للوظيفة، إذا كانت قيمة الدالة عند هذه النقطة أقل من قيم الدالة عند نقاط قريبة بدرجة كافية منها، وتقع على يمينها ويسارها (أي أن التباين يحمل و(س0 ) < و(س 0 + Δ س) ). في هذه الحالة نقول أن الدالة عند هذه النقطة س2 الحد الأدنى.

دعنا نقول نقطة س1 - النقطة القصوى للوظيفة و(س) . ثم في الفاصل الزمني حتى س1 تزيد الوظيفة، وبالتالي فإن مشتقة الدالة أكبر من الصفر ( و "(س) > 0)، وفي الفاصل الزمني بعد ذلك س1 تنخفض الدالة وبالتالي مشتق من وظيفةأقل من الصفر ( و "(س) < 0 ). Тогда в точке س1

دعونا نفترض أيضا أن هذه النقطة س2 - النقطة الدنيا للوظيفة و(س) . ثم في الفاصل الزمني حتى س2 الدالة تتناقص، ومشتقة الدالة أقل من الصفر ( و "(س) < 0 ), а в интервале после س2 الدالة متزايدة، ومشتقة الدالة أكبر من الصفر ( و "(س)> 0). في هذه الحالة أيضا عند هذه النقطة س2 مشتقة الدالة صفر أو غير موجودة.

نظرية فيرما (علامة ضرورية على وجود الحد الأقصى للدالة). إذا كانت النقطة س0 - النقطة القصوى للوظيفة و(س) ، عند هذه النقطة يكون مشتق الدالة يساوي صفر ( و "(س) = 0) أو غير موجود.

تعريف. تسمى النقاط التي يكون فيها مشتق الدالة صفراً أو غير موجود النقاط الحرجة .

مثال 1.دعونا نفكر في الوظيفة.

عند هذه النقطة س= 0 مشتقة الدالة هي صفر، وبالتالي النقطة س= 0 هي النقطة الحرجة. ومع ذلك، كما يمكن أن نرى في الرسم البياني للدالة، فإنه يزيد في جميع أنحاء مجال التعريف بأكمله، وبالتالي فإن النقطة س= 0 ليست النقطة القصوى لهذه الدالة.

وبالتالي فإن شروط أن تكون مشتقة الدالة عند نقطة ما تساوي صفراً أو غير موجودة هي شروط ضرورية لحد أقصى، ولكنها غير كافية، إذ يمكن إعطاء أمثلة أخرى لدوال تتوفر فيها هذه الشروط، ولكن الدالة لا يوجد حد أقصى عند النقطة المقابلة. لهذا السبب يجب أن يكون هناك أدلة كافية، مما يسمح للمرء بالحكم على ما إذا كان هناك حد متطرف عند نقطة حرجة معينة ونوع الحد الأقصى هو - الحد الأقصى أو الحد الأدنى.

النظرية (أول علامة كافية على وجود الحد الأقصى للدالة).نقطة حرجة س0 و(س) إذا تغيرت إشارة مشتق الدالة عند المرور بهذه النقطة، وإذا تغيرت الإشارة من "زائد" إلى "ناقص"، فهي نقطة عظمى، وإذا كانت من "ناقص" إلى "زائد"، إذن إنها نقطة الحد الأدنى.

إذا كان بالقرب من هذه النقطة س0 ، إلى اليسار واليمين منه، يحتفظ المشتق بعلامته، وهذا يعني أن الدالة إما تتناقص فقط أو تزيد فقط في منطقة معينة من النقطة س0 . في هذه الحالة، عند هذه النقطة س0 ليس هناك المدقع.

لذا، لتحديد النقاط القصوى للوظيفة، عليك القيام بما يلي :

1. أوجد مشتقة الدالة.
2. مساواة المشتقة بالصفر وتحديد النقاط الحرجة.
3. حدد النقاط الحرجة على خط الأعداد عقليًا أو على الورق وحدد علامات مشتق الدالة في الفترات الزمنية الناتجة. إذا تغيرت إشارة المشتقة من "موجب" إلى "ناقص"، فإن النقطة الحرجة هي النقطة القصوى، وإذا كانت من "ناقص" إلى "موجب"، فإن النقطة الحرجة هي النقطة الصغرى.
4. احسب قيمة الدالة عند النقاط القصوى.

مثال 2.أوجد الحد الأقصى للدالة .

حل. لنجد مشتقة الدالة:

دعونا نساوي المشتقة بالصفر للعثور على النقاط الحرجة:

.

نظرًا لأن أي قيم لـ "x" لا يساوي المقام صفرًا، فإننا نساوي البسط بالصفر:

حصلت على نقطة حرجة واحدة س= 3 . دعونا نحدد إشارة المشتقة في الفترات المحددة بهذه النقطة:

في الفترة من ناقص اللانهاية إلى 3 - علامة ناقص، أي أن الدالة تتناقص،

في الفترة من 3 إلى زائد اللانهاية هناك علامة زائد، أي أن الدالة تزداد.

وهذا هو، الفترة س= 3 هي النقطة الدنيا.

لنجد قيمة الدالة عند النقطة الصغرى:

وبذلك يتم إيجاد النقطة القصوى للدالة: (3؛ 0)، وهي النقطة الصغرى.

النظرية (العلامة الكافية الثانية لوجود الحد الأقصى للدالة).نقطة حرجة س0 هي النقطة القصوى للوظيفة و(س) إذا كان المشتق الثاني للدالة عند هذه النقطة لا يساوي الصفر ( و ""(س) ≠ 0) وإذا كانت المشتقة الثانية أكبر من الصفر ( و ""(س) > 0)، فالنقطة القصوى، وإذا كانت المشتقة الثانية أقل من الصفر ( و ""(س) < 0 ), то точкой минимума.

ملاحظة 1. إذا كان عند هذه النقطة س0 فإذا اختفت المشتقتان الأولى والثانية، فإنه في هذه المرحلة لا يمكن الحكم على وجود الحد الأقصى بناء على المعيار الكافي الثاني. في هذه الحالة، تحتاج إلى استخدام المعيار الكافي الأول للحد الأقصى للدالة.

الملاحظة 2. المعيار الكافي الثاني للحد الأقصى للدالة لا ينطبق حتى عندما لا يكون المشتق الأول موجودًا عند نقطة ثابتة (ثم لا يكون المشتق الثاني موجودًا أيضًا). في هذه الحالة، تحتاج أيضًا إلى استخدام الإشارة الكافية الأولى للقيمة القصوى للدالة.

الطبيعة المحلية للدالة القصوى

يترتب على التعريفات المذكورة أعلاه أن الحد الأقصى للوظيفة محلي بطبيعته - وهو الأكبر و أصغر قيمةوظائف مقارنة بالقيم القريبة.

لنفترض أنك تنظر إلى أرباحك على مدار عام واحد. إذا كسبت 45000 روبل في شهر مايو، وفي أبريل 42000 روبل وفي يونيو 39000 روبل، فإن أرباح شهر مايو هي الحد الأقصى لوظيفة الأرباح مقارنة بالقيم القريبة. لكن في أكتوبر كسبت 71000 روبل، وفي سبتمبر 75000 روبل، وفي نوفمبر 74000 روبل، لذا فإن أرباح شهر أكتوبر هي الحد الأدنى لدالة الأرباح مقارنة بالقيم القريبة. ويمكنك أن ترى بسهولة أن الحد الأقصى بين قيم أبريل ومايو ويونيو أقل من الحد الأدنى لشهر سبتمبر وأكتوبر ونوفمبر.

بشكل عام، يمكن أن يكون للدالة في فترة ما عدة نقاط قصوى، وقد يتبين أن الحد الأدنى للدالة أكبر من أي قيمة عظمى. لذلك، بالنسبة للوظيفة الموضحة في الشكل أعلاه، .

وهذا يعني أنه لا ينبغي للمرء أن يعتقد أن الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة هما، على التوالي، قيمها الأكبر والأصغر في المقطع بأكمله قيد النظر. عند النقطة القصوى تكون للدالة أكبر قيمة فقط بالمقارنة مع تلك القيم التي تكون عند جميع النقاط قريبة بما فيه الكفاية من النقطة القصوى، وعند النقطة الدنيا تكون لها أصغر قيمة فقط بالمقارنة مع تلك القيم ​​​​أنها قريبة بما فيه الكفاية من النقطة الدنيا في جميع النقاط.

لذلك، يمكننا توضيح المفهوم أعلاه للنقاط القصوى للدالة ونسمي الحد الأدنى من النقاط المحلية، والحد الأقصى من النقاط المحلية.

نحن نبحث عن الحد الأقصى للدالة معًا

مثال 3.

الحل: الدالة معرفة ومستمرة على خط الأعداد بأكمله. مشتق منه موجود أيضًا على خط الأعداد بأكمله. لذلك، في هذه الحالة، النقاط الحرجة هي فقط تلك التي، أي. ، من أين و . النقاط الحرجة وتقسيم مجال تعريف الدالة بأكمله إلى ثلاث فترات من الرتابة: . دعونا نختار نقطة تحكم واحدة في كل منها ونجد إشارة المشتقة عند هذه النقطة.

بالنسبة للفاصل الزمني، يمكن أن تكون نقطة التحكم: العثور على. بأخذ نقطة في الفترة نحصل عليها، وبأخذ نقطة في الفترة نحصل عليها. لذلك، في الفترات و ، وفي الفاصل الزمني. وفقًا للمعيار الكافي الأول للحد الأقصى، لا يوجد حد أقصى عند النقطة (نظرًا لأن المشتق يحتفظ بإشارته في الفترة)، وعند هذه النقطة يكون للدالة حد أدنى (نظرًا لأن علامة المشتقة تتغير من ناقص إلى زائد عند المرور من خلال هذه النقطة). لنجد القيم المقابلة للدالة: , a . في هذه الفترة تنخفض الدالة، لأنه في هذه الفترة، وفي هذه الفترة تزيد، لأنه في هذه الفترة.

لتوضيح بناء الرسم البياني نجد نقاط تقاطعه مع محاور الإحداثيات. عندما نحصل على معادلة جذورها و، أي يتم العثور على نقطتين (0؛ 0) و (4؛ 0) من الرسم البياني للدالة. باستخدام جميع المعلومات الواردة، نقوم ببناء رسم بياني (انظر بداية المثال).

مثال 4.أوجد الحد الأقصى للدالة وقم ببناء الرسم البياني الخاص بها.

مجال تعريف الدالة هو خط الأعداد بأكمله، باستثناء النقطة، أي. .

لاختصار الدراسة، يمكنك استخدام حقيقة أن هذه الوظيفة متساوية منذ ذلك الحين . ولذلك، فإن الرسم البياني له متماثل حول المحور أويولا يمكن إجراء الدراسة إلا خلال هذه الفترة.

العثور على المشتقة والنقاط الحرجة للوظيفة:

1) ;

2) ,

لكن الدالة تعاني من انقطاع عند هذه النقطة، لذا لا يمكن أن تكون نقطة متطرفة.

وبالتالي، فإن الدالة المعطاة لها نقطتان حاسمتان: و . مع الأخذ بعين الاعتبار تكافؤ الدالة، سوف نتحقق فقط من النقطة باستخدام المعيار الثاني الكافي للقيمة القصوى. للقيام بذلك، نجد المشتقة الثانية وحدد علامتها في : نحصل . بما أن و، فهي النقطة الدنيا للدالة، و .

للحصول على صورة أكثر اكتمالا للرسم البياني للدالة، دعونا نتعرف على سلوكها عند حدود مجال التعريف:

(هنا يشير الرمز إلى الرغبة سإلى الصفر من اليمين، و سيظل إيجابيا؛ وبالمثل يعني الطموح سإلى الصفر من اليسار، و سيبقى سلبيا). وهكذا إذاً . التالي نجد

,

أولئك. اذا .

الرسم البياني للدالة لا يحتوي على نقاط تقاطع مع المحاور. الصورة في بداية المثال.

نواصل البحث عن القيم القصوى للدالة معًا

مثال 8.أوجد الحد الأقصى للدالة.

حل. دعونا نجد مجال تعريف الوظيفة. بما أنه يجب استيفاء عدم المساواة، نحصل على من .

لنجد المشتقة الأولى للدالة:

دعنا نجد النقاط الحرجة للوظيفة.

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. يقولون $f$ لديه الحد الأقصى المحليعند النقطة $x_(0) \in E$، إذا كان هناك حي $U$ للنقطة $x_(0)$ بحيث يكون عدم المساواة $f\left(x\right لجميع $x \in U$ ) \leqslant f راض \left(x_(0)\right)$.

يتم استدعاء الحد الأقصى المحلي حازم ، إذا كان من الممكن اختيار الحي $U$ بحيث يكون لكل $x \in U$ مختلفًا عن $x_(0)$ $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

تعريف
اجعل $f$ دالة حقيقية في المجموعة المفتوحة $E \subset \mathbb(R)^(n)$. يقولون $f$ لديه الحد الأدنى المحليعند النقطة $x_(0) \in E$، إذا كان هناك حي $U$ للنقطة $x_(0)$ بحيث يكون عدم المساواة $f\left(x\right لجميع $x \in U$ ) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

يُطلق على الحد الأدنى المحلي اسم صارم إذا كان من الممكن اختيار الحي $U$ بحيث يكون لكل $x \in U$ مختلفًا عن $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ (0)\يمين)$.

يجمع الحد الأقصى المحلي بين مفهومي الحد الأدنى المحلي والحد الأقصى المحلي.

النظرية (شرط ضروري لأقصى دالة قابلة للتفاضل)
اجعل $f$ دالة حقيقية في المجموعة المفتوحة $E \subset \mathbb(R)^(n)$. إذا كانت الدالة $f$ عند النقطة $x_(0) \in E$ لها حد أقصى محلي عند هذه النقطة، فإن $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ يساوي صفر التفاضل يعادل حقيقة أن الكل يساوي صفر، أي. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

في الحالة أحادية البعد يكون - . دعونا نشير إلى $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$، حيث $h$ هو متجه عشوائي. يتم تعريف الدالة $\phi$ لقيم $t$ التي تكون صغيرة بدرجة كافية من حيث القيمة المطلقة. بالإضافة إلى ذلك، فيما يتعلق بـ ، فهو قابل للتمييز، و $(\phi)' \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
افترض أن $f$ له حد أقصى محلي عند النقطة x $0$. هذا يعني أن الدالة $\phi$ عند $t = 0$ لها حد أقصى محلي، ووفقًا لنظرية فيرما، $(\phi)' \left(0\right)=0$.
إذن، حصلنا على $df \left(x_(0)\right) = 0$، أي. الدالة $f$ عند النقطة $x_(0)$ تساوي الصفر على أي متجه $h$.

تعريف
النقاط التي يكون فيها الفرق صفراً، أي. تلك التي تكون فيها جميع المشتقات الجزئية تساوي الصفر تسمى ثابتة. النقاط الحرجةالوظائف $f$ هي تلك النقاط التي يكون فيها $f$ غير قابل للاشتقاق أو يساوي الصفر. إذا كانت النقطة ثابتة، فلا يترتب على ذلك أن الدالة لها حد أقصى عند هذه النقطة.

مثال 1.
دع $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. ثم $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$، لذا فإن $\left(0,0\right)$ هي نقطة ثابتة، لكن الدالة ليس لها حد أقصى عند هذه النقطة. في الواقع، $f \left(0,0\right) = 0$، ولكن من السهل أن نرى أنه في أي جوار للنقطة $\left(0,0\right)$ تأخذ الدالة قيمًا موجبة وسالبة.

مثال 2.
الدالة $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ لها نقطة ثابتة عند أصلها، لكن من الواضح أنه لا يوجد حد أقصى عند هذه النقطة.

نظرية (شرط كاف للأقصى).
دع الدالة $f$ تكون قابلة للتمييز مرتين بشكل مستمر في المجموعة المفتوحة $E \subset \mathbb(R)^(n)$. اجعل $x_(0) \in E$ نقطة ثابتة و$$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1) ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ ثم

1. إذا كان $Q_(x_(0))$ –، فإن الدالة $f$ عند النقطة $x_(0)$ لها حد أقصى محلي، أي حد أدنى إذا كان النموذج موجبًا محددًا، وحدًا أقصى إذا كان النموذج سلبي محدد؛
2. إذا كانت الصيغة التربيعية $Q_(x_(0))$ غير محددة، فإن الدالة $f$ عند النقطة $x_(0)$ ليس لها حد أقصى.

لنستخدم التوسيع وفقًا لصيغة تايلور (12.7 ص 292). بالنظر إلى أن المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى عند النقطة $x_(0)$ تساوي الصفر، نحصل على $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ right) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\جزئي x_(i) \جزئي x_ (ي)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ حيث $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$، و $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ لـ $h \rightarrow 0$، فإن الجانب الأيمن سيكون موجبًا لأي متجه $h$ بطول صغير بما فيه الكفاية.
لذلك، توصلنا إلى نتيجة مفادها أنه في منطقة معينة من النقطة $x_(0)$ فإن عدم المساواة $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ تظل ثابتة إذا كانت $ فقط x \neq x_ (0)$ (نضع $x=x_(0)+h$\right). هذا يعني أنه عند النقطة $x_(0)$، يكون للدالة قيمة صغرى محلية صارمة، وبالتالي تم إثبات الجزء الأول من نظريتنا.
لنفترض الآن أن $Q_(x_(0))$ هو صيغة غير محددة. ثم هناك المتجهات $h_(1)$, $h_(2)$ مثل $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 دولار. ثم نحصل على $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ بالنسبة لـ $t>0$ الصغيرة بما فيه الكفاية، اليد اليمنى الجانب إيجابي. هذا يعني أنه في أي حي من النقطة $x_(0)$، تأخذ الدالة $f$ قيم $f \left(x\right)$ أكبر من $f \left(x_(0)\right)$.
وبالمثل، نجد أنه في أي حي من النقطة $x_(0)$، تأخذ الدالة $f$ قيمًا أقل من $f \left(x_(0)\right)$. هذا، بالإضافة إلى السابق، يعني أنه عند النقطة $x_(0)$، لا تحتوي الدالة $f$ على حد أقصى.

دعونا نفكر في حالة خاصة من هذه النظرية للدالة $f \left(x,y\right)$ لمتغيرين، محددين في بعض المناطق المجاورة للنقطة $\left(x_(0),y_(0)\right )$ ولها مشتقات جزئية متصلة من الأمرين الأول والثاني. افترض أن $\left(x_(0),y_(0)\right)$ هي نقطة ثابتة وتشير إلى $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) ), y_(0)\يمين), a_(22)=\frac(\جزئي^(2) f)(\جزئي y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\يمين ) .$$ ثم تأخذ النظرية السابقة الشكل التالي.

نظرية
دع $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. ثم:

1. إذا كان $\Delta>0$، فإن الدالة $f$ لها حد أقصى محلي عند النقطة $\left(x_(0),y_(0)\right)$، أي الحد الأدنى إذا $a_(11)> 0$ والحد الأقصى إذا كان $a_(11)<0$;
2. إذا $\دلتا<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

أمثلة على حل المشكلات

خوارزمية لإيجاد الحد الأقصى لدالة العديد من المتغيرات:

1. العثور على نقاط ثابتة.
2. ابحث عن فرق الدرجة الثانية في جميع النقاط الثابتة
3. باستخدام الشرط الكافي لأقصى دالة ذات العديد من المتغيرات، فإننا نعتبر التفاضل من الدرجة الثانية عند كل نقطة ثابتة

1. تحقق من الدالة لـ extremum $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   حل

   دعونا نوجد المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) - 6 \cdot x.$$ لنؤلف ونحل النظام: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(cases)$$ من المعادلة الثانية نعبر عن $x=4 \cdot y^(2)$ - نعوض به في المعادلة الأولى: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ ونتيجة لذلك، يتم الحصول على نقطتين ثابتتين:
   1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   دعونا نتحقق مما إذا كان الشرط الكافي للأقصى قد تم استيفاءه:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\جزئي^(2) f)(\جزئي x \جزئي y)=-6; \frac(\جزئي^(2) f)(\جزئي y^(2))=48 \cdot y$$
   1) بالنسبة للنقطة $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\جزئي^(2) f)(\جزئي y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) بالنسبة للنقطة $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\جزئي^(2) f)(\جزئي y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$، مما يعني أنه عند النقطة $M_(2)$ يوجد حد أقصى، وبما أن $A_(2)> 0 دولار، فهذا هو الحد الأدنى.
   الإجابة: النقطة $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ هي النقطة الدنيا للدالة $f$.
   

2. تحقق من وظيفة الحد الأقصى $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   حل

   دعونا نجد النقاط الثابتة: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   دعونا نؤلف النظام ونحله: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) ) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(cases) \Rightarrow x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ هي نقطة ثابتة.
   دعونا نتحقق من استيفاء الشرط الكافي للحد الأقصى: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\جزئي y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   الجواب: لا يوجد تطرف.
   

الحد الزمني: 0

التنقل (أرقام الوظائف فقط)

0 من 4 المهام المكتملة

معلومة

قم بإجراء هذا الاختبار لاختبار معرفتك بالموضوع الذي قرأته للتو: الحدود القصوى المحلية لوظائف المتغيرات المتعددة.

لقد أجريت الاختبار بالفعل من قبل. لا يمكنك البدء مرة أخرى.

جاري التحميل التجريبي...

يجب عليك تسجيل الدخول أو التسجيل لتبدأ الاختبار.

يجب عليك إكمال الاختبارات التالية لبدء هذا الاختبار:

نتائج

الإجابات الصحيحة: 0 من 4

وقتك:

انتهى الوقت

لقد حصلت على 0 من 0 نقطة (0)

لقد تم تسجيل نتيجتك على لوحة المتصدرين

1. مع الجواب
2. مع علامة المشاهدة

المهمة 1 من 4

1 .

عدد النقاط: 1

التحقق من الدالة $f$ للنقاط القصوى: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

يمين


خطأ


1. المهمة 2 من 4

   2 .

   عدد النقاط: 1

   هل الدالة $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ لها حد أقصى

تعريف:تسمى النقطة x0 نقطة الحد الأقصى (أو الأدنى) المحلي للدالة إذا كانت الدالة في بعض المناطق المجاورة للنقطة x0 تأخذ القيمة الأكبر (أو الأصغر)، أي. لجميع x من بعض المناطق المجاورة للنقطة x0 يتم استيفاء الشرط f(x) f(x0) (أو f(x) f(x0)).

يتم توحيد نقاط الحد الأقصى أو الحد الأدنى المحلي باسم شائع - نقاط الحد الأقصى المحلي للدالة.

لاحظ أنه عند النقاط القصوى المحلية، تصل الدالة إلى قيمتها القصوى أو الدنيا فقط في منطقة محلية معينة. قد تكون هناك حالات عندما تكون وفقًا للقيمة уmaxуmin.

علامة ضرورية على وجود حد أقصى محلي للدالة

نظرية . إذا كانت الدالة المستمرة y = f(x) لها حد محلي عند النقطة x0، عند هذه النقطة يكون المشتق الأول إما صفرًا أو غير موجود، أي. ويحدث الحد الأقصى المحلي عند النقاط الحرجة من النوع الأول.

عند النقاط القصوى المحلية، يكون المماس موازيًا للمحور 0x، أو يكون هناك مماسين (انظر الشكل). لاحظ أن النقاط الحرجة هي شرط ضروري ولكن ليس كافيًا لحدوث أقصى موضعي. يحدث الحد الأقصى المحلي فقط عند النقاط الحرجة من النوع الأول، ولكن لا يحدث الحد الأقصى المحلي على الإطلاق.

على سبيل المثال: القطع المكافئ المكعب y = x3 له نقطة حرجة x0 = 0، حيث يكون المشتق y/(0)=0، لكن النقطة الحرجة x0=0 ليست نقطة متطرفة، وهناك نقطة انعطاف عندها (انظر أدناه).

علامة كافية على وجود حد أقصى محلي للدالة

نظرية . إذا، عندما يمر الوسيط عبر نقطة حرجة من النوع الأول من اليسار إلى اليمين، فإن المشتقة الأولى y / (x)

تغييرات الإشارة من "+" إلى "-"، فإن الدالة المستمرة y(x) عند هذه النقطة الحرجة لها قيمة عظمى محلية؛

التغييرات من "-" إلى "+"، فإن الدالة المستمرة y(x) لها حد أدنى محلي عند هذه النقطة الحرجة

لا تتغير الإشارة، ففي هذه النقطة الحرجة لا يوجد حد أقصى محلي، بل توجد نقطة انعطاف هنا.

للحصول على الحد الأقصى المحلي، يتم استبدال منطقة الدالة المتزايدة (y/0) بمنطقة الدالة المتناقصة (y/0). بالنسبة للحد الأدنى المحلي، يتم استبدال منطقة الدالة المتناقصة (y/0) بمنطقة الدالة المتزايدة (y/0).

مثال: افحص الدالة y = x3 + 9x2 + 15x - 9 للتأكد من الرتابة والحد الأقصى وقم بإنشاء رسم بياني للدالة.

لنجد النقاط الحرجة من النوع الأول عن طريق تعريف المشتقة (y/) ومساواتها بالصفر: y/ = 3x2 + 18x + 15 =3(x2 + 6x + 5) = 0

دعونا نحل ثلاثية الحدود التربيعية باستخدام المميز:

x2 + 6x + 5 = 0 (أ=1، ب=6، ج=5) د=، x1k = -5، x2k = -1.

2) نقسم محور الأعداد إلى 3 مناطق بها نقاط حرجة ونحدد علامات المشتقة (y/) فيها. وباستخدام هذه العلامات سنجد مناطق الرتابة (التزايد والتناقص) للدوال، وبتغيير العلامات سنحدد نقاط الحد الأقصى المحلي (الحد الأقصى والأدنى).

ونعرض نتائج البحث في شكل جدول يمكن استخلاص النتائج التالية منه:

• 1. في الفاصل الزمني y /(-10) 0 تزداد الدالة بشكل رتيب (تم تقدير علامة المشتق y باستخدام نقطة التحكم x = -10 المأخوذة في هذا الفاصل الزمني)؛
• 2. في الفترة (-5 ; -1) y /(-2) 0 تتناقص الدالة بشكل رتيب (تم تقدير علامة المشتق y باستخدام نقطة التحكم x = -2، المأخوذة في هذه الفترة)؛
• 3. في الفاصل الزمني y /(0) 0، تزداد الدالة بشكل رتيب (تم تقدير علامة المشتق y باستخدام نقطة التحكم x = 0، المأخوذة في هذا الفاصل الزمني)؛
• 4. عند المرور بالنقطة الحرجة x1k = -5، تتغير المشتقة من "+" إلى "-"، وبالتالي فإن هذه النقطة هي نقطة عظمى محلية
• (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
• 5. عند المرور بالنقطة الحرجة x2k = -1، تشير التغييرات المشتقة من "-" إلى "+"، وبالتالي فإن هذه النقطة هي نقطة صغرى محلية
• (يمين(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

س -5 (-5؛ -1) -1

3) سنقوم ببناء رسم بياني بناءً على نتائج الدراسة باستخدام حسابات إضافية لقيم الوظائف عند نقاط التحكم:

إنشاء نظام إحداثيات مستطيل أوكسي؛

نعرض بالإحداثيات نقاط الحد الأقصى (-5؛ 16) والحد الأدنى (-1؛-16)؛

لتوضيح الرسم البياني، نحسب قيمة الدالة عند نقاط التحكم، ونختارها على يسار ويمين النقاط القصوى والدنيا وداخل الفترة المتوسطة، على سبيل المثال: y(-6)=(-6)3 + 9(-6)2+15(-6)-9=9; ص(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

ص(0)= -9 (-6;9); (-3;0) و (0;-9) - نقاط التحكم المحسوبة التي نرسمها لإنشاء الرسم البياني؛

نعرض الرسم البياني على شكل منحنى محدب لأعلى عند أقصى نقطة ومحدب لأسفل عند أدنى نقطة ويمر عبر نقاط التحكم المحسوبة.