За да се сравнят количествено събитията едно с друго според степента на тяхната възможност, очевидно е необходимо да се свърже определено число с всяко събитие, което е толкова по-голямо, колкото по-вероятно е събитието. Ще наречем това число вероятност за събитие. по този начин вероятност за събитиее числена мярка за степента на обективна възможност за това събитие.

Първото определение на вероятността трябва да се счита за класическото, което произлиза от анализа на хазарта и първоначално се прилага интуитивно.

Класическият метод за определяне на вероятността се основава на концепцията за еднакво възможни и несъвместими събития, които са резултат от дадено преживяване и образуват пълна група от несъвместими събития.

Повечето прост примереднакво възможни и несъвместими събития, които образуват пълна група, е появата на една или друга топка от урна, съдържаща няколко топки с еднакъв размер, тегло и други осезаеми характеристики, различаващи се само по цвят, старателно смесени преди изваждане.

Следователно, тест, чиито резултати формират пълна група от несъвместими и еднакво възможни събития, се казва, че може да бъде сведен до модел от урни или модел от случаи, или се вписва в класическия модел.

Еднакво възможни и несъвместими събития, които съставляват пълна група, ще се наричат ​​просто случаи или шансове. Освен това във всеки експеримент, наред със случаите, могат да възникнат и по-сложни събития.

Пример: При хвърляне на зарове, заедно със случаите A i - загуба на i-точки от горната страна, можем да разгледаме такива събития като B - загуба на четен брой точки, C - загуба на няколко точки, кратни на три...

Във връзка с всяко събитие, което може да се случи по време на експеримента, случаите се разделят на благоприятен, при които това събитие настъпва, и неблагоприятни, при които събитието не настъпва. В предишния пример събитие B е предпочитано от случаи A 2, A 4, A 6; събитие C - случаи A 3, A 6.

Класическа вероятностнастъпването на определено събитие се нарича отношението на броя на случаите, благоприятни за настъпването на това събитие, към общия брой еднакво възможни, несъвместими случаи, които съставляват пълната група в даден експеримент:

Къде P(A)- вероятност за настъпване на събитие А; м- броят на случаите, благоприятни за събитие А; п- общ брой случаи.

Примери:

1) (вижте примера по-горе) P(B)= , P(C) =.

2) Урната съдържа 9 червени и 6 сини топки. Намерете вероятността една или две произволно изтеглени топки да се окажат червени.

А- червена топка, изтеглена на случаен принцип:

м= 9, п= 9 + 6 = 15, P(A)=

б- две произволно изтеглени червени топки:

Следните свойства следват от класическата дефиниция на вероятността (покажете себе си):


1) Вероятността за невъзможно събитие е 0;

2) Вероятността за надеждно събитие е 1;

3) Вероятността за всяко събитие е между 0 и 1;

4) Вероятността за събитие, противоположно на събитие А,

Класическата дефиниция на вероятността предполага, че броят на резултатите от едно изпитание е краен. В практиката тестовете са много разпространени, броят възможни случаикоито са безкрайни. освен това слаба странаКласическата дефиниция е, че много често е невъзможно да се представи резултатът от теста под формата на набор от елементарни събития. Още по-трудно е да се посочат причините елементарните резултати от теста да се считат за еднакво възможни. Обикновено равнопоставеността на резултатите от елементарния тест се заключава от съображения за симетрия. Такива задачи обаче са много редки на практика. Поради тези причини, наред с класическата дефиниция за вероятност се използват и други дефиниции за вероятност.

Статистическа вероятностсъбитие A е относителната честота на възникване на това събитие в извършените тестове:

където е вероятността за възникване на събитие А;

Относителна честота на поява на събитие А;

Броят опити, в които се появи събитие А;

Общ брой опити.

За разлика от класическата вероятност, статистическата вероятност е характеристика на експерименталната вероятност.

Пример: За контрол на качеството на продуктите от партида са избрани на случаен принцип 100 продукта, сред които 3 продукта са се оказали дефектни. Определете вероятността от брак.

Статистическият метод за определяне на вероятността е приложим само за онези събития, които имат следните свойства:

Разглежданите събития трябва да бъдат резултатите само от тези тестове, които могат да бъдат възпроизведени неограничен брой пъти при един и същи набор от условия.

Събитията трябва да имат статистическа стабилност (или стабилност на относителните честоти). Това означава, че в различни серии от тестове относителната честота на събитието се променя малко.

Броят на опитите, водещи до събитие А, трябва да е доста голям.

Лесно е да се провери, че свойствата на вероятността, произтичащи от класическата дефиниция, се запазват и в статистическата дефиниция на вероятността.

Вероятност за настъпване на събитие Ае число, равно на отношението на броя на благоприятните за събитието случаи А, към общия брой случаи (резултати, шансове или елементарни събития).

Вероятност ( Р)

Къде п - общ брой случаи, м - брой случаи, благоприятни за събитието А.

Вероятност за невъзможно събитие:

Вероятност за определено събитие:

Вероятност за произволно събитие:

0 ≤ П (А ) ≤ 1

Статистическа дефиниция на вероятността

Статистическа вероятностсъбития Анаречен относителна честотанастъпване на събитие в п - извършени тестове.

Опитна (експериментална) вероятност:

Следователно има част от действително извършените тестове, при които събитието Асе появи. в , П(А) ≈ (А)

Пример 1.

Кутията съдържа 7 сини, 8 червени и 5 зелени топки.

Решение:

Събитие А- зелена топка;

Пример 2.

Кутията съдържа 100 електрически лампи, 5 от които са дефектирали.

Решение:

Събитие А- за щастие избраните 2 електрически лампи работят правилно.

Пример 3.

В кутия има 10 топки: 6 бели и 4 черни.

намирам:

Вероятността от пет произволно взети топки да има 4 бели.

Решение:

Нека намерим броя на благоприятните резултати: броят на начините, по които можете да вземете 4 бели топки от 6 налични топки, е равен на:

Общият брой резултати се определя от броя на комбинациите от 10 до 5:

Необходима вероятност П = 15/252 ≈ 0,06.

Геометрична вероятност, тоест вероятността точка да попадне в определена област, сегмент, част от равнината.

Геометрична вероятностсъбития А нарича съотношението на мярката на площта, благоприятна за настъпването на дадено събитие А, в обхвата на цялата област.

Къде мес-мярка (дължина, площ, обем на област).

4. Алгебра на събитията. Операции върху случайни събития.

Определение 1.Сборът от две събития АИ бнаречено събитие В, състоящ се в осъществяването на поне едно от събитията Аили б.

Има два възможни случая:

1. Ако АИ бтогава са несъвместими А+бозначава какво ще се случи или А, или IN.

2. Ако АИ бстава, тогава А+б означава какво ще се случи или А, или б, или АИ бедновременно.

Определение 2.Продукт на две събития АИ бнаречено събитие В, състоящ се в едновременно протичане на събития АИ б.

Пример 1.Една карта беше изтеглена на случаен принцип от тесте карти.

Събитие А- Карта кралица.

Събитие б- карта пика.

Тогава А + б‒ изтеглена карта или дама, или карта от боя пика, или дама пика.

AB‒ Карта Дама Пика е извадена.

Правило за производство на събития.

Ако има някакъв обект Аможете да изберете м- по начини и след всеки такъв избор друг обект бможете да изберете к ‒ начини, след това двойки обекти “ АИ б едновременно", можете да изберете мк- по начини.

Пример 2.

В лотария от 50 билета има 8 печеливши билета.

Намерете вероятността сред първите 5 произволно избрани билета 2 да бъдат печеливши.

Решение:

50 - 8 = 42 - непечеливши билета.

Събитие А- сред първите 5 билета 2 са печеливши.

Пример 3.

Кутията съдържа 10 стандартни и 5 нестандартни части.

Каква е вероятността сред произволно взетите 6 части да има 4 стандартни и 2 нестандартни?

Решение:

Общият брой резултати е

Броят на благоприятните резултати се определя от продукта

където първият фактор съответства на броя на опциите за премахване на 4 стандартни части от 10 от кутия, а вторият фактор съответства на броя на опциите за премахване на 2 нестандартни части от пет от кутия. От това следва, че желаната вероятност е равна на

Класическата дефиниция на вероятността предполага, че всички елементарни резултати еднакво възможно. Равенството на резултатите от даден експеримент се заключава поради съображения за симетрия (както в случая с монета или зар). Проблеми, при които могат да се използват съображения за симетрия, са редки на практика. В много случаи е трудно да се дадат причини да се вярва, че всички елементарни резултати са еднакво възможни. В тази връзка се наложи въвеждането на друго определение за вероятност, т.нар статистически. За да се даде това определение, първо се въвежда понятието относителна честота на дадено събитие.

Относителна честота на събитието, или честота, е съотношението на броя на експериментите, в които се е случило това събитие, към броя на всички извършени експерименти. Нека означим честотата на събитието с , след това по дефиниция

(1.4.1)
където е броят на експериментите, в които е настъпило събитието, и е броят на всички проведени експерименти.

Честотата на събитието има следните свойства.

Наблюденията позволиха да се установи, че относителната честота има свойствата на статистическа стабилност: в различни серии от полиномиални тестове (във всеки от които това събитие може или не може да се появи), тя приема стойности, доста близки до някаква константа. Тази константа, която е обективна числена характеристика на дадено явление, се счита за вероятност за дадено събитие.

Вероятностсъбитие е числото, около което се групират стойностите на честотата на дадено събитие в различни серии от голям брой тестове.

Това определение на вероятността се нарича статистически.

В случай на статистическа дефиниция, вероятността има следните свойства:
1) вероятността за надеждно събитие е равна на единица;
2) вероятността от невъзможно събитие е нула;
3) вероятността за случайно събитие е между нула и единица;
4) вероятността от сумата от две несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития.

Пример 1.От 500 части, взети на случаен принцип, 8 бяха дефектни. Намерете честотата на дефектните части.

Решение.Тъй като в този случай = 8, = 500, тогава в съответствие с формула (1.4.1) намираме

Пример 2. Зарът се хвърля 60 пъти, докато шестсе появи 10 пъти. Каква е честотата на поява шестици?

Решение.От условията на задачата следва, че = 60, = 10, следователно

Пример 3.Сред 1000 новородени има 515 момчета. Каква е раждаемостта на момчетата?
Решение.Тъй като в този случай, , тогава .

Пример 4.В резултат на 20 изстрела в целта са получени 15 попадения. Какъв е процентът на попадение?

Решение.Тъй като = 20, = 15, тогава

Пример 5.При стрелба по мишена процентът на попадение = 0,75. Намерете броя на попаденията с 40 удара.

Решение.От формула (1.4.1) следва, че . Тъй като = 0,75, = 40, тогава . Така бяха получени 30 попадения.

Пример 6. www.. От засетите семена покълнаха 970 бр.

Решение.От формула (1.4.1) следва, че . Тъй като , , тогава . Така бяха засети 1000 семена.

Пример 7.На сегмент от естествената серия от 1 до 20 намерете честотата прости числа.

Решение.Върху посочената отсечка от естествената редица от числа се намират следните прости числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19; има общо 8 от тях. Тъй като = 20, = 8, тогава необходимата честота

.

Пример 8.Извършени са три серии от многократни хвърляния на симетрична монета, изчислен е броят на появяванията на герба: 1) = 4040, = 2048, 2) = 12000, = 6019; 3) = 24000, = 12012. Намерете честотата на появяване на герба във всяка серия от тестове.

Решение. В съответствие с формула (1.4.1) намираме:

Коментирайте.Тези примери показват, че при повтарящи се опити честотата на дадено събитие се различава малко от неговата вероятност. Вероятността да се появи герб при хвърляне на монета е p = 1/2 = 0,5, тъй като в този случай n = 2, m = 1.

Пример 9.Сред 300-те части, произведени на автоматична машина, имаше 15, които не отговаряха на стандарта. Намерете честотата на поява на нестандартни части.

Решение.В този случай n = 300, m = 15, така че

Пример 10.Инспекторът, проверявайки качеството на 400 продукта, установи, че 20 от тях са от втори клас, а останалите - от първи. Намерете честотата на продуктите от първи клас, честотата на продуктите от втори клас.

Решение.Първо, нека намерим броя на продуктите от първи клас: 400 - 20 = 380. Тъй като n = 400, = 380, тогава честотата на продуктите от първи клас

По същия начин намираме честотата на продуктите от втори клас:

Задачи

  1. Отдел технически контролоткри 10 нестандартни продукта в партида от 1000 продукта. Намерете честотата на производство на дефектни продукти.
  2. За определяне качеството на семената са селектирани 100 семена, които са засети в лабораторни условия. 95 семена поникнаха нормално. Каква е честотата на нормалното покълване на семената?
  3. Намерете честотата на срещане на простите числа в следните отрязъци от естествения ред: а) от 21 до 40; б) от 41 до 50; в) от 51 до 70.
  4. Намерете честотата на срещане на цифрата при 100 хвърляния на симетрична монета. (Направете експеримента сами).
  5. Намерете честотата на шест от 90 хвърляния на зар.
  6. Като анкетирате всички ученици във вашия курс, определете честотата на рождените дни, които се падат през всеки месец от годината.
  7. Намерете честотата на думите от пет букви във всеки вестникарски текст.

Отговори

  1. 0,01. 2. 0,95; 0,05. 3. а) 0,2; б) 0,3; в) 0,2.

Въпроси

  1. Каква е честотата на събитията?
  2. Каква е честотата на надеждно събитие?
  3. Каква е честотата на невъзможно събитие?
  4. Какви са границите на честотата на случайно събитие?
  5. Каква е честотата на сумата от две несъвместими събития?
  6. Какво определение на вероятността се нарича статистическо?
  7. Какви свойства има статистическата вероятност?

Билети за теория на вероятностите.

Теория на вероятностите- клон на математиката, който изучава моделите на случайни явления: случайни събития, случайни променливи, техните свойства и операциите върху тях

Теория на вероятноститеизучава случайни явления; под случайни явления се разбират тези, които се срещат в съвкупност от по-голям брой равни или почти равни обекти и се определят от масовия характер на явлението.

Теория на вероятностите– отразява закономерностите, присъщи на случайни събития от масов характер и тази теория се основава на основните понятия.

Събития и тяхната класификация.

Способността за определяне на събитие се характеризира с вероятността на събитието.

Където е броят на събитията, представляващи интерес, е броят на наблюдаваните събития.

Надеждно събитие, ако вероятността за възникването му е 1.

Невалидно събитиеизвиква се, ако вероятността е 0.

Несъвместими събития– събития, в които 2 от тях не могат да се появят в даден експеримент.

Еднакво възможни събития– събития, при които в даден опит нито едно от тях не е обективно възможно.

Противоположни събития– събития, които образуват пълна група от 2 събития.

Независими събития– тези, при които всяко от 2-те събития е независимо (Корелацията не е зависимост).

Съвместни събития– такива събития, при които появата на 1 от тях не изключва появата на друго в същия експеримент.

Класически и статистически дефиниции на вероятността за събитие

Всеки от еднакво възможните резултати от тестове (експерименти) се нарича елементарен резултат. Те обикновено се обозначават с букви. Например, хвърля се зар. Може да има общо шест елементарни резултата въз основа на броя на точките от страните.

От елементарни резултати можете да създадете по-сложно събитие. По този начин събитието с четен брой точки се определя от три изхода: 2, 4, 6.

Количествена мярка за възможността за настъпване на въпросното събитие е вероятността.

Най-широко използваните дефиниции на вероятността от събитие са: класическиИ статистически.

Класическата дефиниция на вероятността се свързва с концепцията за благоприятен изход.

Резултатът се нарича благоприятенкъм дадено събитие, ако възникването му води до възникването на това събитие.

В горния пример въпросното събитие – четен брой точки от хвърлената страна – има три благоприятни изхода. В случая генералът
брой възможни резултати. Това означава, че тук може да се използва класическата дефиниция на вероятността от събитие.

Класическо определение. Вероятността за събитие е равна на отношението на броя на благоприятните резултати към общия брой възможни резултати

къде е вероятността на събитието, е броят на резултатите, благоприятни за събитието, е общият брой на възможните резултати.

В разглеждания пример

Статистическата дефиниция на вероятността е свързана с концепцията за относителната честота на поява на дадено събитие в експериментите.

Относителната честота на възникване на дадено събитие се изчислява по формулата

където е броят на случаите на събитие в поредица от експерименти (тестове).

Статистическа дефиниция. Вероятността за събитие е числото, около което относителната честота се стабилизира (задава) с неограничено увеличаване на броя на експериментите.

В практическите задачи вероятността за събитие се приема като относителна честота за достатъчно голям брой опити.

От тези дефиниции на вероятността за събитие е ясно, че неравенството винаги е изпълнено

За да се определи вероятността от събитие въз основа на формула (1.1), често се използват комбинаторни формули, които се използват за намиране на броя на благоприятните резултати и общия брой възможни резултати.

Пример.Известно е, че във входяща партида от 30 шевни машини 10 са с вътрешен дефект. Определете вероятността от партида от 5 автомобила, взети на случаен принцип, 3 да са без дефекти.

Решение.За да разрешим този проблем, въвеждаме някои обозначения. Let - общият брой машини, - броят на машините без дефекти, - броят на машините, избрани в партидата, - броят на машините без дефекти в избраната партида.

Общият брой комбинации от автомобили, т.е. общият брой възможни резултати ще бъде равен на броя на комбинациите от елементи по , т.е. . Но всяка избрана комбинация трябва да съдържа три бездефектни коли. Броят на такива комбинации е равен на броя на комбинациите от елементи по , т.е. .

С всяка такава комбинация в избраната партида, останалите дефектни елементи също образуват набор от комбинации, чийто брой е равен на броя на комбинациите от елементи по , т.е. .

Това означава, че общият брой благоприятни резултати се определя от продукта. Откъде го вземаме?

Понятието вероятност за събитие се отнася до основните понятия на теорията на вероятностите. Вероятността е количествена мярка за възможността за възникване на случайно събитие A. Означава се с P(A) и има следните свойства.

Вероятността е положително число, вариращо от нула до едно:

Вероятността за невъзможно събитие е нула

Вероятността за надеждно събитие е равна на единица

Класическа дефиниция на вероятността. Нека = (1, 2,…, n) е пространството от елементарни събития, които описват всички възможни елементарни резултати и образуват пълна група от несъвместими и еднакво възможни събития. Нека събитие A съответства на подмножество от m елементарни резултата

тези резултати се наричат ​​благоприятни за събитие А. В класическата дефиниция на вероятността се смята, че вероятността от всеки елементарен резултат

и вероятността за събитие А, благоприятствано от m резултата, е равна на

Оттук и определението:

Вероятността за събитие А е отношението на броя на резултатите, благоприятни за това събитие, към общия брой на всички еднакво възможни несъвместими елементарни резултати, които образуват пълната група. Вероятността се дава от формулата

където m е броят на елементарните резултати, благоприятни за събитие А, и е броят на всички възможни елементарни резултати на теста.

Класическата дефиниция на вероятността дава възможност в някои задачи да се изчисли аналитично вероятността за събитие.

Нека се проведе експеримент, в резултат на който могат да се случат определени събития. Ако тези събития образуват пълна група от по двойки несъвместими и еднакво възможни събития, тогава се казва, че опитът има симетрия на възможните резултати и се свежда до „схема от случаи“. За експерименти, които са сведени до схема на случай, е приложима класическата вероятностна формула.

Пример 1.13. Лотарията тегли 1000 билета, включително 5 печеливши. Определете вероятността при закупуване на един билет за лотария да получите печалба

Елементарното събитие от това преживяване е закупуването на билет. Всеки лотариен билет е уникален, тъй като има собствен номер, а закупеният билет не се връща. Събитие А е, че печелившият билет е закупен. При закупуване на един от 1000 билета, всички възможни резултати от това преживяване ще бъдат = 1000, резултатите образуват пълна група от несъвместими събития. Броят на резултатите, благоприятни за събитие А, ще бъде равен на =5. Тогава вероятността да спечелите чрез закупуване на един билет е равна на

P(A) = = 0,005

За директно изчисляване на вероятностите е удобно да се използват комбинаторни формули. Нека демонстрираме това, използвайки примера на проблем с контрола на пробите.

Пример 1.14 Нека има партида продукти, някои от които са дефектни. Част от продуктите се избират за контрол. Каква е вероятността сред избраните продукти да има точно дефектни?

Елементарното събитие в този експеримент е изборът на елементарно подмножество от оригиналното елементарно множество. Изборът на всяка част от продуктите от партида до продукти може да се счита за еднакво възможни събития, така че този опит се свежда до схема от случаи. За да изчислите вероятността на събитието A = (сред дефектни продукти, ако са избрани от партида дефектни продукти), можете да приложите класическата вероятностна формула. Броят на всички възможни резултати от експеримента е броят на начините, по които продуктите могат да бъдат избрани от партида, той е равен на броя на комбинациите от елементи по: . Събитие, благоприятно за събитие А, се състои от произведението на две елементарни събития: (от дефектни продукти _ са избрани (от _ стандартни продукти _ са избрани). Броят на такива събития, в съответствие с правилото за умножение на комбинаториката, ще бъде

Тогава желаната вероятност

Например нека =100, =10, =10, =1. Тогава вероятността сред избраните 10 продукта да има точно един дефектен продукт е равна на

Статистическа дефиниция на вероятността. За да се приложи класическата дефиниция на вероятността в условията на даден експеримент, е необходимо експериментът да отговаря на модела от случаи, а за повечето реални проблеми тези изисквания е практически невъзможно да бъдат изпълнени. Вероятността от събитие обаче е обективна реалност, която съществува независимо от това дали класическата дефиниция е приложима или не. Има нужда от друго определение на вероятността, приложимо, когато опитът не съответства на модела на случаите.

Нека експериментът се състои от провеждане на серия от тестове, повтарящи един и същ експеримент, и нека събитие А се случи веднъж в серия от експерименти. Относителната честота на събитието W(A) е съотношението на броя на експериментите, в които е настъпило събитие А, към броя на всички проведени експерименти

Експериментално е доказано, че честотата има свойството на стабилност: ако броят на експериментите в серия е достатъчно голям, тогава относителните честоти на събитие А в различни серии от един и същ експеримент се различават малко една от друга.

Статистическата вероятност за събитие е числото, към което клонят относителните честоти, ако броят на експериментите нараства неограничено.

За разлика от класическата априорна (изчислена преди експеримента) вероятност, статистическата вероятност е апостериорна (получена след експеримента).

Пример 1.15 Метеорологичните наблюдения в продължение на 10 години в определен район показват, че броят на дъждовните дни през юли е бил различни годиниравно на: 2; 4; 3; 2; 4; 3; 2; 3; 5; 3. Определете вероятността всеки конкретен ден през юли да бъде дъждовен

Събитие А е, че определен ден от юли, например 10 юли, ще вали. Предоставената статистика не съдържа информация кои конкретни дни през юли е валяло, така че можем да предположим, че всички дни са еднакво вероятни за това събитие. Нека една година е една поредица от тестове от 31 еднодневни. Има общо 10 серии. Относителните честоти на сериите са:

Честотите са различни, но се наблюдава групиране около числото 0,1. Това число може да се приеме като вероятност за събитие А. Ако вземем всички дни от юли за десет години като една серия от тестове, тогава статистическата вероятност за събитие А ще бъде равна на

Геометрично определение на вероятността. Тази дефиниция на вероятността обобщава класическата дефиниция за случая, когато пространството от елементарни резултати включва неизброимо множество от елементарни събития и възникването на всяко от събитията е еднакво възможно. Геометричната вероятност за събитие А е съотношението на мярката (А) на региона, благоприятен за настъпване на събитието, към мярката () на целия регион

Ако площите представляват а) дължини на сегменти, б) площи на фигури, в) обеми на пространствени фигури, тогава геометричните вероятности са съответно равни

Пример 1.16. Рекламиокачени на интервали от 10 метра покрай търговския ред. Някои клиенти имат ширина на видимост от 3 метра. Каква е вероятността той да не забележи рекламата, ако се движи перпендикулярно на търговския ред и може да пресече реда във всяка точка?

Участъкът от търговския ред, разположен между две реклами, може да бъде представен като прав сегмент AB (фиг. 1.6). След това, за да забележи купувачът рекламите, той трябва да премине през прави отсечки AC или DV, равни на 3 m. Ако пресече търговския ред в една от точките на сегмента SD, чиято дължина е 4 m, тогава той няма да забележи рекламата. Вероятността за това събитие ще бъде