Нека разберем какво е кръг и кръг. Формула за площ на кръг и обиколка.

Всеки ден се натъкваме на много предмети, които имат формата на кръг или, напротив, кръг. Понякога възниква въпросът какво е кръг и как се различава от кръга. Разбира се, всички сме ходили на уроци по геометрия, но понякога не пречи да освежите знанията си с някои много прости обяснения.

Каква е обиколката и площта на кръг: определение

И така, кръгът е затворена крива линия, която ограничава или, напротив, образува кръг. Предпоставка за окръжност е тя да има център и всички точки да са на еднакво разстояние от нея. Най-просто казано, кръгът е гимнастически обръч (или както често се нарича хулахуп) върху равна повърхност.

Обиколката на кръга е общата дължина на самата крива, която образува кръга. Както е известно, независимо от размера на кръга, отношението на неговия диаметър и дължина е равно на числото π = 3.141592653589793238462643.

От това следва, че π=L/D, където L е обиколката, а D е диаметърът на окръжността.

Ако знаете диаметъра, тогава дължината може да се намери с помощта на проста формула: L= π* D

Ако радиусът е известен: L=2 πR

Разбрахме какво е кръг и можем да преминем към дефиницията на кръг.

Кръгът е геометрична фигура, който е ограден с кръг. Или кръгът е фигура, чиято граница се състои от голямо количествоточки на еднакво разстояние от центъра на фигурата. Цялата област, която е вътре в кръг, включително неговия център, се нарича кръг.

Струва си да се отбележи, че кръгът и кръгът, който се намира в него, имат същия радиус и диаметър. А диаметърът от своя страна е два пъти по-голям от радиуса.

Кръгът има площ в равнина, която може да се намери с помощта на проста формула:

Където S е площта на кръга, а R е радиусът на кръга.

Как се различава кръг от кръг: обяснение

Основната разлика между кръг и кръг е, че кръгът е геометрична фигура, докато кръгът е затворена крива. Обърнете внимание и на разликите между кръг и кръг:

  • Кръгът е затворена линия, а кръгът е областта в този кръг;
  • Кръгът е крива линия на равнина, а кръгът е пространство, затворено в пръстен от кръг;
  • Прилики между кръг и кръг: радиус и диаметър;
  • Кръгът и обиколката имат един център;
  • Ако пространството вътре в кръга е засенчено, то се превръща в кръг;
  • Окръжността има дължина, но окръжността не, и обратното, окръжността има площ, която окръжността няма.

Кръг и обиколка: примери, снимки

За по-голяма яснота предлагаме да разгледате снимка, която показва кръг отляво и кръг отдясно.

Формула за обиколка и площ на кръг: сравнение

Формула за обиколка L=2 πR

Формула за площта на окръжност S= πR²

Моля, обърнете внимание, че и двете формули съдържат радиуса и числото π. Препоръчително е да запомните тези формули, тъй като те са най-простите и определено ще ви бъдат полезни ежедневиетои на работа.

Площ на кръг по обиколка: формула

S=π(L/2π)=L²/4π, където S е площта на кръга, L е обиколката.

Видео: Какво е окръжност, окръжност и радиус


кръге фигура, която се състои от всички точки на равнината, еднакво отдалечени от дадена точка.

Основни понятия:

Център на кръгае точка, еднакво отдалечена от точките на окръжността.

Радиус– това е разстоянието от точките на окръжността до нейния център (равно на половината от диаметъра, фиг. 1).

Диаметъре хорда, минаваща през центъра на окръжността (фиг. 1).

Акорде отсечка, свързваща две точки от окръжност (фиг. 1).

Допирателнае права линия, която има само една обща точка с окръжност. Преминава през точка от окръжността, перпендикулярна на диаметъра, начертан до тази точка (фиг. 1).

Секансе права линия, минаваща през две различни точки от окръжността (фиг. 1).

Единична окръжносте окръжност, чийто радиус е равен на единица.

Дъга от кръг- Това е част от окръжност, разделена от две различни точки на окръжността.

1 радиане ъгълът, образуван от дъга от окръжност, равна на дължината на радиуса (фиг. 4).
1 радиан = 180˚ : π ≈ 57,3˚

Централен ъгъле ъгъл, чийто връх е в центъра на окръжността. Равно на градусната мярка на дъгата, върху която лежи (фиг. 2).

Вписан ъгъле ъгъл, чийто връх лежи върху окръжност и чиито страни пресичат тази окръжност. Равно на половината градусна мярка на дъгата, върху която лежи (фиг. 3).

Две окръжности с общ център се наричат концентричен.

Две окръжности, пресичащи се под прав ъгъл, се наричат ортогонален.

Обиколка и площ на кръг:

Обозначения:
Обиколка – C
Диаметър дължина – d
Дължина на радиуса – r

Смисълπ :
Съотношението на обиколката на кръга към дължината на неговия диаметър се обозначава с гръцката буква π (пи).

22
π = -
7

Формула за обиколка:

C = πd, или C = 2πr

Формули за площта на кръг:

C r
S = --
2

π D 2
S = ---
4

Площ на кръгъл сектор и кръгов сегмент.

Кръгов секторе частта от окръжността, лежаща вътре в съответния централен ъгъл.
Формула за площта на кръгъл сектор:

πR 2
S = ---α
360

Къде π – постоянна стойност, равна на 3,1416; Р – радиус на окръжността; α – градусна мярка на съответния централен ъгъл.

Кръгов сегмент- Това обща часткръг и полуравнина.
Формула за площта на кръговия сегмент:

πR 2
S = ---α ± С Δ
360

Къде α – градусна мярка на централния ъгъл, който съдържа дъгата на този кръгов сегмент; С Δ - площта на триъгълник с върхове в центъра на кръга и в краищата на радиусите, ограничаващи съответния сектор.

Знакът минус трябва да се вземе, когато α< 180˚, а знак «плюс» надо брать, когда α >180˚.

Уравнение на окръжност в декартови координатих, г с център в точка (а; b):

(х –а) 2 + (y–b) 2 = Р 2

Окръжност, описана около триъгълник (фиг. 4).

Окръжност, вписана в триъгълник (фиг. 5).

Ъгли, вписани в окръжност (фиг. 3).

Ъгъл, чийто връх лежи върху окръжност и чиито страни пресичат тази окръжност, се нарича вписан в кръг.

Основни понятия:

Ъгълът разделя равнината на две части. Всяка от тези части се нарича плосък ъгъл.

Наричат ​​се равнинни ъгли с общи страни допълнителен.

Равен ъгъл с върха в центъра на окръжността се нарича централен ъгъл(фиг.2)



Пропорционалност на отсечки от хорди и секущи на окръжност.

Специални случаи и формули:

1) От точка C, разположена извън кръга, начертайте допирателна към кръга и означете точката на техния контакт с буквата D.

След това изчертаваме секанс от същата точка C и означаваме пресечните точки на секанса и окръжността с буквите A и B (фиг. 8).

В този случай:

CD 2 =климатик ·пр.н.е.

2) Начертайте диаметъра AB в кръга. След това от точка C, разположена на окръжността, начертайте перпендикуляр на този диаметър и означете получения сегмент CD (фиг. 9).

В този случай:

CD 2 =AD ·Б.Д.

кръг- геометрична фигура, състояща се от всички точки на равнината, разположени на дадено разстояние от дадена точка.

Тази точка (О) се нарича център на кръга.
Радиус на кръга- това е сегмент, свързващ центъра с всяка точка от окръжността. Всички радиуси имат еднаква дължина (по дефиниция).
Акорд- сегмент, свързващ две точки от окръжност. Нарича се хорда, минаваща през центъра на окръжност диаметър. Центърът на кръг е средата на произволен диаметър.
Всякакви две точки от окръжност я разделят на две части. Всяка от тези части се нарича дъга от окръжност. Дъгата се нарича полукръг, ако отсечката, свързваща краищата му, е диаметър.
Дължината на единичен полукръг се означава с π .
Сумата от градусните мерки на две дъги на окръжност с общи краища е равна на 360º.
Частта от равнината, ограничена от окръжност, се нарича навсякъде наоколо.
Кръгов сектор- част от окръжност, ограничена от дъга и два радиуса, свързващи краищата на дъгата с центъра на окръжността. Дъгата, която ограничава сектора, се нарича дъга на сектора.
Две окръжности с общ център се наричат концентричен.
Две окръжности, пресичащи се под прав ъгъл, се наричат ортогонален.

Относителното положение на права линия и окръжност

  1. Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-малко от радиуса на окръжността ( г), тогава правата и окръжността имат две общи точки. В този случай линията се извиква секущапо отношение на кръга.
  2. Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е равно на радиуса на окръжността, то правата и окръжността имат само една обща точка. Тази линия се нарича допирателна към окръжността, а тяхната обща точка се нарича точка на допир между права и окръжност.
  3. Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-голямо от радиуса на окръжността, тогава правата линия и окръжността нямат допирни точки
    4. .

Централни и вписани ъгли

Централен ъгъле ъгъл, чийто връх е в центъра на окръжността.
Вписан ъгъл- ъгъл, чийто връх лежи върху окръжност и чиито страни пресичат окръжността.

Теорема за вписания ъгъл

Вписан ъгъл се измерва с половината от дъгата, върху която той се намира.

  • Следствие 1.
    Вписаните ъгли, обхващащи една и съща дъга, са равни.

  • Следствие 2.
    Вписан ъгъл, сключен от полукръг, е прав ъгъл.

Теорема за произведението на отсечки от пресичащи се хорди.

Ако две хорди на окръжност се пресичат, тогава произведението на сегментите на едната хорда е равно на произведението на сегментите на другата хорда.

Основни формули

  • Обиколка:
C = 2∙π∙R
  • Дължина на кръговата дъга:
R = С/(2∙π) = D/2
  • Диаметър:
D = C/π = 2∙R
  • Дължина на кръговата дъга:
l = (π∙R) / 180∙α,
Къде α - градусна мярка за дължината на кръгова дъга)
  • Площ на кръга:
S = π∙R 2
  • Площ на кръговия сектор:
S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Уравнение на окръжност

  • IN правоъгълна системакоординатно уравнение на радиус на окръжност rцентриран в точка В(x o; y o) има формата:
(x - x o) 2 + (y - y o) 2 = r 2
  • Уравнението на окръжност с радиус r с център в началото има формата:
x 2 + y 2 = r 2

Кръгът е крива затворена линия на равнина, всички точки на която са на еднакво разстояние от една точка; тази точка се нарича център на окръжността.

Частта от равнината, ограничена от окръжност, се нарича окръжност.

Отсечка от права линия, свързваща точка от окръжност с нейния център, се нарича радиус(фиг. 84).

Тъй като всички точки на окръжността са на еднакво разстояние от центъра, тогава всички радиуси на същата окръжност са равни един на друг. Радиусът обикновено се обозначава с буквата Рили r.

Точка, взета вътре в кръг, се намира от центъра му на разстояние, по-малко от радиуса. Това е лесно да се провери, ако начертаете радиус през тази точка (фиг. 85).

Точка, взета извън кръга, се намира от центъра му на разстояние, по-голямо от радиуса. Това може лесно да се провери, като тази точка се свърже с центъра на окръжността (фиг. 85).

Отсечка от права линия, свързваща две точки от окръжност, се нарича хорда.

Хордата, минаваща през центъра, се нарича диаметър(фиг. 84). Диаметърът обикновено се обозначава с буквата D. Диаметърът е равен на два радиуса:

Тъй като всички радиуси на една и съща окръжност са равни един на друг, тогава всички диаметри на дадена окръжност са равни един на друг.

Теорема. Хорда, която не минава през центъра на кръг, е по-малка от диаметъра, начертан в същия кръг.

Всъщност, ако начертаем някаква хорда, например AB, и свържем краищата й с центъра O (фиг. 86), ще видим, че хордата AB е по-малка от прекъснатата линия AO + OB, т.е. AB r, и от 2 r= D, тогава AB

Ако кръгът е огънат по диаметъра (фиг. 87), тогава двете части на кръга и кръгът ще се изравнят. Диаметърът разделя кръга и обиколката на две равни части.

Две окръжности (две окръжности) се наричат ​​равни, ако могат да бъдат насложени една върху друга, така че да съвпадат.

Следователно две окръжности (две окръжности) с равни радиуси са равни.

2. Дъга от окръжност.

Част от окръжност се нарича дъга.

Думата "дъга" понякога се заменя със знака \(\breve( )\). Дъгата се обозначава с две или три букви, две от които са поставени в краищата на дъгата, а третата в някаква точка на дъгата. На чертеж 88 са посочени две дъги: \(\breve(ACB)\) и \(\breve(ADB)\).

Когато една дъга е по-малка от полукръг, тя обикновено се обозначава с две букви. По този начин дъгата ADB може да бъде означена като \(\breve(AB)\) (фиг. 88). За хорда, която свързва краищата на дъга, се казва, че стяга дъгата.

Ако преместим дъгата AC (фиг. 89, а) така, че да се плъзга по дадената окръжност и ако в същото време съвпадне с дъгата MN, тогава \(\breve(AC)\) = \(\breve (NM)\).

На чертеж 89, b, дъгите AC и AB не са равни една на друга. И двете дъги започват в точка А, но едната дъга \(\breve(AB)\) е само част от другата дъга \(\breve(AC)\).

Следователно \(\breve(AC)\) > \(\breve(AB)\); \(\breve(AB)\)

Построяване на кръг с помощта на три точки

Задача. Начертайте окръжност през три точки, които не лежат на една права.

Нека са ни дадени три точки A, B и C, които не лежат на една права (фиг. 311).

Нека свържем тези точки с отсечки AB и BC. За да намерите точки, еднакво отдалечени от точките A и B, разделете сегмента AB наполовина и начертайте линия, перпендикулярна на AB през средата (точка M). Всяка точка от този перпендикуляр е еднакво отдалечена от точките A и B.

За да намерим точки, еднакво отдалечени от точки B и C, разделяме сегмента BC наполовина и начертаваме линия, перпендикулярна на BC през средата му (точка N). Всяка точка от този перпендикуляр е еднакво отдалечена от точки B и C.

Точка O на пресечната точка на тези перпендикуляри ще бъде на същото разстояние от тези точки A, B и C (AO = BO = CO). Ако вземем точка O за център на окръжност с радиус, равен на AO, начертаем окръжност, то тя ще минава през всички дадени точки A, B и C.

Точка O е единствената точка, която може да служи като център на окръжност, минаваща през три точки A, B и C, които не лежат на една права, тъй като два перпендикуляра на отсечки AB и BC могат да се пресичат само в една точка. Това означава, че проблемът има уникално решение.

Забележка. Ако три точки A, B и C лежат на една права, то задачата няма да има решение, тъй като перпендикулярите на отсечките AB и BC ще са успоредни и няма да има точка, еднакво отдалечена от точките A, B, C , т.е. точка, която може да служи като център на желаната окръжност.

Ако свържем точките A и C с сегмент и свържем средата на този сегмент (точка K) с центъра на окръжността O, тогава OK ще бъде перпендикулярна на AC (фиг. 311), тъй като в равнобедрения триъгълник AOC OK е медианата, следователно OK⊥AC.

Последица. Три перпендикуляра към страните на триъгълник, прекарани през техните среди, се пресичат в една точка.

кръге фигура, която се състои от всички точки на равнината, еднакво отдалечени от дадена точка. Тази точка се нарича център на окръжността.

Окръжност с нулев радиус (изродена окръжност) е точка; понякога този случай се изключва от дефиницията.

Енциклопедичен YouTube

    1 / 5

    Кръг и неговите свойства (безботви)

    Вписана и описана окръжност - от bezbotvy

    Математика: подготовка за OGE и Единния държавен изпит. Планиметрия. Окръжности и техните свойства

    Математика 26. Компаси. Кръг и кръг - Шишкина школа

    УРАВНЕНИЕ НА ОКРУГ. ЗАДАЧА 18 (C5). АРТЪР ШАРИФОВ

    субтитри

Наименование

Ако една окръжност минава например през точки A, B, C, тогава тя се обозначава с посочване на тези точки в скоби: (A, B, C). Тогава дъгата от окръжност, минаваща през точки A, B, C, се означава като дъга ABC (или дъга AC), както и υ ABC (или υ AC).

Други определения

  • Диаметър кръг AB А, Б ABвидими под прав ъгъл (Определяне през ъгъла въз основа на диаметъра на кръга).
  • Кръг с акорд ABе фигура, съставена от точки А, Би всички точки на равнината, от която отсечката ABвидима под постоянен ъгъл от едната страна, равна на вписан ъгъл на дъга AB, и под друг постоянен ъгъл от другата страна, равен на 180 градуса минус вписан ъгъл на дъга AB, посочени по-горе (Определяне чрез вписан ъгъл).
  • Фигура, състояща се от такива точки X , (\displaystyle X,)че отношението на дължините на отсечките БРАВИЛАИ BXпостоянно: A X B X = c ≠ 1 , (\displaystyle (\frac (AX)(BX))=c\neq 1,)е кръг (Определение през кръга на Аполоний).
  • Фигура, състояща се от всички такива точки, за всяка от които сумата от квадратите на разстоянията до две дадени точки е равна на дадена стойност, по-голяма от половината от квадрата на разстоянието между дадените точки, също е кръг (Дефиниция чрез Питагоровата теорема за произволно правоъгълен триъгълниквписана в окръжност, като хипотенузата е диаметърът на окръжността).
  • Мначертайте всякакви акорди вътре в него AB, CD, Е.Ф.и т.н., тогава са валидни равенствата: A M ⋅ M B = C M ⋅ M D = E M ⋅ M F = … (\displaystyle AM\cdot (MB)=CM\cdot (MD)=EM\cdot (MF)=\dots ). Равенствата винаги ще бъдат изпълнени, независимо от избора на точка Ми посоките на хордите, прекарани през него (Определяне чрез пресичащи се хорди).
  • Окръжността е затворена, самонепресичаща се фигура със следното свойство. Ако през произволна точка Мизвън него, начертайте две допирателни към точките на техния контакт с кръга, например, АИ б, тогава техните дължини винаги ще бъдат равни: M A = M B (\displaystyle MA=MB). Равенството винаги ще е валидно, независимо от избора на точка М(Определяне чрез равни допирателни).
  • Окръжността е затворена, самонепресичаща се фигура със следното свойство. Съотношението на дължината на която и да е от нейните акорди към синуса на която и да е от нейните вписан ъгъл, въз основа на тази хорда, е постоянна стойност, равна на диаметъра на тази окръжност (дефиниция чрез теоремата на синусите).
  • Кръгът е специален случайелипса, при която разстоянието между фокусите е нула (дефиниция от гледна точка на изродена елипса).

Свързани определения за един кръг

  • Геометричното място на точките в равнината, разстоянието от които до дадена точка не е по-голямо от дадено ненулево разстояние, се нарича навсякъде наоколо .
  • Радиус- не само разстоянието, но и сегмент, свързващ центъра на окръжността с една от нейните точки. Радиусът винаги е наполовина диаметъркръгове.
  • Радиусът винаги е перпендикулярен на допирателната, начертана към окръжността в общата й точка с окръжността. Тоест, радиусът също е нормалата към окръжността.
  • Кръгът се нарича единичен , ако радиусът му е равен на единица. Единична окръжносте един от основните обекти на тригонометрията.
  • Отсечка, свързваща две точки от окръжност, се нарича нейна акорд. Нарича се хорда, минаваща през центъра на окръжност диаметър.
  • Всякакви две несъвпадащи точки от окръжност я разделят на две части. Всяка от тези части се нарича дъга от окръжност. Дъгата се нарича полукръг, ако отсечката, свързваща краищата му, е диаметър.
  • Дължината на единичен полукръг се означава с .
  • Права, която има точно една обща точка с окръжност, се нарича допирателнакъм окръжност, а тяхната обща точка се нарича допирна точка на правата и окръжността.
  • Допирателнакъм окръжност винаги е перпендикулярна на нейния радиус (и диаметър), начертан в точката на контакт, която е нормално, извършена към този момент.
  • Нарича се права линия, минаваща през две различни точки на окръжност секуща.

Определяне на триъгълници за една окръжност

  • Триъгълник ABC се нарича вписан в кръг(A,B,C), ако и трите му върха A, B и C лежат на тази окръжност. В този случай кръгът се нарича описана окръжност триъгълник ABC(Виж Обиколка).
  • Допирателнана окръжност, начертана през произволен връх на вписан в нея триъгълник, е антиуспоредна на противоположната на дадения връх страна на триъгълника.
  • Триъгълник ABC се нарича описана около окръжност(A", B", C"), ако и трите му страни AB, BC и CA докосват тази окръжност съответно в някои точки C", A" и B". В този случай кръгът се нарича вписан кръгтриъгълник ABC (Виж Вписана окръжност).

Дефиниции на ъгли за една окръжност

  • Ъгълът, образуван от дъга от окръжност, равна по дължина на радиуса, се приема за 1 радиан.
  • Централнаъгъл - ъгъл, чийто връх е в центъра на окръжността. Централният ъгъл е равен на мярката радиан/градус на дъгата, върху която лежи (виж фигурата).
  • Надписан  ъгъл - ъгъл, чийто връх лежи върху окръжност и чиито страни пресичат тази окръжност. Вписан ъгълравна на половината градусна мярка на дъгата, върху която лежи (виж фигурата).
  • Външен ъгълЗа Надписан  ъгъл - ъгълът, образуван от едната страна и продължението на другата страна надписанъгъл (вижте фиг. ъгъл θ кафяв). Външен ъгълза ъгъл, вписан от другата страна на окръжност, има същата стойност θ .
  • Ъгъл между окръжност и права линия- ъгълът между права и допирателна към окръжност в точката на пресичане на правата и окръжността. Двата ъгъла между пресичаща се окръжност и права линия са равни.
  • Ъгъл, сложен от диаметъра на окръжност- ъгъл, вписан в този кръг, чиито страни съдържат краищата на диаметъра. Той винаги е директен.

Свързани определения за два кръга

  • Две окръжности с общ център се наричат концентричен.
  • Две окръжности, които имат само една обща точка, се наричат относно външно, ако техните кръгове нямат други общи точки, и вътрешно, ако кръговете им лежат една в друга.
  • Две окръжности с две общи точки се наричат пресичащи се. Техните кръгове (ограничени от тях) се пресичат в област, наречена сегмент с двойна окръжност.
  • Ъгълмежду две пресичащи се (или допирателни) окръжности е ъгълът между техните допирателни, начертан в общата точка на пресичане (или допирателна).
  • Също така ъгълмежду две пресичащи се (или допирателни) окръжности, можем да разгледаме ъгъла между техните радиуси (диаметри), начертани в общата точка на пресичане (или допирателна).
  • Тъй като за всяка окръжност нейният радиус (или диаметър) и допирателната, прекарани през всяка точка на окръжността, са взаимно перпендикулярни, радиусът (или диаметърът) може да се счита нормалнокъм окръжност, построена в дадена точка. Следователно двата вида ъгли, дефинирани в предишните два параграфа, винаги ще бъдат равни един на друг, като ъгли с взаимно перпендикулярни страни.
  • прав ъгъл се наричат ортогонален. Кръговете могат да се броят ортогонален, ако образуват прав ъгъл помежду си.
  • Радикална ос на две окръжности- геометрично място на точки, чиито градуси спрямо две дадени окръжности са равни. С други думи, дължините на четири допирателни, начертани към две дадени окръжности от всяка точка, са равни Мдадено геометрично местоположение на точките.

Определения на ъгли за две окръжности

  • Ъгъл между две пресичащи се окръжности- ъгълът между допирателните към окръжностите в точката на пресичане на тези окръжности. Двата ъгъла между две пресичащи се окръжности са равни.
  • Ъгъл между две несвързани окръжности- ъгълът между две общи допирателни към две окръжности, образуван в точката на пресичане на тези две допирателни. Пресечната точка на тези две допирателни трябва да лежи между двете окръжности, а не от страната на една от тях (този ъгъл не се взема предвид). Двата вертикални ъгъла между две несвързани окръжности са равни.

Ортогоналност

  • Две окръжности, пресичащи се под прав ъгъл, се наричат ортогонален. Кръговете могат да се броят ортогонален, ако образуват прав ъгъл помежду си.
  • Две окръжности, пресичащи се в точки A и B с центрове O и O" се наричат ортогонален, ако ъглите OAO" и OBO" са прави ъгли. Именно това условие гарантира прав ъгълмежду кръгове. В този случай радиусите (нормалите) на двете окръжности, начертани до точката на тяхното пресичане, са перпендикулярни. Следователно допирателните на две окръжности, начертани до точката на тяхното пресичане, също са перпендикулярни. Допирателната на окръжност е перпендикулярна на радиуса (нормална), начертан към точката на допиране. Обикновено ъгълът между кривите е ъгълът между техните допирателни, начертани в точката на тяхното пресичане.
  • Възможно е и друго допълнително условие. Нека две окръжности, пресичащи се в точки A и B, имат среди на пресичащи се дъги в точки C и D, т.е. дъга AC е равна на дъга CB, дъга AD е равна на дъга DB. Тогава тези кръгове се наричат ортогонален, ако ъглите CAD и CBD са прави ъгли.

Свързани определения за три кръга

  • Три окръжности се наричат ​​взаимно допирателни (пресичащи се), ако всеки две от тях се допират (пресичат) една друга.
  • В геометрията радикален центъртри кръга е пресечната точка на трите радикални оси на двойки кръгове. Ако радикалният център лежи извън всичките три кръга, тогава той е център на единичен кръг ( радикален кръг), която пресича три дадени окръжности ортогонален.

Лема на Архимед

Доказателство

Нека G (\displaystyle G)- хомотетия, която трансформира малък кръг в голям. Тогава е ясно, че A 1 (\displaystyle A_(1))е центърът на тази хомотетия. После направо B C (\displaystyle BC)ще премине в някаква права линия a (\displaystyle a)допирателна към големия кръг и A 2 (\displaystyle A_(2))ще отиде до точка на тази права и принадлежаща на голям кръг. Припомняйки си, че хомотетията прави прави в успоредни на тях прави, разбираме това a ∥ B C (\displaystyle a\parallel BC). Нека G (A 2) = A 3 (\displaystyle G(A_(2))=A_(3))И D (\displaystyle D)- точка на линия a (\displaystyle a), така че да е остър и E (\displaystyle E)- такава точка на права a (\displaystyle a), Какво ∠ B A 3 E (\displaystyle \angle BA_(3)E)- пикантен. Тогава, тъй като a (\displaystyle a)- допирателна към големия кръг ∠ C A 3 D (\displaystyle \angle CA_(3)D)= (\displaystyle =)∠ C B A 3 (\displaystyle \angle CBA_(3))= ∠ B A 3 E = ∠ B C A 3 (\displaystyle =\ъгъл BA_(3)E=\ъгъл BCA_(3)). Следователно △ B C A 3 (\displaystyle \bigtriangleup BCA_(3))- равнобедрен, което означава ∠ B A 1 A 3 = ∠ C A 1 A 3 (\displaystyle \angle BA_(1)A_(3)=\angle CA_(1)A_(3)), т.е A 1 A 2 (\displaystyle A_(1)A_(2))- ъглополовяща ∠ B A 1 C (\displaystyle \angle BA_(1)C).

Теорема на Декарт за радиусите на четири по двойки допирателни окръжности

Теорема на Декарт"заявява, че радиусите на всеки четири взаимно допиращи се окръжности отговарят на определено квадратно уравнение. Понякога се наричат ​​кръгове на Соди.

Свойства

x 2 + y 2 = R 2 .

(\displaystyle x^(2)+y^(2)=R^(2).) Уравнение на окръжност, минаваща през точки(x 1 , y 1) , (x 2 , y 2) , (x 3 , y 3) , (\displaystyle \left(x_(1),y_(1)\right),\left(x_(2) ,y_(2)\вдясно),\вляво(x_(3),y_(3)\вдясно),)

не лежи на една и съща права линия (с помощта на детерминанта): |< 2 π . {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+R\cos \varphi \\y=y_{0}+R\sin \varphi \end{cases}},\;\;\;0\leqslant \varphi <2\pi .}

x 2 + y 2 x y 1 x 1 2 + y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 y 3 1 |

= 0. (\displaystyle (\begin(vmatrix)x^(2)+y^(2)&x&y&1\\x_(1)^(2)+y_(1)^(2)&x_(1)&y_(1 )&1\\x_(2)^(2)+y_(2)^(2)&x_(2)&y_(2)&1\\x_(3)^(2)+y_(3)^(2)&x_ (3)&y_(3)&1\end(vmatrix))=0.)

( x = x 0 + R cos ⁡ φ y = y 0 + R sin ⁡ φ , 0 ⩽ φ

В декартовата координатна система окръжността не е графика на функция, но може да се опише като обединение на графиките на следните две функции:

y = y 0 ± R 2 − (x − x 0) 2 .

(\displaystyle y=y_(0)\pm (\sqrt (R^(2)-(x-x_(0))^(2))).) Ако центърът на окръжността съвпада с началото, функциите приемат формата:центриран в точка y = ± R 2 − x 2 ..