Лабораторна работа №1.

„Динамика на населението“.

Моделиране на динамиката на населението с помощта на изчислителна програма

Цел на работата:Изследване на модели за динамика на популацията с помощта на програма за изчисляване.

Разрешен за работа

Завърши работата

Защитих работата си

2010 Ж.

1 ТЕОРЕТИЧНО ВЪВЕДЕНИЕ

Според определението на известния руски еколог С. С. Шварц, населениее елементарна група организми от определен вид, която има всички необходими условия да поддържа числеността си за дълго време при постоянно променящи се условия на околната среда.

Популацията, като всяка биологична отворена система, се характеризира с определена структура, растеж, развитие и устойчивост на абиотични и биотични фактори.

Най-важният показател за благосъстоянието на едно население (устойчивост) и неговата роля във функционирането на естествената екосистема е неговият размер.

Числеността на населението се определя основно от две явления – раждаемост и смъртност, както и миграция.

Плодовитост - броят на новите индивиди, появили се за единица време в резултат на размножаването.По време на процеса на размножаване броят на индивидите се увеличава теоретично, той е способен да расте неограничено.

Съществуват различни видове промени в броя на индивидите в популацията в зависимост от времето (динамика на популацията). В най-простите случаи динамиката на популацията може да бъде описана с прости математически модели, които позволяват да се предскажат промените в броя на индивидите.

1. Експоненциално нарастване на числата.

Предложен е един от най-ранните модели на растеж на населението Т. Малтус 1798, широко известна творба„За принципите на населението“. Този модел се нарича експоненциалензависимостинарастване на населението (крива на експоненциален растеж). Този модел предполага неограничено количество природни ресурси,достъпни за отделни лица от населението, и липсата на ограничаващи факториза нарастване на населението. При такива предположения броят на индивидите в популацията нараства по степенен закон, т.е. много бързо и неограничен.

Ако означим с п 0 брой индивиди в популацията и начална времева точка (t 0 ), и чрез N t броя на индивидите в даден момент от времето t (t>t 0). Тогава промяната в числото ∆N през интервала от време ∆ t. тези. темпът на нарастване на населението ще бъде равен на:

(1)

Израз (1) показва средния темп на нарастване на населението. В популационната екология обаче по-често не се използва абсолютната средна скорост, а скоростта на растеж на организъм (специфична скорост):

(2)

Този индикатор ви позволява да сравнявате стойностите на промените в броя на популациите с различни размери. В този случай изобилието се определя като скоростта на нарастване от един индивид за определен интервал от време.

Преминавайки към ограничаващата форма на скоростта на запис при
0 и
и въвеждане на нова нотация:

(3)

В израз (3) индикатор rможе да се определи като моментното специфично темп на нарастване на населението. За различни популации от един и същи вид този индикатор може да има различни значения. Най-голямата от всички възможни стойности (r max) се нарича биотичен или репродуктивен потенциал на популацията

Като се има предвид израз (3), скоростта на нарастване на населението може да се опише със следния израз

(4)

Като диференцираме израз (4), получаваме, че във всеки момент от време, при условие r=const (постоянен темп на растеж), броят на индивидите в популацията ще бъде равен на:
(5)

Формула (5) описва експоненциален модел на нарастване на населението, който в графичен вид има формата на крива (фиг. 1). Моделът на експоненциалния растеж отговаря на условията неограничен растежброй индивиди в популацията.

ориз. 1. Експоненциална крива на нарастване на броя на индивидите в популацията

1. Модел на растеж на логистиката

Нарича се максималният размер на популацията, който една екосистема може да поддържа неограничено време при постоянни природни условия капацитет на екосистематаза този тип.

Промяна на населениетое връзката между биологичния потенциал (добавяне на индивиди) и устойчивостта на околната среда (смърт на индивиди, смъртност). Факторите на съпротивлението на околната среда водят до увеличаване на смъртността и кривата на населението достига плато или дори намалява, ако демографският взрив е причинил изчерпването на жизненоважни ресурси на екосистемата. Кривата на нарастване на населението с устойчивост на околната среда става S-преносен изглед (фиг. 2).

ориз. 2 . S-образен модел на растеж на населението

Така при естествени условия неограниченият растеж е невъзможен и рано или късно населението ще достигне своя лимит, което се определя среден капацитет(пространствени, хранителни и др.). Ако означим с максимално възможен брой индивиди в популация определена стойност K (среден капацитет) и въведе индикатор за корекция, който взема предвид "съпротива"среда за нарастване на населението под формата на съотношението:

,

тогава уравнението за такъв случай ще бъде написано като форма:

(7)

Решението на това диференциално уравнение ще има формата

(8)

Къде А -константа на интегриране, която определя позицията на функцията спрямо началото може да се намери от израза (предоставен r= конст).

(9)

Изразът (8) описва т.нар крива на растеж на логистиката(фиг. 2). Това е вторият най-прост математически модел на динамиката на популацията, подчинен на горна граница на размера на популацията и съпротивлението на околната среда срещу растежа на населението. Според този модел размер на населението в началотоетап расте доста бързо, но след това темпът на нарастване на населението се забавя истава безкрайно малка близо до стойносттаДО (логистичната крива асимптотично се доближава до хоризонталата ДО).

СубектиКомплектация: зимни гуми. Регион: Украйна. Марж: 13%. Промоционален период: 1.09 - 31.12 2012 г. срещу 1.09 - 31.12 2013 г. Разходване: 42 389 UAH срещу 131 341 UAH. (включително агентски такси).

Въпреки че не съм математик по образование, имам страст към тази наука, така че статията ще използва някои, на пръв поглед, сложни математически термини.

Целта на тази статия е да поговорим за един любопитен феномен: удвоявайки рекламния си бюджет, вие започвате да печелите не два пъти повече, а 2,5, 3 и т.н. пъти повече. Разбира се, преди определена точка. Това явление в математиката се нарича експоненциален растеж. Пример за експоненциален растеж би бил увеличаването на броя на бактериите в колония, преди да настъпи ограничение на ресурсите.

Тези от вас, които са се сблъсквали със сложна лихва, например при изчисляване на доходите от депозити, веднага ще разберат за какво говорим, тъй като сложната лихва е просто още един пример за експоненциален растеж. Ако не изтеглите натрупаните средства от депозита, тогава нарастването на доходите се случва не линейно, а експоненциално. Същото е и с ръста на приходите от продажби: с увеличаването на бюджета за реклама приходите растат експоненциално. В рамките на тази статия бих искал да илюстрирам още един феномен. Именно поради това явление отделът за контекстна реклама вече не се нарича така, а отдел за платен трафик. Става въпрос заза синергичния ефект.

Какъв е синергичният ефект? Нека си представим идеална ситуация: има онлайн магазин, за промоцията му през първия месец е използвана само контекстна реклама, която е донесла 20 продажби, а през втория месец е използвана само SEO промоция, която също е донесла 20 продажби. През третия месец бяха използвани както контекстна реклама, така и SEO - което в крайна сметка даде не 40 продажби, а 50. Това е синергичният ефект: ситуация, при която взаимодействието на два или повече фактора дава увеличение на резултатите, по-голямо от всеки от тези фактори биха могли да бъдат произведени отделно.

Използвайки два или повече рекламни канала едновременно, ние получаваме по-голяма възвращаемост. Знаейки от първа ръка за синергичния ефект, нашите интернет търговци се стремят да използват възможно най-много рекламни канали. Препоръчваме да вземете под внимание този малък трик :) Сега нека преминем към конкретен пример, който ще илюстрира всичко по-горе - случай на услугата „платен трафик“ по темата за гумите.

Веднага ще прикача нова екранна снимка от Google Analytics, тъй като знам, че читателите на казуси ги обичат много:

Този случай отразява допълнителни резултати от работата по проекта, чийто случай публикувах миналата година. Нека сравним тези две години. Като начало, нека сравним разходите за всеки сезон - 2012 и 2013 (под сезон имам предвид периода от 1 септември до 31 декември):

• реклама в ценови агрегатори;
• контекстна реклама.

През сезон 2012 рекламата беше използвана в Google Ads и разположение в две ценови листи: Yandex.Market и Hotline.ua. През подобен сезон на 2013 г. рекламата вече беше използвана в Google Ads, Yandex.Direct и 10 ценови агрегатора. Използването на допълнителни рекламни канали увеличи разходите с почти 310%. Сега нека видим как приходите от проекта са се увеличили с увеличение на рекламните разходи с 310%:

Така виждаме, че чрез увеличаване на разходите за реклама с 310% ние увеличихме доходите на клиента не с 310%, а с 573%. Прекрасно, нали?! Тоест растежът на доходите в сравнение с разходите не се извършва линейно, а експоненциално.

При получаването на такъв резултат, разбира се, имаше синергичен ефект.

Нека да разгледаме ръста на брутната печалба:

Нека също да илюстрираме как броят на транзакциите е нараснал:

Тази екранна снимка ни позволява да направим изводи за ситуацията със средния чек. Ако приходите са се увеличили с 573%, а броят на продажбите с 557%, тогава става ясно, че средният чек се е увеличил леко.

Разполагайки с данни за приходите от Google Analytics, разходите и маржовете, нека изчислим най-важния показател за ефективност - ROMI (възвръщаемост на маркетинг инвестициите) по следната формула:

ROMI = ((Приходи × Марж) - Клиентски разходи) / Клиентски разходи

И така, нека сравним резултатите от ROMI за двата сезона:

Важно е да се отбележи, че при изчисляването на ROMI взехме предвид само приходите, които Google Analytics показва, което означава, че не сме взели предвид още 80% от продажбите, които са направени по телефона, тоест взехме предвид само 20% от получените доходи на клиента - това е само 5-та част.

Много интересна ситуация възниква, когато изчисляваме ROMI, като вземаме предвид 80% от телефонните поръчки. За да направите това, нека умножим нашия доход по 5 и след това броим както обикновено:

Ръстът на ROMI, базиран на доход, който е по-близък до реалността, изглежда още по-привлекателен. Въпросът обаче не е само в ROMI, а в реално увеличение на оборота: значително повече клиенти -> значително повече продажби.

Сега отново резултатите от сезон 2013

Клиентски разходи: 131 341 UAH. (включително агентски такси). Марж: 13%. Брой транзакции: 880. Приходи от Google Анализ: 1 317 166,2 UAH. Брутна печалба (включително поръчки по телефона): 856 158 UAH. ROMI по брутна печалба (включително поръчки по телефона) : 551,86%.

Разбира се, полученият резултат далеч не е границата: има място за увеличаване на рекламния бюджет > има място за нарастване на приходите на клиента. През следващия сезон със сигурност ще използваме допълнителни рекламни канали (броят им вероятно никога няма да свърши).

Сред задължителните функции на новия сезон е използването на инструмента за проследяване на телефонни поръчки ifTheyCall. Това е нов продукт от Netpeak, който просто нямахме време да използваме през сезона септември-декември 2013 г. Този инструмент ще ви позволи по-точно да оцените въздействието на всеки рекламен канал, да преразпределите бюджета си и да бъдете още по-ефективни.

Ще илюстрирам резултатите под формата на снимки.

Както можете да видите от графиката, точката на рентабилност е по-долу. До този момент инвестицията в реклама няма да се изплати. Например, ако похарчите 100 UAH. за да получите 100 кликвания - вероятността да получите продажба, която би възвърнала тези инвестиции, е практически равна на 0. Втората точка на графиката е оптималната точка (да я наречем така) - това е, когато инвестирате максималната сума пари в рекламиране и получаване на максимален доход. След тази точка има преминаване към насищане, тоест пазарът е наситен, всички са обхванати от реклама потенциални купувачи, увеличението на инвестициите в реклама вече не води до увеличаване на доходите. Ако вашият рекламен бюджет е под точката на рентабилност, шансовете са, че като инвестирате два пъти повече в реклама, приходите ви ще растат експоненциално, докато достигнете оптималната точка.

• синергичен ефект от използването на 2 или повече рекламни канала едновременно:

Всичко, което остава да добавите към тази илюстрация, е да опитате нови рекламни канали :)

Както беше подчертано в предишния раздел, всяка популация по принцип е способна експоненциално да увеличава размера си и затова експоненциалният модел се използва за оценка на потенциала за растеж на популациите. В някои случаи обаче експоненциалният модел се оказва подходящ за описание на реално наблюдавани процеси. Очевидно това е възможно, когато за достатъчно дълго време (спрямо продължителността на поколението) нищо не ограничава растежа на популацията и съответно показателя за нейния специфичен темп ( r) поддържа постоянна положителна стойност.

Например през 1937 г. 2 мъжки и 6 женски фазана са докарани на малкия остров Протекши (край северозападния бряг на САЩ, близо до щата Вашингтон). (Phasanius colchicus torqualus),преди това не се срещаше на острова. Същата година започва размножаването на фазаните, а 6 години по-късно популацията, която започва с 8 птици, вече наброява 1898 индивида. Както следва от фиг. 28 а,поне през първите 3-4 години нарастването на броя на фазаните беше добре описано чрез експоненциална зависимост (права линия на логаритмична ординатна скала). За съжаление, по-късно, поради избухването на военни действия, войските са разположени на острова, годишните преброявания са спрени, а самата популация на фазаните е до голяма степен унищожена.

друг известен случайекспоненциален растеж на популацията - увеличаване на числеността на популацията на гугутката (Streptopelia decaocto)на Британските острови в края на 50-те и началото на 60-те години. (Фиг. 28, b). Този растеж спря едва след 8 години, след като всички подходящи местообитания бяха заселени.

Списъкът с примери за експоненциално нарастване на населението може да бъде продължен. По-специално, няколкократно експоненциално (или поне близко до експоненциално) увеличение на числата северен елен (Rangifer tarandus)наблюдавани по време на въвеждането му на различни острови. Така от 25 индивида (4 мъжки и 21 женски), донесени на остров Сейнт Пол през 1911 г. (част от архипелага на островите Прибилоф в Берингово море), се появява популация, чийто размер до 1938 г. е . достигна 2 хиляди индивида, но след това последва рязък спад и до 1950 г. на острова останаха само 8 елена. Подобна картина се наблюдава на остров Свети Матю (също намиращ се в Берингово море): 29 индивида (5 мъжки и 24 женски), въведени на острова през 1944 г., доведоха до популация от 1350 индивида през 1957 г., а през 1963 г. - около 6 хиляди индивида (площта на този остров е 332 km 2, което е приблизително три пъти площта на остров Сейнт Пол). През следващите години обаче има катастрофален спад в броя на елените до 1966 г. и в двата случая причината е останала рязък спадимаше недостиг на бройки зимно времехрана, състояща се почти изключително от лишеи.

В лабораторията е възможно да се създадат условия за експоненциален растеж, ако култивираните организми се снабдяват с излишък от ресурси, които обикновено ограничават тяхното развитие, а също и чрез поддържане на стойността на всички физикохимични параметри на околната среда в допустимите граници на дадения видове. Често, за да се поддържа експоненциален растеж, е необходимо да се премахнат метаболитните продукти на организмите (използвайки например поточни системи при култивиране на различни водни животни и растения) или да се изолират зараждащите се индивиди един от друг, за да се избегне струпването (това е важно за например, когато култивирате много гризачи и други животни с достатъчно трудно поведение). На практика не е трудно експериментално да се получи експоненциална крива на растеж само за много малки организми (дрожди, протозои, едноклетъчни водорасли и др.). Големи организмикултивирам в големи количестватрудно по чисто технически причини. Освен това това изисква много време.

В природата са възможни и ситуации, при които възникват условия за експоненциален растеж, и то не само за островните популации. Например в езера умерени ширинипрез пролетта, след топенето на леда, повърхностните слоеве съдържат голям бройбиогенните елементи (фосфор, азот, силиций) обикновено са в дефицит на планктонните водорасли и затова не е изненадващо, че веднага след затоплянето на водата се наблюдава бързо (близко до експоненциално) нарастване на броя на диатомеите или зелените водорасли. То спира едва когато всички дефицитни елементи се свържат в клетките на водораслите или когато производството на популациите се балансира от консумацията им от различни фитофаги.

Въпреки че има други примери за действително наблюдавани експоненциални увеличения на числата, не може да се каже, че са многобройни. Очевидно увеличаването на размера на популацията според експоненциалния закон, ако се случи, е само много кратко време, последвано от спад или достигане на плато (= стационарно ниво). По принцип са възможни няколко варианта за спиране на експоненциалното нарастване на населението. Първият вариант е редуване на периоди на експоненциално нарастване на броя с периоди на рязък (катастрофален) спад, до много ниски стойности. Такава регулация (а под регулация на популацията ще разбираме действието на всякакви механизми, водещи до ограничаване на растежа на популацията) е най-вероятно в организми с кратък жизнен цикъл, живеещи на места с изразени колебания в основните ограничаващи фактори, например сред насекоми, живеещи на високи географски ширини. Също така е очевидно, че такива организми трябва да имат латентни стадии, които им позволяват да оцелеят през неблагоприятните сезони. Вторият вариант е рязко спиране на експоненциалния растеж и поддържане на населението на постоянно (=стационарно) ниво, около което са възможни различни колебания. Третият вариант е плавен изход към платото. Получената S формаКривата показва, че с увеличаването на размера на популацията темпът на растеж не остава постоянен, а намалява. S-образен растеж на популациите се наблюдава много често както при лабораторни експерименти, така и при въвеждане на видове в нови местообитания.

Хората не са много добри предсказатели на бъдещето. През по-голямата част от историята нашите преживявания бяха „местни и линейни“: използвахме едни и същи инструменти, ядяхме едни и същи храни, живеехме в определено място. В резултат на това нашите предсказващи способности се основават на интуиция и минал опит. Това е като стълба: след като направим няколко стъпки нагоре, разбираме какъв ще бъде оставащият път по тази стълба. Докато живеем живота си, очакваме всеки нов ден да бъде подобен на предишния. Сега обаче всичко се променя.

Известният американски изобретател и футурист Реймънд Курцвейл в книгата си „The Singularity Is Near“ пише, че скокът в технологичното развитие, който наблюдаваме през последните десетилетия, е довел до ускоряване на прогреса в много различни области. Това доведе до неочаквани технологични и социална промяна, възникващи не само между поколенията, но и вътре в тях. Сега интуитивният подход за предсказване на бъдещето не работи. Бъдещето вече не се развива линейно, а експоненциално: става все по-трудно да се предвиди какво ще се случи след това и кога ще се случи. Темпото на технологичния прогрес постоянно ни изненадва и за да сме в крак с него и да се научим да предсказваме бъдещето, първо трябва да се научим да мислим експоненциално.

Какво е експоненциален растеж?

За разлика от линейния растеж, който е резултат от многократно добавяне на константа, експоненциалният растеж е резултат от многократно умножение. Ако линейният растеж е права линия, стабилна във времето, тогава експоненциалната линия на растеж е подобна на излитане. как по-висока стойностприема стойност, толкова по-бързо расте по-нататък.

Представете си, че вървите по пътя и всяка стъпка, която правите, е дълга метър. Правите шест стъпки и сега сте се преместили шест метра. След като направите още 24 стъпки, ще бъдете на 30 метра от мястото, откъдето сте тръгнали. Това е линеен растеж.

Сега си представете (въпреки че тялото ви не може да направи това, представете си), че всеки път дължината на вашата стъпка се удвоява. Тоест първо стъпвате един метър, после два, после четири, после осем и т.н. В шест такива стъпки ще изминете 32 метра - това е много повече, отколкото в шест стъпки от един метър. Трудно е за вярване, но ако продължите със същото темпо, след тридесетата стъпка ще се окажете на милиард метра от началната точка. Това са 26 обиколки около Земята. И това е експоненциален растеж.

Интересно е, че всички нова стъпкас такъв растеж, той е сбор от всички предишни. Тоест след 29 стъпки сте изминали 500 милиона метра и още толкова изминавате в следваща, тридесета стъпка. Това означава, че всяка от предишните ви стъпки е несравнимо малка по отношение на следващите няколко стъпки на експлозивен растеж и повечето от тях се случват за относително кратък период от време. Ако мислите за този растеж като за движение от точка А до точка Б, най-големият напредък в движението ще бъде постигнат в последния етап.

Често пропускаме важни тенденции в ранни етапиТъй като първоначалната скорост на експоненциален растеж е бавна и постепенна, е трудно да се разграничи от линейния растеж. Освен това често прогнозите, базирани на предположението, че някакво явление ще се развие експоненциално, може да изглеждат невероятни и ние ги отхвърляме.

„Когато сканирането на човешкия геном започна през 1990 г., критиците отбелязаха, че като се има предвид скоростта, с която първоначално протича процесът, ще отнеме хиляди години, за да бъде сканиран геномът. Проектът обаче беше завършен още през 2003 г.- Реймънд Кърцвейл дава пример.

IN напоследъкРазвитието на технологиите е експоненциално: с всяко десетилетие, с всяка година можем да направим несравнимо повече от преди.

Може ли някога да свърши експоненциалният растеж?

На практика експоненциалните тенденции не траят вечно. Някои обаче могат да продължат за дълги периоди от време, ако условията са подходящи за експлозивно развитие.

Обикновено експоненциалната тенденция се състои от поредица от последователни S-образни технологични жизнени цикли или S-образни криви. Всяка крива изглежда като буквата "S" поради трите етапа на растеж, които показва: първоначален бавен растеж, експлозивен растеж и изравняване с развитието на технологията. Тези S-криви се пресичат и когато една технология се забави, нова започва да се издига. С всеки нов S-образен кръг на развитие, количеството време, необходимо за постигане на повече високи нивапроизводителността става по-малка.

Например, когато обсъжда развитието на технологиите през миналия век, Kurzweil изброява пет компютърни парадигми: електромеханични, релета, вакуумни тръби, дискретни транзистори и интегрални схеми. Когато една технология изчерпи потенциала си, следващата започна да напредва и то по-бързо от своите предшественици.

Планиране за експоненциално бъдеще

В условията на експоненциално развитие е много трудно да се предвиди какво ни очаква в бъдеще. Създайте графика въз основа на геометрична прогресия- това е едно, но оценката как ще се промени животът след десет до двадесет години е съвсем различно. Но едно просто правило, което трябва да следвате, е: очаквайте животът да ви изненада много и планирайте изненадите, които очаквате. С други думи, можете да приемете най-невероятните резултати и да се подготвите за тях, сякаш определено са се случили.

„Бъдещето ще бъде много по-невероятно, отколкото повечето хора могат да си представят. Малцина наистина са разбрали факта, че самата скорост на промяна се ускорява."- пише Реймънд Курцвейл.

Как ще изглежда животът ни през следващите пет години? Един от начините да направите прогноза е да разгледате последните пет години и да пренесете този опит в следващите пет, но това е „линейно“ мислене, което, както установихме, не винаги работи. Скоростта на промяната се променя, така че напредъкът, постигнат през последните пет години, ще отнеме повече време в бъдеще. Вероятно промените, които очаквате след пет години, наистина ще се случат след три или две години. С малко практика ще станем по-способни да предсказваме как ще се развие животът, ще се научим да виждаме перспективи за експоненциален растеж и ще можем по-добре да планираме собственото си бъдеще.

Това не е просто интересна концепция. Нашето мислене, често насочено към линейно развитие, може да ни доведе до задънена улица. Именно линейното мислене кара някои бизнесмени и политици да се съпротивляват на промяната; те просто не разбират, че развитието се случва експоненциално и се притесняват, че става все по-трудно да се контролира бъдещето. Но точно това е полето за съревнование. За да сте в крак с тази промяна, трябва винаги да сте една крачка напред и да правите не това, което е актуално сега, а това, което ще бъде актуално и търсено в бъдеще, като се има предвид, че развитието не се случва линейно, а експоненциално.

Експоненциалното мислене намалява разрушителния стрес, който идва от страха ни от бъдещето и разкрива нови възможности. Ако можем да планираме по-добре бъдещето си и можем да мислим експоненциално, ще улесним прехода от една парадигма към друга и ще посрещнем бъдещето спокойно.

здравей Днес ще се опитаме да разберем какво е експоненциален растеж. Експоненциалният растеж е увеличение на стойността в геометрична прогресия. Едно количество нараства със скорост, пропорционална на неговата стойност.Това означава, че за всяко експоненциално нарастващо количество, колкото по-голяма стойност приема, толкова по-бързо расте. Нека да разгледаме това с пример. Може би си спомняте от биологията, че бактериите се размножават МНОГО бързо. Растежът на бактериалната популация е подобен на растежа на непрекъснато натрупаните лихви. e на kt степен, където k е вид експоненциален растеж. Имаме функция и t=3, следователно можем да намерим броя на бактериите след 3 часа. С други думи, ако повдигна e на степен x, получавам x. Това е всичко, което исках да кажа. Тъй като на калкулатор можете да намерите логаритъм само на базата на е или 10. Как можете да намерите логаритъм на базата на всяко друго число?