Нека ни е дадена квадратна матрица. Трябва да намерите обратната матрица.

Първи начин. Теорема 4.1 за съществуването и уникалността на обратна матрица показва един от начините за нейното намиране.

1. Изчислете детерминантата на тази матрица. Ако, тогава обратната матрица не съществува (матрицата е единствена).

2. Конструирайте матрица от алгебрични допълнения на матрични елементи.

3. Транспонирайте матрицата, за да получите присъединената матрица .

4. Намерете обратната матрица (4.1), като разделите всички елементи на присъединената матрица на детерминантата

Втори начин. За да намерите обратната матрица, можете да използвате елементарни трансформации.

1. Конструирайте блокова матрица, като присвоите на дадена матрица идентична матрица от същия ред.

2. Използвайки елементарни трансформации, извършени върху редовете на матрицата, приведете левия й блок до най-простата му форма. В този случай блоковата матрица се редуцира до формата, където е квадратна матрица, получена в резултат на трансформации от матрицата на идентичността.

3. Ако , тогава блокът е равен на обратната на матрицата, т.е. ако, тогава матрицата няма обратна.

Всъщност, с помощта на елементарни трансформации на редовете на матрицата, нейният ляв блок може да бъде намален до опростен вид (виж фиг. 1.5). В този случай блоковата матрица се трансформира във формата, където е елементарна матрица, удовлетворяваща равенството. Ако матрицата е неизродена, тогава съгласно параграф 2 от Забележки 3.3 нейната опростена форма съвпада с матрицата на идентичността. Тогава от равенството следва, че. Ако матрицата е единична, тогава нейната опростена форма се различава от матрицата на идентичността и матрицата няма обратна.

11. Матрични уравнения и тяхното решение. Матрична форма на запис на SLAE. Матричен метод (метод на обратната матрица) за решаване на SLAE и условия за неговата приложимост.

Матричните уравнения са уравнения от вида: A*X=C; X*A=C; A*X*B=C където матрица A,B,Cса известни, матрицата X не е известна, ако матриците A и B не са сингулярни, тогава решенията на оригиналните матрици ще бъдат записани в подходящата форма: X = A -1 * C; X=C*A -1; X=A -1 *C*B -1

Матрична форма на запис на системи от линейни алгебрични уравнения. Няколко матрици могат да бъдат свързани с всеки SLAE; Освен това, самият SLAE може да бъде написан под формата на матрично уравнение. За SLAE (1) разгледайте следните матрици:. Елементите на тази матрица представляват коефициентите на даден SLAE.

Матрицата A˜ се нарича разширена матрична система. Получава се чрез добавяне към системната матрица на колона, съдържаща свободни членове b1,b2,...,bm. Обикновено тази колона е разделена с вертикална линия за по-голяма яснота.

Столбната матрица B се нарича матрица на свободните членове, а колонната матрица X е матрица на неизвестните.

Използвайки въведената по-горе нотация, SLAE (1) може да се запише под формата на матрично уравнение: A⋅X=B.

Забележка

Матриците, свързани със системата, могат да бъдат записани по различни начини: всичко зависи от реда на променливите и уравненията на разглежданата SLAE. Но във всеки случай редът на неизвестните във всяко уравнение на дадена SLAE трябва да бъде еднакъв.

Матричният метод е подходящ за решаване на SLAE, в които броят на уравненията съвпада с броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула. Ако системата съдържа повече от три уравнения, намирането на обратната матрица изисква значителни изчислителни усилия, следователно в този случай е препоръчително да се използва Метод на Гаус.

12. Хомогенни СЛАУ, условия за съществуване на ненулевите им решения. Свойства на частични решения на хомогенни СЛАУ.

Едно линейно уравнение се нарича хомогенно, ако неговият свободен член е равен на нула, и нехомогенно в противен случай. Система, състояща се от хомогенни уравнения, се нарича хомогенна и има общ вид:

13 .Концепцията за линейна независимост и зависимост на частни решения на хомогенна СЛАУ. Фундаментална система от решения (FSD) и нейното определяне. Представяне на общото решение на хомогенен SLAE чрез FSR.

Функционална система г 1 (х ), г 2 (х ), …, г п (х ) се нарича линейно зависимина интервала ( а , b ), ако има набор от постоянни коефициенти, които не са равни на нула по едно и също време, така че линейната комбинация от тези функции е идентично равна на нула на ( а , b ): За . Ако равенството за е възможно само за , системата от функции г 1 (х ), г 2 (х ), …, г п (х ) се нарича линейно независимина интервала ( а , b ). С други думи, функциите г 1 (х ), г 2 (х ), …, г п (х ) линейно зависимина интервала ( а , b ), ако има равно на нула на ( а , b ) тяхната нетривиална линейна комбинация. Функции г 1 (х ),г 2 (х ), …, г п (х ) линейно независимина интервала ( а , b ), ако само тяхната тривиална линейна комбинация е идентично равна на нула на ( а , b ).

Фундаментална система за вземане на решения (FSR)Хомогенният SLAE е основата на тази система от колони.

Броят на елементите в FSR е равен на броя на неизвестните на системата минус ранга на системната матрица. Всяко решение на оригиналната система е линейна комбинация от решения на FSR.

Теорема

Общото решение на нехомогенна SLAE е равно на сумата от конкретно решение на нехомогенна SLAE и общото решение на съответната хомогенна SLAE.

1 . Ако колоните са решения на хомогенна система от уравнения, тогава всяка линейна комбинация от тях също е решение на хомогенната система.

Действително от равенствата следва, че

тези. линейна комбинация от решения е решение на хомогенна система.

2. Ако рангът на матрицата на хомогенна система е равен на , тогава системата има линейно независими решения.

Наистина, използвайки формули (5.13) за общото решение на хомогенна система, намираме частни решения, давайки на свободните променливи следното набори от стандартни стойности (всеки път се приема, че една от свободните променливи е равна на единица, а останалите са равни на нула):

които са линейно независими. Всъщност, ако конструирате матрица от тези колони, тогава нейните последни редове формират матрицата за идентичност. Следователно минорът, разположен в последните редове, не е равен на нула (равен е на единица), т.е. е основен. Следователно рангът на матрицата ще бъде равен. Това означава, че всички колони на тази матрица са линейно независими (виж теорема 3.4).

Всяка колекция от линейно независими решения на хомогенна система се нарича фундаментална система (множество) от решения .

14 Минор от ти порядък, основен минор, ранг на матрицата. Изчисляване на ранга на матрица.

Редът k минор на матрица A е детерминантата на някои от нейните квадратни подматрица от ред k.

В матрица A с размери m x n минор от порядък r се нарича основен, ако е различен от нула, а всички минори от по-висок порядък, ако съществуват, са равни на нула.

Колоните и редовете на матрицата A, в пресечната точка на които има базис минор, се наричат ​​базисни колони и редове на A.

Теорема 1. (За ранга на матрицата). За всяка матрица второстепенният ранг е равен на ранга на реда и равен на ранга на колоната.

Теорема 2. (Върху основата минор). Всяка колона на матрицата се разлага на линейна комбинация от нейните базови колони.

Рангът на матрица (или второстепенен ранг) е редът на основния минор или, с други думи, най-големият ред, за който съществуват ненулеви минори. Рангът на нулева матрица се счита за 0 по дефиниция.

Нека отбележим две очевидни свойства от второстепенен ранг.

1) Рангът на матрица не се променя по време на транспониране, тъй като когато една матрица се транспонира, всички нейни подматрици се транспонират и второстепенните не се променят.

2) Ако A’ е подматрица на матрица A, тогава рангът на A’ не надвишава ранга на A, тъй като ненулев минор, включен в A’, също е включен в A.

15. Концепцията за -мерен аритметичен вектор. Равенство на векторите. Операции с вектори (събиране, изваждане, умножение с число, умножение с матрица). Линейна комбинация от вектори.

Поръчана колекция пвалиден или комплексни числанаречен n-мерен вектор. Извикват се номерата векторни координати.

Два (ненулеви) вектора аИ bса равни, ако са еднакво насочени и имат еднакъв модул. Всички нулеви вектори се считат за равни. Във всички останали случаи векторите не са равни.

Векторно добавяне. Има два начина за добавяне на вектори: 1. Правило на успоредник. За да добавим векторите и, поставяме началото на двата в една и съща точка. Изграждаме до успоредник и от същата точка чертаем диагонал на успоредника. Това ще бъде сумата от векторите.

2. Вторият метод за добавяне на вектори е правилото на триъгълника. Нека вземем същите вектори и . Ще добавим началото на втория към края на първия вектор. Сега нека свържем началото на първия и края на втория. Това е сумата от векторите и . Използвайки същото правило, можете да добавите няколко вектора. Подреждаме ги един след друг, след което свързваме началото на първия с края на последния.

Изваждане на вектори. Векторът е насочен противоположно на вектора. Дължините на векторите са равни. Сега е ясно какво е векторно изваждане. Векторната разлика и е сумата от вектора и вектора .

Умножение на вектор по число

Умножаването на вектор по число k води до вектор, чиято дължина е k пъти дължината. Той е съпосочен с вектора, ако k е по-голямо от нула, и противоположно насочен, ако k е по-малко от нула.

Скаларното произведение на векторите е произведението на дължините на векторите и косинуса на ъгъла между тях.Ако векторите са перпендикулярни, тяхното скаларно произведение е нула. И ето как скаларното произведение се изразява чрез координатите на векторите и .

Линейна комбинация от вектори

Линейна комбинация от вектори наречен вектор

Къде - линейни комбинирани коефициенти. Ако една комбинация се нарича тривиална, ако е нетривиална.

16 .Скаларно произведение на аритметични вектори. Дължина на вектора и ъгъл между векторите. Концепцията за векторна ортогоналност.

Скаларното произведение на векторите a и b е числото

Скаларното произведение се използва за: 1) намиране на ъгъла между тях; 3) изчисляване на дължината на векторите;

Дължината на отсечката AB се нарича разстоянието между точките A и B. Ъгълът между векторите A и B се нарича ъгъл α = (a, b), 0≤ α ≤P. С което трябва да завъртите 1 вектор, така че посоката му да съвпадне с друг вектор. При условие, че произходът им съвпада.

Ортома a е вектор a с единична дължина и посока a.

17. Система от вектори и нейната линейна комбинация. Концепция линейна зависимости независимост на векторната система. Теорема за необходимите и достатъчни условия за линейна зависимост на система от вектори.

Система от вектори a1,a2,...,an се нарича линейно зависима, ако има числа λ1,λ2,...,λn такива, че поне едно от тях е различно от нула и λ1a1+λ2a2+...+λnan=0 . В противен случай системата се нарича линейно независима.

Два вектора a1 и a2 се наричат ​​колинеарни, ако посоките им са еднакви или противоположни.

Три вектора a1, a2 и a3 се наричат ​​копланарни, ако са успоредни на някаква равнина.

Геометрични критерии за линейна зависимост:

а) системата (a1,a2) е линейно зависима тогава и само тогава, когато векторите a1 и a2 са колинеарни.

б) системата (a1,a2,a3) е линейно зависима тогава и само тогава, когато векторите a1,a2 и a3 са копланарни.

теорема. (Необходимо и достатъчно условие за линейна зависимост системивектори.)

Векторна система вектор пространствое линеензависим тогава и само ако един от векторите на системата е линейно изразен по отношение на останалите вектортази система.

Следствие 1. Система от вектори във векторно пространство е линейно независима тогава и само ако нито един от векторите на системата не е линейно изразен чрез други вектори на тази система.2. Система от вектори, съдържаща нулев вектор или два равни вектора, е линейно зависима.

Нека продължим разговора за действия с матрици. А именно, по време на изучаването на тази лекция ще научите как да намерите обратната матрица. Научете. Дори ако математиката е трудна.

Какво е обратна матрица? Тук можем да направим аналогия с обратните числа: разгледайте, например, оптимистичното число 5 и неговото обратно число. Произведението на тези числа е равно на едно: . С матриците всичко е подобно! Произведението на матрица и нейната обратна матрица е равно на – матрица на идентичността, което е матричният аналог на числовата единица. Все пак първо трябва да решим важното. практически въпрос, а именно, ще се научим как да намираме точно тази обратна матрица.

Какво трябва да знаете и да можете, за да намерите обратната матрица? Трябва да можеш да решаваш квалификации. Трябва да разберете какво е това матрицаи да можете да извършвате някои действия с тях.

Има два основни метода за намиране на обратната матрица:
чрез използване алгебрични добавкиИ с помощта на елементарни трансформации.

Днес ще проучим първия, по-прост метод.

Да започнем с най-ужасното и неразбираемо. Нека помислим квадратматрица. Обратната матрица може да се намери чрез следната формула :

Където е детерминантата на матрицата, е транспонираната матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата.

Концепцията за обратна матрица съществува само за квадратни матрици, матрици “две по две”, “три по три” и др.

Наименования: Както може би вече сте забелязали, обратната матрица се обозначава с горен индекс

Да започнем с най-простия случай - матрица две на две. Най-често, разбира се, се изисква „три по три“, но въпреки това силно препоръчвам да изучавате по-проста задача, за да овладеете общ принципрешения.

Пример:

Намерете обратното на матрица

Нека решим. Удобно е да разбиете последователността от действия точка по точка.

1) Първо намираме детерминантата на матрицата.

Ако не разбирате добре това действие, прочетете материала Как да изчислим детерминантата?

важно!Ако детерминантата на матрицата е равна на НУЛА– обратна матрица НЕ СЪЩЕСТВУВА.

В разглеждания пример, както се оказа, , което означава, че всичко е наред.

2) Намерете матрицата на минорите.

За да разрешим нашия проблем, не е необходимо да знаем какво е непълнолетно лице, но е препоръчително да прочетете статията Как да изчислим детерминантата.

Матрицата на минорите има същите размери като матрицата, т.е. в този случай.
Остава само да намерите четири числа и да ги поставите вместо звездички.

Да се ​​върнем към нашата матрица
Нека първо разгледаме горния ляв елемент:

Как да го намерите второстепенен?
И това се прави по следния начин: УМСТВЕНО зачеркнете реда и колоната, в които се намира този елемент:

Останалият брой е второстепенен от този елемент, което записваме в нашата матрица от второстепенни:

Разгледайте следния матричен елемент:

Мислено задраскайте реда и колоната, в които се появява този елемент:

Това, което остава, е минорът на този елемент, който записваме в нашата матрица:

По същия начин разглеждаме елементите на втория ред и намираме техните второстепенни:


Готови.

Това е просто. В матрицата на непълнолетните, от които се нуждаете ПРОМЯНА НА ЗНАЦИдве числа:

Това са числата, които оградих!

– матрица от алгебрични събирания на съответните елементи на матрицата.

И просто...

4) Намерете транспонираната матрица на алгебрични добавки.

– транспонирана матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата.

5) Отговор.

Нека си спомним нашата формула
Всичко е намерено!

Така че обратната матрица е:

По-добре е да оставите отговора такъв, какъвто е. НЯМА НУЖДАразделете всеки елемент от матрицата на 2, тъй като резултатът е дробни числа. Този нюанс е разгледан по-подробно в същата статия. Действия с матрици.

Как да проверите решението?

Трябва да извършите матрично умножение или

преглед:

Получено вече споменато матрица на идентичносттае матрица с единици по главен диагонали нули на други места.

По този начин обратната матрица се намира правилно.

Ако извършите действието, резултатът също ще бъде матрица за идентичност. Това е един от малкото случаи, когато матричното умножение е пермутабилно, повече подробна информацияможете да намерите в статията Свойства на операциите върху матрици. Матрични изрази. Също така имайте предвид, че по време на проверката константата (дробта) се изнася напред и се обработва в самия край - след умножението на матрицата. Това е стандартна техника.

Нека да преминем към по-често срещан случай в практиката - матрицата три по три:

Пример:

Намерете обратното на матрица

Алгоритъмът е абсолютно същият като в случая "две по две".

Намираме обратната матрица по формулата: , където е транспонираната матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата.

1) Намерете детерминантата на матрицата.


Тук се разкрива детерминантата на първия ред.

Освен това не забравяйте това, което означава, че всичко е наред - съществува обратна матрица.

2) Намерете матрицата на минорите.

Матрицата на минорите има размерност „три по три“ и трябва да намерим девет числа.

Ще разгледам по-отблизо няколко непълнолетни:

Разгледайте следния матричен елемент:

УМСТВЕНО задраскайте реда и колоната, в които се намира този елемент:

Записваме останалите четири числа в детерминанта „две по две“.

Тази детерминанта две по две и е минорът на този елемент. Необходимо е да се изчисли:


Това е всичко, минорът е намерен, ние го записваме в нашата матрица на минорите:

Както вероятно се досещате, трябва да изчислите девет детерминанти две по две. Процесът, разбира се, е досаден, но случаят не е най-тежкият, може да бъде по-лош.

Е, за консолидиране – намиране на друг непълнолетен в снимките:

Опитайте сами да изчислите останалите непълнолетни.

Краен резултат:
– матрица от минори на съответните елементи на матрицата.

Това, че всички непълнолетни се оказаха отрицателни, е чиста случайност.

3) Намерете матрицата на алгебричните добавки.

В матрицата на непълнолетните е необходимо ПРОМЯНА НА ЗНАЦИстрого при следните елементи:

В този случай:

Ние не разглеждаме намирането на обратната матрица за матрица „четири по четири“, тъй като такава задача може да бъде дадена само от садистичен учител (за ученика да изчисли една детерминанта „четири по четири“ и 16 детерминанти „три по три“ ). В моята практика имаше само един такъв случай и клиентът на теста плати доста скъпо за моите мъки =).

В редица учебници и ръководства можете да намерите малко по-различен подход за намиране на обратната матрица, но аз препоръчвам да използвате горния алгоритъм за решение. защо Тъй като вероятността да се объркате в изчисленията и знаците е много по-малка.

Обратна матрицае матрица A−1, когато се умножи по която дадената начална матрица Аводи до матрицата на идентичността д:

AA −1 = A −1 A =д.

Метод на обратната матрица.

Метод на обратната матрица- това е един от най-разпространените методи за решаване на матрици и се използва за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE) в случаите, когато броят на неизвестните съответства на броя на уравненията.

Нека има система п линейни уравненияс пнеизвестен:

Такава система може да бъде написана като матрично уравнение A* X = B,

Къде
- системна матрица,

- колона с неизвестни,

- колона с безплатни коефициенти.

От полученото матрично уравнение ние изразяваме X, като умножим двете страни на матричното уравнение отляво по А-1, което води до:

A -1 * A * X = A -1 * B

Знаейки това A -1 * A = E, Тогава E * X = A -1 * Bили X = A -1 * B.

Следващата стъпка е да се определи обратната матрица А-1и умножено по колоната със свободни условия б.

Обратна матрица към матрица Асъществува само когато детайл А≠ 0 . С оглед на това, когато се решават SLAE чрез метода на обратната матрица, първата стъпка е да се намери детайл А. Ако детайл А≠ 0 , тогава системата има само едно решение, което може да бъде получено чрез метода на обратната матрица, но ако det A = 0, тогава такава система метод на обратната матрицане може да бъде решен.

Решаване на обратната матрица.

Последователност от действия за обратни матрични решения:

  1. Получаваме детерминантата на матрицата А. Ако детерминантата е по-голяма от нула, ние решаваме обратната матрица допълнително; ако е равна на нула, тогава обратната матрица не може да бъде намерена тук.
  2. Намиране на транспонираната матрица AT.
  3. Търсим алгебрични допълнения, след което заменяме всички елементи на матрицата с техните алгебрични допълнения.
  4. Сглобяваме обратната матрица от алгебрични допълнения: разделяме всички елементи на получената матрица на детерминантата на първоначално дадената матрица. Крайната матрица ще бъде необходимата обратна матрица спрямо оригиналната.

Алгоритъмът по-долу обратни матрични решенияпо същество същата като тази по-горе, разликата е само в няколко стъпки: първо дефинираме алгебричните допълнения и след това изчисляваме свързаната матрица В.

  1. Определете дали дадена матрица е квадратна. Ако отговорът е отрицателен, става ясно, че за него не може да има обратна матрица.
  2. Определете дали дадена матрица е квадратна. Ако отговорът е отрицателен, става ясно, че за него не може да има обратна матрица.
  3. Изчисляваме алгебрични допълнения.
  4. Съставяме обединителна (взаимна, присъединена) матрица В.
  5. Ние съставяме обратната матрица от алгебрични добавки: всички елементи на присъединената матрица Вразделете на детерминантата на началната матрица. Крайната матрица ще бъде търсената обратна матрица спрямо дадената.
  6. Проверяваме свършената работа: умножете първоначалната и получената матрица, резултатът трябва да бъде матрица за идентичност.

Това се прави най-добре с помощта на приложена матрица.

Теорема: Ако присвоим единична матрица от същия ред на квадратна матрица от дясната страна и, използвайки елементарни трансформации над редовете, преобразуваме първоначалната матрица отляво в единичната матрица, тогава получената от дясната страна ще да е обратен на първоначалния.

Пример за намиране на обратната матрица.

Упражнение. За матрица намери обратен методприсъединена матрица.

Решение. Добавете към дадената матрица Авдясно е матрица за идентичност от 2-ри ред:

От първия ред изваждаме втория:

От втория ред изваждаме първите 2:

Методи за намиране на обратната матрица. Помислете за квадратна матрица

Нека означим Δ = det A.

Квадратната матрица A се нарича неизроден,или не особено, ако неговата детерминанта е различна от нула, и изроден,или специален, АкоΔ = 0.

Квадратна матрица B е за квадратна матрица A от същия ред, ако техният продукт е A B = B A = E, където E е матрицата на идентичност от същия ред като матриците A и B.

Теорема . За да има матрица А обратна матрица е необходимо и достатъчно нейната детерминанта да е различна от нула.

Обратната матрица на матрица A, означена с A- 1, така че B = A - 1 и се изчислява по формулата

, (1)

където A i j са алгебрични добавки на елементите a i j на матрицата A..

Изчисляването на A -1 с помощта на формула (1) за матрици от висок ред е много трудоемко, така че на практика е удобно да се намери A -1 с помощта на метода на елементарните трансформации (ET). Всяка неособена матрица A може да бъде редуцирана до единичната матрица E чрез ED само на колони (или само редове). Ако ED, усъвършенствани върху матрица A, се прилагат в същия ред към единичната матрица E, тогава резултатът е обратна матрица. Удобно е да се извърши EP върху матрици A и E едновременно, като се напишат двете матрици една до друга през линия. Още веднъж да отбележим, че при намирането канонична формаЗа да намерите матрици, можете да използвате трансформации на редове и колони. Ако трябва да намерите обратното на матрица, трябва да използвате само редове или само колони по време на процеса на трансформация.

Пример 1. За матрица намерете A -1 .

Решение.Първо намираме детерминантата на матрица А
Това означава, че обратната матрица съществува и можем да я намерим по формулата: , където A i j (i,j=1,2,3) са алгебрични добавки на елементи a i j от оригиналната матрица.

Къде .

Пример 2. Използвайки метода на елементарните трансформации, намерете A -1 за матрицата: A = .

Решение.Присвояваме на оригиналната матрица отдясно матрица на идентичност от същия ред: . Използвайки елементарни трансформации на колоните, ще намалим лявата „половина“ до идентичността, като едновременно с това извършваме точно същите трансформации на дясната матрица.
За да направите това, разменете първата и втората колона: ~ . Към третата колона добавяме първата, а към втората - първата, умножена по -2: . От първата колона изваждаме втората удвоена, а от третата - втората, умножена по 6; . Нека добавим третата колона към първата и втората: . Умножете последната колона по -1: . Квадратната матрица, получена вдясно от вертикалната лента, е обратната матрица на дадената матрица A. И така,
.

Матрицата $A^(-1)$ се нарича обратна на квадратната матрица $A$, ако е изпълнено условието $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, където $E $ е единичната матрица, чийто ред е равен на реда на матрицата $A$.

Неособена матрица е матрица, чийто детерминант не е равен на нула. Съответно, сингулярна матрица е тази, чийто детерминант е равен на нула.

Обратната матрица $A^(-1)$ съществува тогава и само ако матрицата $A$ е неособена. Ако обратната матрица $A^(-1)$ съществува, тогава тя е уникална.

Има няколко начина да се намери обратното на матрица и ние ще разгледаме два от тях. Тази страница ще обсъди метода на свързаната матрица, който се счита за стандарт в повечето курсове по висша математика. Вторият метод за намиране на обратната матрица (методът на елементарните трансформации), който включва използването на метода на Гаус или метода на Гаус-Джордан, е разгледан във втората част.

Метод на съединената матрица

Нека е дадена матрицата $A_(n\times n)$. За да се намери обратната матрица $A^(-1)$, са необходими три стъпки:

  1. Намерете детерминантата на матрицата $A$ и се уверете, че $\Delta A\neq 0$, т.е. че матрица A е неособена.
  2. Съставете алгебрични допълнения $A_(ij)$ на всеки елемент от матрицата $A$ и запишете матрицата $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ от намерената алгебрична допълва.
  3. Напишете обратната матрица, като вземете предвид формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Матрицата $(A^(*))^T$ често се нарича съпътстваща (реципрочна, съюзна) на матрицата $A$.

Ако решението се извършва ръчно, тогава първият метод е добър само за матрици с относително малки поръчки: втори (), трети (), четвърти (). За да се намери обратното на матрица от по-висок ред, се използват други методи. Например методът на Гаус, който е разгледан във втората част.

Пример №1

Намерете обратната на матрицата $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Тъй като всички елементи от четвъртата колона са равни на нула, тогава $\Delta A=0$ (т.е. матрицата $A$ е сингулярна). Тъй като $\Delta A=0$, няма матрица, обратна на матрицата $A$.

отговор: матрица $A^(-1)$ не съществува.

Пример №2

Намерете обратната на матрицата $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$. Извършете проверка.

Използваме метода на свързаната матрица. Първо, нека намерим детерминантата на дадената матрица $A$:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Тъй като $\Delta A \neq 0$, тогава обратната матрица съществува, следователно ще продължим решението. Намиране на алгебрични допълнения

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(подравнено)

Ние съставяме матрица от алгебрични събирания: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Транспонираме получената матрица: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the получената матрица често се нарича присъединена или свързана матрица към матрицата $A$). Използвайки формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, имаме:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

И така, обратната матрица е намерена: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\вдясно) $. За да проверите истинността на резултата, е достатъчно да проверите истинността на едно от равенствата: $A^(-1)\cdot A=E$ или $A\cdot A^(-1)=E$. Нека проверим равенството $A^(-1)\cdot A=E$. За да работим по-малко с дроби, ще заместим матрицата $A^(-1)$ не във формата $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ и във формата $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array )\right)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( array)\right)\cdot\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(array) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array )\вдясно) =E $$

отговор: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Пример №3

Намерете обратната матрица за матрицата $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ . Извършете проверка.

Нека започнем с изчисляване на детерминантата на матрицата $A$. И така, детерминантата на матрицата $A$ е:

$$ \Делта A=\наляво| \begin(масив) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(масив) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Тъй като $\Delta A\neq 0$, тогава обратната матрица съществува, следователно ще продължим решението. Намираме алгебричните допълнения на всеки елемент от дадена матрица:

$$ \begin(aligned) & A_(11)=(-1)^(2)\cdot\left|\begin(array)(cc) 9 & 4\\ 3 & 2\end(array)\right| =6;\; A_(12)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(array)(cc) -4 &4 \\ 0 & 2\end(array)\right|=8;\; A_(13)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) -4 & 9\\ 0 & 3\end(array)\right|=-12;\\ & A_(21)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(array)(cc) 7 & 3\\ 3 & 2\end(array)\right|=-5;\; A_(22)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 3\\ 0 & 2\end(array)\right|=2;\; A_(23)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 7\\ 0 & 3\end(array)\right|=-3;\\ & A_ (31)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) 7 & 3\\ 9 & 4\end(array)\right|=1;\; A_(32)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 3\\ -4 & 4\end(array)\right|=-16;\; A_(33)=(-1)^(6)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 7\\ -4 & 9\end(array)\right|=37. \end(подравнено) $$

Съставяме матрица от алгебрични добавки и я транспонираме:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) . $$

Използвайки формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, получаваме:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(масив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Така че $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. За да проверите истинността на резултата, е достатъчно да проверите истинността на едно от равенствата: $A^(-1)\cdot A=E$ или $A\cdot A^(-1)=E$. Нека проверим равенството $A\cdot A^(-1)=E$. За да работим по-малко с дроби, ще заместим матрицата $A^(-1)$ не във формата $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ и във формата $\frac(1)(26 )\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\begin(array)(ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ край (масив) \right) =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(масив) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end (масив) \right) =\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end(array) \right) =E $$

Проверката беше успешна, обратната матрица $A^(-1)$ беше намерена правилно.

отговор: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Пример №4

Намерете матрицата, обратна на матрица $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

За матрица от четвърти ред намирането на обратната матрица с помощта на алгебрични добавки е малко трудно. Такива примери обаче в тестовесрещам.

За да намерите обратното на матрица, първо трябва да изчислите детерминантата на матрицата $A$. Най-добрият начин да направите това в тази ситуация е да разширите детерминантата по ред (колона). Избираме всеки ред или колона и намираме алгебричните допълнения на всеки елемент от избрания ред или колона.

Например за първия ред получаваме:

$$ A_(11)=\left|\begin(array)(ccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \end(array)\right|=556; \; A_(12)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end(array)\right|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\left|\begin(array)(ccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end(array)\right|= -536;\; A_(14)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end(array)\right|=-112. $$

Детерминантата на матрицата $A$ се изчислява по следната формула:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14) )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \begin(aligned) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end(подравнено) $$

Матрица на алгебричните допълнения: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 & -250 & -463 & -96\end(array)\right)$.

Съвместна матрица: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end(array)\right)$.

Обратна матрица:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right) $$

Проверката, ако желаете, може да се извърши по същия начин, както в предишните примери.

отговор: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right) $.

Във втората част ще разгледаме друг начин за намиране на обратната матрица, който включва използването на трансформации на метода на Гаус или метода на Гаус-Джордан.