Триъгълникът е многоъгълник с три страни или затворена полилиния с три връзки или фигура, образувана от три сегмента, свързващи три точки, които не лежат на една права линия (виж фиг. 1).

Основни елементи на триъгълника abc

Топове - точки A, B и C;

Страни - сегменти a = BC, b = AC и c = AB, свързващи върховете;

Ъгли - α, β, γ, образувани от три двойки страни. Често ъглите се наричат ​​по същия начин като върховете, с буквите A, B и C.

Ъгълът, образуван от страните на триъгълника и лежащ във вътрешната му област, се нарича вътрешен ъгъл, а съседният ъгъл към него е съседният ъгъл на триъгълника (2, стр. 534).

Височини, медиани, бисектриси и средни линии на триъгълник

В допълнение към основните елементи в триъгълника се считат и други сегменти, които имат интересни свойства: височини, медиани, бисектриси и средни линии.

Височина

Триъгълни височини- това са перпендикуляри, изпуснати от върховете на триъгълника към противоположни страни.

За да начертаете височината, трябва да направите следното:

1) начертайте права линия, съдържаща една от страните на триъгълника (ако височината е изтеглена от върха остър ъгълв тъп триъгълник);

2) от върха, лежащ срещу начертаната права линия, изчертайте сегмент от точка до тази права линия, като направите ъгъл от 90 градуса с нея.

Точката на пресичане на височината със страната на триъгълника се нарича базова височина (виж фиг. 2).

Свойства на височината на триъгълника

В правоъгълен триъгълник, височината, изтеглена от върха прав ъгъл, го разделя на два триъгълника, подобни на оригиналния триъгълник.

В остроъгълен триъгълник две от височините му отрязват подобни триъгълници от него.

Ако триъгълникът е остроъгълен, тогава всички основи на височините принадлежат на страните на триъгълника, а в тъпоъгълния триъгълник две височини падат върху продължението на страните.

Три височини в триъгълник с остър ъгъл се пресичат в една точка и тази точка се нарича ортоцентър триъгълник.

Медиана

Медиани(от лат. mediana - „средна“) - това са сегментите, свързващи върховете на триъгълника със средните точки на противоположните страни (виж фиг. 3).

За да изградите медианата, трябва да направите следното:

1) намери средата на страната;

2) свържете точката, която е средата на страната на триъгълника с противоположния връх със сегмент.

Свойства на медианите на триъгълник

Медианата разделя триъгълник на два триъгълника с еднаква площ.

Медианите на триъгълника се пресичат в една точка, която разделя всяка от тях в съотношение 2: 1, като се брои от върха. Тази точка се нарича център на тежестта триъгълник.

Целият триъгълник е разделен от медианите му на шест равни триъгълника.

Бисектриса

Бисектриси(от лат. bis - два пъти "и seko - I cut) са линейните сегменти, затворени вътре в триъгълника, които разполовяват ъглите му (виж фиг. 4).

За да изградите бисектриса, трябва да направите следното:

1) конструирайте лъч, излизащ от върха на ъгъла и го разделящ на две равни части (бисектрисата на ъгъла);

2) намери точката на пресичане на бисектрисата на ъгъла на триъгълника с противоположната страна;

3) изберете сегмента, свързващ върха на триъгълника с пресечната точка от противоположната страна.

Свойства на бисектрисите на триъгълник

Ъглополовящата на триъгълник разделя противоположната страна в съотношение, равно на съотношението на двете съседни страни.

Бисектрисите на вътрешните ъгли на триъгълника се пресичат в една точка. Тази точка се нарича център на вписаната окръжност.

Бисектрисите на вътрешния и външния ъгъл са перпендикулярни.

Ако бисектрисата на външния ъгъл на триъгълника пресича продължението на противоположната страна, тогава ADBD = ACBC.

Бисектрисите на един вътрешен и два външни ъгъла на триъгълник се пресичат в една точка. Тази точка е центърът на една от трите обкръжения на този триъгълник.

Основите на бисектрисите на два вътрешни и един външен ъгъл на триъгълник лежат на една права линия, ако бисектрисата на външния ъгъл не е успоредна на противоположната страна на триъгълника.

Ако бисектрисите на външните ъгли на триъгълника не са успоредни на противоположните страни, тогава техните бази лежат на една права линия.

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Декларация за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на конкретно лице или контакт с него.

Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По -долу са дадени някои примери за типовете лична информация, които можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато оставите заявка на сайта, ние можем да събираме различна информациявключително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да докладваме уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време можем да използваме вашата лична информация за изпращане на важни известия и съобщения.
• Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, състезание или подобно промоционално събитие, ние можем да използваме предоставената от вас информация за администриране на тези програми.

Разкриване на информация на трети страни

Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.

Изключения:

• Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебна процедура, v пробен период, и / или въз основа на обществени запитвания или запитвания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - за разкриване на вашата лична информация. Можем също така да разкрием информация за вас, ако установим, че такова разкриване е необходимо или подходящо от сигурност, правоприлагане или други социално важни причини.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на подходяща трета страна - правоприемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки - включително административни, технически и физически - за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Уважение към вашата поверителност на ниво компания

За да сме сигурни, че вашата лична информация е в безопасност, ние въвеждаме правилата за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно следим изпълнението на мерките за поверителност.

Забележка... V този уроктръгна теоретични материалии решаване на задачи по геометрия на тема "медиана в правоъгълен триъгълник". Ако трябва да разрешите проблем с геометрията, който го няма, пишете за него във форума. Курсът почти сигурно ще бъде допълнен.

Средни свойства на правоъгълния триъгълник

Определяне на медианата

• Медианите на триъгълника се пресичат в една точка и са разделени от тази точка на две части в съотношение 2: 1, като се брои от върха на ъгъла. Точката на тяхното пресичане се нарича център на тежестта на триъгълника (сравнително рядко в проблемите терминът "центроид" се използва за обозначаване на тази точка),
• Медианата разделя триъгълник на два равни триъгълника.
• Триъгълникът е разделен от три медиани на шест равни триъгълника.
• По -голямата страна на триъгълника съответства на по -малката медиана.

Предложените за решението геометрични проблеми използват главно следното свойства на медианата на правоъгълен триъгълник.

• Сумата от квадратите на медианите, паднали върху катетите на правоъгълен триъгълник, е равна на пет квадрата от медианата, паднала върху хипотенузата (Формула 1)
• Медиана, намалена от хипотенузата на десен триъгълник равен на половината от хипотенузата(Формула 2)
• Медианата, понижена от хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равен на радиуса на кръга, описан наоколона даден правоъгълен триъгълник (Формула 2)
• Средната стойност, намалена от хипотенузата, равен на половината квадратен корен от сумата от квадратите на краката(Формула 3)
• Медианата, понижена от хипотенузата, е равна на частното от разделянето на дължината на крака с два синуса на острия ъгъл срещу крака (Формула 4)
• Медианата, понижена от хипотенузата, е равна на частното от разделянето на дължината на катета на два косинуса на съседния крак на острия ъгъл (Формула 4)
• Сумата от квадратите на страните на правоъгълен триъгълник е равна на осем квадрата от медианата, паднала върху неговата хипотенуза (Формула 5)

Обозначение на формулата:

а, б- катети на правоъгълен триъгълник

° С- хипотенуза на правоъгълен триъгълник

Ако обозначим триъгълник като ABC, тогава

BC = а

(това е страни a, b, c- са противоположни на съответните ъгли)

м а- медиана, изтеглена към крак а

м бе медианата на крак b

м ° С - медианата на правоъгълен триъгълникпривлечени към хипотенузата с

α (алфа)- ъгъл на кабината срещу страната а

Задачата за медианата в правоъгълен триъгълник

Медианите на правоъгълен триъгълник, изтеглени към катетите, са съответно 3 cm и 4 cm. Намерете хипотенузата на триъгълник

Решение

Преди да започнем да решаваме задачата, нека обърнем внимание на съотношението на дължината на хипотенузата на правоъгълен триъгълник и медианата, която се изпуска върху него. За целта се обръщаме към формули 2, 4, 5 свойства на медианата в правоъгълен триъгълник... Тези формули изрично посочват съотношението на хипотенузата и медианата, което се изпуска върху нея като 1 към 2. Следователно, за удобство на бъдещите изчисления (което по никакъв начин няма да повлияе на правилността на решението, но ще го направи повече удобно), ние обозначаваме дължините на катетите AC и BC чрез променливите x и y като 2x и 2y (не x и y).

Помислете за правоъгълен триъгълник ADC. Неговият ъгъл C е прав от постановката на задачата, катетът AC е общ с триъгълника ABC, а кракът CD е равен на половината BC според свойствата на медианата. След това, по питагорейската теорема

AC 2 + CD 2 = AD 2

Тъй като AC = 2x, CD = y (тъй като медианата разделя крака на две равни части), тогава
4x 2 + y 2 = 9

В същото време помислете за правоъгълен триъгълник EBC. Той също така има ъгъл C на права линия според постановката на задачата, крак BC е общ с катета BC на първоначалния триъгълник ABC, а кракът EC по средното свойство е равен на половината от крака AC на първоначалния триъгълник ABC.
Според Питагоровата теорема:
EC 2 + BC 2 = BE 2

Тъй като EC = x (медианата дели крака наполовина), BC = 2y, тогава
x 2 + 4y 2 = 16

Тъй като триъгълниците ABC, EBC и ADC са свързани с общи страни, и двете получени уравнения също са свързани.
Нека решим получената система от уравнения.
4x 2 + y 2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16

1. Медианата разделя триъгълник на два триъгълника с еднаква площ.

2. Медианите на триъгълника се пресичат в една точка, която разделя всяка от тях в съотношение 2: 1, като се брои от върха. Тази точка се нарича център на тежесттатриъгълник.

3. Целият триъгълник е разделен от медианите му на шест равни триъгълника.

Свойства на бисектрисите на триъгълник

1. Бисектрисата на ъгъл е мястото на точките, равноотдалечени от страните на този ъгъл.

2. Бисектриса вътрешен ъгълтриъгълникът разделя противоположната страна на сегменти, пропорционални на съседните страни :.

3. Пресечната точка на бисектрисите на триъгълник е центърът на окръжността, вписана в този триъгълник.

Свойства на височината на триъгълника

1. В правоъгълен триъгълник височината, изтеглена от върха на прав ъгъл, го разделя на два триъгълника, подобни на първоначалния.

2. В триъгълник с остър ъгъл две от височините му се отрязват еднакво триъгълници.

Свойства на перпендикулярите на средната точка на триъгълник

1. Всяка точка на средната точка, перпендикулярна на сегмента, е на равно разстояние от краищата на този сегмент. Обратното също е вярно: всяка точка, равноотдалечена от краищата на сегмента, лежи върху перпендикуляра към него.

2. Пресечната точка на перпендикулярите към страните на триъгълника е центърът на окръжността, описана около този триъгълник.

Свойство на средна линия на триъгълник

Средната линия на триъгълник е успоредна на една от страните му и е равна на половината от тази страна.

Прилика на триъгълници

Два триъгълника са подобни,ако се извика едно от следните условия признаци на сходство:

· Два ъгъла на един триъгълник са равни на два ъгъла на друг триъгълник;

· Двете страни на един триъгълник са пропорционални на двете страни на другия триъгълник, а ъглите, образувани от тези страни, са равни;

· Трите страни на един триъгълник са съответно пропорционални на трите страни на другия триъгълник.

В такива триъгълници съответните линии (височини, медиани, бисектриси и т.н.) са пропорционални.

Синусова теорема

Косинусова теорема

а 2= b 2+ c 2- 2пр.н.е. cos

Формули за площ за триъгълник

1. Произволен триъгълник

a, b, c -партии; - ъгълът между страните аи б; - полупериметър; R -радиусът на описаната окръжност; r -радиус на вписания кръг; С -квадрат; h a -височина привлечена страна а.

S = ah a

S = ab sin

С = пр

2. Прав триъгълник

a, b -крака; ° С -хипотенуза; h c -странична кота ° С.

S = ch c S = ab

3. Равностранен триъгълник

Четириъгълници

Паралелограма свойства

· Противоположните страни са равни;

· Противоположните ъгли са равни;

· Диагоналите са наполовина от точката на пресичане;

· Сумата от ъглите, съседни на едната страна, е 180 °;

Сумата от квадратите на диагоналите е равна на сумата от квадратите на всички страни:

d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2).

Четириъгълникът е успоредник, ако:

1. Двете му противоположни страни са равни и успоредни.

2. Противоположни страниса двойки равни.

3. Противоположните ъгли са равни по двойки.

4. Диагоналите се разделят наполовина от точката на пресичане.

Свойства на трапец

· Средната му линия е успоредна на основите и равна на тяхната полусума;

· Ако трапецът е равнобедрен, тогава неговите диагонали са равни и ъглите в основата са равни;

· Ако трапецът е равнобедрен, тогава около него може да се опише окръжност;

· Ако сумата от основите е равна на сумата от страните, тогава в нея може да се впише окръжност.

Свойства на правоъгълник

· Диагоналите са равни.

Паралелограмът е правоъгълник, ако:

1. Един от ъглите му е прав.

2. Диагоналите му са равни.

Свойства на диаманта

· Всички свойства на паралелограма;

· Диагоналите са перпендикулярни;

· Диагоналите са симетрите на ъглите му.

1. Паралелограмът е ромб, ако:

2. Двете му съседни страни са равни.

3. Диагоналите му са перпендикулярни.

4. Един от диагоналите е бисектрисата на ъгъла му.

Квадратни имоти

· Всички ъгли на квадрата са прави;

· Диагоналите на квадрата са равни, взаимно перпендикулярни, точката на пресичане е наполовина, а ъглите на квадрата са наполовина.

Правоъгълникът е квадрат, ако има някаква характеристика на ромб.

Основни формули

1. Произволен изпъкнал четириъгълник
d 1,d 2 -диагонали; - ъгълът между тях; С -квадрат.

S = d 1 д 2 грях