знание основни елементарни функции, техните свойства и графикине по-малко важно от познаването на таблицата за умножение. Те са като основата, всичко се основава на тях, всичко се гради от тях и всичко се свежда до тях.

В тази статия ще изброим всички основни елементарни функции, ще предоставим техните графики и ще дадем без заключение или доказателство свойства на основните елементарни функциипо схемата:

• поведение на функция в границите на областта на дефиниция, вертикални асимптоти (ако е необходимо, вижте статията класификация на точките на прекъсване на функция);
• четни и нечетни;
• интервали на изпъкналост (изпъкналост нагоре) и вдлъбнатост (изпъкналост надолу), точки на инфлексия (ако е необходимо, вижте статията изпъкналост на функция, посока на изпъкналост, точки на инфлексия, условия на изпъкналост и инфлексия);
• наклонени и хоризонтални асимптоти;
• особени точки на функции;
• специални свойстванякои функции (например най-малкият положителен период на тригонометрични функции).

Ако се интересувате от или, тогава можете да отидете на тези раздели на теорията.

Основни елементарни функцииса: постоянна функция (константа), n-ти корен, степенна функция, експоненциална, логаритмична функция, тригонометрични и обратни тригонометрични функции.

Навигация в страницата.

Постоянна функция.

Постоянна функцияе дадено на множеството от всички реални числа по формулата , където C е някакво реално число. Константна функция свързва всяка реална стойност на независимата променлива x със същата стойност на зависимата променлива y - стойността C. Постоянната функция се нарича още константа.

Графиката на постоянна функция е права линия, успоредна на оста x и минаваща през точка с координати (0,C). Например, нека покажем графики на константни функции y=5, y=-2 и, които на фигурата по-долу съответстват съответно на черна, червена и синя линия.

Свойства на константна функция.

• Домейн: цялото множество от реални числа.
• Постоянната функция е четна.
• Диапазон от стойности: набор, състоящ се от единствено числоС .
• Постоянната функция е ненарастваща и ненамаляваща (затова е постоянна).
• Няма смисъл да говорим за изпъкналост и вдлъбнатост на константа.
• Няма асимптоти.
• Функцията минава през точката (0,C) на координатната равнина.

n-ти корен.

Нека разгледаме основната елементарна функция, която е дадена с формулата , където n е естествено число, по-голямо от едно.

Корен от степен n, n е четно число.

Нека започнем с n-тата коренна функция за четни стойности на коренния показател n.

Като пример, ето снимка с изображения на функционални графики и съответстват на черни, червени и сини линии.

Графиките на коренните функции с четна степен имат подобен вид за други стойности на експонентата.

Свойства на n-тата коренна функция за четно n.

Корен от n-та степен, n е нечетно число.

Коренната функция n с нечетен степенен корен n е дефинирана върху целия набор от реални числа. Например, ето графиките на функциите и съответстват на черни, червени и сини криви.

За други нечетни стойности на коренния експонент графиките на функциите ще имат подобен вид.

Свойства на n-та коренна функция за нечетно n.

Силова функция.

Степенната функция е дадена с формула от вида .

Нека разгледаме формата на графиките на степенна функция и свойствата на степенна функция в зависимост от стойността на експонента.

Нека започнем със степенна функция с цяло число а. В този случай видът на графиките на степенните функции и свойствата на функциите зависят от четността или нечетността на показателя, както и от неговия знак. Следователно първо ще разгледаме степенните функции за нечетни положителни стойности на експонента a, след това за четни положителни експоненти, след това за нечетни отрицателни експоненти и накрая за четни отрицателни a.

Свойствата на степенните функции с дробни и ирационални показатели (както и вида на графиките на такива степенни функции) зависят от стойността на показателя a. Ще ги разгледаме, първо, за a от нула до едно, второ, за по-голямо от едно, трето, за a от минус едно до нула, четвърто, за по-малко от минус едно.

В края на този раздел, за пълнота, ще опишем степенна функция с нулев показател.

Степенна функция с нечетен положителен показател.

Нека разгледаме степенна функция с нечетен положителен показател, тоест с a = 1,3,5,....

Фигурата по-долу показва графики на степенни функции - черна линия, - синя линия, - червена линия, - зелена линия. За a=1 имаме линейна функция y=x.

Свойства на степенна функция с нечетен положителен показател.

Степенна функция с четен положителен показател.

Нека разгледаме степенна функция с четен положителен показател, тоест за a = 2,4,6,....

Като пример даваме графики на степенни функции – черна линия, – синя линия, – червена линия. За a=2 имаме квадратна функция, чиято графика е квадратна парабола.

Свойства на степенна функция с четен положителен показател.

Степенна функция с нечетен отрицателен показател.

Погледнете графиките на степенната функция за коефициент отрицателни стойностиекспонента, тоест за a = -1, -3, -5,... .

Фигурата показва графики на степенни функции като примери - черна линия, - синя линия, - червена линия, - зелена линия. За a=-1 имаме обратна пропорционалност, чиято графика е хипербола.

Свойства на степенна функция с нечетен отрицателен показател.

Степенна функция с четен отрицателен показател.

Нека преминем към степенната функция за a=-2,-4,-6,….

Фигурата показва графики на степенни функции – черна линия, – синя линия, – червена линия.

Свойства на степенна функция с четен отрицателен показател.

Степенна функция с рационален или ирационален показател, чиято стойност е по-голяма от нула и по-малка от единица.

Обърнете внимание!Ако a е положителна дроб с нечетен знаменател, тогава някои автори смятат, че областта на дефиниране на степенната функция е интервалът. Посочено е, че показателят a е несъкратима дроб. Сега авторите на много учебници по алгебра и началото на анализа НЕ ДЕФИНИРАТ степенни функции с показател под формата на дроб с нечетен знаменател за отрицателни стойности на аргумента. Ние ще се придържаме именно към този възглед, т.е. ще считаме множеството за области на дефиниране на степенни функции с дробни положителни показатели. Препоръчваме на учениците да разберат мнението на вашия учител по този тънък момент, за да избегнат разногласия.

Нека разгледаме степенна функция с рационален или ирационален показател a и .

Нека представим графики на степенни функции за a=11/12 (черна линия), a=5/7 (червена линия), (синя линия), a=2/5 (зелена линия).

Степенна функция с нецелочислен рационален или ирационален показател, по-голям от едно.

Нека разгледаме степенна функция с нецелочислен рационален или ирационален показател a и .

Нека представим графики на степенни функции, дадени от формулите (съответно черни, червени, сини и зелени линии).

>

За други стойности на експонента a, графиките на функцията ще имат подобен вид.

Свойства на степенната функция при .

Степенна функция с реален показател, който е по-голям от минус едно и по-малък от нула.

Обърнете внимание!Ако a е отрицателна дроб с нечетен знаменател, тогава някои автори смятат, че областта на дефиниция на степенна функция е интервалът . Посочено е, че показателят a е несъкратима дроб. Сега авторите на много учебници по алгебра и началото на анализа НЕ ДЕФИНИРАТ степенни функции с показател под формата на дроб с нечетен знаменател за отрицателни стойности на аргумента. Ние ще се придържаме именно към този възглед, т.е. ще считаме областите на дефиниране на степенни функции с дробни дробни отрицателни показатели съответно за множество. Препоръчваме на учениците да разберат мнението на вашия учител по този тънък момент, за да избегнат разногласия.

Да преминем към степенната функция, kgod.

За да имате добра представа за формата на графиките на степенните функции за , ние даваме примери за графики на функции (съответно черни, червени, сини и зелени криви).

Свойства на степенна функция с показател a, .

Степенна функция с нецелочислен реален показател, който е по-малък от минус едно.

Нека дадем примери за графики на степенни функции за , те са изобразени съответно с черни, червени, сини и зелени линии.

Свойства на степенна функция с нецяло число отрицателен показател, по-малък от минус едно.

Когато a = 0, имаме функция - това е права линия, от която точката (0;1) е изключена (беше договорено да не се придава никакво значение на израза 0 0).

Експоненциална функция.

Една от основните елементарни функции е експоненциалната функция.

График експоненциална функция, където получава различен видв зависимост от стойността на основата a. Нека разберем това.

Първо, разгледайте случая, когато основата на експоненциалната функция приема стойност от нула до едно, т.е.

Като пример представяме графики на експоненциалната функция за a = 1/2 – синя линия, a = 5/6 – червена линия. Графиките на експоненциалната функция имат подобен вид за други стойности на основата от интервала.

Свойства на експоненциална функция с основа по-малка от единица.

Нека преминем към случая, когато основата на експоненциалната функция е по-голяма от единица, т.е.

Като илюстрация представяме графики на експоненциални функции - синя линия и - червена линия. За други стойности на основата, по-големи от едно, графиките на експоненциалната функция ще имат подобен вид.

Свойства на експоненциална функция с основа по-голяма от единица.

Логаритмична функция.

Следващата основна елементарна функция е логаритмичната функция, където , . Логаритмичната функция е дефинирана само за положителни стойностиаргумент, тоест при .

Графиката на логаритмична функция има различни форми в зависимост от стойността на основата a.

Да започнем със случая, когато .

Като пример представяме графики на логаритмичната функция за a = 1/2 – синя линия, a = 5/6 – червена линия. За други стойности на основата, които не надвишават единица, графиките на логаритмичната функция ще имат подобен вид.

Свойства на логаритмична функция с основа по-малка от единица.

Нека да преминем към случая, когато основата на логаритмичната функция е по-голяма от едно ().

Нека покажем графики на логаритмични функции - синя линия, - червена линия. За други стойности на основата, по-големи от едно, графиките на логаритмичната функция ще имат подобен вид.

Свойства на логаритмична функция с основа по-голяма от единица.

Тригонометрични функции, техните свойства и графики.

Всички тригонометрични функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) спадат към основните елементарни функции. Сега ще разгледаме техните графики и ще изброим свойствата им.

Тригонометричните функции имат понятието честота(повторяемост на функционалните стойности при различни значенияаргументи, различаващи се един от друг по периода , където T е периодът), следователно е добавен елемент към списъка със свойства на тригонометрични функции "най-малък положителен период". Също така за всяка тригонометрична функция ще посочим стойностите на аргумента, при които съответната функция изчезва.

Сега нека разгледаме всички тригонометрични функции по ред.

Функция синус y = sin(x) .

Нека начертаем графика на синусовата функция, тя се нарича „синусова вълна“.

Свойства на функцията синус y = sinx.

Функция косинус y = cos(x) .

Графиката на функцията косинус (наречена "косинус") изглежда така:

Свойства на функцията косинус y = cosx.

Тангенсна функция y = tan(x) .

Графиката на допирателната функция (наречена "тангентоид") изглежда така:

Свойства на функцията тангенс y = tanx.

Функция котангенс y = ctg(x) .

Нека начертаем графика на функцията котангенс (тя се нарича "котангентоид"):

Свойства на функцията котангенс y = ctgx.

Обратни тригонометрични функции, техните свойства и графики.

Обратните тригонометрични функции (арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс) са основните елементарни функции. Често, поради префикса "дъга", обратните тригонометрични функции се наричат ​​дъгови функции. Сега ще разгледаме техните графики и ще изброим свойствата им.

Функция арксинус y = arcsin(x) .

Нека начертаем функцията арксинус:

Свойства на функцията арккотангенс y = arcctg(x) .

Референции.

• Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: учеб. за 10-11 клас. общообразователни институции.
• Вигодски М.Я. Наръчник по елементарна математика.
• Новоселов С.И. Алгебра и елементарни функции.
• Туманов С.И. Елементарна алгебра. Наръчник за самообразование.

Линейна функция е функция от вида y=kx+b, където x е независимата променлива, k и b са произволни числа.
Графиката на линейна функция е права линия.

1. За да начертаете графика на функция,имаме нужда от координатите на две точки, принадлежащи на графиката на функцията. За да ги намерите, трябва да вземете две стойности x, да ги замените в уравнението на функцията и да ги използвате, за да изчислите съответните стойности на y.

Например, за да начертаете функцията y= x+2, е удобно да вземете x=0 и x=3, тогава ординатите на тези точки ще бъдат равни на y=2 и y=3. Получаваме точки A(0;2) и B(3;3). Нека ги свържем и да получим графика на функцията y= x+2:

2. Във формулата y=kx+b числото k се нарича коефициент на пропорционалност:
ако k>0, тогава функцията y=kx+b нараства
ако к
Коефициент b показва изместването на графиката на функцията по оста OY:
ако b>0, тогава графиката на функцията y=kx+b се получава от графиката на функцията y=kx чрез преместване на b единици нагоре по оста OY
ако б
Фигурата по-долу показва графиките на функциите y=2x+3; y= ½ x+3; у=х+3

Обърнете внимание, че във всички тези функции коефициентът k по-голямо от нулаа функциите са нарастваща.Освен това, колкото по-голяма е стойността на k, толкова по-голям е ъгълът на наклон на правата линия спрямо положителната посока на оста OX.

Във всички функции b=3 - и виждаме, че всички графики пресичат оста OY в точка (0;3)

Сега разгледайте графиките на функциите y=-2x+3; y=- ½ x+3; у=-х+3

Този път във всички функции коефициентът k по-малко от нулаи функции намаляват.Коефициент b=3, а графиките, както в предишния случай, пресичат оста OY в точка (0;3)

Разгледайте графиките на функциите y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Сега във всички функционални уравнения коефициентите k са равни на 2. И имаме три успоредни прави.

Но коефициентите b са различни и тези графики пресичат оста OY в различни точки:
Графиката на функцията y=2x+3 (b=3) пресича оста OY в точка (0;3)
Графиката на функцията y=2x (b=0) пресича оста OY в точката (0;0) - началото.
Графиката на функцията y=2x-3 (b=-3) пресича оста OY в точка (0;-3)

И така, ако знаем знаците на коефициентите k и b, тогава веднага можем да си представим как изглежда графиката на функцията y=kx+b.
Ако k 0

Ако k>0 и b>0, тогава графиката на функцията y=kx+b изглежда така:

Ако k>0 и b, тогава графиката на функцията y=kx+b изглежда така:

Ако k, тогава графиката на функцията y=kx+b изглежда така:

Ако k=0, тогава функцията y=kx+b се превръща във функцията y=b и нейната графика изглежда така:

Ординатите на всички точки от графиката на функцията y=b са равни на b If b=0, тогава графиката на функцията y=kx (права пропорционалност) минава през началото:

3. Нека отделно да отбележим графиката на уравнението x=a.Графиката на това уравнение е права линия, успоредна на оста OY, всички точки на която имат абциса x=a.

Например графиката на уравнението x=3 изглежда така:
внимание!Уравнението x=a не е функция, така че една стойност на аргумент съответства на различни значенияфункции, което не отговаря на дефиницията на функция.

4. Условие за успоредност на две прави:

Графиката на функцията y=k 1 x+b 1 е успоредна на графиката на функцията y=k 2 x+b 2, ако k 1 =k 2

5. Условието две прави да са перпендикулярни:

Графиката на функцията y=k 1 x+b 1 е перпендикулярна на графиката на функцията y=k 2 x+b 2, ако k 1 *k 2 =-1 или k 1 =-1/k 2

6. Пресечни точки на графиката на функцията y=kx+b с координатните оси.

С OY ос. Абсцисата на всяка точка, принадлежаща на оста OY, е равна на нула. Следователно, за да намерите точката на пресичане с оста OY, трябва да замените нула в уравнението на функцията вместо x. Получаваме y=b. Тоест точката на пресичане с оста OY има координати (0; b).

С ос OX: ординатата на всяка точка, принадлежаща на оста OX, е нула. Следователно, за да намерите точката на пресичане с оста OX, трябва да замените нула в уравнението на функцията вместо y. Получаваме 0=kx+b. Следователно x=-b/k. Тоест точката на пресичане с оста OX има координати (-b/k;0):

Нека видим как да изследваме функция с помощта на графика. Оказва се, че като погледнем графиката, можем да разберем всичко, което ни интересува, а именно:

• област на функция
• функционален диапазон
• функционални нули
• интервали на нарастване и намаляване
• максимални и минимални точки
• най-голямата и най-малката стойност на функция върху сегмент.

Нека изясним терминологията:

Абцисае хоризонталната координата на точката.
Ордината- вертикална координата.
Абсцисната ос- хоризонталната ос, най-често наричана ос.
Y ос- вертикална ос или ос.

Аргумент- независима променлива, от която зависят стойностите на функцията. Най-често се посочва.
С други думи, избираме , заместваме функции във формулата и получаваме .

Област на дефиницияфункции - набор от тези (и само тези) стойности на аргументи, за които съществува функцията.
Обозначава се с: или .

В нашата фигура областта на дефиниране на функцията е сегментът. На този сегмент е начертана графиката на функцията. Това е единственото място, където съществува тази функция.

Функционален диапазоне набор от стойности, които една променлива приема. В нашата фигура това е сегмент - от най-ниската до най-високата стойност.

Функционални нули- точки, където стойността на функцията е нула, т.е. В нашата фигура това са точки и .

Функционалните стойности са положителникъдето . На нашата фигура това са интервалите и .
Стойностите на функциите са отрицателникъдето . За нас това е интервалът (или интервалът) от до .

Най-важните понятия - нарастваща и намаляваща функцияна някакъв комплект. Като набор можете да вземете сегмент, интервал, обединение на интервали или цялата числова линия.

функция увеличава

С други думи, колкото повече, толкова повече, тоест графиката отива надясно и нагоре.

функция намалявана множество, ако за всяко и принадлежащи на множеството, неравенството предполага неравенството .

За намаляваща функция по-висока стойностсъответства на по-малката стойност. Графиката върви надясно и надолу.

На нашата фигура функцията нараства на интервала и намалява на интервалите и .

Нека да дефинираме какво е това максимални и минимални точки на функцията.

Максимална точка- това е вътрешна точка на областта на дефиниране, така че стойността на функцията в нея е по-голяма, отколкото във всички точки, достатъчно близки до нея.
С други думи, максималната точка е точка, в която стойността на функцията повечеотколкото в съседните. Това е местен „хълм“ на диаграмата.

В нашата фигура има максимална точка.

Минимална точка- вътрешна точка на областта на дефиниция, така че стойността на функцията в нея е по-малка, отколкото във всички точки, достатъчно близки до нея.
Тоест минималната точка е такава, че стойността на функцията в нея е по-малка от тази в нейните съседи. Това е локална „дупка“ на графиката.

В нашата фигура има минимална точка.

Точката е границата. Тя не е вътрешна точкаобласт на дефиниция и следователно не отговаря на определението за максимална точка. В крайна сметка тя няма съседи отляво. По същия начин на нашата диаграма не може да има минимална точка.

Максималните и минималните точки заедно се извикват екстремни точки на функцията. В нашия случай това е и .

Какво да направите, ако трябва да намерите напр. минимална функцияна сегмента? В този случай отговорът е:. защото минимална функцияе неговата стойност в минималната точка.

По подобен начин максимумът на нашата функция е . Достига се в точка .

Можем да кажем, че екстремумите на функцията са равни на и .

Понякога проблемите изискват намиране най-големият и най-малка стойностфункциина даден сегмент. Не е задължително те да съвпадат с крайностите.

В нашия случай най-малката стойност на функциятана отсечката е равна и съвпада с минимума на функцията. Но най-голямата му стойност в този сегмент е равна на . Достига се в левия край на сегмента.

Във всеки случай най-големите и най-малките стойности на непрекъсната функция на сегмент се постигат или в екстремните точки, или в краищата на сегмента.

дадени методически материале само за справка и се отнася за широк кръг от теми. Статията предоставя преглед на графики на основни елементарни функции и разглежда най-важния въпрос - как да изградите графика правилно и БЪРЗО. В хода на изучаване на висша математика без познаване на графиките на основните елементарни функции ще бъде трудно, така че е много важно да запомните как изглеждат графиките на парабола, хипербола, синус, косинус и т.н. и да запомните някои от значенията на функциите. Ще говорим и за някои свойства на основните функции.

Не претендирам за изчерпателност и научна задълбоченост на материалите, акцентът ще бъде поставен преди всичко върху практиката - онези неща, с които човек се среща буквално на всяка крачка, във всяка тема от висшата математика. Графики за манекени? Може да се каже така.

Поради многобройни искания от читатели съдържание, върху което може да се кликне:

Освен това има ултра кратък синопсис по темата
– овладейте 16 вида диаграми, като изучавате ШЕСТ страници!

Сериозно, шест, дори аз бях изненадан. Това резюме съдържа подобрена графика и се предлага срещу номинална такса, може да се види демо версия. Удобно е да отпечатате файла, така че графиките да са винаги под ръка. Благодаря за подкрепата на проекта!

И да започнем веднага:

Как правилно да конструираме координатни оси?

На практика контролните работи почти винаги се попълват от учениците в отделни тетрадки, подредени в квадрат. Защо се нуждаете от карирана маркировка? В крайна сметка работата по принцип може да се извърши на листове А4. И клетката е необходима само за висококачествено и точно проектиране на чертежи.

Всеки чертеж на функционална графика започва с координатни оси.

Чертежите могат да бъдат двуизмерни и триизмерни.

Нека първо разгледаме двумерния случай картезиански правоъгълна системакоординати:

1) Начертайте координатни оси. Оста се нарича ос х , а оста е у-ос . Винаги се опитваме да ги нарисуваме спретнат и не крив. Стрелките също не трябва да приличат на брадата на татко Карло.

2) Подписваме осите с големи букви „X“ и „Y“. Не забравяйте да обозначите осите.

3) Задайте скалата по осите: нарисувайте нула и две единици. При рисуване най-удобният и често използван мащаб е: 1 единица = 2 клетки (чертеж вляво) – при възможност се придържайте към него. От време на време обаче се случва чертежът да не се побира на листа на тетрадката - тогава намаляваме мащаба: 1 единица = 1 клетка (чертеж вдясно). Рядко, но се случва, че мащабът на чертежа трябва да бъде намален (или увеличен) още повече

НЯМА НУЖДА от „картечница“ …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….Защото координатната равнина не е паметник на Декарт, а ученикът не е гълъб. Ние поставяме нулаИ две единици по осите. Понякога вместоединици, удобно е да „маркирате“ други стойности, например „две“ по абсцисната ос и „три“ по ординатната ос - и тази система (0, 2 и 3) също ще дефинира уникално координатната мрежа.

По-добре е да прецените приблизителните размери на чертежа ПРЕДИ да конструирате чертежа. Така например, ако задачата изисква начертаване на триъгълник с върхове , , , тогава е напълно ясно, че популярният мащаб 1 единица = 2 клетки няма да работи. защо Нека да разгледаме точката - тук ще трябва да измерите петнадесет сантиметра надолу и, очевидно, рисунката няма да се побере (или едва се побере) на лист от тетрадка. Затова веднага избираме по-малък мащаб: 1 единица = 1 клетка.

Между другото, за сантиметри и клетки от тетрадка. Вярно ли е, че 30 клетки от тетрадка съдържат 15 сантиметра? За забавление измерете 15 сантиметра в тетрадката си с линийка. В СССР това може би е било вярно... Интересно е да се отбележи, че ако измерите същите тези сантиметри хоризонтално и вертикално, резултатите (в клетките) ще бъдат различни! Строго погледнато, съвременните тетрадки не са карирани, а правоъгълни. Това може да изглежда глупост, но рисуването, например, на кръг с компас в такива ситуации е много неудобно. Честно казано, в такива моменти започвате да мислите за правотата на другаря Сталин, който беше изпратен в лагери за халтура в производството, да не говорим за местната автомобилна индустрия, падащи самолети или експлодиращи електроцентрали.

Говорейки за качество, или кратка препоръка за канцеларски материали. Днес повечето от продаваните тетрадки са меко казано пълна глупост. Поради причината, че се мокрят и то не само от гел химикалки, но и от химикалки! Те спестяват пари на хартия. За регистрация тестовеПрепоръчвам да използвате тетрадки от Архангелската целулозно-хартиена фабрика (18 листа, мрежа) или „Pyaterochka“, въпреки че е по-скъпо. Препоръчително е да изберете гел химикал, дори най-евтиният китайски гел пълнител е много по-добър от химикалка, която или размазва, или къса хартията. Единствената „конкурентна“ химикалка, която мога да си спомня, е Erich Krause. Тя пише ясно, красиво и последователно – независимо дали с пълно ядро ​​или с почти празно.

Допълнително: Визията за правоъгълна координатна система през очите на аналитичната геометрия е разгледана в статията Линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторите, подробна информацияотносно координатните четвъртини можете да намерите във втория параграф на урока Линейни неравенства.

3D калъф

Тук е почти същото.

1) Начертайте координатни оси. Стандартен: прилагане на ос – насочена нагоре, ос – насочена надясно, ос – насочена надолу наляво строгопод ъгъл от 45 градуса.

2) Маркирайте осите.

3) Задайте скалата по осите. Мащабът по оста е два пъти по-малък от мащаба по другите оси. Също така имайте предвид, че в десния чертеж използвах нестандартен "прорез" по оста (тази възможност вече беше спомената по-горе). От моя гледна точка това е по-точно, по-бързо и по-естетически приятно - няма нужда да търсите средата на клетката под микроскоп и да „извайвате“ единица, близка до началото на координатите.

Когато правите 3D чертеж, отново дайте приоритет на мащаба
1 единица = 2 клетки (чертеж вляво).

За какво са всички тези правила? Правилата са създадени, за да бъдат нарушавани. Това ще направя сега. Факт е, че следващите чертежи на статията ще бъдат направени от мен в Excel и координатните оси ще изглеждат неправилни от гледна точка на правилния дизайн. Бих могъл да начертая всички графики на ръка, но всъщност е страшно да ги начертая, тъй като Excel не желае да ги начертае много по-точно.

Графики и основни свойства на елементарни функции

Линейна функция е дадена от уравнението. Графиката на линейните функции е директен. За да се построи права линия, е достатъчно да се познават две точки.

Пример 1

Постройте графика на функцията. Нека намерим две точки. Изгодно е да изберете нула като една от точките.

Ако , тогава

Да вземем друга точка, например 1.

Ако , тогава

При изпълнение на задачи координатите на точките обикновено се обобщават в таблица:

А самите стойности се изчисляват устно или на чернова, калкулатор.

Намерени са две точки, нека направим чертежа:

Когато изготвяме чертеж, ние винаги подписваме графиките.

Би било полезно да си припомним специални случаи на линейна функция:

Забележете как поставих подписите, подписите не трябва да позволяват несъответствия при изучаване на чертежа. В този случай беше изключително нежелателно да се постави подпис до точката на пресичане на линиите или долу вдясно между графиките.

1) Линейна функция от формата () се нарича пряка пропорционалност. Например,. Графиката на правата пропорционалност винаги минава през началото. Така конструирането на права линия е опростено - достатъчно е да се намери само една точка.

2) Уравнение от формата определя права линия, успоредна на оста, по-специално, самата ос е дадена от уравнението. Графиката на функцията се изгражда веднага, без да се намират точки. Това означава, че записът трябва да се разбира по следния начин: „y винаги е равно на –4 за всяка стойност на x.“

3) Уравнение от формата определя права линия, успоредна на оста, по-специално, самата ос е дадена от уравнението. Графиката на функцията също се изчертава веднага. Записът трябва да се разбира по следния начин: „x винаги, за всяка стойност на y, е равно на 1.“

Някои ще попитат, защо да помним 6 клас?! Така е, може би е така, но през годините на практика срещнах добра дузина студенти, които бяха объркани от задачата да построят графика като или.

Изграждането на права линия е най-често срещаното действие при правене на чертежи.

Правата е разгледана подробно в курса по аналитична геометрия, а интересуващите се могат да се обърнат към статията Уравнение на права на равнина.

Графика на квадратна, кубична функция, графика на полином

Парабола. График квадратична функция () представлява парабола. Помислете за известния случай:

Нека си припомним някои свойства на функцията.

И така, решението на нашето уравнение: – в тази точка се намира върхът на параболата. Защо това е така може да се намери в теоретичната статия за производната и урока за екстремуми на функцията. Междувременно нека изчислим съответната стойност „Y“:

Така върхът е в точката

Сега намираме други точки, докато нагло използваме симетрията на параболата. Трябва да се отбележи, че функцията – не е дори, но въпреки това никой не е отменил симетрията на параболата.

В какъв ред да намерите останалите точки, мисля, че ще стане ясно от финалната маса:

Този алгоритъм на изграждане образно може да се нарече „совалка” или принципът „напред и назад” при Анфиса Чехова.

Да направим чертежа:

От разгледаните графики идва на ум още една полезна функция:

За квадратична функция () следното е вярно:

Ако , тогава клоновете на параболата са насочени нагоре.

Ако , тогава клоновете на параболата са насочени надолу.

Задълбочени знания за кривата могат да се получат в урока Хипербола и парабола.

Кубична парабола е дадена от функцията. Ето рисунка, позната от училище:

Нека изброим основните свойства на функцията

Графика на функция

Представлява един от клоновете на парабола. Да направим чертежа:

Основни свойства на функцията:

В този случай оста е вертикална асимптота за графиката на хипербола при .

Би било ГРУБА грешка, ако при съставяне на чертеж небрежно позволите графиката да се пресече с асимптота.

Също така едностранните граници ни казват, че хиперболата не се ограничава отгореИ не се ограничава отдолу.

Нека разгледаме функцията в безкрайност: , тоест, ако започнем да се движим по оста наляво (или надясно) до безкрайност, тогава „игрите“ ще бъдат подредена стъпка безкрайно близоприближават нулата и съответно клоновете на хиперболата безкрайно близоприближете се до оста.

Така че оста е хоризонтална асимптота за графиката на функция, ако „x“ клони към плюс или минус безкрайност.

Функцията е странно, и следователно хиперболата е симетрична спрямо началото. Този факточевидно от чертежа, освен това лесно се проверява аналитично: .

Графиката на функция от формата () представлява два клона на хипербола.

Ако , тогава хиперболата се намира в първата и третата координатна четвърт(вижте снимката по-горе).

Ако , тогава хиперболата се намира във втората и четвъртата координатна четвърт.

Посоченият модел на пребиваване на хипербола е лесен за анализ от гледна точка на геометрични трансформации на графики.

Пример 3

Конструирайте десния клон на хиперболата

Използваме метода на точково конструиране и е изгодно да изберете стойностите така, че да се делят на цяло:

Да направим чертежа:

Няма да е трудно да се конструира лявото разклонение на хиперболата; странността на функцията ще помогне тук. Грубо казано, в таблицата на точковата конструкция ние мислено добавяме минус към всяко число, поставяме съответните точки и рисуваме втория клон.

Подробна геометрична информация за разглежданата права можете да намерите в статията Хипербола и парабола.

Графика на експоненциална функция

В този раздел веднага ще разгледам експоненциалната функция, тъй като в проблемите на висшата математика в 95% от случаите се среща експоненциалната.

Нека ви напомня, че това е ирационално число: , това ще се изисква при изграждането на графика, която всъщност ще изградя без церемонии. Три точки вероятно са достатъчни:

Нека засега оставим графиката на функцията, повече за нея по-късно.

Основни свойства на функцията:

Функционалните графики и т.н. изглеждат фундаментално еднакви.

Трябва да кажа, че вторият случай се среща по-рядко в практиката, но се среща, затова сметнах за необходимо да го включа в тази статия.

Графика на логаритмична функция

Да разгледаме функция с натурален логаритъм.
Нека направим чертеж точка по точка:

Ако сте забравили какво е логаритъм, вижте учебниците си.

Основни свойства на функцията:

Област на дефиниция:

Диапазон от стойности: .

Функцията не е ограничена отгоре: , макар и бавно, но клонът на логаритъма се издига до безкрайност.
Нека разгледаме поведението на функцията близо до нула вдясно: . Така че оста е вертикална асимптота за графиката на функция като "x" клони към нула отдясно.

Задължително е да знаете и запомните типичната стойност на логаритъма: .

По принцип графиката на логаритъма при основа изглежда по същия начин: , , (десетичен логаритъм при основа 10) и т.н. Освен това, колкото по-голяма е основата, толкова по-плоска ще бъде графиката.

Няма да разглеждаме делото, не помня кога последния пътНа тази основа изградих графика. А логаритъмът изглежда е много рядък гост в задачите на висшата математика.

В края на този параграф ще кажа още един факт: Експоненциална функция и логаритмична функция– това са две взаимно обратни функции. Ако погледнете внимателно графиката на логаритъма, можете да видите, че това е същият показател, просто е разположен малко по-различно.

Графики на тригонометрични функции

Откъде започват тригонометричните мъки в училище? вярно От синуса

Нека начертаем функцията

Тази линия се нарича синусоида.

Нека ви напомня, че „пи“ е ирационално число: , а в тригонометрията ви заслепява очите.

Основни свойства на функцията:

Тази функция е периодиченс точка . Какво означава? Нека да разгледаме сегмента. Вляво и вдясно от нея безкрайно се повтаря точно една и съща част от графиката.

Област на дефиниция: , тоест за всяка стойност на „x“ има синусова стойност.

Диапазон от стойности: . Функцията е ограничен: , тоест всички „игри“ се намират строго в сегмента .
Това не се случва: или, по-точно, случва се, но тези уравнения нямат решение.

1. Дробна линейна функция и нейната графика

Функция от формата y = P(x) / Q(x), където P(x) и Q(x) са полиноми, се нарича дробна рационална функция.

Вероятно вече сте запознати с концепцията за рационални числа. По същия начин рационални функцииса функции, които могат да бъдат представени като частно на два полинома.

Ако дробна рационална функция е частното от две линейни функции– полиноми от първа степен, т.е. функция на формата

y = (ax + b) / (cx + d), тогава се нарича дробно линейно.

Обърнете внимание, че във функцията y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (в противен случай функцията става линейна y = ax/d + b/d) и че a/c ≠ b/d (в противен случай функцията функцията е постоянна). Линейната дробна функция е дефинирана за всички реални числа с изключение на x = -d/c. Графиките на дробни линейни функции не се различават по форма от графиката y = 1/x, която познавате. Извиква се крива, която е графика на функцията y = 1/x хипербола. При неограничено нарастване на x по абсолютна стойност, функцията y = 1/x намалява неограничено по абсолютна стойност и двата клона на графиката се доближават до абсцисата: десният се приближава отгоре, а левият отдолу. Правите, към които се приближават клоновете на хипербола, се наричат ​​нейни асимптоти.

Пример 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Решение.

Нека изберем цялата част: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Сега е лесно да се види, че графиката на тази функция се получава от графиката на функцията y = 1/x чрез следните трансформации: изместване с 3 единични сегмента надясно, разтягане по оста Oy 7 пъти и изместване с 2 единични сегменти нагоре.

Всяка дроб y = (ax + b) / (cx + d) може да бъде написана по подобен начин, като се подчертава „цялата част“. Следователно графиките на всички дробни линейни функции са хиперболи, изместени по различни начини по координатните оси и опънати по оста Oy.

За да се построи графика на произволна дробно-линейна функция, изобщо не е необходимо да се трансформира дробта, определяща тази функция. Тъй като знаем, че графиката е хипербола, ще бъде достатъчно да намерим правите, към които се приближават нейните клонове - асимптотите на хиперболата x = -d/c и y = a/c.

Пример 2.

Намерете асимптотите на графиката на функцията y = (3x + 5)/(2x + 2).

Решение.

Функцията не е дефинирана при x = -1. Това означава, че правата x = -1 служи като вертикална асимптота. За да намерим хоризонталната асимптота, нека да разберем до какво се приближават стойностите на функцията y(x), когато аргументът x нараства по абсолютна стойност.

За да направите това, разделете числителя и знаменателя на дробта на x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Когато x → ∞ дробта ще клони към 3/2. Това означава, че хоризонталната асимптота е правата линия y = 3/2.

Пример 3.

Начертайте графика на функцията y = (2x + 1)/(x + 1).

Решение.

Нека изберем "цялата част" на фракцията:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Сега е лесно да се види, че графиката на тази функция се получава от графиката на функцията y = 1/x чрез следните трансформации: изместване с 1 единица наляво, симетрично показване по отношение на Ox и изместване с 2 единични сегмента нагоре по оста Oy.

Област D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Диапазон от стойности E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Пресечни точки с оси: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функцията нараства на всеки интервал от областта на дефиниране.

Отговор: Фигура 1.

2. Дробна рационална функция

Да разгледаме дробна рационална функция от формата y = P(x) / Q(x), където P(x) и Q(x) са полиноми със степен по-висока от първата.

Примери за такива рационални функции:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) или y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ако функцията y = P(x) / Q(x) представлява частното от два полинома със степен по-висока от първата, тогава нейната графика по правило ще бъде по-сложна и понякога може да бъде трудно да се конструира точно , с всички подробности. Често обаче е достатъчно да се използват техники, подобни на тези, които вече представихме по-горе.

Нека дробта е правилна дроб (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Очевидно графиката на дробна рационална функция може да се получи като сума от графики на елементарни дроби.

Построяване на графики на дробни рационални функции

Нека разгледаме няколко начина за конструиране на графики на дробна рационална функция.

Пример 4.

Начертайте графика на функцията y = 1/x 2 .

Решение.

Използваме графиката на функцията y = x 2, за да построим графика на y = 1/x 2 и използваме техниката на „разделяне“ на графиките.

Област D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Диапазон от стойности E(y) = (0; +∞).

Няма пресечни точки с осите. Функцията е равномерна. Увеличава се за всички x от интервала (-∞; 0), намалява за x от 0 до +∞.

Отговор: Фигура 2.

Пример 5.

Начертайте графика на функцията y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Решение.

Област D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Тук използвахме техниката на факторизация, редукция и редукция до линейна функция.

Отговор: Фигура 3.

Пример 6.

Начертайте графика на функцията y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Решение.

Областта на дефиниране е D(y) = R. Тъй като функцията е четна, графиката е симетрична спрямо ординатата. Преди да изградим графика, нека трансформираме израза отново, като подчертаем цялата част:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Имайте предвид, че изолирането на цялата част във формулата на дробна рационална функция е едно от основните при конструирането на графики.

Ако x → ±∞, тогава y → 1, т.е. правата линия y = 1 е хоризонтална асимптота.

Отговор: Фигура 4.

Пример 7.

Нека разгледаме функцията y = x/(x 2 + 1) и се опитаме да намерим точно нейната най-голяма стойност, т.е. най-високата точка в дясната половина на графиката. За да се изгради точно тази графика, днешните знания не са достатъчни. Очевидно нашата крива не може да се „издигне“ много високо, т.к знаменателят бързо започва да "изпреварва" числителя. Да видим дали стойността на функцията може да бъде равна на 1. За да направим това, трябва да решим уравнението x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Това уравнение няма реални корени. Това означава, че нашето предположение е неправилно. За да намерите най голяма стойностфункция, трябва да откриете при какво най-голямо A уравнението A = x/(x 2 + 1) ще има решение. Нека заместим първоначалното уравнение с квадратно: Аx 2 – x + А = 0. Това уравнение има решение, когато 1 – 4А 2 ≥ 0. От тук намираме най-висока стойностА = 1/2.

Отговор: Фигура 5, max y(x) = ½.

Все още имате въпроси? Не знаете как да чертаете функции?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.