Много системи диференциални уравнения, както хомогенни, така и нехомогенни, могат да бъдат сведени до едно уравнение за една неизвестна функция. Нека демонстрираме метода с примери.

Пример 3.1.Решете системата

Решение. 1) Разграничаване по tпърво уравнение и използване на второто и третото уравнение за заместване И , намираме

Ние диференцираме полученото уравнение по отношение на отново

1) Ние създаваме система

От първите две уравнения на системата изразяваме променливите И чрез
:

Нека заместим намерените изрази за И в третото уравнение на системата

И така, за да намерим функцията
получава диференциално уравнение от трети ред с постоянни коефициенти

.

2) Интегрираме последното уравнение по стандартния метод: съставяме характеристичното уравнение
, намерете корените му
и конструирайте общо решение под формата на линейна комбинация от експоненциали, като вземете предвид кратността на един от корените:.

3) След това намерете двете останали функции
И
, диференцираме получената функция два пъти

Използвайки връзки (3.1) между функциите на системата, възстановяваме останалите неизвестни

.

отговор. ,
,.

Може да се окаже, че всички известни функции с изключение на една са изключени от системата от трети ред дори с едно диференциране. В този случай редът на диференциалното уравнение за намирането му ще бъде по-малък от броя на неизвестните функции в оригиналната система.

Пример 3.2.Интегрирайте системата

(3.2)

Решение. 1) Разграничаване по първото уравнение, намираме

Изключване на променливи И от уравнения

ще имаме уравнение от втори ред по отношение на

(3.3)

2) От първото уравнение на системата (3.2) имаме

(3.4)

Замествайки в третото уравнение на системата (3.2) намерените изрази (3.3) и (3.4) за И , получаваме диференциално уравнение от първи ред за определяне на функцията

Интегрирайки това нехомогенно уравнение с постоянни коефициенти от първи ред, намираме
Използвайки (3.4), намираме функцията

отговор.
,,
.

Задача 3.1. Решете хомогенни системи, като ги сведете до едно диференциално уравнение.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2. Решаване на системи от линейни хомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти чрез намиране на фундаментална система от решения

Общото решение на система от линейни хомогенни диференциални уравнения може да се намери като линейна комбинация от фундаменталните решения на системата. В случай на системи с постоянни коефициенти, методите на линейната алгебра могат да се използват за намиране на фундаментални решения.

Пример 3.3.Решете системата

(3.5)

Решение. 1) Нека пренапишем системата в матрична форма

. (3.6)

2) Ще търсим фундаментално решение на системата под формата на вектор
. Заместващи функции
в (3.6) и намаляване с , получаваме

, (3.7)

това е числото трябва да бъде собствена стойност на матрицата
, и векторът съответния собствен вектор.

3) От курса на линейната алгебра е известно, че системата (3.7) има нетривиално решение, ако нейният детерминант е равен на нула

,

това е . От тук намираме собствените стойности
.

4) Намерете съответните собствени вектори. Заместване на първата стойност в (3.7)
, получаваме система за намиране на първия собствен вектор

От тук получаваме връзката между неизвестните
. Достатъчно е да изберем едно нетривиално решение. Вярвайки
, Тогава
, тоест векторът е собствена стойност на собствената стойност
, и вектора на функцията
фундаментално решение на дадена система от диференциални уравнения (3.5). По същия начин при заместване на втория корен
в (3.7) имаме матрично уравнение за втория собствен вектор
. Откъде намираме връзката между неговите компоненти?
. Така имаме второто фундаментално решение

.

5) Общото решение на система (3.5) се конструира като линейна комбинация от двете получени фундаментални решения

или в координатна форма

.

отговор.

.

Задача 3.2. Решавайте системи чрез намиране на основната система от решения.

Основни понятия и определения Вече води до система от диференциални уравнения най-простата задачадинамика на точка: дадени са силите, действащи върху материална точка; намерете закона за движение, т.е. намерете функциите x = x(t), y = y(t), z = z(t), изразяващи зависимостта на координатите на движеща се точка от времето. Получената система е общ случай има формата Тук x, y, z са координатите на движещата се точка, t е времето, f, g, h са известни функции на техните аргументи. Система от тип (1) се нарича канонична. Обръщайки се към общия случай на система от m диференциални уравнения с m неизвестни функции на аргумента t, ние наричаме система от формата, разрешена по отношение на по-високи производни, канонична. Система от уравнения от първи ред, разрешени по отношение на производните на желаните функции, се нарича нормална. Ако вземем нови спомагателни функции, тогава общата канонична система (2) може да бъде заменена с еквивалентна нормална система, състояща се от уравнения. Следователно е достатъчно да се вземат предвид само нормалните системи. Например едно уравнение е специален случай на каноничната система. Поставяйки ^ = y, по силата на първоначалното уравнение ще имаме В резултат на това получаваме нормална система от уравнения СИСТЕМИ ОТ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ Методи на интегриране Метод на елиминиране Метод на интегрируеми комбинации Системи от линейни диференциални уравнения Фундаментална матрица Метод на вариация на константи Системи от линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти Матричен метод, еквивалентен на оригиналното уравнение. Определение 1. Решение на нормалната система (3) на интервала (a, b) на промяна на аргумента t е всяка система от n функции, диференцируеми на интервала, която превръща уравненията на система (3) в идентичности по отношение на t на интервала (a, b) се формулира по следния начин: намира се решение (4) на системата, което удовлетворява при t = на началните условия на теорема 1 (съществуване и единственност на решението). чрез задачите на Which). Нека имаме нормална система от диференциални уравнения и нека функциите са дефинирани в някаква (n + 1) -мерна област на промените в променливите t, X\, x2, ..., xn. Ако има околност ft, в която функциите ft са непрекъснати в множеството от аргументи и имат ограничени частични производни по отношение на променливите X\, x2, ..., xn, тогава има интервал до - A0 от промяна t, на която има единствено решение на нормалната система (3), което отговаря на началните условия Определение 2. Система от n функции, зависеща от tun произволни константи, се нарича общо решение на нормалната система (3) в някои област Π на съществуване и уникалност на решението Задача на Коши, ако 1) за всякакви допустими стойности системата от функции (6) превръща уравнения (3) в идентичности, 2) в областта Π функции (6) решават всяка задача на Коши. За по-голяма яснота, нека се обърнем към нормалната система от две уравнения. Ще разгледаме системата от стойности t\u003e X\, x2 като правоъгълна Декартови координатиточки от тримерното пространство, свързани с координатната система Otx\x2. Решението на системата (7), което приема стойности при t - до, определя в пространството определена линия, минаваща през точката) - Тази линия се нарича интегрална крива на нормалната система (7). Проблемът на Коши за система (7) получава следната геометрична формулировка: в пространството на променливите t> X\, x2 да се намери интегралната крива, минаваща през дадена точка Mo(to, x1, x2) (фиг. 1). Теорема 1 установява съществуването и уникалността на такава крива. На нормалната система (7) и нейното решение може да се даде следната интерпретация: ще разглеждаме независимата променлива t като параметър, а решението на системата като параметрични уравнения на крива в равнината x\Ox2. Тази равнина на променливи X\X2 се нарича фазова равнина. Във фазовата равнина решението (0 на системата (7), като t = t0 начални стойности x°(, x2, се представя от кривата AB, минаваща през точката). Тази крива се нарича системна траектория (фазова траектория). Траекторията на системата (7) е проекцията на интегралната крива върху фазовата равнина. Фазовата траектория се определя еднозначно от интегралната крива, но не и обратното. § 2. Методи за интегриране на системи от диференциални уравнения 2.1. Метод на елиминиране Един от методите на интегриране е методът на елиминиране. Специален случай на каноничната система е едно уравнение от n-ти ред, разрешено по отношение на най-високата производна. Чрез въвеждане на нови функции, уравнението е следната нормална система от n уравнения: заменяме това едно уравнение от n-ти ред е еквивалентно. към нормалната система (1). Може да се твърди и обратното, че най-общо казано, нормална система от n уравнения от първи ред е еквивалентна на едно уравнение от порядък n. Това е основата на елиминационния метод за интегриране на системи от диференциални уравнения. Прави се така. Нека имаме нормална система от диференциални уравнения. Нека диференцираме първото от уравненията (2) по отношение на t. Имаме Заместване на продукта от дясната страна или, накратко, Уравнение (3) отново е диференцирано по отношение на t. Като вземем под внимание система (2), получаваме или Продължавайки този процес, намираме Да приемем, че детерминантата (Якобиан на системата от функции е различна от нула за разглежданите стойности. Тогава системата от уравнения, съставена от първото уравнение на системата ( 2) и уравненията ще бъдат разрешими по отношение на неизвестните ще бъдат изразени чрез Въвеждайки намерените изрази в уравнението получаваме едно уравнение от n-ти ред От самия метод на неговото построяване следва, че ако) има решения на системата (2), тогава функцията X\(t) ще бъде решение на уравнение (5). Обратно, нека е решението на уравнение (5). Диференцирайки това решение по отношение на t, ние изчисляваме и заместваме намерените стойности като известни функции. По предположение тази система може да бъде разрешена по отношение на xn като функция на t. Може да се покаже, че системата от функции, конструирана по този начин, представлява решение на системата от диференциални уравнения (2). Пример. Необходимо е да интегрираме системата, като диференцираме първото уравнение на системата, откъдето, използвайки второто уравнение, получаваме линейно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти с една неизвестна функция. Общото му решение има формата. По силата на първото уравнение на системата намираме функцията. Намерените функции x(t), y(t), както могат лесно да се проверят, за всякакви стойности на C| и C2 отговарят на дадената система. Функциите могат да бъдат представени във вида, от който се вижда, че интегралните криви на системата (6) са спирални линии със стъпка с обща ос x = y = 0, която също е интегрална крива (фиг. 3). Елиминирайки параметъра във формули (7), получаваме уравнението, така че фазовите траектории на дадена система са окръжности с център в началото на координатите - проекции на спирални линии върху равнина. Когато A = 0, фазовата траектория се състои от една точка, наречена точка на покой на системата. " Може да се окаже, че функциите не могат да бъдат изразени чрез Тогава няма да получим уравнение от n-ти ред, еквивалентно на оригиналната система. Ето един прост пример. Системата от уравнения не може да бъде заменена с еквивалентно уравнение от втори ред за x\ или x2. Тази система е съставена от двойка уравнения от първи ред, всяко от които е интегрирано независимо, което дава метода на интегрируемите комбинации. Интегрирането на нормални системи от диференциални уравнения dXi понякога се извършва чрез метода на интегрируемите комбинации. Интегрируема комбинация е диференциално уравнение, което е следствие от уравнения (8), но вече е лесно интегрируемо. Пример. Интегрирайте система СИСТЕМИ ОТ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ Методи на интегриране Метод на елиминиране Метод на интегрируеми комбинации Системи от линейни диференциални уравнения Фундаментална матрица Метод на вариация на константи Системи от линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти Матричен метод 4 Събирайки тези уравнения член по член, намираме едно интегрируема комбинация: Изваждайки член по член от първото уравнение на системата, второто, получаваме втора интегрируема комбинация: откъдето открихме две крайни уравнения, от които лесно се определя общото решение на системата: Една интегрируема комбинация дава възможност да се получи едно уравнение, свързващо независимата променлива t и неизвестните функции. Такова крайно уравнение се нарича първи интеграл на системата (8). В противен случай: първият интеграл на система от диференциални уравнения (8) е диференцируема функция, която не е идентично постоянна, но поддържа постоянна стойност на всяка интегрална крива на тази система. Ако са намерени n първи интеграла на система (8) и всички те са независими, т.е. якобианът на системата от функции е различен от нула: Система от диференциални уравнения се нарича линейна, ако е линейна по отношение на неизвестни функции и техните производни включени в уравнението. Система стр линейни уравнения първи ред, написан в нормална форма, има формата или, в матрична форма, теорема 2. Ако всички функции са непрекъснати на интервал, тогава в достатъчно малка околност на всяка точка., xn), където), условията на теоремата за съществуване и уникалността на решението на проблема са изпълнени Кошии, следователно през всяка такава точка преминава уникална интегрална крива на системата (1). Пример. Системата има, както е лесно да се провери, решения Решенията на Аш са линейно независими, тъй като детерминантата на Wronski е различна от нула: "Общото решение на системата има формата или - са произволни константи). 3.1. Фундаментална матрица Квадратна матрица чиито колони са линейно независими решения на системата (6), се нарича фундаментална матрица на тази система. Лесно се проверява, че фундаменталната матрица удовлетворява. матрично уравнениеАко X(t) е фундаменталната матрица на система (6), тогава общото решение на системата може да бъде представено като постоянна колонна матрица с произволни елементи. Ако приемем, че имаме следователно, матрицата се нарича матрица на Коши. С негова помощ решението на система (6) може да бъде представено по следния начин: Теорема 8 (за структурата на общото решение на линейна нехомогенна система от диференциални уравнения). Общото решение в областта на линейна нехомогенна система от диференциални уравнения с коефициенти, непрекъснати в интервала и десните части fi(t) е равно на сумата от общото решение на съответната хомогенна система и някое конкретно решение X(t ) на нехомогенната система (2): 3.2. Метод на вариация на константи Ако общото решение на линейна хомогенна система (6) е известно, тогава конкретно решение на нехомогенна система може да се намери чрез метода на вариация на константи (метод на Lag-Rang). Нека има общо решение на хомогенната система (6), тогава dXk и решенията са линейно независими. Ще търсим частно решение на нееднородната система, където са неизвестни функции на t. Диференцирайки имаме Замествайки получаваме Оттогава за дефиницията получаваме система или, в разширена форма, Система (10) е линейна алгебрична система по отношение на 4(0 >, чиято детерминанта е детерминантата на Вронски W(t) на фундамента система от решения. Тази детерминанта е различна от нула навсякъде в интервала, така че системата) има уникално решение, където MO са известни непрекъснати функции. Интегрирайки последните отношения, намираме замествайки тези стойности, намираме конкретно решение на система (2): (тук символът се разбира като една от първоизводните за функцията §4. Системи от линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти Разгледайте.линейна система диференциални уравнения, в които всички коефициенти са постоянни. Най-често такава система се интегрира, като се сведе до едно уравнение от по-висок порядък и това уравнение също ще бъде линейно с постоянни коефициенти. другинтегриране на системи с постоянни коефициенти – методът на трансформацията на Лаплас. Ще разгледаме и метода на Ойлер за интегриране на линейни хомогенни системи от диференциални уравнения с постоянни коефициенти. Тя е следната. Метод на Ойлер Ще търсим решение на системата, където са константи. Замествайки x* във форма (2) в система (1), намалявайки с e* и прехвърляйки всички членове към една част от равенството, получаваме системата За да може тази система (3) от линейни хомогенни алгебрични уравнения с n неизвестни an за да има нетривиално решение, Необходимо е и достатъчно неговата детерминанта да е равна на нула: Уравнение (4) се нарича характеристика. От лявата му страна има полином по отношение на A от степен n. От това уравнение определяме тези стойности на A, за които системата (3) има нетривиални решения a\ Ако всички корени на характеристичното уравнение (4) са различни, след това като ги заместим на свой ред в системата ( 3), намираме съответните нетривиални решения на тази система и следователно намираме n решения на оригиналната система от диференциални уравнения (1) във формата, където вторият индекс показва номера на решението, а първият номер на неизвестната функция. Построените по този начин n частични решения на линейната хомогенна система (1) образуват, както може да се провери, фундаментална система от решения на тази система. Следователно общото решение на хомогенната система от диференциални уравнения (1) има формата - произволни константи. Няма да разглеждаме случая, когато характеристичното уравнение има множество корени. М Търсим решение под формата на характеристично уравнение Система (3) за определяне на 01.02 изглежда така: Замествайки получаваме от къде Следователно, приемайки, че намираме общото решение на тази система: СИСТЕМИ ОТ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ Методи на интегриране Метод на елиминиране Метод на интегрируеми комбинации Системи от линейни диференциални уравнения Фундаментална матрица Метод на вариационни константи Системи от линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти Матричен метод Нека обясним допълнителноинтегриране на хомогенна система (1). Нека запишем системата (1) като матрица с постоянни реални елементи a,j. Нека си припомним някои понятия от линейната алгебра. Вектор g FO се нарича собствен вектор на матрица A, ако числото A се нарича собствена стойност на матрица A, съответстваща на собствения вектор g, и е корен на характеристичното уравнение, където I е матрицата на идентичност. Ще приемем, че всички собствени стойности A„ на матрица A са различни. В този случай собствените вектори са линейно независими и има n x n-матрица T, която редуцира матрицата A до диагонална форма, т.е., така че колоните на матрицата T са координатите на собствените вектори следните понятия . Нека B(ξ) е n × n-матрица, чиито елементи 6,;(0) са функции на аргумента t, дефиниран в множеството. Матрицата B(f) се нарича непрекъсната на Π, ако всички нейни елементи 6,j(. f) са непрекъснати върху Q. Матрица B(*) се казва, че е диференцируема върху Π, ако всички елементи на тази матрица са диференцируеми върху Q. В този случай производната на ^p-матрица B(*) е матрица чиито елементи са производните на съответните елементи на вектора на матрицата B(*).Вземайки предвид правилата на матричната алгебра, ние се убеждаваме в валидността на формулата В частност, ако B е константа матрица, тогава тъй като ^ е нулева матрица. Теорема 9. Ако собствените стойности на матрицата A са различни, тогава общото решение на системата (7) има формата където - собствените вектори-колони на матрицата са произволни постоянни числа. .Нека въведем нов неизвестен вектор-колона съгласно формулата, където T е матрица, която редуцира матрицата A до диагонална форма, получаваме системата Умножавайки двете страни на последното отношение отляво по T 1 като се има предвид, че T 1 AT = А, стигаме до системата. Получихме система от n независими уравнения, които лесно могат да бъдат интегрирани: (12) Ето произволни постоянни числа. Чрез въвеждане на единични n-мерни колонни вектори, решението може да бъде представено във формата Тъй като колоните на матрицата T са собствените вектори на матрицата, собственият вектор на матрицата A. Следователно, замествайки (13) в (11), ние получете формула (10): Така, ако матрицата A система от диференциални уравнения (7) има различни собствени стойности, за да получите общо решение на тази система: 1) намерете собствените стойности „ на матрицата като корени на алгебричното уравнение 2) намерете всички собствени вектори 3) напишете общото решение на системата от диференциални уравнения (7), като използвате формулата (10). Пример 2. Решете системата Матричен метод 4 Матрица А на системата има вида 1) Съставете характеристичното уравнение Корените на характеристичното уравнение. 2) Намерете собствените вектори За A = 4 получаваме система, от която = 0|2, така че по подобен начин за A = 1 намираме I 3) Използвайки формула (10), получаваме общо решение на системата от диференциални уравнения. Корените на характеристичното уравнение могат да бъдат реални и комплексни. Тъй като по предположение коефициентите ay на системата (7) са реални, характеристичното уравнение ще има реални коефициенти. Следователно, заедно с комплексния корен A, той също ще има корен \*, комплексно спрегнат с A. Лесно е да се покаже, че ако g е собствен вектор, съответстващ на собствената стойност на A, тогава A* също е собствена стойност, към която собственият вектор g* съответства, комплексно спрегнат с g. За комплекс А решението на система (7) taioKe ще бъде комплексно. Реалната част и имагинерната част на това решение са решения на система (7). Собствената стойност A* ще съответства на двойка реални решения. същата двойка като за собствената стойност A. По този начин двойката A, A* от комплексно спрегнати собствени стойности съответства на двойка реални решения на система (7) от диференциални уравнения. Нека са реални собствени стойности, комплексни собствени стойности. Тогава всяко реално решение на система (7) има формата където c са произволни константи. Пример 3. Решете системата -4 Матрица на системата 1) Характеристично уравнение на системата Неговите корени Собствени вектори на матрицата 3) Решение на системата където са произволни комплексни константи. Нека намерим реални решения на системата. Използвайки формулата на Ойлер, получаваме Следователно всяко реално решение на системата има формата на произволни реални числа. Упражнения Интегрирайте системи, използвайки метода на елиминиране: Интегрирайте системи, използвайки метода на интегрираните комбинации: Интегрирайте системи, използвайки матричния метод: Отговори

Матрично представяне на система от обикновени диференциални уравнения (SODE) с постоянни коефициенти

Линеен хомогенен SODE с постоянни коефициенти $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) +a_ (n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(array)\right $,

където $y_(1)\left(x\right),\; y_(2)\наляво(x\надясно),\; \lточки,\; y_(n) \left(x\right)$ -- необходимите функции на независимата променлива $x$, коефициенти $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ -- ние представяме дадените реални числа в матрична нотация:

  1. матрица на необходимите функции $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ ldots ) \\ (y_(n) \left(x\right)) \end(array)\right)$;
  2. матрица на производни решения $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )( dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(масив)\right)$;
  3. Матрица на SODE коефициент $A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(array)\right)$.

Сега, въз основа на правилото за матрично умножение, този SODE може да бъде записан под формата на матрично уравнение $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$.

Общ метод за решаване на SODE с постоянни коефициенти

Нека има матрица от някои числа $\alpha =\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _ (n) ) \end(array)\right)$.

Решението на SODE се намира в следната форма: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^(k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. В матрична форма: $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array )\right)=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)$.

От тук получаваме:

Сега на матричното уравнение на този SODE може да се даде формата:

Полученото уравнение може да бъде представено по следния начин:

Последното равенство показва, че векторът $\alpha $ с помощта на матрицата $A$ се трансформира в паралелен вектор $k\cdot \alpha $. Това означава, че векторът $\alpha $ е собствен вектор на матрицата $A$, съответстващ на собствената стойност $k$.

Числото $k$ може да се определи от уравнението $\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right|=0$.

Това уравнение се нарича характеристично.

Нека всички корени $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ на характеристичното уравнение са различни. За всяка стойност $k_(i) $ от системата $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c ) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)=0$ матрица от стойности ​​може да се дефинира $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i \right)) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\right)) ) \end(array)\right)$.

Една от стойностите в тази матрица е избрана на случаен принцип.

И накрая, решението на тази система в матрична форма е написано, както следва:

$\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array)\right)=\ left(\begin(array)(cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) & (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^ (\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right)) & (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n) ) \cdot x) ) \end(array)\right)$,

където $C_(i) $ са произволни константи.

Задача

Решете системата DE $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_ ( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(масив)\right $.

Записваме системната матрица: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$.

В матрична форма този SODE се записва по следния начин: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (масив)\right)=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)\cdot \left( \begin( array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)$.

Получаваме характеристичното уравнение:

$\left|\begin(array)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(array)\right|=0$, тоест $k^ ( 2) -10\cdot k+9=0$.

Корените на характеристичното уравнение са: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.

Нека създадем система за изчисляване на $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 1\ дясно)) ) \end(array)\right)$ за $k_(1) =1$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) \end (масив)\вдясно)=0,\]

тоест $\left(5-1\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +\left(5-1\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) ) =0$.

Поставяйки $\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$, получаваме $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$.

Нека създадем система за изчисляване на $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 2\ вдясно)) ) \end(array)\right)$ за $k_(2) =9$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) \\ (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) \end (масив)\вдясно)=0, \]

тоест $\left(5-9\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +\left(5-9\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) ) =0$.

Поставяйки $\alpha _(1)^(\left(2\right)) =1$, получаваме $\alpha _(2)^(\left(2\right)) =1$.

Получаваме решението на SODE в матрична форма:

\[\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \край (масив)\десен).\]

В обичайната форма решението на SODE има формата: $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_( 2) \cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x ) ) \end(array )\right.$.

................................ 1

1. Въведение..................................................... .... .............................................. .......... ... 2

2. Системи диференциални уравнения от 1-ви ред.................................. 3

3. Системи линейни диференциални уравнения от 1-ви ред......... 2

4. Системи линейни хомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти.................................................. ............. ..................................... ................... .... 3

5. Системи нехомогенни диференциални уравнения от 1-ви ред с постоянни коефициенти.................................. ................ .................................. ...................... 2

Преобразуване на Лаплас................................................................................ 1

6. Въведение..................................................... ......... ................................................ ............... 2

7. Свойства на преобразуването на Лаплас............................................. ......... ............ 3

8. Приложения на преобразуването на Лаплас............................................. ......... 2

Въведение в интегралните уравнения............................................................... 1

9. Въведение..................................................... .... .............................................. .......... ... 2

10. Елементи от общата теория на линейните интегрални уравнения.............. 3

11. Концепцията за итеративно решение на интегрални уравнения на Фредхолм от 2-ри род.................................................. ................. ................................. ........................ ........................ ......... 2

12. Уравнение на Волтера............................................. ......................................... 2

13. Решаване на уравненията на Волтера с диференциално ядро ​​с помощта на трансформацията на Лаплас.................................. ............... ................................. ......... 2


Системи обикновени диференциални уравнения

Въведение

Системите от обикновени диференциални уравнения се състоят от няколко уравнения, съдържащи производни на неизвестни функции на една променлива. Като цяло такава система има формата

къде са неизвестните функции, t– независима променлива, – някои зададени функции, индексът номерира уравненията в системата. Решаването на такава система означава намиране на всички функции, които удовлетворяват тази система.

Като пример разгледайте уравнението на Нютон, което описва движението на масово тяло под въздействието на сила:

където е вектор, начертан от началото до текущата позиция на тялото. IN Декартова системакоординати неговите компоненти са функции Така уравнение (1.2) се свежда до три диференциални уравнения от втори ред

За намиране на функции във всеки момент от време, очевидно, трябва да знаете началната позиция на тялото и неговата скорост в началния момент от време - общо 6 начални условия (което съответства на система от три уравнения от втори ред):

Уравнения (1.3) заедно с началните условия (1.4) образуват задачата на Коши, която, както става ясно от физическите съображения, има уникално решение, което дава специфична траектория на тялото, ако силата удовлетворява разумни критерии за гладкост.

Важно е да се отбележи, че този проблем може да бъде сведен до система от 6 уравнения от първи ред чрез въвеждане на нови функции. Нека обозначим функциите като и въведем три нови функции, дефинирани както следва:

Система (1.3) вече може да бъде пренаписана във формата

Така стигнахме до система от шест диференциални уравнения от първи ред за функциите Началните условия за тази система имат формата

Първите три начални условия дават началните координати на тялото, последните три дават проекциите начална скороствърху координатната ос.

Пример 1.1.Редуцирайте система от две диференциални уравнения от 2-ри ред

към система от четири уравнения от първи ред.

Решение.Нека въведем следната нотация:

В този случай оригиналната система ще приеме формата

Още две уравнения дават въведената нотация:

Накрая ще съставим система от диференциални уравнения от 1-ви ред, еквивалентна на оригиналната система от уравнения от 2-ри ред

Тези примери илюстрират общата ситуация: всяка система от диференциални уравнения може да бъде сведена до система от уравнения от първи ред. Така в бъдеще можем да се ограничим до изучаване на системи от диференциални уравнения от 1-ви ред.

Системи диференциални уравнения от 1-ви ред

IN общ изгледсистема от пДиференциалните уравнения от първи ред могат да бъдат записани, както следва:

където са неизвестните функции на независимата променлива t, – някои определени функции. Общо решениесистема (2.1) съдържа ппроизволни константи, т.е. има формата:

Когато описвате реални проблеми с помощта на системи от диференциални уравнения, конкретно решение или частно решениесистема се намира от общо решение чрез посочване на някои начални условия. Първоначалното състояние се записва за всяка функция и за системата пУравненията от първи ред изглеждат така:

Решенията се определят в пространството линия, наречена интегрална линиясистеми (2.1).

Нека формулираме теорема за съществуване и уникалност на решенията за системи от диференциални уравнения.

Теорема на Коши.Системата от диференциални уравнения от първи ред (2.1) заедно с началните условия (2.2) има уникално решение (т.е. единичен набор от константи се определя от общото решение), ако функциите и техните частни производни по отношение на всички аргументи са ограничени в близост до тези начални условия.

Естествено ние говорим заотносно решение в някаква област от променливи .

Решаване на система от диференциални уравнения може да се разглежда като векторна функция X, чиито компоненти са функции, а наборът от функции е като векторна функция Е, т.е.

Използвайки такава нотация, можем накратко да пренапишем първоначалната система (2.1) и началните условия (2.2) в т.нар. векторна форма:

Един метод за решаване на система от диференциални уравнения е да се сведе системата до едно уравнение от по-висок ред. От уравнения (2.1), както и от уравнения, получени чрез тяхното диференциране, може да се получи едно уравнение ппорядък за която и да е от неизвестните функции, останалите неизвестни функции се получават от уравненията на изходната система и междинните уравнения, получени чрез диференциране на изходните.

Пример 2.1.Решете система от два диференциала от първи ред

Решение. Нека диференцираме второто уравнение:

Нека изразим производната чрез първото уравнение

От второто уравнение

Получихме линейно хомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред с постоянни коефициенти. Неговото характеристично уравнение

от което получаваме Тогава общото решение на това диференциално уравнение ще бъде

Намерихме една от неизвестните функции на оригиналната система от уравнения. Използвайки израза, можете да намерите:

Нека решим задачата на Коши при начални условия

Нека ги заместим в общото решение на системата

и намерете интеграционните константи:

По този начин решението на задачата на Коши ще бъдат функциите

Графиките на тези функции са показани на фигура 1.

ориз. 1. Частно решение на системата от пример 2.1 на интервала

Пример 2.2.Решете системата

намалявайки го до едно уравнение от 2-ри ред.

Решение.Диференцирайки първото уравнение, получаваме

Използвайки второто уравнение, стигаме до уравнение от втори ред за х:

Не е трудно да се получи неговото решение, а след това и функцията, като се замести намереното в уравнението. В резултат на това имаме следното решение на системата:

Коментирайте.Намерихме функцията от ур. В същото време на пръв поглед изглежда, че може да се получи същото решение чрез заместване на известното във второто уравнение на оригиналната система

и интегрирането му. Ако се намери по този начин, тогава в решението се появява трета, допълнителна константа:

Въпреки това, както е лесно да се провери, функцията удовлетворява оригиналната система не при произволна стойност, а само при По този начин втората функция трябва да се определи без интегриране.

Нека съберем квадратите на функциите и :

Полученото уравнение дава семейство от концентрични окръжности с център в началото на равнината (вижте Фигура 2). Получените параметрични криви се наричат фазови криви, а равнината, в която се намират е фазова равнина.

Чрез заместване на всякакви начални условия в първоначалното уравнение е възможно да се получат определени стойности на интеграционните константи, което означава кръг с определен радиус във фазовата равнина. По този начин всеки набор от начални условия съответства на специфична фазова крива. Да вземем например началните условия . Тяхното заместване в общото решение дава стойностите на константите , следователно конкретното решение има формата . Когато променяме параметър през интервал, следваме фазовата крива по посока на часовниковата стрелка: стойността съответства на точката първоначално състояниена оста, стойност - точка на оста, стойност - точка на оста, стойност - точка на оста, с връщаме се в началната точка.

Решихме да посветим този раздел на решаването на системи от диференциални уравнения от най-простата форма d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2, в която a 1, b 1, c 1, a 2, b 2 , c 2 - някои реални числа. Най-ефективният метод за решаване на такива системи от уравнения е методът на интегриране. Ще разгледаме и решението на пример по темата.

Решението на система от диференциални уравнения ще бъде двойка функции x (t) и y (t), които могат да превърнат и двете уравнения на системата в идентичности.

Нека разгледаме метода за интегриране на системата DE d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2. Нека изразим x от второто уравнение на системата, за да елиминираме неизвестната функция x (t) от първото уравнение:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

Нека диференцираме второто уравнение по отношение на tи реши уравнението му за d x d t:

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t

Сега нека заместим резултата от предишните изчисления в първото уравнение на системата:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 - (a 1 + b 2) d y d t + (a 1 b 2 - a 2 b 1) y = a 2 c 1 - a 1 c 2

Така че елиминирахме неизвестната функция x (t) и получихме линейно нехомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред с постоянни коефициенти. Нека намерим решението на това уравнение y (t) и го заместим във второто уравнение на системата. Ще намерим x(t). Ще приемем, че това завършва решението на системата от уравнения.

Пример 1

Намерете решението на системата от диференциални уравнения d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3

Решение

Нека започнем с първото уравнение на системата. Нека го разрешим спрямо x:

x = d y d t - 2 y + 3

Сега нека диференцираме второто уравнение на системата, след което го решаваме по отношение на d x d t: d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 - 2 d y d t

Можем да заместим резултата, получен по време на изчисленията, в 1-вото уравнение на системата за дистанционно управление:

d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

В резултат на трансформациите получихме линейно нехомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред с постоянни коефициенти d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2. Ако намерим общото му решение, получаваме функцията y(t).

Можем да намерим общото решение на съответния LOD y 0 чрез изчисляване на корените на характеристичното уравнение k 2 - 3 k + 2 = 0:

D = 3 2 - 4 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 k 2 = 3 + 1 2 = 2

Корените, които получихме, са реални и различни. В тази връзка общото решение на LODE ще има формата y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t .

Сега нека намерим конкретно решение на линейното нехомогенно диференциално уравнение y ~ :

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Дясната страна на уравнението е полином от нулева степен. Това означава, че ще търсим конкретно решение във формата y ~ = A, където A е неопределен коефициент.

Можем да определим неопределения коефициент от равенството d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2:
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

Така y ~ = 1 и y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . Открихме една неизвестна функция.

Сега нека заместим намерената функция във второто уравнение на DE системата и да решим новото уравнение за x(t):
d (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) d t = x + 2 (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) - 3 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t = x + 2 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t - 1 x = - C 1 · e t + 1

Така че изчислихме втората неизвестна функция x (t) = - C 1 · e t + 1.

Отговор: x (t) = - C 1 e t + 1 y (t) = C 1 e t + C 2 e 2 t + 1

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter