Линейна зависимост и векторна независимост

Дефиниции на линейно зависими и независими векторни системи

Определение 22

Нека имаме система от n-вектори и набор от числа
, Тогава

(11)

се нарича линейна комбинация от дадена система от вектори с даден набор от коефициенти.

Определение 23

Векторна система
се нарича линейно зависим, ако има такъв набор от коефициенти
, от които поне един не е равен на нула, така че линейната комбинация от дадена система от вектори с този набор от коефициенти е равна на нулевия вектор:

Нека
, Тогава

Определение 24 (чрез представянето на един вектор на системата като линейна комбинация от останалите)

Векторна система
се нарича линейно зависим, ако поне един от векторите на тази система може да бъде представен като линейна комбинация от останалите вектори на тази система.

Твърдение 3

Дефиниции 23 и 24 са еквивалентни.

Определение 25(чрез нулева линейна комбинация)

Векторна система
се нарича линейно независима, ако нулева линейна комбинация от тази система е възможна само за всички
равно на нула.

Определение 26(поради невъзможността един вектор на системата да бъде представен като линейна комбинация от останалите)

Векторна система
се нарича линейно независим, ако нито един от векторите на тази система не може да бъде представен като линейна комбинация от други вектори на тази система.

Свойства на линейно зависимите и независимите векторни системи

Теорема 2 (нулев вектор в системата от вектори)

Ако система от вектори има нулев вектор, тогава системата е линейно зависима.

 Нека
, тогава .

получаваме
, следователно, чрез дефиниция на линейно зависима система от вектори чрез нулева линейна комбинация (12) системата е линейно зависима. 

Теорема 3 (зависима подсистема във векторна система)

Ако система от вектори има линейно зависима подсистема, тогава цялата система е линейно зависима.

 Нека
- линейно зависима подсистема
, сред които поне един не е равен на нула:

Това означава, че по дефиниция 23 системата е линейно зависима. 

Теорема 4

Всяка подсистема на линейно независима система е линейно независима.

 От обратното. Нека системата е линейно независима и има линейно зависима подсистема. Но тогава, според теорема 3, цялата система също ще бъде линейно зависима. Противоречие. Следователно подсистема на линейно независима система не може да бъде линейно зависима. 

Геометричен смисъл на линейна зависимост и независимост на система от вектори

Теорема 5

Два вектора И са линейно зависими тогава и само ако
.

Необходимост.

И - линейно зависими
че условието е изпълнено
. Тогава
, т.е.
.

Адекватност.

Линейно зависима. 

Следствие 5.1

Нулевият вектор е колинеарен на всеки вектор

Следствие 5.2

За да бъдат два вектора линейно независими е необходимо и достатъчно, че не беше колинеарен .

Теорема 6

За да бъде линейно зависима една система от три вектора, е необходимо и достатъчно тези вектори да са копланарни .

Необходимост.

- са линейно зависими, следователно един вектор може да бъде представен като линейна комбинация от другите два.

, (13)

Къде
И
. Според правилото на успоредника има диагонал на успоредник със страни
, но успоредникът е плоска фигура
компланарен
- също са копланарни.

Адекватност.

- компланарен. Нека приложим три вектора към точка O:

В

Б`

– линейно зависими 

Следствие 6.1

Нулевият вектор е копланарен на всяка двойка вектори.

Следствие 6.2

За вектори
са били линейно независими, е необходимо и достатъчно те да не са компланарни.

Следствие 6.3

Всеки вектор на равнина може да бъде представен като линейна комбинация от всеки два неколинеарни вектора на една и съща равнина.

Теорема 7

Всеки четири вектора в пространството са линейно зависими .

 Нека разгледаме 4 случая:

Нека начертаем равнина през вектори, след това равнина през вектори и равнина през вектори. След това начертаваме равнини, минаващи през точка D, успоредни на двойките вектори ; ; съответно. Изграждаме паралелепипед по линиите на пресичане на равнини 1 O.B. 1 В 1 г.

ABDC ; съответно. Изграждаме паралелепипед по линиите на пресичане на равнини 1 O.B. 1 В 1 Нека помислим
.

– успоредник по строеж по правилото на успоредника
Помислете за OADD 1 – успоредник (от свойството на паралелепипед)

, Тогава

EMBED Equation.3 .
По теорема 1
такова, че . Тогава

, а по дефиниция 24 системата от вектори е линейно зависима. 

Следствие 7.1

Сумата от три некомпланарни вектора в пространството е вектор, който съвпада с диагонала на паралелепипед, изграден върху тези три вектора, приложен към общо начало, а началото на сумиращия вектор съвпада с общото начало на тези три вектора.

Следствие 7.2

Изразяване на формата наречен линейна комбинация от вектори A 1 , A 2 ,...,A nс коефициенти λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Определяне на линейна зависимост на система от вектори

Векторна система A 1 , A 2 ,...,A nнаречен линейно зависими, ако има ненулев набор от числа λ 1, λ 2 ,...,λ n, в която линейната комбинация от вектори λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nравен на нулевия вектор, тоест системата от уравнения: има ненулево решение.
Набор от числа λ 1, λ 2 ,...,λ n е различно от нула, ако поне едно от числата λ 1, λ 2 ,...,λ n различен от нула.

Определяне на линейна независимост на система от вектори

Векторна система A 1 , A 2 ,...,A nнаречен линейно независими, ако линейната комбинация от тези вектори λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nравен на нулевия вектор само за нулев набор от числа λ 1, λ 2 ,...,λ n , тоест системата от уравнения: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θима уникално нулево решение.

Пример 29.1

Проверете дали дадена система от вектори е линейно зависима

Решение:

1. Съставяме система от уравнения:

2. Решаваме го по метода на Гаус. Трансформациите на Джорданано на системата са дадени в таблица 29.1. При пресмятането десните части на системата не се записват, тъй като са равни на нула и не се променят при трансформациите на Йордан.

3. От последните три реда на таблицата запишете разрешена система, еквивалентна на оригиналнатасистема:

4. Получаваме общото решение на системата:

5. След като зададете стойността на свободната променлива x 3 =1 по ваша преценка, получаваме определено ненулево решение X=(-3,2,1).

Отговор: По този начин, за ненулев набор от числа (-3,2,1), линейната комбинация от вектори е равна на нулевия вектор -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. следователно векторна система линейно зависима.

Свойства на векторните системи

Имот (1)
Ако една система от вектори е линейно зависима, тогава поне един от векторите е разширен по отношение на останалите и, обратно, ако поне един от векторите на системата е разширен по отношение на останалите, тогава системата от вектори е линейно зависим.

Имот (2)
Ако някоя подсистема от вектори е линейно зависима, тогава цялата система е линейно зависима.

Имот (3)
Ако една система от вектори е линейно независима, то всяка нейна подсистема е линейно независима.

Имот (4)
Всяка система от вектори, съдържаща нулев вектор, е линейно зависима.

Имот (5)
Система от m-измерни вектори винаги е линейно зависима, ако броят на векторите n е по-голям от тяхната размерност (n>m)

Основа на векторната система

Основата на векторната система A 1 , A 2 ,..., A n такава подсистема B 1 , B 2 ,...,B r се нарича(всеки от векторите B 1,B 2,...,B r е един от векторите A 1, A 2,..., A n), който отговаря на следните условия:
1. B 1 ,B 2 ,...,B rлинейно независима система от вектори;
2. всеки вектор A j система A 1 , A 2 ,..., A n се изразява линейно чрез векторите B 1 , B 2 ,..., B r

r— броя на векторите, включени в основата.

Теорема 29.1 За единичния базис на система от вектори.

Ако система от m-мерни вектори съдържа m различни единични вектори E 1 E 2 ,..., E m , тогава те формират основата на системата.

Алгоритъм за намиране на базис на система от вектори

За да се намери основата на системата от вектори A 1 ,A 2 ,...,A n е необходимо:

  • Създайте хомогенна система от уравнения, съответстваща на системата от вектори A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
  • Донесете тази система

Вектори, техните свойства и действия с тях

Вектори, действия с вектори, линейно векторно пространство.

Векторите са подредена колекция от краен брой реални числа.

Действия: 1. Умножаване на вектор по число: ламбда*вектор x=(ламбда*x 1, ламбда*x 2 ... ламбда*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)

2. Събиране на вектори (принадлежат към едно и също векторно пространство) вектор x + вектор y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Вектор 0=(0,0…0)---n E n – n-мерен (линейно пространство) вектор x + вектор 0 = вектор x

Теорема. За да бъде линейно зависима система от n вектора, n-мерно линейно пространство, е необходимо и достатъчно един от векторите да бъде линейна комбинация от останалите.

Теорема. Всеки набор от n+ първи вектори на n-мерно линейно пространство от явления. линейно зависими.

Събиране на вектори, умножение на вектори с числа. Изваждане на вектори.

Сумата от два вектора е вектор, насочен от началото на вектора към края на вектора, при условие че началото съвпада с края на вектора. Ако векторите са дадени чрез техните разширения в базисни единични вектори, тогава при добавяне на вектори се добавят съответните им координати.

Нека разгледаме това на примера на декартова координатна система. Нека

Нека покажем това

От фигура 3 става ясно, че

Сумата от всеки краен брой вектори може да бъде намерена с помощта на правилото на многоъгълника (фиг. 4): за да се конструира сумата от краен брой вектори, достатъчно е да се комбинира началото на всеки следващ вектор с края на предишния и конструирайте вектор, свързващ началото на първия вектор с края на последния.

Свойства на операцията за събиране на вектори:

В тези изрази m, n са числа.

Разликата между векторите се нарича вектор. Вторият член е вектор, противоположен на вектора по посока, но равен на него по дължина.

Така операцията за изваждане на вектори се заменя с операция за събиране

Вектор, чието начало е в началото и краят в точка A (x1, y1, z1), се нарича радиус вектор на точка A и се означава просто. Тъй като неговите координати съвпадат с координатите на точка А, неговото разлагане в единични вектори има формата

Вектор, който започва в точка A(x1, y1, z1) и завършва в точка B(x2, y2, z2), може да бъде написан като

където r 2 е радиус векторът на точка B; r 1 - радиус вектор на точка А.

Следователно, разширяването на вектора в единични вектори има формата

Дължината му е равна на разстоянието между точките А и В

УМНОЖЕНИЕ

Така че в случай на равнинна задача, произведението на вектор от a = (ax; ay) от числото b се намира по формулата

a b = (ax b; ay b)

Пример 1. Намерете произведението на вектора a = (1; 2) по 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

И така, в случай на пространствена задача, произведението на вектора a = (ax; ay; az) от числото b се намира по формулата

a b = (ax b; ay b; az b)

Пример 1. Намерете произведението на вектора a = (1; 2; -5) по 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Точково произведение на вектори и където е ъгълът между векторите и ; ако едно от двете, тогава

От дефиницията на скаларното произведение следва, че

където, например, е големината на проекцията на вектора върху посоката на вектора.

Скаларен квадратен вектор:

Свойства на точковия продукт:

Точково произведение в координати

Ако това

Ъгъл между векторите

Ъгъл между векторите - ъгълът между посоките на тези вектори (най-малък ъгъл).

Кръстосано произведение (Кръстосано произведение на два вектора.) -това е псевдовектор, перпендикулярен на равнина, конструиран от два фактора, който е резултат от двоичната операция „векторно умножение“ върху вектори в триизмерното евклидово пространство. Продуктът не е нито комутативен, нито асоциативен (той е антикомутативен) и е различен от точковия продукт на векторите. В много инженерни и физични задачи трябва да можете да конструирате вектор, перпендикулярен на два съществуващи - векторното произведение предоставя тази възможност. Кръстосаното произведение е полезно за "измерване" на перпендикулярността на вектори - дължина векторен продуктдва вектора е равно на произведението на техните дължини, ако са перпендикулярни, и намалява до нула, ако векторите са успоредни или антипаралелни.

Кръстосаното произведение се дефинира само в тримерни и седеммерни пространства. Резултатът от векторно произведение, подобно на скаларно произведение, зависи от метриката на евклидовото пространство.

За разлика от формулата за изчисляване на координатите на векторите на точковия продукт в триизмерна правоъгълна координатна система, формулата за кръстосаното произведение зависи от ориентацията правоъгълна системакоординати или, с други думи, неговата „хиралност“

Колинеарност на вектори.

Два ненулеви (не равни на 0) вектора се наричат ​​колинеарни, ако лежат на успоредни прави или на една права. Приемлив, но непрепоръчителен синоним са „паралелни“ вектори. Колинеарните вектори могат да бъдат еднакво насочени („съпосочни“) или противоположно насочени (във последния случай понякога се наричат ​​„антиколинеарни“ или „антипаралелни“).

Смесено произведение на вектори ( а, б, в)- скаларно произведение на вектор a и векторно произведение на вектори b и c:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

понякога се нарича троен точков продукт на вектори, очевидно защото резултатът е скаларен (по-точно, псевдоскаларен).

Геометрично значение: Модулът на смесения продукт е числено равен на обема на паралелепипеда, образуван от векторите (a,b,c) .

Свойства

Смесеният продукт е косо симетричен по отношение на всички свои аргументи: т.е. д. пренареждането на всеки два фактора променя знака на произведението. От това следва, че смесеният продукт вдясно Декартова системакоординати (в ортонормална база) е равна на детерминантата на матрица, съставена от вектори и:

Смесеният продукт в лявата декартова координатна система (в ортонормална база) е равен на детерминантата на матрицата, съставена от вектори и взета със знак минус:

по-специално,

Ако всеки два вектора са успоредни, тогава с всеки трети вектор те образуват смесен продукт, равен на нула.

Ако три вектора са линейно зависими (т.е. компланарни, лежащи в една и съща равнина), тогава тяхното смесено произведение е равно на нула.

Геометрично значение - Смесеното произведение е равно по абсолютна стойност на обема на паралелепипеда (виж фигурата), образуван от векторите и; знакът зависи от това дали тази тройка вектори е дясна или лява.

Копланарност на вектори.

Три вектора (или повече) се наричат ​​копланарни, ако те, сведени до общ произход, лежат в една и съща равнина

Свойства на копланарност

Ако поне един от трите вектора е нула, тогава трите вектора също се считат за компланарни.

Тройка вектори, съдържаща двойка колинеарни вектори, е компланарна.

Смесено произведение на копланарни вектори. Това е критерий за копланарност на три вектора.

Копланарните вектори са линейно зависими. Това също е критерий за копланарност.

В тримерното пространство 3 некомпланарни вектора образуват основа

Линейно зависими и линейно независими вектори.

Линейно зависими и независими системивектори.Определение. Векторната система се нарича линейно зависими, ако има поне една нетривиална линейна комбинация от тези вектори, равна на нулевия вектор. В противен случай, т.е. ако само тривиална линейна комбинация от дадени вектори е равна на нулевия вектор, векторите се извикват линейно независими.

Теорема (критерий за линейна зависимост). За да бъде една система от вектори в линейно пространство линейно зависима, е необходимо и достатъчно поне един от тези вектори да е линейна комбинация от останалите.

1) Ако сред векторите има поне един нулев вектор, тогава цялата система от вектори е линейно зависима.

Всъщност, ако, например, , тогава, ако приемем, имаме нетривиална линейна комбинация .▲

2) Ако сред векторите някои образуват линейно зависима система, то цялата система е линейно зависима.

Наистина, нека векторите , , са линейно зависими. Това означава, че има нетривиална линейна комбинация, равна на нулевия вектор. Но тогава, ако приемем , ние също получаваме нетривиална линейна комбинация, равна на нулевия вектор.

2. Основание и измерение. Определение. Система от линейно независими вектори векторно пространство се нарича основаот това пространство, ако всеки вектор от може да бъде представен като линейна комбинация от вектори на тази система, т.е. за всеки вектор има реални числа такова, че равенството е в сила Това равенство се нарича векторно разлаганеспоред основата и числата се наричат координати на вектора спрямо основата(или в основата) .

Теорема (за уникалността на разширението по отношение на основата). Всеки вектор в пространството може да бъде разширен в базис по единствения начин, т.е. координати на всеки вектор в основата се определят еднозначно.

Определение. Линейна комбинация от вектори a 1 , ..., a n с коефициенти x 1 , ..., x n се нарича вектор

x 1 a 1 + ... + x n a n .

тривиален, ако всички коефициенти x 1 , ..., x n са равни на нула.

Определение. Линейната комбинация x 1 a 1 + ... + x n a n се нарича нетривиален, ако поне един от коефициентите x 1, ..., x n не е равен на нула.

линейно независими, ако няма нетривиална комбинация от тези вектори, равна на нулевия вектор.

Тоест, векторите a 1, ..., a n са линейно независими, ако x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 тогава и само ако x 1 = 0, ..., x n = 0.

Определение. Векторите a 1, ..., a n се наричат линейно зависими, ако има нетривиална комбинация от тези вектори, равна на нулевия вектор.

Свойства на линейно зависими вектори:

    За двумерни и тримерни вектори.

    Два линейно зависими вектора са колинеарни. (Колинеарните вектори са линейно зависими.)

    За 3-измерни вектори.

    Три линейно зависими вектора са компланарни. (Три копланарни вектора са линейно зависими.)

  • За n-мерни вектори.

    n + 1 вектора винаги са линейно зависими.

Примери за задачи за линейна зависимост и линейна независимост на вектори:

Пример 1. Проверете дали векторите a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) са линейно независими .

Решение:

Векторите ще бъдат линейно зависими, тъй като размерът на векторите е по-малък от броя на векторите.

Пример 2. Проверете дали векторите a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) са линейно независими.

Решение:

x 1 + x 2 = 0
x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
x 1 + x 3 = 0
1 1 0 0 ~
1 2 -1 0
1 0 1 0
~ 1 1 0 0 ~ 1 1 0 0 ~
1 - 1 2 - 1 -1 - 0 0 - 0 0 1 -1 0
1 - 1 0 - 1 1 - 0 0 - 0 0 -1 1 0

извадете втория от първия ред; добавете втори ред към третия ред:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (-1) 0 - 0 ~ 1 0 1 0
0 1 -1 0 0 1 -1 0
0 + 0 -1 + 1 1 + (-1) 0 + 0 0 0 0 0

Това решение показва, че системата има много решения, тоест има ненулева комбинация от стойности на числата x 1, x 2, x 3, така че линейната комбинация от вектори a, b, c е равна на нулевия вектор, например:

A + b + c = 0

което означава, че векторите a, b, c са линейно зависими.

отговор:векторите a, b, c са линейно зависими.

Пример 3. Проверете дали векторите a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) са линейно независими.

Решение:Нека намерим стойностите на коефициентите, при които линейната комбинация от тези вектори ще бъде равна на нулевия вектор.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Това векторно уравнение може да се напише като система линейни уравнения

x 1 + x 2 = 0
x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
x 1 + 2x 3 = 0

Нека решим тази система по метода на Гаус

1 1 0 0 ~
1 2 -1 0
1 0 2 0

извадете първия от втория ред; извадете първия от третия ред:

~ 1 1 0 0 ~ 1 1 0 0 ~
1 - 1 2 - 1 -1 - 0 0 - 0 0 1 -1 0
1 - 1 0 - 1 2 - 0 0 - 0 0 -1 2 0

извадете втория от първия ред; добавете втора към третия ред.

В тази статия ще разгледаме:

  • какво представляват колинеарните вектори;
  • какви са условията за колинеарност на векторите;
  • какви свойства съществуват на колинеарните вектори;
  • каква е линейната зависимост на колинеарните вектори.
Определение 1

Колинеарните вектори са вектори, които са успоредни на една права или лежат на една права.

Пример 1

Условия за колинеарност на вектори

Два вектора са колинеарни, ако някое от следните условия е вярно:

  • състояние 1 . Векторите a и b са колинеарни, ако има число λ такова, че a = λ b;
  • условие 2 . Векторите a и b са колинеарни с еднакви координатни съотношения:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

  • състояние 3 . Векторите a и b са колинеарни, при условие че кръстосаното произведение и нулевият вектор са равни:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Бележка 1

Условие 2 не е приложимо, ако една от векторните координати е нула.

Бележка 2

Условие 3 се отнася само за онези вектори, които са посочени в пространството.

Примери за задачи за изследване на колинеарността на вектори

Пример 1

Проверяваме векторите a = (1; 3) и b = (2; 1) за колинеарност.

Как да решим?

В този случай е необходимо да се използва второто условие за колинеарност. За дадени вектори изглежда така:

Равенството е невярно. От това можем да заключим, че векторите a и b не са колинеарни.

отговор : a | | b

Пример 2

Каква стойност m на вектора a = (1; 2) и b = (- 1; m) е необходима, за да бъдат векторите колинеарни?

Как да решим?

Използвайки второто условие за колинеарност, векторите ще бъдат колинеарни, ако техните координати са пропорционални:

Това показва, че m = - 2.

отговор: m = - 2 .

Критерии за линейна зависимост и линейна независимост на векторни системи

Теорема

Система от вектори във векторно пространство е линейно зависима само ако един от векторите на системата може да бъде изразен чрез останалите вектори на тази система.

Доказателство

Нека системата e 1 , e 2 , . . . , e n е линейно зависим. Нека запишем линейна комбинация от тази система, равна на нулевия вектор:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

при което поне един от комбинираните коефициенти не е равен на нула.

Нека a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , н.

Разделяме двете страни на равенството на ненулев коефициент:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Да обозначим:

A k - 1 a m , където m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

В този случай:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

или e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

От това следва, че един от векторите на системата се изразява чрез всички останали вектори на системата. Което трябваше да се докаже (и т.н.).

Адекватност

Нека един от векторите е линейно изразен през всички останали вектори на системата:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Преместваме вектора e k в дясната страна на това равенство:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Тъй като коефициентът на вектора e k е равен на - 1 ≠ 0, получаваме нетривиално представяне на нула чрез система от вектори e 1, e 2, . . . , e n , а това от своя страна означава това тази системавекторите са линейно зависими. Което трябваше да се докаже (и т.н.).

Последица:

  • Система от вектори е линейно независима, когато никой от нейните вектори не може да бъде изразен чрез всички други вектори на системата.
  • Система от вектори, която съдържа нулев вектор или два равни вектора, е линейно зависима.

Свойства на линейно зависимите вектори

  1. За 2- и 3-мерни вектори е изпълнено следното условие: два линейно зависими вектора са колинеарни. Два колинеарни вектора са линейно зависими.
  2. За тримерните вектори е изпълнено следното условие: три линейно зависими вектора са копланарни. (3 копланарни вектора са линейно зависими).
  3. За n-мерните вектори е изпълнено следното условие: n + 1 вектора са винаги линейно зависими.

Примери за решаване на задачи, включващи линейна зависимост или линейна независимост на вектори

Пример 3

Нека проверим векторите a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 за линейна независимост.

Решение. Векторите са линейно зависими, тъй като размерът на векторите е по-малък от броя на векторите.

Пример 4

Нека проверим векторите a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 за линейна независимост.

Решение. Намираме стойностите на коефициентите, при които линейната комбинация ще бъде равна на нулевия вектор:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Записваме векторното уравнение в линейна форма:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Ние решаваме тази система, използвайки метода на Гаус:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

От 2-ри ред изваждаме 1-ви, от 3-ти - 1-ви:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

От 1-ви ред изваждаме 2-ри, към 3-ти добавяме 2-ри:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

От решението следва, че системата има много решения. Това означава, че има ненулева комбинация от стойности на такива числа x 1, x 2, x 3, за които линейната комбинация от a, b, c е равна на нулевия вектор. Следователно векторите a, b, c са линейно зависими. ​​​​​​​

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter