Задачи за средна скорост (наричани по-нататък СК). Вече разгледахме задачи за праволинейно движение. Препоръчвам да разгледате статиите "" и "". Типични задачиза средна скорост това е група задачи за движение, те са включени в изпита по математика и такава задача може да стои пред вас по време на самия изпит. Проблемите са прости и се решават бързо.

Значението е следното: представете си обект на движение, например кола. Той преминава определени участъци от пътя с различна скорост. Цялото пътуване отнема известно време. И така: средната скорост е такава постоянна скорост, с която автомобилът би изминал дадено разстояние за едно и също време.Тоест формулата за средната скорост е следната:

Ако имаше две секции от пътя, тогава

Ако три, тогава съответно:

* В знаменателя обобщаваме времето, а в числителя изминатите разстояния за съответните интервали от време.

Автомобилът измина първата третина от трасето със скорост 90 км/ч, втората третина със скорост 60 км/ч, а последната третина със скорост 45 км/ч. Намерете SK на превозното средство по време на пътуването. Дайте своя отговор в км/ч.

Както вече споменахме, е необходимо да разделите целия път на цялото време на движение. Условието гласи за три участъка от пътеката. Формула:

Означаваме цялото нека S. Тогава колата измина първата трета от пътя:

Колата измина втората третина от пътя:

Колата измина последната трета от пътя:

По този начин


Решете сами:

Автомобилът измина първата третина от трасето със скорост 60 км/ч, втората третина със скорост 120 км/ч, а последната третина със скорост 110 км/ч. Намерете SK на превозното средство по време на пътуването. Дайте своя отговор в км/ч.

Първият час колата се е движила със скорост 100 km/h, следващите два часа със скорост 90 km/h, а след това два часа със скорост 80 km/h. Намерете SK на превозното средство по време на пътуването. Дайте своя отговор в км/ч.

Условието гласи за три участъка от пътеката. Ще търсим SC по формулата:

Участъците от пътя не са ни дадени, но можем лесно да ги изчислим:

Първият участък от пътя беше 1∙100 = 100 километра.

Вторият участък от пътя беше 2∙90 = 180 километра.

Третият участък от пътя беше 2∙80 = 160 километра.

Изчислете скоростта:

Решете сами:

Първите два часа автомобилът се е движил със скорост 50 km/h, следващия час със скорост 100 km/h, а след това два часа със скорост 75 km/h. Намерете SK на превозното средство по време на пътуването. Дайте своя отговор в км/ч.

Автомобилът е изминал първите 120 км със скорост 60 км/ч, следващите 120 км със скорост 80 км/ч и след това 150 км със скорост 100 км/ч. Намерете SK на превозното средство по време на пътуването. Дайте своя отговор в км/ч.

Говори се за три участъка от пътеката. Формула:

Дадена е дължината на участъците. Нека определим времето, което автомобилът е прекарал на всеки участък: 120/60 часа са прекарани на първия участък, 120/80 часа на втория участък и 150/100 часа на третия. Изчислете скоростта:

Решете сами:

Първите 190 км колата е изминала със скорост 50 км/ч, следващите 180 км - със скорост 90 км/ч, а след това 170 км - със скорост 100 км/ч. Намерете SK на превозното средство по време на пътуването. Дайте своя отговор в км/ч.

Половината от времето, прекарано на пътя, колата се е движила със скорост 74 км/ч, а втората половина от времето - със скорост 66 км/ч. Намерете SK на превозното средство по време на пътуването. Дайте своя отговор в км/ч.

*Има проблем за пътник, прекосил морето. Момчетата имат проблеми с решението. Ако не го виждате, тогава се регистрирайте в сайта! Бутонът за регистрация (вход) се намира в ГЛАВНОТО МЕНЮ на сайта. След регистрация влезте в сайта и обновете тази страница.

Пътешественикът прекоси морето на яхта с Средната скорост 17 км/ч. Той летя обратно на спортен самолет със скорост 323 км / ч. Намерете средната скорост на пътника за цялото пътуване. Дайте своя отговор в км/ч.

С уважение, Александър.

P.S: Ще бъда благодарен, ако разкажете за сайта в социалните мрежи.

Много просто! Трябва да разделите целия път на времето, през което обектът на движение е бил на път. Изразено по различен начин, можем да определим средната скорост като средноаритметично от всички скорости на обекта. Но има някои нюанси при решаването на проблеми в тази област.

Например, за да се изчисли средната скорост, е дадена следната версия на проблема: пътникът първо е вървял със скорост 4 км в час в продължение на един час. След това го „качи“ преминаваща кола и той измина останалата част от пътя за 15 минути. А колата се движеше със скорост 60 км в час. Как да определим средната скорост на пътника?

Не трябва просто да събирате 4 км и 60 и да ги разделяте наполовина, това ще бъде грешното решение! Все пак пътеките, изминати пеша и с кола, са ни непознати. Така че, първо трябва да изчислите целия път.

Първата част от пътя е лесна за намиране: 4 км в час Х 1 час = 4 км

Има малки проблеми с втората част от пътуването: скоростта е изразена в часове, а времето за пътуване е в минути. Този нюанс често затруднява намирането на правилния отговор, когато се задават въпроси, как да се намери средната скорост, път или време.

Изразете 15 минути в часове. За тези 15 минути: 60 минути = 0,25 часа. Сега нека изчислим какъв път е изминал пътникът по време на пътуване?

60 км/ч X 0,25 ч = 15 км

Сега няма да е трудно да намерите целия път, изминат от пътника: 15 км + 4 км = 19 км.

Времето за пътуване също е доста лесно за изчисляване. Това е 1 час + 0,25 часа = 1,25 часа.

И сега вече е ясно как да намерите средната скорост: трябва да разделите целия път на времето, което пътникът е прекарал, за да го преодолее. Тоест 19 км: 1,25 часа = 15,2 км/ч.

Има такъв анекдот в темата. Мъж, който бърза, пита собственика на нивата: „Мога ли да отида до гарата през вашия сайт? Малко закъснях и бих искал да съкратя пътя си, като продължа направо. Тогава със сигурност ще стигна до влака, който тръгва в 16:45!” „Разбира се, че можете да съкратите пътя си, като минете през моята поляна! И ако моя бик ви забележи там, тогава ще имате време дори за онзи влак, който тръгва в 16 часа и 15 минути.

Междувременно тази комична ситуация е пряко свързана с такава математическа концепция като средната скорост на движение. В крайна сметка потенциален пътник се опитва да съкрати пътя си по простата причина, че знае средната скорост на движението си, например 5 км в час. И пешеходецът, като знае, че отклонението по асфалтовия път е 7,5 км, мислено прости изчисления, разбира, че ще му отнеме час и половина по този път (7,5 км: 5 км / ч = 1,5 час).

Той, напускайки къщата твърде късно, е ограничен във времето и затова решава да съкрати пътя си.

И тук се сблъскваме с първото правило, което ни диктува как да намерим средната скорост на движение: като вземем предвид прякото разстояние между крайните точки на пътя или точно изчислим От горното за всички е ясно: едно трябва да изчисли, като вземе предвид точно траекторията на пътя.

Скъсявайки пътя, но не променяйки средната си скорост, обектът в лицето на пешеходец получава печалба във времето. Фермерът, приемайки средната скорост на „спринтьора“, който бяга от разгневения бик, също прави прости изчисления и дава своя резултат.

Шофьорите често използват второто, важно правило за изчисляване на средната скорост, което се отнася до времето, прекарано на пътя. Това е свързано с въпроса как да се намери средната скорост в случай, че обектът има спирания по пътя.

При този вариант обикновено, ако няма допълнителни пояснения, за изчислението те вземат пълен работен денвключително спирки. Следователно шофьорът на автомобил може да каже, че средната му скорост сутрин на свободен път е много по-висока от средната скорост в час пик, въпреки че скоростомерът показва една и съща цифра и в двата случая.

Познавайки тези цифри, опитен шофьор никога няма да закъснее никъде, като е предположил предварително каква ще бъде средната му скорост на движение в града. различно времедни.

В училище всеки от нас се сблъсква с проблем, подобен на следния. Ако колата се движи част от пътя с една скорост, а следващият сегмент от пътя с друга, как да намерите средната скорост?

Каква е тази стойност и защо е необходима? Нека се опитаме да разберем това.

Скоростта във физиката е количество, което описва количеството изминато разстояние за единица време.Тоест, когато казват, че скоростта на пешеходеца е 5 км / ч, това означава, че той изминава разстояние от 5 км за 1 час.

Формулата за намиране на скоростта изглежда така:
V=S/t, където S е изминатото разстояние, t е времето.

В тази формула няма едно измерение, тъй като тя описва както изключително бавни, така и много бързи процеси.

Например, изкуствен спътникЗемята преодолява около 8 км за 1 секунда и тектонични плочи, върху които са разположени континентите, според измерванията на учените се разминават само с няколко милиметра на година. Следователно размерите на скоростта могат да бъдат различни - km/h, m/s, mm/s и т.н.

Принципът е, че разстоянието се дели на времето, необходимо за преодоляване на пътя. Не забравяйте за размерите, ако се извършват сложни изчисления.

За да не се объркате и да не направите грешка в отговора, всички стойности са дадени в едни и същи мерни единици. Ако дължината на пътя е посочена в километри, а част от него е в сантиметри, тогава докато не получим единство в размерността, няма да знаем верния отговор.

постоянна скорост

Описание на формулата.

Най-простият случай във физиката е равномерното движение. Скоростта е постоянна, не се променя по време на пътуването. Има дори константи на скоростта, обобщени в таблици - непроменени стойности. Например звукът се разпространява във въздуха със скорост 340,3 m/s.

А светлината е абсолютен шампион в това отношение, тя е с най-високата скорост в нашата Вселена – 300 000 км/с. Тези стойности не се променят от началната точка на движението до крайната точка. Те зависят само от средата, в която се движат (въздух, вакуум, вода и др.).

Равномерното движение често ни се случва в Ежедневието. Ето как работи конвейер в завод или фабрика, фуникуляр по планински маршрути, асансьор (с изключение на много кратки периоди на стартиране и спиране).

Графиката на такова движение е много проста и представлява права линия. 1 секунда - 1 м, 2 секунди - 2 м, 100 секунди - 100 м. Всички точки са на една и съща права линия.

неравномерна скорост

За съжаление, това е идеално както в живота, така и във физиката е изключително рядко. Изпълняват се много процеси неравномерна скорост, след това ускоряване, след това забавяне.

Нека си представим движението на обикновен междуградски автобус. В началото на пътуването той ускорява, забавя на светофара или дори спира напълно. След това се движи по-бързо извън града, но по-бавно при изкачванията и отново ускорява при спусканията.

Ако изобразите този процес под формата на графика, ще получите много сложна линия. Възможно е да се определи скоростта от графиката само за конкретна точка и общ принципНе.

Ще ви е необходим цял набор от формули, всяка от които е подходяща само за своя раздел от чертежа. Но няма нищо страшно. За описание на движението на автобуса се използва средната стойност.

Можете да намерите средната скорост на движение, като използвате същата формула. Наистина знаем разстоянието между автогарите, измерваме времето за пътуване. Като разделите един на друг, намерете желаната стойност.

За какво е?

Такива изчисления са полезни за всички. Планираме деня си и пътуваме през цялото време. Имайки дача извън града, има смисъл да разберете средната скорост на движение, когато пътувате там.

Това ще улесни планирането на вашата почивка. Като се научим да намираме тази стойност, можем да бъдем по-точни, да спрем да закъсняваме.

Нека се върнем към примера, предложен в самото начало, когато колата измина част от пътя с една скорост, а друга част с различна. Този тип проблеми често се използват в училищна програма. Ето защо, когато детето ви помоли да му помогнете да реши подобен проблем, ще ви бъде лесно да го направите.

Като добавите дължините на участъците от пътя, получавате общото разстояние. Чрез разделянето на техните стойности на скоростите, посочени в първоначалните данни, е възможно да се определи времето, прекарано във всяка от секциите. Събирайки ги заедно, получаваме времето, прекарано за цялото пътуване.

Не забравяйте, че скоростта се дава както от числова стойност, така и от посока.Скоростта описва скоростта на промяна в позицията на тялото, както и посоката, в която се движи това тяло. Например 100 m/s (на юг).

  • Намерете общото изместване, т.е. разстоянието и посоката между началната и крайната точка на пътя.Като пример, разгледайте тяло, което се движи с постоянна скорост в една посока.

    • Например ракета е изстреляна в северна посока и се е движила 5 минути с постоянна скорост от 120 метра в минута. За да изчислите общото изместване, използвайте формулата s = vt: (5 минути) (120 m/min) = 600 м (север).
    • Ако проблемът е с постоянно ускорение, използвайте формулата s = vt + ½at 2 (следващият раздел описва опростен начин за работа с постоянно ускорение).

  • Намерете общото време за пътуване.В нашия пример ракетата пътува за 5 минути. Средната скорост може да се изрази във всяка една мерна единица, но в международна системаединиците за скорост се измерват в метри в секунда (m/s). Преобразувайте минути в секунди: (5 минути) x (60 секунди/минута) = 300 секунди.

    • Дори ако в научен проблем времето е дадено в часове или други единици, по-добре е първо да изчислите скоростта и след това да я преобразувате в m/s.

  • Изчислете средната скорост.Ако знаете стойността на денивелацията и общото време за пътуване, можете да изчислите средната скорост по формулата v av = Δs/Δt. В нашия пример средната скорост на ракетата е 600 m (север) / (300 секунди) = 2 m/s (север).

    • Не забравяйте да посочите посоката на движение (например "напред" или "север").
    • Във формулата vav = ∆s/∆tсимволът "делта" (Δ) означава "промяна на величината", т.е. Δs/Δt означава "промяна на позицията спрямо промяна на времето".
    • Средната скорост може да бъде записана като v avg или като v с хоризонтална лента над нея.

  • Решението приключи предизвикателни задачи, например, ако тялото се върти или ускорението не е постоянно.В тези случаи средната скорост все още се изчислява като съотношение на общата денивелация към общото време. Няма значение какво се случва с тялото между началната и крайната точка на пътя. Ето някои примери за проблеми с една и съща пълна денивелация и общо време (и следователно еднаква средна скорост).

    • Анна върви на запад със скорост 1 m/s за 2 секунди, след което моментално ускорява до 3 m/s и продължава да върви на запад за 2 секунди. Общото му изместване е (1 m/s)(2 s) + (3 m/s)(2 s) = 8 m (на запад). Общо времепо пътя: 2 s + 2 s = 4 s. Нейната средна скорост: 8 m / 4 s = 2 m/s (запад).
    • Борис върви на запад с 5 m/s за 3 секунди, след това се обръща и върви на изток със 7 m/s за 1 секунда. Можем да мислим за движението на изток като за „отрицателно движение“ на запад, така че общото движение е (5 m/s)(3 s) + (-7 m/s)(1 s) = 8 метра. Общото време е 4 s. Средната скорост е 8 m (на запад) / 4 s = 2 m/s (запад).
    • Джулия изминава 1 метър на север, след това изминава 8 метра на запад и след това изминава 1 метър на юг. Общото време за пътуване е 4 секунди. Начертайте диаграма на това движение на хартия и ще видите, че то завършва на 8 метра западно от началната точка, тоест общото движение е 8 м. Общото време за пътуване е 4 секунди. Средната скорост е 8 m (на запад) / 4 s = 2 m/s (запад).

    • Има средни стойности, чиято неправилна дефиниция се е превърнала в анекдот или притча. Всякакви неправилно направени изчисления се коментират с общоприето позоваване на такъв съзнателно абсурден резултат. Всеки, например, ще предизвика усмивка на саркастично разбиране на фразата "средна температура в болницата". Същите експерти обаче често без колебание събират скоростите на отделни участъци от пътя и разделят изчислената сума на броя на тези участъци, за да получат също толкова безсмислен отговор. Спомнете си от курса по механика гимназиякак да намерим средната скорост по правилния начин, а не по абсурден начин.

    Аналог на "средната температура" в механиката

    В какви случаи хитро формулираните условия на проблема ни тласкат към прибързан, необмислен отговор? Ако се говори за "части" от пътя, но тяхната дължина не е посочена, това тревожи дори човек, който не е много опитен в решаването на подобни примери. Но ако задачата директно посочва равни интервали, например „влакът е следвал първата половина от пътя със скорост ...“, или „пешеходецът е извървял първата трета от пътя със скорост ...“, и след това детайлизира как обектът се е преместил върху останалите равни площи, тоест съотношението е известно S 1 \u003d S 2 \u003d ... \u003d S nИ точни стойностискорости v 1, v 2, ... v н, нашето мислене често дава непростима грешка. Разглежда се средноаритметичното на скоростите, тоест всички известни стойности v съберете и разделете на н. В резултат на това отговорът е грешен.

    Прости "формули" за изчисляване на величини при равномерно движение

    И за цялото изминато разстояние, и за отделните му участъци, в случай на осредняване на скоростта, са валидни отношенията, записани за равномерно движение:

    • S=vt(1), "формулата" на пътя;
    • t=S/v(2), "формула" за изчисляване на времето на движение ;
    • v=S/t(3), "формула" за определяне на средната скорост в участъка от трасето Спремина през времето T.

    Тоест да се намери желаната стойност vизползвайки отношение (3), трябва да знаем точно другите две. Именно когато решаваме въпроса как да намерим средната скорост на движение, първо трябва да определим колко е цялото изминато разстояние Си какво е цялото време на движение T.

    Математическо откриване на латентна грешка

    В примера, който решаваме, пътят, изминат от тялото (влак или пешеходец), ще бъде равен на произведението nS n(тъй като ние нслед като съберем равни участъци от пътя, в дадените примери - половини, n=2, или трети, n=3). Не знаем нищо за общото време за пътуване. Как да определим средната скорост, ако знаменателят на дробта (3) не е изрично зададен? Използваме връзка (2) за всеки участък от пътя, който определяме t n = S n: v n. Количество изчислените по този начин времеви интервали ще бъдат записани под чертата на дробта (3). Ясно е, че за да се отървете от знаците "+", трябва да дадете всичко S n: v nдо общ знаменател. Резултатът е "двуетажна фракция". След това използваме правилото: знаменателят на знаменателя влиза в числителя. В резултат на това за проблема с влака след намалението с S n ние имаме v cf \u003d nv 1 v 2: v 1 + v 2, n \u003d 2 (4) . В случай на пешеходец, въпросът как да се намери средната скорост е още по-труден за решаване: v cf \u003d nv 1 v 2 v 3: v 1v2 + v 2 v 3 + v 3 v 1,n=3(5).

    Изрично потвърждение на грешката "в числа"

    За да "на пръсти" потвърдите, че дефиницията на средната аритметична стойност е грешен начин при изчисляване vср, ние конкретизираме примера, като заменяме абстрактните букви с цифри. За влака вземете скоростта 40 км/чИ 60 км/ч(грешен отговор - 50 км/ч). За пешеходеца 5 , 6 И 4 км/ч(средно аритметично - 5 км/ч). Лесно е да се види, като се заменят стойностите в отношения (4) и (5), че верните отговори са за локомотива 48 км/чи за човек 4,(864) км/ч(периодично десетичен знак, резултатът математически не е много красив).

    Когато средното аритметично не успее

    Ако задачата се формулира по следния начин: „За равни интервали от време тялото първо се е движело със скорост v1, тогава v2, v 3и така нататък", бърз отговор на въпроса как да се намери средната скорост може да бъде намерен по грешен начин. Нека читателят сам да се убеди, като сумира равни периоди от време в знаменателя и използва в числителя v вжотношение (1). Това е може би единственият случай, когато грешен метод води до правилен резултат. Но за гарантирано точни изчисления, трябва да използвате единствения правилен алгоритъм, неизменно позовавайки се на фракцията v cf = S: t.

    Алгоритъм за всички случаи

    За да избегнете грешки със сигурност, когато решавате въпроса как да намерите средната скорост, достатъчно е да запомните и следвате проста последователност от действия:

    • определяне на целия път чрез сумиране на дължините на отделните му участъци;
    • поставете докрай;
    • разделете първия резултат на втория, неизвестните стойности, които не са посочени в проблема, се намаляват в този случай (при правилно формулиране на условията).

    Статията разглежда най-простите случаи, когато първоначалните данни са дадени за равни части от времето или равни участъци от пътя. IN общ случайсъотношението на хронологичните интервали или разстояния, изминати от тялото, може да бъде най-произволно (но математически определено, изразено като конкретно цяло число или дроб). Правилото за позоваване на съотношението v cf = S: tабсолютно универсален и никога не се проваля, независимо колко сложни на пръв поглед алгебрични трансформации трябва да се извършат.

    Накрая отбелязваме: наблюдателните читатели не останаха незабелязани практическо значениеизползвайки правилния алгоритъм. Правилно изчислената средна скорост в дадените примери се оказа малко по-ниска " средна температура"на магистралата. Следователно фалшив алгоритъм за системи, които регистрират превишена скорост, би означавал по-голям брой грешни решения на КАТ, изпратени в "писма на щастие" до шофьорите.