Нека разгледаме определена серия.

7 28 112 448 1792...

Абсолютно ясно е, че стойността на всеки от неговите елементи е точно четири пъти по-голяма от предишната. Това означава, че тази серия е прогресия.

Геометричната прогресия е безкрайна последователност от числа. основна характеристикакоето е това следващото числосе получава от предишното чрез умножаване по определено число. Това се изразява със следната формула.

a z +1 =a z ·q, където z е номерът на избрания елемент.

Съответно z ∈ N.

Периодът, в който се изучава геометрична прогресия в училище, е 9 клас. Примерите ще ви помогнат да разберете концепцията:

0.25 0.125 0.0625...

Въз основа на тази формула знаменателят на прогресията може да се намери, както следва:

Нито q, нито b z могат да бъдат нула. Освен това всеки от елементите на прогресията не трябва да е равен на нула.

Съответно, за да разберете следващото число в поредица, трябва да умножите последното по q.

За да зададете тази прогресия, трябва да посочите нейния първи елемент и знаменател. След това е възможно да се намери всеки от следващите членове и тяхната сума.

Разновидности

В зависимост от q и a 1 тази прогресия се разделя на няколко вида:

  • Ако и 1, и q са по-големи от едно, тогава такава последователност е геометрична прогресия, нарастваща с всеки следващ елемент. Пример за това е представен по-долу.

Пример: a 1 =3, q=2 - и двата параметъра са по-големи от единица.

Тогава числовата последователност може да бъде записана така:

3 6 12 24 48 ...

  • Ако |q| е по-малко от едно, тоест умножението по него е еквивалентно на деление, тогава прогресия с подобни условия е намаляваща геометрична прогресия. Пример за това е представен по-долу.

Пример: a 1 =6, q=1/3 - a 1 е по-голямо от едно, q е по-малко.

Тогава числовата последователност може да бъде записана по следния начин:

6 2 2/3 ... - всеки елемент е 3 пъти по-голям от елемента след него.

  • Променлив знак. Ако q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Пример: a 1 = -3, q = -2 - и двата параметъра са по-малки от нула.

Тогава числовата последователност може да бъде записана така:

3, 6, -12, 24,...

Формули

Има много формули за удобно използване на геометричните прогресии:

  • Z-членна формула. Позволява ви да изчислите елемент под определено число, без да изчислявате предишни числа.

Пример:р = 3, а 1 = 4. Изисква се да се преброи четвъртият елемент от прогресията.

Решение:а 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

  • Сумата от първите елементи, чието количество е равно на z. Позволява ви да изчислите сумата от всички елементи на последователност доa zвключително.

Тъй като (1-р) е в знаменателя, тогава (1 - q)≠ 0, следователно q не е равно на 1.

Забележка: ако q=1, тогава прогресията ще бъде поредица от безкрайно повтарящи се числа.

Сума от геометрична прогресия, примери:а 1 = 2, р= -2. Изчислете S5.

Решение:С 5 = 22 - изчисление по формулата.

  • Сума, ако |р| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Пример:а 1 = 2 , р= 0,5. Намерете сумата.

Решение:S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Някои свойства:

  • Характерно свойство. Ако е налице следното условие работи за всякаквиz, тогава дадената редица от числа е геометрична прогресия:

a z 2 = a z -1 · аz+1

  • Също така, квадратът на което и да е число в геометрична прогресия се намира чрез добавяне на квадратите на всеки две други числа в дадена серия, ако те са на еднакво разстояние от този елемент.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Къдеt- разстоянието между тези числа.

  • Елементиразличават се по qведнъж.
  • Логаритмите на елементите на една прогресия също образуват прогресия, но аритметична, тоест всеки от тях е по-голям от предходния с определено число.

Примери за някои класически задачи

За да разберете по-добре какво е геометрична прогресия, примерите с решения за 9 клас могат да помогнат.

  • Условия:а 1 = 3, а 3 = 48. Намеретер.

Решение: всеки следващ елементповече от предишнияр веднъж.Необходимо е да се изразят някои елементи по отношение на други, като се използва знаменател.

следователноа 3 = р 2 · а 1

При заместванер= 4

  • Условия:а 2 = 6, а 3 = 12. Изчислете S 6.

Решение:За да направите това, просто намерете q, първия елемент и го заменете във формулата.

а 3 = р· а 2 , следователно,р= 2

a 2 = q · 1,Ето защо a 1 = 3

S 6 = 189

  • · а 1 = 10, р= -2. Намерете четвъртия елемент от прогресията.

Решение: за да направите това, достатъчно е да изразите четвъртия елемент през първия и през знаменателя.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Пример за приложение:

  • Банков клиент направи депозит в размер на 10 000 рубли, при условията на който всяка година клиентът ще има 6% от тях, добавени към главницата. Колко пари ще има в сметката след 4 години?

Решение: Първоначалната сума е 10 хиляди рубли. Това означава, че една година след инвестицията в сметката ще има сума равна на 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10000 1,06

Съответно сумата в сметката след още една година ще бъде изразена, както следва:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Тоест всяка година сумата се увеличава с 1,06 пъти. Това означава, че за да се намери сумата на средствата в сметката след 4 години, е достатъчно да се намери четвъртият елемент от прогресията, който се дава от първия елемент, равен на 10 хиляди, и знаменателят, равен на 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Примери за задачи за изчисляване на суми:

Геометричната прогресия се използва в различни задачи. Пример за намиране на сумата може да бъде даден по следния начин:

а 1 = 4, р= 2, изчислиS 5.

Решение: всички данни, необходими за изчислението, са известни, просто трябва да ги замените във формулата.

С 5 = 124

  • а 2 = 6, а 3 = 18. Изчислете сбора на първите шест елемента.

Решение:

В геом. прогресия, всеки следващ елемент е q пъти по-голям от предходния, тоест, за да изчислите сумата, трябва да знаете елементаа 1 и знаменателр.

а 2 · р = а 3

р = 3

По същия начин трябва да намеритеа 1 , знаейкиа 2 ир.

а 1 · р = а 2

a 1 =2

С 6 = 728.

22.09.2018 22:00

Геометричната прогресия, заедно с аритметичната прогресия, е важен числов ред, който се изучава в училищния курс по алгебра в 9-ти клас. В тази статия ще разгледаме знаменателя на геометрична прогресия и как стойността му влияе върху свойствата му.

Дефиниция на геометричната прогресия

Първо, нека дефинираме това числова серия. Геометричната прогресия е поредица от рационални числа, която се формира чрез последователно умножаване на първия й елемент по постоянно число, наречено знаменател.

Например числата в редицата 3, 6, 12, 24, ... са геометрична прогресия, защото ако умножите 3 (първия елемент) по 2, получавате 6. Ако умножите 6 по 2, получавате 12 и така нататък.

Членовете на разглежданата редица обикновено се означават със символа ai, където i е цяло число, указващо номера на елемента в серията.

Горната дефиниция на прогресията може да бъде написана на математически език, както следва: an = bn-1 * a1, където b е знаменателят. Лесно е да проверите тази формула: ако n = 1, тогава b1-1 = 1 и получаваме a1 = a1. Ако n = 2, тогава an = b * a1 и отново стигаме до дефиницията на въпросната редица от числа. Подобни разсъждения могат да бъдат продължени за големи стойности на n.

Знаменател на геометричната прогресия


Числото b напълно определя какъв характер ще има цялата редица от числа. Знаменателят b може да бъде положителен, отрицателен или по-голям или по-малък от едно. Всички горепосочени опции водят до различни последователности:

  • b > 1. Има нарастваща серия от рационални числа. Например 1, 2, 4, 8, ... Ако елемент a1 е отрицателен, тогава цялата последователност ще се увеличи само по абсолютна стойност, но ще намалее в зависимост от знака на числата.
  • b = 1. Често този случай не се нарича прогресия, тъй като има обикновена поредица от еднакви рационални числа. Например -4, -4, -4.

Формула за количество

Преди да преминете към разглеждане на конкретни проблеми, като използвате знаменателя на разглеждания тип прогресия, трябва да се даде важна формула за сумата от нейните първи n елемента. Формулата изглежда така: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Можете сами да получите този израз, ако разгледате рекурсивната последователност от членове на прогресията. Също така имайте предвид, че в горната формула е достатъчно да знаете само първия елемент и знаменателя, за да намерите сумата произволен бройчленове.

Безкрайно намаляваща последователност


По-горе беше дадено обяснение какво представлява. Сега, знаейки формулата за Sn, нека я приложим към тази редица от числа. Тъй като всяко число, чийто модул не надвишава 1, клони към нула, когато се повиши до големи степени, т.е. b∞ => 0, ако -1

Тъй като разликата (1 - b) винаги ще бъде положителна, независимо от стойността на знаменателя, знакът на сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия S∞ се определя еднозначно от знака на нейния първи елемент a1.

Сега нека разгледаме няколко задачи, в които ще покажем как да приложим придобитите знания към конкретни числа.

Задача № 1. Изчисляване на неизвестни елементи на прогресия и сбор

При дадена геометрична прогресия знаменателят на прогресията е 2, а нейният първи елемент е 3. На какво ще бъдат равни нейните 7-ми и 10-ти член и на каква е сумата от седемте й начални елемента?

Условието на задачата е съвсем просто и включва директното използване на горните формули. И така, за да изчислим номер на елемент n, използваме израза an = bn-1 * a1. За 7-ия елемент имаме: a7 = b6 * a1, като заместваме известните данни, получаваме: a7 = 26 * 3 = 192. Правим същото за 10-ия член: a10 = 29 * 3 = 1536.

Нека използваме добре познатата формула за сумата и да определим тази стойност за първите 7 елемента от редицата. Имаме: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Задача № 2. Определяне на сумата от произволни елементи на прогресия

Нека -2 е равно на знаменателя на геометричната прогресия bn-1 * 4, където n е цяло число. Необходимо е да се определи сумата от 5-ти до 10-ти елемент от тази серия включително.

Поставеният проблем не може да бъде решен директно с помощта на известни формули. Може да се реши по 2 начина различни методи. За да завършим представянето на темата, представяме и двете.

Метод 1. Идеята е проста: трябва да изчислите двете съответстващи суми на първите членове и след това да извадите другата от едната. Изчисляваме по-малката сума: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Сега изчисляваме по-голямата сума: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Обърнете внимание, че в последния израз бяха сумирани само 4 члена, тъй като 5-ият вече е включен в сумата, която трябва да се изчисли според условията на проблема. Накрая вземаме разликата: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Метод 2. Преди да заместите числата и да броите, можете да получите формула за сумата между m и n члена на въпросната серия. Продължаваме по абсолютно същия начин, както в метод 1, само че първо работим със символното представяне на сумата. Имаме: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Можете да замените известни числа в получения израз и да изчислите крайния резултат: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Задача № 3. Какво е знаменателят?


Нека a1 = 2, намерете знаменателя на геометричната прогресия, при условие че нейният безкраен сбор е 3, а е известно, че това е намаляваща редица от числа.

Въз основа на условията на проблема не е трудно да се познае коя формула трябва да се използва за решаването му. Разбира се, за безкрайно намаляващата сума на прогресията. Имаме: S∞ = a1 / (1 - b). Откъдето изразяваме знаменателя: b = 1 - a1 / S∞. Остава да заменим известните стойности и да получим необходимото число: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 или -0,333(3). Можем да проверим качествено този резултат, ако помним, че за този тип последователност модулът b не трябва да надхвърля 1. Както може да се види, |-1 / 3|

Задача № 4. Възстановяване на редица от числа

Нека са дадени 2 елемента от числова серия, например 5-ият е равен на 30, а 10-ият е равен на 60. Необходимо е да се възстанови цялата серия от тези данни, като се знае, че тя отговаря на свойствата на геометрична прогресия.

За да решите задачата, първо трябва да запишете съответния израз за всеки известен член. Имаме: a5 = b4 * a1 и a10 = b9 * a1. Сега разделете втория израз на първия, получаваме: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Оттук определяме знаменателя, като вземаме корен пети от съотношението на членовете, известни от постановката на проблема, b = 1,148698. Заместваме полученото число в един от изразите за известния елемент, получаваме: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Така намерихме знаменателя на прогресията bn и геометричната прогресия bn-1 * 17.2304966 = an, където b = 1.148698.

Къде се използват геометричните прогресии?


Ако нямаше практическо приложение на тази редица от числа, тогава нейното изследване би се свело до чисто теоретичен интерес. Но такова приложение съществува.


По-долу са 3-те най-известни примера:

  • Парадоксът на Зенон, в който пъргавият Ахил не може да настигне бавната костенурка, е разрешен с помощта на концепцията за безкрайно намаляваща редица от числа.
  • Ако поставите пшенични зърна на всяко поле на шахматната дъска, така че на 1-во поле да поставите 1 зърно, на 2-ро - 2, на 3-то - 3 и т.н., тогава за да запълните всички полета на дъската, ще ви трябва 18446744073709551615 зърна!
  • В играта "Ханойската кула", за да преместите дискове от една пръчка на друга, е необходимо да извършите 2n - 1 операции, тоест техният брой нараства експоненциално с броя на използваните дискове n.

Улица Киевян, 16 0016 Армения, Ереван +374 11 233 255

например, последователност \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)... е геометрична прогресия, тъй като всеки следващ елемент се различава от предишния с коефициент две (с други думи, може да се получи от предишния, като се умножи по две):

Като всяка последователност, геометричната прогресия се обозначава с малка латинска буква. Числата, които образуват прогресия, се наричат членове(или елементи). Те се обозначават със същата буква като геометричната прогресия, но с цифров индекс, равен на номера на елемента в реда.

например, геометричната прогресия \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) се състои от елементите \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) и т.н. С други думи:

Ако разбирате горната информация, вече ще можете да разрешите повечето проблеми по тази тема.

Пример (OGE):
Решение:

отговор : \(-686\).

Пример (OGE): Дадени са първите три члена на прогресията \(324\); \(-108\); \(36\)... Намерете \(b_5\).
Решение:


За да продължим редицата, трябва да знаем знаменателя. Нека го намерим от два съседни елемента: по какво трябва да умножим \(324\), за да получим \(-108\)?

\(324·q=-108\)

От тук можем лесно да изчислим знаменателя.

\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)

Сега можем лесно да намерим елемента, от който се нуждаем.


Отговорът е готов.

отговор : \(4\).

Пример: Прогресията се определя от условието \(b_n=0,8·5^n\). Кое число е член на тази прогресия:

а) \(-5\) б) \(100\) в) \(25\) г) \(0,8\) ?

Решение: От формулировката на задачата е очевидно, че едно от тези числа със сигурност е в нашата прогресия. Следователно можем просто да изчислим членовете му един по един, докато намерим стойността, от която се нуждаем. Тъй като нашата прогресия е дадена от формулата, ние изчисляваме стойностите на елементите, като заместваме различни \(n\):
\(n=1\); \(b_1=0.8·5^1=0.8·5=4\) – в списъка няма такова число. Да продължим.
\(n=2\); \(b_2=0,8·5^2=0,8·25=20\) - и това също го няма.
\(n=3\); \(b_3=0.8·5^3=0.8·125=100\) – и ето го нашият шампион!

отговор: \(100\).

Пример (OGE): Дадени са няколко последователни члена на геометричната прогресия...\(8\); \(x\); \(50\); \(-125\)…. Намерете стойността на елемента с етикет \(x\).

Решение:

отговор: \(-20\).

Пример (OGE): Прогресията се определя от условията \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\). Намерете сумата на първите \(4\) членове на тази прогресия.

Решение:

отговор: \(105\).

Пример (OGE): Известно е, че в геометрична прогресия \(b_6=-11\), \(b_9=704\). Намерете знаменателя на \(q\).

Решение:


От диаграмата вляво можете да видите, че за да „стигаме“ от \(b_6\) до \(b_9\), правим три „стъпки“, тоест умножаваме \(b_6\) три пъти по знаменателя на прогресията. С други думи, \(b_9=b_6·q·q·q=b_6·q^3\).

\(b_9=b_6·q^3\)

Нека заместим стойностите, които знаем.

\(704=(-11)q^3\)

Нека обърнем уравнението и го разделим на \((-11)\).

\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \)

Кое число в куб дава \(-64\)?
Разбира се, \(-4\)!

Отговорът е намерен. Може да се провери чрез възстановяване на веригата от числа от \(-11\) до \(704\).


Всичко се събра - отговорът е верен.

отговор: \(-4\).

Най-важните формули

Както можете да видите, повечето проблеми с геометричната прогресия могат да бъдат решени с помощта на чиста логика, просто чрез разбиране на същността (това обикновено е типично за математиката). Но понякога познаването на определени формули и модели ускорява и значително улеснява решението. Ще проучим две такива формули.

Формула на \(n\)-ия член: \(b_n=b_1·q^(n-1)\), където \(b_1\) е първият член на прогресията; \(n\) – номер на търсения елемент; \(q\) – знаменател на прогресията; \(b_n\) – член на прогресията с номер \(n\).

Използвайки тази формула, можете например да решите проблема от първия пример буквално с едно действие.

Пример (OGE): Геометричната прогресия се определя от условията \(b_1=-2\); \(q=7\). Намерете \(b_4\).
Решение:

отговор: \(-686\).

Този пример беше прост, така че формулата не направи изчисленията много по-лесни за нас. Нека разгледаме проблема малко по-сложен.

Пример: Геометричната прогресия се определя от условията \(b_1=20480\); \(q=\frac(1)(2)\). Намерете \(b_(12)\).
Решение:

отговор: \(10\).

Разбира се, повишаването на \(\frac(1)(2)\) на \(11\)-та степен не е много радостно, но все пак е по-лесно от \(11\) разделянето на \(20480\) на две.

Сума \(n\) на първите членове: \(S_n=\)\(\frac(b_1·(q^n-1))(q-1)\) , където \(b_1\) е първият член на прогресията; \(n\) – брой сумирани елементи; \(q\) – знаменател на прогресията; \(S_n\) – сумата от \(n\) първи членове на прогресията.

Пример (OGE): Дадена е геометрична прогресия \(b_n\), чийто знаменател е \(5\), а първият член е \(b_1=\frac(2)(5)\). Намерете сумата от първите шест члена на тази прогресия.
Решение:

отговор: \(1562,4\).

И отново, бихме могли да решим проблема директно - да намерим всичките шест елемента на свой ред и след това да добавим резултатите. Въпреки това, броят на изчисленията, а оттам и шансът за случайна грешка, ще се увеличи рязко.

За геометричната прогресия има още няколко формули, които не разгледахме тук поради слабата им практическа употреба. Можете да намерите тези формули.

Нарастваща и намаляваща геометрична прогресия

За прогресията \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48...\)\), разгледана в самото начало на статията, знаменателят \(q\) е по-голям от единица и следователно всеки следващ член е по-голям от предишния. Такива прогресии се наричат нарастваща.

Ако \(q\) е по-малко от едно, но е положително (т.е. лежи в диапазона от нула до едно), тогава всеки следващ елемент ще бъде по-малък от предишния. Например в прогресията \(4\); \(2\); \(1\); \(0,5\); \(0,25\)... знаменателят на \(q\) е равен на \(\frac(1)(2)\).


Тези прогресии се наричат намаляващи. Имайте предвид, че нито един от елементите на такава прогресия няма да бъде отрицателен, те просто стават все по-малки и по-малки с всяка стъпка. Тоест постепенно ще се приближаваме до нулата, но никога няма да я достигнем и няма да отидем отвъд нея. В такива случаи математиците казват „клонят към нула“.

Имайте предвид, че при отрицателен знаменател елементите на геометричната прогресия задължително ще променят знака. например, y прогресия \(5\); \(-15\); \(45\); \(-135\); \(675\)... знаменателят на \(q\) е \(-3\) и поради това знаците на елементите "мигат".

Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия, т.е. всеки член се различава от предходния с q пъти. (Ще приемем, че q ≠ 1, иначе всичко е твърде тривиално). Не е трудно да се види това обща формула n-тият член на геометричната прогресия b n = b 1 q n – 1 ; членове с числа b n и b m се различават с q n – m пъти.

вече в Древен Египетпознаваше не само аритметиката, но и геометричната прогресия. Ето например една задача от папируса на Ринд: „Седем лица имат седем котки; Всяка котка изяжда седем мишки, всяка мишка изяжда седем класа царевица и от всеки клас ечемик могат да растат седем мери ечемик. Колко големи са числата в тази серия и тяхната сума?

ориз. 1. Задача на древноегипетската геометрична прогресия

Тази задача се повтаря много пъти с различни вариации сред други народи в други моменти. Например, в писмена през 13 век. „Книгата на абака“ от Леонардо от Пиза (Фибоначи) има проблем, в който се появяват 7 стари жени на път за Рим (очевидно поклонници), всяка от които има 7 мулета, всяко от които има 7 чанти, всяка от които съдържа 7 хляба, всеки от които има 7 ножа, всеки от които има 7 ножници. Проблемът пита колко обекта има.

Сумата от първите n члена на геометричната прогресия S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Тази формула може да бъде доказана например по следния начин: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

Добавете числото b 1 q n към S n и получете:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

От тук S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) и получаваме необходимата формула.

Вече върху една от глинените плочки на Древен Вавилон, датираща от 6 век. пр.н.е д., съдържа сумата 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Вярно е, че както в редица други случаи, ние не знаем как този факт е бил известен на вавилонците .

Бързото нарастване на геометричната прогресия в редица култури, по-специално в индийската, многократно се използва като визуален символ на необятността на Вселената. В известната легенда за появата на шаха владетелят дава възможност на неговия изобретател сам да избере наградата и пита за броя на пшеничните зърна, които ще се получат, ако едно се постави на първото поле на шахматната дъска, две на второто, четири на третото, осем на четвъртото и т.н., всеки път, когато числото се удвоява. Владика мислеше така ние говорим за, най-много около няколко торби, но той сгреши. Лесно е да се види, че за всичките 64 квадрата на шахматната дъска изобретателят би трябвало да получи (2 64 - 1) зърна, което се изразява като 20-цифрено число; дори ако засеете цялата повърхност на Земята, събирането ще отнеме поне 8 години необходимо количествозърна Тази легенда понякога се тълкува като посочваща практически неограничените възможности, скрити в играта на шах.

Лесно се вижда, че това число наистина е 20-цифрено:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (по-точно изчисление дава 1,84∙10 19). Но се чудя дали можете да разберете с коя цифра завършва това число?

Геометричната прогресия може да бъде нарастваща, ако знаменателят е по-голям от 1, или намаляваща, ако е по-малък от едно. В последния случай числото q n за достатъчно голямо n може да стане произволно малко. Докато нарастващата геометрична прогресия се увеличава неочаквано бързо, намаляващата геометрична прогресия намалява също толкова бързо.

Колкото по-голямо е n, толкова по-слабо числото q n се различава от нула и колкото по-близо е сумата от n члена на геометричната прогресия S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) до числото S = b 1 / ( 1 – р). (Например Ф. Виет разсъждава по този начин). Числото S се нарича сбор от безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Въпреки това, в продължение на много векове въпросът какъв е смисълът от сумирането на ЦЯЛАТА геометрична прогресия, с нейния безкраен брой членове, не беше достатъчно ясен за математиците.

Намаляваща геометрична прогресия може да се види например в апориите на Зенон „Половин деление“ и „Ахил и костенурката“. В първия случай е ясно показано, че целият път (приемайки дължина 1) е сбор от безкраен брой сегменти 1/2, 1/4, 1/8 и т.н. Това, разбира се, е случаят от гледната точка на идеите за крайна сума безкрайна геометрична прогресия. И все пак - как е възможно това?

ориз. 2. Прогресия с коефициент 1/2

В апорията за Ахил ситуацията е малко по-сложна, защото тук знаменателят на прогресията не е 1/2, а някакво друго число. Нека например Ахил тича със скорост v, костенурката се движи със скорост u, а началното разстояние между тях е l. Ахил ще измине това разстояние за време l/v, а през това време костенурката ще измине разстояние lu/v. Когато Ахил пробяга този сегмент, разстоянието между него и костенурката ще стане равно на l (u /v) 2 и т.н. Оказва се, че настигането на костенурката означава намиране на сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия с първия член l и знаменателят u /v. Тази сума - отсечката, която Ахил в крайна сметка ще пробяга до мястото на срещата с костенурката - е равна на l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Но отново, как трябва да се тълкува този резултат и защо изобщо има смисъл? за дълго времене беше много ясно.

ориз. 3. Геометрична прогресия с коефициент 2/3

Архимед използва сумата от геометрична прогресия, за да определи площта на сегмент от парабола. Нека този сегмент от параболата е ограничен от хордата AB и нека допирателната в точка D на параболата е успоредна на AB. Нека C е средата на AB, E е средата на AC, F е средата на CB. Нека начертаем прави, успоредни на DC през точки A, E, F, B; Нека допирателната, начертана в точка D, пресича тези прави в точки K, L, M, N. Нека начертаем и сегменти AD и DB. Нека правата EL пресича правата AD в точка G и параболата в точка H; правата FM пресича правата DB в точка Q и параболата в точка R. Според общата теория на коничните сечения DC е диаметърът на парабола (т.е. сегмент, успореден на нейната ос); тя и допирателната в точка D могат да служат като координатни оси x и y, в които уравнението на параболата се записва като y 2 = 2px (x е разстоянието от D до всяка точка с даден диаметър, y е дължината на сегмент, успореден на дадена допирателна от тази точка на диаметъра до някаква точка на самата парабола).

По силата на уравнението на параболата DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA и тъй като DK = 2DL, тогава KA = 4LH. Тъй като KA = 2LG, LH = HG. Площта на сегмента ADB на парабола е равна на площта на триъгълника ΔADB и площите на сегментите AHD и DRB взети заедно. От своя страна, площта на сегмента AHD е равна на площта на триъгълника AHD и останалите сегменти AH и HD, с всеки от които можете да извършите една и съща операция - разделяне на триъгълник (Δ) и двата останали сегмента () и т.н.:

Площта на триъгълника ΔAHD е равна на половината от площта на триъгълника ΔALD (те имат обща основа AD, а височините се различават 2 пъти), което от своя страна е равно на половината от площта на ​​триъгълника ΔAKD и следователно половината от площта на триъгълника ΔACD. Така площта на триъгълника ΔAHD е равна на една четвърт от площта на триъгълника ΔACD. По същия начин площта на триъгълника ΔDRB е равна на една четвърт от площта на триъгълника ΔDFB. И така, площите на триъгълниците ΔAHD и ΔDRB, взети заедно, са равни на една четвърт от площта на триъгълника ΔADB. Повтарянето на тази операция, когато се прилага към сегменти AH, HD, DR и RB, ще избере триъгълници от тях, чиято площ, взети заедно, ще бъде 4 пъти по-малка от площта на триъгълниците ΔAHD и ΔDRB, взети заедно, и следователно 16 пъти по-малко от площта на триъгълника ΔADB. И така нататък:

Така Архимед доказва, че „всеки сегмент, съдържащ се между права линия и парабола, съставлява четири трети от триъгълник с еднаква основа и еднаква височина“.

Пример за геометрична прогресия: 2, 6, 18, 54, 162.

Тук всеки член след първия е 3 пъти по-голям от предходния. Тоест всеки следващ член е резултат от умножаването на предишния член по 3:

2 · 3 = 6

6 3 = 18

18 3 = 54

54 3 = 162 .

В нашия пример, когато разделяме втория член на първия, третия на втория и т.н. получаваме 3. Числото 3 е знаменателят на тази геометрична прогресия.


Пример:

Нека се върнем към нашата геометрична прогресия 2, 6, 18, 54, 162. Нека вземем четвъртия член и го повдигнем на квадрат:
54 2 = 2916.

Сега нека умножим членовете отляво и отдясно на числото 54:

18 162 = 2916.

Както можете да видите, квадратът на третия член е равен на произведението на съседните втори и четвърти член.

Пример 1: Да вземем определена геометрична прогресия, в която първият член е равен на 2, а знаменателят на геометричната прогресия е равен на 1,5. Трябва да намерим 4-ия член на тази прогресия.

дадени:
b 1 = 2

р = 1,5
п = 4

————
b 4 - ?

Решение.

Приложете формулата b n= b 1 · q п- 1 , като вмъкнете подходящите стойности в него:
b 4 = 2 1,5 4 - 1 = 2 1,5 3 = 2 3,375 = 6,75.

отговор: Четвъртият член на дадена геометрична прогресия е числото 6,75.

Пример 2: Намерете петия член на геометрична прогресия, ако първият и третият член са равни съответно на 12 и 192.

дадени:
b 1 = 12
b 3 = 192
————
b 5 - ?

Решение.

1) Първо трябва да намерим знаменателя на геометричната прогресия, без който е невъзможно да се реши задачата. Като първа стъпка, използвайки нашата формула, извеждаме формулата за b 3:

b 3 = b 1 q 3 - 1 = b 1 q 2

Сега можем да намерим знаменателя на геометричната прогресия:

b 3 192
р 2 = —— = —— = 16
b 1 12

р= √16 = 4 или -4.

2) Остава да се намери стойността b 5 .
Ако р= 4, тогава

b 5 = b 1 q 5-1 = 12 4 4 = 12 256 = 3072.

При р= -4 резултатът ще бъде същият. Така проблемът има едно решение.

отговор: Петият член на дадената геометрична прогресия е числото 3072.


Пример: Намерете сумата от първите пет члена на геометричната прогресия ( b n), в който първият член е 2, а знаменателят на геометричната прогресия е 3.

дадени:

b 1 = 2

р = 3

п = 5
————
С 5 - ?

Решение.

Прилагаме втората формула от горните две:

b 1 (р 5 - 1) 2 (3 5 - 1) 2 (243 - 1) 484
С 5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242
р - 1 3 - 1 2 2

отговор: Сумата от първите пет члена на дадена геометрична прогресия е 242.

Сума от безкрайна геометрична прогресия.

Необходимо е да се прави разлика между понятията „сума от безкрайна геометрична прогресия“ и „сума пчленове на геометрична прогресия." Второто понятие се отнася за всяка геометрична прогресия, а първото - само за тази, където знаменателят е по-малък от 1 по абсолютна стойност.