Правоъгълният триъгълник е проста, но изключително важна фигура за математиката. Познаването на неговите свойства и способността да работите с основните параметри на правоъгълен триъгълник ще ви позволи да се справите както с училищни, така и с реални проблеми.

Геометрия на правоъгълен триъгълник

Геометрично триъгълникът е три точки, които не лежат на една права, които са свързани с отсечки. Правоъгълният триъгълник е фигура, чиито две страни образуват прав ъгъл. Тези страни се наричат ​​катети на триъгълника, а третата, най-дългата страна се нарича хипотенуза. Връзката между квадратите на катетите и хипотенузата се установява от Питагоровата теорема - една от основните теореми на Евклидовата геометрия.

Взаимоотношенията между хипотенузата и катетите също полагат основата на цял клон на математиката - тригонометрията. Първоначално синусите и косинусите са дефинирани като функции на ъглите на правоъгълен триъгълник, но в съвременното им значение тригонометричните функции са разширени до цялата числова ос. Днес тригонометрията се използва в много области на човешката дейност: от астрономията и океанографията до анализа на финансовите пазари и разработването на компютърни игри.

Правоъгълен триъгълник в действителност

Самият правоъгълен триъгълник се намира в действителност на всеки ъгъл, както в буквален, така и в преносен смисъл. Лицата на тетраедрите и призмите имат формата на правоъгълен триъгълник, които в действителност се превръщат в машинни части, керамични плочки или покривни наклони. Квадратът е инструмент за рисуване, с който човек се сблъсква за първи път в урока по геометрия, има формата на правоъгълен триъгълник и се използва в дизайна, строителството и дърводелството.

Периметър на триъгълник

Периметърът е числена оценка на дължините на всички страни на плоска геометрична фигура. Периметърът на n-ъгълник се намира като сбор от дължините на n страни. За да определите периметъра на правоъгълен триъгълник, използвайте проста формула:

a и b – катети, c – хипотенуза.

За да изчислите периметъра на триъгълник на ръка, ще трябва да измерите и трите страни, да извършите допълнителни тригонометрични операции или да извършите изчисления с помощта на Питагоровата теорема. С помощта на онлайн калкулатор просто трябва да намерите следните двойки променливи:

  • два крака;
  • крак и ъгъл;
  • хипотенуза и ъгъл.

В училищни задачи или на практика ще ви бъдат дадени първоначални данни, така че калкулаторът ви позволява да намерите периметъра, като знаете различни двойки параметри. Освен това инструментът автоматично изчислява всички други атрибути на правоъгълен триъгълник, тоест дължините на всички страни и големините на всички ъгли. Нека да разгледаме няколко примера.

Примери от живота

Училищна задача

Да кажем, че в училищна задача ви е даден правоъгълен триъгълник с дължина на страната 5 см и прилежащ ъгъл 60 градуса. Трябва да намерите периметъра на геометрична фигура. Онлайн калкулаторът е придружен от чертеж, показващ страните и ъглите на правоъгълен триъгълник. Виждаме, че ако катет a = 5 cm, тогава прилежащият му ъгъл е ъгъл бета. Това е важен момент, защото ако използвате ъгъла алфа за изчисления, резултатът ще бъде неправилен. Въвеждаме тези данни във формуляра и получаваме отговор във формуляра:

Освен самия периметър, нашата програма определи и стойността на срещуположния ъгъл, както и дължината на втория катет и хипотенузата.

Подреждане на цветна леха

Да приемем, че искате да направите ограда за цветна леха, която има формата на правоъгълен триъгълник. За да направите това, трябва да знаете периметъра на фигурата. Разбира се, в действителност можете просто да измерите и трите страни, но е лесно да опростите задачата си и да измерите само два крака. Нека са дълги 8 и 15 метра. Въвеждаме тези данни във формата на калкулатора и получаваме отговора:

Така че ще трябва да закупите материали за изграждане на 40 метра ограда. Нашият калкулатор изчисли и дължината на хипотенузата - 17 метра. Числата 8, 15 и 17 образуват Питагорова тройка - естествени числа, които отговарят на условията на Питагоровата теорема.

Заключение

Правоъгълните триъгълници се използват широко в ежедневието, така че определянето на площта или периметъра на геометрична фигура със сигурност ще ви бъде полезно при решаване на училищни задачи или ежедневни проблеми.

Една от основните геометрични фигури е триъгълникът. Образува се в пресечната точка на три прави сегмента. Тези сегменти образуват страните на фигурата, а техните пресечни точки се наричат ​​върхове. Всеки студент, изучаващ курс по геометрия, трябва да може да намери периметъра на тази фигура. Придобитото умение ще бъде полезно за мнозина в живота на възрастните, например ще бъде полезно за студент, инженер, строител,

Има различни начини за намиране на периметъра на триъгълник. Изборът на необходимата формула зависи от наличните изходни данни. За да напишете тази стойност в математическата терминология, се използва специална нотация - P. Нека разгледаме какво е периметърът, основните методи за изчисляването му за триъгълни фигури от различни типове.

Най-лесният начин да намерите периметъра на фигура е, ако имате данни за всички страни. В този случай се използва следната формула:

Буквата "P" означава самия периметър. От своя страна, "a", "b" и "c" са дължините на страните.

Знаейки размера на трите величини, ще бъде достатъчно да се получи тяхната сума, която е периметърът.

Алтернативен вариант

В математическите задачи всички дадени дължини рядко са известни. В такива случаи се препоръчва да се използва алтернативен метод за търсене на необходимата стойност. Когато условията посочват дължината на две прави линии, както и ъгъла между тях, изчислението се извършва чрез търсене на третата. За да намерите това число, трябва да намерите квадратния корен по формулата:

.

Периметър от двете страни

За да изчислите периметъра, не е необходимо да знаете всички данни на геометрична фигура. Нека разгледаме методите за изчисление от двете страни.

Равнобедрен триъгълник

Равнобедрен триъгълник е този, в който поне две страни имат еднаква дължина. Те се наричат ​​странични, а третата страна се нарича основа. Еднаквите прави линии образуват върхов ъгъл. Специална характеристика на равнобедрен триъгълник е наличието на една ос на симетрия. Оста е вертикална линия, простираща се от апикалния ъгъл и завършваща в средата на основата. В основата си оста на симетрия включва следните понятия:

  • ъглополовяща на ъгъла на върха;
  • медиана към основа;
  • височина на триъгълник;
  • среден перпендикуляр.

За да определите периметъра на равнобедрен триъгълник, използвайте формулата.

В този случай трябва да знаете само две количества: основата и дължината на едната страна. Обозначението "2a" предполага умножаване на дължината на страната по 2. Към получената цифра трябва да добавите стойността на основата - "b".

В изключителния случай, когато дължината на основата на равнобедрен триъгълник е равна на неговата странична линия, можете да използвате по-прост метод. Изразява се в следната формула:

За да получите резултата, просто умножете това число по три. Тази формула се използва за намиране на периметъра на равностранен триъгълник.

Полезно видео: задачи по периметъра на триъгълник

Правоъгълен триъгълник

Основната разлика между правоъгълен триъгълник и други геометрични фигури в тази категория е наличието на ъгъл от 90°. Въз основа на тази характеристика се определя типът на фигурата. Преди да определите как да намерите периметъра на правоъгълен триъгълник, струва си да се отбележи, че тази стойност за всяка плоска геометрична фигура е сумата от всички страни. Така че в този случай най-лесният начин да разберете резултата е да сумирате трите количества.

В научната терминология тези страни, които са в съседство с прав ъгъл, се наричат ​​„крака“, а тези, които са срещу ъгъл от 90º, се наричат ​​хипотенуза. Характеристиките на тази фигура са изследвани от древногръцкия учен Питагор. Според Питагоровата теорема квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите.

.

Въз основа на тази теорема е изведена друга формула, която обяснява как да се намери периметърът на триъгълник, като се използват две известни страни. Можете да изчислите периметъра за определената дължина на краката, като използвате следния метод.

.

За да разберете периметъра, като имате информация за размера на единия крак и хипотенузата, трябва да определите дължината на втората хипотенуза. За тази цел се използват следните формули:

.

Също така периметърът на описания тип фигура се определя без данни за размерите на краката.

Ще трябва да знаете дължината на хипотенузата, както и ъгъла, прилежащ към нея. Познавайки дължината на един от краката, ако има ъгъл, съседен на него, периметърът на фигурата се изчислява по формулата:

.

Изчисляване чрез височина

Можете да изчислите периметъра на категории като равнобедрени и правоъгълни триъгълници, като използвате техния индикатор за средна линия. Както знаете, височината на триъгълника дели основата му наполовина. Така образува две правоъгълни форми. След това желаният индикатор се изчислява с помощта на теоремата на Питагор. Формулата ще изглежда така:

.

Ако знаете височината и половината от основата, с помощта на този метод ще получите нужното число, без да търсите останалите данни за фигурата.

Полезно видео: намиране на периметъра на триъгълник

Правоъгълният триъгълник е специален вид произволен триъгълник. Както всеки друг триъгълник, той има три страни, но един от ъглите му трябва да е 90 градуса. След като сте определили, че даден триъгълник е правоъгълен триъгълник, можете да започнете да намирате основните му размери. Една от характеристиките на правоъгълния триъгълник е неговият периметър. Много геометрични задачи са посветени на намирането на периметъра на правоъгълен триъгълник. Преди да разгледаме основните начини за намиране на периметъра на правоъгълен триъгълник, бих искал да ви напомня, че периметърът на всяка геометрична фигура в равнина е равен на сбора от дължините на всичките му страни. За всички видове триъгълници това твърдение може да бъде написано като следния израз:


където P е периметърът на триъгълника;
a, b, c - страни на триъгълника.

В правоъгълен триъгълник, както бе споменато по-горе, има отличителна черта под формата на един от ъглите от 90 градуса. Двете страни на триъгълник, съседни на даден ъгъл, се наричат ​​катети. Страната срещу правия ъгъл се нарича хипотенуза.

Необичайните свойства на правоъгълния триъгълник са открити от Питагор, който открива, че квадратът на хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равен на сбора от квадратите на неговите катети, което може да се запише като:

Правоъгълният триъгълник е специален вид произволен триъгълник. Както всеки друг триъгълник, той има три страни, но един от ъглите му трябва да е 90 градуса. След като сте определили, че даден триъгълник е правоъгълен триъгълник, можете да започнете да намирате основните му размери. Една от характеристиките на правоъгълния триъгълник е неговият периметър. Много геометрични задачи са посветени на намирането на периметъра на правоъгълен триъгълник.

Където P е периметърът на триъгълника;

A, b, c - страни на триъгълника.

Въз основа на теоремата на Питагор стана възможно да се определи периметърът на правоъгълен триъгълник по двете му страни с известна дължина. Ако дължините на краката са известни, тогава периметърът на триъгълника се определя чрез намиране на стойността на хипотенузата по формулата:

Ако са известни само един от катетите и дължината на хипотенузата, тогава периметърът на триъгълника се определя чрез намиране на стойността на липсващия катет по формулата:

Ако в правоъгълен триъгълник са известни само дължината на хипотенузата c и един от острите ъгли α, съседни на нея, тогава периметърът на триъгълника в този случай може да се определи по формулата:

В случай, че условията на проблема определят дължината на крака a и стойността на острия ъгъл α срещу него, тогава периметърът на правоъгълен триъгълник в този случай се изчислява по формулата:

Ако е дадена страна a със съседен ъгъл β, тогава периметърът на триъгълника може да се изчисли въз основа на израза:

P = a + b + c, където, да кажем,

P = v(a2 + b2) + a + b, или

P = v(c2 – b2) + b + c.

P = (1 + sin? + cos?)*s.


P = a*(1/tg? + 1/sin? + 1)

P = a*(1/сtg? + 1/cos? + 1)

Други новини по темата:


Как да намерите периметъра на правоъгълен триъгълник

Правоъгълен триъгълник е този, в който един от ъглите е 90 градуса, а другите два са остри ъгли. Изчисляването на периметъра на такъв триъгълник ще зависи от количеството данни, известни за него.

В зависимост от случая познаване на две от трите страни на триъгълника, както и един от острите му ъгли.

Спонсор на публикуване P&G Статии по темата „Как да намерим периметъра на правоъгълен триъгълник“ Как да намерим повърхността на пирамида Как да намерим периметъра, ако площта е известна Как да намерим периметъра на равностранен триъгълник

Метод 1. Ако и трите страни на триъгълника са известни, тогава, независимо дали триъгълникът е правоъгълен или не, неговият периметър ще се изчисли, както следва:

P = a + b + c, където, да кажем,

Метод 2. Ако в правоъгълник са известни само 2 страни, тогава, използвайки Питагоровата теорема, периметърът на този триъгълник може да се изчисли по формулата:

P = v(a2 + b2) + a + b, или

P = v(c2 – b2) + b + c.

Метод 3. Нека хипотенуза c и остър ъгъл ? са дадени в правоъгълен триъгълник, тогава периметърът може да се намери по следния начин:


P = (1 + sin? + cos?)*s.

Метод 4. Дадено е, че в правоъгълен триъгълник дължината на един от катетите е равна на a, а срещу него лежи остър ъгъл?. Тогава изчисляването на периметъра на този триъгълник ще се извърши по формулата:

P = a*(1/tg? + 1/sin? + 1)

Метод 5. Позволете ни да знаем страната a и ъгъла, прилежащ към нея?, тогава периметърът ще бъде изчислен, както следва:

P = a*(1/сtg? + 1/cos? + 1)

Други новини по темата:

Площта и периметърът са основните числени характеристики на всяка геометрична форма. Намирането на тези количества е опростено благодарение на общоприетите формули, според които може да се изчисли едно през друго с минимална или пълна липса на допълнителни първоначални данни. Спонсор на разполагане P&G

Равностранният триъгълник, заедно с квадрата, е може би най-простата и най-симетрична фигура в планиметрията. Разбира се, всички отношения, които са валидни за обикновен триъгълник, са верни и за равностранен триъгълник. За правилен триъгълник обаче всички формули стават много по-прости. на теб

Периметърът на триъгълника, както всяка друга плоска геометрична фигура, е сумата от дължините на сегментите, които го ограничават. Следователно, за да изчислите дължината на периметъра, трябва да знаете дължините на страните му. Но поради факта, че дължините на страните в геометричните фигури са свързани с определени отношения с

Триъгълникът се счита за правоъгълен, ако един от ъглите му е прав. Страната на триъгълника срещу правия ъгъл се нарича хипотенуза, а другите две страни се наричат ​​катети. За да намерите дължините на страните на правоъгълен триъгълник, можете да използвате няколко метода. Спонсор


Периметърът на всяка геометрична фигура, включително триъгълник, е равен на общата дължина на границите на тази фигура. Означава се с главната латинска буква P и се намира лесно чрез събиране на дължините на всички страни на дадена фигура. Спонсорирано от P&G Статии по темата „Как да изчислим периметъра на триъгълник“

Триъгълникът е многоъгълник, който има три страни и три ъгъла. Как да изчислим периметъра му? Спонсор на публикуване P&G Статии по темата „Как да намерим периметъра на триъгълник“ Как да намерим периметъра на триъгълник, даден от координатите на върховете му Как да намерим площта на триъгълник Как да намерим дължината и ширината

Хипотенузата е най-дългата страна на правоъгълен триъгълник. Разположен е срещу прав ъгъл. Методът за намиране на хипотенузата на правоъгълен триъгълник зависи от това какви първоначални данни имате. Спонсорирано от P&G Статии по темата „Как да намерим хипотенузата на триъгълник“ Как

Правоъгълният триъгълник се характеризира с определени отношения между ъглите и страните. Познавайки стойностите на някои от тях, можете да изчислите други. За тази цел се използват формули, базирани от своя страна на аксиомите и теоремите на геометрията. Спонсор на разположението на P&G Статии на тема „Как да определим


Изглежда, че може да е по-просто от изчисляването на площта и периметъра на триъгълник - измерете страните, поставете числата във формулата - и това е всичко. Ако мислите така, значи сте забравили, че за тези цели няма две прости формули, а много повече - за всеки тип триъгълник има своя собствена. на теб

Периметърът на триъгълник е сумата от дължините на страните му. Намирането на периметъра на триъгълник често се налага както при елементарни задачи по геометрия, така и при по-трудни задачи. При решаването им липсващите количества се намират от други данни. Основните зависимости на периметъра на триъгълника от другите му измерения са отразени в

Периметър на триъгълник, както при всяка фигура, се нарича сбор от дължините на всички страни. Доста често тази стойност помага да се намери площта или се използва за изчисляване на други параметри на фигурата.
Формулата за периметъра на триъгълник изглежда така:

Пример за изчисляване на периметъра на триъгълник. Нека е даден триъгълник със страни a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm. Заместете данните във формулата: cm

Формула за изчисляване на периметър равнобедрен триъгълникще изглежда така:

Формула за изчисляване на периметър равностранен триъгълник:

Пример за изчисляване на периметъра на равностранен триъгълник. Когато всички страни на една фигура са равни, те могат просто да се умножат по три. Да предположим, че ни е даден правилен триъгълник със страна 5 cm в този случай: cm

Като цяло, след като всички страни са дадени, намирането на периметъра е доста просто. В други ситуации трябва да намерите размера на липсващата страна. В правоъгълен триъгълник можете да намерите третата страна по Питагорова теорема. Например, ако дължините на краката са известни, тогава можете да намерите хипотенузата, като използвате формулата:

Нека разгледаме пример за изчисляване на периметъра на равнобедрен триъгълник, при условие че знаем дължината на катетите в правоъгълен равнобедрен триъгълник.
Даден е триъгълник с катети a =b =5 cm. Първо, нека намерим липсващата страна c. cm
Сега нека изчислим периметъра: cm
Периметърът на правоъгълен равнобедрен триъгълник ще бъде 17 cm.

В случай, че са известни хипотенузата и дължината на единия крак, можете да намерите липсващия по формулата:
Ако хипотенузата и един от острите ъгли са известни в правоъгълен триъгълник, тогава липсващата страна се намира с помощта на формулата.