Цели на урока

Да затвърди знанията на учениците по темата правоъгълник;
Продължете да запознавате учениците с определенията и свойствата на правоъгълник;
Научете учениците да използват придобитите знания по тази тема при решаване на проблеми;
Развийте интерес към предмета по математика, внимание, логическо мислене;
Развийте способността за самоанализ и дисциплина.

Цели на урока

Повторете и консолидирайте знанията на учениците за такава концепция като правоъгълник, надграждайки знанията, придобити в предишни класове;
Продължете да подобрявате знанията на учениците за свойствата и характеристиките на правоъгълниците;
Продължете да развивате умения в процеса на решаване на задачи;
Събудете интерес към часовете по математика;
Култивирайте интерес към точни наукии положително отношение към уроците по математика.

План на урока

1. Теоретична част, обща информация, определения.
2. Повторение на темата „Правоъгълници“.
3. Свойства на правоъгълник.
4. Признаци на правоъгълник.
5. Интересни фактиот живота на триъгълниците.
6. Златен правоъгълник, общи понятия.
7. Въпроси и задачи.

Какво е правоъгълник

В предишни класове вече сте изучавали теми за правоъгълници. Сега нека опресним паметта си и да си спомним какъв вид фигура е това, което се нарича правоъгълник.

Правоъгълникът е успоредник, чиито четири ъгъла са прави и равни на 90 градуса.

Правоъгълникът е геометрична фигура, състояща се от 4 страни и четири прави ъгъла.

Противоположни страниправоъгълниците винаги са равни.

Ако разгледаме дефиницията на правоъгълник според евклидовата геометрия, тогава, за да се счита четириъгълникът за правоъгълник, е необходимо в тази геометрична фигура поне три ъгъла да са прави. От това следва, че четвъртият ъгъл също ще бъде деветдесет градуса.

Въпреки че е ясно, че когато сумата от ъглите на четириъгълник няма 360 градуса, тогава тази фигура не е правоъгълник.

Ако правилният правоъгълник има всички страни, равни една на друга, тогава такъв правоъгълник се нарича квадрат.

В някои случаи квадрат може да действа като ромб, ако такъв ромб, освен равни страни, има всички прави ъгли.

За да се докаже участието на който и да е геометрична фигуракъм правоъгълник е достатъчно тази геометрична фигура да отговаря на поне едно от следните изисквания:

1. квадратът на диагонала на тази фигура трябва да бъде равен на сумата от квадратите на 2 страни, които имат обща точка;
2. диагоналите на геометричната фигура трябва да са с еднаква дължина;
3. всички ъгли на геометрична фигура трябва да са равни на деветдесет градуса.

Ако тези условия отговарят на поне едно изискване, тогава имате правоъгълник.

Правоъгълникът в геометрията е основната основна фигура, която има много подтипове със свои собствени специални свойстваи характеристики.

Упражнение:Назовете геометричните фигури, принадлежащи към правоъгълниците.

Правоъгълник и неговите свойства

Сега нека си припомним свойствата на правоъгълника:


Правоъгълникът има всичките си диагонали равни;
Правоъгълникът е успоредник с успоредни противоположни страни;
Страните на правоъгълника също ще бъдат неговите височини;
Правоъгълникът има равни противоположни страни и ъгли;
Окръжност може да бъде описана около всеки правоъгълник и диагоналът на правоъгълника ще бъде равен на диаметъра на описаната окръжност.
Диагоналите на правоъгълник го разделят на 2 равни триъгълника;
Следвайки Питагоровата теорема, квадратът на диагонала на правоъгълник е равен на сумата от квадратите на неговите 2 непротивопоставени страни;



Упражнение:

1. Правоъгълникът има две възможности, при които може да бъде разделен на 2 равни правоъгълника. Начертайте в тетрадката си два правоъгълника и ги разделете така, че да се получат 2 равни правоъгълника.

2. Начертайте кръг около правоъгълника, чийто диаметър ще бъде равен на диагонала на правоъгълника.

3. Може ли да се впише окръжност в правоъгълник, така че да докосва всичките му страни, но при условие, че този правоъгълник не е квадрат?

Правоъгълни знаци

Паралелограмът ще бъде правоъгълник, при условие че:

1. ако поне един от ъглите му е прав;
2. ако и четирите му ъгъла са прави;
3. ако срещуположните страни са равни;
4. ако поне три ъгъла са прави;
5. ако диагоналите му са равни;
6. ако квадратът на диагонала е равен на сумата от квадратите на непротивопоставимите страни.

Интересно е да се знае

Знаете ли, че ако начертаете ъглополовящи на ъглите в правоъгълник, който има неравни съседни страни, тогава, когато те се пресекат, ще получите правоъгълник.

Но ако начертаната ъглополовяща на правоъгълник пресича една от страните му, тогава тя отрязва равнобедрен триъгълник от този правоъгълник.

Знаете ли, че още преди Малевич да нарисува своя изключителен „Черен квадрат“, през 1882 г. на изложба в Париж е представена картина на Пол Било, върху чието платно е изобразен черен правоъгълник със странното име „Битката на негрите в тунелът”.



Тази идея с черен правоъгълник вдъхнови други културни дейци. Френският писател и хуморист Алфонс Але издава цяла поредица от творбите си и с течение на времето се появява правоъгълен пейзаж в радикален червен цвят, наречен „Беритба на домати на брега на Червено море от апоплектични кардинали“, който също няма изображение.

Упражнение

1. Назовете свойство, което е присъщо само на правоъгълник?
2. Каква е разликата между произволен успоредник и правоъгълник?
3. Вярно ли е, че всеки правоъгълник може да бъде успоредник? Ако това е така, докажете защо?
4. Избройте четириъгълниците, които са правоъгълници.
5. Посочете свойствата на правоъгълник.

Исторически факт

Правоъгълник на Евклид


Знаете ли, че правоъгълникът на Евклид, който се нарича златно сечение, за дълъг период от време е бил за всяка сграда с религиозно значение, перфектна и пропорционална основа за строителство в онези дни. С негова помощ са построени повечето ренесансови сгради и класически храмове в Древна Гърция.

„Златният“ правоъгълник обикновено се нарича геометричен правоъгълник, съотношението на по-голямата страна към по-малката страна е равно на златното сечение.

Това съотношение на страните на този правоъгълник беше 382 към 618, или приблизително 19 към 31. Правоъгълникът на Евклид по това време беше най-целесъобразният, удобен, безопасен и правилен правоъгълник от всички геометрични форми. Поради тази характеристика, Евклидовият правоъгълник или приближенията към него бяха използвани навсякъде. Използван е в къщи, картини, мебели, прозорци, врати и дори книги.

Сред индианците навахо правоъгълникът е сравняван с женска форма, тъй като се смяташе за обичайната, стандартна форма на къща, символизираща жената, която притежава тази къща.

Предмети > Математика > Математика 8 клас

Правоъгълникът е успоредник, в който всички ъгли са прави (равни на 90 градуса). Площта на правоъгълник е равна на произведението на съседните му страни. Диагоналите на правоъгълник са равни. Втората формула за намиране на площта на правоъгълник идва от формулата за площта на четириъгълник с помощта на диагоналите.

Правоъгълнике четириъгълник, в който всеки ъгъл е прав.

Квадратът е специален случай на правоъгълник.

Правоъгълникът има две двойки равни страни. Дължината на най-дългите двойки страни се нарича дължина на правоъгълник, а дължината на най-късите е ширина на правоъгълника.

Свойства на правоъгълник

1. Правоъгълникът е успоредник

Свойството се обяснява с действието на характеристиката на успоредника 3 (т.е. \(\ъгъл A = \ъгъл C\) , \(\ъгъл B = \ъгъл D\) )

2. Противоположните страни са равни

\(AB = CD,\enspace BC = AD\)

3. Противоположните страни са успоредни

\(AB \паралелен CD,\enspace BC \паралелен AD\)

4. Съседните страни са перпендикулярни една на друга

\(AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​\perp AB \)

5. Диагоналите на правоъгълник са равни

\(AC = BD\)

Според собственост 1правоъгълникът е успоредник, което означава \(AB = CD\) .

следователно \(\триъгълник ABD = \триъгълник DCA\)на два крака (\(AB = CD\) и \(AD\) - става).

Ако и двете фигури - \(ABC \) и \(DCA \) са идентични, тогава техните хипотенузи \(BD \) и \(AC \) също са идентични.

И така, \(AC = BD\) .

От всички фигури (само от успоредници!) само правоъгълникът има равни диагонали.

Нека докажем и това.

\(\Стрелка надясно AB = CD \) , \(AC = BD \) по условие. \(\Дясна стрелка \триъгълник ABD = \триъгълник DCA \)вече от три страни.

Оказва се, че \(\ъгъл A = \ъгъл D\) (като ъглите на успоредник). И \(\ъгъл A = \ъгъл C\) , \(\ъгъл B = \ъгъл D\) .

Ние заключаваме, че \(\ъгъл A = \ъгъл B = \ъгъл C = \ъгъл D\). Всички те са \(90^(\circ) \) . Общо - \(360^(\circ) \) .

7. Диагоналът разделя правоъгълник на два еднакви правоъгълни триъгълника

\(\триъгълник ABC = \триъгълник ACD, \enspace \триъгълник ABD = \триъгълник BCD \)

8. Пресечната точка на диагоналите ги разделя наполовина

\(AO = BO = CO = DO \)

9. Пресечната точка на диагоналите е центърът на правоъгълника и описаната окръжност

Правоъгълник е преди всичкогеометрична плоска фигура. Състои се от четири точки, които са свързани една с друга с две двойки равни сегменти, които се пресичат перпендикулярно само в тези точки.

Правоъгълникът се определя чрез успоредник. С други думи, правоъгълникът е успоредник, чиито ъгли са прави, тоест равни на 90 градуса. В евклидовата геометрия, ако една геометрична фигура има 3 от 4 ъгъла, равни на 90 градуса, тогава четвъртият ъгъл автоматично е равен на 90 градуса и такава фигура може да се нарече правоъгълник.


От дефиницията на паралелограма става ясно, че правоъгълникът е много разновидности на тази фигура в равнина. От това следва, че свойствата на успоредник се отнасят и за правоъгълник. Например: в правоъгълник срещуположните страни са равни по дължина. Когато конструирате диагонал в правоъгълник, той ще раздели фигурата на два еднакви триъгълника. Това е основата на Питагоровата теорема, която гласи, че квадратът на хипотенузата в правоъгълен триъгълник е равен на сбора от квадратите на неговите катети.Ако всички страни на правилен правоъгълник са равни, тогава такъв правоъгълник се нарича квадрат. Квадратът също се определя като ромб, в който всичките му страни са равни и всичките му ъгли са прави ъгли.


Квадрат правоъгълниксе намира по формулата: S=a*b, където a е дължината на този правоъгълник, b е ширината. Например: площта на правоъгълник със страни 4 и 6 см ще бъде равна на 4 * 6 = 24 сантиметра на квадрат.Периметър Когато конструирате диагонал в правоъгълник, той ще раздели фигурата на два еднакви триъгълника. Това е основата на Питагоровата теорема, която гласи, че квадратът на хипотенузата в правоъгълен триъгълник е равен на сбора от квадратите на неговите катети.пр


питагон изчислява се по формулата: P= (a+b)*2, където a е дължината на правоъгълниците, b е ширината на дадения. Например: периметърът на правоъгълник със страни 4 и 8 cm е равен на 24 cm на правоъгълник, вписан в окръжност, съвпада с диаметъра на тази окръжност. Пресечната точка на тези диагонали ще бъде центърът на кръга. изчислява се по формулата: P= (a+b)*2, където a е дължината на правоъгълниците, b е ширината на даденияПри доказване участието на геометрична фигура в правоъгълник фигурата се проверява за някое от условията: 1 – квадрат на диагонала

фигури равна на сумата от квадратите на две страни с една обща точка; 2 – диагоналиимат еднаква дължина; 3 – всички ъгли са равни на 90 градуса. Ако е изпълнено поне едно условие, фигурата може да се нарече правоъгълник.

IN училищна програмав уроците по геометрия трябва да се справяте с различни видове четириъгълници: ромби, успоредници, правоъгълници, трапеци, квадрати. Първите форми за изучаване са правоъгълникът и квадратът.

Как можем да разберем, когато решаваме друга геометрична задача, с кой четириъгълник имаме работа? Има три основни признака, по което безпогрешно може да се определи, че говорим за правоъгълник. Да ги наречем:

  • фигурата е четириъгълник, чиито три ъгъла са равни на 90°;
  • представеният четириъгълник е успоредник с равни диагонали;
  • успоредник, който има поне един прав ъгъл.

Интересно е да знаете: какво е изпъкнал, неговите характеристики и симптоми.

Тъй като правоъгълникът е успоредник (т.е. четириъгълник с двойки успоредни противоположни страни), тогава всички негови свойства и характеристики ще бъдат изпълнени за него.

Формули за изчисляване на дължини на страни

В правоъгълникпротивоположните страни са равни и взаимно успоредни. По-дългата страна обикновено се нарича дължина (означена с a), по-късата страна се нарича ширина (обозначена с b). В правоъгълника на изображението дължините са страните AB и CD, а широчините са AC и B. D. Те също са перпендикулярни на основите (т.е. те са височините).

За да намерите страните, можете да използвате формулите по-долу. Те приеха символи: a - дължината на правоъгълника, b - неговата ширина, d - диагоналът (сегмент, свързващ върховете на два ъгъла, разположени един срещу друг), S - площта на фигурата, P - периметърът, α - ъгълът между диагонала и дължината, β - остър ъгъл, която се образува от двата диагонала. Методи за намиране на дължините на страните:

  • Използване на диагонал и известна страна: a = √(d² - b²), b = √(d² - a²).
  • Въз основа на площта на фигурата и една от нейните страни: a = S / b, b = S / a.
  • Използване на периметъра и известната страна: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
  • През диагонала и ъгъла между него и дължината: a = d sinα, b = d cosα.
  • През диагонала и ъгъл β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Периметър и площ

Периметърът на четириъгълник се наричасумата от дължините на всичките му страни. За изчисляване на периметъра може да се използва следните формули:

  • През двете страни: P = 2 (a + b).
  • През областта и една от страните: P = (2S + 2a²) / a, P = (2S + 2b²) / b.

Площта е пространството, оградено от периметър. Три основни начина за изчисляване на площта:

  • През дължините на двете страни: S = a*b.
  • Използвайки периметъра и която и да е известна страна: S = (Pa - 2 a²) / 2; S = (Pb - 2 b²) / 2.
  • Диагонал и ъгъл β: S = 0,5 d² sinβ.

Задачите в училищен курс по математика често изискват добро владеене свойства на диагоналите на правоъгълник. Изброяваме основните:

  1. Диагоналите са равни един на друг и се разделят на две равни отсечки в точката на тяхното пресичане.
  2. Диагоналът се определя като корен от сбора на двете страни на квадрат (следва от Питагоровата теорема).
  3. Диагоналът разделя правоъгълник на два правоъгълни триъгълника.
  4. Пресечната точка съвпада с центъра на описаната окръжност, а самите диагонали съвпадат с нейния диаметър.

За изчисляване на дължината на диагонала се използват следните формули:

  • Използвайки дължината и ширината на фигурата: d = √(a² + b²).
  • Използвайки радиуса на окръжност, описана около четириъгълник: d = 2 R.

Определение и свойства на квадрат

Квадратът е специален случай на ромб, паралелограм или правоъгълник. Разликата му от тези фигури е, че всичките му ъгли са прави и четирите страни са равни. Квадратът е правилен четириъгълник.

Четириъгълник се нарича квадрат в следните случаи:

  1. Ако това е правоъгълник, чиято дължина a и ширина b са равни.
  2. Ако е ромб с равни дължини на диагонали и четири прави ъгъла.

Свойствата на квадрат включват всички обсъдени по-рано свойства, свързани с правоъгълник, както и следното:

  1. Диагоналите са перпендикулярни един на друг (свойство на ромба).
  2. Пресечната точка съвпада с центъра на вписаната окръжност.
  3. Двата диагонала разделят четириъгълника на четири равни правоъгълни и равнобедрени триъгълника.

Ето кои са често използваните формули за изчисления на периметър, площ и квадратни елементи:

  • Диагонал d = a √2.
  • Периметър P = 4 a.
  • Площ S = a².
  • Радиусът на описаната окръжност е половината от диагонала: R = 0,5 a √2.
  • Радиусът на вписаната окръжност се определя като половината от дължината на страната: r = a / 2.

Примерни въпроси и задачи

Нека да разгледаме някои въпроси, които може да срещнете, когато изучавате курс по математика в училище, и да решим няколко прости задачи.

Проблем 1. Как ще се промени площта на правоъгълник, ако дължината на страните му се утрои?

Решение : Нека означим площта на оригиналната фигура като S0, а площта на четириъгълник с тройна дължина на страните като S1. Използвайки формулата, обсъдена по-рано, получаваме: S0 = ab. Сега нека увеличим дължината и ширината с 3 пъти и напишем: S1= 3 a 3 b = 9 ab. Сравнявайки S0 и S1, става очевидно, че втората област е 9 пъти по-голяма от първата.

Въпрос 1. Квадрат ли е четириъгълник с прави ъгли?

Решение : От определението следва, че фигура с прави ъгли е квадрат само ако дължините на всичките й страни са равни. В други случаи фигурата е правоъгълник.

Проблем 2. Диагоналите на правоъгълник образуват ъгъл от 60 градуса. Ширината на правоъгълника е 8. Пресметнете колко е диагоналът.

Решение:Спомнете си, че диагоналите са разделени наполовина от точката на пресичане. Така имаме работа с равнобедрен триъгълник с ъгъл при върха 60°. Тъй като триъгълникът е равнобедрен, ъглите в основата също ще бъдат еднакви. Чрез прости изчисления намираме, че всеки от тях е равен на 60°. От това следва, че триъгълникът е равностранен. Знаемата ни ширина е основата на триъгълника, следователно половината от диагонала също е равна на 8, а дължината на целия диагонал е два пъти по-голяма и равна на 16.

Въпрос 2. Правоъгълникът има ли всички страни равни или не?

Решение : Достатъчно е да запомните, че всички страни трябва да са равни в квадрат, който е специален случай на правоъгълник. Във всички останали случаи достатъчно условие е наличието на поне 3 прави ъгъла. Равенството на страните не е задължителен признак.

Проблем 3. Площта на квадрата е известна и равна на 289. Намерете радиусите на вписаната и описаната окръжност.

Решение : Използвайки формулите за квадрат, ще извършим следните изчисления:

  • Нека определим на какво са равни основните елементи на квадрата: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
  • Нека изчислим радиуса на окръжността, описана около четириъгълника: R = 0,5 d = 8,5√2.
  • Нека намерим радиуса на вписаната окръжност: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.

Правоъгълникът е уникален в своята простота. Въз основа на тази фигура учениците започват да изучават основите на геометрията. Следователно в гимназията те се губят, без да знаят основните свойства и характеристики на правоъгълника, напразно смятайки тази фигура за твърде проста.

Правоъгълник

Дефиницията на правоъгълник е известна от основно училище: Това е успоредник, в който всички ъгли са равни на 90 градуса. Възниква въпросът: какво е успоредник?

Въпреки сложното име, тази форма е проста като правоъгълник. Паралелограмът е изпъкнал четириъгълник, чиито страни са равни по двойки и успоредни.

В дефиницията не забравяйте да подчертаете думата изпъкнал. Тъй като изпъкналите и неизпъкналите четириъгълници са ясно разделени в геометрията. Освен това неизпъкналите фигури изобщо не се изучават в училищния курс по математика, тъй като те са много по-непредсказуеми в своите свойства.

ориз. 1. Изпъкнали четириъгълници

Правоъгълникът е специален случай на успоредник. Освен това има и други специални случаи на паралелограм, например ромб; Такива са и други специални случаи на правоъгълник - квадрат. Следователно, преди да можете да докажете, че една фигура е правоъгълник, трябва да докажете, че тя е успоредник.

Свойства на правоъгълник

Свойствата на правоъгълника могат да бъдат разделени на две групи: свойства на успоредник и свойства на правоъгълник.

Свойства на успоредник:

  • Противоположните страни са равни и успоредни по двойки.
  • Противоположните ъгли са равни.

ориз. 2. Свойства на успоредник

Свойства на правоъгълника:

  • Всички ъгли са равни на 90 градуса, което идва от определението за фигура.
  • Диагоналите на правоъгълник разделят фигурата на две малки равни правоъгълен триъгълник. Това свойство се доказва лесно. Триъгълниците ще бъдат правоъгълни, тъй като ще включват един ъгъл от 90 градуса. В този случай диагоналът ще бъде обща страна, а краката ще бъдат равни, тъй като противоположните страни на правоъгълника са по двойки равни и успоредни.
  • Диагоналите на правоъгълник са равни.

ориз. 3. Греда

Правоъгълни знаци

Правоъгълникът има само три основни характеристики:

  • На ъгъла. Ако един от ъглите на успоредник е 90 градуса, тогава успоредникът е правоъгълник.
  • Ако три ъгъла на четириъгълник са равни на 90 градуса, тогава четириъгълникът е правоъгълник. Моля, обърнете внимание, че в този случай няма нужда да доказваме, че имаме успоредник. Достатъчно е да знаете стойностите на ъглите на четириъгълник.
  • По диагонал: Ако диагоналите на успоредник са равни, тогава такъв успоредник е правоъгълник.

Обърнете внимание към коя фигура се прилага характеристиката, това е важно при доказателството.

Каква е разликата между знак и свойство? Знакът е разликата, по която една фигура може да бъде разграничена от другите. Като име на човек. Виждаш приятел, помниш името му и веднага знаеш какво да очакваш от него. Но очакванията от човек вече са свойства. Свойствата могат да се прилагат само след като сте доказал, че тази или онази фигура е пред вас. И за това доказателство ни трябват знаци.

Какво научихме?

Научихме какво е успоредник. Говорихме за специални случаи на успоредник, включително най-често срещания - правоъгълник. Бяха идентифицирани свойствата и характеристиките на правоъгълника. Забелязахме, че някои от знаците са валидни за всеки четириъгълник, а някои само за успоредник.

Тест по темата

Рейтинг на статията

Средна оценка: 4.1. Общо получени оценки: 268.