3.1. Полярни координати

Често се използва в самолет полярна координатна система . Дефинира се, ако е дадена точка О, т.нар полюс, и лъчът, излъчван от полюса (за нас това е оста Ox) – полярна ос.Позицията на точка М се фиксира с две числа: радиус (или радиус вектор) и ъгъл φ между полярната ос и вектора.Ъгълът φ се нарича полярен ъгъл; измерено в радиани и броено обратно на часовниковата стрелка от полярната ос.

Позицията на точка в полярната координатна система се дава от подредена двойка числа (r; φ). На полюса r = 0,и φ не е дефинирано. За всички останали точки r > 0,и φ е дефинирано до член, който е кратен на 2π. В този случай двойки числа (r; φ) и (r 1 ; φ 1) са свързани с една и съща точка, ако .

За правоъгълна координатна система xOy Декартови координатиточките лесно се изразяват по отношение на техните полярни координати, както следва:

3.2. Геометрична интерпретация на комплексно число

Нека разгледаме декартова правоъгълна координатна система на равнината xOy.

Всяко комплексно число z=(a, b) е свързано с точка от равнината с координати ( x, y), Къде координата x = a, т.е. реалната част на комплексното число, а координатата y = bi е имагинерната част.

Равнина, чиито точки са комплексни числа– сложна равнина.

На фигурата комплексно число z = (a, b)съответства на точка M(x, y).

Упражнение.Начертайте комплексни числа в координатната равнина:

3.3. Тригонометрична форма на комплексно число

Комплексно число в равнината има координати на точка M(x;y). В този случай:

Записване на комплексно число - тригонометрична форма на комплексно число.

Числото r се нарича модул комплексно число zи е обозначена. Модулът е неотрицателно реално число. За .

Модулът е нула, ако и само ако z = 0, т.е. a = b = 0.

Числото φ се нарича аргумент z и е обозначен. Аргументът z е дефиниран двусмислено, подобно на полярния ъгъл в полярната координатна система, а именно до член, който е кратен на 2π.

Тогава приемаме: , където φ – най-малка стойностаргумент. Очевидно е, че

.

При по-задълбочено изучаване на темата се въвежда спомагателен аргумент φ*, така че

Пример 1. Намерете тригонометричната форма на комплексно число.

Решение. 1) разгледайте модула: ;

2) търси φ: ;

3) тригонометрична форма:

Пример 2.Намерете алгебричната форма на комплексно число .

Тук е достатъчно да замените стойностите тригонометрични функциии трансформирайте израза:

Пример 3.Намиране на модул и аргумент на комплексно число;


1) ;

2) ; φ – в 4 четвърти:

3.4. Действия с комплексни числа в тригонометрична форма

· Събиране и изважданеПо-удобно е да се прави с комплексни числа в алгебрична форма:

· Умножение– с помощта на прости тригонометрични трансформации може да се покаже, че При умножаване се умножават модулите на числата и се добавят аргументите: ;

Лекция

Тригонометрична форма на комплексно число

Планирайте

1. Геометрично представяне на комплексни числа.

2. Тригонометричен запис на комплексни числа.

3. Действия върху комплексни числа в тригонометрична форма.

Геометрично представяне на комплексни числа.

а) Комплексните числа се представят чрез точки на равнина съгласно следното правило: а + би = М ( а ; b ) (фиг. 1).

Фигура 1

б) Комплексно число може да бъде представено чрез вектор, който започва в точкатаЗА и край в дадена точка (фиг. 2).

Фигура 2

Пример 7. Конструирайте точки, представляващи комплексни числа:1; - аз ; - 1 + аз ; 2 – 3 аз (фиг. 3).

Фигура 3

Тригонометричен запис на комплексни числа.

Комплексно числоz = а + би може да се посочи с помощта на радиус вектор с координати( а ; b ) (фиг. 4).

Фигура 4

Определение . Дължина на вектора , представляващо комплексно числоz , се нарича модул на това число и се обозначава илиr .

За всяко комплексно числоz неговия модулr = | z | се определя еднозначно по формулата .

Определение . Големината на ъгъла между положителната посока на реалната ос и вектора , представляващо комплексно число, се нарича аргумент на това комплексно число и се обозначаваА rg z илиφ .

Аргумент на комплексното числоz = 0 не е дефиниран. Аргумент на комплексното числоz≠ 0 – многозначна величина и се определя с точност до член2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Арг z = арг z + 2πk , Къдеарг z – основната стойност на аргумента, съдържащ се в интервала(-π; π] , т.е-π < арг z ≤ π (понякога стойност, принадлежаща на интервала, се приема като основна стойност на аргумента .

Тази формула, когатоr =1 често наричана формула на Моавър:

(cos φ + i sin φ) п = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Пример 11: Изчислете(1 + аз ) 100 .

Нека напишем комплексно число1 + аз в тригонометрична форма.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (тъй като + грях )] 100 = ( ) 100 (тъй като 100 + грях ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Екстракция корен квадратенот комплексно число.

При извличане на корен квадратен от комплексно числоа + би имаме два случая:

Акоb >o , Това ;

КОМПЛЕКСНИ ЧИСЛА XI

§ 256. Тригонометрична форма на комплексни числа

Нека комплексно число a + bi съответства вектор О.А.> с координати ( а, б ) (виж Фиг. 332).

Нека означим дължината на този вектор с r , и ъгъла, който сключва с оста X , чрез φ . По дефиниция на синус и косинус:

а / r =cos φ , b / r = грях φ .

Ето защо А = r cos φ , b = r грях φ . Но в този случай комплексното число a + bi може да се запише като:

a + bi = r cos φ + ir грях φ = r (тъй като φ + аз грях φ ).

Както знаете, квадратът на дължината на всеки вектор е равен на сумата от квадратите на неговите координати. Ето защо r 2 = а 2 + b 2, от къде r = √a 2 + b 2

така че всяко комплексно число a + bi могат да бъдат представени във формата :

a + bi = r (тъй като φ + аз грях φ ), (1)

където r = √a 2 + b 2 и ъгъла φ се определя от условието:

Тази форма на записване на комплексни числа се нарича тригонометричен.

Номер r във формула (1) се нарича модул, и ъгълът φ - аргумент, комплексно число a + bi .

Ако комплексно число a + bi не е равно на нула, тогава модулът му е положителен; ако a + bi = 0, тогава a = b = 0 и след това r = 0.

Модулът на всяко комплексно число е еднозначно определен.

Ако комплексно число a + bi не е равно на нула, тогава неговият аргумент се определя от формули (2) определенос точност до ъгъл, разделен на 2 π . Ако a + bi = 0, тогава a = b = 0. В този случай r = 0. От формула (1) е лесно да се разбере, че като аргумент φ в този случай можете да изберете всеки ъгъл: в крайна сметка за всеки φ

0 (cos φ + аз грях φ ) = 0.

Следователно нулевият аргумент е недефиниран.

Модул на комплексно число r понякога се обозначава | z |, а аргументът е arg z . Нека да разгледаме няколко примера за представяне на комплексни числа в тригонометрична форма.

Пример. 1. 1 + аз .

Да намерим модула r и аргумент φ този номер.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Следователно грях φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, откъдето φ = π / 4 + 2пπ .

по този начин

1 + аз = √ 2 ,

Къде п - произволно цяло число. Обикновено от безкрайния набор от стойности на аргумента на комплексно число се избира една, която е между 0 и 2 π . В този случай тази стойност е π / 4. Ето защо

1 + аз = √ 2 (cos π / 4 + аз грях π / 4)

Пример 2.Запишете комплексно число в тригонометрична форма √ 3 - аз . Ние имаме:

r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3 / 2, грях φ = - 1 / 2

Следователно до ъгъл, разделен на 2 π , φ = 11 / 6 π ; следователно,

√ 3 - аз = 2(cos 11 / 6 π + аз грях 11/6 π ).

Пример 3Запишете комплексно число в тригонометрична форма аз

Комплексно число аз съответства вектор О.А.> , завършваща в точка А на оста при с ордината 1 (фиг. 333). Дължината на такъв вектор е 1, а ъгълът, който сключва с оста x, е равен на π / 2. Ето защо

аз =cos π / 2 + аз грях π / 2 .

Пример 4.Запишете комплексното число 3 в тригонометрична форма.

Комплексното число 3 съответства на вектора О.А. > X абсциса 3 (фиг. 334).

Дължината на такъв вектор е 3, а ъгълът, който сключва с оста x, е 0. Следователно

3 = 3 (cos 0 + аз грях 0),

Пример 5.Запишете комплексното число -5 в тригонометрична форма.

Комплексното число -5 съответства на вектор О.А.> завършваща в точка на ос X с абциса -5 (фиг. 335). Дължината на такъв вектор е 5, а ъгълът, който образува с оста x, е равен на π . Ето защо

5 = 5(cos π + аз грях π ).

Упражнения

2047. Запишете тези комплексни числа в тригонометрична форма, като дефинирате техните модули и аргументи:

1) 2 + 2√3 аз , 4) 12аз - 5; 7).3аз ;

2) √3 + аз ; 5) 25; 8) -2аз ;

3) 6 - 6аз ; 6) - 4; 9) 3аз - 4.

2048. Посочете на равнината набор от точки, представляващи комплексни числа, чиито модули r и аргументи φ отговарят на условията:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Могат ли числата едновременно да бъдат модули на комплексно число? r и - r ?

2050. Може ли аргументът на комплексно число да бъде едновременно ъгли? φ и - φ ?

Представете тези комплексни числа в тригонометрична форма, като дефинирате техните модули и аргументи:

2051*. 1 + cos α + аз грях α . 2054*. 2(cos 20° - аз грях 20°).

2052*. грях φ + аз cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - аз грях 15°).

2.3. Тригонометрична форма на комплексни числа

Нека векторът е зададен на комплексната равнина с числото .

Нека означим с φ ъгъла между положителната полуос Ox и вектора (ъгълът φ се счита за положителен, ако се измерва обратно на часовниковата стрелка, и отрицателен в противен случай).

Нека означим дължината на вектора с r. Тогава. Ние също обозначаваме

Записване на ненулево комплексно число z във формата

се нарича тригонометрична форма на комплексното число z. Числото r се нарича модул на комплексното число z, а числото φ се нарича аргумент на това комплексно число и се означава с Arg z.

Тригонометрична форма на запис на комплексно число - (формула на Ойлер) - експоненциална форма на запис на комплексно число:

Комплексното число z има безкрайно много аргументи: ако φ0 е произволен аргумент на числото z, тогава всички останали могат да бъдат намерени по формулата

За комплексно число аргументът и тригонометричната форма не са дефинирани.

По този начин аргументът на ненулево комплексно число е всяко решение на системата от уравнения:

(3)

Стойността φ на аргумента на комплексно число z, удовлетворяващ неравенствата, се нарича главна стойност и се означава с arg z.

Аргументите Arg z и arg z са свързани с

, (4)

Формула (5) е следствие от система (3), следователно всички аргументи на комплексно число удовлетворяват равенство (5), но не всички решения φ на уравнение (5) са аргументи на числото z.

Основната стойност на аргумента на ненулево комплексно число се намира по формулите:

Формулите за умножение и деление на комплексни числа в тригонометрична форма са както следва:

. (7)

При повдигане на комплексно число на естествена степен се използва формулата на Moivre:

При извличане на корена на комплексно число се използва формулата:

, (9)

където k=0, 1, 2, …, n-1.

Задача 54. Пресметнете къде .

Нека представим решението на този израз в експоненциална форма на запис на комплексно число: .

Ако, тогава.

тогава, . Следователно, тогава И , Къде .

отговор: , при .

Задача 55. Запишете комплексните числа в тригонометрична форма:

А) ; б) ; V) ; G) ; г) ; д) ; и) .

Тъй като тригонометричната форма на комплексно число е , тогава:

а) В комплексно число: .

,

Ето защо

б) , къде ,

G) , къде ,

д) .

и) , А , това .

Ето защо

отговор: ; 4; ; ; ; ; .

Задача 56. Намерете тригонометричната форма на комплексно число

.

Нека .

тогава, , .

Тъй като и , , след това и

Следователно, , следователно

отговор: , Къде .

Задача 57. Използвайки тригонометричната форма на комплексно число, изпълнете следните действия: .

Нека си представим числата и в тригонометрична форма.

1), където Тогава

Намерете стойността на главния аргумент:

Нека заместим стойностите и в израза, получаваме

2) , къде тогава

Тогава

3) Нека намерим частното

Ако приемем k=0, 1, 2, получаваме три различни стойности на желания корен:

Ако , тогава

ако , тогава

ако , тогава .

Отговор: :

:

: .

Задача 58. Нека , , , са различни комплексни числа и . Докажи това

а) число е реално положително число;

б) важи равенството:

а) Нека представим тези комплексни числа в тригонометрична форма:

защото .

Да приемем, че. Тогава


.

Последният израз е положително число, тъй като синусите съдържат числа от интервала.

тъй като броят истински и положителен. Наистина, ако a и b са комплексни числа и са реални и по-големи от нула, тогава .

освен това

следователно търсеното равенство е доказано.

Задача 59. Запишете числото в алгебрична форма .

Нека представим числото в тригонометрична форма и след това да намерим алгебричната му форма. Имаме . За получаваме системата:

Това предполага равенството: .

Прилагайки формулата на Moivre: ,

получаваме

Намерена е тригонометричната форма на даденото число.

Нека сега запишем това число в алгебрична форма:

.

отговор: .

Задача 60. Намерете сбора , ,

Нека помислим за сумата

Прилагайки формулата на Moivre, намираме

Тази сума е сумата от n члена на геометрична прогресия със знаменателя и първият член .

Прилагайки формулата за сумата от членовете на такава прогресия, имаме

Изолирайки въображаемата част в последния израз, намираме

Изолирайки реалната част, получаваме и следната формула: , , .

Задача 61. Намерете сумата:

а) ; б) .

Според формулата на Нютон за степенуване имаме

Използвайки формулата на Moivre намираме:

Приравнявайки реалните и въображаемите части на получените изрази за , имаме:

И .

Тези формули могат да бъдат записани в компактна форма, както следва:

,

, където е цялата част от числото a.

Задача 62. Намерете всички , за които .

защото , след това, използвайки формулата

, За да извлечем корените, получаваме ,

следователно , ,

, .

Точките, съответстващи на числата, са разположени във върховете на квадрат, вписан в окръжност с радиус 2 с център в точката (0;0) (фиг. 30).

отговор: , ,

, .

Задача 63. Решете уравнението , .

По условие; следователно това уравнение няма корен и следователно е еквивалентно на уравнението.

За да може числото z да бъде корен на това уравнение, числото трябва да бъде корен n-та от числото 1.

От тук заключаваме, че първоначалното уравнение има корени, определени от равенствата

,

по този начин

,

т.е. ,

отговор: .

Задача 64. Решете уравнението в множеството от комплексни числа.

Тъй като числото не е коренът на това уравнение, тогава за това уравнение е еквивалентно на уравнението

Тоест уравнението.

Всички корени на това уравнение се получават от формулата (виж задача 62):

; ; ; ; .

Задача 65. Начертайте върху комплексната равнина набор от точки, които удовлетворяват неравенствата: . (2-ри начин за решаване на задача 45)

Нека .

Комплексните числа с еднакви модули съответстват на точки в равнината, разположени върху окръжност с център в началото, следователно неравенството отговарят на всички точки на отворен пръстен, ограничен от окръжности с общ център в началото и радиуси и (фиг. 31). Нека някаква точка от комплексната равнина съответства на числото w0. Номер , има модул няколко пъти по-малък от модула w0 и аргумент, по-голям от аргумента w0. От геометрична гледна точка точката, съответстваща на w1, може да бъде получена с помощта на хомотетия с център в началото и коефициент, както и завъртане спрямо началото на ъгъл обратно на часовниковата стрелка. В резултат на прилагането на тези две трансформации към точките на пръстена (фиг. 31), последният ще се трансформира в пръстен, ограничен от окръжности с еднакъв център и радиуси 1 и 2 (фиг. 32).

Преобразуване реализиран с помощта на паралелен трансфер към вектор. Прехвърляйки пръстена с център в точката към посочения вектор, получаваме пръстен със същия размер с център в точката (фиг. 22).

Предложеният метод, който използва идеята за геометрични трансформации на равнина, вероятно е по-малко удобен за описание, но е много елегантен и ефективен.

Задача 66. Намерете ако .

Нека , тогава и . Първоначалното равенство ще приеме формата . От условието за равенство на две комплексни числа получаваме , , от което , . По този начин,.

Нека запишем числото z в тригонометрична форма:

, Къде , . Според формулата на Moivre намираме .

Отговор: – 64.

Задача 67. За комплексно число намерете всички комплексни числа, така че , и .

Нека представим числото в тригонометрична форма:

. От тук,. За числото, което получаваме, може да бъде равно на или.

В първия случай , във втория

.

Отговор: , .

Задача 68. Намерете сбора на такива числа, че . Моля, посочете един от тези номера.

Обърнете внимание, че от самата формулировка на задачата може да се разбере, че сумата от корените на уравнението може да се намери без да се изчисляват самите корени. Всъщност сборът от корените на уравнението е коефициентът за , взет с обратен знак (обобщена теорема на Виета), т.е.

Ученици, училищна документация, правят изводи за степента на овладяване на това понятие. Обобщете изучаването на характеристиките на математическото мислене и процеса на формиране на концепцията за комплексно число. Описание на методите. Диагностика: I етап. Разговорът се проведе с учителка по математика, която преподава алгебра и геометрия в 10 клас. Разговорът се проведе след известно време от началото...

Резонанс" (!)), което включва и оценка на собственото поведение. 4. Критична оценка на разбирането на ситуацията (съмнения). 5. И накрая, използването на препоръки от правната психология (адвокатът взема предвид психологическата аспекти на извършените професионални действия - професионална психологическа подготвеност).



Математика на тригонометричното заместване и проверка на ефективността на разработената методика на обучение. Етапи на работа: 1. Разработване на факултативен курс на тема: „Приложение на тригонометрична субституция за решаване на алгебрични задачи” с ученици в паралелки с напреднал математика. 2. Провеждане на разработената избираема дисциплина. 3. Извършване на диагностичен тест...

Познавателните задачи са предназначени само да допълват съществуващите учебни помагала и трябва да бъдат в подходяща комбинация с всички традиционни средства и елементи на образователния процес. Разликата между образователните задачи в обучението по хуманитарни науки и точните, от математическите задачи, е само, че в историческите задачи няма формули, строги алгоритми и т.н., което усложнява тяхното решаване. ...