Коренни формули. Свойства на квадратния корен.

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

В предишния урок разбрахме какво е квадратен корен. Време е да разберем кои съществуват формули за кореникакви са свойства на корените, и какво може да се направи с всичко това.

Формули на корените, свойства на корените и правила за работа с корени- това е по същество едно и също нещо. Формули за квадратни корениизненадващо малко. Което определено ме радва! Или по-скоро можете да напишете много различни формули, но за практична и уверена работа с корени са достатъчни само три. Всичко останало произтича от тези трите. Въпреки че много хора се объркват в трите коренни формули, да...

Да започнем с най-простия. Ето го:

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Поздравления: днес ще разгледаме корените - една от най-умопомрачителните теми в 8 клас. :)

Много хора се объркват относно корените, не защото са сложни (какво му е толкова сложното - няколко дефиниции и още няколко свойства), а защото в повечето училищни учебници корените се дефинират през такава джунгла, че само авторите на учебниците сами могат да разберат това писане. И то само с бутилка хубаво уиски.

Затова сега ще дам най-правилното и най-компетентно определение за корен - единственото, което наистина трябва да запомните. И тогава ще обясня: защо е необходимо всичко това и как да го приложим на практика.

Но първо си спомнете едно важен момент, за които много съставители на учебници по някаква причина „забравят“:

Корените могат да бъдат с четна степен (нашият любим $\sqrt(a)$, както и всички видове $\sqrt(a)$ и четни $\sqrt(a)$) и нечетна степен (всички видове $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ и т.н.). И дефиницията на корен от нечетна степен е малко по-различна от четната.

Вероятно 95% от всички грешки и недоразумения, свързани с корените, са скрити в това шибано „донякъде различно“. Така че нека изясним терминологията веднъж завинаги:

Определение. Дори корен пот числото $a$ е всяко неотрицателничислото $b$ е такова, че $((b)^(n))=a$. А нечетният корен на същото число $a$ обикновено е всяко число $b$, за което важи същото равенство: $((b)^(n))=a$.

Във всеки случай коренът се обозначава така:

\(a)\]

Числото $n$ в такава нотация се нарича степен на корен, а числото $a$ се нарича радикален израз. По-специално, за $n=2$ получаваме нашия „любим” квадратен корен (между другото, това е корен от четна степен), а за $n=3$ получаваме кубичен корен (нечетна степен), което е също често се среща в задачи и уравнения.

Примери. Класически примери за квадратни корени:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \край (подравняване)\]

Между другото, $\sqrt(0)=0$ и $\sqrt(1)=1$. Това е съвсем логично, тъй като $((0)^(2))=0$ и $((1)^(2))=1$.

Кубичните корени също са често срещани - няма нужда да се страхувате от тях:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \край (подравняване)\]

Е, няколко „екзотични примера“:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \край (подравняване)\]

Ако не разбирате каква е разликата между четна и нечетна степен, прочетете отново определението. Това е много важно!

Междувременно ще разгледаме една неприятна особеност на корените, поради която трябваше да въведем отделна дефиниция за четни и нечетни показатели.

Защо изобщо са необходими корени?

След като прочетат определението, много ученици ще попитат: „Какво са пушили математиците, когато са измислили това?“ И наистина: защо изобщо са необходими всички тези корени?

За да отговорим на този въпрос, нека се върнем за момент начални класове. Помнете: в онези далечни времена, когато дърветата бяха по-зелени и кнедлите по-вкусни, основната ни грижа беше да умножим числата правилно. Е, нещо като „пет по пет - двадесет и пет“, това е всичко. Но можете да умножавате числа не по двойки, а по тройки, четворки и като цяло цели набори:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Не това обаче е важното. Номерът е друг: математиците са мързеливи хора, така че им е било трудно да запишат умножението на десет петици по този начин:

Затова са измислили дипломи. Защо не напишете броя на факторите като горен индекс вместо дълъг низ? Нещо като това:

Много е удобно! Всички изчисления са значително намалени и не е нужно да губите куп листове пергамент и тетрадки, за да запишете около 5183. Този запис беше наречен степен на числото, в него бяха открити куп свойства, но щастието се оказа краткотрайно.

След грандиозно пиянство, организирано само за „откриването“ на градусите, някакъв особено упорит математик изведнъж попита: „Ами ако знаем степента на едно число, но самото число е неизвестно?“ Сега, наистина, ако знаем, че определено число $b$, да речем, на 5-та степен дава 243, тогава как можем да познаем на какво е равно самото число $b$?

Този проблем се оказа много по-глобален, отколкото може да изглежда на пръв поглед. Защото се оказа, че за повечето „готови“ мощности няма такива „първоначални“ числа. Преценете сами:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Стрелка надясно b=4\cdot 4\cdot 4\Стрелка надясно b=4. \\ \край (подравняване)\]

Ами ако $((b)^(3))=50$? Оказва се, че трябва да намерим определено число, което, умножено по себе си три пъти, ще ни даде 50. Но какво е това число? Очевидно е по-голямо от 3, тъй като 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Това е това число е някъде между три и четири, но няма да разберете на какво е равно.

Точно затова математиците излязоха с $n$-ти корени. Точно затова беше въведен радикалният символ $\sqrt(*)$. Да обозначим самото число $b$, което в посочената степен ще ни даде предварително известна стойност

\[\sqrt[n](a)=b\Дясна стрелка ((b)^(n))=a\]

Не споря: често тези корени се изчисляват лесно - видяхме няколко такива примера по-горе. Но все пак в повечето случаи, ако желаете произволно число, и след това се опитайте да извлечете корена на произволна степен от него, ще бъдете в ужасна беда.

Какво има! Дори най-простият и познат $\sqrt(2)$ не може да бъде представен в нашата обичайна форма - като цяло число или дроб. И ако въведете това число в калкулатора, ще видите това:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Както можете да видите, след десетичната запетая има безкрайна последователност от числа, които не се подчиняват на никаква логика. Можете, разбира се, да закръглите това число, за да го сравните бързо с други числа. Например:

\[\sqrt(2)=1,4142...\приблизително 1,4 \lt 1,5\]

Или ето друг пример:

\[\sqrt(3)=1,73205...\приблизително 1,7 \gt 1,5\]

Но всички тези закръгляния, първо, са доста груби; и второ, вие също трябва да можете да работите с приблизителни стойности, в противен случай можете да хванете куп неочевидни грешки (между другото, умението за сравняване и закръгляване в задължителнопроверени в профила Единен държавен изпит).

Следователно в сериозната математика не можете да правите без корени - те са едни и същи равни представители на множеството от всички реални числа $\mathbb(R)$, точно като дробите и целите числа, които отдавна са ни познати.

Невъзможността да се представи корен като дроб от формата $\frac(p)(q)$ означава, че този корен не е рационално число. Такива числа се наричат ​​ирационални и не могат да бъдат точно представени, освен с помощта на радикал или други конструкции, специално предназначени за това (логаритми, степени, граници и т.н.). Но за това друг път.

Нека разгледаме няколко примера, при които след всички изчисления в отговора все още ще останат ирационални числа.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\приблизително 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\приблизително -1,2599... \\ \end(align)\]

Естествено, според външен вид root е почти невъзможно да се познае кои числа ще дойдат след десетичната запетая. Въпреки това можете да разчитате на калкулатор, но дори и най-модерният калкулатор за дата ни дава само първите няколко цифри от ирационално число. Затова е много по-правилно да напишете отговорите във формата $\sqrt(5)$ и $\sqrt(-2)$.

Точно за това са измислени. За удобно записване на отговорите.

Защо са необходими две определения?

Внимателният читател вероятно вече е забелязал, че всички квадратни корени, дадени в примерите, са взети от положителни числа. Е, в в краен случайот нулата. Но кубични корени могат спокойно да бъдат извлечени от абсолютно всяко число - било то положително или отрицателно.

защо се случва това Погледнете графиката на функцията $y=((x)^(2))$:

График квадратична функциядава два корена: положителен и отрицателен

Нека се опитаме да изчислим $\sqrt(4)$ с помощта на тази графика. За да направите това, върху графиката се начертава хоризонтална линия $y=4$ (маркирана в червено), която се пресича с параболата в две точки: $((x)_(1))=2$ и $((x )_(2)) =-2$. Това е съвсем логично, тъй като

С първото число всичко е ясно - то е положително, значи е коренът:

Но тогава какво да правим с втората точка? Както четири има два корена едновременно? В края на краищата, ако повдигнем на квадрат числото −2, също получаваме 4. Защо тогава не напишем $\sqrt(4)=-2$? И защо учителите гледат такива постове, сякаш искат да те изядат? :)

Проблемът е, че ако не наложите никакви допълнителни условия, тогава квадратът ще има два квадратни корена - положителен и отрицателен. И всяко положително число също ще има две от тях. Но отрицателните числа изобщо няма да имат корени - това може да се види от същата графика, тъй като параболата никога не пада под оста г, т.е. не приема отрицателни стойности.

Подобен проблем възниква за всички корени с четен показател:

  1. Строго погледнато, всяко положително число ще има два корена с четен показател $n$;
  2. От отрицателни числа коренът с четни $n$ изобщо не се извлича.

Ето защо в дефиницията на корен от четна степен $n$ изрично е посочено, че отговорът трябва да бъде неотрицателно число. Така се освобождаваме от двусмислието.

Но за нечетни $n$ няма такъв проблем. За да видите това, нека погледнем графиката на функцията $y=((x)^(3))$:

Кубична парабола може да приеме всякаква стойност, така че кубичен коренизвлечени от произволно число

От тази графика могат да се направят два извода:

  1. Клоните на кубична парабола, за разлика от обикновената, отиват до безкрайност в двете посоки - и нагоре, и надолу. Следователно, без значение на каква височина нарисуваме хоризонтална линия, тази линия определено ще се пресича с нашата графика. Следователно, кубичният корен винаги може да бъде взет от абсолютно всяко число;
  2. В допълнение, такова пресичане винаги ще бъде уникално, така че не е нужно да мислите кое число се счита за „правилен“ корен и кое да игнорирате. Ето защо определянето на корени за нечетна степен е по-лесно, отколкото за четна степен (няма изискване за неотрицателност).

Жалко, че тези елементарни неща не се обясняват в повечето учебници. Вместо това мозъците ни започват да се извисяват с всякакви аритметични корени и техните свойства.

Да, не споря: вие също трябва да знаете какво е аритметичен корен. И ще говоря за това подробно в отделен урок. Днес ще говорим и за него, защото без него всички мисли за корени от $n$-та кратност биха били непълни.

Но първо трябва ясно да разберете определението, което дадох по-горе. В противен случай, поради изобилието от термини, в главата ви ще започне такава каша, че в крайна сметка няма да разберете нищо.

Всичко, което трябва да направите, е да разберете разликата между четни и нечетни индикатори. Затова нека отново да съберем всичко, което наистина трябва да знаете за корените:

  1. Корен от четна степен съществува само от неотрицателно число и сам по себе си винаги е неотрицателно число. За отрицателни числа такъв корен е недефиниран.
  2. Но коренът на нечетна степен съществува от всяко число и сам по себе си може да бъде всяко число: за положителни числа той е положителен, а за отрицателни числа, както подсказва капачката, е отрицателен.

трудно ли е Не, не е трудно. ясно ли е Да, напълно е очевидно! Така че сега ще се упражняваме малко с изчисленията.

Основни свойства и ограничения

Корените имат много странни свойства и ограничения - това ще бъде обсъдено в отделен урок. Затова сега ще разгледаме само най-важния „трик“, който се прилага само за корени с четен индекс. Нека запишем това свойство като формула:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\надясно|\]

С други думи, ако повдигнем число на четна степен и след това вземем корен от същата степен от него, няма да получим първоначалното число, а неговия модул. Това е проста теорема, която може лесно да се докаже (достатъчно е да разгледаме отделно неотрицателните $x$ и след това отделно отрицателните). Учителите постоянно говорят за това, това се учи във всеки училищен учебник. Но щом се стигне до решаване на ирационални уравнения (т.е. уравнения, съдържащи радикален знак), учениците единодушно забравят тази формула.

За да разберем проблема в детайли, нека забравим всички формули за минута и се опитаме да изчислим две числа направо напред:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Това е много прости примери. Повечето хора ще решат първия пример, но много хора се забиват на втория. За да разрешите подобни глупости без проблеми, винаги обмисляйте процедурата:

  1. Първо, числото се повишава на четвърта степен. Е, някак си е лесно. Ще получите ново число, което може да се намери дори в таблицата за умножение;
  2. И сега от това ново число е необходимо да извлечем четвъртия корен. Тези. не се случва „намаляване“ на корени и правомощия - това са последователни действия.

Нека да разгледаме първия израз: $\sqrt(((3)^(4)))$. Очевидно първо трябва да изчислите израза под корена:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

След това извличаме четвъртия корен от числото 81:

Сега нека направим същото с втория израз. Първо, повдигаме числото −3 на четвърта степен, което изисква умножаването му по себе си 4 пъти:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ ляво(-3 \дясно)=81\]

Получихме положително число, защото общо количествоВ работата има 4 минуса и всички те ще се компенсират взаимно (в края на краищата минус за минус дава плюс). След това отново извличаме корена:

По принцип този ред не би могъл да бъде написан, тъй като няма смисъл отговорът да е същият. Тези. четен корен със същата четна мощност „изгаря“ минусите и в този смисъл резултатът е неразличим от обикновения модул:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \край (подравняване)\]

Тези изчисления са в добро съгласие с дефиницията на корен от четна степен: резултатът винаги е неотрицателен и радикалният знак също винаги съдържа неотрицателно число. В противен случай коренът е недефиниран.

Забележка относно процедурата

  1. Нотацията $\sqrt(((a)^(2)))$ означава, че първо възвеждаме на квадрат числото $a$ и след това вземаме корен квадратен от получената стойност. Следователно можем да сме сигурни, че винаги има неотрицателно число под знака за корен, тъй като $((a)^(2))\ge 0$ във всеки случай;
  2. Но нотацията $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, напротив, означава, че първо вземаме корен от определено число $a$ и едва след това повдигаме резултата на квадрат. Следователно числото $a$ в никакъв случай не може да бъде отрицателно - това е задължително изискване, включено в дефиницията.

По този начин в никакъв случай не трябва безразсъдно да намалявате корени и степени, като по този начин уж „опростявате“ оригиналния израз. Защото, ако коренът има отрицателно число и неговият показател е четен, получаваме куп проблеми.

Всички тези проблеми обаче са от значение само за четни индикатори.

Премахване на знака минус под знака за корен

Естествено, корените с нечетни показатели също имат своя особеност, която по принцип не съществува при четните. а именно:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Накратко, можете да премахнете минуса под знака на корени от нечетни степени. Това е много полезно свойство, което ви позволява да „изхвърлите“ всички негативи:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \край (подравняване)\]

Това просто свойство значително опростява много изчисления. Сега не е нужно да се притеснявате: какво ще стане, ако под корена е скрит отрицателен израз, но степента в корена се оказа четна? Достатъчно е просто да „изхвърлите“ всички минуси извън корените, след което те могат да бъдат умножени помежду си, разделени и изобщо да направят много подозрителни неща, които в случай на „класически“ корени гарантирано ще ни доведат до грешка.

И тук на сцената излиза друго определение – същото, с което в повечето училища започват изучаването на ирационални изрази. И без които нашите дискусии биха били непълни. Запознайте се!

Аритметичен корен

Нека приемем за момент, че под знака за корен може да има само положителни числа или в краен случай нула. Да забравим за показателите четно/нечетно, да забравим за всички определения по-горе – ще работим само с неотрицателни числа. Какво тогава?

И тогава ще получим аритметичен корен - той частично се припокрива с нашите „стандартни“ дефиниции, но все пак се различава от тях.

Определение. Аритметичен корен от $n$-та степен на неотрицателно число $a$ е неотрицателно число $b$, така че $((b)^(n))=a$.

Както виждаме, паритетът вече не ни интересува. Вместо това се появи ново ограничение: радикалният израз вече винаги е неотрицателен, а самият корен също е неотрицателен.

За да разберете по-добре как аритметичният корен се различава от обичайния, разгледайте вече познатите ни графики на квадратната и кубичната парабола:

Област за търсене на аритметичен корен - неотрицателни числа

Както можете да видите, отсега нататък се интересуваме само от онези части от графиките, които се намират в първата координатна четвърт - където координатите $x$ и $y$ са положителни (или поне нула). Вече не е необходимо да гледате индикатора, за да разберете дали имаме право да поставим отрицателно число под корена или не. Защото отрицателните числа вече не се разглеждат по принцип.

Може да попитате: „Е, защо имаме нужда от такова кастрирано определение?“ Или: „Защо не можем да се справим със стандартната дефиниция, дадена по-горе?“

Е, ще дам само едно свойство, поради което новата дефиниция става подходяща. Например правилото за степенуване:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Моля, обърнете внимание: можем да повдигнем радикалния израз на произволна степен и в същото време да умножим коренния показател по същата степен - и резултатът ще бъде същото число! Ето примери:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

И така, каква е голямата работа? Защо не можахме да направим това преди? Ето защо. Нека разгледаме един прост израз: $\sqrt(-2)$ - това число е съвсем нормално в нашето класическо разбиране, но е абсолютно неприемливо от гледна точка на аритметичния корен. Нека се опитаме да го конвертираме:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Както можете да видите, в първия случай премахнахме минуса под радикала (имаме пълното право, тъй като показателят е нечетен), а във втория случай използвахме горната формула. Тези. От математическа гледна точка всичко е направено по правилата.

WTF?! Как може едно и също число да бъде едновременно положително и отрицателно? Няма начин. Просто формулата за степенуване, която работи чудесно за положителни числа и нула, започва да произвежда пълна ерес в случай на отрицателни числа.

Именно за да се отървем от такава неяснота, бяха изобретени аритметичните корени. На тях е посветена отделна страхотен урок, където подробно разглеждаме всички техни свойства. Така че няма да се спираме на тях сега - урокът вече се оказа твърде дълъг.

Алгебричен корен: за тези, които искат да знаят повече

Дълго мислих дали да сложа тази тема в отделен параграф или не. В крайна сметка реших да го оставя тук. Този материал е предназначен за тези, които искат да разберат още по-добре корените - вече не на средното „училищно“ ниво, а на ниво, близко до нивото на олимпиадата.

И така: в допълнение към „класическата“ дефиниция на $n$-тия корен на числото и свързаното с нея деление на четни и нечетни показатели, има по-„възрастна“ дефиниция, която изобщо не зависи от паритета и други тънкости. Това се нарича алгебричен корен.

Определение. Алгебричният $n$-ти корен на всяко $a$ е множеството от всички числа $b$, така че $((b)^(n))=a$. Няма установено обозначение за такива корени, така че просто ще поставим тире отгоре:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Основната разлика от стандартната дефиниция, дадена в началото на урока, е, че алгебричният корен не е конкретно число, а набор. И тъй като работим с реални числа, този набор се предлага само в три вида:

  1. Празен комплект. Възниква, когато трябва да намерите алгебричен корен от четна степен от отрицателно число;
  2. Комплект, състоящ се от един единствен елемент. Всички корени на нечетни степени, както и корени на четни степени на нула, попадат в тази категория;
  3. И накрая, наборът може да включва две числа - същите $((x)_(1))$ и $((x)_(2))=-((x)_(1))$, които видяхме на графика на квадратична функция. Съответно, такова подреждане е възможно само при извличане на корена на четна степен от положително число.

Последният случай заслужава по-подробно разглеждане. Нека преброим няколко примера, за да разберем разликата.

Пример. Оценете изразите:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Решение. С първия израз всичко е просто:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Това са две числа, които са част от комплекта. Защото всеки от тях на квадрат дава четворка.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Тук виждаме набор, състоящ се само от едно число. Това е съвсем логично, тъй като коренният показател е нечетен.

И накрая, последният израз:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Получихме празен комплект. Защото няма нито едно реално число, което, когато бъде повдигнато на четвърта (т.е. четна!) степен, да ни даде отрицателното число −16.

Последна бележка. Обърнете внимание: неслучайно отбелязах навсякъде, че работим с реални числа. Защото има още комплексни числа— напълно възможно е да се изчисли $\sqrt(-16)$ и много други странни неща там.

Комплексните числа обаче почти никога не се появяват в съвременните училищни курсове по математика. Те са премахнати от повечето учебници, защото нашите служители смятат, че темата е „твърде трудна за разбиране“.

това е всичко В следващия урок ще разгледаме всички ключови свойства на корените и най-накрая ще научим как да опростяваме ирационални изрази :)


В тази статия ще разгледаме основните свойства на корените. Нека започнем със свойствата на аритметичния квадратен корен, да дадем техните формулировки и да дадем доказателства. След това ще разгледаме свойствата на аритметичния корен от n-та степен.

Навигация в страницата.

Свойства на квадратния корен

В този параграф ще разгледаме следните основни свойства на аритметичния квадратен корен:

Във всяко от написаните равенства лявата и дясната страна могат да бъдат разменени, например равенството може да бъде пренаписано като . В тази „обратна“ форма свойствата на аритметичния квадратен корен се прилагат, когато опростяване на изразисъщо толкова често, колкото и в „директната“ форма.

Доказателството на първите две свойства се основава на дефиницията на аритметичния квадратен корен и на . И за да обосновете последното свойство на аритметичния квадратен корен, ще трябва да запомните.

Така че нека започнем с доказателство за свойството аритметичен квадратен корен на произведението на две неотрицателни числа: . За да направите това, според дефиницията на аритметичен квадратен корен е достатъчно да се покаже, че е неотрицателно число, чийто квадрат е равен на a·b. Нека направим това. Стойността на израза е неотрицателна като произведение на неотрицателни числа. Свойството степен на произведението на две числа ни позволява да напишем равенството , и тъй като по дефиниция на аритметичния корен квадратен и , тогава .

По подобен начин е доказано, че аритметичният корен квадратен от произведението на k неотрицателни множители a 1 , a 2 , ..., a k е равен на произведението от аритметичния корен квадратен от тези множители. Наистина,. От това равенство следва, че .

Нека дадем примери: и.

Сега да докажем свойство на аритметичния корен квадратен от частното: . Свойство на частно в естествена степенни позволява да напишем равенството , А , и има неотрицателно число. Това е доказателството.

Например и .

Време е да го подредим свойство на аритметичния квадратен корен от квадрата на число, под формата на равенство се записва като . За да го докажете, разгледайте два случая: за a≥0 и за a<0 .

Очевидно за a≥0 равенството е вярно. Също така е лесно да се види, че за a<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 и (−a) 2 =a 2 . по този начин , което трябваше да се докаже.

Ето няколко примера: И .

Току-що доказаното свойство на квадратния корен ни позволява да оправдаем следния резултат, където a е всяко реално число, а m е всяко . Всъщност свойството да повдигаме степен на степен ни позволява да заменим степента a 2 m с израза (a m) 2, тогава .

например, И .

Свойства на корена n-та

Първо, нека изброим основните свойства на n-ти корени:

Всички написани равенства остават валидни, ако лявата и дясната им страна са разменени. Те също често се използват в тази форма, главно при опростяване и трансформиране на изрази.

Доказателството на всички обявени свойства на корена се основава на дефиницията на аритметичния корен от n-та степен, на свойствата на степента и на дефиницията на модула на число. Ще ги доказваме по приоритет.

    Да започнем с доказателството свойства на n-тия корен на продукт . За неотрицателни a и b стойността на израза също е неотрицателна, като произведението на неотрицателни числа. Свойството на произведение към естествената степен ни позволява да запишем равенството . По дефиниция на аритметичен корен от n-та степен и, следователно, . Това доказва свойството на разглеждания корен.

    Това свойство се доказва по подобен начин за произведението на k фактора: за неотрицателни числа a 1, a 2, …, a n, И .

    Ето примери за използване на свойството n-ти корен на продукт: И .

    Нека докажем свойство на корен от частно. Когато a≥0 и b>0 условието е изпълнено и .

    Да покажем примери: И .

    Да продължим. Нека докажем свойство на n-ти корен от число на n-та степен. Тоест, ние ще го докажем за всяко реално a и естествено m. За a≥0 имаме и , което доказва равенството , и равенството очевидно. Когато а<0 имеем и (последният преход е валиден поради свойството на степен с четен показател), което доказва равенството , и е вярно поради факта, че когато говорим за корен от нечетна степен, ние приехме за всяко неотрицателно число c.

    Ето примери за използване на анализираното коренно свойство: и .

    Пристъпваме към доказателството за свойството на корена на корена. Нека разменим дясната и лявата страна, тоест ще докажем валидността на равенството, което ще означава валидността на първоначалното равенство. За неотрицателно число a коренът на формата е неотрицателно число. Припомняйки си свойството за повишаване на степен на степен и използвайки определението за корен, можем да напишем верига от равенства от вида . Това доказва свойството на корена на разглеждания корен.

    По подобен начин се доказва свойството корен на корен на корен и т.н. наистина .

    например, И .

    Нека докажем следното свойство на свиване на коренния показател. За да направите това, по силата на определението за корен, е достатъчно да се покаже, че има неотрицателно число, което, когато е повдигнато на степен n·m, е равно на a m. Нека направим това. Ясно е, че ако числото a е неотрицателно, то коренът n-ти от числото a е неотрицателно число. В същото време , което завършва доказателството.

    Ето пример за използване на парсираното основно свойство: .

    Нека докажем следното свойство – свойството на корен от степен на формата . Очевидно, когато a≥0 степента е неотрицателно число. Освен това неговата n-та степен е равна на a m, наистина, . Това доказва свойството на разглежданата степен.

    например, .

    Да продължим. Нека докажем, че за всякакви положителни числа a и b, за които условието a е изпълнено , тоест a≥b. А това противоречи на условие а

    Като пример нека дадем правилното неравенство .

    Накрая остава да докажем последното свойство на корена n-ти. Нека първо докажем първата част от това свойство, тоест доказваме, че за m>n и 0 . След това, поради свойствата на степен с естествен показател, неравенството , тоест a n ≤a m . И полученото неравенство за m>n и 0

    По същия начин, от противно е доказано, че за m>n и a>1 условието е изпълнено.

    Нека дадем примери за приложението на доказаното свойство на корена в конкретни числа. Например неравенствата и са верни.

Референции.

  • Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8. клас. образователни институции.
  • Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10 - 11 клас на общообразователните институции.
  • Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за постъпващите в техникуми).

В тази статия ще представим понятие корен от число. Ще продължим последователно: ще започнем с квадратния корен, оттам ще преминем към описанието на кубичния корен, след което ще обобщим понятието корен, като дефинираме n-тия корен. В същото време ще въведем определения, обозначения, ще дадем примери за корени и ще дадем необходимите обяснения и коментари.

Корен квадратен, корен квадратен аритметичен

За да разберете дефиницията на корен от число и по-специално на корен квадратен, трябва да имате . В този момент често ще срещаме втората степен на числото - квадрата на числото.

Да започнем с дефиниции на корен квадратен.

Определение

Корен квадратен от aе число, чийто квадрат е равен на a.

Да водят примери за квадратни корени, вземем няколко числа, например 5, −0.3, 0.3, 0, и ги повдигнем на квадрат, получаваме съответно числата 25, 0.09, 0.09 и 0 (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 и 0 2 =0·0=0 ). Тогава, по дефиницията, дадена по-горе, числото 5 е корен квадратен от числото 25, числата −0,3 и 0,3 са корен квадратен от 0,09, а 0 е корен квадратен от нула.

Трябва да се отбележи, че не за всяко число a съществува a, чийто квадрат е равен на a. А именно, за всяко отрицателно число a няма реално число b, чийто квадрат да е равен на a. Всъщност равенството a=b 2 е невъзможно за всяко отрицателно a, тъй като b 2 е неотрицателно число за всяко b. по този начин няма квадратен корен от отрицателно число в множеството от реални числа. С други думи, в множеството от реални числа квадратният корен от отрицателно число не е дефиниран и няма значение.

Това води до логичен въпрос: „Има ли квадратен корен от a за всяко неотрицателно a“? Отговорът е да. Този факт може да бъде оправдан от конструктивния метод, използван за намиране на стойността на квадратния корен.

Тогава възниква следващият логичен въпрос: „Какъв е броят на всички квадратни корени от дадено неотрицателно число a - едно, две, три или дори повече“? Ето отговора: ако a е нула, тогава единственият квадратен корен от нула е нула; ако a е някакво положително число, тогава броят на квадратните корени на числото a е две, а корените са . Нека оправдаем това.

Нека започнем със случая a=0. Първо, нека покажем, че нулата наистина е корен квадратен от нула. Това следва от очевидното равенство 0 2 =0·0=0 и дефиницията на квадратния корен.

Сега нека докажем, че 0 е единственият квадратен корен от нула. Нека използваме обратния метод. Да предположим, че има някакво ненулево число b, което е квадратен корен от нула. Тогава условието b 2 =0 трябва да бъде изпълнено, което е невъзможно, тъй като за всяко ненулево b стойността на израза b 2 е положителна. Стигнахме до противоречие. Това доказва, че 0 е единственият квадратен корен от нула.

Нека да преминем към случаите, когато а е положително число. По-горе казахме, че винаги има квадратен корен от всяко неотрицателно число, нека квадратният корен от a е числото b. Да кажем, че има число c, което също е квадратен корен от a. Тогава по дефиницията на квадратен корен равенствата b 2 =a и c 2 =a са верни, от което следва, че b 2 −c 2 =a−a=0, но тъй като b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , тогава (b−c)·(b+c)=0 . Полученото равенство е валидно свойства на операциите с реални числавъзможно само когато b−c=0 или b+c=0 . Така числата b и c са равни или противоположни.

Ако приемем, че има число d, което е друг корен квадратен от числото a, тогава чрез разсъждения, подобни на вече дадените, се доказва, че d е равно на числото b или числото c. И така, броят на квадратните корени от положително число е две, а квадратните корени са противоположни числа.

За удобство при работа с квадратни корени, отрицателният корен е „отделен“ от положителния. За целта се въвежда дефиниция на аритметичен квадратен корен.

Определение

Аритметичен корен квадратен от неотрицателно число ае неотрицателно число, чийто квадрат е равен на a.

Нотацията за аритметичния корен квадратен от a е . Знакът се нарича знак за аритметичен квадратен корен. Нарича се още радикален знак. Следователно понякога можете да чуете и „корен“, и „радикал“, което означава един и същ обект.

Извиква се числото под знака за аритметичен квадратен корен радикално число, а изразът под знака за корен е радикален израз, докато терминът „радикално число“ често се заменя с „радикален израз“. Например в записа числото 151 е радикално число, а в записа изразът a е радикален израз.

При четене думата „аритметика“ често се пропуска, например записът се чете като „корен квадратен от седем точка двадесет и девет“. Думата „аритметика“ се използва само когато искат да подчертаят, че говорим конкретно за положителен корен квадратен от число.

В светлината на въведената нотация, от дефиницията на аритметичен квадратен корен следва, че за всяко неотрицателно число a .

Квадратни корени от положително число a се записват с помощта на аритметичния знак за квадратен корен като и . Например квадратният корен от 13 е и . Аритметичният корен квадратен от нула е нула, т.е. За отрицателни числа a няма да придаваме значение на нотацията, докато не изучим комплексни числа. Например изразите и са безсмислени.

Въз основа на дефиницията на квадратния корен се доказват свойствата на квадратния корен, които често се използват в практиката.

В заключение на този параграф отбелязваме, че квадратните корени на числото a са решения на формата x 2 =a по отношение на променливата x.

Кубичен корен от число

Определение за кубичен коренна числото a се дава подобно на дефиницията на корен квадратен. Само че се основава на концепцията за куб от число, а не за квадрат.

Определение

Кубичен корен от aе число, чийто куб е равен на a.

Да дадем примери за кубични корени. За да направите това, вземете няколко числа, например 7, 0, −2/3, и ги кубирайте: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Тогава, въз основа на определението за кубичен корен, можем да кажем, че числото 7 е кубичен корен от 343, 0 е кубичен корен от нула и −2/3 е кубичен корен от −8/27.

Може да се покаже, че кубичният корен на число, за разлика от квадратния корен, винаги съществува не само за неотрицателно a, но и за всяко реално число a. За да направите това, можете да използвате същия метод, който споменахме при изучаването на квадратни корени.

Освен това има само един кубичен корен от дадено число a. Нека докажем последното твърдение. За да направите това, разгледайте три случая поотделно: a е положително число, a=0 и a е отрицателно число.

Лесно е да се покаже, че ако a е положително, кубичният корен на a не може да бъде нито отрицателно число, нито нула. Наистина, нека b е кубичен корен от a, тогава по дефиниция можем да запишем равенството b 3 =a. Ясно е, че това равенство не може да бъде вярно за отрицателно b и за b=0, тъй като в тези случаи b 3 =b·b·b ще бъде съответно отрицателно число или нула. Така че кубичният корен на положително число a е положително число.

Сега да предположим, че в допълнение към числото b има друг кубичен корен от числото a, нека го обозначим с. Тогава c 3 =a. Следователно b 3 −c 3 =a−a=0, но b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(това е формулата за съкратено умножение разлика от кубчета), откъдето (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Полученото равенство е възможно само когато b−c=0 или b 2 +b·c+c 2 =0. От първото равенство имаме b=c, а второто равенство няма решения, тъй като лявата му страна е положително число за всякакви положителни числа b и c като сбор от три положителни члена b 2, b·c и c 2. Това доказва уникалността на кубичния корен на положително число a.

Когато a=0, кубичният корен на числото a е само числото нула. Наистина, ако приемем, че има число b, което е различен от нула кубичен корен от нула, тогава трябва да е в сила равенството b 3 =0, което е възможно само когато b=0.

За отрицателно a могат да бъдат дадени аргументи, подобни на случая за положително a. Първо, показваме, че кубичният корен на отрицателно число не може да бъде равен нито на положително число, нито на нула. Второ, приемаме, че има втори кубичен корен от отрицателно число и показваме, че той задължително ще съвпадне с първия.

И така, винаги има кубичен корен от всяко дадено реално число а и то уникален.

Да дадем дефиниция на аритметичен кубичен корен.

Определение

Аритметичен кубичен корен от неотрицателно число aе неотрицателно число, чийто куб е равен на a.

Аритметичният кубичен корен на неотрицателно число a се означава като , знакът се нарича знак на аритметичния кубичен корен, числото 3 в тази нотация се нарича коренов индекс. Числото под знака на корена е радикално число, изразът под знака за корен е радикален израз.

Въпреки че аритметичният кубичен корен е дефиниран само за неотрицателни числа a, също така е удобно да се използват обозначения, в които отрицателните числа се намират под знака за аритметичен кубичен корен. Ще ги разбираме по следния начин: , където a е положително число. например, .

Ще говорим за свойствата на кубичните корени в общата статия свойства на корените.

Изчисляването на стойността на кубичен корен се нарича извличане на кубичен корен; това действие се обсъжда в статията извличане на корени: методи, примери, решения.

За да завършим тази точка, нека кажем, че кубичният корен на числото a е решение на формата x 3 =a.

n-ти корен, аритметичен корен от степен n

Нека обобщим понятието корен от число - въвеждаме дефиниция на n-ти коренза n.

Определение

n-ти корен от aе число, чиято n-та степен е равна на a.

От тази дефиниция става ясно, че коренът от първа степен на числото a е самото число a, тъй като при изучаване на степента с естествен показател взехме a 1 =a.

По-горе разгледахме специални случаи на корен n-ти за n=2 и n=3 - корен квадратен и корен кубичен. Тоест квадратният корен е корен от втора степен, а кубичният корен е корен от трета степен. За да изучаваме корени от n-та степен за n=4, 5, 6, ..., е удобно да ги разделим на две групи: първата група - корени от четни степени (т.е. за n = 4, 6, 8 , ...), втората група - корени на нечетни степени (т.е. с n=5, 7, 9, ...). Това се дължи на факта, че корените на четните степени са подобни на квадратните корени, а корените на нечетните степени са подобни на кубичните корени. Нека се справим с тях един по един.

Да започнем с корените, чиято степен са четните числа 4, 6, 8, ... Както вече казахме, те са подобни на корен квадратен от числото a. Тоест, коренът на всяка четна степен на числото a съществува само за неотрицателно a. Освен това, ако a=0, тогава коренът на a е единствен и равен на нула, а ако a>0, тогава има два корена с четна степен на числото a и те са противоположни числа.

Нека обосновем последното твърдение. Нека b е четен корен (означаваме го като 2·m, където m е някакво естествено число) на числото a. Да предположим, че има число c - друг корен от степен 2·m от числото a. Тогава b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Но ние знаем формата b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), тогава (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. От това равенство следва, че b−c=0, или b+c=0, или b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Първите две равенства означават, че числата b и c са равни или b и c са противоположни. И последното равенство е валидно само за b=c=0, тъй като от лявата му страна има израз, който е неотрицателен за всякакви b и c като сбор от неотрицателни числа.

Що се отнася до корените от n-та степен за нечетно n, те са подобни на кубичния корен. Тоест, коренът на всяка нечетна степен на числото a съществува за всяко реално число a и за дадено число a той е уникален.

Уникалността на корен от нечетна степен 2·m+1 от числото a се доказва по аналогия с доказателството за уникалността на кубичния корен от a. Само че тук вместо равенство a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2)използва се равенство от вида b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Изразът в последната скоба може да бъде пренаписан като b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Например при m=2 имаме b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Когато и a и b са положителни или и двете отрицателни, техният продукт е положително число, тогава изразът b 2 +c 2 +b·c в най-високите вложени скоби е положителен като сбор от положителните числа. Сега, преминавайки последователно към изразите в скоби на предишните степени на вложеност, се убеждаваме, че те също са положителни като сбор от положителни числа. В резултат на това получаваме, че равенството b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0възможно само когато b−c=0, тоест когато числото b е равно на числото c.

Време е да разберем записа на корените на n-та степен. За целта се дава дефиниция на аритметичен корен от n-та степен.

Определение

Аритметичен корен от n-та степен на неотрицателно число aе неотрицателно число, чиято n-та степен е равна на a.

Аритметичният корен от n-та степен на неотрицателно число a се означава като . Числото a се нарича радикално число, а числото n е степенен корен. Например, помислете за записа, тук радикалното число е 125,36, а степента на корена е 5.

Обърнете внимание, че когато n=2 имаме работа с корен квадратен от число, в този случай е обичайно да не се записва степента на корена, т.е. записите означават едно и също число.

Въпреки факта, че дефиницията на аритметичния корен на n-та степен, както и неговото обозначение, са въведени за неотрицателни радикални числа, за удобство ще използваме нотации за нечетни показатели на корена и отрицателни радикални числа на формата , която ще разбираме като . например, И .

Няма да придаваме значение на корени от четни степени с отрицателни радикали (преди да започнем да изучаваме комплексни числа). Например, изразите нямат смисъл.

Въз основа на дефиницията, дадена по-горе, се обосновават свойствата на n-ти корени, които имат широко практическо приложение.

В заключение си струва да се каже, че корените на n-та степен са корените на уравнения под формата x n = a.

Практически важни резултати

Първият практически важен резултат: .

Този резултат по същество отразява определението за четен корен. Знакът ⇔ означава еквивалентност. Тоест горният запис трябва да се разбира по следния начин: ако , то , и ако , то . И сега същото, но с думи: ако b е корен от четна степен 2·k от числото a, то b е неотрицателно число, удовлетворяващо равенството b 2·k =a, и обратно, ако b е неотрицателно число, удовлетворяващо равенството b 2·k =a, тогава b е четен корен от 2·k от числото a.

От първото равенство на системата става ясно, че числото a е неотрицателно, тъй като е равно на неотрицателното число b, възведено на четна степен 2·k.

Така в училище те разглеждат корени на четни степени само от неотрицателни числа, разбирайки ги като , и корените на четни степени на отрицателни числа не се придават никакво значение.

Втори практически важен резултат: .

По същество той съчетава определението за аритметичен корен от нечетна степен и определението за нечетен корен от отрицателно число. Нека обясним това.

От дефинициите, дадени в предишните параграфи, става ясно, че те придават значение на корените на нечетните степени на всякакви реални числа, не само неотрицателни, но и отрицателни. За неотрицателни числа b се счита, че . Последната система предполага условието a≥0. За отрицателни числа −a (където a е положително число) вземете . Ясно е, че с тази дефиниция е отрицателно число, тъй като е равно на , и е положително число. Също така е ясно, че повдигането на корена на степен 2 k+1 дава подкореното изражение –a. Наистина, като вземем предвид това определение и свойствата на правомощията, имаме

От това заключаваме, че коренът на нечетна степен 2 k+1 от отрицателно число −a е отрицателно число b, чиято степен 2 k+1 е равна на −a, в буквална форма . Комбиниране на резултатите за a≥0 и за –а<0 , приходим к следующему выводу: корень нечетной степени 2·k+1 из произвольного действительного числа a есть число b (оно может быть как неотрицательным, так и отрицательным), которое при возведении в степень 2·k+1 равно a , то есть .

Така в училище разглеждат корените на нечетните степени на всякакви реални числа и ги разбират по следния начин: .

В заключение, нека отново запишем два резултата, които ни интересуват: И .

\(\sqrt(a)=b\), ако \(b^2=a\), където \(a≥0,b≥0\)


Примери:

\(\sqrt(49)=7\), тъй като \(7^2=49\)
\(\sqrt(0.04)=0.2\), тъй като \(0.2^2=0.04\)

Как да извадя корен квадратен от число?

За да извлечете корен квадратен от число, трябва да си зададете въпроса: кое число на квадрат ще даде израза под корена?

например. Извлечете корена: a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); в) \(\sqrt(0,001)\); г) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

а) Какво число на квадрат ще даде \(2500\)?

\(\sqrt(2500)=50\)

б) Какво число на квадрат ще даде \(\frac(4)(9)\)?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

в) Какво число на квадрат ще даде \(0,0001\)?

\(\sqrt(0,0001)=0,01\)

г) Какво число на квадрат ще даде \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)? За да отговорите на въпроса, трябва да го преобразувате в грешен.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

Коментирайте: Въпреки че \(-50\), \(-\frac(2)(3)\), \(-0.01\),\(- \frac(7)(6)\), също отговарят на въпросите, но те не се вземат предвид, тъй като квадратният корен винаги е положителен.

Основното свойство на корена

Както знаете, в математиката всяко действие има обратно действие. Събирането има изваждане, умножението има деление. Обратното на повдигането на квадрат е извличане на квадратен корен. Следователно тези действия се компенсират взаимно:

\((\sqrt(a))^2=a\)

Това е основното свойство на корена, което се използва най-често (включително в OGE)

Пример . (задание от OGE). Намерете стойността на израза \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)

Решение :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

Пример . (задание от OGE). Намерете стойността на израза \((\sqrt(85)-1)^2\)

Решение:

отговор: \(86-2\sqrt(85)\)

Разбира се, когато работите с квадратни корени, трябва да използвате други.

Пример . (задание от OGE). Намерете стойността на израза \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
Решение:

отговор: \(220\)

4 правила, за които хората винаги забравят

Коренът не винаги се извлича


Пример: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) и т.н. – извличането на корен от число не винаги е възможно и това е нормално!


Корен на число, също и число

Няма нужда да се третират \(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\), по някакъв специален начин. Това са числа, но не цели числа, да, но не всичко в нашия свят се измерва в цели числа.


Коренът се взема само от неотрицателни числа

Следователно в учебниците няма да видите такива записи \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\) и т.н.