Определение

Параболасе нарича графика на квадратична функция $y = ax^(2) + bx + c$, където $a \neq 0$.

Графика на функцията $y = x^2$.

За да начертаем схематично графиката на функцията $y = x^2$, ще намерим няколко точки, които удовлетворяват това равенство. За удобство записваме координатите на тези точки под формата на таблица:

Графика на функцията $y = ax^2$.

Ако коефициентът $a > 0$, тогава графиката $y = ax^2$ се получава от графиката $y = x^2$ или чрез вертикално разтягане (за $a > 1$) или компресия до $x$ ос (за $0< a < 1$). Изобразим для примера графики $y = 2x^2$ и $y = \dfrac{x^2}{2}$:

$y = 2x^2$ $y = \dfrac(x^2)(2)$


Ако $a< 0$, то график функции $y = ax^2$ можно получить из графика $y = |a|x^2$, отразив его симметрично относительно оси $x$. Построим графики функций $y = - x^2$, $y = -2x^2$ и $y = - \dfrac{x^2}{2}$:

$y = - x^2$ $y = -2x^2$ $y = - \dfrac(x^2)(2)$



Графика на квадратична функция.

За да начертаете функцията $y = ax^2 + bx + c$, трябва да изолирате пълен квадрат от квадратния трином $ax^2 + bx + c$, тоест да го представите във формата $a(x - x_0)^2 + y_0$. Графиката на функцията $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ се получава от съответната графика $y = ax^2$ чрез преместване с $x_0$ по оста $x$ и с $y_0$ по оста $y$. В резултат на това точка $(0;0)$ ще се премести в точка $(x_0;y_0)$.

Определение

Върхътпараболата $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ е точката с координати $(x_0;y_0)$.

Нека построим парабола $y = 2x^2 - 4x - 6$. Избирайки пълния квадрат, получаваме $y = 2(x - 1)^2 - 8$.

Нека начертаем $y = 2x^2$ Нека го преместим надясно с 1 И надолу с 8



Резултатът е парабола с връх в точка $(1;-8)$.

Графиката на квадратичната функция $y = ax^2 + bx + c$ пресича оста $y$ в точката $(0; c)$ и оста $x$ в точките $(x_(1,2) ;0)$, където $ x_(1,2)$ са корените на квадратното уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ (и ако уравнението няма корени, тогава съответната парабола не пресича $ ос x$).

Например параболата $y = 2x^2 - 4x - 6$ пресича осите в точките $(0; -6)$, $(-1; 0)$ и $(3; 0)$.

Уводни бележки и прости примери

Пример 1. За какви стойности на a уравнението ax 2 + 2x + 1 = 0 има два различни корена?

Решение.

Това уравнение е квадратно по отношение на променливата x за a№ 0 и има различни корени, когато е неговият дискриминант

т.е. за a< 1.

Освен това, когато a = 0, се получава уравнението 2x + 1 = 0, което има един корен.

По този начин, O (– Ґ ; 0) И (0; 1).

Правило 1. Ако коефициентът на x 2 на полином от втора степен съдържа параметър, е необходимо да се анализира случаят, когато той е равен на нула.

Пример 2. Уравнението ax 2 + 8x + c = 0 има единствен корен, равен на 1. На какво са равни a и c?

Решение. Нека започнем да решаваме задачата със специалния случай a = 0, уравнението има формата 8x + c = 0. Това линейно уравнение има решение x 0 = 1 за c = – 8.

Когато не. 0 квадратно уравнение има един корен ако

Освен това, замествайки корена x 0 = 1 в уравнението, получаваме a + 8 + c = 0.

Решавайки система от две линейни уравнения, намираме a = c = – 4.

Теорема 1.

За редуцирания квадратен трином y = x 2 + px + q (приемайки, че p 2і 4q)
сбор от корени x 1 + x 2 = – p, произведение от корени x 1 x 2 = q, разликата на корените е
и сумата от квадратите на корените x 1 2 + x 2 2 = p 2 – 2q.

Теорема 2.

За квадратен трином y = ax 2 + bx + c с два корена x 1 и x 2 имаме
разширение ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2), за тричлен с един корен x 0 – разширение
ax 2 + bx + c = a(x – x 0) 2 .

Коментирайте. Често за квадратни уравнения с дискриминант, равен на нула и имащ, съответно, един корен, те казват, че има два съвпадащи корена (?). Това е свързано с факторизирането на полинома, даден в теорема 2.(Правилният начин да се каже и разбере в този случай е „един корен от кратно две.“ – Ред.)

Ще обърнем внимание на тази тънкост и ще подчертаем случая на единичен корен от множественост 2.

Пример 3. В уравнението x 2 + ax + 12 = 0 определете a по такъв начин, че разликата между корените на уравнението да е равна на единица.

Решение. Коренна разлика
откъдето a = ± 7.

Пример 4. За какво a сумата от квадратите на корените на уравнението 2x 2 + 4x + a = 0 е равна на 6?

Решение. Нека напишем уравнението във формата
откъдето x 1 2 + x 2 2 = 4 – a = 6 и a = – 2.

Пример 5. За всички a решете уравнението ax 2 – 2x + 4 = 0.

Решение. Ако a = 0, тогава x = 2. Ако a№ 0, тогава уравнението става квадратно. Неговият дискриминант
равно на D = 4 – 16a. Ако Д< 0, т. е. a > ,
уравнението няма решения. Ако D = 0, т.е. a = ,
x = 4. Ако D > 0, т.е< ,
уравнението има два корена

Местоположение на корените на квадратния тричлен

Графиката на квадратно уравнение е парабола, а решенията на квадратно уравнение са абсцисите на точките на пресичане на тази парабола с оста Ox. Основата за решаване на всички проблеми в този раздел е изучаването на характеристиките на местоположението на параболи с дадени свойства в координатната равнина.

Пример 6. За какво a корените на уравнението x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 имат различни знаци?

Решение (фиг. 1).

Квадратното уравнение или няма решения (графиката е парабола от тип D), или има един или два положителни корена (парабола C), или има един или два отрицателни корена (парабола A), или има корени с различни знаци (парабола Б).

Лесно е да се разбере, че последният тип параболи, за разлика от другите, се характеризира с факта, че f(0)< 0. Таким образом, f(0) = a 2 – a – 6 < 0, откуда 0 < a < .

Това решение позволява обобщение, което ще формулираме като следното правило.

Правило 2. За да има уравнение ax 2 + bx + c = 0

имаше два различни корена x 1 и x 2, така че x 1< M < x 2 , необходимо и достаточно, чтобы a f(M) < 0.

Пример 7. За какво a уравнението x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 има два различни корена с един и същ знак?

Решение. Интересуваме се от параболи от тип A и C (виж фиг. 1). Те се характеризират с това, че

откъдето O (– 6; – 2) И (3; + Ґ ).

Пример 8. За какво a уравнението x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 има два различни положителни корена?

Решение. Интересуваме се от параболите тип C на фиг. 1.

За да има корени уравнението, изискваме

Тъй като и двата корена на уравнението трябва да са положителни по условие, абсцисата на върха на параболата, разположена между корените, е положителна: x 0 = a > 0.

Ордината на върха f(x 0)< 0 в силу того, что мы потребовали существование корней, поэтому если, кроме того, потребовать выполнение условия f(x 0) >0, тогава поради непрекъснатостта на изследваната функция има точка x 1ЗА (0; x 0), така че f(x 1) = 0. Очевидно това е по-малък корен на уравнението.

И така, f(0) = a 2 – a – 6 > 0 и събирайки всички условия заедно, получаваме системата

с решение a O (3; + Ґ ).

Пример 9. За какво a уравнението x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 има два различни отрицателни корена?

Решение. След като проучихме параболите тип А на фиг. 1, получаваме системата

откъдето O (– 6; – 2).

Нека обобщим решението на предишните задачи под формата на следното правило.

Правило 3. За да може уравнението ax 2 + bx + c = 0 да има два различни корена x 1 и x 2, всеки от които е по-голям (по-малък от) M, е необходимо и достатъчно, че

Пример 10. Функцията f(x) е дадена с формулата

Намерете всички стойности на параметъра a, за които уравнението f(x) = 0 има поне едно решение.

Решение. Всички възможни решения на дадено уравнение се получават като решения на квадратно уравнение

x 2 – (4a + 14)x + 4a 2 + 33a + 59 = 0

с допълнителното условие, че поне един (очевидно по-голям) корен x 2аз а.

Естествено, за да има корени уравнението, то трябва да бъде = – 5(a + 2) і 0,
откъдето Ј – 2.

Графиката на лявата част на избраното уравнение е парабола, чийто връх е x 0 = 2a + 7. Решението на задачата се дава от два вида параболи (фиг. 2).

A: x 0 i a, от където a i – 7. В този случай по-големият корен на полинома е x 2 i x 0 i a.

B: x 0< a, f(a) Ј 0, от къде .
В този случай също по-големият корен на полинома е x 2аз а.

Накрая .

Три решения на едно неравенство

Пример 11. Намерете всички стойности на параметъра a, за които неравенството x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 > 0

изпълнено:

1) за всички стойности на x;
2) за всички положителни стойности на x;
3) за всички стойности на x O [– 1; 1].

Решение.

Първи начин.

1) Очевидно това неравенство е в сила за всички x, когато дискриминантът е отрицателен, т.е.

= a 2 – (a 2 + 2a – 3) = – 2a + 3< 0,

откъдето >.

2) За да разберем по-добре какво се изисква в изложението на проблема, нека използваме проста техника: начертайте няколко параболи върху координатната равнина и след това вземете и затворете лявата полуравнина спрямо оста Oy. Частта от параболата, която остава видима, трябва да е над оста Ox.

Условието на задачата е изпълнено в два случая (виж фиг. 3):

< 0, откуда a > ;

B: двата корена (може и един, но двоен) на уравнението x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 са вляво от началото. Съгласно правило 3 това условие е еквивалентно на системата от неравенства Dи 0, x 0 Ј 0 и f(0) и 0.

При решаването на тази система обаче първото неравенство може да бъде пропуснато, тъй като дори ако някаква стойност a не отговаря на условието Dі 0, то автоматично попада в решението на точка А. Така решаваме системата

откъдето Ј – 3.

Комбинирайки решенията на точки A и B, получаваме

отговор:

3) Условието на задачата е изпълнено в три случая (виж фиг. 4):

A: графиката на функцията y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 лежи над оста Ox, т.е. D< 0, откуда a > ;

B: двата корена (може би един от кратно 2) на уравнението x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 са отляво на – 1. Това условие е еквивалентно, както знаем от правило 3, на системата на неравенства Гі 0, х 0< – 1, f(– 1) > 0;

C: двата корена на уравнението x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 са вдясно от 1.
Това условие е еквивалентно на D i 0, x 0 > 1, f(1) > 0.

Въпреки това, в точки B и C, както и при решаването на предишната задача, неравенството, свързано с дискриминанта, може да бъде пропуснато.

Съответно получаваме две системи от неравенства

След като разгледахме всички случаи, получаваме резултата: a >
в точка
в C.
Отговорът на проблема е обединението на тези три множества.

Втори начин. За да бъде изпълнено условието на всяка от трите точки на задачата, най-малката стойност на функцията
y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 на всеки от съответните интервали трябва да е положителен.

1) Върхът на параболата y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 е в точката (a; 2a – 3), следователно най-малката стойност на функцията на цялата числова ос е 2a – 3 и a > .

2) на полуоста x i 0 най-малката стойност на функцията е f(0) = a 2 + 2a – 3, ако a< 0, и f(a) = 2a – 3, если a і 0. Анализирайки и двата случая, получаваме

3) Най-малкият на отсечката [– 1; 1] стойността на функцията е

Тъй като най-малката стойност трябва да е положителна, получаваме системи от неравенства

Решението на тези три системи е комплект

Трети начин. 1) Върхът на параболата y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3

се намира в точка (a; 2a – 3).

Нека начертаем множество върху координатната равнина, което се образува от върховете на всички параболи за различни a (фиг. 5).

Това е правата y = 2x – 3. Нека припомним, че всяка точка от тази права има собствена стойност на параметъра и от всяка точка на тази права „излиза“ парабола, съответстваща на дадена стойност на параметъра.і 0.

Параболите, които са изцяло над оста Ox, се характеризират с условието 2a – 3 > 0.
2) Решенията на тази точка са всички решения на първата точка и, в допълнение, параболи, за които a са отрицателни и f(0) = a 2 + 2a – 3

3) От фиг. 5 е ясно, че се интересуваме от параболи, за които или a е отрицателно и f(– 1) = a 2 + 4a – 2 > 0,

или a е положително и f(1) = a 2 – 2 > 0.

Уравнения и неравенства, свеждащи се до квадратни

Пример 12. За какви стойности на a уравнението 2x 4 – 2ax 2 + a 2 – 2 = 0 няма решения?< 0. Кроме того, первоначальное уравнение не имеет решений, когда корни уравнения f(y) = 0 отрицательны.

Решение. Като направим заместването y = x 2, получаваме квадратното уравнение f(y) = 2y 2 – 2ay + a 2 – 2 = 0.

Полученото уравнение няма решение, когато D

Тези условия могат да бъдат записани като набор

където

Пример 13. За всяка стойност на параметъра a, решете уравнението cos x sin 2x = asin 3x.

Решение. Тъй като 2cos x sin 2x = sin x + sin 3x и sin 3x = 3sin x – 4sin 3 x,тогава уравнението ще бъде записано като sin x (sin 2 x (4a – 2) – (3a – 2)) = 0. От тук получаваме решения x =

p n, n O

Z за всяко a.

Уравнение

има решения несъвпадащи с решенията на първото уравнение, само при условие

Последните ограничения са еквивалентни
Отговор: x = p n, n O

Z за всяко a; освен това

Пример 14. Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които неравенството

a 2 + 2a – sin 2 x – 2acos x > 2 е валидно за всяко число x.

Решение. Нека преобразуваме неравенството във формата cos 2 x – 2acos x + a 2 + 2a – 3 > 0ЗА и направете замяната t = cos x.

Важно е да се отбележи, че параметърът t варира от – 1 до 1, така че проблемът може да се преформулира по следния начин: намерете всички a такива, че

t 2 – 2at + a 2 + 2a – 3 > 0

и като направим замяната y = 3 x, получаваме y 2 – y + 9a 3 = 0.

Ако дискриминантът е отрицателен, уравнението няма решения. Когато дискриминантът

D = 1 – 36a 3 = 0, уравнението има един корен,
и x = – log 3 2. И накрая, когато дискриминантът е положителен, т.е.
оригиналното уравнение има един корен ,
и ако в допълнение израз 1 е положителен,
тогава уравнението също има втори корен .

И така, най-накрая получаваме

,

няма решения за останалите a.

Пример 16. За всяка стойност на параметъра a решете уравнението sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x + a = 0.

Решение. защото
Нека пренапишем уравнението във формата sin 2 x – 2sin x – 2a – 2 = 0.
Нека y = sin 2x, тогава y 2 – 2y – 2a – 2 = 0 (| y | J 1).

Графиката на функцията от лявата страна на уравнението е парабола с връх, чиято абциса е y 0 = 1; стойността на функцията в точка y = – 1 е 1 – 2a; дискриминантът на уравнението е 8a + 12. Това означава, че по-големият корен y 2 от уравнението y 2 – 2y – 2a – 2 = 0, дори и да съществува, е по-голям от 1 и съответното уравнение sin 2x = y 2 няма решения. 3. За какви стойности на a уравнението 2x 2 + (3a + 1)x + a 2 + a + 2 = 0 има поне един корен?
4. Уравнението ax 2 + bx + 5 = 0 има единствен корен, равен на 1. На какво са равни a и b?
5. За какви стойности на параметъра a корените на квадратното уравнение 5x 2 – 7x + a = 0 се отнасят като 2 към 5?
6. В уравнението ax 2 + 8x + 3 = 0 определете a така, че разликата между корените на уравнението да е равна на едно.
7. За какво a сумата от квадратите на корените на уравнението x 2 – 2ax + 2(a + 1) = 0 е равна на 20?
8. За какви b и c уравнението c + bx – 2x 2 = 0 има един положителен и един отрицателен корен?
9. Намерете всички стойности на параметъра a, за които единият корен на уравнението x 2 – (a + 1)x + 2 = 0 е по-голям от a, а другият е по-малък от a.
10. Намерете всички стойности на параметъра a, за които уравнението x 2 + (a + 1)x + 2 = 0 има два различни корена със същия знак.
11. За какви стойности на a всички получени корени на уравнението (a – 3)x 2 – 2ax + 6a = 0 са положителни?
12. За какво a всички получени корени на уравнението (1 + a)x 2 – 3ax + 4a = 0 са по-големи от 1?
13. Намерете всички стойности на параметъра a, за които и двата различни корена на уравнението x 2 + x + a = 0 ще бъдат по-големи от a.
14. За какви стойности на a двата корена на уравнението 4x 2 – 2x + a = 0 се съдържат между – 1 и 1?
15. За какви стойности на a уравнението x 2 + 2(a – 1)x + a + 5 = 0 има поне един положителен корен?
16. Функцията f(x) е дадена с формулата

Намерете всички стойности на параметъра a, за които уравнението f(x) = 0 има поне едно решение.
17. За какво a е вярно неравенството (a 2 – 1)x 2 + 2(a – 1)x + 2 > 0 за всички x?
18. За какви стойности на параметъра a е валидно неравенството ax 2 + 2x > 1 – 3a за всички положителни x?
19. За какви стойности на a уравнението x 4 + (1 – 2a)x 2 + a 2 – 1 = 0 няма решения?
20. За какви стойности на параметъра a уравнението 2x 4 – 2ax 2 + a2 – 2 = 0 има едно или две решения?
21. За всяка стойност на a решете уравнението acos x cos 2x = cos 3x.
22. Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които неравенството cos 2 x + 2asin x – 2a< a 2 – 4 выполняется для любого числа x.
23. За всички a, решете уравнението log 2 (4 x + a) = x.
24. За всяка стойност на параметъра a решете уравнението sin 2 x + asin 2 2x = sin.

Урок: Как да построим парабола или квадратична функция?

ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТ

Параболата е графика на функция, описана с формулата ax 2 +bx+c=0.
За да изградите парабола, трябва да следвате прост алгоритъм:

1) Формула на парабола y=ax 2 +bx+c,
Ако а>0тогава клоновете на параболата са насочени нагоре,
в противен случай клоновете на параболата са насочени надолу.
Безплатен член cтази точка пресича параболата с оста OY;

2), се намира с помощта на формулата x=(-b)/2a, заместваме намереното x в уравнението на параболата и намираме г;

3)Функционални нулиили, с други думи, точките на пресичане на параболата с оста OX, те се наричат ​​още корени на уравнението. За да намерим корените, приравняваме уравнението на 0 брадва 2 +bx+c=0;

Видове уравнения:

а) Пълното квадратно уравнение има формата брадва 2 +bx+c=0и се решава от дискриминанта;
б) Непълно квадратно уравнение от вида брадва 2 +bx=0.За да го решите, трябва да извадите x извън скоби, след което да приравните всеки фактор на 0:
брадва 2 +bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 и ax+b=0;
в) Непълно квадратно уравнение от вида брадва 2 +c=0.За да го решите, трябва да преместите неизвестните от едната страна, а известните от другата. x =±√(c/a);

4) Намерете няколко допълнителни точки, за да конструирате функцията.

ПРАКТИЧЕСКА ЧАСТ

И така, сега, използвайки пример, ще анализираме всичко стъпка по стъпка:
Пример #1:
y=x 2 +4x+3
c=3 означава, че параболата пресича OY в точката x=0 y=3. Клоновете на параболата гледат нагоре, тъй като a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 връх е в точка (-2;-1)
Нека намерим корените на уравнението x 2 +4x+3=0
С помощта на дискриминанта намираме корените
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3

Нека вземем няколко произволни точки, които се намират близо до върха x = -2

х -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3

Заместете вместо x в уравнението y=x 2 +4x+3 стойности
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
От стойностите на функцията се вижда, че параболата е симетрична по отношение на правата x = -2

Пример #2:
y=-x 2 +4x
c=0 означава, че параболата пресича OY в точката x=0 y=0. Клоните на параболата гледат надолу, тъй като a=-1 -1 Нека намерим корените на уравнението -x 2 +4x=0
Непълно квадратно уравнение от вида ax 2 +bx=0. За да го решите, трябва да извадите x от скоби, след което да приравните всеки фактор на 0.
x(-x+4)=0, x=0 и x=4.

Да вземем няколко произволни точки, които се намират близо до върха x=2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Заместете вместо x в уравнението y=-x 2 +4x стойности
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
От стойностите на функцията се вижда, че параболата е симетрична спрямо правата x = 2

Пример №3
y=x 2 -4
c=4 означава, че параболата пресича OY в точката x=0 y=4. Клоновете на параболата сочат нагоре, тъй като a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 върхът е в точка (0;- 4)
Нека намерим корените на уравнението x 2 -4=0
Непълно квадратно уравнение от вида ax 2 +c=0. За да го решите, трябва да преместите неизвестните от едната страна, а известните от другата. x =±√(c/a)
х 2 =4
х 1 =2
х 2 =-2

Да вземем няколко произволни точки, които се намират близо до върха x=0
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Заместете вместо x в уравнението y= x 2 -4 стойности
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
От стойностите на функцията може да се види, че параболата е симетрична спрямо правата x = 0

Абонирайте се към канала в YOUTUBEда сте в крак с всички нови продукти и да се подготвите с нас за изпити.