Линейно зависима. Линейна зависимост и линейна независимост на векторите. Основа на векторите. Афинна координатна система

Нека е поле от скалари и F е неговото основно множество. Нека - -мерно аритметично пространство върху - произволна система от вектори на пространството

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейна комбинация от система от вектори е сбор от формата където . Скаларите се наричат ​​линейни комбинирани коефициенти. Линейна комбинация се нарича нетривиална, ако поне един от нейните коефициенти е различен от нула. Линейна комбинация се нарича тривиална, ако всички нейни коефициенти са нула.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Наборът от всички линейни комбинации от вектори на една система се нарича линеен обхват на тази система и се означава с . Линейният обхват на празна система се счита за набор, състоящ се от нулев вектор.

Така че, по дефиниция,

Лесно е да се види, че линейната обвивка на тази система от вектори е затворена по отношение на операциите за добавяне на вектори, изваждане на вектори и умножение на вектори по скалари.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система от вектори се нарича линейно независима, ако за всякакви скалари следват равенствата. Празна векторна система

считани за линейно независими.

С други думи, крайна система от вектори е линейно независима тогава и само ако всяка нетривиална линейна комбинация от вектори на системата не е равна на нулевия вектор.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система от вектори се нарича линейно зависима, ако има скалари, които не всички са равни на нула, така че

С други думи, крайната система от вектори се нарича линейно зависима, ако има нетривиална линейна комбинация от вектори на системата, равна на нулевия вектор.

Векторна система

наречена система единични векторивекторно пространство Тази система от вектори е линейно независима. Наистина, за всеки скалар равенството следва равенство и, следователно, равенства

Нека разгледаме свойствата на линейната зависимост и независимост на система от вектори.

СВОЙСТВА 1.1. Системата от вектори, съдържаща нулевия вектор, е линейно зависима.

Доказателство. Ако в система от вектори един от векторите, например, е нулев вектор, тогава линейната комбинация от вектори на системата, всички коефициенти на която са нула, с изключение на коефициента at, е равна на нула вектор. Следователно, такава система от вектори е линейно зависима.

ИМОТИ 1.2. Система от вектори е линейно зависима, ако някоя от нейните подсистеми е линейно зависима.

Доказателство. Нека е линейно зависима подсистема на системата и поне един от коефициентите е различен от нула. Тогава Следователно системата от вектори е линейно зависима.

РАЗСЛЕДВАНЕ. Всяка подсистема е линейна независима системалинейно независими.

ИМУЩЕСТВО 1.3. Векторна система

в който е линейно зависим тогава и само ако поне един от векторите е линейна комбинация от предишни вектори.

Доказателство. Нека системата (1) е линейно зависима и тогава съществуват скалари, които не всички са равни на нула, така че

Нека означим с k най-голямото число, удовлетворяващо условието, тогава равенството (2) може да се запише във вида

Имайте предвид, че за иначе следователно, тъй като . От (3) следва равенството

Нека сега приемем, че векторът е линейна комбинация от предхождащите го вектори, т.е. тогава , т.е. подсистемата на система (1) е линейно зависима. Следователно, по свойство 1.2, първоначалната система (1) също е линейно зависима.

ИМОТИ 1.4. Ако системата от вектори е линейно независима, а системата от вектори

е линейно зависим, тогава векторът v се изразява линейно чрез векторите

и по единствения начин.

Доказателство. По условие системата (2) е линейно зависима, т.е. има скалари, които не всички са равни на нула, така че

Освен това, тъй като за което противоречи на линейната независимост на системата (1). От (3) следва равенството

Поради линейната независимост на системата (1) следва, че

ИМОТ 1.5. Ако и

Доказателство. Условието означава, че има такива скалари, че

Условието означава, че съществуват такива скалари, че

По силата на (1) и (2) получаваме

ТЕОРЕМА 1.2. Ако

тогава системата от вектори е линейно зависима. Доказателство (извършено чрез индукция на ).

линейна зависимост

релация от вида С1u1+С2u2+... +Сnun?0, където С1, С2,..., Сn са числа, от които поне едно? 0 и u1, u2,..., un са някои математически обекти, например. вектори или функции.

Линейна зависимост

(мат.), отношение на формата

C11u1 + C2u2 + ... + Cnun = 0, (*)

където C1, C2, ..., Cn ≈ числа, поне едно от които е различно от нула, и u1, u2, ..., un ≈ определена математика. обекти, за които са дефинирани операциите събиране и умножение с число. Във връзка (*) обектите u1, u2, ..., un са включени в 1-ва степен, т.е. линейно; следователно връзката между тях, описана от тази връзка, се нарича линейна. Знакът за равенство във формулата (*) може да има различно значение и трябва да се изяснява във всеки конкретен случай. Концепцията на L. z. използвани в много клонове на математиката. И така, можем да говорим за L. z. между вектори, между функции на една или повече променливи, между елементи на линейно пространство и т.н. Ако има линейна връзка между обектите u1, u2, ..., un, тогава се казва, че тези обекти са линейно зависими; в противен случай се казва, че са линейно независими. Ако обектите u1, u2, ..., un са линейно зависими, то поне един от тях е линейна комбинация от останалите, т.е.

u1 = a 1u1 + ... + a i-1ui-1 + a i+1ui+1 + ... + монахиня.

Непрекъснати функции на една променлива

u1 = j 1(x), u2 = j 2(x), ..., un = j n(x) се наричат ​​линейно зависими, ако между тях има връзка от вида (*), в която знакът за равенство е разбирано като идентичност по отношение на х. За да бъдат функциите j 1(x), j 2(x), ..., j n(x), дефинирани на определен интервал a £ x £ b, линейно зависими, е необходимо и достатъчно техните грам детерминантът изчезва

i, k = 1,2, ..., n.

Ако функциите j1 (x), j2(x), ..., jn(x) са решения на линейната диференциално уравнение, то за съществуването на Л. з. между тях е необходимо и достатъчно Wronskian да изчезне поне в една точка.

══ Линейни форми в m променливи

u1 = ai1x1 + ai2x2 + ... + aimxm

(i = 1, 2, ..., n)

се наричат ​​линейно зависими, ако има връзка от формата (*), в която знакът за равенство се разбира като идентичност по отношение на всички променливи x1, x2, ..., xm. За да бъдат n линейни форми на n променливи линейно зависими, е необходимо и достатъчно детерминантата да е нулева

Нека дефинираме в (реална или комплексна) система от вектори

По дефиниция системата (1) е линейно независима от векторното равенство

където , , ..., са числа (съответно реални или комплексни), следва, че

Система от вектори (1) се нарича линейно зависима, ако има числа , , ..., , които не са равни едновременно на нула, за които е в сила равенство (2). Ако приемем със сигурност, че , то от (2) следва, че

Така, ако една система от вектори е линейно зависима, тогава един от тях е, както се казва, линейна комбинация от останалите или, както се казва, зависи от останалите.

Тъй като винаги ще говорим за линейна зависимост, понякога ще си позволим да пропуснем термина линейна. Ще кажем също зависими или независими вектори вместо зависима или независима система от вектори.

Един вектор също образува система - линейно независима if , и зависима if .

Ако една система от вектори е линейно независима, тогава всяка част от тази система е още по-линейно независима. В противен случай би имало нетривиална система от числа ,…,, за която

но тогава за системата , ..., , , която също е нетривиална, ще има

От горното следва, че ако една система от вектори е линейно зависима, то всяка завършена система

има същото свойство. По-специално, система от вектори, съдържаща нулев вектор, винаги е линейно зависима.

Нека създадем матрица, дефинирана от векторите на системата (1):

Теорема 1. Ако рангът е , т.е. рангът е равен на броя на векторите, тогава системата (1) е линейно независима.

Ако рангът е , тогава системата (1) е линейно зависима.

Пример 1. Два вектора в реално пространство образуват линейно независима система, ако детерминантата

защото векторното уравнение

е еквивалентно на две уравнения за съответните компоненти

Но ако , тогава системата (5) има единствено тривиално решение

Ако , тогава уравнения (5) се удовлетворяват от някаква нетривиална система, т.е. когато системата от вектори е линейно зависима.

Очевидно е едно и също да се каже, че в реалното пространство векторите са колинеарни или линейно зависими. Но тогава да се каже, че векторите не са колинеарни или линейно независими, също е същото.

Пример 2. Системата от вектори , , ...., в реалното пространство винаги е линейно зависима. Геометрично това е ясно от фиг. 33: ако произволен вектор и , са неколинеарни вектори, тогава винаги можете да посочите числа , , така че

Това показва, че системата е линейно зависима. Ако и са колинеарни вектори, тогава те са линейно зависими. Освен това, , , са линейно зависими.

Съгласно теорема 1, за да изследваме двойка вектори, трябва да напишем матрица на техните координати

В този случай.

а) Ако рангът е , тогава теоремата гласи, че векторите са линейно зависими.

б) Ако рангът е , тогава векторите са линейно независими.

Това съвпада с горните изводи, тъй като в случай на а) и б).

Фактът, че три произволни вектора , , в са линейно зависими, също се предвижда от теоремата - в края на краищата рангът

Пример 3. В тримерното реално пространство има два вектора

са линейно зависими тогава и само ако са колинеарни.

Всъщност, нека , бъде колинеарен. Ако един от тези вектори е нула, тогава те са линейно зависими. Ако и двете са колинеарни и различни от нула, тогава

къде е някакво число. Последното означава, че са линейно зависими.

Обратно, ако , са линейно зависими, тогава единият от тях зависи от другия, например

тези. векторите са колинеарни.

Ако в този случай разгледаме матрицата

тогава елементите на редовете на матрицата са пропорционални и следователно

тези. нашето твърдение е в съответствие с теорема 1.

Пример 4. Сега разгледайте три вектора в:

Векторно уравнение

еквивалентна система от три уравнения

Ако , тогава системата (7") има уникално тривиално решение. Но тогава уравнение (7) също има уникално тривиално решение и системата от вектори , , , е линейно независима.

Ако , тогава системата (7") и следователно уравнение (7) имат нетривиално решение (). Но тогава системата от вектори (, , ) е линейно зависима. Но тук можем да различим подробностите:

1) Нека рангът, където

Тогава поне един от редовете, да кажем първият за по-голяма сигурност, има поне един елемент, който не е равен на нула. Помислете за матрицата

Той има ранг 1, така че всички детерминанти от втори ред, генерирани от него, са равни на нула

Но тогава, очевидно, компонентите на векторите и са пропорционални.

По същия начин, като се има предвид, че в матрицата

също всички детерминанти от втори ред са равни на нула, получаваме това

къде е някакво число. Така в този случай векторите , , са колинеарни.

2) Нека сега рангът . Тогава една от матриците, състояща се от два реда на матрицата , има ранг 2. За определеност нека това е матрица (виж (8)). Въз основа на пример 3, векторите и са линейно независими. Но системата , , е зависима, т.е. за някаква нетривиална тройка числа ()

Тук, защото в противен случай и поради независимостта на системата би било така. Но тогава равенството (9) може да бъде разрешено по отношение на:

Така, ако , и ранг (виж (8)), тогава векторите и са неколинеарни, а векторът , принадлежи на равнината на тези вектори.. Има ненулев детерминант на уравненията на системата (2 ") се удовлетворяват от намерените числа (виж (11) ) и произволни числа . Въз основа на твърдение 2) §4 (правилата за решаване на системи), числата удовлетворяват останалите уравнения на системата (2"), т.е. числата , (не всички равни на нула) удовлетворяват останалите уравнения на системата (2").

Така векторите са линейно зависими и теоремата е доказана и в този случай.

Задача 1.Разберете дали системата от вектори е линейно независима. Системата от вектори ще бъде определена от матрицата на системата, чиито колони се състоят от координатите на векторите.

Решение.Нека линейната комбинация е нула. Записвайки това равенство в координати, получаваме следната системауравнения:

Такава система от уравнения се нарича триъгълна. Има само едно решение. Следователно векторите са линейно независими.

Задача 2.Разберете дали системата от вектори е линейно независима.

Решение.Векторите са линейно независими (виж задача 1). Нека докажем, че векторът е линейна комбинация от вектори. Коефициентите на векторно разширение се определят от системата от уравнения

Тази система, подобно на триъгълната, има уникално решение.

Следователно системата от вектори е линейно зависима.

Коментирайте. Извикват се матрици от същия тип като в задача 1 триъгълна , а в задача 2 – стъпаловидно триъгълно . Въпросът за линейната зависимост на система от вектори се решава лесно, ако матрицата, съставена от координатите на тези вектори, е стъпаловидно триъгълна. Ако матрицата няма специален тип, след което използвате елементарни преобразувания на низове , запазвайки линейните връзки между колоните, тя може да бъде намалена до стъпаловидна триъгълна форма.

Елементарни преобразувания на низовематрици (EPS) следните операции върху матрица се наричат:

1) пренареждане на редове;

2) умножаване на низ с различно от нула число;

3) добавяне на друг низ към низ, умножен по произволно число.

Задача 3.Намерете максималната линейно независима подсистема и изчислете ранга на системата от вектори

Решение.Нека намалим матрицата на системата, използваща EPS, до стъпаловидна триъгълна форма. За да обясним процедурата, обозначаваме реда с номера на матрицата, която трябва да се преобразува, със символа . Колоната след стрелката показва действията върху редовете на преобразуваната матрица, които трябва да бъдат извършени, за да се получат редовете на новата матрица.

Очевидно първите две колони на получената матрица са линейно независими, третата колона е тяхната линейна комбинация, а четвъртата не зависи от първите две. Векторите се наричат ​​базисни вектори. Те образуват максимална линейно независима подсистема на системата, като рангът на системата е три.

Основа, координати

Задача 4.Намерете основата и координатите на векторите в тази основа върху множеството от геометрични вектори, чиито координати отговарят на условието.

Решение. Множеството е равнина, минаваща през началото. Произволен базис на равнина се състои от два неколинеарни вектора. Координатите на векторите в избрания базис се определят чрез решаване на съответната система от линейни уравнения.

Има друг начин за решаване на този проблем, когато можете да намерите основата с помощта на координатите.

Пространствените координати не са координати в равнината, тъй като са свързани с релацията, тоест не са независими. Независимите променливи и (те се наричат ​​свободни) уникално дефинират вектор в равнината и следователно могат да бъдат избрани като координати в . Тогава основата се състои от вектори, лежащи в и съответстващи на наборите от свободни променливи и , т.е.

Задача 5.Намерете основата и координатите на векторите в тази база върху множеството от всички вектори в пространството, чиито нечетни координати са равни една на друга.

Решение. Нека изберем, както в предишната задача, координати в пространството.

Тъй като , свободните променливи еднозначно определят вектора от и следователно са координати. Съответният базис се състои от вектори.

Задача 6.Намерете основата и координатите на векторите в тази основа върху множеството от всички матрици от вида , където са произволни числа.

Решение. Всяка матрица от е уникално представима във формата:

Тази връзка е разлагането на вектора от по отношение на основата с координати .

Задача 7.Намерете размерността и основата на линейната обвивка на система от вектори

Решение.Използвайки EPS, ние трансформираме матрицата от координатите на системните вектори в стъпаловидна триъгълна форма.

Колоните на последната матрица са линейно независими, а колоните се изразяват линейно през тях. Следователно векторите образуват основа , и .

Коментирайте. Основата в е избрана двусмислено. Например, векторите също формират основа.

Концепциите за линейна зависимост и независимост на система от вектори са много важни при изучаването на векторната алгебра, тъй като концепциите за измерение и базис на пространството се основават на тях. В тази статия ще дадем определения, ще разгледаме свойствата на линейната зависимост и независимост, ще получим алгоритъм за изследване на система от вектори за линейна зависимост и ще анализираме подробно решенията на примерите.

Навигация в страницата.

Определяне на линейна зависимост и линейна независимост на система от вектори.

Нека разгледаме набор от p n-мерни вектори, обозначаваме ги по следния начин. Нека направим линейна комбинация от тези вектори и произволни числа (реални или комплексни): . Въз основа на дефиницията на операциите върху n-мерни вектори, както и на свойствата на операциите за добавяне на вектори и умножаване на вектор по число, може да се твърди, че написаната линейна комбинация представлява някакъв n-мерен вектор, т.е. .

Ето как подходихме към дефиницията на линейната зависимост на система от вектори.

Определение.

Ако една линейна комбинация може да представлява нулев вектор, когато сред числата има поне едно различно от нула, тогава системата от вектори се нарича линейно зависими.

Определение.

Ако една линейна комбинация е нулев вектор само когато всички числа са нула, тогава се извиква системата от вектори линейно независими.

Свойства на линейна зависимост и независимост.

Въз основа на тези определения формулираме и доказваме свойства на линейна зависимост и линейна независимост на система от вектори.

Ако няколко вектора се добавят към линейно зависима система от вектори, получената система ще бъде линейно зависима.

Доказателство.

Тъй като системата от вектори е линейно зависима, равенството е възможно, ако има поне едно ненулево число от числата . Нека .

Нека добавим още s вектора към оригиналната система от вектори и ще получим система. Тъй като и , тогава линейната комбинация от вектори на тази система е от формата

представлява нулевия вектор и . Следователно получената система от вектори е линейно зависима.

Ако няколко вектора са изключени от линейно независима система от вектори, тогава получената система ще бъде линейно независима.

Доказателство.

Да приемем, че получената система е линейно зависима. Като добавим всички изхвърлени вектори към тази система от вектори, получаваме оригиналната система от вектори. По условие той е линейно независим, но поради предишното свойство на линейна зависимост трябва да бъде линейно зависим. Стигнахме до противоречие, следователно нашето предположение е неправилно.

Ако система от вектори има поне един нулев вектор, тогава такава система е линейно зависима.

Доказателство.

Нека векторът в тази система от вектори е нула. Да приемем, че оригиналната система от вектори е линейно независима. Тогава векторното равенство е възможно само когато . Въпреки това, ако вземем всеки , различен от нула, тогава равенството все още ще бъде вярно, тъй като . Следователно нашето предположение е неправилно и оригиналната система от вектори е линейно зависима.

Ако една система от вектори е линейно зависима, тогава поне един от нейните вектори е линейно изразен по отношение на останалите. Ако една система от вектори е линейно независима, тогава нито един от векторите не може да бъде изразен чрез другите.

Доказателство.

Първо, нека докажем първото твърдение.

Нека системата от вектори е линейно зависима, тогава има поне едно ненулево число и равенството е вярно. Това равенство може да бъде разрешено по отношение на , тъй като в този случай имаме

Следователно векторът е линейно изразен чрез останалите вектори на системата, което е необходимо да се докаже.

Сега нека докажем второто твърдение.

Тъй като системата от вектори е линейно независима, равенството е възможно само за .

Нека приемем, че някой вектор на системата е изразен линейно през останалите. Нека този вектор бъде , тогава . Това равенство може да се пренапише като , от лявата му страна има линейна комбинация от вектори на системата, а коефициентът пред вектора е различен от нула, което показва линейна зависимост на оригиналната система от вектори. Така че стигнахме до противоречие, което означава, че собствеността е доказана.

Важно твърдение следва от последните две свойства:
ако система от вектори съдържа вектори и , където е произволно число, тогава тя е линейно зависима.

Изследване на система от вектори за линейна зависимост.

Нека поставим задача: трябва да установим линейна зависимост или линейна независимост на система от вектори.

Логичният въпрос е: "Как да го решим?"

Нещо полезно от практическа гледна точка може да се научи от дефинициите и свойствата на линейната зависимост и независимост на система от вектори, разгледани по-горе. Тези определения и свойства ни позволяват да установим линейна зависимост на система от вектори в следните случаи:

Какво да правим в останалите случаи, които са мнозинство?

Нека разберем това.

Нека си припомним формулировката на теоремата за ранга на матрица, която представихме в статията.

Теорема.

Нека r – ранг на матрица A от ред p по n, . Нека M е базисният минор на матрицата A. Всички редове (всички колони) на матрицата A, които не участват във формирането на базисния минор M, се изразяват линейно чрез редовете (колоните) на матрицата, генерираща базисния минор M.

Сега нека обясним връзката между теоремата за ранга на матрицата и изследването на система от вектори за линейна зависимост.

Нека съставим матрица A, чиито редове ще бъдат векторите на изследваната система:

Какво ще значи линейна независимоствекторни системи?

От четвъртото свойство на линейната независимост на система от вектори знаем, че нито един от векторите на системата не може да бъде изразен чрез другите. С други думи, нито един ред от матрица A няма да бъде линейно изразен чрез други редове, следователно, линейната независимост на системата от вектори ще бъде еквивалентна на условието Rank(A)=p.

Какво ще означава линейната зависимост на системата от вектори?

Всичко е много просто: поне един ред от матрицата A ще бъде линейно изразен по отношение на останалите, следователно, линейната зависимост на системата от вектори ще бъде еквивалентна на условието Rank(A)

.