Логаритмични уравнения и неравенства V Опции за единен държавен изпитпосветен на математиката проблем C3 . Всеки ученик трябва да се научи да решава задачи С3 от Единния държавен изпит по математика, ако иска да издържи предстоящия изпит с „добър” или „отличен”. Тази статия представя кратък прегледчесто срещани логаритмични уравнения и неравенства, както и основни методи за решаването им.

И така, нека днес разгледаме няколко примера. логаритмични уравнения и неравенства, които бяха предложени на учениците на Единния държавен изпит по математика от предишни години. Но ще започне с кратко обобщение на основните теоретични точки, които ще ни трябват, за да ги разрешим.

Логаритмична функция

Определение

Функция на формата

0,\, a\ne 1 \]" title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

наречен логаритмична функция.

Основни свойства

Основни свойства на логаритмичната функция г=дневник a x:

Графиката на логаритмична функция е логаритмична крива:


Свойства на логаритмите

Логаритъм на произведениетодве положителни числа е равно на сумата от логаритмите на тези числа:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Логаритъм на частнотодве положителни числа е равно на разликата между логаритмите на тези числа:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Ако аИ b а≠ 1, тогава за произволно число r равенството е вярно:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Равенстводневник а t=дневник а s, Къде а > 0, а ≠ 1, t > 0, s> 0, валидно тогава и само ако t = s.

Ако а, b, cса положителни числа и аИ cса различни от единица, тогава равенството ( формула за преминаване към нова основа на логаритъм):

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Теорема 1.Ако f(х) > 0 и ж(х) > 0, тогава логаритмично уравнениедневник a f(х) = дневник a g(х) (Къде а > 0, а≠ 1) е еквивалентно на уравнението f(х) = ж(х).

Решаване на логаритмични уравнения и неравенства

Пример 1.Решете уравнението:

Решение.Обхватът на приемливите стойности включва само тези х, за които изразът под знака на логаритъма е по-голям от нула. Тези стойности се определят следната системанеравенства:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Като се има предвид това

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

получаваме интервала, който определя обхвата на допустимите стойности на това логаритмично уравнение:

Въз основа на теорема 1, всички условия на която са изпълнени тук, ние пристъпваме към следното еквивалентно квадратно уравнение:

Диапазонът от приемливи стойности включва само първия корен.

отговор:х = 7.

Пример 2.Решете уравнението:

Решение.Диапазонът на приемливите стойности на уравнението се определя от системата от неравенства:

ql-right-eqno">

Решение.Диапазонът на приемливите стойности на уравнението се определя тук лесно: х > 0.

Използваме заместване:

Уравнението става:

Обратно заместване:

И двете отговорса в обхвата на приемливите стойности на уравнението, тъй като са положителни числа.

Пример 4.Решете уравнението:

Решение.Нека започнем решението отново, като определим обхвата на приемливите стойности на уравнението. Определя се от следната система от неравенства:

ql-right-eqno">

Основите на логаритмите са еднакви, така че в диапазона от приемливи стойности можем да продължим към следното квадратно уравнение:

Първият корен не е в обхвата на приемливите стойности на уравнението, вторият е.

отговор: х = -1.

Пример 5.Решете уравнението:

Решение.Ще търсим решения между тях х > 0, х≠1. Нека трансформираме уравнението в еквивалентно:

И двете отговорса в обхвата на приемливите стойности на уравнението.

Пример 6.Решете уравнението:

Решение.Системата от неравенства, определяща обхвата на допустимите стойности на уравнението, този път има формата:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Използвайки свойствата на логаритъма, трансформираме уравнението в уравнение, което е еквивалентно в диапазона от приемливи стойности:

Използвайки формулата за преминаване към нова основа на логаритъм, получаваме:

Диапазонът от приемливи стойности включва само една отговор: х = 4.

Нека сега да преминем към логаритмични неравенства . Точно с това ще трябва да се справите на Единния държавен изпит по математика. За да разрешим други примери, се нуждаем от следната теорема:

Теорема 2.Ако f(х) > 0 и ж(х) > 0, тогава:
при а> 1 логаритмично неравенство log a f(х) > log a ж(х) е еквивалентно на неравенство със същото значение: f(х) > ж(х);
на 0< а < 1 логарифмическое неравенство log a f(х) > log a ж(х) е еквивалентно на неравенство с противоположно значение: f(х) < ж(х).

Пример 7.Решете неравенството:

Решение.Нека започнем с определяне на обхвата на приемливите стойности на неравенството. Изразът под знака на логаритмичната функция трябва да приема само положителни стойности. Това означава, че желаният диапазон от приемливи стойности се определя от следната система от неравенства:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Тъй като основата на логаритъма е число, по-малко от едно, съответната логаритмична функция ще бъде намаляваща и следователно, съгласно теорема 2, преходът към следното квадратно неравенство ще бъде еквивалентен:

Накрая, като вземем предвид диапазона от приемливи стойности, получаваме отговор:

Пример 8.Решете неравенството:

Решение.Нека започнем отново, като дефинираме диапазона от приемливи стойности:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

На множеството от допустими стойности на неравенството извършваме еквивалентни трансформации:

След редукция и преход към неравенството, еквивалентно на теорема 2, получаваме:

Като вземем предвид обхвата на приемливите стойности, получаваме окончателния отговор:

Пример 9.Решете логаритмично неравенство:

Решение.Диапазонът на допустимите стойности на неравенството се определя от следната система:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Вижда се, че в диапазона от приемливи стойности изразът в основата на логаритъма винаги е по-голям от единица и следователно, съгласно теорема 2, преходът към следното неравенство ще бъде еквивалентен:

Като вземем предвид обхвата на допустимите стойности, получаваме крайния отговор:

Пример 10.Решете неравенството:

Решение.

Диапазонът на допустимите стойности на неравенството се определя от системата от неравенства:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Метод IНека използваме формулата за преход към нова основа на логаритъма и да преминем към неравенство, което е еквивалентно в диапазона от приемливи стойности.

Когато решаваме логаритмични неравенства, използваме свойството монотонност на логаритмичната функция. Ние също използваме определението за логаритъм и основни логаритмични формули.

Нека да разгледаме какво представляват логаритмите:

Логаритъмположително число към основата е индикатор за степента, до която трябва да се повдигне, за да се получи.

В същото време

Основна логаритмична идентичност:

Основни формули за логаритми:

(Логаритъмът на произведението е равен на сбора от логаритмите)

(Логаритъмът на частното е равен на разликата на логаритмите)

(Формула за логаритъм на степен)

Формула за преместване в нова база:

Алгоритъм за решаване на логаритмични неравенства

Можем да кажем, че логаритмичните неравенства се решават с помощта на определен алгоритъм. Трябва да запишем диапазона от приемливи стойности (APV) на неравенството. Приведете неравенството до вида Знакът тук може да бъде всякакъв: Важно е отляво и отдясно в неравенството да има логаритми с една и съща основа.

И след това "изхвърляме" логаритмите! Освен това, ако основата е степен, знакът за неравенство остава същият. Ако основата е такава, че знакът на неравенството се променя на противоположния.

Разбира се, ние не просто "изхвърляме" логаритми. Използваме свойството монотонност на логаритмичната функция. Ако основата на логаритъма е по-голяма от единица, логаритмичната функция нараства монотонно и след това по-висока стойност x съответства на по-голямата стойност на израза.

Ако основата е по-голяма от нула и по-малка от единица, логаритмичната функция намалява монотонно. По-голямата стойност на аргумента x ще съответства на по-малка стойност

Важна забележка: най-добре е да напишете решението под формата на верига от еквивалентни преходи.

Да преминем към практиката. Както винаги, нека започнем с най-простите неравенства.

1. Разгледайте неравенството log 3 x > log 3 5.
Тъй като логаритмите са дефинирани само за положителни числа, е необходимо x да е положително. Условието x> 0 се нарича диапазон от допустими стойности (APV) на това неравенство. Само за такова x неравенството има смисъл.

Е, тази формулировка звучи страхотно и е лесна за запомняне. Но защо все още можем да правим това?

Ние сме хора, имаме акъл. Умът ни е устроен по такъв начин, че всичко да е логично, разбираемо и има вътрешна структурасе запомня и прилага много по-добре от произволни и несвързани факти. Ето защо е важно да не запаметявате механично правилата като обучено математическо куче, а да действате съзнателно.

Така че защо все още „изхвърляме логаритмите“?

Отговорът е прост: ако основата е по-голяма от единица (както в нашия случай), логаритмичната функция нараства монотонно, което означава, че по-голяма стойност на x съответства на по-голяма стойност на y и от неравенството log 3 x 1 > log 3 x 2 следва, че x 1 > x 2.


Моля, обърнете внимание, че преминахме към алгебрично неравенство и знакът за неравенство остава същият.

Така че x > 5.

Следното логаритмично неравенство също е просто.

2. log 5 (15 + 3x) > log 5 2x

Да започнем с обхвата на допустимите стойности. Логаритмите са определени само за положителни числа, така че

Решавайки тази система, получаваме: x > 0.

Сега нека преминем от логаритмичното неравенство към алгебричното - „изхвърлете“ логаритмите. Тъй като основата на логаритъма е по-голяма от единица, знакът за неравенство остава същият.

15 + 3x > 2x.

Получаваме: x > −15.

Отговор: x > 0.

Но какво се случва, ако основата на логаритъма е по-малка от единица? Лесно е да се досетите, че в този случай, когато се премине към алгебрично неравенство, знакът на неравенството ще се промени.

Нека дадем пример.

Да запишем ОДЗ. Изразите, от които се вземат логаритми, трябва да са положителни, т.е

Решавайки тази система, получаваме: x > 4,5.

Тъй като , логаритмична функция с основа намалява монотонно. Това означава, че по-голяма стойност на функцията съответства на по-малка стойност на аргумента:


И ако тогава
2x − 9 ≤ x.

Получаваме, че x ≤ 9.

Като се има предвид, че x > 4,5, записваме отговора:

В следващата задача експоненциалното неравенство се свежда до квадратно неравенство. Затова препоръчваме да повторите темата „квадратни неравенства“.

Сега за по-сложни неравенства:

4. Решете неравенството

5. Решете неравенството

Ако, тогава. Късметлии сме! Знаем, че основата на логаритъма е по-голяма от единица за всички стойности на x, включени в ODZ.

Да направим замяна

Обърнете внимание, че първо решаваме напълно неравенството по отношение на новата променлива t. И едва след това се връщаме към променливата x. Запомнете това и не правете грешки на изпита!

Нека си припомним правилото: ако дадено уравнение или неравенство съдържа корени, дроби или логаритми, решението трябва да започне от обхвата на допустимите стойности. Тъй като основата на логаритъма трябва да е положителна и да не е равна на единица, получаваме система от условия:

Нека опростим тази система:

Това е обхватът на приемливите стойности на неравенството.

Виждаме, че променливата се съдържа в основата на логаритъма. Да преминем към постоянната база. Нека ви го напомним

В този случай е удобно да отидете на база 4.


Да направим замяна

Нека опростим неравенството и го решим с помощта на интервалния метод:

Да се ​​върнем към променливата х:


Добавихме условие х> 0 (от ОДЗ).

7. Следната задача може да бъде решена и чрез интервалния метод

Както винаги, започваме да решаваме логаритмично неравенство от диапазона на допустимите стойности. В този случай

Това условие трябва да бъде изпълнено и ние ще се върнем към него. Нека сега да разгледаме самото неравенство. Нека запишем лявата страна като логаритъм при основа 3:

Дясната страна също може да бъде записана като логаритъм при основа 3 и след това да преминете към алгебричното неравенство:

Виждаме, че условието (т.е. ODZ) вече е изпълнено автоматично. Е, това прави решаването на неравенството по-лесно.

Решаваме неравенството с помощта на интервалния метод:

отговор:

проработи ли Е, нека увеличим нивото на трудност:

8. Решете неравенството:

Неравенството е еквивалентно на системата:

9. Решете неравенството:

Израз 5 - х 2 се повтаря натрапчиво в постановката на проблема. Това означава, че можете да направите замяна:

защото експоненциална функцияприема само положителни стойности, t> 0. Тогава

Неравенството ще приеме формата:

Вече по-добре. Нека намерим обхвата на приемливите стойности на неравенството. Това вече го казахме t> 0. В допълнение, ( t− 3) (5 9 · t − 1) > 0

Ако това условие е изпълнено, тогава коефициентът ще бъде положителен.

И изразът под логаритъма от дясната страна на неравенството трябва да е положителен, тоест (625 t − 2) 2 .

Това означава 625 t− 2 ≠ 0, т.е

Нека внимателно запишем ОДЗ

и решете получената система с помощта на интервалния метод.

така че

Е, половината битка е свършена - подредихме ODZ. Решаваме самото неравенство. Нека представим сумата от логаритми от лявата страна като логаритъм на произведението.

Логаритмични неравенства

В предишните уроци се запознахме с логаритмичните уравнения и сега знаем какво представляват и как се решават. Днешният урок ще бъде посветен на изучаването на логаритмични неравенства. Какви са тези неравенства и каква е разликата между решаването на логаритмично уравнение и неравенство?

Логаритмичните неравенства са неравенства, които имат променлива, която се появява под знака на логаритъм или в основата му.

Или можем също така да кажем, че логаритмично неравенство е неравенство, в което неговата неизвестна стойност, както в логаритмично уравнение, ще се появи под знака на логаритъма.

Най-простите логаритмични неравенства имат следния вид:

където f(x) и g(x) са някои изрази, които зависят от x.

Нека да разгледаме това, използвайки този пример: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Решаване на логаритмични неравенства

Преди да решите логаритмични неравенства, заслужава да се отбележи, че когато се решават, те са подобни на експоненциалните неравенства, а именно:

Първо, когато преминаваме от логаритми към изрази под знака на логаритъм, ние също трябва да сравним основата на логаритъма с единица;

Второ, когато решаваме логаритмично неравенство с помощта на промяна на променливи, трябва да решаваме неравенства по отношение на промяната, докато получим най-простото неравенство.

Но вие и аз сме разглеждали подобни аспекти на решаването на логаритмични неравенства. Сега нека обърнем внимание на една доста съществена разлика. Вие и аз знаем, че логаритмичната функция има ограничена област на дефиниция, следователно, когато преминаваме от логаритми към изрази под знака на логаритъм, трябва да вземем предвид обхвата на допустимите стойности (ADV).

Тоест трябва да се има предвид, че при решаването на логаритмично уравнение вие ​​и аз можем първо да намерим корените на уравнението и след това да проверим това решение. Но решаването на логаритмично неравенство няма да работи по този начин, тъй като при преминаване от логаритми към изрази под знака на логаритъм ще е необходимо да се запише ODZ на неравенството.

Освен това си струва да запомните, че теорията на неравенствата се състои от реални числа, които са положителни и отрицателни числа, както и числото 0.

Например, когато числото „a“ е положително, тогава трябва да използвате следната нотация: a >0. В този случай както сумата, така и произведението на тези числа също ще бъдат положителни.

Основният принцип за решаване на неравенство е да го замените с по-просто неравенство, но основното е то да е еквивалентно на даденото. Освен това получихме и неравенство и отново го заменихме с такова, което има по-прост вид и т.н.

Когато решавате неравенства с променлива, трябва да намерите всичките му решения. Ако две неравенства имат една и съща променлива x, тогава тези неравенства са еквивалентни, при условие че техните решения съвпадат.

Когато изпълнявате задачи за решаване на логаритмични неравенства, трябва да запомните, че когато a > 1, тогава логаритмичната функция нараства, а когато 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Методи за решаване на логаритмични неравенства

Сега нека да разгледаме някои от методите, които се използват при решаване на логаритмични неравенства. За по-добро разбиране и усвояване ще се опитаме да ги разберем с помощта на конкретни примери.

Всички знаем, че най-простото логаритмично неравенство има следния вид:

В това неравенство V – е един от следните знаци за неравенство:<,>, ≤ или ≥.

Когато основата на даден логаритъм е по-голяма от единица (a>1), което прави прехода от логаритми към изрази под знака на логаритъм, тогава в тази версия знакът за неравенство се запазва и неравенството ще има следния вид:

което е еквивалентно на тази система:


В случай, че основата на логаритъма е по-голяма от нула и по-малка от единица (0

Това е еквивалентно на тази система:


Нека разгледаме още примери за решаване на най-простите логаритмични неравенства, показани на снимката по-долу:



Решаване на примери

Упражнение.Нека се опитаме да разрешим това неравенство:


Решаване на диапазона от допустими стойности.


Сега нека се опитаме да умножим дясната му страна по:

Да видим какво можем да измислим:



Сега нека преминем към преобразуването на сублогаритмични изрази. Поради факта, че основата на логаритъма е 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
х > 8.

А от това следва, че интервалът, който получихме изцяло принадлежи на ОДЗ и е решение на такова неравенство.

Ето отговора, който получихме:


Какво е необходимо за решаване на логаритмични неравенства?

Сега нека се опитаме да анализираме какво ни е необходимо за успешно решаване на логаритмични неравенства?

Първо, концентрирайте цялото си внимание и се опитайте да не правите грешки, когато извършвате трансформациите, които са дадени в това неравенство. Също така трябва да се помни, че при решаването на такива неравенства е необходимо да се избягват разширения и свивания на неравенствата, което може да доведе до загуба или придобиване на странични решения.

Второ, когато решавате логаритмични неравенства, трябва да се научите да мислите логически и да разбирате разликата между понятия като система от неравенства и набор от неравенства, за да можете лесно да избирате решения на неравенството, като същевременно се ръководите от неговия DL.

Трето, за успешно решаване на такива неравенства, всеки от вас трябва да знае отлично всички свойства елементарни функциии ясно разбират тяхното значение. Такива функции включват не само логаритмични, но и рационални, степенни, тригонометрични и т.н., с една дума всички онези, които сте изучавали навсякъде училищно обучениеалгебра.

Както можете да видите, след като сте изучавали темата за логаритмичните неравенства, няма нищо трудно в решаването на тези неравенства, при условие че сте внимателни и упорити в постигането на целите си. За да избегнете проблеми при решаването на неравенства, трябва да практикувате колкото е възможно повече, решавайки различни задачии в същото време запомнете основните методи за решаване на такива неравенства и техните системи. Ако не успеете да решите логаритмични неравенства, трябва внимателно да анализирате грешките си, за да не се връщате към тях в бъдеще.

домашна работа

За да разберете по-добре темата и да консолидирате обхванатия материал, решете следните неравенства:


С тях са вътрешни логаритми.

Примери:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Как се решават логаритмични неравенства:

Трябва да се стремим да редуцираме всяко логаритмично неравенство до формата \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (символът \(˅\) означава всяко от ). Този тип ви позволява да се отървете от логаритмите и техните основи, като направите прехода към неравенството на изразите под логаритми, тоест към формата \(f(x) ˅ g(x)\).

Но когато правите този преход, има една много важна тънкост:
\(-\) ако е число и е по-голямо от 1, знакът за неравенство остава същият по време на прехода,
\(-\) ако основата е число, по-голямо от 0, но по-малко от 1 (лежи между нула и едно), тогава знакът за неравенство трябва да се промени на противоположния, т.е.

Примери:

\(\log_2⁡((8-x))<1\)
ODZ: \(8-x>0\)
\(-x>-8\)
\(x<8\)

Решение:
\(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\)
\(8-x\)\(<\) \(2\)
\(8-2\(x>6\)
Отговор: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0,5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) ⁡\((((x+ 1))\)
ODZ: \(\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)\)
\(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) \) \(\Ляво-дясна стрелка\) \(x\in(2;\infty)\)

Решение:
\(2x-4\)\(≤\) \(x+1\)
\(2x-x≤4+1\)
\(x≤5\)
Отговор: \((2;5]\)

Много важно!Във всяко неравенство преходът от формата \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) към сравняване на изрази под логаритми може да се извърши само ако:


Пример . Решаване на неравенство: \(\log\)\(≤-1\)

Решение:

\(\дневник\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)

Да изпишем ОДЗ.

ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)

\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)

Отваряме скобите и донасяме .

\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)

Умножаваме неравенството по \(-1\), като не забравяме да обърнем знака за сравнение.

\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)

\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)

Нека построим числова ос и маркираме точките \(\frac(7)(3)\) и \(\frac(3)(2)\) върху нея. Моля, обърнете внимание, че точката е премахната от знаменателя, въпреки факта, че неравенството не е строго. Факт е, че тази точка няма да бъде решение, тъй като когато бъде заменена в неравенство, ще ни доведе до деление на нула.


\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Сега начертаваме ODZ на същата цифрова ос и записваме в отговор интервала, който попада в ODZ.


Записваме крайния отговор.

отговор: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Пример . Решете неравенството: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Решение:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Да изпишем ОДЗ.

ODZ: \(x>0\)

Да стигнем до решението.

Решение: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Тук имаме типично квадратно-логаритмично неравенство. нека го направим

\(t=\log_3⁡x\)
\(t^2-t-2>0\)

Разгръщаме лявата страна на неравенството в .

\(D=1+8=9\)
\(t_1= \frac(1+3)(2)=2\)
\(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\)
\((t+1)(t-2)>0\)

Сега трябва да се върнем към първоначалната променлива - x. За да направим това, нека отидем на , което има същото решение, и направим обратното заместване.

\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)

Трансформирайте \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).

\(\left[ \begin(gathered) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)

Нека да преминем към сравняване на аргументи. Основите на логаритмите са по-големи от \(1\), така че знакът на неравенствата не се променя.

\(\left[ \begin(gathered) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)

Нека комбинираме решението на неравенството и ODZ в една фигура.


Нека запишем отговора.

отговор: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

ЛОГАРИТМИЧНИ НЕРАВЕНСТВА В УПОТРЕБАТА

Сечин Михаил Александрович

Малка академия на науките за ученици на Република Казахстан „Искател“

MBOU "Sovetskaya Средно училище № 1", 11 клас, гр. Советски Советски район

Гунко Людмила Дмитриевна, учител в Общинска бюджетна образователна институция „Съветско средно училище № 1“

Съветски район

Цел на работата:изучаване на механизма за решаване на логаритмични неравенства C3 с помощта на нестандартни методи, идентифициране на интересни факти за логаритъма.

Предмет на изследване:

3) Научете се да решавате конкретни логаритмични неравенства C3, като използвате нестандартни методи.

Резултати:

Съдържание

Въведение…………………………………………………………………………………….4

Глава 1. История на проблема……………………………………………………...5

Глава 2. Колекция от логаритмични неравенства …………………………… 7

2.1. Еквивалентни преходи и обобщеният метод на интервалите…………… 7

2.2. Метод на рационализация………………………………………………………………… 15

2.3. Нестандартно заместване……………….................................. ............ 22

2.4. Задачи с капани………………………………………………………27

Заключение………………………………………………………………………………… 30

Литература………………………………………………………………………. 31

Въведение

Аз съм в 11 клас и планирам да вляза в университет, където основният предмет е математика. Ето защо работя много със задачи в част C. В задача C3 трябва да реша нестандартно неравенство или система от неравенства, обикновено свързани с логаритми. Когато се подготвях за изпита, се сблъсках с проблема с недостига на методи и техники за решаване на изпитни логаритмични неравенства, предлагани в C3. Методите, които се изучават в училищната програма по тази тема, не дават основа за решаване на задачи С3. Учителката по математика ми предложи да работя самостоятелно по задачи C3 под нейно ръководство. Освен това ме интересуваше въпросът: срещаме ли логаритми в живота си?

С оглед на това беше избрана темата:

„Логаритмични неравенства в Единния държавен изпит“

Цел на работата:изучаване на механизма за решаване на задачи С3 с помощта на нестандартни методи, идентифициране на интересни факти за логаритъма.

Предмет на изследване:

1) Намерете необходимата информация за нестандартни методи за решаване на логаритмични неравенства.

2) Намерете допълнителна информация за логаритмите.

3) Научете се да решавате специфични проблеми на C3, като използвате нестандартни методи.

Резултати:

Практическото значение се състои в разширяването на апарата за решаване на задачи от С3. Този материал може да се използва в някои уроци, за кръжоци и избираеми часове по математика.

Продуктът на проекта ще бъде колекцията „C3 Logarithmic Inequalities with Solutions.“

Глава 1. Предистория

През 16-ти век броят на приблизителните изчисления се увеличава бързо, главно в астрономията. Подобряването на инструментите, изучаването на планетарните движения и друга работа изискваха колосални, понякога много години, изчисления. Астрономията беше в реална опасност да се удави в неизпълнени изчисления. Трудности възникнаха в други области, например в застрахователния бизнес бяха необходими таблици със сложни лихви за различни лихвени проценти. Основната трудност беше умножението и деленето на многоцифрени числа, особено на тригонометрични величини.

Откриването на логаритмите се основава на свойствата на прогресиите, които са добре известни до края на 16 век. Архимед говори за връзката между членовете на геометричната прогресия q, q2, q3, ... и аритметичната прогресия на техните показатели 1, 2, 3,... в Псалма. Друга предпоставка беше разширяването на концепцията за степен до отрицателни и дробни показатели. Много автори са посочили, че умножението, делението, степенуването и извличането на корен в геометричната прогресия съответстват в аритметиката - в същия ред - събиране, изваждане, умножение и деление.

Тук беше идеята за логаритъма като показател.

В историята на развитието на учението за логаритмите са преминали няколко етапа.

Етап 1

Логаритмите са изобретени не по-късно от 1594 г. независимо от шотландския барон Напиер (1550-1617) и десет години по-късно от швейцарския механик Бюрги (1552-1632). И двамата искаха да осигурят ново, удобно средство за аритметични изчисления, въпреки че подходиха към този проблем по различни начини. Напиер изразява кинематично логаритмичната функция и по този начин навлиза в нова област на теорията на функциите. Bürgi остана на базата на разглеждане на дискретни прогресии. Дефиницията на логаритъма и за двете обаче не е подобна на съвременната. Терминът "логаритъм" (логаритъм) принадлежи на Напиер. Възникна от комбинация от гръцки думи: logos - "отношение" и ariqmo - "число", което означаваше "брой отношения". Първоначално Напиер използва различен термин: numeri artificiales - „изкуствени числа“, за разлика от numeri naturalts - „естествени числа“.

През 1615 г. в разговор с Хенри Бригс (1561-1631), професор по математика в Gresh College в Лондон, Напиер предлага да се приеме нула като логаритъм от едно и 100 като логаритъм от десет, или каквото се равнява на същото нещо, само 1. Ето как са отпечатани десетични логаритми и Първите логаритмични таблици. По-късно таблиците на Бригс са допълнени от холандския книжар и ентусиаст по математика Адриан Флак (1600-1667). Напиер и Бригс, въпреки че стигнаха до логаритмите по-рано от всички останали, публикуваха своите таблици по-късно от останалите - през 1620 г. Знаците log и Log са въведени през 1624 г. от И. Кеплер. Терминът "натурален логаритъм" е въведен от Менголи през 1659 г. и последван от Н. Меркатор през 1668 г., а лондонският учител Джон Шпайдел публикува таблици с естествени логаритми на числа от 1 до 1000 под името "Нови логаритми".

Първите логаритмични таблици са публикувани на руски през 1703 г. Но във всички логаритмични таблици имаше изчислителни грешки. Първите таблици без грешки са публикувани през 1857 г. в Берлин, обработени от немския математик К. Бремикер (1804-1877).

Етап 2

По-нататъшното развитие на теорията на логаритмите е свързано с по-широкото приложение на аналитичната геометрия и инфинитезималното смятане. По това време вече е установена връзката между квадратурата на равностранна хипербола и естествения логаритъм. Теорията на логаритмите от този период е свързана с имената на редица математици.

Немският математик, астроном и инженер Николаус Меркатор в есе

"Logarithmotechnics" (1668) дава серия, даваща разширението на ln(x+1) в

степени на x:

Този израз точно съответства на хода на неговата мисъл, въпреки че той, разбира се, не използва знаците d, ..., а по-тромава символика. С откриването на логаритмичните серии техниката за изчисляване на логаритмите се промени: те започнаха да се определят с помощта на безкрайни серии. В своите лекции „Елементарна математика от по-висока гледна точка“, дадени през 1907-1908 г., Ф. Клайн предлага използването на формулата като отправна точка за изграждане на теорията на логаритмите.

Етап 3

Дефиниция на логаритмична функция като обратна функция

експоненциален, логаритъм като показател на дадена основа

не е формулиран веднага. Есе от Леонхард Ойлер (1707-1783)

„Въведение в анализа на безкрайно малките“ (1748) служи за по-нататъшно

развитие на теорията на логаритмичните функции. по този начин

Изминаха 134 години от първото въвеждане на логаритмите

(от 1614 г.), преди математиците да стигнат до определението

концепцията за логаритъм, която сега е в основата на училищния курс.

Глава 2. Колекция от логаритмични неравенства

2.1. Еквивалентни преходи и обобщен метод на интервалите.

Еквивалентни преходи

, ако a > 1

, ако 0 < а < 1

Обобщен интервален метод

Този методнай-универсален за решаване на неравенства от почти всякакъв вид. Диаграмата на решението изглежда така:

1. Приведете неравенството във формата, където е функцията от лявата страна
, а отдясно 0.

2. Намерете домейна на функцията
.

3. Намерете нулите на функцията
, тоест решаване на уравнението
(и решаването на уравнение обикновено е по-лесно от решаването на неравенство).

4. Начертайте областта на дефиниция и нули на функцията върху числовата ос.

5. Определете знаците на функцията
върху получените интервали.

6. Изберете интервали, в които функцията приема необходимите стойности и запишете отговора.

Пример 1.

Решение:

Да приложим интервалния метод

където

За тези стойности всички изрази под логаритмичните знаци са положителни.

отговор:

Пример 2.

Решение:

1-во начин . ADL се определя от неравенство х> 3. Вземане на логаритми за такива хкъм основа 10, получаваме

Последното неравенство може да бъде разрешено чрез прилагане на правила за разширение, т.е. сравнявайки факторите с нула. В този случай обаче е лесно да се определят интервалите на постоянен знак на функцията

следователно може да се приложи интервалният метод.

функция f(х) = 2х(х- 3,5)lgǀ х- 3ǀ е непрекъснат при х> 3 и изчезва в точки х 1 = 0, х 2 = 3,5, х 3 = 2, х 4 = 4. Така определяме интервалите на постоянен знак на функцията f(х):

отговор:

2-ри метод . Нека директно приложим идеите на интервалния метод към първоначалното неравенство.

За да направите това, припомнете си, че изразите аб- а c и ( а - 1)(b- 1) имат един знак. Тогава нашето неравенство при х> 3 е еквивалентно на неравенство

или

Последното неравенство се решава чрез интервалния метод

отговор:

Пример 3.

Решение:

Да приложим интервалния метод

отговор:

Пример 4.

Решение:

От 2 х 2 - 3х+ 3 > 0 за всички реални х, Това

За решаване на второто неравенство използваме интервалния метод

В първото неравенство правим замяната

тогава стигаме до неравенството 2y 2 - г - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те г, които удовлетворяват неравенството -0,5< г < 1.

Откъде, защото

получаваме неравенството

която се извършва при х, за което 2 х 2 - 3х - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Сега, като вземем предвид решението на второто неравенство на системата, най-накрая получаваме

отговор:

Пример 5.

Решение:

Неравенството е еквивалентно на набор от системи

или

Нека използваме метода на интервала или

отговор:

Пример 6.

Решение:

Неравенството е равно на система

Нека

Тогава г > 0,

и първото неравенство

системата приема формата

или, разгъване

квадратен тричленпо фактори,

Прилагайки интервалния метод към последното неравенство,

виждаме, че неговите решения отговарят на условието г> 0 ще бъде всичко г > 4.

Така първоначалното неравенство е еквивалентно на системата:

И така, решенията на неравенството са всички

2.2. Метод на рационализация.

Предишен методрационализирането на неравенството не беше решено, не беше известно. Това е "новото модерно" ефективен методрешения на експоненциални и логаритмични неравенства" (цитат от книгата на S.I. Kolesnikova)
И дори ако учителят го познаваше, имаше страх - познава ли го експертът от Единния държавен изпит и защо не го дават в училище? Имаше ситуации, когато учителят каза на ученика: „Откъде го взе - 2?“
Сега методът се рекламира навсякъде. А за експертите има насоки, свързани с този метод, и в „Най-пълните издания на стандартни опции...“ в Решение C3 се използва този метод.
ЧУДЕСЕН МЕТОД!

"Магическа маса"


В други източници

Ако a >1 и b >1, след това log a b >0 и (a -1)(b -1)>0;

Ако a >1 и 0

ако 0<а<1 и b >1, след това регистрирайте a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

ако 0<а<1 и 00 и (a -1)(b -1)>0.

Извършеното разсъждение е просто, но значително опростява решението на логаритмичните неравенства.

Пример 4.

log x (x 2 -3)<0

Решение:

Пример 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Решение:

отговор. (0; 0,5)U.

Пример 6.

За да решим това неравенство, вместо знаменателя записваме (x-1-1)(x-1), а вместо числителя записваме произведението (x-1)(x-3-9 + x).


отговор : (3;6)

Пример 7.

Пример 8.

2.3. Нестандартна замяна.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Пример 6.

Пример 7.

log 4 (3 x -1) log 0,25

Нека направим замяната y=3 x -1; тогава това неравенство ще приеме формата

Log 4 log 0,25
.

защото log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , тогава пренаписваме последното неравенство като 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Нека направим замяната t =log 4 y и получим неравенството t 2 -2t +≥0, чието решение са интервалите - .

По този начин, за да намерим стойностите на y, имаме набор от две прости неравенства
Решението на това множество са интервалите 0<у≤2 и 8≤у<+.

Следователно първоначалното неравенство е еквивалентно на набор от две експоненциални неравенства,
тоест агрегати

Решението на първото неравенство от това множество е интервалът 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. По този начин първоначалното неравенство е изпълнено за всички стойности на x от интервалите 0<х≤1 и 2≤х<+.

Пример 8.

Решение:

Неравенството е равно на система

Решението на второто неравенство, определящо ODZ, ще бъде множеството от тях х,

за което х > 0.

За да решим първото неравенство, правим заместването

Тогава получаваме неравенството

или

Множеството от решения на последното неравенство се намира по метода

интервали: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной х, получаваме

или

Много такива х, които удовлетворяват последното неравенство

принадлежи на ОДЗ ( х> 0), следователно е решение на системата,

а оттам и първоначалното неравенство.

отговор:

2.4. Задачи с капани.

Пример 1.

.

Решение. ODZ на неравенството е всички x, които отговарят на условието 0 . Следователно всички x са от интервала 0

Пример 2.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Факт е, че второто число очевидно е по-голямо от

Заключение

Не беше лесно да се намерят конкретни методи за решаване на проблеми с C3 от голямо изобилие от различни образователни източници. В хода на извършената работа успях да изучавам нестандартни методи за решаване на сложни логаритмични неравенства. Това са: еквивалентни преходи и обобщен метод на интервалите, метод на рационализация , нестандартно заместване , задачи с капани по ОДЗ. Тези методи не са включени в училищната програма.

Използвайки различни методи, реших 27 неравенства, предложени на Единния държавен изпит в част C, а именно C3. Тези неравенства с решения по методи формираха основата на колекцията „С3 Логаритмични неравенства с решения“, която стана проектен продукт на моята дейност. Хипотезата, която поставих в началото на проекта, беше потвърдена: проблемите на C3 могат да бъдат ефективно решени, ако знаете тези методи.

Освен това открих интересни факти за логаритмите. Беше ми интересно да правя това. Продуктите от моя проект ще бъдат полезни както за ученици, така и за учители.

Изводи:

Така целта на проекта е постигната и проблемът е решен. И получих най-пълния и разнообразен опит в проектните дейности на всички етапи на работа. По време на работата по проекта основното ми въздействие върху развитието беше върху умствената компетентност, дейности, свързани с логически мисловни операции, развитие на творческа компетентност, лична инициатива, отговорност, постоянство и активност.

Гаранция за успех при създаване на изследователски проект за Придобих: значителен училищен опит, умение да получавам информация от различни източници, да проверявам нейната достоверност и да я класирам по важност.

В допълнение към преките познания по математика, разширих практическите си умения в областта на компютърните науки, придобих нови знания и опит в областта на психологията, установих контакти със съученици и се научих да си сътруднича с възрастни. По време на дейностите по проекта бяха развити организационни, интелектуални и комуникативни общообразователни умения.

Литература

1. Корянов А. Г., Прокофиев А. А. Системи от неравенства с една променлива (стандартни задачи C3).

2. Малкова А. Г. Подготовка за Единния държавен изпит по математика.

3. Самарова С. С. Решаване на логаритмични неравенства.

4. Математика. Колекция от учебни работи под редакцията на A.L. Семенов и И.В. Ященко. -М .: МЦНМО, 2009. - 72 с.-