Уравненията като цяло, линейните алгебрични уравнения и техните системи, както и методите за тяхното решаване, заемат специално място в математиката, както теоретична, така и приложна.

Това се дължи на факта, че огромното мнозинство от физически, икономически, технически и дори педагогически проблеми могат да бъдат описани и решени с помощта на различни уравнения и техните системи. IN напоследъкМатематическото моделиране придоби особена популярност сред изследователи, учени и практици в почти всички предметни области, което се обяснява с неговите очевидни предимства пред други добре познати и доказани методи за изследване на обекти от различно естество, по-специално така наречените сложни системи. Има голямо разнообразие различни определенияматематически модел, даден от учени в различни времена, но според нас най-успешното е следното твърдение. Математически моделе идея, изразена чрез уравнение. По този начин способността за съставяне и решаване на уравнения и техните системи е неразделна характеристика на съвременния специалист.

За решаване на системи от линейни алгебрични уравнения най-често използваните методи са Крамер, Йордан-Гаус и матричният метод.

Матричен метод на решение - използване на метод на решение обратна матрицасистеми от линейни алгебрични уравнения с ненулев детерминант.

Ако изпишем коефициентите за неизвестните величини xi в матрица A, съберем неизвестните величини във векторната колона X и свободните членове във векторната колона B, тогава системата от линейни алгебрични уравнения може да бъде записана под формата на след матрично уравнение A · X = B, което има уникално решение само когато детерминантата на матрица A не е равна на нула. В този случай решението на системата от уравнения може да се намери по следния начин X = А-1 · б, Къде А-1 е обратната матрица.

Методът на матрично решение е както следва.

Нека се даде системата линейни уравненияс пнеизвестен:

Може да се пренапише в матрична форма: БРАВИЛА = б, Къде А- основната матрица на системата, бИ X- колони с безплатни условия и съответно решения на системата:

Нека умножим това матрично уравнение отляво по А-1 - матрица, обратна на матрица А: А -1 (БРАВИЛА) = А -1 б

защото А -1 А = д, получаваме X= А -1 б. Дясната страна на това уравнение ще даде колоната за решение на оригиналната система. Условието за приложимостта на този метод (както и общото съществуване на решение на нехомогенна система от линейни уравнения с броя на уравненията, равно на числотонеизвестни) е неизродеността на матрицата А. Необходимо и достатъчно условие за това е детерминантата на матрицата да не е равна на нула А:дет А≠ 0.

За хомогенна система от линейни уравнения, т.е. когато векторът б = 0 , всъщност обратното правило: системата БРАВИЛА = 0 има нетривиално (т.е. ненулево) решение само ако det А= 0. Такава връзка между решенията на еднородни и нехомогенни системи от линейни уравнения се нарича алтернатива на Фредхолм.

Пример решения на нехомогенна система от линейни алгебрични уравнения.

Нека се уверим, че детерминантата на матрицата, съставена от коефициентите на неизвестните на системата от линейни алгебрични уравнения, не е равна на нула.

Следващата стъпка е да се изчислят алгебричните допълнения за елементите на матрицата, състояща се от коефициентите на неизвестните. Те ще са необходими за намиране на обратната матрица.

Тема 2. СИСТЕМИ ЛИНЕЙНИ АЛГЕБРИЧНИ УРАВНЕНИЯ.

Основни понятия.

Определение 1. система млинейни уравнения с пнеизвестни е система от вида:

където и - числа.

Определение 2. Решение на система (I) е набор от неизвестни, в които всяко уравнение на тази система става идентичност.

Определение 3. Система (I) се нарича съвместно, ако има поне едно решение и неставни, ако няма решения. Ставната система се нарича определени, ако има уникално решение и несигурениначе.

Определение 4. Уравнение на формата

наречен нула, а уравнението е от вида

наречен несъвместими. Очевидно система от уравнения, съдържаща непоследователно уравнение, е непоследователна.

Определение 5. Наричат ​​се две системи линейни уравнения еквивалент, ако всяко решение на една система служи като решение на друга и, обратно, всяко решение на втората система е решение на първата.

Матрично представяне на система от линейни уравнения.

Нека разгледаме система (I) (виж §1).

Да обозначим:

Коефициентна матрица за неизвестни

,

Матрица - колона свободни термини

Матрица – колона с неизвестни

.

Определение 1.Матрицата се нарича основната матрица на системата(I), а матрицата е разширената матрица на системата (I).

По дефиницията за равенство на матриците системата (I) съответства на матричното равенство:

.

Дясната страна на това равенство по дефиниция на произведението на матрици ( виж определение 3 § 5 глава 1) могат да бъдат факторизирани:

, т.е.

Равенство (2) наречен матрична нотация на система (I).

Решаване на система от линейни уравнения по метода на Крамер.

Нека в системата (I) (виж §1) m=n, т.е. броят на уравненията е равен на броя на неизвестните, а основната матрица на системата е неособена, т.е. . Тогава система (I) от §1 има единствено решение

където Δ = детайл Анаречен основен детерминанта на системата(I), Δ азсе получава от детерминантата Δ чрез замяна азта колона към колона със свободни членове на системата (I).

Пример: Решете системата с помощта на метода на Cramer:

.

По формули (3) .

Ние изчисляваме детерминантите на системата:

,

,

,

.

За да получим детерминантата, заменихме първата колона в детерминантата с колона със свободни членове; замествайки 2-рата колона в детерминантата с колона със свободни членове, получаваме ; по подобен начин, замествайки 3-тата колона в детерминантата с колона със свободни членове, получаваме . Системно решение:

Решаване на системи от линейни уравнения с помощта на обратна матрица.

Нека в системата (I) (виж §1) m=nи основната матрица на системата е неособена. Нека напишем система (I) в матрична форма ( виж §2):

защото матрица Анеособено, то има обратна матрица ( виж теорема 1 §6 от глава 1). Нека умножим двете страни на равенството (2) към матрицата, тогава

. (3)

По дефиниция на обратна матрица. От равенството (3) имаме

Решете системата с помощта на обратната матрица

.

Нека обозначим

; ; .

В пример (§ 3) изчислихме детерминантата, следователно матрицата Аима обратна матрица. Тогава в сила (4) , т.е.

. (5)

Да намерим матрицата ( вижте §6 глава 1)

, , ,

, , ,

, , ,

,

.

Метод на Гаус.

Нека е дадена система от линейни уравнения:

. (аз)

Изисква се да се намерят всички решения на система (I) или да се уверите, че системата е непоследователна.

Определение 1.Нека го наречем елементарна трансформация на системата(I) някое от три действия:

1) зачеркване на нулевото уравнение;

2) добавяне към двете страни на уравнението на съответните части на друго уравнение, умножено по числото l;

3) размяна на членове в уравненията на системата, така че неизвестните с еднакви числа във всички уравнения да заемат еднакви места, т.е. ако, например, в 1-вото уравнение сме променили 2-рия и 3-тия член, тогава същото трябва да бъде направено във всички уравнения на системата.

Методът на Гаус се състои в това, че системата (I) с помощта на елементарни трансформации се свежда до еквивалентна система, решението на която се намира директно или се установява нейната неразрешимост.

Както е описано в §2, система (I) е уникално определена от своята разширена матрица и всяка елементарна трансформация на система (I) съответства на елементарна трансформация на разширената матрица:

.

Трансформация 1) съответства на изтриване на нулевия ред в матрицата, трансформация 2) е еквивалентна на добавяне на друг ред към съответния ред на матрицата, умножен по числото l, трансформация 3) е еквивалентна на пренареждане на колоните в матрицата.

Лесно се вижда, че напротив, всяко елементарно преобразуване на матрицата съответства на елементарно преобразуване на системата (I). Поради горното, вместо операции със система (I), ще работим с разширената матрица на тази система.

В матрицата 1-вата колона се състои от коефициенти за х 1, 2-ра колона - от коефициентите за х 2и т.н. Ако колоните са пренаредени, трябва да се има предвид, че това условие е нарушено. Например, ако разменим 1-ва и 2-ра колони, тогава 1-вата колона ще съдържа коефициентите за х 2, а във 2-ра колона - коефициентите за х 1.

Ще решим система (I), използвайки метода на Гаус.

1. Зачеркнете всички нулеви редове в матрицата, ако има такива (т.е. зачеркнете всички нулеви уравнения в система (I).

2. Да проверим дали сред редовете на матрицата има ред, в който всички елементи с изключение на последния са равни на нула (нека наречем такъв ред непоследователен). Очевидно такава линия съответства на непоследователно уравнение в система (I), следователно системата (I) няма решения и тук процесът приключва.

3. Нека матрицата не съдържа несъгласувани редове (система (I) не съдържа несъгласувани уравнения). Ако а 11 =0, тогава намираме в 1-вия ред някакъв елемент (с изключение на последния), различен от нула, и пренареждаме колоните така, че в 1-вия ред да няма нула на 1-во място. Сега ще приемем, че (т.е. ще разменим съответните членове в уравненията на система (I)).

4. Умножете 1-ви ред по и добавете резултата с 2-ри ред, след това умножете 1-ви ред по и добавете резултата с 3-ти ред и т.н. Очевидно този процес е еквивалентен на елиминиране на неизвестното х 1от всички уравнения на система (I), с изключение на 1-во. В новата матрица получаваме нули в 1-вата колона под елемента а 11:

.

5. Да задраскаме всички нулеви редове в матрицата, ако има такива, и да проверим дали има непоследователен ред (ако има такъв, системата е несъвместима и решението свършва дотук). Да проверим дали ще има a 22 / =0, ако да, тогава намираме във втория ред елемент, различен от нула, и пренареждаме колоните така, че . След това умножете елементите на втория ред по и добавете със съответните елементи от 3-ти ред, след това - елементите от 2-ри ред нататък и добавяме със съответните елементи от 4-ти ред и т.н., докато получим нули под а 22/

.

Предприетите действия са еквивалентни на елиминиране на неизвестното х 2от всички уравнения на система (I), с изключение на 1-во и 2-ро. Тъй като броят на редовете е краен, следователно след краен брой стъпки получаваме, че или системата е несъвместима, или в крайна сметка получаваме стъпкова матрица ( виж дефиниция 2 §7 глава 1) :

,

Нека напишем системата от уравнения, съответстваща на матрицата. Тази система е еквивалентна на система (I)

.

От последното уравнение изразяваме; заместваме в предишното уравнение, намираме и т.н., докато получим .

Бележка 1.Така, когато решаваме система (I) по метода на Гаус, стигаме до един от следните случаи.

1. Система (I) е непоследователна.

2. Системата (I) има уникално решение, ако броят на редовете в матрицата е равен на броя на неизвестните ().

3. Система (I) има безкраен брой решения, ако броят на редовете в матрицата по-малко числонеизвестен().

Следователно е валидна следната теорема.

Теорема.Система от линейни уравнения е или непоследователна, има уникално решение или има безкраен брой решения.

Примери. Решете системата от уравнения по метода на Гаус или докажете нейната несъвместимост:

а) ;

б) ;

V) .

а) Нека пренапишем за тази системавъв формата:

.

Разменихме първото и второто уравнения на оригиналната система, за да опростим изчисленията (вместо с дроби, ще работим само с цели числа, използвайки това пренареждане).

Нека създадем разширена матрица:

.

Няма нулеви редове; няма несъвместими линии, ; Нека изключим първото неизвестно от всички уравнения на системата с изключение на първото. За да направите това, умножете елементите от първия ред на матрицата по „-2“ и ги добавете със съответните елементи от втория ред, което е еквивалентно на умножаването на първото уравнение по „-2“ и добавянето му към второто уравнение. След това умножаваме елементите на 1-вия ред по “-3” и ги събираме със съответните елементи на третия ред, т.е. умножете второто уравнение на дадената система по „-3“ и го добавете към 3-то уравнение. получаваме

.

Матрицата съответства на система от уравнения

Метод на обратната матрицане е трудно, ако знаеш общи принципида работи с матрични уравнения и, разбира се, да може да извършва елементарни алгебрични операции.

Решаване на система от уравнения чрез метода на обратната матрица. Пример.

Най-удобно е да се разбере методът на обратната матрица, като се използва ясен пример. Нека вземем система от уравнения:

Първата стъпка за решаване на тази система от уравнения е да се намери детерминантата. Затова нека трансформираме нашата система от уравнения в следната матрица:

И намираме необходимата детерминанта:

Формулата, използвана за решаване на матрични уравнения, е следната:

По този начин, за да изчислим X, трябва да определим стойността на матрицата A-1 и да я умножим по b. Друга формула ще ни помогне за това:

В този случай ще бъде транспонирана матрица- тоест същият оригинален, но написан не в редове, а в колони.

Не бива да забравяме това метод на обратната матрица, подобно на метода на Крамър, е подходящ само за системи, в които детерминантата е по-голяма или по-малка от нула. Ако детерминантата е равна на нула, трябва да използвате метода на Гаус.

Следващата стъпка е да се състави матрица от второстепенни, която е следната схема:

В резултат на това получихме три матрици - минори, алгебрични добавки и транспонирана матрица на алгебрични добавки. Сега можете да продължите към действителното съставяне на обратната матрица. Вече знаем формулата. За нашия пример ще изглежда така.

В първата част погледнахме малко теоретичен материал, методът на заместване, както и методът на почленно добавяне на уравнения на системата. Препоръчвам на всички, които са влезли в сайта през тази страница, да прочетат първата част. Може би някои посетители ще намерят материала за твърде прост, но в процеса на решаване на системи от линейни уравнения направих редица много важни коментари и заключения относно решението математически задачикато цяло.

Сега ще анализираме правилото на Крамър, както и решаването на система от линейни уравнения с помощта на обратна матрица (матричен метод). Всички материали са представени просто, подробно и ясно; почти всички читатели ще могат да се научат как да решават системи, използвайки горните методи.

Първо, ще разгледаме по-отблизо правилото на Крамър за система от две линейни уравнения с две неизвестни. за какво? – В края на краищата най-простата система може да бъде решена с помощта на училищния метод, метода на добавяне по член!

Факт е, че понякога, но понякога има такава задача - да се реши система от две линейни уравнения с две неизвестни с помощта на формулите на Крамер. Второ, един по-прост пример ще ви помогне да разберете как да използвате правилото на Крамър за по-сложен случай - система от три уравнения с три неизвестни.

Освен това има системи от линейни уравнения с две променливи, които е препоръчително да се решават с помощта на правилото на Крамър!

Разгледайте системата от уравнения

На първата стъпка изчисляваме детерминантата, тя се нарича основен детерминант на системата.

Метод на Гаус.

Ако , тогава системата има уникално решение и за да намерим корените, трябва да изчислим още две детерминанти:
И

На практика горните квалификатори също могат да бъдат обозначени латиница.

Намираме корените на уравнението с помощта на формулите:
,

Пример 7

Решете система от линейни уравнения

Решение: Виждаме, че коефициентите на уравнението са доста големи, от дясната страна има десетични знацисъс запетая. Запетаята е доста рядък гост в практически задачив математиката взех тази система от иконометричен проблем.

Как да се реши такава система? Можете да опитате да изразите една променлива чрез друга, но в този случай вероятно ще получите ужасни фантастични дроби, с които е изключително неудобно да се работи, а дизайнът на решението ще изглежда просто ужасно. Можете да умножите второто уравнение по 6 и да извадите член по член, но същите дроби ще се появят и тук.

какво да правя В такива случаи на помощ идват формулите на Креймър.

;

;

отговор: ,

И двата корена имат безкрайни опашки и се намират приблизително, което е доста приемливо (и дори обичайно) за иконометрични проблеми.

Тук не са необходими коментари, тъй като задачата се решава с помощта на готови формули, но има едно предупреждение. Когато използвате този метод, задължителноФрагмент от дизайна на задачата е следният фрагмент: „Това означава, че системата има уникално решение“. В противен случай рецензентът може да ви накаже за неуважение към теоремата на Крамър.

Не би било излишно да проверите, което може удобно да се извърши на калкулатор: заместваме приблизителните стойности в лявата страна на всяко уравнение на системата. В резултат на това с малка грешка трябва да получите числа, които са от дясната страна.

Пример 8

Представете отговора в обикновени неправилни дроби. Направете проверка.

Това е пример, който можете да решите сами (пример за окончателния дизайн и отговора в края на урока).

Нека преминем към разглеждане на правилото на Крамър за система от три уравнения с три неизвестни:

Намираме основната детерминанта на системата:

Ако , тогава системата има безкрайно много решения или е непоследователна (няма решения). В този случай правилото на Крамер няма да помогне; трябва да използвате метода на Гаус.

Ако , тогава системата има уникално решение и за да намерим корените, трябва да изчислим още три детерминанти:
, ,

И накрая, отговорът се изчислява по формулите:

Както можете да видите, случаят "три по три" не се различава по същество от случая "два по два"; колоната от свободни термини последователно "ходи" отляво надясно по колоните на основната детерминанта.

Пример 9

Решете системата с помощта на формулите на Крамер.

Решение: Нека решим системата с помощта на формулите на Крамер.

, което означава, че системата има уникално решение.

отговор: .

Всъщност и тук няма какво специално да коментираме, поради факта, че решението следва готови формули. Но има няколко коментара.

Случва се в резултат на изчисления да се получат „лоши“ нередуцируеми дроби, например: .
препоръчвам следващ алгоритъм"лечение". Ако нямате компютър под ръка, направете следното:

1) Възможно е да има грешка в изчисленията. Веднага щом срещнете „лоша“ фракция, незабавно трябва да проверите Правилно ли е пренаписано условието?. Ако условието е пренаписано без грешки, тогава трябва да преизчислите детерминантите, като използвате разширение в друг ред (колона).

2) Ако в резултат на проверката не са идентифицирани грешки, най-вероятно е имало печатна грешка в условията на задачата. В този случай спокойно и ВНИМАТЕЛНО изпълнете задачата до края и след това не забравяйте да проверитеи го съставяме на чист лист след решението. Разбира се, проверката на дробен отговор е неприятна задача, но ще бъде обезоръжаващ аргумент за учителя, който много обича да дава минус за всякакви глупости като . Как да работим с дроби е описано подробно в отговора на пример 8.

Ако имате компютър под ръка, използвайте автоматизирана програма за проверка, която можете да изтеглите безплатно в самото начало на урока. Между другото, най-изгодно е да използвате програмата веднага (дори преди да стартирате решението); веднага ще видите междинната стъпка, в която сте направили грешка! Същият калкулатор автоматично изчислява решението на системата с помощта на матричния метод.

Втора забележка. От време на време има системи, в уравненията на които липсват някои променливи, например:

Тук в първото уравнение няма променлива, във второто няма променлива. В такива случаи е много важно правилно и ВНИМАТЕЛНО да запишете основната детерминанта:
– на мястото на липсващите променливи се поставят нули.
Между другото, рационално е да се отварят детерминанти с нули според реда (колоната), в който се намира нулата, тъй като има значително по-малко изчисления.

Пример 10

Решете системата с помощта на формулите на Крамер.

Това е пример за самостоятелно решение (образец на окончателния дизайн и отговора в края на урока).

За случай на система от 4 уравнения с 4 неизвестни, формулите на Крамър са написани съгласно подобни принципи. Можете да видите пример на живо в урока Свойства на детерминантите. Намаляване на реда на детерминантата - пет детерминанти от 4-ти ред са доста разрешими. Въпреки че задачата вече много напомня на обувката на професор върху гърдите на щастлив студент.

Решаване на системата с обратна матрица

Методът на обратната матрица е по същество специален случай матрично уравнение(Виж Пример № 3 от посочения урок).

За да изучавате този раздел, трябва да можете да разширявате детерминанти, да намирате обратната на матрица и да извършвате умножение на матрица. С напредването на обясненията ще бъдат предоставени подходящи връзки.

Пример 11

Решете системата с помощта на матричния метод

Решение: Нека напишем системата в матрична форма:
, Къде

Моля, разгледайте системата от уравнения и матрици. Мисля, че всеки разбира принципа, по който записваме елементи в матрици. Единственият коментар: ако някои променливи липсват в уравненията, тогава нулите трябва да бъдат поставени на съответните места в матрицата.

Намираме обратната матрица по формулата:
, където е транспонираната матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата.

Първо, нека да разгледаме детерминантата:

Тук детерминантата е разширена на първия ред.

внимание! Ако , тогава обратната матрица не съществува и е невъзможно системата да се реши с помощта на матричния метод. В този случай системата се решава по метода на елиминиране на неизвестните (метод на Гаус).

Сега трябва да изчислим 9 минори и да ги запишем в матрицата на минорите

Справка:Полезно е да знаете значението на двойните индекси в линейната алгебра. Първата цифра е номерът на реда, в който се намира елементът. Втората цифра е номерът на колоната, в която се намира елементът:

Тоест, двойният долен индекс показва, че елементът е в първия ред, третата колона и, например, елементът е в 3 ред, 2 колона

Система от m линейни уравнения с n неизвестнинаречена система на формата

Къде a ijИ b i (аз=1,…,м; b=1,…,п) са някои известни числа и x 1 ,…,x n– неизвестен. При обозначаването на коеф a ijпърви индекс азобозначава номера на уравнението, а второто й– числото на неизвестното, на което стои този коефициент.

Коефициентите за неизвестните ще запишем под формата на матрица , което ще извикаме матрица на системата.

Числата от дясната страна на уравненията са b 1 ,…,b mсе наричат безплатни членове.

Тоталност пчисла c 1 ,…,c nнаречен решениена дадена система, ако всяко уравнение на системата стане равенство след заместване на числа в него c 1 ,…,c nвместо съответните неизвестни x 1 ,…,x n.

Нашата задача ще бъде да намерим решения на системата. В този случай могат да възникнат три ситуации:

Нарича се система от линейни уравнения, която има поне едно решение съвместно. В противен случай, т.е. ако системата няма решения, тогава тя се извиква неставни.

Нека разгледаме начини за намиране на решения на системата.


МАТРИЧЕН МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА СИСТЕМИ ОТ ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ

Матриците позволяват накратко да се напише система от линейни уравнения. Нека е дадена система от 3 уравнения с три неизвестни:

Помислете за матрицата на системата и матрици колони от неизвестни и свободни членове

Да намерим работата

тези. в резултат на произведението получаваме лявата страна на уравненията на тази система. След това, използвайки дефиницията на матрично равенство, тази система може да бъде записана във формата

или по-кратко А∙X=B.

Ето и матриците АИ бса известни, а матрицата Xнеизвестен. Необходимо е да се намери, защото... неговите елементи са решението на тази система. Това уравнение се нарича матрично уравнение.

Нека детерминантата на матрицата е различна от нула | А| ≠ 0. Тогава матричното уравнение се решава по следния начин. Умножете двете страни на уравнението отляво по матрицата А-1, обратна на матрицата А: . Тъй като A -1 A = EИ д∙X = X, тогава получаваме решение на матричното уравнение във формата X = A -1 B .

Имайте предвид, че тъй като обратната матрица може да бъде намерена само за квадратни матрици, матричният метод може да реши само онези системи, в които броят на уравненията съвпада с броя на неизвестните. Въпреки това, матричен запис на системата е възможен и в случай, че броят на уравненията не е равен на броя на неизвестните, тогава матрицата Аняма да бъде квадрат и следователно е невъзможно да се намери решение на системата във формата X = A -1 B.

Примери.Решаване на системи от уравнения.

ПРАВИЛОТО НА КРЕЙМЪР

Да разгледаме система от 3 линейни уравнения с три неизвестни:

Детерминант от трети ред, съответстващ на системната матрица, т.е. съставен от коефициенти за неизвестни,

наречен детерминанта на системата.

Нека съставим още три детерминанти, както следва: заместваме последователно 1, 2 и 3 колони в детерминанта D с колона от свободни членове

Тогава можем да докажем следния резултат.

Теорема (правило на Крамер).Ако детерминантата на системата Δ ≠ 0, тогава разглежданата система има едно и само едно решение и

Доказателство. И така, нека разгледаме система от 3 уравнения с три неизвестни. Нека умножим първото уравнение на системата по алгебричното допълнение А 11елемент а 11, 2-ро уравнение – на А 21и 3-то – на А 31:

Нека добавим тези уравнения:

Нека разгледаме всяка от скобите и дясната страна на това уравнение. По теоремата за разлагането на детерминантата в елементи от 1-ва колона

По същия начин може да се покаже, че и .

И накрая, това е лесно да се забележи

Така получаваме равенството: .

Следователно, .

Аналогично се извеждат равенствата и , от което следва твърдението на теоремата.

По този начин отбелязваме, че ако детерминантата на системата Δ ≠ 0, тогава системата има уникално решение и обратно. Ако детерминантата на системата е равна на нула, то системата или има безкраен брой решения, или няма решения, т.е. несъвместими.

Примери.Решете система от уравнения


МЕТОД НА ГАУС

Разгледаните по-горе методи могат да се използват за решаване само на онези системи, в които броят на уравненията съвпада с броя на неизвестните и детерминантата на системата трябва да е различна от нула. Методът на Гаус е по-универсален и подходящ за системи с произволен брой уравнения. Състои се в последователно елиминиране на неизвестни от уравненията на системата.

Разгледайте отново система от три уравнения с три неизвестни:

.

Първото уравнение ще оставим непроменено, а от 2-ро и 3-то ще изключим членовете, съдържащи х 1. За да направите това, разделете второто уравнение на А 21 и умножете по – А 11 и след това го добавете към първото уравнение. По същия начин разделяме третото уравнение на А 31 и умножете по – А 11 и след това го съберете с първия. В резултат на това оригиналната система ще приеме формата:

Сега от последното уравнение елиминираме члена, съдържащ х 2. За да направите това, разделете третото уравнение на, умножете по и добавете с второто. Тогава ще имаме система от уравнения:

От тук, от последното уравнение е лесно да се намери х 3, след това от 2-ро уравнение х 2и накрая, от 1-ви - х 1.

Когато се използва методът на Гаус, уравненията могат да се разменят, ако е необходимо.

Често вместо да пише нова системауравнения, са ограничени до изписване на разширената матрица на системата:

и след това го приведете в триъгълна или диагонална форма с помощта на елементарни трансформации.

ДО елементарни трансформацииматриците включват следните трансформации:

  1. пренареждане на редове или колони;
  2. умножаване на низ по число, различно от нула;
  3. добавяне на други редове към един ред.

Примери:Решаване на системи от уравнения по метода на Гаус.


Така системата има безкраен брой решения.