1. Медианата разделя триъгълник на два триъгълника с еднаква площ.

2. Медианите на триъгълника се пресичат в една точка, която разделя всяка от тях в съотношение 2:1, считано от върха. Тази точка се нарича център на тежесттатриъгълник.

3. Целият триъгълник е разделен от своите медиани на шест равни триъгълника.

Свойства на ъглополовящи на триъгълник

1. Симетралата на ъгъл е геометричното място на точките, еднакво отдалечени от страните на този ъгъл.

2. Симетралата на вътрешния ъгъл на триъгълник разделя противоположната страна на отсечки, пропорционални на съседните страни: .

3. Пресечната точка на ъглополовящите на триъгълник е центърът на окръжността, вписана в този триъгълник.

Свойства на височините на триъгълника

1. В правоъгълен триъгълник, височината, изтеглена от върха прав ъгъл, го разделя на два триъгълника, подобни на оригиналния.

2. В остроъгълен триъгълник две от неговите височини отрязват подобни от него триъгълници.

Свойства на ъглополовящи на триъгълник

1. Всяка точка от ъглополовящата към сегмент е на еднакво разстояние от краищата на този сегмент. Обратното също е вярно: всяка точка, еднакво отдалечена от краищата на отсечка, лежи върху перпендикулярната към нея ъглополовяща.

2. Пресечната точка на ъглополовящите, прекарани към страните на триъгълника, е центърът на окръжността, описана около този триъгълник.

Свойство на средната линия на триъгълник

Средната линия на триъгълник е успоредна на една от страните му и равна на половината от тази страна.

Подобие на триъгълници

Два триъгълника подобниако едно от следните условия, извика признаци на прилика:

· два ъгъла от един триъгълник са равни на два ъгъла от друг триъгълник;

· две страни на един триъгълник са пропорционални на две страни на друг триъгълник, а ъглите, образувани от тези страни, са равни;

· три страни на един триъгълник са съответно пропорционални на три страни на друг триъгълник.

В подобни триъгълници съответните прави (височини, медиани, ъглополовящи и т.н.) са пропорционални.

Теорема за синусите

Косинусова теорема

а 2= б 2+ c 2- 2пр.н.е cos

Формули за площ на триъгълник

1. Свободен триъгълник

а, б, в -страни; - ъгъл между страните аи b; - полупериметър; Р-радиус на описаната окръжност; р-радиус на вписаната окръжност; S-квадрат; з а -височина, начертана до страна а.

S = ах а

S = ab sin

С = пр

2. Правоъгълен триъгълник

а, б -крака; в-хипотенуза; h c -височина, изтеглена настрани c.

S = ch c S = ab

3. Равностранен триъгълник

Четириъгълници

Свойства на успоредник

· срещуположните страни са равни;

· срещуположните ъгли са равни;

· диагоналите се разделят наполовина от точката на пресичане;

· сумата от ъглите, прилежащи към едната страна, е 180°;

Сборът от квадратите на диагоналите е равен на сбора от квадратите на всички страни:

d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2).

Четириъгълникът е успоредник, ако:

1. Двете му срещуположни страни са равни и успоредни.

2. Противоположните страни са равни по двойки.

3. Срещуположните ъгли са равни по двойки.

4. Диагоналите са разделени наполовина от точката на пресичане.

Свойства на трапец

· средната му линия е успоредна на основите и равна на тяхната полусума;

· ако трапецът е равнобедрен, то диагоналите му са равни и ъглите при основата са равни;

· ако трапецът е равнобедрен, то около него може да се опише окръжност;

· ако сборът от основите е равен на сбора от страните, то в него може да се впише окръжност.

Свойства на правоъгълник

Диагоналите са равни.

Паралелограмът е правоъгълник, ако:

1. Единият му ъгъл е прав.

2. Диагоналите му са равни.

Свойства на ромба

· всички свойства на успоредник;

Диагоналите са перпендикулярни;

Диагоналите са ъглополовящи на неговите ъгли.

1. Паралелограмът е ромб, ако:

2. Двете му съседни страни са равни.

3. Диагоналите му са перпендикулярни.

4. Един от диагоналите е ъглополовяща на неговия ъгъл.

Свойства на квадрат

· всички ъгли на квадрата са прави;

· диагоналите на квадрат са равни, взаимно перпендикулярни, пресечната точка разполовява и разполовява ъглите на квадрата.

Правоъгълникът е квадрат, ако има някакви характеристики на ромб.

Основни формули

1. Всеки изпъкнал четириъгълник
d 1,d 2 -диагонали; - ъгълът между тях; S-квадрат.

S = d 1 d 2 грях

Забележка. IN този уроктръгнах теоретични материалии решаване на задачи по геометрия на тема „медиана в правоъгълен триъгълник“. Ако трябва да решите задача по геометрия, която не е тук, пишете за това във форума. Курсът почти сигурно ще бъде допълнен.

Свойства на медианата на правоъгълен триъгълник

Определяне на медианата

Медианите на триъгълник се пресичат в една точка и се разделят от тази точка на две части в съотношение 2:1, считано от върха на ъгъла. Точката на тяхното пресичане се нарича център на тежестта на триъгълника (сравнително рядко в задачите терминът "центъроид" се използва за обозначаване на тази точка),
Медианата разделя триъгълник на два равни триъгълника.
Триъгълник е разделен от три медиани на шест равни триъгълника.
По-голямата страна на триъгълника съответства на по-малката медиана.

Предложените за решение геометрични задачи използват главно следното свойства на медианата на правоъгълен триъгълник.

Сборът от квадратите на медианите, пуснати върху катетите на правоъгълен триъгълник, е равен на пет квадрата от медианата, пусната върху хипотенузата (Формула 1)
Медиана, паднала до хипотенузата на правоъгълен триъгълник равно на половината от хипотенузата(Формула 2)
Медианата на хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равен на радиуса на описаната около него окръжностдаден правоъгълен триъгълник (Формула 2)
Медианата, паднала до хипотенузата, е равно на половината корен квадратен от сбора на квадратите на катетите(Формула 3)
Медианата, понижена до хипотенузата, е равна на частното от дължината на крака, разделена на два синуса на противоположния крак остър ъгъл(Формула 4)
Медианата, понижена до хипотенузата, е равна на частното от дължината на крака, разделена на два косинуса на острия ъгъл, съседен на крака (Формула 4)
Сборът от квадратите на страните на правоъгълен триъгълник е равен на осем квадрата от медианата, спусната към неговата хипотенуза (Формула 5)

Означения във формули:

а, б- катети на правоъгълен триъгълник

c- хипотенуза на правоъгълен триъгълник

Ако означим триъгълник като ABC, тогава

пр. н. е. = А

(т.е страни a,b,c- са противоположни на съответните ъгли)

м а- медиана, начертана към крака a

м b- медиана, изтеглена към крака b

м c - медиана на правоъгълен триъгълник, изтеглен към хипотенузата с

α (алфа)- ъгъл CAB срещуположната страна a

Задача за медиана в правоъгълен триъгълник

Медианите на правоъгълен триъгълник, прекарани към катетите, са равни съответно на 3 cm и 4 cm. Намерете хипотенузата на триъгълника

Решение

Преди да започнем да решаваме задачата, нека обърнем внимание на съотношението на дължината на хипотенузата на правоъгълен триъгълник и медианата, която се спуска върху него. За да направите това, нека се обърнем към формули 2, 4, 5 свойства на медианата в правоъгълен триъгълник. Тези формули ясно показват съотношението на хипотенузата и медианата, което се спуска върху нея като 1 към 2. Следователно, за удобство на бъдещи изчисления (което няма да повлияе по никакъв начин на правилността на решението, но ще го направи по- удобно), ние означаваме дължините на краката AC и BC с променливите x и y като 2x и 2y (не x и y).

Да разгледаме правоъгълния триъгълник ADC. Ъгъл C е прав според условията на задачата, катет AC е общ с триъгълник ABC, а катет CD е равен на половината BC според свойствата на медианата. Тогава, според Питагоровата теорема

AC 2 + CD 2 = AD 2

Тъй като AC = 2x, CD = y (тъй като медианата разделя крака на две равни части), тогава
4x 2 + y 2 = 9

Едновременно с това разгледайте правоъгълния триъгълник EBC. Той също има прав ъгъл C според условията на проблема, катет BC е общ с катет BC на оригинала триъгълник ABC, а катет EC по свойството на медианата е равен на половината от катет AC на първоначалния триъгълник ABC.
Според теоремата на Питагор:
EC 2 + BC 2 = BE 2

Тъй като EC = x (медианата разделя крака наполовина), BC = 2y, тогава
x 2 + 4y 2 = 16

Тъй като триъгълниците ABC, EBC и ADC са свързани с общи страни, двете получени уравнения също са свързани.
Нека решим получената система от уравнения.
4x 2 + y 2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16

Триъгълникът е многоъгълник с три страни, или затворена прекъсната линия с три връзки, или фигура, образувана от три сегмента, свързващи три точки, които не лежат на една и съща права линия (виж фиг. 1).

Основни елементи на триъгълник abc

Върхове – точки A, B и C;

Партита – отсечки a = BC, b = AC и c = AB, свързващи върховете;

Ъгли – α, β, γ, образувани от три двойки страни. Ъглите често се означават по същия начин като върховете, с буквите A, B и C.

Ъгълът, образуван от страните на триъгълника и лежащ във вътрешната му област, се нарича вътрешен ъгъл, а прилежащият към него е прилежащ ъгъл на триъгълника (2, с. 534).

Височини, медиани, ъглополовящи и средни линии на триъгълник

В допълнение към основните елементи в триъгълника се разглеждат и други сегменти с интересни свойства: височини, медиани, ъглополовящи и средни линии.

Височина

Височини на триъгълник- това са перпендикуляри, спуснати от върховете на триъгълника към противоположните страни.

За да начертаете височината, трябва да изпълните следните стъпки:

1) начертайте права линия, съдържаща една от страните на триъгълника (ако височината е изтеглена от върха на остър ъгъл в тъп триъгълник);

2) от върха, лежащ срещу начертаната линия, начертайте сегмент от точката до тази линия, сключвайки с нея ъгъл от 90 градуса.

Точката, в която надморската височина пресича страната на триъгълника, се нарича височина основа (виж фиг. 2).

Свойства на височините на триъгълника

В правоъгълен триъгълник надморската височина, изтеглена от върха на правия ъгъл, го разделя на два триъгълника, подобни на оригиналния триъгълник.

В остроъгълен триъгълник двете му височини отрязват подобни триъгълници от него.

Ако триъгълникът е остър, тогава всички основи на височините принадлежат на страните на триъгълника, а в тъпия триъгълник две височини попадат върху продължението на страните.

Три височини в остроъгълен триъгълник се пресичат в една точка и тази точка се нарича ортоцентър триъгълник.

Медиана

Медиани(от латински mediana – „среден“) - това са сегменти, свързващи върховете на триъгълника със средните точки на противоположните страни (виж фиг. 3).

За да изградите медианата, трябва да изпълните следните стъпки:

1) намерете средата на страната;

2) свържете точката, която е средата на страната на триъгълника с противоположния връх с сегмент.

Свойства на медианите на триъгълника

Медианата разделя триъгълник на два триъгълника с еднаква площ.

Медианите на триъгълник се пресичат в една точка, която разделя всяка от тях в съотношение 2:1, считано от върха. Тази точка се нарича център на тежестта триъгълник.

Целият триъгълник е разделен от своите медиани на шест равни триъгълника.

Симетрала

Симетрали(от лат. bis - два пъти и seko - режа) са отсечките с права линия, затворени вътре в триъгълник, които разполовяват неговите ъгли (виж фиг. 4).

За да построите ъглополовяща, трябва да изпълните следните стъпки:

1) конструирайте лъч, който излиза от върха на ъгъла и го разделя на две равни части (ъглополовящата на ъгъла);

2) намерете пресечната точка на ъглополовящата на ъгъла на триъгълника с противоположната страна;

3) изберете сегмент, свързващ върха на триъгълника с пресечната точка от противоположната страна.

Свойства на ъглополовящи на триъгълник

Симетралата на ъгъл на триъгълник дели противоположната страна в съотношение, равно на отношението на двете съседни страни.

Симетрали вътрешни ъглитриъгълници се пресичат в една точка. Тази точка се нарича център на вписаната окръжност.

Симетралите на вътрешния и външния ъгъл са перпендикулярни.

Ако ъглополовящата на външен ъгъл на триъгълник пресича продължението на срещуположната страна, тогава ADBD=ACBC.

Симетралите на един вътрешен и два външни ъгъла на триъгълник се пресичат в една точка. Тази точка е центърът на една от трите вписани окръжности на този триъгълник.

Основите на ъглополовящите на два вътрешни и един външен ъгъл на триъгълник лежат на една и съща права, ако ъглополовящата на външния ъгъл не е успоредна на срещуположната страна на триъгълника.

Ако ъглополовящите на външните ъгли на триъгълник не са успоредни противоположни страни, тогава основите им лежат на една права линия.

Когато изучавате всяка тема в училищен курс, можете да изберете определен минимум от проблеми и след като усвоите методите за решаването им, учениците ще могат да решават всеки проблем на нивото на програмните изисквания по изучаваната тема. Предлагам да разгледате проблеми, които ще ви позволят да видите взаимовръзките на отделните теми в училищния курс по математика. Следователно съставената система от задачи е ефективни средстваповторение, обобщение и систематизиране учебен материалдокато подготвят учениците за изпита.

За да преминете изпита, няма да е излишно допълнителна информацияза някои елементи на триъгълник. Нека разгледаме свойствата на медианата на триъгълник и проблемите, при решаването на които могат да се използват тези свойства. Предложените задачи реализират принципа на степенната диференциация. Всички задачи са условно разделени на нива (нивото е посочено в скоби след всяка задача).

Нека си припомним някои свойства на медианата на триъгълник

Имот 1. Докажете, че медианата на триъгълник ABC, изтеглен от върха А, по-малко от половината от сбора на страните ABи A.C..

Доказателство

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Имот 2. Медианата разрязва триъгълника на две равни области.

Доказателство

Нека начертаем от върха B на триъгълника ABC медианата BD и височината BE..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

Тъй като отсечката BD е медианата, тогава

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Медиана" align="left" width="196" height="75 src=">!} Имот 4. Медианите на триъгълник разделят триъгълника на 6 равни триъгълника.

Доказателство

Нека докажем, че площта на всеки от шестте триъгълника, на които медианите разделят триъгълника ABC, е равна на лицето на триъгълника ABC. За да направите това, помислете например за триъгълник AOF и пуснете перпендикуляр AK от връх A към права BF.

Поради свойство 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Медиана" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Имот 6. Медианата в правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, е равна на половината от хипотенузата.

Доказателство

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Медиана" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Последици:1. Центърът на окръжност, описана около правоъгълен триъгълник, лежи в средата на хипотенузата.

2. Ако в триъгълник дължината на медианата е равна на половината от дължината на страната, към която е начертана, то този триъгълник е правоъгълен.

ЗАДАЧИ

При решаването на всеки следващ проблем се използват доказани свойства.

№1 Теми: Удвояване на медианата. Трудност: 2+

Признаци и свойства на успоредник Оценки: 8,9

Състояние

При продължение на медианата А.М.триъгълник ABCна точка Мсегментът е отложен М.Д., равен А.М.. Докажете, че четириъгълникът ABDC- успоредник.

Решение

Нека използваме един от знаците на успоредник. Диагонали на четириъгълник ABDCпресичат се в точка Ми го разделете наполовина, така че четириъгълникът ABDC- успоредник.