Началната фаза на колебанията на графиката. Изучаване на трептения - фазата на трептене
>> Фаза на трептене
§ 23 ФАЗА НА ТРЕПТЕНИЯ
Нека въведем още една величина, характеризираща хармоничните трептения - фазата на трептенията.
За дадена амплитуда на трептенията, координатата на осцилиращото тяло във всеки момент се определя еднозначно от аргумента косинус или синус:
Величината под знака на функцията косинус или синус се нарича фаза на трептене, описана от тази функция. Фазата се изразява в ъглови единици радиани.
Фазата определя не само стойността на координатата, но и стойността на други физични величини, като скорост и ускорение, които също се променят по хармоничен закон. Следователно можем да кажем, че фазата определя, за дадена амплитуда, състоянието на трептящата система във всеки момент. Това е значението на понятието фаза.
Трептения с еднакви амплитуди и честоти могат да се различават по фаза.
Съотношението показва колко периода са изминали от началото на трептенето. Всяка времева стойност t, изразена в броя на периодите T, съответства на фазова стойност, изразена в радиани. И така, след време t = (четвърт от период), след половин период =, след цял период = 2 и т.н.
Можете да изобразите на графика зависимостта на координатите на осцилираща точка не от времето, а от фазата. Фигура 3.7 показва същата косинусова вълна като на фигура 3.6, но на хоризонталната ос вместо време различни значенияфази
Представяне на хармонични вибрации с помощта на косинус и синус. Вече знаете, че по време на хармонични вибрации координатата на тялото се променя с течение на времето според закона на косинуса или синуса. След като представихме понятието фаза, ще се спрем на това по-подробно.
Синусът се различава от косинуса чрез изместване на аргумента с , което съответства, както може да се види от уравнение (3.21), на период от време, равен на една четвърт от периода:
Но в този случай началната фаза, т.е. стойността на фазата в момент t = 0, не е равна на нула, а .
Обикновено ние възбуждаме трептения на тяло, закрепено към пружина, или трептения на махало, като извадим тялото на махалото от равновесното му положение и след това го освободим. Изместването от равновесие е максимално в началния момент. Следователно, за да се опишат колебания, е по-удобно да се използва формула (3.14), използваща косинус, отколкото формула (3.23), използваща синус.
Но ако възбудим трептения на тяло в покой с краткотраен тласък, тогава координатата на тялото в началния момент ще бъде равна на нула и би било по-удобно да се опишат промените в координатата във времето с помощта на синуса , т.е. по формулата
x = x m sin t (3.24)
тъй като в този случай началната фаза е нула.
Ако в началния момент от време (при t = 0) фазата на трептенията е равна на , тогава уравнението на трептенията може да бъде написано във формата
x = x m sin(t + )
Фазово изместване. Трептенията, описани с формули (3.23) и (3.24), се различават едно от друго само във фазите. Фазовата разлика или, както често се казва, фазовото изместване на тези трептения е . Фигура 3.8 показва графики на координатите спрямо времето на трептенията, изместени по фаза с . Графика 1 съответства на колебания, които възникват според синусоидалния закон: x = x m sin t, а графика 2 съответства на колебания, които възникват според косинусния закон:
За да се определи фазовата разлика между две трептения, и в двата случая осцилиращото количество трябва да се изрази чрез едно и също тригонометрична функция- косинус или синус.
1. Какви трептения се наричат хармонични!
2. Как са свързани ускорението и координатата при хармонични трептения!
3. Как са свързани? циклична честотатрептения и период на трептения!
4. Защо честотата на вибрациите на тяло, прикрепено към пружина, зависи от неговата маса и честотата на вибрациите математическо махалоне зависи от масата!
5. Какви са амплитудите и периодите на три различни хармонични трептения, чиито графики са представени на фигури 3.8, 3.9!
Осцилаторните процеси са важен елемент съвременна наукаи технологиите, затова на тяхното изучаване винаги се е обръщало внимание като на един от „вечните“ проблеми. Задачата на всяко знание не е просто любопитство, а използването му в ежедневието. И затова съществуват нови и се появяват всеки ден. технически системии механизми. Те са в движение, проявяват своята същност чрез извършване на някаква работа или, като са неподвижни, запазват потенциала при определени условия да преминат в състояние на движение. Какво е движение? Без да се задълбочаваме в дивата природа, ще приемем най-простата интерпретация: промяна в позицията на материално тяло спрямо всяка координатна система, която условно се счита за неподвижна.
Сред огромно количество възможни вариантидвижение специален интереспредставлява колебателна система, която се различава по това, че системата повтаря промяната на своите координати (или физични величини) на определени интервали - цикли. Такива трептения се наричат периодични или циклични. Сред тях има отделен клас, в който характерни особености(скорост, ускорение, положение в пространството и др.) се променят във времето по хармоничен закон, т.е. имащи синусоидална форма. Забележително свойство на хармоничните вибрации е, че тяхната комбинация представлява всякакви други опции, вкл. и нехармонични. Много важна концепция във физиката е „фазата на трептене“, което означава фиксиране на позицията на осцилиращо тяло в определен момент от време. Фазата се измерва в ъглови единици - радиани, съвсем условно, просто като удобна техника за обяснение на периодични процеси. С други думи, фазата определя стойността на текущото състояние на осцилаторната система. Не може да бъде иначе - все пак фазата на трептенията е аргумент на функцията, която описва тези трептения. Истинският смисълфазите за движение с колебателен характер могат да означават координати, скорост и други физични параметри, които се променят по хармоничен закон, но общото между тях е зависимостта от времето.
Демонстрирането на трептения не е никак трудно - за това ще ви трябва най-простото механична система- нишка с дължина r и "материална точка", окачена на нея - тежест. Закрепете конеца в центъра правоъгълна системакоординати и кара нашето „махало“ да се върти. Нека приемем, че той доброволно прави това с ъглова скорост w. Тогава за време t ъгълът на завъртане на товара ще бъде φ = wt. Освен това този израз трябва да вземе предвид началната фаза на трептения под формата на ъгъл φ0 - позицията на системата преди началото на движението. така че пълен ъгълвъртене, фаза, се изчислява от връзката φ = wt+ φ0. Тогава изразът за хармоничната функция, който е проекцията на координатите на товара върху оста X, може да бъде написан:
x = A * cos(wt + φ0), където A е амплитудата на вибрациите, в нашия случай равна на r - радиуса на нишката.
По същия начин, същата проекция върху оста Y ще бъде написана както следва:
y = A * sin(wt + φ0).
Трябва да се разбере, че фазата на трептенията в този случай не означава мярката на въртене „ъгъл“, а ъгловата мярка за време, която изразява времето в единици ъгъл. През това време товарът се завърта под определен ъгъл, който може да се определи еднозначно въз основа на факта, че за циклично трептене w = 2 * π /T, където T е периодът на трептене. Следователно, ако един период съответства на въртене от 2π радиана, тогава част от периода, времето, може да бъде пропорционално изразено чрез ъгъл като част от общото въртене на 2π.
Вибрациите не съществуват сами по себе си - звуците, светлината, вибрациите винаги са суперпозиция, налагане, голямо количествоколебания от различни източници. Разбира се, резултатът от суперпозицията на две или повече трептения се влияе от техните параметри, вкл. и фазата на трептене. Формулата за общото трептене, обикновено нехармонично, може да има много сложен вид, но това само го прави по-интересен. Както беше посочено по-горе, всяко нехармонично трептене може да бъде представено във формата голям бройхармонични с различна амплитуда, честота и фаза. В математиката тази операция се нарича „серийно разширение на функция“ и се използва широко при изчисления, например, на якостта на конструкции и конструкции. Основата на такива изчисления е изследването на хармоничните трептения, като се вземат предвид всички параметри, включително фазата.
трептения се наричат движения или процеси, които се характеризират с известна повторяемост във времето. Трептенията са широко разпространени в околния свят и могат да имат много различен характер. Те могат да бъдат механични (махало), електромагнитни (колебателен кръг) и други видове вибрации. безплатно, или собственитрептения се наричат трептения, възникващи в система, оставена сама на себе си, след като е била изведена от равновесие чрез външно въздействие. Пример за това е трептенето на топка, окачена на връв. Хармонични вибрации се наричат такива трептения, при които трептящата величина се изменя с времето по закон синус или косинус . Хармонично уравнение има формата:, където A - амплитуда на вибрация (големината на най-голямото отклонение на системата от равновесното положение); - кръгова (циклична) честота. Извиква се периодично променящият се аргумент на косинуса фаза на трептене . Фазата на трептене определя изместването на осцилиращото количество от равновесното положение в в моментавреме t. Константата φ представлява стойността на фазата в момент t = 0 и се нарича начална фаза на трептене .. Този период от време T се нарича период на хармонични трептения. Периодът на хармоничните трептения е равен на : T = 2π/. Математическо махало- осцилатор, който е механична система, състояща се от материална точка, разположена върху безтегловна неразтеглива нишка или върху безтегловен прът в еднородно поле на гравитационни сили. Период на малки собствени трептения на математическо махало с дължина Лнеподвижно окачен в еднородно гравитационно поле с ускорение на свободно падане жравни
и не зависи от амплитудата на трептенията и масата на махалото. Физическо махало- Осцилатор, който е твърдо тяло, което осцилира в поле на всякакви сили спрямо точка, която не е центърът на масата на това тяло, или фиксирана ос, перпендикулярна на посоката на действие на силите и не минаваща през центъра на масата на това тяло.
24. Електромагнитни вибрации. Осцилаторна верига. Формула на Томсън.
Електромагнитни вибрации- това са колебания на електрически и магнитни полета, които са придружени от периодични промени в заряда, тока и напрежението. Най-простата система, в която могат да възникнат и съществуват свободни електромагнитни трептения, е осцилаторна верига. Осцилаторна верига- това е верига, състояща се от индуктор и кондензатор (фиг. 29, а). Ако кондензаторът е зареден и свързан към бобината, токът ще тече през бобината (фиг. 29, b). Когато кондензаторът се разреди, токът във веригата няма да спре поради самоиндукция в намотката. Индукционният ток, в съответствие с правилото на Ленц, ще има същата посока и ще презареди кондензатора (фиг. 29, c). Процесът ще се повтори (фиг. 29, d) по аналогия с трептенията на махалото. По този начин в колебателната верига ще възникнат електромагнитни трептения поради преобразуване на енергия електрическо поле capacitor() в енергия магнитно поленамотки с ток (), и обратно. Периодът на електромагнитните трептения в идеална осцилаторна верига зависи от индуктивността на намотката и капацитета на кондензатора и се намира с помощта на формулата на Томсън. Честотата и периодът са обратно пропорционални.
Фаза на трептенепълен - аргумент на периодична функция, описваща колебателен или вълнов процес.
Фаза на трептененачална - стойността на фазата на трептене (обща) в началния момент от времето, т.е. при t= 0 (за колебателен процес), както и в началния момент от времето в началото на координатната система, т.е. при t= 0 в точка ( х, г, z) = 0 (за вълновия процес).
Фаза на трептене(в електротехниката) - аргумент на синусоидална функция (напрежение, ток), броена от точката, в която стойността преминава през нула до положителна стойност.
Фаза на трептене- хармонично трептене ( φ ) .
Размер φ, стояща под знака на функцията косинус или синус се нарича фаза на трептенеописани от тази функция.
φ = ω៰ t
По правило за фаза се говори по отношение на хармонични трептения или монохроматични вълни. Когато се описва величина, която изпитва хармонични трептения, например, се използва един от изразите:
A cos (ω t + φ 0) (\displaystyle A\cos(\omega t+\varphi _(0))), A sin (ω t + φ 0) (\displaystyle A\sin(\omega t+\varphi _(0))), A e i (ω t + φ 0) (\displaystyle Ae^(i(\omega t+\varphi _(0)))).По същия начин, когато се описва вълна, разпространяваща се в едномерно пространство, например, се използват изрази от формата:
A cos (k x − ω t + φ 0) (\displaystyle A\cos(kx-\omega t+\varphi _(0))), A sin (k x − ω t + φ 0) (\displaystyle A\sin(kx-\omega t+\varphi _(0))), A e i (k x − ω t + φ 0) (\displaystyle Ae^(i(kx-\omega t+\varphi _(0)))),за вълна в пространство с произволно измерение (например в триизмерно пространство):
A cos (k ⋅ r − ω t + φ 0) (\displaystyle A\cos(\mathbf (k) \cdot \mathbf (r) -\omega t+\varphi _(0))), A sin (k ⋅ r − ω t + φ 0) (\displaystyle A\sin(\mathbf (k) \cdot \mathbf (r) -\omega t+\varphi _(0))), A e i (k ⋅ r − ω t + φ 0) (\displaystyle Ae^(i(\mathbf (k) \cdot \mathbf (r) -\omega t+\varphi _(0)))).Фазата на трептене (общата) в тези изрази е аргументфункции, т.е. израз, записан в скоби; начална фаза на трептене - стойност φ 0, което е един от членовете на общата фаза. Говорейки за пълната фаза, думата пъленчесто се пропуска.
Трептения с еднакви амплитуди и честоти могат да се различават по фаза. защото ω៰ =2π/T, Това φ = ω៰t = 2π t/T.
Отношение t/T показва колко периода са изминали от началото на трептенията. Всяка стойност на времето t , изразено в броя на периодите Т , съответства на стойността на фазата φ , изразено в радиани. И така, с течение на времето t=Т/4 (тримесечен период) φ=π/2, след половината период φ =π/2, след цял период φ=2 π и т.н.
Тъй като функциите sin(...) и cos(...) съвпадат една с друга, когато аргументът (т.е. фазата) се измества с π / 2 , (\displaystyle \pi /2,)тогава, за да се избегне объркване, е по-добре да се използва само една от тези две функции за определяне на фазата, а не и двете едновременно. Съгласно обичайната конвенция се разглежда фаза аргументът е косинус, а не синус.
Тоест за осцилаторния процес (виж по-горе) фазата (пълна)
φ = ω t + φ 0 (\displaystyle \varphi =\omega t+\varphi _(0)),за вълна в едномерно пространство
φ = k x − ω t + φ 0 (\displaystyle \varphi =kx-\omega t+\varphi _(0)),за вълна в триизмерно пространство или пространство от всяко друго измерение:
φ = k r − ω t + φ 0 (\displaystyle \varphi =\mathbf (k) \mathbf (r) -\omega t+\varphi _(0)),Къде ω (\displaystyle \omega )- ъглова честота (стойност, показваща колко радиана или градуса ще се промени фазата за 1 s; колкото по-висока е стойността, толкова по-бързо нараства фазата във времето); t- време; φ 0 (\displaystyle \varphi _(0))- начална фаза (т.е. фазата при t = 0); к- вълново число; х- координата на точката на наблюдение на вълновия процес в едномерното пространство; к- вълнов вектор; r- радиус вектор на точка в пространството (набор от координати, например декартов).
В горните изрази фазата има размерността на ъглови единици (радиани, градуси). Фазата на осцилаторния процес, по аналогия с механичния ротационен процес, също се изразява в цикли, т.е. части от периода на повтарящия се процес:
1 цикъл = 2 π (\displaystyle \pi )радиан = 360 градуса.
В аналитичните изрази (във формулите) се използва предимно (и по подразбиране) представянето в градуси (очевидно като изключително ясно и не водещо до объркване, тъй като знакът за градус обикновено не е); пропуснати във всеки устна реч, нито в записите). Посочването на фазата в цикли или периоди (с изключение на словесни формулировки) е относително рядко в технологията.
Понякога (в квазикласическото приближение, където се използват квазимонохроматични вълни, т.е. близки до монохроматични, но не строго монохроматични), както и във формализма на интегралния път, където вълните могат да бъдат далеч от монохроматични, въпреки че все още са подобни на монохроматични ) разглежда се фазата, която е нелинейна функция на времето tи пространствени координати r, по принцип, произволна функция.
Търсене
Можем да ви уведомяваме за нови статии,