Във векторното смятане и неговите приложения голяма стойностима задача за разлагане, състояща се в представяне на даден вектор като сума от няколко вектора, наречени компоненти на дадено

вектор. Тази задача, която има общ случайбезкраен брой решения, става съвсем определено, ако посочим някои елементи от съставните вектори.

2. Примери за разлагане.

Нека разгледаме няколко много често срещани случая на разлагане.

1. Разложете даден вектор c на два съставни вектора, единият от които, например a, е даден по големина и посока.

Проблемът се свежда до определяне на разликата между два вектора. Наистина, ако векторите са компоненти на вектора c, тогава равенството трябва да е изпълнено

От тук се определя вторият компонентен вектор

2. Разлагаме дадения вектор c на две компоненти, едната от които трябва да лежи в дадена равнина, а втората трябва да лежи на дадена права a.

За да определим съставните вектори, преместваме вектора c така, че началото му да съвпада с пресечната точка на дадената права с равнината (точка O - виж фиг. 18). От края на вектор c (точка C) начертаваме права линия до

пресичане с равнината (B е точката на пресичане), а след това от точка C начертаваме права линия, успоредна

Векторите и ще бъдат желаните, т.е. Естествено, посоченото разширение е възможно, ако правата линия a и равнината не са успоредни.

3. Дадени са три компланарни вектора a, b и c, като векторите не са колинеарни. Изисква се векторът c да се разложи на вектори

Нека приведем и трите дадени вектора в една точка O. Тогава поради тяхната компланарност те ще бъдат разположени в една и съща равнина. Използвайки този вектор c като диагонал, ще построим успоредник, чиито страни са успоредни на линиите на действие на векторите (фиг. 19). Тази конструкция е винаги възможна (освен ако векторите не са колинеарни) и е уникална. От фиг. 19 е ясно, че

Основата на пространствототе наричат ​​такава система от вектори, в която всички други вектори в пространството могат да бъдат представени като линейна комбинация от вектори, включени в основата.
На практика всичко това се изпълнява доста просто. Основата, като правило, се проверява на равнина или в пространството и за това трябва да намерите детерминанта на матрица от втори, трети ред, съставена от векторни координати. По-долу са написани схематично условия, при които векторите формират основа

до разширете вектор b в базисни вектори
e,e...,e[n] е необходимо да се намерят коефициентите x, ..., x[n], за които линейната комбинация от вектори e,e...,e[n] е равна на вектор б:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
За да направите това, векторното уравнение трябва да се преобразува в системата линейни уравненияи намерете решения. Това също е доста лесно за изпълнение.
Намерените коефициенти x, ..., x[n] се наричат координати на вектор b в основата e,e...,e[n].
Да преминем към практическа странатеми.

Разлагане на вектор на базисни вектори

Задача 1. Проверете дали векторите a1, a2 образуват базис на равнината

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Решение: Съставяме детерминанта от координатите на векторите и я пресмятаме


Детерминантът не е нула, следователно векторите са линейно независими, което означава, че образуват основа.

2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
Решение: Изчисляваме детерминантата, съставена от вектори

Детерминантата е равна на 13 (не е равна на нула) - от това следва, че векторите a1, a2 са основа на равнината.

---=================---

Нека разгледаме типични примери от програмата MAUP по дисциплината „Висша математика“.

Задача 2. Покажете, че векторите a1, a2, a3 формират основата на тримерно векторно пространство и разширете вектора b според тази основа (използвайте метода на Крамър при решаване на система от линейни алгебрични уравнения).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Решение: Първо, разгледайте системата от вектори a1, a2, a3 и проверете детерминантата на матрица A

изграден върху ненулеви вектори. Матрицата съдържа един нулев елемент, така че е по-подходящо детерминантата да се изчисли като график в първата колона или третия ред.

В резултат на изчисленията установихме, че детерминантата е различна от нула, следователно векторите a1, a2, a3 са линейно независими.
По дефиниция векторите формират основа в R3. Нека запишем графика на вектор b въз основа на

Векторите са равни, когато съответните им координати са равни.
Следователно от векторното уравнение получаваме система от линейни уравнения

Нека решим SLAE Методът на Крамер. За да направим това, записваме системата от уравнения във формата

Главният детерминант на SLAE винаги е равен на детерминантата, съставена от базисни вектори

Следователно на практика не се брои два пъти. За да намерим спомагателни детерминанти, поставяме колона със свободни термини на мястото на всяка колона от основната детерминанта. Детерминантите се изчисляват с помощта на правилото на триъгълника



Нека заместим намерените детерминанти във формулата на Крамър



И така, разширението на вектора b по отношение на основата има формата b=-4a1+3a2-a3. Координатите на вектор b в основата a1, a2, a3 ще бъдат (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Решение: Проверяваме векторите за базис - съставяме детерминанта от координатите на векторите и я изчисляваме

Следователно детерминантата не е равна на нула векторите формират основа в пространството. Остава да се намери разписанието на вектор b през тази база. За да направим това, ние пишем векторното уравнение

и се трансформира в система от линейни уравнения

Нека го запишем матрично уравнение

След това за формулите на Крамър намираме спомагателни детерминанти



Прилагаме формулите на Крамер



Така че даден вектор b има график през два базисни вектора b=-2a1+5a3, а координатите му в основата са равни на b(-2,0, 5).

Основа(старогръцки βασις, основа) - набор от вектори във векторно пространство, така че всеки вектор в това пространство може да бъде уникално представен като линейна комбинация от вектори от това множество - базисни вектори

Базис в пространството Rn е всяка система от п-линейно независими вектори. Всеки вектор от R n, който не е включен в базиса, може да бъде представен като линейна комбинация от базисни вектори, т.е. разпределени върху основата.
Нека е основата на пространството R n и . Тогава има числа λ 1, λ 2, …, λ n такива, че .
Коефициентите на разширение λ 1, λ 2, ..., λ n се наричат ​​векторни координати в базис B. Ако базисът е даден, тогава векторните коефициенти се определят еднозначно.

Коментирайте. Във всяка п-измерно векторно пространство, можете да изберете безкраен брой различни бази. В различните бази един и същи вектор има различни координати, но те са уникални в избраната база. Пример.Разгънете вектора в основата му.
Решение. . Нека заместим координатите на всички вектори и да извършим действия върху тях:

Приравнявайки координатите, получаваме система от уравнения:

Нека го решим: .
Така получаваме разлагането: .
В основата векторът има координати.

Край на работата -

Тази тема принадлежи към раздела:

Векторна концепция. Линейни операции върху вектори

Векторът е насочен сегмент с определена дължина, т.е. сегмент с определена дължина, който има една от своите гранични точки.

Ако имате нужда допълнителен материалпо тази тема или не сте намерили това, което търсите, препоръчваме да използвате търсенето в нашата база данни с произведения:

Какво ще правим с получения материал:

Ако този материал е бил полезен за вас, можете да го запазите на страницата си в социалните мрежи: