Задачи за средна скорост(по-нататък СК). Вече разгледахме задачи, включващи линейно движение. Препоръчвам ви да разгледате статиите "" и "". Типични задачиза средна скорост това е група задачи за движение, те са включени в Единния държавен изпит по математика и много вероятно е такава задача да се появи пред вас по време на самия изпит. Проблемите са прости и могат да бъдат решени бързо.

Идеята е следната: представете си обект на движение, например кола. Той изминава определени участъци от пътя с различна скорост. Цялото пътуване отнема определено време. И така: средната скорост е такава постоянна скорост, с която автомобилът би изминал дадено разстояние за същото време, тоест формулата за средна скорост е следната:

Ако имаше две секции от пътя, тогава

Ако три, тогава съответно:

*В знаменателя сумираме времето, а в числителя изминатите разстояния през съответните интервали от време.

Автомобилът е изминал първата третина от маршрута със скорост 90 km/h, втората третина със скорост 60 km/h, а последната третина със скорост 45 km/h. Намерете IC на превозното средство по целия маршрут. Дайте своя отговор в км/ч.

Както вече беше казано, необходимо е целият път да се раздели на цялото време на движение. Условието гласи за три участъка от пътеката. Формула:

Нека означим цялото с S. Тогава колата измина първата трета от пътя:

Колата измина втората третина от пътя:

Колата измина последната трета от пътя:

Така


Решете сами:

Автомобилът е изминал първата третина от маршрута със скорост 60 km/h, втората третина със скорост 120 km/h, а последната третина със скорост 110 km/h. Намерете IC на превозното средство по целия маршрут. Дайте своя отговор в км/ч.

Автомобилът се е движил първия час със скорост 100 км/ч, следващите два часа със скорост 90 км/ч и след това два часа със скорост 80 км/ч. Намерете IC на превозното средство по целия маршрут. Дайте своя отговор в км/ч.

Условието гласи за три участъка от пътеката. Ще търсим SC по формулата:

Участъците от пътя не са ни дадени, но можем лесно да ги изчислим:

Първият участък от маршрута беше 1∙100 = 100 километра.

Вторият участък от маршрута беше 2∙90 = 180 километра.

Третият участък от маршрута беше 2∙80 = 160 километра.

Изчисляваме скоростта:

Решете сами:

Първите два часа колата се е движила със скорост 50 км/ч, през следващия час със скорост 100 км/ч и два часа със скорост 75 км/ч. Намерете IC на превозното средство по целия маршрут. Дайте своя отговор в км/ч.

Автомобилът е карал първите 120 км със скорост 60 км/ч, следващите 120 км със скорост 80 км/ч и след това 150 км със скорост 100 км/ч. Намерете IC на превозното средство по целия маршрут. Дайте своя отговор в км/ч.

Говори се за три участъка от пътеката. Формула:

Дадена е дължината на участъците. Нека определим времето, прекарано от автомобила на всеки участък: 120/60 часа са прекарани на първия участък, 120/80 часа на втория участък, 150/100 часа на третия. Изчисляваме скоростта:

Решете сами:

Автомобилът е изминал първите 190 км със скорост 50 км/ч, следващите 180 км със скорост 90 км/ч и след това 170 км със скорост 100 км/ч. Намерете IC на превозното средство по целия маршрут. Дайте своя отговор в км/ч.

Половината от времето, прекарано на пътя, автомобилът се е движил със скорост 74 km/h, а втората половина от времето със скорост 66 km/h. Намерете IC на превозното средство по целия маршрут. Дайте своя отговор в км/ч.

*Има проблем за пътник, прекосил морето. Момчетата имат проблеми с решението. Ако не го виждате, тогава се регистрирайте в сайта! Бутонът за регистрация (вход) се намира в ГЛАВНОТО МЕНЮ на сайта. След регистрация влезте в сайта и обновете тази страница.

Пътешественикът прекоси морето на яхта с средна скорост 17 км/ч. Той летя обратно със спортен самолет със скорост 323 км/ч. Намерете средната скорост на пътника по време на цялото пътуване. Дайте своя отговор в км/ч.

Най-добри пожелания, Александър.

P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи.

Не забравяйте, че скоростта се дава както от числова стойност, така и от посока.Скоростта описва колко бързо се променя позицията на тялото, както и посоката, в която се движи тялото. Например 100 m/s (юг).

  • Намерете общото изместване, тоест разстоянието и посоката между началната и крайната точка на пътя.Като пример, разгледайте тяло, което се движи с постоянна скорост в една посока.

    • Например ракета е изстреляна в северна посока и се е движила 5 минути с постоянна скорост от 120 метра в минута. За да изчислите общото изместване, използвайте формулата s = vt: (5 минути) (120 m/min) = 600 м (север).
    • Ако на проблема е дадено постоянно ускорение, използвайте формулата s = vt + ½at 2 (следващият раздел описва опростен начин за работа с постоянно ускорение).

  • Намерете общото време за пътуване.В нашия пример ракетата пътува за 5 минути. Средната скорост може да бъде изразена във всякакви мерни единици, но в международна системаЕдиниците за скорост се измерват в метри в секунда (m/s). Преобразувайте минути в секунди: (5 минути) x (60 секунди/минута) = 300 секунди.

    • Дори ако в научен проблем времето е дадено в часове или други мерни единици, по-добре е първо да изчислите скоростта и след това да я преобразувате в m/s.

  • Изчислете средната скорост.Ако знаете стойността на денивелацията и общото време за пътуване, можете да изчислите средната скорост по формулата v av = Δs/Δt. В нашия пример средната скорост на ракетата е 600 m (север) / (300 секунди) = 2 m/s (север).

    • Не забравяйте да посочите посоката на движение (например „напред“ или „север“).
    • Във формулата v av = Δs/Δtсимволът "делта" (Δ) означава "промяна в величината", т.е. Δs/Δt означава "промяна в позицията към промяна във времето".
    • Средната скорост може да бъде записана като v av или като v с хоризонтална лента отгоре.

  • Решение повече сложни задачи, например, ако тялото се върти или ускорението не е постоянно.В тези случаи средната скорост все още се изчислява като съотношение на общата денивелация към общото време. Няма значение какво се случва с тялото между началната и крайната точка на пътя. Ето някои примери за проблеми с една и съща обща денивелация и общо време (и следователно еднаква средна скорост).

    • Анна върви на запад с 1 m/s за 2 секунди, след което моментално ускорява до 3 m/s и продължава да върви на запад за 2 секунди. Общата му денивелация е (1 m/s)(2 s) + (3 m/s)(2 s) = 8 m (на запад). Общо времепо пътя: 2 s + 2 s = 4 s. Нейната средна скорост: 8 m / 4 s = 2 m/s (запад).
    • Борис върви на запад с 5 m/s за 3 секунди, след това се обръща и върви на изток със 7 m/s за 1 секунда. Можем да разглеждаме движението на изток като „отрицателно движение“ на запад, така че общото движение е (5 m/s)(3 s) + (-7 m/s)(1 s) = 8 метра. Общото време е 4 s. Средната скорост е 8 m (запад) / 4 s = 2 m/s (запад).
    • Джулия изминава 1 метър на север, след това изминава 8 метра на запад и след това изминава 1 метър на юг. Общото време за пътуване е 4 секунди. Начертайте диаграма на това движение на хартия и ще видите, че то завършва на 8 метра западно от началната точка, така че общото движение е 8 m. Общото време за пътуване е 4 секунди. Средната скорост е 8 m (запад) / 4 s = 2 m/s (запад).

    • Има средни стойности, чиято неправилна дефиниция се е превърнала в шега или притча. Всякакви некоректни изчисления се коментират с обичайно, общоразбираемо позоваване на такъв очевидно абсурден резултат. Например фразата „средна температура в болницата“ ще накара всеки да се усмихне със саркастично разбиране. Същите експерти обаче често, без да се замислят, събират скоростите на отделни участъци от маршрута и разделят изчислената сума на броя на тези участъци, за да получат също толкова безсмислен отговор. Спомнете си от курса по механика гимназия, как да намерим средната скорост по правилен, а не абсурден начин.

    Аналог на "средната температура" в механиката

    В какви случаи сложните условия на даден проблем ни тласкат към прибързан, необмислен отговор? Ако се говори за „части“ от пътя, но не се посочва тяхната дължина, това тревожи дори човек, който няма голям опит в решаването на подобни примери. Но ако проблемът директно показва равни интервали, например „през първата половина на пътуването влакът следваше със скорост...“ или „пешеходецът измина първата трета от пътя със скорост...“, и след това описва подробно как обектът се е движил на останалите равни интервали, тоест съотношението е известно S 1 = S 2 = ... = S nи точни стойностискорости v 1, v 2, ... v п, нашето мислене често се проваля непростимо. Разглежда се средноаритметичното на скоростите, тоест всички известни стойности v съберете и разделете на п. В резултат на това отговорът се оказва неверен.

    Прости „формули“ за изчисляване на количества по време на равномерно движение

    Както за цялото изминато разстояние, така и за отделните му участъци при осредняване на скоростта са валидни съотношенията, записани за равномерно движение:

    • S = vt(1), път на "формула";
    • t=S/v(2), "формула" за изчисляване на времето за движение ;
    • v=S/t(3), „формула“ за определяне на средната скорост на участък от трасето Спреминат във времето t.

    Тоест да намерите желаното количество vизползвайки връзка (3), трябва да знаем точно другите две. Именно когато решаваме въпроса как да намерим средната скорост на движение, първо трябва да определим какво е цялото изминато разстояние Си какво е цялото време на движение? t.

    Математическо откриване на скрити грешки

    В примера, който решаваме, разстоянието, изминато от тялото (влак или пешеходец), ще бъде равно на произведението nS n(тъй като ние пслед като съберем равни участъци от пътя, в дадените примери - половини, n=2, или трети, n=3). Не знаем нищо за общото време на движение. Как да определим средната скорост, ако знаменателят на дробта (3) не е изрично посочен? Нека използваме връзка (2) за всеки участък от пътя, който определяме t n = S n: v n. Сума Така изчислените времеви интервали ще запишем под чертата на дробта (3). Ясно е, че за да се отървете от знаците "+", трябва да носите всичко S n: v nдо общ знаменател. Резултатът е „двуетажна фракция“. След това използваме правилото: знаменателят на знаменателя влиза в числителя. В резултат на това за проблема с влака след намаляване с S n имаме v av = nv 1 v 2: v 1 + v 2, n = 2 (4) . В случай на пешеходец, въпросът как да се намери средната скорост е още по-труден за решаване: v av = nv 1 v 2 v 3: v 1v2 + v 2 v 3 + v 3 v 1,n=3(5).

    Изрично потвърждение на грешката "в числа"

    За да потвърдите с пръсти, че определянето на средната аритметична е грешен начин за извършване на изчисления vср, нека направим примера по-конкретн, като заменим абстрактните букви с числа. За влака да вземем скоростите 40 км/чи 60 км/ч(грешен отговор - 50 км/ч). За пешеходец - 5 , 6 и 4 км/ч(средно аритметично - 5 км/ч). Лесно е да се провери чрез заместване на стойностите в отношения (4) и (5), че верните отговори са за локомотива 48 км/ча за човек - 4.(864) км/ч(периодично десетичен знак, резултатът не е много красив математически).

    Когато средното аритметично не се провали

    Ако проблемът се формулира по следния начин: „За равни интервали от време тялото първо се е движело със скорост v 1, тогава v 2, v 3и така нататък", бърз отговор на въпроса как да се намери средната скорост може да бъде намерен по грешен начин. Нека читателят сам види това, като сумира равни интервали от време в знаменателя и използва в числителя v срвръзка (1). Това е може би единственият случай, когато грешен метод води до правилен резултат. Но за гарантирано точни изчисления трябва да използвате единствения правилен алгоритъм, неизменно обръщайки се към фракцията v av = S: t.

    Алгоритъм за всички случаи

    За да избегнете определено грешки, когато решавате как да намерите средната скорост, достатъчно е да запомните и следвате проста последователност от действия:

    • определяне на целия път чрез сумиране на дължините на отделните му участъци;
    • задайте цялото време за пътуване;
    • разделете първия резултат на втория, неизвестните количества, които не са посочени в проблема (при правилно формулиране на условията), се намаляват.

    В статията се разглеждат най-простите случаи, когато първоначалните данни са дадени за равни дялове от време или равни участъци от пътя. IN общ случайсъотношението на хронологичните интервали или разстоянията, изминати от тялото, може да бъде много произволно (но в същото време математически определено, изразено като конкретно цяло число или дроб). Правило за позоваване на отношение v av = S: tабсолютно универсален и никога не се проваля, независимо колко сложни алгебрични трансформации трябва да се извършат на пръв поглед.

    Накрая отбелязваме: за наблюдателните читатели това не остана незабелязано практическо значениеизползвайки правилния алгоритъм. Правилно изчислената средна скорост в дадените примери се оказа малко по-ниска " средна температура"на магистралата. Следователно фалшив алгоритъм на системите, които регистрират превишена скорост, би означавал по-голям брой грешни решения на КАТ, изпращани с "верижни писма" до водачите.

    Средната скорост е скоростта, която се получава, ако целият път се раздели на времето, необходимо на обекта да измине този път. Формула за средна скорост:

    • V av = S/t.
    • S = S1 + S2 + S3 = v1*t1 + v2*t2 + v3*t3
    • V av = S/t = (v1*t1 + v2*t2 + v3*t3) / (t1 + t2 + t3)

    За да избегнем объркване с часовете и минутите, ние преобразуваме всички минути в часове: 15 минути. = 0,4 часа, 36 минути. = 0,6 часа. Заменете числовите стойности в последната формула:

    • V av = (20*0,4 + 0,5*6 + 0,6*15) / (0,4 + 0,5 + 0,6) = (8 + 3 + 9) / (0,4 + 0,5 + 0,6) = 20 / 1,5 = 13,3 km/h

    Отговор: средна скорост V ср = 13,3 км/ч.

    Как да намерите средната скорост на ускоряващо се движение

    Ако скоростта в началото на движението се различава от скоростта в края, такова движение се нарича ускорено. Освен това тялото не винаги се движи все по-бързо и по-бързо. Ако движението се забави, пак казват, че се движи с ускорение, само че ускорението ще бъде отрицателно.

    С други думи, ако автомобил, който се отдалечава, се ускори до скорост 10 m/sec за секунда, тогава неговото ускорение a е равно на 10 m за секунда за секунда a = 10 m/sec². Ако в следващата секунда колата спре, тогава нейното ускорение също е равно на 10 m/sec², само че със знак минус: a = -10 m/sec².

    Скоростта на движение с ускорение в края на периода от време се изчислява по формулата:

    • V = V0 ± at,

    където V0 е началната скорост на движение, a е ускорението, t е времето, през което се наблюдава това ускорение. Във формулата се поставя плюс или минус в зависимост от това дали скоростта се увеличава или намалява.

    Средната скорост за период от време t се изчислява като средноаритметична стойност на началната и крайната скорост:

    • V av = (V0 + V) / 2.

    Намиране на средната скорост: проблем

    Топката беше избутана по равна равнина с начална скорост V0 = 5 м/сек. След 5 сек. топката спря. Какви са ускорението и средната скорост?

    Крайната скорост на топката е V = 0 m/s. Ускорението от първата формула е равно на

    • a = (V - V0)/ t = (0 - 5)/ 5 = - 1 m/s².

    Средна скорост V av = (V0 + V) / 2 = 5 /2 = 2,5 m/sec.

    В училище всеки от нас се сблъсква с проблем, подобен на следния. Ако една кола се движи част от пътя с една скорост, а следващата част от пътя с друга, как да намерите средната скорост?

    Какво е това количество и защо е необходимо? Нека се опитаме да разберем това.

    Скоростта във физиката е количество, което описва количеството изминато разстояние за единица време.Тоест, когато казват, че скоростта на пешеходеца е 5 км/ч, това означава, че той изминава разстояние от 5 км за 1 час.

    Формулата за намиране на скоростта изглежда така:
    V=S/t, където S е изминатото разстояние, t е времето.

    В тази формула няма едно измерение, тъй като тя описва както изключително бавни, така и много бързи процеси.

    например, изкуствен спътникЗемята изминава около 8 км за 1 секунда и тектонски плочи, на които се намират континентите, според измерванията на учените се разминават само с няколко милиметра на година. Следователно размерите на скоростта могат да бъдат различни - km/h, m/s, mm/s и т.н.

    Принципът е, че разстоянието се разделя на времето, необходимо за изминаване на пътя. Не забравяйте за размерността, ако се извършват сложни изчисления.

    За да не се объркате и да не направите грешка в отговора, всички количества са дадени в едни и същи мерни единици. Ако дължината на пътя е посочена в километри, а част от него в сантиметри, тогава докато не получим единство в размерността, няма да знаем верния отговор.

    Постоянна скорост

    Описание на формулата.

    Най-простият случай във физиката е равномерното движение. Скоростта е постоянна и не се променя през цялото пътуване. Има дори таблични константи на скоростта - непроменими стойности. Например звукът се разпространява във въздуха със скорост 340,3 m/s.

    А светлината е абсолютен шампион в това отношение, тя има най-високата скорост в нашата Вселена - 300 000 км/с. Тези количества не се променят от началната точка на движение до крайната точка. Те зависят само от средата, в която се движат (въздух, вакуум, вода и др.).

    Равномерното движение често ни се случва в ежедневието. Ето как работи конвейерна лента в завод или фабрика, кабинков лифт по планински пътища, асансьор (с изключение на много кратки периоди на стартиране и спиране).

    Графиката на такова движение е много проста и представлява права линия. 1 секунда - 1 м, 2 секунди - 2 м, 100 секунди - 100 м. Всички точки са на една и съща права линия.

    Неравномерна скорост

    За съжаление е изключително рядко нещата да са толкова идеални както в живота, така и във физиката. Много процеси протичат с неравномерна скорост, ту ускорявайки, ту забавяйки.

    Нека си представим движението на редовен междуградски автобус. В началото на пътуването той ускорява, забавя на светофара или дори спира напълно. След това се движи по-бързо извън града, но по-бавно при изкачванията и отново ускорява при спусканията.

    Ако изобразите този процес под формата на графика, ще получите много сложна линия. Можете да определите скоростта от графиката само за конкретна точка, но общ принципне

    Ще ви е необходим цял набор от формули, всяка от които е подходяща само за своя част от чертежа. Но няма нищо страшно. За описание на движението на автобуса се използва средна стойност.

    Можете да намерите средната скорост, като използвате същата формула. Наистина знаем, че разстоянието между автогарите и времето за пътуване е измерено. Разделете един на друг и намерете търсената стойност.

    за какво е това

    Такива изчисления са полезни за всички. През цялото време планираме деня и движенията си. Имайки дача извън града, има смисъл да разберете средната скорост на движение, когато пътувате там.

    Това ще улесни планирането на вашия уикенд. След като се научихме да намираме тази стойност, можем да бъдем по-точни и да спрем да закъсняваме.

    Нека се върнем към примера, предложен в самото начало, когато колата се движи част от пътя с една скорост, а другата с различна скорост. Този тип проблем се използва много често в училищна програма. Ето защо, когато детето ви поиска да му помогнете с подобен проблем, ще ви бъде лесно да го направите.

    Като съберете дължините на участъците от пътя, получавате общото разстояние. Като разделите техните стойности на скоростите, посочени в първоначалните данни, можете да определите времето, прекарано във всяка секция. Събирайки ги, получаваме времето, изразходвано за цялото пътуване.