Определение по обиколка. Какво представлява кръгът като геометрична фигура: основни свойства и характеристики

кръг - геометрична фигура, състоящ се от всички точки на равнината, разположени на дадено разстояние от дадена точка.

Тази точка (О) се нарича център на кръга.
Радиус на кръга- това е сегмент, свързващ центъра с всяка точка от окръжността. Всички радиуси имат еднаква дължина (по дефиниция).
Акорд- сегмент, свързващ две точки от окръжност. Нарича се хорда, минаваща през центъра на окръжност диаметър. Центърът на кръг е средата на произволен диаметър.
Всякакви две точки от окръжност я разделят на две части. Всяка от тези части се нарича дъга от окръжност. Дъгата се нарича полукръг, ако отсечката, свързваща краищата му, е диаметър.
Дължината на единичен полукръг се означава с π .
Сумата от градусните мерки на две дъги на окръжност с общи краища е равна на 360º.
Частта от равнината, ограничена от окръжност, се нарича навсякъде наоколо.
Кръгов сектор- част от окръжност, ограничена от дъга и два радиуса, свързващи краищата на дъгата с центъра на окръжността. Дъгата, която ограничава сектора, се нарича дъга на сектора.
Две окръжности с общ център се наричат концентричен.
Две окръжности, пресичащи се под прав ъгъл, се наричат ортогонален.

Относителното положение на права линия и окръжност

Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-малко от радиуса на окръжността ( г), тогава правата и окръжността имат две общи точки. В този случай линията се извиква секущапо отношение на кръга.
Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е равно на радиуса на окръжността, то правата и окръжността имат само една обща точка. Тази линия се нарича допирателна към окръжността, а тяхната обща точка се нарича точка на допир между права и окръжност.
Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-голямо от радиуса на окръжността, тогава правата линия и окръжността нямат допирни точки

Централни и вписани ъгли

Централен ъгъле ъгъл, чийто връх е в центъра на окръжността.
Вписан ъгъл- ъгъл, чийто връх лежи върху окръжност и чиито страни пресичат окръжността.

Теорема за вписания ъгъл

Вписан ъгъл се измерва с половината от дъгата, върху която той се намира.

Следствие 1.
Вписаните ъгли, обхващащи една и съща дъга, са равни.

Следствие 2.
Вписан ъгъл, сключен от полукръг, е прав ъгъл.

Теорема за произведението на отсечки от пресичащи се хорди.

Ако две хорди на окръжност се пресичат, тогава произведението на сегментите на едната хорда е равно на произведението на сегментите на другата хорда.

Основни формули

Обиколка:

C = 2∙π∙R

Дължина на кръговата дъга:

R = С/(2∙π) = D/2

Диаметър:

D = C/π = 2∙R

Дължина на кръговата дъга:

l = (π∙R) / 180∙α,
Къде α - градусна мярка за дължината на кръгова дъга)

Площ на кръга:

S = π∙R 2

Площ на кръговия сектор:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Уравнение на окръжност

IN правоъгълна системакоординатно уравнение на радиус на окръжност rцентриран в точка В(x o; y o) има формата:

(x - x o) 2 + (y - y o) 2 = r 2

Уравнението на окръжност с радиус r с център в началото има формата:

x 2 + y 2 = r 2

Първо, нека разберем разликата между кръг и кръг. За да видите тази разлика, достатъчно е да разгледате какво представляват и двете фигури. Това са безкраен брой точки на равнината, разположени на еднакво разстояние от една централна точка. Но ако кръгът се състои и от вътрешно пространство, тогава той не принадлежи на кръга. Оказва се, че окръжността е както окръжност, която я ограничава (circle(r)), така и безброй точки, които са вътре в окръжността.

За всяка точка L, лежаща на окръжността, важи равенството OL=R. (Дължината на отсечката OL е равна на радиуса на окръжността).

Отсечка, която свързва две точки от окръжност, е негова акорд.

Хорда, минаваща директно през центъра на окръжност, е диаметъртози кръг (D). Диаметърът може да се изчисли по формулата: D=2R

Обиколкаизчислява се по формулата: C=2\pi R

Площ на кръг: S=\pi R^(2)

Дъга от кръгсе нарича тази част от него, която се намира между двете му точки. Тези две точки определят две дъги на окръжност. Хордата CD обхваща две дъги: CMD и CLD. Еднаквите хорди обхващат равни дъги.

Централен ъгълЪгъл, който лежи между два радиуса, се нарича.

Дължина на дъгатаможе да се намери с помощта на формулата:

Използване на степенна мярка: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
Използване на радианова мярка: CD = \alpha R

Диаметърът, който е перпендикулярен на хордата, разделя хордата и свитите от нея дъги наполовина.

Ако хордите AB и CD на окръжността се пресичат в точка N, то произведенията на отсечките на хордите, разделени от точка N, са равни една на друга.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Допирателна към окръжност

Допирателна към окръжностОбичайно е да се нарича права линия, която има една обща точка с кръг.

Ако една права има две общи точки, тя се нарича секуща.

Ако начертаете радиуса към допирателната, той ще бъде перпендикулярен на допирателната към окръжността.

Нека начертаем две допирателни от тази точка към нашата окръжност. Оказва се, че допирателните сегменти ще бъдат равни един на друг, а центърът на окръжността ще бъде разположен върху ъглополовящата на ъгъла с върха в тази точка.

AC = CB

Сега нека начертаем допирателна и секанс към окръжността от нашата точка. Получаваме, че квадратът на дължината на допирателната отсечка ще бъде равен на произведението на цялата секуща отсечка и външната му част.

AC^(2) = CD \cdot BC

Можем да заключим: произведението на цяла отсечка от първия секанс и неговата външна част е равно на произведението от цяла отсечка от втория секанс и неговата външна част.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Ъгли в кръг

Градусните мерки на централния ъгъл и дъгата, върху която той лежи, са равни.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Вписан ъгъле ъгъл, чийто връх е върху окръжност и чиито страни съдържат хорди.

Можете да го изчислите, като знаете размера на дъгата, тъй като той е равен на половината от тази дъга.

\ъгъл AOB = 2 \ъгъл ADB

Въз основа на диаметър, вписан ъгъл, прав ъгъл.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Вписаните ъгли, които обхващат една и съща дъга, са еднакви.

Вписаните ъгли, лежащи върху една хорда, са еднакви или сумата им е равна на 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\ъгъл ADB = \ъгъл AEB = \ъгъл AFB

На същата окръжност са върховете на триъгълници с еднакви ъгли и дадена основа.

Ъгъл с връх вътре в окръжността и разположен между две хорди е идентичен на половината от сумата от ъгловите стойности на дъгите на окръжността, които се съдържат в дадения и вертикалния ъгъл.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Ъгъл с връх извън окръжността и разположен между две секанти е идентичен на половината от разликата в ъгловите стойности на дъгите на окръжността, които се съдържат вътре в ъгъла.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Вписан кръг

Вписан кръге окръжност, допирателна към страните на многоъгълник.

В точката, където се пресичат ъглополовящите на ъглите на многоъгълник, се намира неговият център.

Окръжност не може да бъде вписана във всеки многоъгълник.

Площта на многоъгълник с вписан кръг се намира по формулата:

S = pr,

p е полупериметърът на многоъгълника,

r е радиусът на вписаната окръжност.

От това следва, че радиусът на вписаната окръжност е равен на:

r = \frac(S)(p)

Суми от дължини противоположни странище бъде идентичен, ако окръжността е вписана в изпъкнал четириъгълник. И обратното: окръжност се вписва в изпъкнал четириъгълник, ако сумите от дължините на срещуположните страни са еднакви.

AB + DC = AD + BC

Във всеки от триъгълниците е възможно да се впише кръг. Само един единствен. В точката, където се пресичат ъглополовящите вътрешни ъглифигура, центърът на този вписан кръг ще лежи.

Радиусът на вписаната окръжност се изчислява по формулата:

r = \frac(S)(p),

където p = \frac(a + b + c)(2)

Околна окръжност

Ако окръжност минава през всеки връх на многоъгълник, тогава такава окръжност обикновено се нарича описано за многоъгълник.

В точката на пресичане на перпендикулярните ъглополовящи на страните на тази фигура ще бъде центърът на описаната окръжност.

Радиусът може да се намери, като се изчисли като радиуса на окръжността, описана около триъгълника, определен от всеки 3 върха на многоъгълника.

Съществува следното условие: около четириъгълник може да се опише окръжност само ако сборът от срещуположните му ъгли е равен на 180^( \circ) .

\ъгъл A + \ъгъл C = \ъгъл B + \ъгъл D = 180^ (\circ)

Около всеки триъгълник можете да опишете окръжност и само една. Центърът на такъв кръг ще бъде разположен в точката, където се пресичат перпендикулярните ъглополовящи на страните на триъгълника.

Радиусът на описаната окръжност може да се изчисли по формулите:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c са дължините на страните на триъгълника,

S е площта на триъгълника.

Теорема на Птолемей

И накрая, разгледайте теоремата на Птолемей.

Теоремата на Птолемей гласи, че произведението на диагоналите е идентично на сумата от произведенията на противоположните страни на цикличен четириъгълник.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Нека разберем какво е кръг и кръг. Формула за площ на кръг и обиколка.

Всеки ден се натъкваме на много предмети, които имат формата на кръг или, напротив, кръг. Понякога възниква въпросът какво е кръг и как се различава от кръга. Разбира се, всички сме ходили на уроци по геометрия, но понякога не пречи да освежите знанията си с някои много прости обяснения.

Каква е обиколката и площта на кръг: определение

И така, кръгът е затворена крива линия, която ограничава или, напротив, образува кръг. Предпоставка за окръжност е тя да има център и всички точки да са на еднакво разстояние от нея. Най-просто казано, кръгът е гимнастически обръч (или както често се нарича хулахуп) върху равна повърхност.

Обиколката на кръга е общата дължина на самата крива, която образува кръга. Както е известно, независимо от размера на кръга, отношението на неговия диаметър и дължина е равно на числото π = 3.141592653589793238462643.

От това следва, че π=L/D, където L е обиколката, а D е диаметърът на окръжността.

Ако знаете диаметъра, тогава дължината може да се намери с помощта на проста формула: L= π* D

Ако радиусът е известен: L=2 πR

Разбрахме какво е кръг и можем да преминем към дефиницията на кръг.

Кръгът е геометрична фигура, която е заобиколена от кръг. Или кръгът е фигура, чиято граница се състои от голямо количествоточки на еднакво разстояние от центъра на фигурата. Цялата област, която е вътре в кръг, включително неговия център, се нарича кръг.

Струва си да се отбележи, че кръгът и кръгът, който се намира в него, имат същия радиус и диаметър. А диаметърът от своя страна е два пъти по-голям от радиуса.

Кръгът има площ в равнина, която може да се намери с помощта на проста формула:

Където S е площта на кръга, а R е радиусът на кръга.

Как се различава кръг от кръг: обяснение

Основната разлика между кръг и кръг е, че кръгът е геометрична фигура, докато кръгът е затворена крива. Обърнете внимание и на разликите между кръг и кръг:

Кръгът е затворена линия, а кръгът е областта в този кръг;
Кръгът е крива линия на равнина, а кръгът е пространство, затворено в пръстен от кръг;
Прилики между кръг и кръг: радиус и диаметър;
Кръгът и обиколката имат един център;
Ако пространството вътре в кръга е засенчено, то се превръща в кръг;
Окръжността има дължина, но окръжността не, и обратното, окръжността има площ, която окръжността няма.

Кръг и обиколка: примери, снимки

За по-голяма яснота предлагаме да разгледате снимка, която показва кръг отляво и кръг отдясно.

Формула за обиколка и площ на кръг: сравнение

Формула за обиколка L=2 πR

Формула за площта на окръжност S= πR²

Моля, обърнете внимание, че и двете формули съдържат радиуса и числото π. Препоръчително е да запомните тези формули, тъй като те са най-простите и определено ще ви бъдат полезни ежедневиетои на работа.

Площ на кръг по обиколка: формула

S=π(L/2π)=L²/4π, където S е площта на кръга, L е обиколката.

Видео: Какво е окръжност, окръжност и радиус

до общ контурЗа да си представите какво е кръг, погледнете пръстен или обръч. Можете също така да вземете кръгла чаша и чаша, да ги поставите с главата надолу върху лист хартия и да ги очертаете с молив. При многократно увеличение, получената линия ще стане дебела и не съвсем гладка, а краищата й ще бъдат замъглени. Кръгът като геометрична фигура няма такава характеристика като дебелина.

Кръг: определение и основни средства за описание

Окръжността е затворена крива, състояща се от много точки, разположени в една и съща равнина и на еднакво разстояние от центъра на окръжността. В този случай центърът е в същата равнина. По правило се обозначава с буквата О.

Разстоянието от всяка точка на окръжността до центъра се нарича радиус и се обозначава с буквата R.

Ако свържете произволни две точки на окръжност, полученият сегмент ще се нарича хорда. Хордата, минаваща през центъра на окръжността, е диаметърът, обозначен с буквата D. Диаметърът разделя окръжността на две равни дъги и е два пъти по-голям от дължината на радиуса. Така D = 2R или R = D/2.

Свойства на акордите

Ако се начертае хорда през произволни две точки на окръжността и след това се начертае радиус или диаметър перпендикулярно на последната, тогава този сегмент ще раздели както хордата, така и дъгата, отрязана от нея, на две равни части. Обратното твърдение също е вярно: ако радиусът (диаметърът) разделя хордата наполовина, тогава тя е перпендикулярна на нея.
Ако в рамките на една и съща окръжност са начертани две успоредни хорди, тогава дъгите, отрязани от тях, както и тези, които са затворени между тях, ще бъдат равни.
Нека начертаем две хорди PR и QS, пресичащи се в окръжността в точка T. Произведението на сегментите на една хорда винаги ще бъде равно на произведението на сегментите на друга хорда, тоест PT x TR = QT x TS.

Обиколка: общо понятие и основни формули

Една от основните характеристики на тази геометрична фигура е обиколката. Формулата е получена с помощта на величини като радиус, диаметър и константата "π", отразяваща постоянството на отношението на обиколката към нейния диаметър.

Така L = πD или L = 2πR, където L е обиколката, D е диаметърът, R е радиусът.

Формулата за обиколка може да се счита за изходна при намиране на радиуса или диаметъра за дадена обиколка: D = L/π, R = L/2π.

Какво е кръг: основни постулати

нямат допирни точки;
имат една обща точка, а правата линия се нарича допирателна: ако начертаете радиус през центъра и точката на допирателна, тогава тя ще бъде перпендикулярна на допирателната;
имат две общи точки и правата се нарича секанс.

2. През три произволни точки, лежащи в една равнина, не може да се начертае повече от една окръжност.

3. Две окръжности могат да се допират само в една точка, която се намира на отсечката, свързваща центровете на тези окръжности.

4. При всяко завъртане спрямо центъра кръгът се превръща в себе си.

5. Какво представлява окръжността от гледна точка на симетрията?

същата кривина на линията във всяка точка;
спрямо точка O;
огледална симетрия спрямо диаметъра.

6. Ако построите два произволни вписани ъгъла върху една и съща дъга от окръжност, те ще бъдат равни. Ъгъл, основан на дъга, равна на половината, т.е. отрязана от хорда с диаметър, винаги е равна на 90°.

7. Ако сравните затворени криви линии с еднаква дължина, се оказва, че кръгът ограничава участъка от равнината с най-голяма площ.

Окръжност, вписана и описана около триъгълник

Идеята за това какво е кръг ще бъде непълна без описание на характеристиките на връзката му с триъгълници.

Когато конструирате окръжност, вписана в триъгълник, нейният център винаги ще съвпада с пресечната точка на триъгълника.
Центърът на окръжност, описана около триъгълник, се намира в пресечната точка на средните перпендикуляри на всяка от страните на триъгълника.
Ако опишем кръг, тогава неговият център ще бъде в средата на хипотенузата, тоест последният ще бъде диаметърът.
Центровете на вписаната и описаната окръжност ще бъдат в една и съща точка, ако основата на конструкцията е

Основни твърдения за окръжности и четириъгълници

Около изпъкнал четириъгълник може да се опише окръжност само когато сборът от срещуположните му вътрешни ъгли е равен на 180°.
Възможно е да се построи окръжност, вписана в изпъкнал четириъгълник, ако сборът от дължините на противоположните му страни е еднакъв.
Можете да опишете окръжност около успоредник, ако ъглите му са прави.
Кръг може да бъде вписан в успоредник, ако всичките му страни са равни, тоест това е ромб.
Можете да построите окръжност през ъглите на трапец само ако е равнобедрен. В този случай центърът на описаната окръжност ще бъде разположен в пресечната точка на четириъгълника и средния перпендикуляр, изтеглен отстрани.