ORT (единичен вектор). Как да намерите модула на преместване във физиката (Може би има някаква универсална формула?) Намерете координатите на единичния вектор онлайн?

В геометрията векторът е насочен сегмент или подредена двойка точки в евклидовото пространство. Ортом векторе единичният вектор на нормализирано векторно пространство или вектор, чиято норма (дължина) е равна на единица.

Ще ви трябва

Познания по геометрия.

Инструкции

Първо трябва да изчислите дължината вектор. Както е известно, дължината (модул) векторравен на корен квадратен от сумата на квадратите на координатите. Нека е даден вектор с координати: a(3, 4). Тогава дължината му е |a| = (9 + 16)^1/2 или |a|=5.

За да намерите орт вектор a, трябва да разделите всеки един на неговата дължина. Резултатът ще бъде вектор, наречен орт или единичен вектор. За вектор a(3, 4) ort ще бъде векторът a(3/5, 4/5). Вектор a` ще бъде единица за векторА.

За да проверите дали ортът е намерен правилно, можете да направите следното: намерете дължината на получения орт; ако е равен на единица, тогава всичко е намерено правилно, тогава в изчисленията се е прокраднала грешка. Нека проверим дали ort a` е намерен правилно. Дължина вектор a` е равно на: a` = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1. И така, дължината вектор a` е равно на едно, което означава, че единичният вектор е намерен правилно.

Промяната в координатите x2 - x1 обикновено се обозначава със символа Δx12 (прочетете "делта x едно, две"). Този запис означава, че за периода от време от момент t1 до момент t2 промяната в координатата на тялото е Δx12 = x2 - x1. Така, ако тялото се е движило в положителната посока на оста X на избраната координатна система (x2 > x1), тогава Δx12 >

На фиг. 45 показва точково тяло B, което се движи в отрицателна посока на оста X за време от t1 до t2, то се движи от точка с по-голяма координата x1 към точка с по-малка координата x2. В резултат на това промяната на координатата на точка B за разглеждания период от време е Δx12 = x2 - x1 = (2 - 5) m = -3 m в този случай ще бъде насочена в отрицателна посока оста X и нейния модул |Δx12| равна на 3 m От разгледаните примери могат да се направят следните изводи.

В разгледаните примери (виж фиг. 44 и 45) тялото винаги се е движело в една посока.

Как да намеря модула за изместване във физиката (Може би има някаква универсална формула?)

Следователно пътят, който е поел равен на модулпромени в координатите на тялото и модула на преместване: s12 = |Δx12|.

Нека определим промяната в координатите и преместването на тялото за времеви период от t0 = 0 до t2 = 7 s. В съответствие с определението, промяна на координатата Δx02 = x2 - x0 = 2 m >

Сега нека определим пътя, който тялото е изминало за същия период от време от t0 = 0 до t2 = 7 s. Първо тялото измина 8 m в една посока (което съответства на модула на промяна на координатата Δx01), а след това 6 m в обратната посока (тази стойност съответства на модула на промяна на координатата Δx12). Това означава, че цялото тяло е изминало 8 + 6 = 14 (m). По дефиниция на пътя, през времевия интервал от t0 до t2 тялото е изминало разстояние s02 = 14 m.

Резултати

Движението на точка за период от време е насочена отсечка от права линия, чието начало съвпада с началното положение на точката, а краят - с крайното положение на точката.

Въпроси

Упражнения

Вектори, действия с вектори

Питагорова теорема косинусова теорема

Ще обозначим дължината на вектора с . Модулът на числото има подобна нотация, а дължината на вектор често се нарича модул на вектор.

, където .

по този начин .

Нека разгледаме един пример.

по този начин дължина на вектора .

Изчислете дължината на вектора

, следователно,

Най-горе на страницата

Нека разгледаме решенията на примерите.

Преместване

Най-горе на страницата

По този начин,.

или ,
или,

Нямате време да го разберете?
Поръчайте решение

Най-горе на страницата

Досега разглеждахме само праволинейно равномерно движение. В този случай точковите тела се движат в избраната отправна система или в положителна, или в отрицателна посока на координатната ос X. Установихме, че в зависимост от посоката на движение на тялото, например, през периода от време от момента t1 до момента t2 промяната в координатата на тялото (x2 - x1 ) може да бъде положителна, отрицателна или равна на нула (ако x2 = x1).

Удобно е да се определи резултатът от движението с помощта на векторно количество. Такова векторно количество е изместването.

Като всяка векторна величина, изместването се характеризира с модул и посока.

Ще запишем вектора на движение на точка за периода от t1 до t2 по следния начин: Δx12.

Нека обясним това с пример. Нека някаква точка A (точков човек) се движи в положителната посока на оста X и за период от време от t1 до t2 се премества от точка с координата x1 до точка с по-голяма координата x2 (фиг. 44). В този случай векторът на изместване е насочен в положителната посока на оста X и неговата величина е равна на промяната на координатата за разглеждания период от време: Δx12 = x2 - x1 = (5 - 2) m = 3 м.

На фиг. 45 показва точково тяло B, което се движи в отрицателна посока на оста X.

За периода от време от t1 до t2 той се движи от точка с по-голяма координата x1 до точка с по-малка координата x2. В резултат на това промяната на координатата на точка B за разглеждания период от време е Δx12 = x2 - x1 = (2 - 5) m = -3 m в този случай ще бъде насочена в отрицателна посока оста X и нейния модул |Δx12| равна на 3 m От разгледаните примери могат да се направят следните изводи.

Посока на движение при право движениев една посока съвпада с посоката на движение.

Модулът на вектора на преместване е равен на модула на промяната на координатите на тялото за разглеждания период от време.

IN ежедневиетоЗа да се опише крайният резултат от движението, се използва понятието „път“. Обикновено пътят се обозначава със символа S.

Пътят е цялото разстояние, изминато от точково тяло през разглеждания период от време.

Като всяко разстояние, пътят е неотрицателна величина. Например пътят, изминат от точка А в разглеждания пример (виж фиг. 44), е равен на три метра. Изминатото разстояние от точка B също е три метра.

В разгледаните примери (виж фиг. 44 и 45) тялото винаги се е движело в една посока. Следователно изминатият от него път е равен на модула на изменение на координатите на тялото и модула на преместване: s12 = |Δx12|.

Ако тялото се е движило през цялото време в една посока, тогава пътят, който е изминало, е равен на модула за преместване и модула за промяна на координатите.

Ситуацията ще се промени, ако тялото промени посоката на движение през разглеждания период от време.

На фиг. 46 показва как точково тяло се е преместило от момента t0 = 0 до момента t2 = 7 s. До момента t1 = 4 s движението се извършва равномерно в положителната посока на оста X. В резултат на това се променят координатите Δx01 = x1 - x0 = (11 - 3) m = -8 m тялото започва да се движи в отрицателна посока на оста X до момента t2 = 7 s. В този случай промяната на неговите координати е Δx12 = x2 - x1 = (5 - 11) m = -6 m. Графиката на това движение е показана на фиг. 47.

Нека определим промяната в координатите и преместването на тялото за времеви период от t0 = 0 до t2 = 7 s. В съответствие с дефиницията, промяната в координатата Δx02 = x2 - x0 = 2 m > 0. Следователно преместването Δx02 е насочено в положителната посока на оста X и неговият модул е равен на 2 m.

Траектория

Това означава, че цялото тяло е изминало 8 + 6 = 14 (m). По дефиниция на пътя, през времевия интервал от t0 до t2 тялото е изминало разстояние s02 = 14 m.

Анализираният пример ни позволява да заключим:

В случай, че тялото промени посоката на движение през разглеждания период от време, пътят (цялото разстояние, изминато от тялото) е по-голям както от модула на преместване на тялото, така и от модула на изменение на координатите на тялото.

Сега си представете, че тялото след време t2 = 7 s продължава движението си в отрицателната посока на оста X до t3 = 8 s в съответствие със закона, показан на фиг. 47 пунктирана линия. В резултат на това в момента t3 = 8 s координатата на тялото става равна на x3 = 3 m. Лесно е да се определи, че в този случай движението на тялото за периода от t0 до t3 s е равно на Δx13 = 0.

Ясно е, че ако знаем само преместването на тялото по време на неговото движение, тогава не можем да кажем как тялото се е движило през това време. Например, ако за едно тяло се знае само, че началната и крайната му координата са равни, тогава бихме казали, че по време на движение преместването на това тяло е нула. Би било невъзможно да се каже нещо по-конкретно за характера на движението на това тяло. При такива условия тялото обикновено може да стои неподвижно през целия период от време.

Движението на тялото за определен период от време зависи само от началната и крайната координата на тялото и не зависи от това как се е движило тялото през този период от време.

Резултати

Движението на точково тяло се определя само от крайните и началните координати на тялото и не зависи от това как се е движило тялото през разглеждания период от време.

Пътят е цялото разстояние, изминато от точково тяло през разглеждания период от време.

Ако тялото не е променило посоката на движение по време на движението, тогава пътят, изминат от това тяло, е равен на модула на неговото изместване.

Ако тялото промени посоката на своето движение през разглеждания период от време, пътят е по-голям както от модула на преместване на тялото, така и от модула на промяна в координатите на тялото.

Пътят винаги е неотрицателна величина. Тя е равна на нула само ако през целия разглеждан период от време тялото е било в покой (стои неподвижно).

Въпроси

Какво е движение? От какво зависи?
Какво е пътека? От какво зависи?
Как се различава пътят от движението и промяната на координатите за същия период от време, през който тялото се е движило по права линия, без да променя посоката на движение?

Упражнения

Използвайки закона за движение в графична форма, представен на фиг. 47, опишете характера на движението на тялото (посока, скорост) в различни интервали от време: от t0 до t1, от t1 до t2, от t2 до t3.
Кучето Протон изтича от къщата в момент t0 = 0 и след това по команда на собственика си в момент t4 = 4 s се втурна обратно. Знаейки, че протонът се движи по права линия през цялото време и големината на скоростта му |v| = 4 m/s, определете графично: а) изменението на координатите и пътя на протона за време от t0 = 0 до t6 = 6 s; б) пътя на протона за времевия интервал от t2 = 2 s до t5 = 5 s.

Вектори, действия с вектори

Намиране на дължина на вектор, примери и решения.

По дефиниция векторът е насочен сегмент и дължината на този сегмент в даден мащаб е дължината на вектора. Така задачата за намиране на дължината на вектор в равнината и в пространството се свежда до намиране на дължината на съответния сегмент. За да решим този проблем, имаме на разположение всички средства на геометрията, въпреки че в повечето случаи са достатъчни Питагорова теорема. С негова помощ можете да получите формула за изчисляване на дължината на вектор от неговите координати в правоъгълна координатна система, както и формула за намиране на дължината на вектор от координатите на началната и крайната му точка. Когато векторът е страна на триъгълник, неговата дължина може да се намери чрез косинусова теорема, ако са известни дължините на другите две страни и ъгълът между тях.

Намиране дължината на вектор от координати.

Ще обозначим дължината на вектора с .

физически речник (кинематика)

Модулът на числото има подобна нотация, а дължината на вектор често се нарича модул на вектор.

Нека започнем с намиране на дължината на вектор в равнина с помощта на координати.

Нека въведем правоъгълна декартова координатна система Oxy на равнината. Нека в него е зададен вектор и има координати. Получаваме формула, която ни позволява да намерим дължината на вектор чрез координатите и .

Нека начертаем вектора от началото (от точка O). Нека означим проекциите на точка A върху координатните оси съответно с и и разгледаме правоъгълник с диагонал OA.

По силата на Питагоровата теорема равенството е вярно , където . От дефиницията на векторни координати в правоъгълна координатна система можем да твърдим, че и , и по конструкция дължината OA е равна на дължината на вектора, следователно, .

по този начин формула за намиране на дължината на векторспоред своите координати на равнината има формата .

Ако векторът се представи като разлагане в координатни вектори , тогава неговата дължина се изчислява по същата формула , тъй като в този случай коефициентите и са координатите на вектора в дадена координатна система.

Нека разгледаме един пример.

Намерете дължината на вектора, даден в декартовата координатна система.

Незабавно приложете формулата, за да намерите дължината на вектора от координатите :

Сега получаваме формулата за намиране на дължината на вектора според координатите му в правоъгълната координатна система Oxyz в пространството.

Нека начертаем вектора от началото и означим проекциите на точка A върху координатните оси като и . След това можем да построим правоъгълен паралелепипед по страните, в който OA ще бъде диагоналът.

В този случай (тъй като OA е диагоналът на правоъгълен паралелепипед), откъдето . Определянето на координатите на вектора ни позволява да напишем равенства , а дължината OA е равна на желаната дължина на вектора, следователно, .

по този начин дължина на вектора в пространството е равно на корен квадратен от сумата на квадратите на неговите координати, тоест намира се по формулата .

Изчислете дължината на вектора , където са единични вектори правоъгълна системакоординати

Дадено ни е векторно разлагане на координатни вектори на формата , следователно, . След това, използвайки формулата за намиране на дължината на вектор от координати, имаме .

Най-горе на страницата

Дължината на вектор през координатите на началната и крайната му точка.

Как да се намери дължината на вектор, ако са дадени координатите на началната и крайната му точка?

В предишния параграф получихме формули за намиране на дължината на вектор от неговите координати в равнина и в триизмерно пространство. Тогава можем да ги използваме, ако намерим координатите на вектора от координатите на точките на началото и края му.

Така, ако на равнината са дадени точки и , тогава векторът има координати а дължината му се изчислява по формулата , и формулата за намиране на дължината на вектор от координатите на точки и триизмерното пространство има формата .

Нека разгледаме решенията на примерите.

Намерете дължината на вектора, ако е в правоъгълна декартова координатна система .

Можете веднага да приложите формулата, за да намерите дължината на вектор от координатите на началната и крайната точка на равнината :

Второто решение е да се определят координатите на вектора чрез координатите на точките и да се приложи формулата :

Определете при какви стойности дължината на вектора е равна, ако .

Дължината на вектора от координатите на началната и крайната точка може да се намери като

Приравнявайки получената стойност на дължината на вектора на , изчисляваме необходимите:

Най-горе на страницата

Намиране на дължината на вектор чрез косинусовата теорема.

Повечето задачи, свързани с намирането на дължината на вектор, се решават в координати. Когато обаче координатите на вектора не са известни, трябва да търсим други решения.

Нека са известни дължините на два вектора и ъгълът между тях (или косинусът на ъгъла) и трябва да намерите дължината на вектора или . В този случай, използвайки косинусовата теорема в триъгълник ABC, можете да изчислите дължината на страната BC, която е равна на желаната дължина на вектора.

Нека разгледаме решението на примера, за да изясним казаното.

Дължините на векторите и са равни съответно на 3 и 7, а ъгълът между тях е равен на . Изчислете дължината на вектора.

Дължината на вектора е равна на дължината на страната BC в триъгълник ABC. От условието знаем дължините на страните AB и AC на този триъгълник (те са равни на дължините на съответните вектори), както и ъгъла между тях, така че имаме достатъчно данни, за да приложим косинусовата теорема:

По този начин,.

И така, за да намерим дължината на вектор от координати, използваме формулите
или ,
според координатите на началната и крайната точка на вектора -
или,
в някои случаи косинусовата теорема води до резултата.

Нямате време да го разберете?
Поръчайте решение

Най-горе на страницата

Бугров Я.С., Николски С.М. Висша математика. Том първи: елементи на линейната алгебра и аналитичната геометрия.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 клас: учебник за общообразователните институции.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Е.Г. Геометрия. Учебник за 10-11 клас на средното училище.

Търсене на лекции

Скаларен квадратен вектор

Какво се случва, ако един вектор се умножи сам по себе си?

Номерът се нарича скаларен квадратвектор и се означават като .

по този начин скаларен квадратен векторравно на квадрата на дължината на даден вектор:

Или единичният вектор (единичен вектор на нормализирано векторно пространство) е вектор, чиято норма (дължина) е равна на единица. Единичен вектор ... Wikipedia

- (ort) вектор, чиято дължина е равна на единицата от избрания мащаб... Голям Енциклопедичен речник

- (ort), вектор, чиято дължина е равна на единицата от избрания мащаб. * * * ЕДИНИЧЕН ВЕКТОР ЕДИНИЧЕН ВЕКТОР (ort), вектор, чиято дължина е равна на единицата от избрания мащаб... Енциклопедичен речник

Ort, вектор, чиято дължина е равна на единицата от избрания мащаб. Всеки вектор a може да бъде получен от някой E.v. e чрез умножаване по числото (скалар) λ, т.е. a = λe. Вижте също Векторно смятане... Голям Съветска енциклопедия

- (ort), вектор, чиято дължина е равна на единицата от избрания мащаб... Естествена наука. Енциклопедичен речник

Орт: В Уикиречника има статия „орт“ Орт, или Орт, двуглавото куче, потомък на Тифон и Ехидна, брат на Цербер. Орт ... Уикипедия

А; м. [немски] Орт] 1. Рог. Хоризонтален подземен минен отвор, който няма пряк достъп до повърхността. 2. Математика. Вектор, чиято дължина е равна на единица. * * * единичен вектор I (от гръцки orthós прав), същото като единичния вектор. II (немски... ... Енциклопедичен речник