Назад Напред

внимание! Визуализациите на слайдовете са само за информационни цели и може да не представят всички функции на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Ключови думи:интегрален, криволинеен трапец, площ от фигури, ограничена от лилии

Оборудване: маркерна дъска, компютър, мултимедиен проектор

Тип урок: урок-лекция

Цели на урока:

  • образователен:създаване на култура на умствен труд, създаване на ситуация на успех за всеки ученик и създаване на положителна мотивация за учене; развийте способността да говорите и да слушате другите.
  • развитие:формиране на независимо мислене на ученика при прилагане на знания в различни ситуации, способност за анализ и изводи, развитие на логиката, развитие на способността за правилно поставяне на въпроси и намиране на отговори на тях. Подобряване на формирането на изчислителни умения, развиване на мисленето на учениците в хода на изпълнение на предложените задачи, развиване на алгоритмична култура.
  • образователен: да се формират понятия за криволинеен трапец, за интеграл, да се овладеят умения за изчисляване на площите на равнинни фигури.

Метод на обучение:обяснителни и илюстративни.

Напредък на урока

В предишните класове се научихме да изчисляваме площите на фигури, чиито граници са начупени линии. В математиката има методи, които ви позволяват да изчислявате площите на фигури, ограничени от криви. Такива фигури се наричат ​​криволинейни трапеци и тяхната площ се изчислява с помощта на антипроизводни.

Криволинеен трапец ( слайд 1)

Извит трапец е фигура, ограничена от графиката на функция, ( ш.м.), прав х = аИ x = bи оста x

Различни видове извити трапеци ( слайд 2)

Разглеждаме различни видове криволинейни трапеци и забелязваме: една от правите линии се изражда в точка, ролята на ограничаваща функция се играе от правата

Площ на извит трапец (слайд 3)

Фиксирайте левия край на интервала а,и дясната Xще променим, т.е. преместваме дясната стена на криволинейния трапец и получаваме променяща се фигура. Площта на променлив криволинеен трапец, ограничен от графиката на функцията, е първоизводна Еза функция f

И на сегмента [ а; b] площ на криволинеен трапец, образуван от функцията е,е равно на нарастването на първоизводната на тази функция:

Задача 1:

Намерете площта на криволинейния трапец, ограничен от графиката на функцията: f(x) = x 2и прав y = 0, x = 1, x = 2.

Решение: ( според алгоритъма слайд 3)

Нека начертаем графика на функцията и линии

Нека намерим една от първоизводните на функцията f(x) = x 2 :

Самопроверка на слайд

Интеграл

Да разгледаме криволинейния трапец, определен от функцията fна сегмента [ а; b]. Нека разделим този сегмент на няколко части. Площта на целия трапец ще бъде разделена на сумата от площите на по-малките извити трапеци. ( слайд 5). Всеки такъв трапец може приблизително да се счита за правоъгълник. Сумата от площите на тези правоъгълници дава приблизителна представа за цялата площ на извития трапец. Колкото по-малко разделяме сегмента [ а; b], толкова по-точно изчисляваме площта.

Нека запишем тези аргументи под формата на формули.

Разделете сегмента [ а; b] на n части по точки x 0 =a, x1,...,xn = b.Дължина к- th означават с xk = xk – xk-1. Да направим сума

Геометрично тази сума представлява площта на фигурата, защрихована на фигурата ( ш.м.)

Сумите от формата се наричат ​​интегрални суми за функцията f. (ш.м.)

Интегралните суми дават приблизителна стойност на площта. Точната стойност се получава чрез преминаване към границата. Нека си представим, че прецизираме разделянето на сегмента [ а; b], така че дължините на всички малки сегменти да клонят към нула. Тогава площта на съставената фигура ще се доближи до площта на извития трапец. Можем да кажем, че площта на извит трапец е равна на границата на интегралните суми, наук. (ш.м.)или интегрална, т.е.

определение:

Интеграл на функция f(x)от акъм bнаречена граница на интегралните суми

= (ш.м.)

Формула на Нютон-Лайбниц.

Спомняме си, че границата на интегралните суми е равна на площта на криволинейния трапец, което означава, че можем да напишем:

наук. = (ш.м.)

От друга страна, площта на извит трапец се изчислява по формулата

С к.т. (ш.м.)

Сравнявайки тези формули, получаваме:

= (ш.м.)

Това равенство се нарича формула на Нютон-Лайбниц.

За по-лесно изчисление формулата се записва така:

= = (ш.м.)

Задачи: (ш.м.)

1. Изчислете интеграла, като използвате формулата на Нютон-Лайбниц: ( проверете на слайд 5)

2. Съставете интеграли според чертежа ( проверете на слайд 6)

3. Намерете площта на фигурата, ограничена от линиите: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Слайд 7)

Намиране на площите на равнинни фигури ( слайд 8)

Как да намерите площта на фигури, които не са извити трапеци?

Нека са дадени две функции, чиито графики виждате на слайда . (ш.м.)Намерете площта на защрихованата фигура . (ш.м.). Въпросната фигура извит трапец ли е? Как можете да намерите неговата площ, като използвате свойството за адитивност на площта? Помислете за два извити трапеца и извадете площта на другия от площта на единия от тях ( ш.м.)

Нека създадем алгоритъм за намиране на областта с помощта на анимация на слайд:

  1. Графични функции
  2. Проектирайте пресечните точки на графиките върху оста x
  3. Засенчете фигурата, получена при пресичането на графиките
  4. Намерете криволинейни трапеци, чиято пресечна точка или обединение е дадената фигура.
  5. Изчислете площта на всеки от тях
  6. Намерете разликата или сбора на площите

Устна задача: Как да се получи площта на защрихована фигура (разкажете с помощта на анимация, слайд 8 и 9)

домашна работа:Разработете бележките, № 353 (а), № 364 (а).

Референции

  1. Алгебра и началото на анализа: учебник за 9-11 клас на вечерно (сменно) училище / изд. Г.Д. Глейзър. - М: Просвещение, 1983.
  2. Башмаков M.I. Алгебра и началото на анализа: учебник за 10-11 клас на средното училище / Башмаков M.I. - М: Просвещение, 1991.
  3. Башмаков M.I. Математика: учебник за институции нач. и сряда проф. образование / M.I. Башмаков. - М: Академия, 2010.
  4. Колмогоров A.N. Алгебра и начало на анализа: учебник за 10-11 клас. образователни институции / A.N. Kolmogorov. - М: Образование, 2010.
  5. Островски С.Л. Как да направим презентация за урок?/ S.L. Островски. – М.: 1 септември 2010 г.

    Този термин има други значения, вижте Трапец (значения). Трапец (от друг гръцки τραπέζιον „маса“; ... Wikipedia

    I Площта е една от основните величини, свързани с геометричните фигури. В най-простите случаи се измерва с броя на единичните квадрати, запълващи плоска фигура, тоест квадрати със страна, равна на една единица дължина. Изчисляване на P.......

    Методи за получаване на числени решения на различни задачи с помощта на графични конструкции. Г.в. (графично умножение, графично решение на уравнения, графично интегриране и др.) представляват система от конструкции, които повтарят или заместват... ... Велика съветска енциклопедия

    Площ, една от основните величини, свързани с геометричните фигури. В най-простите случаи се измерва с броя на единичните квадрати, запълващи плоска фигура, тоест квадрати със страна, равна на една единица дължина. Изчисляването на P. е било още в древни времена... ... Велика съветска енциклопедия

    Теоремата на Грийн установява връзка между криволинейния интеграл върху затворен контур C и двоен интеграл върху област D, ограничена от този контур. Всъщност тази теорема е частен случай на по-общата теорема на Стокс. Теоремата е кръстена в ... Wikipedia

Проблем 1(за изчисляване на площта на извит трапец).

В декартовата правоъгълна координатна система xOy е дадена фигура (вижте фигурата), ограничена от оста x, прави линии x = a, x = b (извит трапец. Необходимо е да се изчисли площта на извития трапец.
Решение.Геометрията ни дава рецепти за изчисляване на площите на многоъгълници и някои части от кръг (сектор, сегмент). Използвайки геометрични съображения, можем да намерим само приблизителна стойност на необходимата площ, разсъждавайки по следния начин.

Нека разделим отсечката [a; b] (основа на извит трапец) на n равни части; това разделяне се извършва с помощта на точки x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Нека начертаем прави линии през тези точки, успоредни на оста y. Тогава дадения криволинеен трапец ще бъде разделен на n части, на n тесни колони. Площта на целия трапец е равна на сумата от площите на колоните.

Нека разгледаме k-тата колона отделно, т.е. извит трапец, чиято основа е сегмент. Нека го заменим с правоъгълник със същата основа и височина, равна на f(x k) (виж фигурата). Площта на правоъгълника е равна на \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), където \(\Delta x_k \) е дължината на сегмента; Естествено е полученият продукт да се разглежда като приблизителна стойност на площта на k-тата колона.

Ако сега направим същото с всички останали колони, ще стигнем до следния резултат: площта S на даден криволинеен трапец е приблизително равна на площта S n на стъпаловидна фигура, съставена от n правоъгълника (вижте фигурата):
\(S_n = f(x_0)\Делта x_0 + \dots + f(x_k)\Делта x_k + \dots + f(x_(n-1))\Делта x_(n-1) \)
Тук, с цел еднаквост на записа, приемаме, че a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - дължина на сегмента, \(\Delta x_1 \) - дължина на сегмента и т.н.; в този случай, както се съгласихме по-горе, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

И така, \(S \approx S_n \), и това приблизително равенство е по-точно, колкото по-голямо е n.
По дефиниция се смята, че необходимата площ на криволинейния трапец е равна на границата на последователността (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Проблем 2(относно преместването на точка)
Материалната точка се движи по права линия. Зависимостта на скоростта от времето се изразява с формулата v = v(t). Намерете движението на точка за период от време [a; b].
Решение.Ако движението беше равномерно, тогава проблемът щеше да се реши много просто: s = vt, т.е. s = v(b-a). За неравномерно движение трябва да използвате същите идеи, на които се основава решението на предишния проблем.
1) Разделете интервала от време [a; b] на n равни части.
2) Помислете за период от време и приемете, че през този период от време скоростта е била постоянна, същата като в момента t k. Така че приемаме, че v = v(t k).
3) Нека намерим приблизителната стойност на движението на точката за период от време, ще обозначим тази приблизителна стойност като s k
\(s_k = v(t_k) \Делта t_k \)
4) Намерете приблизителната стойност на преместването s:
\(s \приблизително S_n \) където
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Необходимото изместване е равно на границата на последователността (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Нека да обобщим. Решенията на различни проблеми бяха сведени до един и същ математически модел. Много проблеми от различни области на науката и технологиите водят до един и същи модел в процеса на решаване. Това означава, че този математически модел трябва да бъде специално проучен.

Понятието за определен интеграл

Нека дадем математическо описание на модела, който е изграден в трите разглеждани задачи за функцията y = f(x), непрекъсната (но не непременно неотрицателна, както се приемаше в разглежданите задачи) на интервала [a; b]:
1) разделете сегмента [a; b] на n равни части;
2) направете сумата $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) изчислете $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

В хода на математическия анализ беше доказано, че тази граница съществува в случай на непрекъсната (или частично непрекъсната) функция. Обаждат му се определен интеграл от функцията y = f(x) върху отсечката [a; b]и се обозначава по следния начин:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Числата a и b се наричат ​​граници на интегриране (съответно долна и горна).

Да се ​​върнем към задачите, разгледани по-горе. Дефиницията на площ, дадена в задача 1, сега може да бъде пренаписана, както следва:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
тук S е площта на криволинейния трапец, показан на фигурата по-горе. Това е геометричен смисъл на определен интеграл.

Дефиницията на преместването s на точка, движеща се по права линия със скорост v = v(t) за периода от време от t = a до t = b, дадено в задача 2, може да бъде пренаписано, както следва:

Формула на Нютон-Лайбниц

Първо, нека отговорим на въпроса: каква е връзката между определения интеграл и първоизводната?

Отговорът може да се намери в задача 2. От една страна, преместването s на точка, движеща се по права линия със скорост v = v(t) за периода от време от t = a до t = b, се изчислява от формулата
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

От друга страна, координатата на движеща се точка е първоизводна за скоростта - нека я обозначим s(t); Това означава, че преместването s се изразява с формулата s = s(b) - s(a). В резултат получаваме:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
където s(t) е първоизводната на v(t).

В хода на математическия анализ беше доказана следната теорема.
Теорема. Ако функцията y = f(x) е непрекъсната на интервала [a; b], тогава формулата е валидна
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
където F(x) е първоизводната на f(x).

Дадената формула обикновено се извиква Формула на Нютон-Лайбницв чест на английския физик Исак Нютон (1643-1727) и немския философ Готфрид Лайбниц (1646-1716), които го получават независимо един от друг и почти едновременно.

На практика, вместо да пишат F(b) - F(a), те използват нотацията \(\left. F(x)\right|_a^b \) (понякога се нарича двойно заместване) и съответно пренапишете формулата на Нютон-Лайбниц в тази форма:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Когато изчислявате определен интеграл, първо намерете първоизводната и след това извършете двойно заместване.

Въз основа на формулата на Нютон-Лайбниц можем да получим две свойства на определения интеграл.

Имот 1.Интегралът от сумата на функциите е равен на сумата от интегралите:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Имот 2.Постоянният фактор може да бъде изваден от интегралния знак:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Изчисляване на площите на равнинни фигури с помощта на определен интеграл

Използвайки интеграла, можете да изчислите площите не само на извити трапеци, но и на равнинни фигури от по-сложен тип, например тази, показана на фигурата. Фигурата P е ограничена от прави x = a, x = b и графики на непрекъснати функции y = f(x), y = g(x), и върху отсечката [a; b] неравенството \(g(x) \leq f(x) \) е в сила. За да изчислим площта S на такава фигура, ще процедираме както следва:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

И така, площта S на фигура, ограничена от прави линии x = a, x = b и графики на функции y = f(x), y = g(x), непрекъснати на сегмента и такива, че за всяко x от сегмента [a; b] е изпълнено неравенството \(g(x) \leq f(x) \), изчислено по формулата
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Таблица с неопределени интеграли (антипроизводни) на някои функции

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Изчисляване на площта на фигура- Това е може би един от най-трудните проблеми в теорията на площите. В училищната геометрия те се учат да намират областите на основните геометрични фигури като например триъгълник, ромб, правоъгълник, трапец, кръг и др. Често обаче трябва да се занимавате с изчисляване на площите на по-сложни фигури. Именно при решаването на такива задачи е много удобно да се използва интегрално смятане.

Определение.

Криволинеен трапецнаричаме някаква фигура G, ограничена от правите y = f(x), y = 0, x = a и x = b, а функцията f(x) е непрекъсната на сегмента [a; b] и не променя знака си върху него (фиг. 1).Площта на извит трапец може да се означи с S(G).

Определеният интеграл ʃ a b f(x)dx за функцията f(x), която е непрекъсната и неотрицателна на интервала [a; b], и е площта на съответния извит трапец.

Тоест, за да се намери площта на фигура G, ограничена от линиите y = f(x), y = 0, x = a и x = b, е необходимо да се изчисли определеният интеграл ʃ a b f(x)dx .

по този начин S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Ако функцията y = f(x) не е положителна върху [a; b], тогава площта на криволинейния трапец може да се намери с помощта на формулата S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Пример 1.

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите y = x 3; y = 1; х = 2.

Решение.

Дадените линии образуват фигурата ABC, която е показана чрез щриховка ориз. 2.

Търсената площ е равна на разликата между площите на извития трапец DACE и квадрата DABE.

Използвайки формулата S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), намираме границите на интегриране. За целта решаваме система от две уравнения:

(y = x 3,
(y = 1.

Така имаме x 1 = 1 – долната граница и x = 2 – горната граница.

И така, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (кв. единици).

Отговор: 11/4 кв. единици

Пример 2.

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите y = √x; y = 2; х = 9.

Решение.

Дадените прави образуват фигурата ABC, която е ограничена отгоре от графиката на функцията

y = √x, а по-долу има графика на функцията y = 2. Получената фигура е показана чрез щриховка ориз. 3.

Необходимата площ е S = ʃ a b (√x – 2). Нека намерим границите на интегриране: b = 9, за да намерим a, решаваме система от две уравнения:

(y = √x,
(y = 2.

Така имаме, че x = 4 = a – това е долната граница.

И така, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (кв. единици).

Отговор: S = 2 2/3 кв. единици

Пример 3.

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите y = x 3 – 4x; y = 0; x ≥ 0.

Решение.

Нека начертаем функцията y = x 3 – 4x за x ≥ 0. За да направите това, намерете производната y’:

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 при x = ±2/√3 ≈ 1,1 – критични точки.

Ако начертаем критичните точки на числовата права и подредим знаците на производната, ще открием, че функцията намалява от нула до 2/√3 и нараства от 2/√3 до плюс безкрайност. Тогава x = 2/√3 е минималната точка, минималната стойност на функцията y min = -16/(3√3) ≈ -3.

Нека определим пресечните точки на графиката с координатните оси:

ако x = 0, тогава y = 0, което означава, че A(0; 0) е пресечната точка с оста Oy;

ако y = 0, тогава x 3 – 4x = 0 или x(x 2 – 4) = 0, или x(x – 2)(x + 2) = 0, откъдето x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (не е подходящо, защото x ≥ 0).

Точките A(0; 0) и B(2; 0) са точките на пресичане на графиката с оста Ox.

Дадените линии образуват фигурата OAB, която е показана чрез щриховка ориз. 4.

Тъй като функцията y = x 3 – 4x приема отрицателна стойност върху (0; 2), тогава

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Имаме: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, откъдето S = 4 кв. единици

Отговор: S = 4 кв. единици

Пример 4.

Намерете площта на фигурата, ограничена от параболата y = 2x 2 – 2x + 1, правите x = 0, y = 0 и допирателната към тази парабола в точката с абсцисата x 0 = 2.

Решение.

Първо, нека създадем уравнение за допирателната към параболата y = 2x 2 – 2x + 1 в точката с абсцисата x₀ = 2.

Тъй като производната y’ = 4x – 2, тогава за x 0 = 2 получаваме k = y’(2) = 6.

Нека намерим ординатата на допирателната точка: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Следователно уравнението на допирателната има формата: y – 5 = 6(x ​​​​– 2) или y = 6x – 7.

Нека изградим фигура, ограничена от линии:

y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.

Г у = 2х 2 – 2х + 1 – парабола. Пресечни точки с координатните оси: A(0; 1) – с оста Oy; с оста Ох - няма пресечни точки, т.к уравнението 2x 2 – 2x + 1 = 0 няма решения (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, тоест върхът на точката на параболата B има координати B(1/2; 1/2).

И така, фигурата, чиято площ трябва да се определи, е показана чрез щрихиране ориз. 5.

Имаме: S O A B D = S OABC – S ADBC.

Нека намерим координатите на точка D от условието:

6x – 7 = 0, т.е. x = 7/6, което означава DC = 2 – 7/6 = 5/6.

Намираме площта на триъгълника DBC по формулата S ADBC ​​​​= 1/2 · DC · BC. по този начин

S ADBC ​​​​= 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 кв. единици

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (кв. единици).

Накрая получаваме: S O A B D = S OABC – S ADBC ​​​​= 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (кв. единици).

Отговор: S = 1 1/4 кв. единици

Разгледахме примери намиране на площите на фигури, ограничени от дадени прави. За да разрешите успешно такива задачи, трябва да можете да чертаете прави и графики на функции в равнина, да намирате точките на пресичане на прави, да прилагате формула за намиране на областта, което предполага способността да изчислявате определени интеграли.

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.