Подробно доказателство на теоремата за многоъгълната ортогонална проекция

Ако е проекцията на плосък п -gon към равнина, тогава къде е ъгълът между равнините на многоъгълниците и. С други думи, площта на проекцията на равнинния многоъгълник е равна на произведението на площта на проектирания многоъгълник и косинуса на ъгъла между равнината на проекцията и равнината на проектирания многоъгълник.

Доказателство. аз етап. Нека проведем доказателството първо за триъгълник. Нека разгледаме 5 случая.

1 случай. лежат в проекционната равнина .

Нека са проекциите на точките върху равнината, съответно. В нашия случай. Да приемем, че. Нека е височината, тогава по теоремата за три перпендикуляра можем да заключим, че - височината (- проекцията на наклонената, - нейната основа и правата, минаваща през основата на наклонената, и).

Нека помислим. Тя е правоъгълна. По дефиниция на косинус:

От друга страна, тъй като и, тогава по дефиниция е линейният ъгъл на двустенния ъгъл, образуван от полуравнините на равнините и с граничната права линия, и следователно неговата мярка е също мярката на ъгъла между равнини на проекцията на триъгълника и самия триъгълник, т.е.

Нека намерим отношението на площ към:

Имайте предвид, че формулата остава вярна дори когато. В този случай

Случай 2. Лежи само в проекционната равнина и е успореден на проекционната равнина .

Нека са проекциите на точките върху равнината, съответно. В нашия случай.

Нека начертаем права линия през точката. В нашия случай правата пресича проекционната равнина, което означава, че по лемата правата също пресича проекционната равнина. Нека това да е в точката Тъй като, тогава точките лежат в една и съща равнина и тъй като тя е успоредна на проекционната равнина, тогава в резултат на знака за паралелност на правата и равнината следва това. Следователно това е успоредник. Нека разгледаме и. Те са равни по три страни (общата страна е като срещуположните страни на успоредник). Обърнете внимание, че четириъгълникът е правоъгълник и е равен (по дължината на катета и хипотенузата), следователно е равен от три страни. Ето защо.

За приложим случай 1: , т.е.

Случай 3. Лежи само в проекционната равнина и не е успоредна на проекционната равнина .

Нека точката е пресечната точка на правата с проекционната равнина. Имайте предвид, че и. В 1 случай: i. Така получаваме това

Случай 4 Върховете не лежат в проекционната равнина . Нека да разгледаме перпендикулярите. Нека вземем най-малкия сред тези перпендикуляри. Нека е перпендикулярно. Може да се окаже, че е или само, или само. Тогава все пак ще го вземем.

Нека отделим точка от точка на отсечка, така че, и от точка на отсечка, точка, така че. Тази конструкция е възможна, защото е най-малкият от перпендикулярите. Забележете, че е проекция на и по конструкция. Нека докажем, че и са равни.

Помислете за четириъгълник. Според условието - перпендикуляри на една равнина, следователно, според теоремата, следователно. Тъй като по конструкция, то по свойствата на успоредник (по успоредни и равни противоположни страни) можем да заключим, че той е успоредник. Означава,. По същия начин е доказано, че,. Следователно и са равни от три страни. Ето защо. Обърнете внимание, че и, като противоположни страни на паралелограми, следователно, въз основа на успоредността на равнините, . Тъй като тези равнини са успоредни, те образуват същия ъгъл с равнината на проекцията.

Прилагат се предишните случаи:.

Случай 5. Проекционната равнина пресича страните . Нека да разгледаме правите линии. Те са перпендикулярни на проекционната равнина, така че според теоремата са успоредни. На съпосочни лъчи с начало в точки ще начертаем съответно равни отсечки, така че върховете да лежат извън равнината на проекцията. Забележете, че е проекция на и по конструкция. Нека покажем, че е равно.

Тъй като и, по конструкция, тогава. Следователно, според характеристиката на успоредника (на две равни и успоредни страни), той е успоредник. По подобен начин се доказва, че и са успоредници. Но тогава и (като противоположни страни) следователно са равни от три страни. Означава,.

В допълнение, и следователно, въз основа на паралелността на равнините. Тъй като тези равнини са успоредни, те образуват същия ъгъл с равнината на проекцията.

За приложим случай 4:.

II етап. Нека разделим плосък многоъгълник на триъгълници, използвайки диагонали, изтеглени от върха: Тогава, съгласно предишните случаи за триъгълници: .

Q.E.D.

Глава IV. Прави и равнини в пространството. Многостени

§ 55. Проекционна площ на многоъгълник.

Нека припомним, че ъгълът между права и равнина е ъгълът между дадена права и нейната проекция върху равнината (фиг. 164).

Теорема. Площта на ортогоналната проекция на многоъгълник върху равнина е равна на площта на проектирания многоъгълник, умножена по косинуса на ъгъла, образуван от равнината на многоъгълника и равнината на проекцията.

Всеки многоъгълник може да бъде разделен на триъгълници, чиято сума от площи е равна на площта на многоъгълника. Следователно е достатъчно да се докаже теоремата за триъгълник.

Нека /\ ABC се проектира върху равнина r. Нека разгледаме два случая:
а) една от страните /\ ABC е успореден на равнината r;
б) никоя от страните /\ ABC не е успоредна r.

Нека помислим първи случай: нека [AB] || r.

Нека начертаем равнина през (AB) r 1 || rи проектиране ортогонално /\ ABC включен r 1 и нататък r(фиг. 165); получаваме /\ ABC 1 и /\ A "B" C.
Чрез свойството на проекцията, което имаме /\ ABC 1 /\ A"B"C", и следователно

С /\ ABC1=S /\ A "B" C

Нека начертаем _|_ и отсечката D 1 C 1 . Тогава _|_ , a = φ е стойността на ъгъла между равнината /\ ABC и самолет r 1. Ето защо

С /\ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ

и следователно С /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.

Нека да преминем към разглеждане втори случай. Нека начертаем самолет r 1 || rнад този връх /\ ABC, разстоянието от което до равнината rнай-малкият (нека това е връх A).
Да проектираме /\ ABC в самолет r 1 и r(фиг. 166); нека неговите проекции са съответно /\ AB 1 C 1 и /\ A "B" C.

Нека (слънце) стр 1 = D. Тогава

С /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ

Задача.През основата на правилна триъгълна призма е прекарана равнина под ъгъл φ = 30° спрямо равнината на нейната основа. Намерете площта на полученото напречно сечение, ако страната на основата на призмата А= 6 см.

Нека изобразим напречното сечение на тази призма (фиг. 167). Тъй като призмата е правилна, нейните странични ръбове са перпендикулярни на равнината на основата. означава, /\ ABC е проекция /\ Следователно ADC

Теорема. Площта на ортогоналната проекция на многоъгълник върху равнина е равна на площта на проектирания многоъгълник, умножена по косинуса на ъгъла, образуван от равнината на многоъгълника и равнината на проекцията.

Нека $\Delta$ABC се проектира върху равнината r. Нека разгледаме два случая:

а) една от страните $\Delta$ABC е успоредна на равнината r;

б) нито една от страните на $\Delta$ABC не е успоредна r.

Нека помислим първи случай: нека [AB] || r.

Нека начертаем равнина през (AB) r 1 || rи проектираме ортогонално $\Delta$ABC върху r 1 и нататък r(фиг. 165); получаваме $\Delta$ABC 1 и $\Delta$ABC.

Чрез свойството на проекцията имаме $\Delta$ABC 1 $\cong$ $\Delta$ ABC, и следователно

S $\Делта$ABC1 = S $\Делта$ABC

Нека начертаем ⊥ и отсечката D 1 C 1 . Тогава ⊥ , a $\widehat(CD_(1)C_(1))$ = φ е стойността на ъгъла между равнината $\Delta$ ABC и равнината r 1. Ето защо

S $\Делта$ ABC1 = 1 / 2 |AB| |C 1 D 1 | = 1/2 |AB| |CD 1 | cos φ = S $\Delta$ABC cos φ

и следователно S $\Delta$ABC = S $\Delta$ABC cos φ.

Нека да преминем към разглеждане втори случай. Нека начертаем самолет r 1 || rпрез този връх $\Delta$ABC, разстоянието от което до равнината rнай-малкият (нека това е връх A).

Нека проектираме $\Delta$ABC в самолета r 1 и r(фиг. 166); нека неговите проекции са съответно $\Delta$AB 1 C 1 и $\Delta$ABC.

Нека (BC)$\cap$ стр 1 = D. Тогава

S $\Delta$ABC = S $\Delta$AB1 C1 = S $\Delta$ADC1 - S $\Delta$ADB1 = (S $\Delta$ ADC - S $ \Delta$ADB) cos φ = S $\Delta$ABC cos φ

Задача.През основата на правилна триъгълна призма е прекарана равнина под ъгъл φ = 30° спрямо равнината на нейната основа. Намерете площта на полученото напречно сечение, ако страната на основата на призмата А= 6 см.

Нека изобразим напречното сечение на тази призма (фиг. 167). Тъй като призмата е правилна, нейните странични ръбове са перпендикулярни на равнината на основата. Това означава, че $\Delta$ABC е проекция на $\Delta$ADC, следователно
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(S_(\Delta ABC))(cos\phi) = \frac(a\cdot a\sqrt3)(4cos\phi) $$
или
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(6\cdot 6\cdot \sqrt3)(4\cdot\frac(\sqrt3)(2)) = 18 (cm^2) $$

Помислете за самолет стр и правата, която го пресича . Нека А - произволна точка в пространството. Нека начертаем права линия през тази точка , успоредна на правата . Нека . Точка наречена проекция на точка Адо самолета стрс успореден дизайн по дадена права линия . Самолет стр , върху която се проектират точките от пространството, се нарича проекционна равнина.

p - проекционна равнина;

- директно проектиране; ;

; ; ;

Ортогонален дизайне специален случай на паралелен дизайн. Ортогоналното проектиране е паралелно проектиране, при което проектната линия е перпендикулярна на проекционната равнина. Ортогоналният дизайн се използва широко в технически чертеж, където фигурата се проектира върху три равнини - хоризонтална и две вертикални.

Определение: Ортогонална проекция на точка Мдо самолета стрнаречена база М 1перпендикулярен ММ 1, отпадна от точката Мдо самолета стр.

Наименование: , , .

Определение: Ортогонална проекция на фигура Едо самолета стре множеството от всички точки на равнината, които са ортогонални проекции на множеството от точки на фигурата Едо самолета стр.

Ортогонален дизайн като специален случайпаралелният дизайн има същите свойства:

p - проекционна равнина;

- директно проектиране; ;

1) ;

2) , .

Проекциите на успоредни прави са успоредни.

ПРОЕКЦИОННА ПЛОЩ НА ПЛОСКА ФИГУРА

Теорема: Площта на проекцията на равнинен многоъгълник върху определена равнина е равна на площта на проектирания многоъгълник, умножена по косинуса на ъгъла между равнината на многоъгълника и равнината на проекцията.

Етап 1: Проектираната фигура е триъгълник ABC, чиято страна AC лежи в проекционната равнина a (успоредна на проекционната равнина a).

дадени:

Докажи:

Доказателство:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. По теоремата за трите перпендикуляра;

ВD – височина; B 1 D – височина;

5. – линеен ъгъл на двустенния ъгъл;

6. ; ; ; ;

Етап 2: Проектираната фигура е триъгълник ABC, никоя от страните на който не лежи в проекционната равнина a и не е успоредна на нея.

дадени:

Докажи:

Доказателство:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(етап 1);

5. ; ; ;

(етап 1);

Етап: Проектираната фигура е произволен многоъгълник.

Доказателство:

Многоъгълникът е разделен от диагонали, изтеглени от един връх на краен брой триъгълници, за всеки от които теоремата е вярна. Следователно теоремата ще бъде вярна и за сумата от площите на всички триъгълници, чиито равнини образуват същия ъгъл с равнината на проекцията.

Коментирайте: Доказаната теорема е валидна за всяка плоска фигура, ограничена от затворена крива.

Упражнения:

1. Намерете площта на триъгълник, чиято равнина е наклонена към равнината на проекцията под ъгъл, ако проекцията му е правилен триъгълник със страна a.

2. Намерете площта на триъгълник, чиято равнина е наклонена към равнината на проекцията под ъгъл, ако неговата проекция е равнобедрен триъгълник със страна 10 cm и основа 12 cm.

3. Намерете площта на триъгълник, чиято равнина е наклонена към равнината на проекцията под ъгъл, ако проекцията му е триъгълник със страни 9, 10 и 17 cm.

4. Изчислете площта на трапец, чиято равнина е наклонена към равнината на проекцията под ъгъл, ако проекцията му е равнобедрен трапец, чиято по-голяма основа е 44 cm, страната е 17 cm и диагоналът е 39 см.

5. Изчислете площта на проекцията на правилен шестоъгълник със страна 8 cm, чиято равнина е наклонена към равнината на проекцията под ъгъл.

6. Ромб със страна 12 см и остър ъгълобразува ъгъл с дадена равнина. Изчислете площта на проекцията на ромба върху тази равнина.

7. Ромб със страна 20 cm и диагонал 32 cm сключва ъгъл с дадена равнина. Изчислете площта на проекцията на ромба върху тази равнина.

8. Проекцията на навес върху хоризонтална равнина е правоъгълник със страни и . Намерете площта на сенника, ако страничните повърхности са равни правоъгълници, наклонени към хоризонталната равнина под ъгъл, а средната част на сенника е квадрат, успореден на равнината на проекцията.

11. Упражнения по темата „Прави и равнини в пространството“:

Страните на триъгълника са равни на 20 см, 65 см, 75 см. От върха на по-големия ъгъл на триъгълника е прекаран перпендикуляр, равен на 60 см. Намерете разстоянието от краищата на перпендикуляра до по-голямата страна на триъгълника.

2. От точка, разположена на разстояние cm от равнината, са начертани две наклонени, образуващи с равнината ъгли, равни на , и прав ъгъл между тях. Намерете разстоянието между точките на пресичане на наклонените равнини.

3. Страната на правилен триъгълник е 12 см. Точка M е избрана така, че отсечките, свързващи точка M с всички върхове на триъгълника, образуват ъгли с неговата равнина. Намерете разстоянието от точка М до върховете и страните на триъгълника.

4. През страната на квадрата е начертана равнина под ъгъл спрямо диагонала на квадрата. Намерете ъглите, под които двете страни на квадрата са наклонени към равнината.

5. Равнобедрен крак правоъгълен триъгълникнаклонена към равнината a, минаваща през хипотенузата под ъгъл . Докажете, че ъгълът между равнината a и равнината на триъгълника е равен на .

6. Двустенният ъгъл между равнините на триъгълниците ABC и DBC е равен на . Намерете AD, ако AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.

Тестови въпроси по темата „Прави и равнини в пространството“

1. Избройте основните понятия на стереометрията. Формулирайте аксиомите на стереометрията.

2. Докажете следствия от аксиомите.

3. Какво е взаимното разположение на две прави в пространството? Дайте определения за пресичащи се, успоредни и коси прави.

4. Докажете знака на косите линии.

5. Какво е взаимното разположение на правата и равнината? Дайте определения за пресичащи се, успоредни прави и равнини.

6. Докажете признака за успоредност между права и равнина.

7. Какво е взаимното разположение на двете равнини?

8. Определете успоредни равнини. Докажете знак, че две равнини са успоредни. Изложете теореми за успоредни равнини.

9. Определете ъгъла между правите линии.

10. Докажете признака за перпендикулярност на права и равнина.

11. Определете основата на перпендикуляра, основата на наклонената, проекцията на наклонената върху равнина. Формулирайте свойствата на перпендикулярни и наклонени прави, пуснати върху равнина от една точка.

12. Определете ъгъла между права линия и равнина.

13. Докажете теоремата за три перпендикуляра.

14. Дайте дефиниции на двустенен ъгъл, линеен ъгъл на двустенен ъгъл.

15. Докажете знака за перпендикулярност на две равнини.

16. Определете разстоянието между две различни точки.

17. Определете разстоянието от точка до права.

18. Определете разстоянието от точка до равнина.

19. Определете разстоянието между права и успоредна на нея равнина.

20. Определете разстоянието между успоредни равнини.

21. Определете разстоянието между пресичащите се линии.

22. Определете ортогоналната проекция на точка върху равнина.

23. Определете ортогоналната проекция на фигура върху равнина.

24. Формулирайте свойствата на проекциите върху равнина.

25. Формулирайте и докажете теорема за площта на проекцията на равнинен многоъгълник.

ГЕОМЕТРИЯ
Планове за уроци за 10 клас

Урок 56

Предмет. Площ на ортогонална проекция на многоъгълник

Целта на урока: да се изучи теоремата за площта на ортогоналната проекция на многоъгълник, да се развият уменията на учениците за прилагане на научената теорема за решаване на проблеми.

Оборудване: стереометричен набор, модел на куб.

Напредък на урока

I. Проверка на домашните

1. Двама ученици възпроизвеждат на дъската решения на задачи № 42, 45.

2. Фронтален въпрос.

1) Определете ъгъла между две равнини, които се пресичат.

2) Какъв е ъгълът между:

а) успоредни равнини;

б) перпендикулярни равнини?

3) В какви граници може да се променя ъгълът между две равнини?

4) Вярно ли е, че равнина, която пресича успоредни равнини, ги пресича под еднакви ъгли?

5) Вярно ли е, че равнина, която пресича перпендикулярни равнини, ги пресича под еднакви ъгли?

3. Проверка на верността на решението на задачи No 42, 45, които учениците пресъздадоха на дъската.

II. Възприемане и осъзнаване на нов материал

Задача за ученици

1. Докажете, че площта на проекцията на триъгълник, едната страна на която е в равнината на проекцията, е равна на произведението на неговата площ и косинуса на ъгъла между равнината на многоъгълника и равнината на проекцията.

2. Докажете теоремата за случая, когато решетъчен триъгълник е този, в който едната страна е успоредна на проекционната равнина.

3. Докажете теоремата за случая, когато решетъчен триъгълник е такъв, в който никоя от страните не е успоредна на проекционната равнина.

4. Докажете теоремата за произволен многоъгълник.

Разрешаване на проблеми

1. Намерете площта на ортогоналната проекция на многоъгълник, чиято площ е 50 cm2, а ъгълът между равнината на многоъгълника и неговата проекция е 60 °.

2. Намерете площта на многоъгълника, ако площта на ортогоналната проекция на този многоъгълник е 50 cm2, а ъгълът между равнината на многоъгълника и неговата проекция е 45 °.

3. Площта на многоъгълника е 64 cm2, а площта на ортогоналната проекция е 32 cm2. Намерете ъгъла между равнините на многоъгълника и неговата проекция.

4. Или може би площта на ортогоналната проекция на многоъгълник е равна на площта на този многоъгълник?

5. Ръбът на куба е равен на a. Намерете площта на напречното сечение на куба с равнина, минаваща през горната част на основата под ъгъл 30° спрямо тази основа и пресичаща всички странични ръбове. (Отговор.)

6. Задача No 48 (1, 3) от учебника (с. 58).

7. Задача No 49 (2) от учебника (с. 58).

8. Страните на правоъгълника са 20 и 25 см. Проекцията му върху равнината е подобна на нея. Намерете периметъра на проекцията. (Отговор: 72 см или 90 см.)

III. домашна работа

§4, параграф 34; Защитен въпрос№ 17; задачи № 48 (2), 49 (1) (с. 58).

IV. Обобщаване на урока

Въпрос към класа

1) Посочете теорема за площта на ортогоналната проекция на многоъгълник.

2) Може ли площта на ортогоналната проекция на многоъгълник да бъде по-голяма от площта на многоъгълника?

3) През хипотенузата AB на правоъгълния триъгълник ABC е прекарана равнина α под ъгъл 45° спрямо равнината на триъгълника и перпендикуляр CO към равнината α. AC = 3 cm, BC = 4 cm Посочете кои от следните твърдения са верни и кои не.

а) ъгълът между равнините ABC и α е равен на ъгъла SMO, където точката H е основата на височината CM на триъгълник ABC;

б) CO = 2,4 cm;

в) триъгълник AOC е ортогонална проекция на триъгълник ABC върху равнината α;

г) площта на триъгълника AOB е 3 cm2.

(Отговор: а) Правилно; б) грешен; в) неправилно; г) правилно.)

ГЕОМЕТРИЯ Планове за уроци за 10 клас

Напредък на урока

I. Проверка на домашните

II. Възприемане и осъзнаване на нов материал

Задача за ученици

Разрешаване на проблеми

III. домашна работа

ГЕОМЕТРИЯ
Планове за уроци за 10 клас