След като се определи силата на едно число, е логично да се говори за степенни свойства. В тази статия ще дадем основните свойства на степента на число, като същевременно ще се докоснем до всички възможни степени. Тук ще предоставим доказателства за всички свойства на степените и ще покажем как тези свойства се използват при решаване на примери.

Навигация в страницата.

Свойства на степените с естествен показател

По дефиниция на степен с естествен показател, степента a n е произведението на n множителя, всеки от които е равен на a. Въз основа на това определение, а също и с помощта свойства на умножението на реални числа, можем да получим и обосновем следното свойства на степен с естествен показател:

  1. основното свойство на степента a m ·a n =a m+n, нейното обобщение;
  2. свойство на частни степени с еднакви основи a m:a n =a m−n ;
  3. свойство мощност на продукта (a·b) n =a n ·b n, неговото разширение;
  4. свойство на частното спрямо естествената степен (a:b) n =a n:b n ;
  5. повдигане на степен на степен (a m) n =a m·n, нейното обобщение (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
  6. сравнение на степен с нула:
    • ако a>0, тогава a n>0 за всяко естествено число n;
    • ако a=0, тогава a n =0;
    • ако а<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ако a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
  7. ако a и b са положителни числа и a
  8. ако m и n са естествени числа, така че m>n, тогава при 0 0 неравенството a m >a n е вярно.

Нека веднага да отбележим, че всички написани равенства са идентиченпри посочените условия, дясната и лявата им част могат да се сменят. Например основното свойство на дробта a m ·a n =a m+n с опростяване на изразичесто се използва под формата a m+n =a m ·a n .

Сега нека разгледаме подробно всеки от тях.

    Нека започнем със свойството на произведението на две степени с еднакви основи, което се нарича основното свойство на степента: за всяко реално число a и всякакви естествени числа m и n е вярно равенството a m ·a n =a m+n.

    Нека докажем основното свойство на степента. По дефиницията на степен с естествен показател, произведението на степени с еднакви основи от формата a m · a n може да бъде записано като произведение. Поради свойствата на умножението, полученият израз може да бъде записан като , и този продукт е степен на числото a с естествен показател m+n, тоест a m+n. Това завършва доказателството.

    Нека дадем пример, потвърждаващ основното свойство на степента. Нека вземем степени с еднакви основи 2 и естествени степени 2 и 3, като използваме основното свойство на степените, можем да запишем равенството 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Нека проверим неговата валидност, като изчислим стойностите на изразите 2 2 · 2 3 и 2 5 . Извършвайки степенуване, имаме 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32и 2 5 =2·2·2·2·2=32, тъй като се получават равни стойности, то равенството 2 2 ·2 3 =2 5 е правилно и то потвърждава основното свойство на степента.

    Основното свойство на степента, базирано на свойствата на умножението, може да се обобщи до произведението на три или повече степени с еднакви основи и естествени показатели. Така че за всяко число k от естествените числа n 1, n 2, …, n k равенството е вярно a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

    например, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    Можем да преминем към следващото свойство на степените с естествен показател – свойство на частни степени с еднакви бази: за всяко ненулево реално число a и произволни естествени числа m и n, отговарящи на условието m>n, е вярно равенството a m:a n =a m−n.

    Преди да представим доказателството за това свойство, нека обсъдим значението на допълнителните условия във формулировката. Условието a≠0 е необходимо, за да избегнем деленето на нула, тъй като 0 n =0, а когато се запознахме с деленето, се съгласихме, че не можем да делим на нула. Условието m>n е въведено, за да не излизаме извън естествените степени. Наистина, за m>n показателят a m−n е естествено число, в противен случай ще бъде или нула (което се случва за m−n), или отрицателно число (което се случва за m

    Доказателство. Основното свойство на дробта ни позволява да напишем равенството a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. От полученото равенство a m−n ·a n =a m и следва, че a m−n е частно от степените a m и a n . Това доказва свойството на частните степени с еднакви бази.

    Нека дадем пример. Да вземем две степени с еднакви основи π и естествени показатели 5 и 2, равенството π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 отговаря на разглежданото свойство на степента.

    Сега нека помислим свойство мощност на продукта: естествената степен n на произведението на произволни две реални числа a и b е равна на произведението на степените a n и b n, тоест (a·b) n =a n ·b n.

    Наистина, по дефиницията на степен с естествен показател имаме . Въз основа на свойствата на умножението, последният продукт може да бъде пренаписан като , което е равно на a n · b n .

    Ето един пример: .

    Това свойство се простира до степента на произведението на три или повече фактора. Тоест, свойството естествена степен n на произведението от k фактора се записва като (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

    За по-голяма яснота ще покажем това свойство с пример. За произведението на три множителя на степен 7 имаме .

    Следното свойство е свойство на частно в натура: частното на реалните числа a и b, b≠0 към естествената степен n е равно на частното на степените a n и b n, тоест (a:b) n =a n:b n.

    Доказателството може да се извърши с помощта на предишното свойство. И така (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, а от равенството (a:b) n ·b n =a n следва, че (a:b) n е частното от a n делено на b n .

    Нека напишем това свойство, използвайки конкретни числа като пример: .

    Сега нека го озвучим свойство за повдигане на степен на степен: за всяко реално число a и всякакви естествени числа m и n степента на a m на степен n е равна на степента на числото a с показател m·n, тоест (a m) n =a m·n.

    Например (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

    Доказателството за свойството степен към степен е следната верига от равенства: .

    Разглежданото свойство може да бъде разширено до степен до степен до степен и т.н. Например, за всякакви естествени числа p, q, r и s равенството . За по-голяма яснота ето пример с конкретни числа: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    Остава да се спрем на свойствата на сравняване на степени с естествен показател.

    Нека започнем с доказване на свойството за сравняване на нула и степен с естествен показател.

    Първо, нека докажем, че a n >0 за всяко a>0.

    Произведението на две положителни числа е положително число, както следва от определението за умножение. Този факт и свойствата на умножението предполагат, че резултатът от умножаването на произволен брой положителни числа също ще бъде положително число. А степента на число a с естествен показател n по дефиниция е произведението на n множителя, всеки от които е равен на a. Тези аргументи ни позволяват да твърдим, че за всяка положителна основа a степента a n е положително число. Поради доказаното свойство 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 и .

    Съвсем очевидно е, че за всяко положително цяло число n с a=0 степента на a n е нула. Наистина, 0 n =0·0·…·0=0 . Например 0 3 =0 и 0 762 =0.

    Нека преминем към отрицателните основи на степен.

    Нека започнем със случая, когато показателят е четно число, нека го обозначим като 2·m, където m е естествено число. Тогава . За всяко от произведенията на формата a·a е равно на произведението на модулите на числата a и a, което означава, че е положително число. Следователно продуктът също ще бъде положителен и степен a 2·m. Нека дадем примери: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 и .

    И накрая, когато основата a е отрицателно число и показателят е нечетно число 2 m−1, тогава . Всички продукти a·a са положителни числа, произведението на тези положителни числа също е положително и неговото умножение по оставащото отрицателно число a води до отрицателно число. Поради това свойство (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    Нека да преминем към свойството за сравняване на степени с еднакви естествени показатели, което има следната формулировка: от две степени с еднакви естествени показатели n е по-малко от тази, чиято основа е по-малка, а по-голяма е тази, чиято основа е по-голяма . Нека го докажем.

    Неравенство a n свойства на неравенстватадоказуемо неравенство от формата a n също е вярно (2.2) 7 и .

    Остава да се докаже последното от изброените свойства на степени с естествен показател. Нека го формулираме. От две степени с естествени показатели и еднакви положителни основи, по-малки от единица, тази, чийто показател е по-малък, е по-голяма; и от две степени с естествен показател и еднакви основи, по-големи от единица, тази, чийто степен е по-голяма, е по-голяма. Нека преминем към доказателството на това свойство.

    Нека докажем, че за m>n и 0 0 поради първоначалното условие m>n, което означава, че при 0

    Остава да се докаже и втората част от имота. Нека докажем, че за m>n и a>1 a m >a n е вярно. Разликата a m −a n след изваждане на n извън скобите приема формата a n ·(a m−n −1) . Това произведение е положително, тъй като за a>1 степента a n е положително число, а разликата a m−n −1 е положително число, тъй като m−n>0 поради началното условие, а за a>1 степента a m−n е по-голямо от едно. Следователно, a m −a n >0 и a m >a n, което трябваше да бъде доказано. Това свойство се илюстрира от неравенството 3 7 >3 2.

Свойства на степени с цели показатели

Тъй като положителните цели числа са естествени числа, тогава всички свойства на степени с цели положителни показатели съвпадат точно със свойствата на степени с естествени показатели, изброени и доказани в предходния параграф.

Дефинирахме степен с цяло число отрицателен показател, както и степен с нулев показател, по такъв начин, че всички свойства на степени с естествени показатели, изразени чрез равенства, останаха валидни. Следователно, всички тези свойства са валидни както за нулев показател, така и за отрицателен показател, докато, разбира се, основите на степените са различни от нула.

И така, за всички реални и ненулеви числа a и b, както и за всички цели числа m и n, е вярно следното: свойства на степени с цели показатели:

  1. a m · a n = a m+n ;
  2. a m:a n =a m−n ;
  3. (a·b) n = a n · b n;
  4. (a:b) n =a n:b n ;
  5. (a m) n = a m·n;
  6. ако n е положително цяло число, a и b са положителни числа и a b−n ;
  7. ако m и n са цели числа и m>n, тогава при 0 1 е в сила неравенството a m >a n.

Когато a=0, степените a m и a n имат смисъл само когато и m, и n са цели положителни числа, тоест естествени числа. Така току-що записаните свойства са валидни и за случаите, когато a=0 и числата m и n са цели положителни числа.

Доказването на всяко от тези свойства не е трудно, достатъчно е да се използват дефинициите на степени с естествени и цели числа, както и свойствата на операциите с реални числа. Като пример, нека докажем, че свойството мощност за захранване е валидно както за положителни цели, така и за неположителни цели числа. За да направите това, трябва да покажете, че ако p е нула или естествено число и q е нула или естествено число, тогава равенствата (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) и (a −p) −q =a (−p)·(−q). Нека направим това.

За положителни p и q, равенството (a p) q =a p·q беше доказано в предишния параграф. Ако p=0, тогава имаме (a 0) q =1 q =1 и a 0·q =a 0 =1, откъдето (a 0) q =a 0·q. По същия начин, ако q=0, тогава (a p) 0 =1 и a p·0 =a 0 =1, откъдето (a p) 0 =a p·0. Ако и двете p=0 и q=0, тогава (a 0) 0 =1 0 =1 и a 0·0 =a 0 =1, откъдето (a 0) 0 =a 0·0.

Сега доказваме, че (a −p) q =a (−p)·q . Тогава по дефиниция на степен с отрицателен цяло число . По свойството частни на степени имаме . Тъй като 1 p =1·1·…·1=1 и , тогава . Последният израз по дефиниция е степен от формата a −(p·q), която поради правилата за умножение може да се запише като a (−p)·q.

По същия начин .

И .

Използвайки същия принцип, можете да докажете всички други свойства на степен с цяло число, записани под формата на равенства.

В предпоследното от записаните свойства си струва да се спрем на доказателството на неравенството a −n >b −n, което е валидно за всяко отрицателно цяло число −n и всяко положително a и b, за които е изпълнено условието a . Тъй като по условие а 0 . Произведението a n · b n също е положително като произведението на положителните числа a n и b n . Тогава получената дроб е положителна като частно на положителните числа b n −a n и a n ·b n . Следователно, откъде a −n >b −n , което трябваше да се докаже.

Последното свойство на степени с цели показатели се доказва по същия начин като подобно свойство на степени с естествени показатели.

Свойства на степени с рационални показатели

Дефинирахме степен с дробен показател, като разширихме свойствата на степен с целочислен показател към него. С други думи, степени с дробни показатели имат същите свойства като степени с цели числа. а именно:

Доказателството за свойствата на степени с дробен показател се основава на дефиницията на степен с дробен показател и върху свойствата на степен с цяло число. Нека предоставим доказателства.

По дефиниция на степен с дробен показател и , тогава . Свойствата на аритметичния корен ни позволяват да напишем следните равенства. Освен това, използвайки свойството на степен с цяло число, получаваме , от което, по дефиницията на степен с дробен показател, имаме , а показателят за получената степен може да се трансформира по следния начин: . Това завършва доказателството.

Второто свойство на степените с дробни показатели се доказва по абсолютно подобен начин:

Останалите равенства се доказват с помощта на подобни принципи:

Да преминем към доказване на следващото свойство. Нека докажем, че за всяко положително a и b, a b p . Нека запишем рационалното число p като m/n, където m е цяло число, а n е естествено число. Условия стр<0 и p>0 в този случай условията m<0 и m>0 съответно. За m>0 и a

По същия начин за m<0 имеем a m >b m , от където, т.е. и a p >b p .

Остава да докажем последното от изброените свойства. Нека докажем, че за рационални числа p и q, p>q при 0 0 – неравенство a p >a q . Винаги можем да сведем рационалните числа p и q до общ знаменател, дори ако получим обикновени дроби и , където m 1 и m 2 са цели числа, а n е естествено число. В този случай условието p>q ще съответства на условието m 1 >m 2, което следва от. След това, чрез свойството за сравняване на степени с еднакви основи и естествени показатели при 0 1 – неравенство a m 1 >a m 2 . Тези неравенства в свойствата на корените могат да бъдат пренаписани съответно като И . А дефиницията на степен с рационален показател ни позволява да преминем към неравенствата и съответно. Оттук правим крайния извод: за p>q и 0 0 – неравенство a p >a q .

Свойства на степени с ирационални показатели

От начина, по който се дефинира степен с ирационален показател, можем да заключим, че тя има всички свойства на степени с рационален показател. Така че за всяко a>0, b>0 и ирационални числа p и q е вярно следното свойства на степени с ирационални показатели:

  1. a p ·a q =a p+q ;
  2. a p:a q =a p−q ;
  3. (a·b) p =a p ·b p ;
  4. (a:b) p =a p:b p ;
  5. (a p) q = a p·q;
  6. за всякакви положителни числа a и b, a 0 неравенството a p b p ;
  7. за ирационални числа p и q, p>q при 0 0 – неравенство a p >a q .

От това можем да заключим, че степени с всякакви реални показатели p и q за a>0 имат същите свойства.

Референции.

  • Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Учебник по математика за 5 клас. образователни институции.
  • Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 7. клас. образователни институции.
  • Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8. клас. образователни институции.
  • Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 9. клас. образователни институции.
  • Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10 - 11 клас на общообразователните институции.
  • Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за постъпващите в технически училища).
Тема на урока: Степен с натурален показател

Тип урок: урок за обобщаване и систематизиране на знанията

Тип урок: комбинирани

Форми на работа: индивидуална, фронтална, работа по двойки

Оборудване: компютър, медиен продукт (представяне в програматаMicrosoftофисPower Point 2007); карти със задачи за самостоятелна работа

Цели на урока:

Образователни : развиване на способността за систематизиране и обобщаване на знания за степени с естествен показател, консолидиране и подобряване на уменията за прости трансформации на изрази, съдържащи степени с естествен показател.

- развиващи се: допринасят за формирането на умения за прилагане на техники за обобщение, сравнение, подчертаване на основното, развитие на математически хоризонти, мислене, реч, внимание и памет.

- образователни: насърчаване на интерес към математиката, активност, организация, формиране на положителен мотив за учене, развитие на умения в образователни и познавателни дейности

Обяснителна бележка.

Този урок се провежда в общообразователен клас със средно ниво на математическа подготовка. Основната цел на урока е да се развие способността за систематизиране и обобщаване на знания за степен с естествен показател, която се реализира в процеса на изпълнение на различни упражнения.

Развиващият характер се проявява в подбора на упражнения. Използването на мултимедиен продукт ви позволява да спестите време, да направите материала по-визуален и да покажете примери за решения, използвани в урока, което облекчава умората на децата.

Структура на урока:

  1. Организационен момент.

  2. Докладване на темата, поставяне на цели на урока.

  4. Устна работа.

  5. Систематизиране на опорните знания.

  6. Елементи на здравеопазващи технологии.

  7. Изпълнение на тестова задача

  9. Обобщение на урока.

  10. домашна работа.

Напредък на урока:

аз.Организационен момент

Учител: Здравейте, момчета! Радвам се да ви приветствам в нашия урок днес. седнете Надявам се в днешния урок да ни очакват и успех, и радост. И ние, работейки в екип, ще покажем нашия талант.

Обърнете внимание по време на урока. Мислете, питайте, предлагайте – защото заедно ще вървим по пътя към истината.

Отворете си тетрадките и запишете номера, страхотна работа

II. Съобщаване на темата, поставяне на цели на урока

1) Тема на урока. Епиграф на урока.(Слайд 2,3)

„Нека някой се опита да изтрие от математиката

степени и той ще види, че няма да стигнете далеч без тях” M.V. Ломоносов

2) Поставяне на цели на урока.

Учител: И така, по време на урока ще повторим, обобщим и систематизираме изучения материал. Вашата задача е да покажете знанията си за свойствата на степените с естествен показател и умението да ги прилагате при изпълнение на различни задачи.

III. Повторение на основни понятия от темата, свойства на степени с естествен показател

1) решете анаграмата: (слайд 4)

Nspete (степен)

блудство (сегмент)

Ованиосне (основа)

Касапотел (индикатор)

Умножение (умножение)

2) Какво е степен с естествен показател?(Слайд 5)

(Сила на числото а с естествен показател п , по-голямо от 1, се нарича израз а п , равно на произведението п фактори, всеки от които е равен а а-база, п -индикатор)

3) Прочетете израза, назовете основата и степента: (Слайд 6)

4) Основни свойства на степента (добавете дясната страна на равенството)(Слайд 7)

  • а п а м =

  • а п :а м =

  • (а п ) м =

  • (аб) п =

  • ( а / b ) п =

  • а 0 =

  • а 1 =

IV U хубаво работа

1) устно броене (слайд 8)

Учителят: Сега нека проверим как можете да приложите тези формули при решаването.

1)x 5 X 7 ; 2) а 4 А 0 ;

3) към 9 : До 7 ; 4) r п : r ;

5)5 5 2 ; 6) (- b )(- b ) 3 (- b );

7) с 4 : С; 8) 7 3 : 49;

9)y 4 при 6 y 10) 7 4 49 7 3 ;

11) 16: 4 2 ; 12) 64: 8 2 ;

13)сссс 3 ; 14) а 2 п а п ;

15) x 9 : X м ; 16) y п : г

2) игра „Премахване на ненужното“ ((-1) 2 )(слайд9)

-1

браво Свърши добра работа. След това решаваме следните примери.

VСистематизиране на справочните знания

1. Свържете с линии съответстващите един на друг изрази:(слайд 10)

4 ⁶ 4 2 3 6 4 6

4 6 : 4 2 4 6 /5 6

(3 4) 6 4 ⁶ +2

(4 2 ) 6 4 6-2

(4/5) 6 4 12

2. Подредете числата във възходящ ред:(слайд 11)

3 2 (-0,5) 3 (½) 3 35 0 (-10) 3

3. Изпълнение на задачата, последвано от самопроверка(слайд 12)

  • A1, представете си продукта като мощност:

а) а) х 5 X 4 ; б) 3 7 3 9 ; в) (-4) 3 (-4) 8 .

  • И 2 опростете израза:

а) х 3 X 7 X 8 ; б) 2 21 :2 19 2 3

  • И 3 направете степенуването:

а) (а 5 ) 3 ; б) (-в 7 ) 2

VIЕлементи на здравословни технологии (слайд 13)

Урок по физическо възпитание: повторение на степените на числата 2 и 3

VIIТестова задача (слайд 14)

Отговорите на теста са написани на дъската: 1 d 2 o 3b 4y 5 h 6a (плячка)

VIII Самостоятелна работа с карти

На всяко бюро има карти със задача според вариантите, след приключване на работата се подават за проверка

Вариант 1

1) Опростете изразите:

а) б)

V) G)

а) б)

V) G)


Вариант 2

1) Опростете изразите:

а) б)

V) G)

2) Намерете значението на израза:

а)б)

V) G)

3) Използвайте стрелка, за да покажете дали стойността на израза е нула, положително или отрицателно число:

IX Резултати от урока

не

Вид работа

самочувствие

Оценка на учителя

1

анаграма

2

Прочетете израза

3

правила

4

Устно броене

5

Свържете се с линии

6

Подредете във възходящ ред

7

Задачи за самоконтрол

8

Тест

9

Самостоятелна работа с помощта на карти

X Домашна работа

Тестови карти

A1. Намерете значението на израза: .

алгебра 7 клас

учител по математика

филиал MBOUTSOSH № 1

в с.Полетаево Зуева И.П.

Полетаево 2016г

Тема: « Свойства на степен с естествен показател»

ЦЕЛ

  1. Повторение, обобщение и систематизиране на изучения материал по темата „Свойства на степен с естествен показател“.
  2. Проверка на знанията на учениците по тази тема.
  3. Прилагане на придобитите знания при изпълнение на различни задачи.

ЗАДАЧИ

предмет :

повтарят, обобщават и систематизират знания по темата; създават условия за контрол (взаимен контрол) на усвояването на знания и умения;продължаване на изграждането на мотивация на учениците за изучаване на предмета;

мета-предмет:

развиват оперативен стил на мислене; насърчаване на придобиването на умения за комуникация от учениците при съвместна работа; активират творческото си мислене; ппродължават да развиват определени компетенции на учениците, които ще допринесат за ефективната им социализация;умения за самообразование и самообразование.

лично:

култивирайте културата, насърчавайте формирането на лични качества, насочени към приятелско, толерантно отношение един към друг, хора, живот; култивира инициативност и независимост в дейностите; водят до разбиране на необходимостта от изучаваната тема за успешна подготовка за държавно окончателно атестиране.

ТИП УРОК

урок за обобщение и систематизиранеЗУН.

Оборудване: компютър, проектор,прожекционен екран,дъска, листовки.

Софтуер: Операционна система Windows 7: MS Office 2007 (задължително приложение - PowerPoint).

Подготвителен етап:

презентация “Свойства на степен с естествен показател”;

раздаване;

резултат лист.

Структура

Организационен момент. Поставяне на цели и задачи на урока - 3 минути.

Актуализиране, систематизиране на опорни знания – 8 минути.

Практическа част – 28 минути.

Обобщение, резултат -3 минути.

Домашна работа – 1 минута.

Размисъл – 2 минути.

Идея за урок

Проверка на знанията на учениците по тази тема в интересна и ефективна форма.

Организация на урока Урокът се води в 7 клас. Децата работят по двойки, самостоятелно, учителят е консултант-наблюдател.

Напредък на урока

Организационен момент:

Здравейте момчета! Днес имаме необичаен урок по игра. На всеки от вас се дава прекрасна възможност да се докаже и да покаже знанията си. Може би по време на урока ще откриете скрити способности, които ще ви бъдат полезни в бъдеще.

Всеки от вас има лист с оценки и карти на масата за изпълнение на задачите върху тях. Вземете тестовия лист в ръцете си, той ви е необходим, за да оцените сами знанията си по време на урока. Подпишете го.

И така, каня ви на урока!

Момчета, погледнете екрана и чуйте стихотворението.

Слайд №1

Умножете и разделете

Вдигнете степен на степен...

Тези свойства са ни познати

И вече не са нови.

Пет прости правила от тях

Всички в класа вече са отговорили

Но ако сте забравили свойствата,

Считайте, че не сте решили примера!

И да живее без проблеми в училище

Ще ви дам няколко практически съвета:

Не искаш ли да забравиш правилото?

Просто се опитайте да го запомните!

Отговорете на въпроса:

1) Какви действия споменава?

2) Какво мислите, че ще говорим в клас днес?

И така, темата на нашия урок:

"Свойства на степен с естествен показател" (Слайд 3).

Поставяне на цели и задачи на урока

В урока ще повторим, обобщим и систематизираме изучения материал по темата „Свойства на степен с естествен показател“

Нека видим как се научихте да умножавате и делите степени с еднакви основи, както и да повдигате степени на степени

Актуализиране на основни знания. Систематизиране на теоретичния материал.

1) Устна работа

Да работим устно

1) Формулирайте свойствата на степен с естествен показател.

2) Попълнете празните места: (Слайд 4)

1)5 12 : 5 5 =5 7 2) 5 7 ∙ 5 17 = 5 24 3) 5 24 : 125= 5 21 4)(5 0 ) 2 ∙5 24 =5 24

5)5 12 ∙ 5 12 = (5 8 ) 3 6)(3 12 ) 2 = 3 24 7) 13 0 ∙ 13 64 = 13 64

3) Каква е стойността на израза:(Слайд 5-9)

a m ∙ a n;

(a m+n ) a m : a n (a m-n ) ; (a m) n; a 1; а 0 . 2) Проверка на теоретичната част

(Карта № 1)Сега вземете карта номер 1 в ръцете си и

попълнете празните места

1) Ако показателят е четно число, тогава стойността на степента винаги е _______________

2) Ако показателят е нечетно число, тогава стойността на степента съвпада със знака ____. 3) Произведение на степените
a n · a k = a n + k

Когато се умножават степени с еднакви основи, основата трябва да е ____________, а показателите ________. 4) Частични степени
a n : a k = a n - k

При деление на степени с еднакви основи основата трябва да е _____, а от показателя на делимото ______________________________. 5) Повишаване на степен на степен (
a n ) k = a nk

Когато повишавате степен на степен, основата трябва да е _______, а показателите са _____. Проверка на отговорите.

(Слайдове 10-13)

Основна част

3) Сега отворете тетрадките, запишете числото 28.01.14, страхотна работа » Игра "Клапкачка"

(Слайд 14)

Решете сами задачите в тетрадкитеX11 Следвайте тези стъпки: а)2 б)X14 : X5 ∙x∙x4 ) 3 в) (а2 .

г) (-За)7 Сравнете стойността на израз с нула: a)(- 5)18 ,

, б)(-6)11 . ( -4) 8 в)(- 4)- 5) 18 ∙ (- 5) 6 G)(8 .

, d)-(- 4)

Изчислете стойността на израз:

а) -1∙ 3 2, б)(-1 ∙ 3) 2 в)1∙(-3) 2, г) - (2 ∙ 3) 2, д)1 2 ∙ (-3) 2

Проверяваме, ако отговорът не е верен, пляскаме с ръце веднъж.

Изчислете броя на точките и ги въведете в листа с резултати.

4) Сега нека направим някои упражнения за очите, да облекчим напрежението и да продължим напред. Ние внимателно следим движението на обектите

Да започваме! (Слайд 15,16,17,18).

5) Сега нека да преминем към следващия вид работа. (Карта 2) Запишете отговора като степен с основа СЪС

и ще познаете името и фамилията на великия френски математик, който пръв въвежда концепцията за степен на число.

1.

Запишете отговора като степен с основа 5 Познайте името на учения математик. 3

6.

Запишете отговора като степен с основа 7 ∙C 5

2.

Запишете отговора като степен с основа 8 : СЪС 6

7.

: СЪС 4 ) 3 (СЪС

3,

: СЪС 4 ) 3

8.

Запишете отговора като степен с основа 4 ∙ ∙С 5 СЪС 0

4.

Запишете отговора като степен с основа 5 Познайте името на учения математик. 3 ∙C 6

9.

Запишете отговора като степен с основа 16 ∙C 8

5.

Запишете отговора като степен с основа 14 СЪС 8

10.

: СЪС 3 ) 5

∙ C ЗА

отговор: РЕНЕ ДЕКАРТ

Р

Ш

М

Ю

ДО

Н

А

Т

д

Запишете отговора като степен с основа 8

Запишете отговора като степен с основа 5

Запишете отговора като степен с основа 1

Запишете отговора като степен с основа 40

Запишете отговора като степен с основа 13

Запишете отговора като степен с основа 12

Запишете отговора като степен с основа 9

Запишете отговора като степен с основа 15

Запишете отговора като степен с основа 2

Запишете отговора като степен с основа 22

г

Рене Декарт е роден на 21 март 1596 г. в малкото градче La Gaye в Touraine. Семейство Декарт принадлежи към нисшата бюрократична аристокрация. Рене прекарва детството си в Турен. През 1612 г. Декарт завършва училище. Там прекарва осем години и половина. Декарт не намира веднага своето място в живота. Благородник по произход, завършил колеж в Ла Флеш, той се потапя с глава в социалния живот на Париж, след което изоставя всичко, за да се занимава с наука. Декарт даде на математиката специално място в своята система; той смяташе, че нейните принципи за установяване на истината са модел за други науки. Значителна заслуга на Декарт е въвеждането на удобни обозначения, които са оцелели и до днес: латински букви x, y, z за неизвестни; a, b, c - за коефициенти, за степени. Интересите на Декарт не се ограничават само до математиката, а включват механика, оптика и биология. През 1649 г. Декарт след дълго колебание се премества в Швеция. Това решение се оказва фатално за здравето му. Шест месеца по-късно Декарт умира от пневмония.

6) Работа на дъската:

1. Решете уравнението

A) x 4 ∙ (x 5) 2 / x 20: x 8 = 49

B) (t 7 ∙ t 17 ): (t 0 ∙ t 21 )= -125

2.Изчислете стойността на израза:

(5-x) 2 -2x 3 +3x 2 -4x+x-x 0

а) при х=-1

б) при x=2 Независимо

7) Вземете карта № 3 и направете теста

опция 1

Вариант 2.

1. Извършете 2 степенно деление 17 : 2 5

2 12

2 45

2. Запишете го като степен (x+y)(x+y)=

x 2 + y 2

(x+y) 2

2(x+y)

3. Сменете * степен, така че равенството a 5 · * = 15

а 10

а 3

(а 7) 5?

а) а 12

б) 5

в) 35

3 = 8 15

8 12

6. Намерете стойността на дробта

1. Извършете деление на степени на 9 9 : 9 7

9 16

9 63

2. Запишете го като степен (x-y)(x-y)=...

x 2 -y 2

(x-y) 2

2 (x-y)

3. Сменете * степен, така че да е в сила равенството b 9 · * = b 18

b 17

b 1 1

4. Каква е стойността на израза(с 6) 4?

а) от 10

б) от 6

в) от 24

5. От предложените опции изберете този, който може да замени * в равенство (*) 3 = 5 24

5 21

6. Намерете стойността на дробта

Проверете взаимно работата си и оценете другарите си в листа с оценки.

1 вариант

А

b

b

с

b

3

Вариант 2

А

b

с

с

А

4

Допълнителни задачи за силни ученици

Всяка задача се оценява отделно.

Намерете значението на израза:

8) Сега нека видим ефективността на нашия урок ( Слайд 19)

За да направите това, докато изпълнявате задачата, задраскайте буквите, съответстващи на отговорите.

AOWSTLKRICHGNMO

Опростете израза:

1.

С 4 ∙С 3

5.

: СЪС 2 ) 3 ∙ Запишете отговора като степен с основа 5

2.

(C 5 ) 3

6.

Запишете отговора като степен с основа 6 ∙ ∙С 5 : СЪС 10

3.

От 11: От 6

7.

: СЪС 4 ) 3 (СЪС 2

4.

С 5 ∙С 5 : С

шифър: А - C 7 В-От 15 G -СЪС И -От 30 ДО -От 9 М -От 14 Н -От 13 ЗА -От 12 R -От 11 С - C 5 Т -От 8 H - C 3

Каква дума измислихте? ОТГОВОР: ОТЛИЧЕН! (Слайд 20)

Обобщаване, оценяване, оценяване (Слайд 21)

Нека обобщим нашия урок, колко успешно повторихме, обобщихме и систематизирахме знанията по темата „Свойства на степен с естествен показател“

Взимаме тестовите листове и изчисляваме общия брой точки и ги записваме в реда за крайна оценка

Stand up, който отбеляза 29-32 точки: отлично

25-28 точки: оценка - добър

20-24 точки: оценка - задоволителна

Още веднъж ще проверя правилността на изпълнението на задачите на картите и ще сравня вашите резултати с точките, дадени в листа с резултати. Ще поставя оценките в дневника

И за активна работа в урока за оценка:

Момчета, моля ви да оцените дейностите си в клас. Маркирайте върху листа с настроението.

Записен лист

Фамилия Име

Степен

1. Теоретична част

2. Игра "Clapperboard"

3. Тествайте

4. "Шифър"

Допълнителна част

Краен резултат:

Емоционална оценка

За мен

Относно урока

доволен

Неудовлетворен

домашна работа (Слайд 22)

Направете кръстословица с ключовата дума DEGREE. В следващия урок ще разгледаме най-интересните произведения.

№ 567

Списък на използваните източници

  1. Учебник "Алгебра 7 клас."
  2. стихотворение. http://yandex.ru/yandsearch
  3. НЕ. Щуркова. Културата на съвременния урок. М.: Руска педагогическа агенция, 1997.
  4. А.В. Петров. Методически и методически основи на компютърното обучение за личностно развитие. Волгоград. "Промяна", 2001 г.
  5. А.С. Белкин. Ситуация на успех. Как да го създадете. М.: „Просвещение“, 1991 г.
  6. Компютърни науки и образование №3. Оперативен стил на мислене, 2003

Урок по темата: „Степен и неговите свойства“.

Цел на урока:

    Обобщете знанията на учениците по темата: „Степен с естествен показател“.

    Да се ​​постигне от учениците съзнателно разбиране на дефиницията на степени, свойства и способността да ги прилагат.

    Да научите как да прилагате знания и умения към задачи с различна сложност.

    Създайте условия за проява на независимост, постоянство, умствена активност и внушете любов към математиката.

Оборудване: перфокарти, карти, тестове, таблици.

Урокът е предназначен да систематизира и обобщи знанията на учениците за свойствата на степен с естествен показател. Урочният материал формира математическите знания на децата и развива интерес към предмета и поглед в исторически аспект.


Напредък в работата.

    Съобщаване на темата и целта на урока.

Днес имаме общ урок по темата „Показател с естествен показател и неговите свойства“.

Целта на нашия урок е да прегледаме целия преминат материал и да се подготвим за теста.

    Проверка на домашните.

(Цел: да се провери овладяването на степенуване, продукти и степени).

№ 238 (б) № 220 (а; г) № 216.

Има 2 души на дъската с индивидуални карти.

a 4 ∙ a 15 a 12 ∙ a 4 а 12: а 4 а 18: а 9 (a 2) 5 (a 4) 8 (а 2 b 3) 6 (a 6 bв 4) 3 а 0 а 0

    Устна работа.

(Цел: повторете ключовите моменти, които затвърждават алгоритъма за умножение и деление на степени, повдигане на степен).

    Формулирайте дефиницията на степента на число с естествен показател.

    Следвайте стъпките.

a ∙ a 3 ; a 4: a 2; (a 6) 2; (2а 3) 3; а 0 .

    При каква стойност на x е валидно равенството.

5 6 ∙5 x = 5 10 10 x: 10 2 = 10 (a 4) x = a 8 (a x b 2) = a 35 b 10

    Определете знака на израз, без да извършвате изчисления.

(-3) 5 , -19 2 , -(-15) 2 , (-8) 6 , - (-17) 7

    Опростете.

а)
; б) (a 4) 6: (a 3) 3

    Мозъчна атака.

(Цел : проверка на основните знания на студентите, свойства на степента).

Работа с перфокарти за бързина.

а 6: а 4; а 10: а 3 (a 2) 2; (a 3) 3; (a 4) 5; (a 0) 2 .
    (2а 2) 2; (-2а 3) 3; (3а 4) 2; (-2a 2 b) 4 .

    Упражнение: Опростете израза (работим по двойки, класът решава задача a, b, c, проверяваме колективно).

(Цел: практикуване на свойствата на степен с естествен показател.)

а)
; б)
; V)


6. Изчислете:

а)
(колективно )

б)
(сам по себе си )

V)
(сам по себе си )

G)
(колективно )

г)
(сам по себе си ).


7 . Проверете себе си!

(Цел: развитие на елементи на творческа дейност на учениците и способността да контролират действията си).

Работа с тестове, 2 ученика на дъска, самопроверка.

I – c.



    Оценете изрази.



║ - V.

    Опростете изразите си.


    Изчислете.


    Оценете изрази.


    Д/з домашен к/р (по карти).

    Обобщаване на урока, оценяване.

(Цел: така че учениците да могат ясно да видят резултата от работата си и да развият познавателен интерес).

    Кой първи започна да учи за степен?

    Как да изградим n ?

Така че на n-та степен ниеАизправен

Трябва да умножим n веднъж

Ако n едно – никога

Ако е повече, тогава умножетеи на,

повтарям, n пъти.

3) Можем ли да увеличим броя до n степен, много бързо?

Ако вземете микро калкулатор

Номер а ще наберете само веднъж

И след това знакът за умножение - също веднъж,

Можете да натиснете знака „успех“ толкова много пъти

колко n без единица ще ни покаже

И отговорът е готов, без училищна химикалкаДОРИ .

4) Избройте свойствата на степен с естествен показател.

Ще дадем оценки за урока след проверка на работата с перфокарти, с тестове, като вземем предвид отговорите на онези ученици, които са отговорили по време на урока.

Работихте добре днес, благодаря ви.

Литература:

1. А.Г.Мордкович Алгебра-7 клас.

2.Дидактически материали - 7 клас.

3. А. Г. Мордкович Тестове - 7 клас.