Лимитът на функцията е 0. Първият забележителен лимит. Граница на функцията на Коши
Дефиниране на граници на последователност и функция, свойства на граници, първи и втори забележителни граници, примери.
Постоянно число Анаречен лимит последователности(x n ), ако за произволно малко положително число ε > 0 съществува число N, такова че всички стойности x n, за които n>N, удовлетворяват неравенството
Запишете го по следния начин: или x n → a.
Неравенството (6.1) е еквивалентно на двойното неравенство
а - е< x n < a + ε которое означает, что точки x n, започвайки от някакво число n>N, лежат вътре в интервала (a-ε , a+ε), т.е. попадат във всяка малка ε-околност на точката А.
Извиква се последователност с граница конвергентен, иначе - разнопосочни.
Концепцията за граница на функция е обобщение на концепцията за граница на последователност, тъй като границата на последователност може да се разглежда като граница на функция x n = f(n) на целочислен аргумент п.
Нека функцията f(x) е дадена и нека а - гранична точкаобласт на дефиниция на тази функция D(f), т.е. такава точка, всяка околност на която съдържа точки от множеството D(f), различни от а. Точка аможе да принадлежи или да не принадлежи на множеството D(f).
Определение 1.Постоянното число А се нарича лимит функции f(x) при x→ a, ако за всяка последователност (x n ) от стойности на аргументи клонят към А, съответните последователности (f(x n)) имат същата граница A.
Това определение се нарича определяне на границата на функция според Хайне,или " на езика на последователността”.
Определение 2. Постоянното число А се нарича лимит функции f(x) при x→a, ако при дадено произволно, произволно малко положително число ε може да се намери такова δ >0 (в зависимост от ε), че за всички х, лежаща в ε-околността на числото А, т.е. За х, удовлетворяващо неравенството
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в
ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε
Това определение се нарича чрез определяне на границата на функция според Коши,или “в езика ε - δ"
Дефиниции 1 и 2 са еквивалентни. Ако функцията f(x) при x → a има лимит, равно на A, това е записано във формата
В случай, че последователността (f(x n)) нараства (или намалява) без ограничение за всеки метод на приближение хдо вашия лимит А, тогава ще кажем, че функцията f(x) има безкраен предел,и го запишете във формата:
Извиква се променлива (т.е. последователност или функция), чиято граница е нула безкрайно малък.
Извиква се променлива, чиято граница е безкрайност безкрайно голям.
За намиране на границата на практика се използват следните теореми.
Теорема 1 . Ако всяка граница съществува
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Коментирайте. Изрази от формата 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ са несигурни, например съотношението на две безкрайно малки или безкрайно големи количества и намирането на граница от този тип се нарича „разкриване на несигурност“.
Теорема 2.
тези. човек може да стигне до границата въз основа на степента с постоянен показател, по-специално, 
Теорема 3.
(6.11)
Къде д» 2.7 - основа на натурален логаритъм. Формулите (6.10) и (6.11) се наричат първа забележителна граница и втора забележителна граница.
Следствията от формула (6.11) се използват и на практика:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
по-специално ограничението,
Ако x → a и в същото време x > a, тогава напишете x → a + 0. Ако по-специално a = 0, тогава вместо символа 0+0 напишете +0. По същия начин, ако x→a и в същото време x 
. Извиква се функцията f(x). непрекъснато в точката x 0 ако е ограничение
(6.15)
Условието (6.15) може да бъде пренаписано като:
т.е. преминаването до границата под знака на функция е възможно, ако тя е непрекъсната в дадена точка.
Ако равенството (6.15) е нарушено, тогава казваме това при x = xo функция f(x) има празнинаДа разгледаме функцията y = 1/x. Областта на дефиниране на тази функция е множеството Р, с изключение на x = 0. Точката x = 0 е гранична точка на множеството D(f), тъй като във всяка негова околност, т.е. във всеки отворен интервал, съдържащ точка 0, има точки от D(f), но самият той не принадлежи на това множество. Стойността f(x o)= f(0) не е дефинирана, така че в точката x o = 0 функцията има прекъсване.
Извиква се функцията f(x). непрекъснато отдясно в точката x o ако границата
И непрекъснато отляво в точката x o, ако границата
Непрекъснатост на функция в точка x oе еквивалентен на неговата непрекъснатост в тази точка както отдясно, така и отляво.
За да бъде функцията непрекъсната в точката x o, например вдясно, е необходимо, първо, да има крайна граница, и второ, тази граница да е равна на f(x o). Следователно, ако поне едно от тези две условия не е изпълнено, тогава функцията ще има прекъсване.
1. Ако границата съществува и не е равна на f(x o), тогава те казват това функция f(x) в точката x o има разкъсване от първи вид,или скок.
2. Ако границата е +∞ или -∞ или не съществува, тогава казват, че в точка x o функцията има прекъсване втори вид.
Например функцията y = ctg x при x → +0 има граница, равна на +∞, което означава, че в точката x=0 тя има прекъсване от втори род. Функция y = E(x) (цяла част от х) в точки с цели абциси има прекъсвания от първи род или скокове.
Извиква се функция, която е непрекъсната във всяка точка от интервала непрекъснато V . Непрекъсната функция се представя с плътна крива.
Много проблеми, свързани с непрекъснатото нарастване на някакво количество, водят до втората забележителна граница. Такива задачи например включват: нарастване на депозитите според закона за сложната лихва, нарастване на населението на страната, разпадане на радиоактивни вещества, разпространение на бактерии и др.
Нека помислим пример на Я. И. Перелман, давайки тълкуване на числото дв проблема със сложната лихва. Номер дима ограничение 
. В спестовните банки парите от лихви се добавят към основния капитал всяка година. Ако присъединяването се извършва по-често, тогава капиталът расте по-бързо, тъй като по-голяма сума участва във формирането на лихвата. Нека вземем един чисто теоретичен, много опростен пример. Нека 100 дение се депозират в банката. единици на база 100% годишно. Ако лихвите се добавят към основния капитал едва след една година, то до този период 100 ден. единици ще се превърне в 200 парични единици. Сега да видим в какво ще се превърнат 100 дениза. единици, ако парите от лихви се добавят към основния капитал на всеки шест месеца. След шест месеца 100 ден. единици ще нарасне със 100 × 1,5 = 150, а след още шест месеца - със 150 × 1,5 = 225 (ден. единици). Ако присъединяването се извършва на всяка 1/3 от годината, то след година 100 ден. единици ще се превърне в 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (ден. единици). Ще увеличим сроковете за добавяне на лихвени пари до 0,1 година, до 0,01 година, до 0,001 година и т.н. Тогава от 100 ден. единици след една година ще бъде:
100 × (1 +1/10) 10 ≈ 259 (ден. единици),
100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (ден. единици),
100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (ден. единици).
При неограничено намаляване на условията за добавяне на лихва, натрупаният капитал не расте безкрайно, а се доближава до определен лимит, равен на приблизително 271. Капиталът, депозиран при 100% годишно, не може да се увеличи с повече от 2,71 пъти, дори ако натрупаната лихва се добавят към капитала всяка секунда, тъй като ограничението
Пример 3.1.
Като използвате дефиницията на границата на редица от числа, докажете, че редицата x n =(n-1)/n има граница, равна на 1.Решение.< ε
Вземете всяко ε > 0. Тъй като x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, тогава за намиране на N е достатъчно да се реши неравенството 1/n<ε. Отсюда n>1/ε и следователно N може да се приеме, че е цяла част от 1/ε N = E(1/ε). По този начин доказахме, че границата.
Пример 3.2.Намерете границата на редица, дадена от общ член
.
Решение. Нека приложим границата на теоремата за сбора и да намерим границата на всеки член. Когато n → ∞, числителят и знаменателят на всеки член клонят към безкрайност и не можем директно да приложим теоремата за ограничение на частното. Затова първо трансформираме x n, разделяне на числителя и знаменателя на първия член на n 2, а вторият на п. След това, прилагайки границата на частното и границата на теоремата за сумата, намираме:
Пример 3.3. 
. Намери .
Тук използвахме теоремата за границата на степента: границата на степента е равна на степента на границата на основата.
Пример 3.4. Намери ( 
).
Решение. Невъзможно е да се приложи теоремата за границата на разликата, тъй като имаме несигурност от вида ∞-∞. Нека трансформираме формулата на общия термин:
Пример 3.5. Дадена е функцията f(x)=2 1/x. Докажете, че няма ограничение.
Като използвате дефиницията на границата на редица от числа, докажете, че редицата x n =(n-1)/n има граница, равна на 1.Нека използваме дефиниция 1 на границата на функция чрез последователност. Нека вземем последователност ( x n ), сходна към 0, т.е. Нека покажем, че стойността f(x n)= се държи различно за различните последователности. Нека x n = 1/n. Очевидно тогава границата 
Нека сега изберем като x nпоследователност с общ член x n = -1/n, също клоняща към нула. 
Следователно няма ограничение.
Пример 3.6. Докажете, че няма ограничение.
Като използвате дефиницията на границата на редица от числа, докажете, че редицата x n =(n-1)/n има граница, равна на 1.Нека x 1 , x 2 ,..., x n ,... е последователност, за която
. Как се държи последователността (f(x n)) = (sin x n) за различни x n → ∞
Ако x n = p n, тогава sin x n = sin (стр n) = 0 за всички пи границата Ако
x n =2 p n+ p /2, тогава sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 за всички пи следователно границата. Значи не съществува.
Ограничение на функцията- номер аще бъде границата на някаква променлива величина, ако в процеса на нейното изменение тази променлива величина неограничено се доближава до а.
Или с други думи, числото Ае границата на функцията y = f(x)в точката х 0, ако за всяка поредица от точки от областта на дефиниране на функцията , не е равно х 0, и който се събира до точката x 0 (lim x n = x0), последователността от съответните функционални стойности се сближава с числото А.
Графиката на функция, чиято граница, при даден аргумент, клонящ към безкрайност, е равна на Л:
Значение Ае граница (гранична стойност) на функцията f(x)в точката х 0в случай на произволна последователност от точки 
, който се сближава с х 0, но който не съдържа х 0като един от неговите елементи (т.е. в пробитата околност х 0), последователност от функционални стойности 
се сближава с А.
Предел на функция на Коши.
Значение Аще бъде граница на функцията f(x)в точката х 0ако за всяко неотрицателно число, взето предварително ε съответното неотрицателно число ще бъде намерено δ = δ(ε) така че за всеки аргумент х, отговарящи на условието 0 < | x - x0 | < δ , неравенството ще бъде изпълнено | f(x)A |< ε .
Ще бъде много просто, ако разберете същността на лимита и основните правила за намирането му. Каква е границата на функцията е (x)при хстремеж към аравни А, се записва така:
Освен това стойността, към която клони променливата х, може да бъде не само число, но и безкрайност (∞), понякога +∞ или -∞, или може изобщо да няма ограничение.
За да разберете как намерете границите на функция, най-добре е да разгледате примери за решения.
Необходимо е да се намерят границите на функцията е (x) = 1/хв:
х→ 2, х→ 0, х→ ∞.
Нека намерим решение на първата граница. За да направите това, можете просто да замените хчислото, към което клони, т.е. 2, получаваме:
Нека намерим втората граница на функцията. Тук вместо това заместете чистата 0 хневъзможно е, защото Не можете да разделите на 0. Но можем да вземем стойности близки до нула, например 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 и така нататък и стойността на функцията е (x)ще се увеличи: 100; 1000; 10000; 100 000 и така нататък. По този начин може да се разбере, че когато х→ 0 стойността на функцията, която е под знака за граница, ще нараства неограничено, т.е. стремеж към безкрайността. Което означава:
Относно третото ограничение. Същата ситуация, както в предишния случай, е невъзможно да се замени ∞ в най-чист вид. Трябва да разгледаме случая на неограничено увеличение х. Заменяме 1000 един по един; 10000; 100 000 и така нататък, имаме тази стойност на функцията е (x) = 1/хще намалее: 0,001; 0,0001; 0,00001; и така нататък, клонейки към нула. Ето защо:
Необходимо е да се изчисли границата на функцията 
Започвайки да решаваме втория пример, виждаме несигурност. От тук намираме най-високата степен на числителя и знаменателя - това е х 3, изваждаме го извън скоби в числителя и знаменателя и след това го намаляваме с:
отговор 
Първата стъпка в намирането на тази граница, вместо това заменете стойността 1 х, което води до несигурност. За да го решим, нека разложим числителя на множители и направим това, използвайки метода за намиране на корени квадратно уравнение х 2 + 2х - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;х 2= 1.
Така че числителят ще бъде:
отговор 
Това е дефиницията на нейната специфична стойност или определена област, в която попада функцията, която е ограничена от границата.
За да разрешите ограничения, следвайте правилата:
Разбрал същността и осн правила за решаване на границата, ще получите основна концепцияза това как да ги разрешите.
Първият забележителен лимит се нарича следното равенство:
\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)
Тъй като за $\alpha\to(0)$ имаме $\sin\alpha\to(0)$, те казват, че първата забележителна граница разкрива несигурност от формата $\frac(0)(0)$. Най-общо казано, във формула (1), вместо променливата $\alpha$, всеки израз може да бъде поставен под знака синус и в знаменателя, стига да са изпълнени две условия:
- Изразите под знака синус и в знаменателя едновременно клонят към нула, т.е. има несигурност от формата $\frac(0)(0)$.
- Изразите под знака синус и в знаменателя са еднакви.
Следствията от първата забележителна граница също често се използват:
\begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \край (уравнение)
На тази страница са решени единадесет примера. Пример № 1 е посветен на доказателството на формули (2)-(4). Примери № 2, № 3, № 4 и № 5 съдържат решения с подробни коментари. Примери № 6-10 съдържат решения практически без коментари, тъй като в предишните примери са дадени подробни обяснения. Решението използва някои тригонометрични формули, които могат да бъдат намерени.
Отбелязвам, че присъствието тригонометрични функциизаедно с несигурността $\frac (0) (0)$ все още не означава задължително прилагане на първата забележителна граница. Понякога са достатъчни прости тригонометрични трансформации - например вж.
Пример №1
Докажете, че $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
а) Тъй като $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, тогава:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
Тъй като $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ и $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, това:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
б) Нека направим промяната $\alpha=\sin(y)$. Тъй като $\sin(0)=0$, тогава от условието $\alpha\to(0)$ имаме $y\to(0)$. В допълнение, има околност на нула, в която $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, така че:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Равенството $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ е доказано.
в) Нека направим замяната $\alpha=\tg(y)$. Тъй като $\tg(0)=0$, тогава условията $\alpha\to(0)$ и $y\to(0)$ са еквивалентни. В допълнение, има околност на нула, в която $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, следователно, въз основа на резултатите от точка а), ще имаме:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Равенството $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ е доказано.
Равенствата a), b), c) често се използват заедно с първата забележителна граница.
Пример №2
Изчислете границата $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) ( x+7))$.
Тъй като $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ и $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, т.е. и числителят и знаменателят на дробта едновременно клонят към нула, тогава тук имаме работа с несигурност от формата $\frac(0)(0)$, т.е. Готово. Освен това е ясно, че изразите под знака синус и в знаменателя съвпадат (т.е. и е изпълнено):
Така че и двете условия, изброени в началото на страницата, са изпълнени. От това следва, че формулата е приложима, т.е. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.
отговор: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
Пример №3
Намерете $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.
Тъй като $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ и $\lim_(x\to(0))x=0$, тогава имаме работа с несигурност от формата $\frac (0 )(0)$, т.е. Готово. Изразите под знака синус и в знаменателя обаче не съвпадат. Тук трябва да коригирате израза в знаменателя до желаната форма. Трябва изразът $9x$ да бъде в знаменателя, тогава той ще стане верен. По същество пропускаме множител от $9$ в знаменателя, който не е толкова труден за въвеждане – просто умножете израза в знаменателя по $9$. Естествено, за да компенсирате умножението с $9$, ще трябва незабавно да разделите на $9$:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$
Сега изразите в знаменателя и под знака за синус съвпадат. И двете условия за границата $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ са изпълнени. Следователно $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. А това означава, че:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
отговор: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
Пример №4
Намерете $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.
Тъй като $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ и $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, тук имаме работа с несигурност на формата $\frac(0)(0)$. Въпреки това, формата на първата забележителна граница е нарушена. Числител, съдържащ $\sin(5x)$, изисква знаменател от $5x$. В тази ситуация най-лесният начин е да разделите числителя на $5x$ и веднага да умножите по $5x$. Освен това ще извършим подобна операция със знаменателя, като умножим и разделим $\tg(8x)$ на $8x$:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
Намалявайки с $x$ и извеждайки константата $\frac(5)(8)$ извън граничния знак, получаваме:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
Имайте предвид, че $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ напълно удовлетворява изискванията за първата забележителна граница. За намиране на $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ е приложима следната формула:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
отговор: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
Пример №5
Намерете $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.
Тъй като $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (не забравяйте, че $\cos(0)=1$) и $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, тогава имаме работа с несигурност от формата $\frac(0)(0)$. Въпреки това, за да приложите първата забележителна граница, трябва да се отървете от косинуса в числителя, преминавайки към синуси (за да приложите след това формулата) или тангенси (за да приложите след това формулата). Това може да стане със следната трансформация:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
Да се върнем на лимита:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$
Дробта $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ вече е близо до формата, необходима за първата забележителна граница. Нека поработим малко с дробта $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, коригирайки я до първата забележителна граница (обърнете внимание, че изразите в числителя и под синуса трябва да съвпадат):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$
Да се върнем на въпросния лимит:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
отговор: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
Пример №6
Намерете границата $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.
Тъй като $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ и $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, тогава имаме работа с несигурност $\frac(0)(0)$. Нека го разкрием с помощта на първата забележителна граница. За да направим това, нека преминем от косинуси към синуси. Тъй като $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, тогава:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
Преминавайки към синуси в дадената граница, ще имаме:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
отговор: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
Пример №7
Изчислете ограничението $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ при $\alpha\neq \ бета$.
Подробни обяснения бяха дадени по-рано, но тук просто отбелязваме, че отново има несигурност $\frac(0)(0)$. Нека преминем от косинуси към синуси, използвайки формулата
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
Използвайки тази формула, получаваме:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\дясно| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ бета(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ алфа^2-\бета^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\бета^2-\алфа^2)(2). $$
отговор: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ алфа^2)(2)$.
Пример № 8
Намерете границата $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.
Тъй като $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (не забравяйте, че $\sin(0)=\tg(0)=0$) и $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, тогава тук имаме работа с несигурност от формата $\frac(0)(0)$. Нека го разбием по следния начин:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$
отговор: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
Пример №9
Намерете границата $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.
Тъй като $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ и $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, тогава има несигурност от формата $\frac(0)(0)$. Преди да пристъпите към нейното разширяване, е удобно да направите промяна на променливата по такъв начин, че новата променлива да клони към нула (обърнете внимание, че във формулите променливата $\alpha \to 0$). Най-лесният начин е да въведете променливата $t=x-3$. Въпреки това, в името на удобството на по-нататъшните трансформации (тази полза може да се види в хода на решението, дадено по-долу), струва си да направите следната замяна: $t=\frac(x-3)(2)$. Отбелязвам, че и двете замени са приложими в този случай, просто втората замяна ще ви позволи да работите по-малко с дроби. Тъй като $x\to(3)$, тогава $t\to(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
отговор: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
Пример №10
Намерете границата $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.
Отново имаме работа с несигурност $\frac(0)(0)$. Преди да пристъпите към нейното разширяване, удобно е да направите промяна на променливата по такъв начин, че новата променлива да клони към нула (обърнете внимание, че във формулите променливата е $\alpha\to(0)$). Най-лесният начин е да въведете променливата $t=\frac(\pi)(2)-x$. Тъй като $x\to\frac(\pi)(2)$, тогава $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
отговор: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
Пример №11
Намерете границите $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
В този случай не е нужно да използваме първата прекрасна граница. Моля, обърнете внимание, че и първата, и втората граница съдържат само тригонометрични функции и числа. Често в примери от този вид е възможно да се опрости изразът, разположен под знака за граница. Освен това, след гореспоменатото опростяване и намаляване на някои фактори, несигурността изчезва. Дадох този пример само с една цел: да покажа, че наличието на тригонометрични функции под знака за граница не означава непременно използването на първата забележителна граница.
Тъй като $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (не забравяйте, че $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) и $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (нека ви напомня, че $\cos\frac(\pi)(2)=0$), тогава имаме занимаващи се с несигурност от формата $\frac(0)(0)$. Това обаче не означава, че ще трябва да използваме първия прекрасен лимит. За да се разкрие несигурността, достатъчно е да се вземе предвид, че $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Подобно решение има в книгата с решения на Демидович (№ 475). Що се отнася до втората граница, както в предишните примери в този раздел, имаме несигурност от формата $\frac(0)(0)$. Защо възниква? Възниква, защото $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ и $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Ние използваме тези стойности, за да трансформираме изразите в числителя и знаменателя. Целта на нашите действия е да запишем сумата в числителя и знаменателя като произведение. Между другото, често в рамките на подобен тип е удобно да промените променлива, направена по такъв начин, че новата променлива да клони към нула (вижте например примери № 9 или № 10 на тази страница). Въпреки това, в в този примерняма смисъл да се заменя, въпреки че ако желаете, замяната на променливата $t=x-\frac(2\pi)(3)$ не е трудна за изпълнение.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$
Както можете да видите, не трябваше да прилагаме първото прекрасно ограничение. Разбира се, можете да направите това, ако желаете (вижте бележката по-долу), но не е необходимо.
Какво е решението, използвайки първата забележителна граница? показване\скриване
Използвайки първата забележителна граница, получаваме:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\десен))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ дясно))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
отговор: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
Решение ограничения на онлайн функциите. Намерете граничната стойност на функция или функционална последователност в точка, изчислете крайнастойността на функцията в безкрайност. определяне на сходимостта на редица от числа и много повече може да се направи благодарение на нашата онлайн услуга- . Ние ви позволяваме бързо и точно да намерите функционални ограничения онлайн. Вие го въвеждате сами функционална променливаи границата, към която се стреми, нашият сервиз извършва всички изчисления вместо вас, като дава точен и лесен отговор. И за намиране на лимита онлайнможете да въведете като числова серияи аналитични функции, съдържащи константи в буквален израз. В този случай намерената граница на функцията ще съдържа тези константи като постоянни аргументи в израза. Нашата услуга решава всеки сложни задачичрез намиране лимити онлайн, достатъчно е да посочите функцията и точката, в която е необходимо да се изчисли гранична стойност на функцията. Изчисляване онлайн ограничения, можете да използвате различни методии правилата за тяхното решаване, при проверка на резултата с решаване на лимити онлайнна www.site, което ще доведе до успешно изпълнение на задачата - ще избегнете собствените си грешки и технически грешки. Или можете напълно да ни се доверите и да използвате нашия резултат в работата си, без да харчите допълнителни усилия и време за самостоятелно изчисляване на границата на функцията. Разрешаваме въвеждане на гранични стойности като безкрайност. Необходимо е да се въведе общ член на числова редица и www.сайтще изчисли стойността лимит онлайндо плюс или минус безкрайност.
Една от основните концепции на математическия анализ е ограничение на функциятаИ ограничение на последователносттав точка и в безкрайност е важно да можете да решавате правилно граници. С нашата услуга това няма да е трудно. Взема се решение лимити онлайнслед няколко секунди отговорът е точен и пълен. Изучаването на математическия анализ започва с преход към границата, границисе използват в почти всички области на висшата математика, така че е полезно да имате под ръка сървър за онлайн решения за лимити, което е matematikam.ru.
Методи за решаване на граници. Несигурности.
Редът на нарастване на функцията. Метод на замяна
Пример 4
Намерете границата 
Това е по-прост пример, който можете да решите сами. В предложения пример отново има несигурност (от по-висок порядък на растеж от корена).
Ако "x" клони към "минус безкрайност"
Призракът на „минус безкрайността“ витае в тази статия от дълго време. Нека разгледаме граници с полиноми, в които . Принципите и методите на решение ще бъдат абсолютно същите като в първата част на урока, с изключение на редица нюанси.
Нека разгледаме 4 чипа, които ще бъдат необходими за решаване практически задачи:
1) Изчислете границата 
Стойността на лимита зависи само от термина, тъй като той има най-висок ред на нарастване. Ако , тогава безкрайно голям по модулотрицателно число на ЧЕТНА степен, в случая – в четвъртата, е равно на „плюс безкрайност”: . Постоянно („две“) положителен, Ето защо: 
2) Изчислете границата 
Ето я отново висшата степен даже, Ето защо: . Но пред него има „минус“ ( отрицателенконстанта –1), следователно: 
3) Изчислете границата 
Граничната стойност зависи само от. Както си спомняте от училище, „минусът“ „изскача“ изпод нечетната степен, така че безкрайно голям по модулотрицателно число на НЕЧЕТНА степене равно на „минус безкрайност“, в този случай: .
Постоянно ("четири") положителен, означава: 
4) Изчислете границата
Първият момък в селото отново има странностепен, освен това, в пазвата отрицателенконстанта, което означава: Така:
.
Пример 5
Намерете границата 
Използвайки горните точки, стигаме до извода, че тук има несигурност. Числителят и знаменателят са от един и същи ред на растеж, което означава, че в ограничението резултатът ще бъде крайно число. Нека разберем отговора, като изхвърлим цялото пържене:
Решението е тривиално: 
Пример 6
Намерете границата 
Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока.
И сега, може би, най-фините случаи:
Пример 7
Намерете границата 
Имайки предвид водещите термини, стигаме до извода, че тук има несигурност. Числителят е от по-висок порядък на нарастване от знаменателя, така че веднага можем да кажем, че границата е равна на безкрайност. Но каква безкрайност, „плюс“ или „минус“? Техниката е същата - нека се отървем от малките неща в числителя и знаменателя: 
Ние решаваме: 
Разделете числителя и знаменателя на
Пример 15
Намерете границата
Това е пример, който можете да решите сами. Приблизителна проба на окончателния дизайн в края на урока.
Още няколко интересни примера по темата за замяна на променливи:
Пример 16
Намерете границата
При заместване на единица в границата се получава несигурност. Промяната на променливата вече се предполага, но първо преобразуваме тангентата с помощта на формулата. Наистина, защо се нуждаем от допирателна?
Забележете, че следователно. Ако не е съвсем ясно, погледнете синусовите стойности в тригонометрична таблица. Така веднага се отърваваме от множителя, освен това получаваме по-познатата несигурност от 0:0. Би било хубаво, ако нашата граница клонеше към нула.
Да заменим:
Ако , тогава
Под косинуса имаме “x”, което също трябва да бъде изразено чрез “te”.
От замяната изразяваме: .
Завършваме решението: 
(1) Извършваме замяната
(2) Отворете скобите под косинуса.
(4) Да организира първата прекрасна граница, изкуствено умножете числителя по и реципрочното число.
Задача за самостоятелно решение:
Пример 17
Намерете границата
Пълно решение и отговор в края на урока.
Това бяха прости задачи в техния клас, на практика всичко може да бъде по-лошо и в допълнение формули за намаляване, трябва да използвате различни тригонометрични формули, както и други трикове. В статията Комплексни граници разгледах няколко реални примера =)
В навечерието на празника най-накрая ще изясним ситуацията с друга често срещана неизвестност:
Елиминиране на несигурността „едно на степен на безкрайност“
Тази несигурност се „сервира“ втора прекрасна граница, а във втората част на този урок разгледахме много подробно стандартни примери за решения, които се срещат на практика в повечето случаи. Сега картината с експонентите ще бъде завършена, освен това последните задачи на урока ще бъдат посветени на „фалшиви“ граници, в които ИЗГЛЕЖДА, че е необходимо да се приложи втората прекрасна граница, въпреки че това изобщо не е случай.
Недостатъкът на двете работещи формули за втората забележителна граница е, че аргументът трябва да клони към „плюс безкрайност“ или към нула. Но какво ще стане, ако аргументът клони към различно число?
Идва на помощ универсална формула(което всъщност е следствие от второто забележително ограничение):
Несигурността може да се елиминира с помощта на формулата:
Някъде мисля, че вече обясних какво означават квадратните скоби. Нищо особено, скобите са си просто скоби. Те обикновено се използват за по-ясно подчертаване на математическата нотация.
Нека подчертаем основните точки на формулата:
1) Става въпрос за само за несигурността и нищо друго.
2) Аргументът „x“ може да има тенденция произволна стойност(а не само до нула или), по-специално до „минус безкрайност“ или до всекикрайно число.
С помощта на тази формула можете да решите всички примери в урока. Прекрасни граници, които спадат към 2-ра забележителна граница. Например, нека изчислим лимита:
В този случай 
, и по формулата 
:
Вярно е, че не препоръчвам да правите това; традицията е да използвате „обичайния“ дизайн на решението, ако може да се приложи. Въпреки това с помощта на формулата е много удобно да се провери"класически" примери до 2-ра забележителна граница.
Търсене
Можем да ви уведомяваме за нови статии,