Предмет на математическата статистика. Какво е "математическа статистика"? Основни понятия на математическата статистика

Теорията на вероятностите и математическата статистика са в основата на вероятностните и статистическите методи за обработка на данни. И ние обработваме и анализираме данните предимно за вземане на решения. За да се използва съвременен математически апарат, е необходимо да се изразят разглежданите проблеми по отношение на вероятностно-статистически модели.

Прилагането на конкретен вероятностно-статистически метод се състои от три етапа:

Преходът от икономическа, управленска, технологична реалност към абстрактна математико-статистическа схема, т.е. изграждане на вероятностен модел на система за управление, технологичен процес, процедура за вземане на решения, по-специално въз основа на резултатите от статистически контрол и др.

Извършване на изчисления и извеждане на изводи с помощта на чисто математически средства в рамките на вероятностен модел;

Тълкуване на математически и статистически заключения във връзка с реална ситуация и вземане на подходящо решение (например относно съответствието или несъответствието на качеството на продукта с установените изисквания, необходимостта от коригиране на технологичния процес и т.н.), по-специално, заключения (за съотношението на дефектните единици продукт в партида, за конкретната форма на закони за разпределение на контролираните параметри на технологичния процес и др.).

Математическата статистика използва концепциите, методите и резултатите от теорията на вероятностите. След това разглеждаме основните въпроси на конструирането на вероятностни модели в икономически, управленски, технологични и други ситуации. Подчертаваме, че за активното и правилно използване на нормативни, технически и инструктивни и методически документи за вероятностни и статистически методи са необходими предварителни познания. По този начин е необходимо да се знае при какви условия трябва да се използва определен документ, каква първоначална информация е необходима за неговия избор и прилагане, какви решения трябва да се вземат въз основа на резултатите от обработката на данни и др.

Примери за приложение теория на вероятностите и математическа статистика.Нека разгледаме няколко примера, при които вероятностните статистически модели са добър инструмент за решаване на управленски, производствени, икономически и национални икономически проблеми. Така например в романа на А. Н. Толстой „Ходене през мъките“ (том 1) се казва: „цехът произвежда двадесет и три процента брак, придържайте се към тази цифра“, каза Струков на Иван Илич.

Как да разбираме тези думи в разговора на ръководителите на фабрики? Една единица продукция не може да има 23% дефект. Тя може да бъде както добра, така и дефектна. Вероятно Струков е имал предвид, че една голяма по обем партида съдържа приблизително 23% дефектни единици продукция. Тогава възниква въпросът какво означава „приблизително“? Ако от 100 проверени бройки продукция 30 се окажат дефектни, или от 1000 - 300, или от 100 000 - 30 000 и т.н., нужно ли е да обвиняваме Струков в лъжа?

Или друг пример. Монетата, използвана като лот, трябва да бъде „симетрична“. При хвърлянето му средно в половината от случаите трябва да се появи герб (глави), а в половината от случаите - решетка (опашки, номер). Но какво означава „средно“? Ако провеждате много серии от 10 хвърляния във всяка серия, тогава често ще срещнете серии, в които монетата попада като герб 4 пъти. За симетрична монета това ще се случи в 20,5% от пусканията. И ако след 100 000 хвърляния има 40 000 герба, може ли монетата да се счита за симетрична? Процедурата за вземане на решение се основава на теорията на вероятностите и математическата статистика.

Примерът може да не изглежда достатъчно сериозен. Това обаче не е вярно. Тегленето на жребий се използва широко при организирането на експерименти за индустриална осъществимост. Например, при обработка на резултатите от измерването на показателя за качество (момент на триене) на лагерите в зависимост от различни технологични фактори (влиянието на консервационната среда, методите за подготовка на лагерите преди измерване, влиянието на натоварването на лагера по време на процеса на измерване и др. ). Да кажем, че е необходимо да се сравни качеството на лагерите в зависимост от резултатите от тяхното съхранение в различни консервационни масла, т.е. в състава масла АИ IN. При планирането на такъв експеримент възниква въпросът кои лагери трябва да се поставят в маслото на състава А, а кои - в състава на маслото IN, но така, че да се избегне субективизма и да се гарантира обективността на взетото решение. Отговорът на този въпрос може да бъде получен чрез теглене на жребий.

Подобен пример може да се даде с контрола на качеството на всеки продукт. За да се реши дали контролираната партида от продукти отговаря или не отговаря на установените изисквания, от нея се избира проба. Въз основа на резултатите от пробния контрол се прави заключение за цялата партида. В този случай е много важно да се избегне субективизма при формирането на извадка, т.е. необходимо е всяка единица продукт в контролираната партида да има еднаква вероятност да бъде избрана за извадката. В производствени условия изборът на продуктови единици за извадката обикновено се извършва не чрез партида, а чрез специални таблици със случайни числа или с помощта на компютърни сензори за произволни числа.

Подобни проблеми за осигуряване на обективност на сравнението възникват при сравняване на различни схеми за организация на производството, възнаграждения, по време на търгове и конкурси, избор на кандидати за свободни позиции и др. Навсякъде имаме нужда от жребий или подобни процедури.

Нека е необходимо да се определи най-силният и вторият най-силен отбор, когато се организира турнир по олимпийската система (губещият се елиминира). Да кажем, че по-силният отбор винаги побеждава по-слабия. Ясно е, че най-силният отбор със сигурност ще стане шампион. Вторият по сила отбор ще стигне до финала само ако няма мачове с бъдещия шампион преди финала. Ако се планира такава игра, то вторият по сила отбор няма да стигне до финала. Този, който планира турнира, може или да „нокаутира“ втория по сила отбор от турнира предсрочно, като го противопостави на лидера в първата среща, или да му осигури второ място, като осигури срещи с по-слаби отбори чак до окончателен. За да се избегне субективизъм, се провежда жребий. За турнир с 8 отбора вероятността първите два отбора да се срещнат на финала е 4/7. Съответно, с вероятност от 3/7, вторият най-силен отбор ще напусне турнира рано.

Всяко измерване на продуктови единици (с дебеломер, микрометър, амперметър и т.н.) съдържа грешки. За да се установи дали има систематични грешки, е необходимо да се направят многократни измервания на единица продукт, чиито характеристики са известни (например стандартна проба). Трябва да се помни, че в допълнение към системната грешка има и случайна грешка.

Ето защо възниква въпросът как да разберем от резултатите от измерването дали има системна грешка. Ако само отбележим дали грешката, получена при следващото измерване, е положителна или отрицателна, тогава този проблем може да бъде сведен до вече разгледания. Наистина, нека сравним измерване с хвърляне на монета, положителна грешка със загуба на герб, отрицателна грешка с мрежа (нулева грешка с достатъчен брой деления на скалата почти никога не възниква). Тогава проверката за липса на систематична грешка е еквивалентна на проверка на симетрията на монетата.

Така че задачата за проверка на липсата на систематична грешка се свежда до задачата за проверка на симетрията на монетата. Горното разсъждение води до така наречения "критерий за знак" в математическата статистика.

При статистическото регулиране на технологичните процеси, на базата на методите на математическата статистика, се разработват правила и планове за статистически контрол на процесите, насочени към своевременно откриване на проблеми в технологичните процеси и предприемане на мерки за тяхното коригиране и предотвратяване на освобождаването на продукти, които не отговарят на изискванията. отговарят на установените изисквания. Тези мерки са насочени към намаляване на производствените разходи и загубите от доставката на нискокачествени единици. По време на статистическия приемен контрол, базиран на методите на математическата статистика, се разработват планове за контрол на качеството чрез анализиране на проби от продуктови партиди. Трудността се състои в възможността за правилно изграждане на вероятностно-статистически модели за вземане на решения. В математическата статистика за тази цел са разработени вероятностни модели и методи за тестване на хипотези, по-специално хипотези, че делът на дефектните единици продукция е равен на определен брой r 0 , например r 0 = 0,23 (помнете думите на Струков от романа на А. Н. Толстой).

Задачи за оценка.В редица управленски, производствени, икономически и народностопански ситуации възникват проблеми от различен тип - проблеми за оценка на характеристиките и параметрите на вероятностните разпределения.

Нека разгледаме един пример. Нека една партида от Нелектрически лампи От тази партида, проба от пелектрически лампи Възникват редица естествени въпроси. Как да се определи средният експлоатационен живот на електрическите лампи въз основа на резултатите от изпитването на пробни елементи и с каква точност може да се оцени тази характеристика? Как ще се промени точността, ако вземем по-голяма проба? На колко часа Тможе да се гарантира, че поне 90% от електрическите лампи ще издържат Ти още часове?

Нека приемем, че при тестване на размер на извадка пелектрическите лампи се оказаха дефектни Xелектрически лампи Какви граници могат да бъдат зададени за число? гдефектни крушки в партида, за нивото на дефектност г/ Ни т.н.?

Могат да се дадат много подобни примери. Тук беше важно да се покаже как теорията на вероятностите и математическата статистика могат да се използват в инженерни и управленски проблеми.

Съвременна идея за математическа статистика.Математическата статистика се разбира като „клон на математиката, посветен на математическите методи за събиране, систематизиране, обработка и интерпретиране на статистически данни, както и използването им за научни или практически заключения. Правилата и процедурите на математическата статистика се основават на теорията на вероятностите, която позволява да се оцени точността и надеждността на заключенията, получени във всеки проблем въз основа на наличния статистически материал. В този случай статистическите данни се отнасят до информация за броя на обектите във всяка повече или по-малко обширна колекция, която има определени характеристики.

Въз основа на типа проблеми, които се решават, математическата статистика обикновено се разделя на три раздела: описание на данните, оценка и тестване на хипотези.

Въз основа на вида на обработваните статистически данни, математическата статистика е разделена на четири области:

Едномерна статистика (статистика на случайни променливи), при която резултатът от наблюдение се описва с реално число;

Многовариантен статистически анализ, при който резултатът от наблюдението на даден обект се описва с няколко числа (вектор);

Статистика на случайни процеси и времеви редове, където резултатът от наблюдението е функция;

Статистика на обекти от нечислово естество, при което резултатът от наблюдение е от нечислово естество, например, това е набор (геометрична фигура), подреждане или получен в резултат на измерване, базирано на по качествен критерий.

Исторически, някои области на статистиката на обекти с нечислов характер (по-специално проблеми с оценката на дела на дефектите и тестването на хипотези за това) и едномерната статистика бяха първите, които се появиха. За тях математическият апарат е по-опростен, така че техният пример обикновено се използва за демонстриране на основните идеи на математическата статистика.

Само тези методи за обработка на данни, т.е. математическата статистика е базирана на доказателства, които се основават на вероятностни модели на съответни реални явления и процеси. Говорим за модели на потребителско поведение, възникване на рискове, функциониране на технологично оборудване, получаване на експериментални резултати, протичане на заболяване и др. Вероятностният модел на реално явление трябва да се счита за изграден, ако разглежданите величини и връзките между тях са изразени от гледна точка на теорията на вероятностите. Съответствие с вероятностния модел на реалността, т.е. неговата адекватност е обоснована, по-специално, с помощта на статистически методи за проверка на хипотези.

Невероятностните методи за обработка на данни са проучвателни; те могат да се използват само при предварителен анализ на данни, тъй като не позволяват да се оцени точността и надеждността на заключенията, получени въз основа на ограничен статистически материал.

Вероятностните и статистическите методи са приложими навсякъде, където е възможно да се конструира и обоснове вероятностен модел на явление или процес. Тяхното използване е задължително, когато изводите, направени от извадкови данни, се прехвърлят към цялата популация (например от извадка към цяла партида продукти).

В конкретни области на приложение се използват както вероятностни и статистически методи с общо приложение, така и специфични. Например, в раздела за управление на производството, посветен на статистическите методи за управление на качеството на продуктите, се използва приложна математическа статистика (включително проектиране на експерименти). С неговите методи се извършват статистически анализи на точността и стабилността на технологичните процеси и статистическа оценка на качеството. Специфичните методи включват методи за статистическо приемане на качеството на продукта, статистическо регулиране на технологичните процеси, оценка и контрол на надеждността и др.

Приложните вероятностни и статистически дисциплини като теория на надеждността и теория на опашките са широко използвани. Съдържанието на първия от тях е ясно от името, вторият се занимава с изследване на системи като телефонна централа, която приема обаждания в произволни моменти - изискванията на абонатите, набиращи номера на своите телефонни апарати. Продължителността на обслужване на тези изисквания, т.е. продължителността на разговорите също се моделира чрез случайни променливи. Голям принос за развитието на тези дисциплини направи член-кореспондентът на Академията на науките на СССР А.Я. Хинчин (1894-1959), академик на Академията на науките на Украинската ССР Б. В. Гнеденко (1912-1995) и други местни учени.

Накратко за историята на математическата статистика.Математическата статистика като наука започва с трудовете на известния немски математик Карл Фридрих Гаус (1777-1855), който, въз основа на теорията на вероятностите, изследва и обосновава метода на най-малките квадрати, създаден от него през 1795 г. и използван за обработка на астрономически данни ( за да се изясни орбитата на малка планета Церера). Едно от най-популярните вероятностни разпределения, нормалното, често е кръстено на него, а в теорията на случайните процеси основният обект на изследване са процесите на Гаус.

В края на 19в. - началото на 20 век Основен принос в математическата статистика са направени от английски изследователи, предимно К. Пиърсън (1857-1936) и Р. А. Фишър (1890-1962). По-специално, Пиърсън разработи теста хи-квадрат за тестване на статистически хипотези, а Фишър разработи анализ на дисперсията, теорията на експерименталния дизайн и метода на максималната вероятност за оценка на параметрите.

През 30-те години на ХХ век. Полякът Йежи Нойман (1894-1977) и англичанинът Е. Пиърсън разработиха общата теория за проверка на статистически хипотези, а съветските математици академик А.Н. Колмогоров (1903-1987) и член-кореспондент на Академията на науките на СССР Н. В. Смирнов (1900-1966) полагат основите на непараметричната статистика. През четиридесетте години на ХХ век. Румънецът А. Валд (1902-1950) изгражда теорията на последователния статистически анализ.

В днешно време математическата статистика се развива бързо. Така през последните 40 години могат да се разграничат четири фундаментално нови области на изследване:

Разработване и внедряване на математически методи за планиране на експерименти;

Развитие на статистиката на обекти с нечислов характер като самостоятелно направление в приложната математическа статистика;

Разработване на статистически методи, които са устойчиви на малки отклонения от използвания вероятностен модел;

Широко разпространено развитие на работата по създаването на компютърни софтуерни пакети, предназначени за статистически анализ на данни.

Вероятностно-статистически методи и оптимизация.Идеята за оптимизация прониква в съвременната приложна математическа статистика и други статистически методи. А именно методи за планиране на експерименти, статистически приемлив контрол, статистическо регулиране на технологичните процеси и др. От друга страна, оптимизационните формулировки в теорията за вземане на решения, например приложната теория за оптимизиране на качеството на продукта и стандартните изисквания, осигуряват широко използване на вероятностни статистически методи, предимно приложна математическа статистика.

В управлението на производството, по-специално, когато се оптимизира качеството на продукта и стандартните изисквания, е особено важно да се прилагат статистически методи в началния етап от жизнения цикъл на продукта, т.е. на етапа на изследователска подготовка на експериментални дизайнерски разработки (разработване на обещаващи изисквания към продукта, предварителен дизайн, технически спецификации за разработване на експериментален дизайн). Това се дължи на ограничената налична информация в началния етап от жизнения цикъл на продукта и необходимостта от прогнозиране на техническите възможности и икономическата ситуация за в бъдеще. Статистическите методи трябва да се използват на всички етапи от решаването на задача за оптимизация - при мащабиране на променливи, разработване на математически модели на функциониране на продукти и системи, провеждане на технически и икономически експерименти и др.

При оптимизационни проблеми, включително оптимизиране на качеството на продукта и стандартните изисквания, се използват всички области на статистиката. А именно статистика на случайни променливи, многомерен статистически анализ, статистика на случайни процеси и времеви редове, статистика на обекти с нечислов характер. Разработени са препоръки за избор на статистически метод за анализ на конкретни данни.

Съдържание.

1) Въведение:
- Как се използват теорията на вероятностите и математическата статистика? - страница 2
- Какво е "математическа статистика"? - страница 3
2) Примери за приложение на теорията на вероятностите и математическата статистика:
- Вземане на проби. - страница 4
- Задачи за оценка. – стр. 6
- Вероятностно-статистически методи и оптимизация. – страница 7
3) Заключение.

Въведение.

Как се използват теорията на вероятностите и математическата статистика? Тези дисциплини са в основата на вероятностните и статистически методи за вземане на решения. За да се използва техният математически апарат, е необходимо да се изразят проблемите за вземане на решения по отношение на вероятностно-статистически модели. Прилагането на конкретен вероятностно-статистически метод за вземане на решение се състои от три етапа:
- преход от икономическа, управленска, технологична реалност към абстрактна математико-статистическа схема, т.е. изграждане на вероятностен модел на система за управление, технологичен процес, процедура за вземане на решения, по-специално въз основа на резултатите от статистически контрол и др.
- извършване на изчисления и получаване на заключения с помощта на чисто математически средства в рамките на вероятностен модел;
- тълкуване на математически и статистически заключения във връзка с реалната ситуация и вземане на подходящо решение (например относно съответствието или несъответствието на качеството на продукта с установените изисквания, необходимостта от коригиране на технологичния процес и т.н.), по-специално , заключения (за дела на дефектните единици продукт в партида, за специфичния тип закони на разпределение на контролираните параметри на технологичния процес и др.).

Математическата статистика използва концепциите, методите и резултатите от теорията на вероятностите. Нека разгледаме основните въпроси на конструирането на вероятностни модели за вземане на решения в икономически, управленски, технологични и други ситуации. За активното и правилно използване на нормативни, технически и инструктивни документи за вероятностни и статистически методи за вземане на решения са необходими предварителни познания. По този начин е необходимо да се знае при какви условия трябва да се използва определен документ, каква първоначална информация е необходима за неговия избор и прилагане, какви решения трябва да се вземат въз основа на резултатите от обработката на данни и др.

Какво е "математическа статистика"? Математическата статистика се разбира като „клон на математиката, посветен на математическите методи за събиране, систематизиране, обработка и интерпретиране на статистически данни, както и използването им за научни или практически заключения. Правилата и процедурите на математическата статистика се основават на теорията на вероятностите, което ни позволява да оценим точността и надеждността на заключенията, получени във всеки проблем въз основа на наличния статистически материал. В този случай статистическите данни се отнасят до информация за броя на обектите във всяка повече или по-малко обширна колекция, която има определени характеристики.

Статистика на случайни процеси и времеви редове, където резултатът от наблюдението е функция;

Примери за приложение на теорията на вероятностите и математическата статистика.
Нека разгледаме няколко примера, при които вероятностните статистически модели са добър инструмент за решаване на управленски, производствени, икономически и национални икономически проблеми. Така например монета, която се използва като лот, трябва да бъде „симетрична“, т.е. при хвърлянето му средно в половината от случаите трябва да се появи герб, а в половината от случаите - хеш (опашки, номер). Но какво означава „средно“? Ако провеждате много серии от 10 хвърляния във всяка серия, тогава често ще срещнете серии, в които монетата попада като герб 4 пъти. За симетрична монета това ще се случи в 20,5% от пусканията. И ако след 100 000 хвърляния има 40 000 герба, може ли монетата да се счита за симетрична? Процедурата за вземане на решение се основава на теорията на вероятностите и математическата статистика.

Въпросният пример може да не изглежда достатъчно сериозен. Това обаче не е вярно. Тегленето на жребий се използва широко при организиране на промишлени технически и икономически експерименти, например при обработка на резултатите от измерването на показателя за качество (момент на триене) на лагерите в зависимост от различни технологични фактори (влиянието на консервационната среда, методи за подготовка на лагерите преди измерване , влиянието на натоварването на лагера по време на процеса на измерване и др.). Да кажем, че е необходимо да се сравни качеството на лагерите в зависимост от резултатите от тяхното съхранение в различни консервационни масла, т.е. в масла от състав А и Б. При планирането на такъв експеримент възниква въпросът кои лагери трябва да бъдат поставени в масло от състав А и кои трябва да бъдат поставени в масло от състав В, но по такъв начин, че да се избегне субективизъм и гарантира обективността на взетото решение.

проба
Отговорът на този въпрос може да бъде получен чрез теглене на жребий. Подобен пример може да се даде с контрола на качеството на всеки продукт. За да се реши дали контролираната партида от продукти отговаря или не отговаря на установените изисквания, от нея се избира проба. Въз основа на резултатите от пробния контрол се прави заключение за цялата партида. В този случай е много важно да се избегне субективизъм при формирането на проба, тоест е необходимо всяка единица продукт в контролираната партида да има еднаква вероятност да бъде избрана за пробата. В производствени условия изборът на продуктови единици за извадката обикновено се извършва не чрез партида, а чрез специални таблици със случайни числа или с помощта на компютърни сензори за произволни числа.
Подобни проблеми за осигуряване на обективност на сравнението възникват при сравняване на различни схеми за организация на производството, възнаграждения, по време на търгове и конкурси, избор на кандидати за свободни позиции и др. Навсякъде имаме нужда от жребий или подобни процедури. Нека обясним с примера за определяне на най-силния и втория най-силен отбор при организиране на турнир по олимпийската система (губещият се елиминира). Нека по-силният отбор винаги побеждава по-слабия. Ясно е, че най-силният отбор със сигурност ще стане шампион. Вторият по сила отбор ще стигне до финала само ако няма мачове с бъдещия шампион преди финала. Ако се планира такава игра, то вторият по сила отбор няма да стигне до финала. Този, който планира турнира, може или да „нокаутира“ втория по сила отбор от турнира предсрочно, като го противопостави на лидера в първата среща, или да му осигури второ място, като осигури срещи с по-слаби отбори чак до окончателен. За да се избегне субективизъм, се провежда жребий. За турнир с 8 отбора вероятността първите два отбора да се срещнат на финала е 4/7. Съответно, с вероятност от 3/7, вторият най-силен отбор ще напусне турнира рано.
Всяко измерване на продуктови единици (с дебеломер, микрометър, амперметър и т.н.) съдържа грешки. За да се установи дали има систематични грешки, е необходимо да се направят многократни измервания на единица продукт, чиито характеристики са известни (например стандартна проба). Трябва да се помни, че в допълнение към системната грешка има и случайна грешка.

Ето защо възниква въпросът как да разберем от резултатите от измерването дали има системна грешка. Ако отбележим само дали грешката, получена при следващото измерване, е положителна или отрицателна, тогава тази задача може да бъде намалена до предишната. Наистина, нека сравним измерване с хвърляне на монета, положителна грешка със загуба на герб, отрицателна грешка с мрежа (нулева грешка с достатъчен брой деления на скалата почти никога не възниква). Тогава проверката за липса на систематична грешка е еквивалентна на проверка на симетрията на монетата.

Целта на тези разсъждения е да се намали проблемът за проверка на липсата на систематична грешка до проблема за проверка на симетрията на монета. Горното разсъждение води до така наречения "критерий за знак" в математическата статистика.
„Тест за знак“ е статистически критерий, който ви позволява да тествате нулевата хипотеза, че извадката се подчинява на биномно разпределение с параметър p=1/2. Тестът за знаци може да се използва като непараметричен статистически тест за тестване на хипотезата, че медианата е равна на дадена стойност (по-специално нула) и че няма отклонение (липса на ефект от лечението) в две свързани проби. Той също така ви позволява да тествате хипотезата за симетрия на разпределението, но има по-мощни критерии за това - тестът на Wilcoxon с една проба и неговите модификации.

При статистическото регулиране на технологичните процеси, на базата на методите на математическата статистика, се разработват правила и планове за статистически контрол на процесите, насочени към своевременно откриване на проблеми в технологичните процеси и предприемане на мерки за тяхното коригиране и предотвратяване на освобождаването на продукти, които не отговарят на изискванията. отговарят на установените изисквания. Тези мерки са насочени към намаляване на производствените разходи и загубите от доставката на нискокачествени единици. По време на статистическия приемен контрол, базиран на методите на математическата статистика, се разработват планове за контрол на качеството чрез анализиране на проби от продуктови партиди. Трудността се състои в възможността за правилно изграждане на вероятностно-статистически модели за вземане на решения, въз основа на които да се отговори на поставените по-горе въпроси. За тази цел в математическата статистика са разработени вероятностни модели и методи за тестване на хипотези, по-специално хипотези, че делът на дефектните единици продукция е равен на определено число p0, например p0 = 0,23.

Задачи за оценка.
В редица управленски, производствени, икономически и народностопански ситуации възникват проблеми от различен тип - проблеми за оценка на характеристиките и параметрите на вероятностните разпределения.

Нека разгледаме един пример. Нека пристигне партида от N електрически лампи за проверка. Проба от n електрически лампи е избрана на случаен принцип от тази партида. Възникват редица естествени въпроси. Как да се определи средният експлоатационен живот на електрическите лампи въз основа на резултатите от изпитването на пробни елементи и с каква точност може да се оцени тази характеристика? Как ще се промени точността, ако вземем по-голяма проба? При какъв брой часове T може да се гарантира, че поне 90% от електрическите лампи ще издържат T или повече часа?

Да приемем, че при тестване на образец от n електрически лампи, X електрически лампи се оказаха дефектни. Тогава възникват следните въпроси. Какви ограничения могат да бъдат определени за броя D на дефектните електрически лампи в партида, за нивото на дефектност D/N и т.н.?

Или при статистически анализ на точността и стабилността на технологичните процеси е необходимо да се оценят такива показатели за качество като средната стойност на контролирания параметър и степента на неговото разсейване в разглеждания процес. Според теорията на вероятностите е препоръчително да се използва нейното математическо очакване като средна стойност на случайна променлива, а дисперсията, стандартното отклонение или коефициентът на вариация като статистическа характеристика на спреда. Това повдига въпроса: как да се оценят тези статистически характеристики от извадкови данни и с каква точност може да се направи това? Могат да се дадат много подобни примери. Тук беше важно да се покаже как теорията на вероятностите и математическата статистика могат да се използват в управлението на производството при вземане на решения в областта на статистическото управление на качеството на продукта.

Вероятностно-статистически методи и оптимизация. Идеята за оптимизация прониква в съвременната приложна математическа статистика и други статистически методи. А именно методи за планиране на експерименти, статистически приемлив контрол, статистическо регулиране на технологичните процеси и др. От друга страна, оптимизационните формулировки в теорията за вземане на решения, например приложната теория за оптимизиране на качеството на продукта и стандартните изисквания, осигуряват широко използване на вероятностни статистически методи, предимно приложна математическа статистика.

При оптимизационни проблеми, включително оптимизиране на качеството на продукта и стандартните изисквания, се използват всички области на статистиката. А именно статистика на случайни променливи, многомерен статистически анализ, статистика на случайни процеси и времеви редове, статистика на обекти с нечислов характер. Препоръчително е да изберете статистически метод за анализ на конкретни данни според препоръките.

Заключение.
IN
и т.н.............

Математическата статистика се разбира като „клон на математиката, посветен на математическите методи за събиране, систематизиране, обработка и интерпретиране на статистически данни, както и използването им за научни или практически заключения. Правилата и процедурите на математическата статистика се основават на теорията на вероятностите, която позволява да се оцени точността и надеждността на заключенията, получени във всеки проблем въз основа на наличния статистически материал. В този случай статистическите данни се отнасят до информация за броя на обектите във всяка повече или по-малко обширна колекция, която има определени характеристики.

— едномерна статистика (статистика на случайни променливи), при която резултатът от наблюдение се описва с реално число;

— многовариантен статистически анализ, при който резултатът от наблюдението на даден обект се описва с няколко числа (вектор);

— статистика на случайни процеси и времеви редове, където резултатът от наблюдението е функция;

- статистика на обекти с нечислово естество, при което резултатът от наблюдение е от нечислово естество, например, това е набор (геометрична фигура), подреждане или получен в резултат на измерване въз основа на качествен критерий.

Само тези методи за обработка на данни, т.е. математическата статистика се основава на доказателства, които се основават на вероятностни модели на съответни реални явления и процеси. Говорим за модели на потребителско поведение, възникване на рискове, функциониране на технологично оборудване, получаване на експериментални резултати, протичане на заболяване и др. Вероятностният модел на реално явление трябва да се счита за изграден, ако разглежданите величини и връзките между тях са изразени от гледна точка на теорията на вероятностите.

Съответствие с вероятностния модел на реалността, т.е. неговата адекватност е обоснована, по-специално, с помощта на статистически методи за проверка на хипотези.

Математическата статистика се разбира като „клон на математиката, посветен на математическите методи за събиране, систематизиране, обработка и интерпретиране на статистически данни, както и използването им за научни или практически заключения. Правилата и процедурите на математическата статистика се основават на теорията на вероятностите, което ни позволява да оценим точността и надеждността на заключенията, получени във всеки проблем въз основа на наличния статистически материал. В този случай статистическите данни се отнасят до информация за броя на обектите във всяка повече или по-малко обширна колекция, която има определени характеристики.

Въз основа на вида на обработваните статистически данни, математическата статистика е разделена на четири области:
- едномерна статистика (статистика на случайни величини), при която резултатът от наблюдение се описва с реално число;
- многомерен статистически анализ, при който резултатът от наблюдението на даден обект се описва с няколко числа (вектор);
- статистика на случайни процеси и времеви редове, където резултатът от наблюдението е функция;
- статистика на обекти с нечислово естество, при което резултатът от наблюдение е от нечислово естество, например, това е набор (геометрична фигура), подреждане или получен в резултат на измерване, базирано по качествен критерий.

Вероятностният модел на реално явление трябва да се счита за изграден, ако разглежданите величини и връзките между тях са изразени от гледна точка на теорията на вероятностите. Съответствие с вероятностния модел на реалността, т.е. неговата адекватност е обоснована, по-специално, с помощта на статистически методи за проверка на хипотези.

продължителността на разговорите също се моделира чрез случайни променливи. Голям принос за развитието на тези дисциплини направи член-кореспондентът на Академията на науките на СССР А.Я. Хинчин (1894-1959), академик на Академията на науките на Украинската ССР Б. В. Гнеденко (1912-1995) и други местни учени. Как се използват теорията на вероятностите и математическата статистика? Тези дисциплини са в основата на вероятностните и статистическите методивземане на решения Как се използват теорията на вероятностите и математическата статистика? Тези дисциплини са в основата на вероятностните и статистическите методи. За да използвате техния математически апарат, имате нужда от проблеми Как се използват теорията на вероятностите и математическата статистика? Тези дисциплини са в основата на вероятностните и статистическите методиизразени чрез вероятностно-статистически модели. Приложение на конкретен вероятностно-статистически метод

се състои от три етапа: преход от икономическа, управленска, технологична реалност към абстрактна математико-статистическа схема, т.е. изграждане на вероятностен модел на система за управление, технологичен процес,процедури за вземане на решения
, по-специално въз основа на резултатите от статистическия контрол и др.;
извършване на изчисления и получаване на заключения с помощта на чисто математически средства в рамките на вероятностен модел; тълкуване на математически и статистически заключения във връзка с реална ситуация и вземане на подходящо решение (например относно съответствието или несъответствието на качеството на продукта с установените изисквания, необходимостта от коригиране на технологичния процес и т.н.), по-специално, заключения (за съотношението на дефектните единици продукт в партида, за конкретна форма на закони за разпределениеконтролирани параметри

технологичен процес и др.). Как се използват теорията на вероятностите и математическата статистика? Тези дисциплини са в основата на вероятностните и статистическите методиМатематическата статистика използва концепциите, методите и резултатите от теорията на вероятностите. Нека разгледаме основните въпроси на конструирането на вероятностни модели Как се използват теорията на вероятностите и математическата статистика? Тези дисциплини са в основата на вероятностните и статистическите методив икономически, управленски, технологични и други ситуации. За активно и правилно използване на нормативни, технически и инструктивни документи за вероятностни статистически методи

Примери за приложение на теорията на вероятностите и математическата статистика. Нека разгледаме няколко примера, при които вероятностните статистически модели са добър инструмент за решаване на управленски, производствени, икономически и национални икономически проблеми. Така например в романа на A.N. В „Ходене през мъките“ (том 1) на Толстой се казва: „цехът произвежда двадесет и три процента от дефектите, вие се придържайте към тази цифра“, каза Струков на Иван Илич.

Възниква въпросът как да разбираме тези думи в разговора на ръководителите на фабрики, тъй като една единица продукция не може да бъде 23% дефектна. Тя може да бъде както добра, така и дефектна. Вероятно Струков е имал предвид, че една голяма по обем партида съдържа приблизително 23% дефектни единици продукция. Тогава възниква въпросът какво означава „приблизително“? Ако от 100 проверени бройки продукция 30 се окажат дефектни, или от 1000-300, или от 100 000-30 000 и т.н., Струков ли трябва да бъде обвинен в лъжа?

Или друг пример. Монетата, използвана като лот, трябва да бъде „симетрична“, т.е. при хвърлянето му средно в половината от случаите трябва да изпадне герб, а в половината случаи - хеш (опашки, номер). Но какво означава „средно“? Ако провеждате много серии от 10 хвърляния във всяка серия, тогава често ще срещнете серии, в които монетата попада като герб 4 пъти. За симетрична монета това ще се случи в 20,5% от пусканията. И ако след 100 000 хвърляния има 40 000 герба, може ли монетата да се счита за симетрична? Процедура Как се използват теорията на вероятностите и математическата статистика? Тези дисциплини са в основата на вероятностните и статистическите методисе основава на теорията на вероятностите и математическата статистика.

Въпросният пример може да не изглежда достатъчно сериозен. Това обаче не е вярно. Тегленето на жребий се използва широко при организиране на промишлени технически и икономически експерименти, например при обработка на резултатите от измерването на показателя за качество (момент на триене) на лагерите в зависимост от различни технологични фактори (влиянието на консервационната среда, методи за подготовка на лагерите преди измерване , влиянието на натоварването на лагера по време на процеса на измерване и др.). Да кажем, че е необходимо да се сравни качеството на лагерите в зависимост от резултатите от тяхното съхранение в различни консервационни масла, т.е. в масла от състав и. При планирането на такъв експеримент възниква въпросът кои лагери да се поставят в маслото на състава и кои – в маслото на състава, но така, че да се избегне субективизма и да се гарантира обективността на взетото решение.

Отговорът на този въпрос може да бъде получен чрез теглене на жребий. Подобен пример може да се даде с контрола на качеството на всеки продукт. За да се реши дали контролираната партида от продукти отговаря или не отговаря на установените изисквания, се прави проба. Въз основа на резултатите от пробния контрол се прави заключение за цялата партида. В този случай е много важно да се избегне субективизма при формирането на извадка, т.е. необходимо е всяка единица продукт в контролираната партида да има еднаква вероятност да бъде избрана за извадката. В производствени условия изборът на продуктови единици за извадката обикновено се извършва не чрез партида, а чрез специални таблици със случайни числа или с помощта на компютърни сензори за произволни числа.

Подобни проблеми за осигуряване на обективност на сравнението възникват при сравняване на различни схеми организация на производството, възнаграждения, по време на търгове и конкурси, подбор на кандидати за вакантни позиции и др. Навсякъде имаме нужда от жребий или подобни процедури. Нека обясним с примера за идентифициране на най-силния и втория най-силен отбор при организиране на турнир според олимпийската система (губещият се елиминира). Нека по-силният отбор винаги побеждава по-слабия. Ясно е, че най-силният отбор със сигурност ще стане шампион. Вторият по сила отбор ще стигне до финала само ако няма мачове с бъдещия шампион преди финала. Ако се планира такава игра, то вторият по сила отбор няма да стигне до финала. Този, който планира турнира, може или да „нокаутира“ втория най-силен отбор от турнира предсрочно, като го противопостави на лидера в първата среща, или да му осигури второ място, осигурявайки срещи с по-слаби отбори чак до финала. . За да се избегне субективизъм, се провежда жребий. За турнир с 8 отбора вероятността първите два отбора да се срещнат на финала е 4/7. Съответно, с вероятност от 3/7, вторият най-силен отбор ще напусне турнира рано.

Ето защо възниква въпросът как да разберем от резултатите от измерването дали има системна грешка. Ако отбележим само дали грешката, получена при следващото измерване, е положителна или отрицателна, тогава тази задача може да бъде намалена до предишната. Наистина, нека сравним измерване с хвърляне на монета, положителна грешка със загуба на герб и отрицателна грешка с мрежа (нулева грешка с достатъчен брой деления на скалата почти никога не се случва). Тогава проверката за липса на систематична грешка е еквивалентна на проверка на симетрията на монетата.

При статистическото регулиране на технологичните процеси, въз основа на методите на математическата статистика, се разработват правила и планове за статистически контрол на процесите, насочени към своевременно откриване на проблеми в технологичните процеси, предприемане на мерки за тяхното коригиране и предотвратяване на освобождаването на продукти, които не отговарят на изискванията. отговарят на установените изисквания. Тези мерки са насочени към намаляване на производствените разходи и загубите от доставката на нискокачествени единици. По време на статистическия приемен контрол, базиран на методите на математическата статистика, се разработват планове за контрол на качеството чрез анализиране на проби от продуктови партиди. Трудността се състои в възможността за правилно изграждане на вероятностни статистически модели Как се използват теорията на вероятностите и математическата статистика? Тези дисциплини са в основата на вероятностните и статистическите методи, въз основа на които може да се отговори на горните въпроси. В математическата статистика за тази цел са разработени вероятностни модели и методи за проверка на хипотези, по-специално хипотези, че делът на дефектните единици продукция е равен на определено число, например (помнете думите на Струков от романа на А. Н. Толстой).

Цели на оценката. В редица управленски, производствени, икономически и народностопански ситуации възникват проблеми от различен тип - проблеми за оценка на характеристиките и параметрите на вероятностните разпределения.

Нека разгледаме един пример. Нека пристигне партида от N електрически лампи за проверка. Проба от n електрически лампи е избрана на случаен принцип от тази партида. Възникват редица естествени въпроси. Как да се определи средният експлоатационен живот на електрическите лампи въз основа на резултатите от изпитването на пробни елементи и с каква точност може да се оцени тази характеристика? Как ще се промени точността, ако вземем по-голяма проба? При какъв брой часове може да се гарантира, че поне 90% от електрическите лампи ще издържат повече от часове?

Да приемем, че при тестване на пробен обем от електрически лампи, електрическите лампи се оказаха дефектни. Тогава възникват следните въпроси. Какви граници могат да се определят за броя на дефектните електрически лампи в една партида, за нивото на дефектност и др.?

Или когато се прави статистически анализ на точността и стабилността на технологичните процеси, е необходимо да се оцени такава качествени показатели, като средна стойност контролиран параметъри степента на неговото разсейване в разглеждания процес. Според теорията на вероятностите е препоръчително да се използва нейното математическо очакване като средна стойност на случайна променлива и дисперсия, стандартно отклонение или коефициент на вариация. Това повдига въпроса: как да се оценят тези статистически характеристики от извадкови данни и с каква точност може да се направи това? Могат да се дадат много подобни примери. Тук беше важно да се покаже как теорията на вероятностите и математическата статистика могат да се използват в управлението на производството при вземане на решения в областта на статистическото управление на качеството на продукта.

Какво е "математическа статистика"? Математическата статистика се разбира като „отрасъл от математиката, посветен на математическите методи за събиране, систематизиране, обработка и интерпретиране на статистически данни, както и използването им за научни или практически заключения. Правилата и процедурите на математическата статистика се основават на теорията на вероятностите, която ни позволява да оценим точността и надеждността на заключенията, получени във всяка задача въз основа на наличния статистически материал" [[2.2], p. 326]. В този случай статистическите данни се отнасят до информация за броя на обектите във всяка повече или по-малко обширна колекция, която има определени характеристики.

едномерна статистика (статистика на случайни променливи), при която резултатът от наблюдение се описва с реално число;
многовариантен статистически анализ, при който резултатът от наблюдението на даден обект се описва с няколко числа (вектор);
статистика на случайни процеси и времеви редове, където резултатът от наблюдението е функция;
статистика на обекти от нечислово естество, при което резултатът от наблюдение е от нечислово естество, например, това е набор (геометрична фигура), подреждане или получен в резултат на измерване, базирано на качествен критерий.

Вероятностни и статистически методиприложими навсякъде, където е възможно да се изгради и обоснове вероятностен модел на явление или процес. Тяхното използване е задължително, когато изводите, направени от извадкови данни, се прехвърлят към цялата популация (например от извадка към цяла партида продукти).

В специфични области на приложение те се използват като вероятностни статистически методишироко приложение и специфични. Например, в раздела за управление на производството, посветен на статистическите методи за управление на качеството на продуктите, се използва приложна математическа статистика (включително проектиране на експерименти). С неговите методи се извършва статистически анализточност и стабилност на технологичните процеси и статистическа оценка на качеството. Специфичните методи включват статистически приемателен контрол на качеството на продукта, статистическо регулиране на технологичните процеси, оценка и контрол на надеждността и др.

Приложните вероятностни и статистически дисциплини като теория на надеждността и теория на опашките са широко използвани. Съдържанието на първия от тях е ясно от името, вторият се занимава с изследване на системи като телефонна централа, която приема обаждания в произволни моменти - изискванията на абонатите, набиращи номера на своите телефонни апарати. Продължителността на обслужване на тези изисквания, т.е. продължителността на разговорите също се моделира чрез случайни променливи. Голям принос за развитието на тези дисциплини направи член-кореспондентът на Академията на науките на СССР А.Я. Хинчин (1894-1959), академик на Академията на науките на Украинската ССР Б.В. Гнеденко (1912-1995) и други местни учени.

Накратко за историята на математическата статистика. Математическата статистика като наука започва с трудовете на известния немски математик Карл Фридрих Гаус (1777-1855), който, базирайки се на теорията на вероятностите, изследва и обосновава метод на най-малките квадрати, създаден от него през 1795 г. и използван за обработка на астрономически данни (с цел изясняване на орбитата на малката планета Церера). Едно от най-популярните вероятностни разпределения, нормалното, често е кръстено на него, а в теорията на случайните процеси основният обект на изследване са процесите на Гаус.

В края на 19в. - началото на 20 век Основен принос в математическата статистика са направени от английски изследователи, предимно К. Пиърсън (1857-1936) и Р.А. Фишер (1890-1962). По-специално, Пиърсън разработи теста хи-квадрат за тестване на статистически хипотези, а Фишър - дисперсионен анализ, теория на експерименталния дизайн, метод на максимална вероятност за оценка на параметрите.

През 30-те години на ХХ век. Полякът Йежи Нойман (1894-1977) и англичанинът Е. Пиърсън разработиха общата теория за проверка на статистически хипотези, а съветските математици академик А.Н. Колмогоров (1903-1987) и член-кореспондент на Академията на науките на СССР Н.В. Смирнов (1900-1966) полага основите на непараметричната статистика. През четиридесетте години на ХХ век. Румънецът А. Валд (1902-1950) изгражда теорията на последователния статистически анализ.

В днешно време математическата статистика се развива бързо. Така през последните 40 години могат да се разграничат четири фундаментално нови области на изследване [[2.16]]:

разработване и внедряване на математически методи за планиране на експерименти;
развитие на статистиката на обекти с нечислов характер като самостоятелно направление в приложната математическа статистика;
разработване на статистически методи, които са устойчиви на малки отклонения от използвания вероятностен модел;
широко разпространено развитие на работата по създаването на компютърни програмни пакети, предназначени за статистически анализ на данни.

Вероятностно-статистически методи и оптимизация. Идеята за оптимизация прониква в съвременната приложна математическа статистика и др статистически методи. А именно методи за планиране на експерименти, статистически приемлив контрол, статистическо регулиране на технологичните процеси и др. От друга страна, формулировките за оптимизация в теорията Как се използват теорията на вероятностите и математическата статистика? Тези дисциплини са в основата на вероятностните и статистическите методи, например приложната теория за оптимизиране на качеството на продукта и стандартните изисквания, осигуряват широкото използване на вероятностни статистически методи, предимно приложна математическа статистика.

В управлението на производството, по-специално, когато се оптимизира качеството на продукта и стандартните изисквания, е особено важно да се прилага статистически методив началния етап от жизнения цикъл на продукта, т.е. на етапа на изследователска подготовка на експериментални дизайнерски разработки (разработване на обещаващи изисквания към продукта, предварителен дизайн, технически спецификации за разработване на експериментален дизайн). Това се дължи на ограничената налична информация в началния етап от жизнения цикъл на продукта и необходимостта от прогнозиране на техническите възможности и икономическата ситуация за в бъдеще. Статистически методитрябва да се използва на всички етапи от решаването на оптимизационен проблем - при мащабиране на променливи, разработване на математически модели на функциониране на продукти и системи, провеждане на технически и икономически експерименти и др.

При оптимизационни проблеми, включително оптимизиране на качеството на продукта и стандартните изисквания, се използват всички области на статистиката. А именно статистика на случайни променливи, многомерна статистически анализ, статистика на случайни процеси и времеви редове, статистика на обекти с нечислов характер. Препоръчително е да изберете статистически метод за анализ на конкретни данни в съответствие с препоръките [