Презентация на тема "сфера и топка". Презентация на тема "топка и сфера" Относителното разположение на две топки

За да използвате визуализации на презентации, създайте акаунт в Google и влезте в него: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Сфера Урок-лекция на тема: Геометрия – 11 клас 5klass.net

План на презентация Определение за сфера, топка. Уравнение на сфера. Относителното положение на сферата и равнината. Площ на сфера. Обобщение на урока. Def.среда

Окръжност и окръжност Частта от равнината, ограничена от окръжност, се нарича окръжност. r d r Окръжността е геометрична фигура, състояща се от всички точки на равнината, разположени на дадено разстояние r от дадена точка. r – радиус; d – диаметър Def. сфери

Дефиниция на сфера R Сфера е повърхност, състояща се от всички точки в пространството, разположени на дадено разстояние (R) от дадена точка (центъра на точката). Сфера е тяло, получено в резултат на въртене на полукръг около неговия диаметър. т. O – център на сферата O D – диаметър на сферата – отсечка, свързваща произволни 2 точки на сферата и минаваща през центъра. D = 2R Паралел (екватор) меридиан диаметър сфера R – радиус на сферата – сегмент, свързващ която и да е точка от сферата с центъра.

Сфера Тяло, ограничено от сфера, се нарича сфера. Центърът, радиусът и диаметърът на една сфера също са център, радиус и диаметър на една сфера. Топка с радиус R и център O съдържа всички точки в пространството, които са разположени от точка O на разстояние не по-голямо от R.

Историческа информация за сферата и топката И двете думи "сфера" и "сфера" идват от гръцката дума "sphaira" - топка. В древни времена сферата и топката са били на голяма почит. Астрономическите наблюдения над небесния свод предизвикват образа на сфера. Питагорейците в своите полумистични разсъждения твърдят, че сферичните небесни тела са разположени едно от друго на разстояние, пропорционално на интервалите на музикалната гама. Това се разглежда като елементи на световната хармония. Оттук идва и изразът „музиката на сферата“. Аристотел смята, че сферичната форма като най-съвършена е характерна за Слънцето, Земята, Луната и всички световни тела. Той също така вярва, че Земята е заобиколена от множество концентрични сфери. Сферата и топката винаги са били широко използвани в различни области на науката и технологиите. d/z прибл.

Как да нарисувате сфера? R 1. Маркирайте центъра на сферата (t.O) 2. Начертайте кръг с център в t.O 3. Начертайте видима вертикална дъга (меридиан) 4. Начертайте невидима вертикална дъга 5. Начертайте видима хоризонтална дъга (паралел) 6 Начертайте невидима хоризонтална дъга 7. Начертайте радиуса на сферата R O eq. околна среда

Уравнението на окръжността е C(x 0 ;y 0) M(x;y) x y O. Следователно уравнението на окръжността има формата: (x – x 0) 2 + (y – y 0) 2 = r 2 Да дефинираме правоъгълна координатна система O xy Да построим окръжност с център в точка C и радиус r. Разстоянието от произволна точка M (x;y) до точка C се изчислява по формулата: MC = (x – x 0) 2 + (y – y 0) 2 MC = r или MS 2 = r 2

Задача 1. Като знаете координатите на центъра C(2;-3;0), и радиуса на сферата R=5, напишете уравнението на сферата. Решението като уравнение на сфера с радиус R и център в точка C(x 0 ; y 0 ; z 0) има формата (x-x 0) 2 + (y-y 0) 2 + (z-z 0) 2 =R 2 , и координатите на центъра на тази сфера са C(2;-3;0) и радиусът R=5, тогава уравнението на тази сфера е (x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 = 25 Отговор: (x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 =25 ниво. сфери

Уравнение на сферата (x – x 0) 2 + (y – y 0) 2 + (z – z 0) 2 = R 2 x y z M(x;y;z) R Нека дефинираме правоъгълна координатна система O xyz Нека построим сфера с център в точка C и радиус R MS = (x – x 0) 2 + (y – y 0) 2 + (z – z 0) 2 MS = R, или MS 2 = R 2 C(x 0 ;y 0 ; z 0) следователно уравнението на сферата има формата:

Относителното положение на окръжността и правата r d Ако d r Ако d = r, то правата и окръжността имат 1 обща точка. Ако d > r, то правата и окръжността нямат общи точки. Има 3 възможни случая: Сфера и равнина

α C (0 ;0; d) Взаимно разположение на сферата и равнината В зависимост от отношението на d и R са възможни 3 случая... x y z O Да въведем правоъгълна координатна система Oxyz Да построим равнина α, съвпадаща с Равнина Oxy Да изобразим сфера с център t .С, лежаща на положителната полуос Oz и имаща координати (0;0; d), където d е разстоянието (перпендикуляр) от центъра на сферата до равнината α .

α C (0 ;0; d) Сечението на топка с равнина е окръжност. x y z O r Взаимна позиция на сферата и равнината Да разгледаме случай 1 d

α C (0 ;0; d) d = R, т.е. ако разстоянието от центъра на сферата до равнината е равно на радиуса на сферата, тогава сферата и равнината имат една обща точка x y z O Взаимно положение на сферата и равнината Разгледайте случай 2

α C (0 ;0; d) d > R , т.е. ако разстоянието от центъра на сферата до равнината е по-голямо от радиуса на сферата, тогава сферата и равнината нямат общи точки. x y z O Взаимна позиция на сферата и равнината. Разгледайте случай 3

Задача 2. Топка с радиус 41 dm е пресечена от равнина, разположена на разстояние 9 dm от центъра. Намерете радиуса на сечението. Дадено е: Сфера с център в точка O R=41 dm α - сечаща равнина d = 9 dm M K O R d Намерете: r сечение = ? Решение: Да разгледаме ∆ OMK – правоъгълен OM = 41 dm; OK = 9 dm; MK = r, r = R 2 - d 2 според Питагоровата теорема: MK 2 = r 2 = 41 2 - 9 2 = 16 81 - 81 = 1600 оттук r sec = 4 0 dm Отговор: r sec = 4 0 dm r

Площ на сфера Площ на сфера с радиус R: S sf =4 π R 2 Сферата не може да се обърне върху равнина. Нека опишем многостен около сферата, така че сферата да докосва всичките си лица. Площта на сферата се приема за граница на последователността от повърхностни площи на полиедри, описани около сферата, като най-големият размер на всяко лице клони към нула, т.е.: Повърхностната площ на топката е равна на четири по площта на по-големия кръг S топка =4 S кръг

Задача 3. Намерете повърхнината на сфера, чийто радиус = 6 см. Дадено е: сфера R = 6 см. Намерете: S sf = ? Решение: S sf = 4 π R 2 S sf = 4 π 6 2 = 144 π cm 2 Отговор: S sf = 144 π cm 2

Обобщение на урока чрез определяне на сфера, топка; уравнение на сферата; взаимното разположение на сферата и равнината; повърхността на сферата. Днес се запознахте.

Символът на топката е глобалността на топката на Земята. Символ на бъдещето, той се различава от кръста по това, че последният олицетворява страданието и човешката смърт. В Древен Египет за първи път стигнали до заключението, че земята е сферична. Това предположение послужи като основа за множество мисли за безсмъртието на земята и възможността за безсмъртие на живите организми, които я населяват.

Тази точка (O) се нарича център на сферата. Всеки сегмент, свързващ центъра и всяка точка на сферата, се нарича радиус на сферата (R-радиус на сферата). Отсечка, свързваща две точки на сфера и минаваща през нейния център, се нарича диаметър на сферата. Очевидно диаметърът на сферата е 2R.

Определение за топка Топката е тяло, което се състои от всички точки в пространството, разположени на разстояние не по-голямо от дадено от дадена точка (или фигура, ограничена от сфера). Тяло, ограничено от сфера, се нарича топка. Центърът, радиусът и диаметърът на сферата се наричат още център, радиус и диаметър на топка. Топка

Равнината, минаваща през центъра на топката, се нарича диаметрална равнина. Сечението на топката от диаметралната равнина се нарича голям кръг, а сечението на сферата се нарича голям кръг. Сечението на топка от диаметралната равнина се нарича голям кръг, а сечението на сферата се нарича голям кръг.

X²+y²=R²-d² Ако d>R, тогава сферата и равнината нямат общи точки. R, тогава сферата и равнината нямат общи точки."> R, тогава сферата и равнината нямат общи точки."> R, тогава сферата и равнината нямат общи точки." title=" x²+y²=R² -d² Ако d>R, тогава сферата и равнината нямат общи точки."> title="x²+y²=R²-d² Ако d>R, тогава сферата и равнината нямат общи точки."> !}

Допирателна равнина към сфера Допирателна равнина към сфера Равнина, която има само една обща точка със сферата, се нарича допирателна равнина към сферата, допирателната точка А на равнината и сферата се нарича допирателна точка А на равнината и сферата.

Теорема: Радиусът на сфера, начертан до точката на контакт между сферата и равнината, е перпендикулярен на допирателната равнина. Доказателство: Да разгледаме равнината α, допирателна към сферата с център O в точка A. Нека докажем, че OA е перпендикулярна на α. Да приемем, че това не е така. Тогава радиусът OA е наклонен към равнината α и следователно разстоянието от центъра на сферата до равнината е по-малко от радиуса на сферата. Следователно сферата и равнината се пресичат по окръжност. Това противоречи на факта, че допирателната, т.е. сферата и равнината имат само една обща точка. Полученото противоречие доказва, че OA е перпендикулярна на α.

Слайд 1

Сфера и топка.

Слайд 2

Сферата е повърхност, която се състои от всички точки в пространството, разположени на дадено разстояние от дадена точка. Тази точка се нарича център, а даденото разстояние е радиусът на сферата, или топката - тяло, ограничено от сфера. Топката се състои от всички точки в пространството, разположени на разстояние не повече от дадена точка от дадена точка.

Слайд 3

Отсечката, свързваща центъра на топката с точка от нейната повърхност, се нарича радиус на топката. Сегмент, свързващ две точки от повърхността на топка и минаващ през центъра, се нарича диаметър на топката, а краищата на този сегмент се наричат диаметрално противоположни точки на топката.

Слайд 4

Какво е разстоянието между диаметрално противоположни точки на топката, ако е известно разстоянието на точката, разположена на повърхността на топката от центъра?
?
18

Слайд 5

Топка може да се разглежда като тяло, получено чрез въртене на полукръг около диаметър като ос.

Слайд 6

Нека площта на полукръга е известна. Намерете радиуса на топката, която се получава при въртене на този полукръг около диаметъра.
?
4

Слайд 7

Теорема. Всяко сечение на топка от равнина е кръг. Перпендикуляр, пуснат от центъра на топката върху режеща равнина, завършва в центъра на този кръг.
Дадено: Докажи:

Слайд 8

Доказателство:
Да разгледаме правоъгълен триъгълник, чиито върхове са центърът на топката, основата на перпендикуляр, пуснат от центъра върху равнината, и произволна точка на сечение.

Слайд 9

Последица. Ако са известни радиусът на топката и разстоянието от центъра на топката до равнината на сечението, тогава радиусът на сечението се изчислява с помощта на Питагоровата теорема.

Слайд 10

Нека са известни диаметърът на топката и разстоянието от центъра на топката до режещата равнина. Намерете радиуса на окръжността на получената секция.
?
10

Слайд 11

Колкото по-малко е разстоянието от центъра на топката до равнината, толкова по-голям е радиусът на сечението.

Слайд 12

Топка с радиус пет има диаметър и две секции, перпендикулярни на този диаметър. Една от секциите е разположена на разстояние три от центъра на топката, а втората е на същото разстояние от най-близкия край на диаметъра. Маркирайте участъка, чийто радиус е по-голям.
?

Слайд 13

Задача.
Върху сфера с радиус R са взети три точки, които са върховете на правилен триъгълник със страна a. На какво разстояние от центъра на сферата е равнината, минаваща през тези три точки?
Дадено: Намери:

Слайд 14

Помислете за пирамида с върха в центъра на топката и основата в този триъгълник.
Решение:

Слайд 15

Нека намерим радиуса на описаната окръжност и след това разгледаме един от триъгълниците, образувани от радиуса, страничния ръб на пирамидата и височината. Нека намерим височината с помощта на Питагоровата теорема.
Решение:

Слайд 16

Най-големият радиус на сечението се получава, когато равнината минава през центъра на топката. Полученият в този случай кръг се нарича голям кръг. Голям кръг разделя топката на две полукълба.

Слайд 17

В топка, чийто радиус е известен, са начертани две големи окръжности. Каква е дължината на общата им отсечка?
?
12

Слайд 18

Равнина и права, допирателна към сфера.
Равнина, която има само една обща точка със сфера, се нарича допирателна равнина. Допирателната равнина е перпендикулярна на радиуса, прекаран до точката на допиране.

Слайд 19

Нека топка, чийто радиус е известен, лежи върху хоризонтална равнина. В тази равнина през точката на допиране и точката B е начертана отсечка, чиято дължина е известна. Какво е разстоянието от центъра на топката до противоположния край на сегмента?
?
6

Слайд 20

Права линия се нарича допирателна, ако има точно една обща точка със сферата. Такава права линия е перпендикулярна на радиуса, начертан до точката на контакт. През всяка точка на сферата могат да бъдат начертани безкраен брой допирателни.

Слайд 21

Дадена е топка, чийто радиус е известен. Извън топката се взема точка и през нея се прекарва допирателна към топката. Дължината на допирателната отсечка от точка извън топката до точката на контакт също е известна. Колко далеч от центъра на топката е външната точка?
?
4

Слайд 22

Страните на триъгълника са 13см, 14см и 15см. Намерете разстоянието от равнината на триъгълника до центъра на топката, докосваща страните на триъгълника. Радиусът на сферата е 5 cm.
Задача.
Дадено: Намери:

Слайд 23

Сечението на сферата, минаващо през допирните точки, е окръжност, вписана в триъгълник ABC.
Решение:

Слайд 24

Нека изчислим радиуса на окръжност, вписана в триъгълник.
Решение:

Слайд 25

Знаейки радиуса на сечението и радиуса на топката, ще намерим необходимото разстояние.
Решение:

Слайд 26

През точка от сфера, чийто радиус е даден, са начертани голям кръг и сечение, пресичащи равнината на големия кръг под ъгъл от шестдесет градуса. Намерете площта на напречното сечение.
?
π

Слайд 27

Относителното положение на две топки.
Ако две топки или сфери имат само една обща точка, тогава се казва, че се докосват. Тяхната обща допирателна равнина е перпендикулярна на линията на центровете (правата, свързваща центровете на двете топки).

Слайд 28

Контактът на топките може да бъде вътрешен или външен.

Слайд 29

Разстоянието между центровете на две докосващи се топки е пет, а радиусът на една от топките е три. Намерете стойностите, които може да приеме радиусът на втората топка.
?
2
8

Слайд 30

Две сфери се пресичат в кръг. Линията на центровете е перпендикулярна на равнината на тази окръжност и минава през нейния център.

Слайд 31

Две сфери с еднакъв радиус, равен на пет, се пресичат, а центровете им са на разстояние осем. Намерете радиуса на окръжността, по която се пресичат сферите. За да направите това, е необходимо да разгледате участъка, минаващ през центровете на сферите.
?
3

Слайд 32

Вписани и описани сфери.
Казва се, че сфера (топка) е описана около многостен, ако всички върхове на многостена лежат върху сферата.

Слайд 33

Кой четириъгълник може да лежи в основата на пирамида, вписана в сфера?
?

Слайд 34

Казва се, че една сфера е вписана в полиедър, по-специално в пирамида, ако докосва всички лица на този многостен (пирамида).

Слайд 35

В основата на триъгълна пирамида лежи равнобедрен триъгълник, основата и страните са известни. Всички странични ръбове на пирамидата са равни на 13. Намерете радиусите на описаната и вписаната сфера.
Задача.
Дадено: Намери:

Слайд 36

Етап I. Намиране на радиуса на вписана сфера.
1) Центърът на описаната топка е отстранен от всички върхове на пирамидата на същото разстояние, равно на радиуса на топката, и по-специално от върховете на триъгълника ABC. Следователно той лежи на перпендикуляра към равнината на основата на този триъгълник, който се реконструира от центъра на описаната окръжност. В този случай този перпендикуляр съвпада с височината на пирамидата, тъй като страничните й ръбове са равни.

Слайд 2

Слайд 3

Слайд 4

Слайд 5

Топка може да се разглежда като тяло, получено чрез въртене на полукръг около диаметър като ос.

Слайд 6

Слайд 7

Теорема. Всяко сечение на топка от равнина е кръг. Перпендикуляр, пуснат от центъра на топката върху режеща равнина, завършва в центъра на този кръг.

Дадено: Докажи:

Слайд 8

Доказателство:

Да разгледаме правоъгълен триъгълник, чиито върхове са центърът на топката, основата на перпендикуляр, пуснат от центъра върху равнината, и произволна точка на сечение.

Слайд 9

Слайд 10

Слайд 11

Колкото по-малко е разстоянието от центъра на топката до равнината, толкова по-голям е радиусът на сечението.

Слайд 12

Слайд 13

Задача.

Върху сфера с радиус R са взети три точки, които са върховете на правилен триъгълник със страна a. На какво разстояние от центъра на сферата е равнината, минаваща през тези три точки? Дадено: Намери:

Слайд 14

Помислете за пирамида с върха в центъра на топката и основата в този триъгълник. Решение:

Слайд 15

Слайд 16

Слайд 17

Слайд 18

Равнина и права, допирателна към сфера.

Равнина, която има само една обща точка със сфера, се нарича допирателна равнина. Допирателната равнина е перпендикулярна на радиуса, прекаран до точката на допиране.

Слайд 19

Слайд 20

Слайд 21

Слайд 22

Страните на триъгълника са 13см, 14см и 15см. Намерете разстоянието от равнината на триъгълника до центъра на топката, докосваща страните на триъгълника. Радиусът на топката е 5 cm. Дадено: Намери:

Слайд 23

Сечението на сферата, минаващо през допирните точки, е окръжност, вписана в триъгълник ABC. Решение:

Слайд 24

Нека изчислим радиуса на окръжност, вписана в триъгълник. Решение:

Слайд 25

Знаейки радиуса на сечението и радиуса на топката, ще намерим необходимото разстояние. Решение:

Слайд 26

Слайд 27

Относителното положение на две топки.

Ако две топки или сфери имат само една обща точка, тогава се казва, че се докосват. Тяхната обща допирателна равнина е перпендикулярна на линията на центровете (правата, свързваща центровете на двете топки).

Слайд 28

Контактът на топките може да бъде вътрешен или външен.

Слайд 29

Слайд 30

Слайд 31

Слайд 32

Вписани и описани сфери.

Казва се, че сфера (топка) е описана около многостен, ако всички върхове на многостена лежат върху сферата.

Слайд 33

Кой четириъгълник може да лежи в основата на пирамида, вписана в сфера? ?

Слайд 34

Слайд 35

Слайд 36

Етап I. Намиране на радиуса на вписаната сфера.

1) Центърът на описаната топка е отстранен от всички върхове на пирамидата на същото разстояние, равно на радиуса на топката, и по-специално от върховете на триъгълника ABC. Следователно той лежи на перпендикуляра към равнината на основата на този триъгълник, който се реконструира от центъра на описаната окръжност. В този случай този перпендикуляр съвпада с височината на пирамидата, тъй като страничните й ръбове са равни. Решение.

Слайд 1

Слайд 2

Слайд 3

Окръжност и окръжност Частта от равнината, ограничена от окръжност, се нарича окръжност. Кръгът е геометрична фигура, състояща се от всички точки на равнината, разположени на дадено разстояние r от дадена точка. r – радиус; d – диаметър Def. сфери

Слайд 4

Дефиниция на сфера Сферата е повърхност, състояща се от всички точки в пространството, разположени на дадено разстояние (R) от дадена точка (центъра на точката). Сфера е тяло, получено в резултат на въртене на полукръг около неговия диаметър. т. O – център на сферата O D – диаметър на сферата – отсечка, свързваща произволни 2 точки на сферата и минаваща през центъра. D = 2R топка R – радиус на сферата – отсечка, свързваща всяка точка от сферата с центъра.

Слайд 5

Слайд 6

Историческа информация за сферата и топката И двете думи "топка" и "сфера" идват от гръцката дума "sphaira" - топка. В древни времена сферата и топката са били на голяма почит. Астрономическите наблюдения над небесния свод предизвикват образа на сфера. Питагорейците в своите полумистични разсъждения твърдят, че сферичните небесни тела са разположени едно от друго на разстояние, пропорционално на интервалите на музикалната гама. Това се разглежда като елементи на световната хармония. Оттук идва и изразът „музиката на сферата“. Аристотел смята, че сферичната форма като най-съвършена е характерна за Слънцето, Земята, Луната и всички световни тела. Той също така вярва, че Земята е заобиколена от множество концентрични сфери. Сферата и топката винаги са били широко използвани в различни области на науката и технологиите. d/z прибл.

Слайд 7

Слайд 8

Уравнението на окръжност, следователно, уравнението на окръжност има формата: (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2 C(x0;y0) M(x;y) x y O Нека дефинираме правоъгълник координатна система Oxy Да построим окръжност с център t и радиус r. Разстоянието от произволна точка M (x;y) до точка C се изчислява по формулата: MC = (x – x0)2 + (y – y0)2 MC = r, или MC2 = r2

Слайд 9

Задача 1. Като знаете координатите на центъра C(2;-3;0), и радиуса на сферата R=5, напишете уравнението на сферата. Решението е следното: уравнението на сфера с радиус R и център в точка C(x0;y0;z0) има формата (x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2= R2 и координатите на центъра на тази сфера C(2;-3;0) и радиус R=5, тогава уравнението на тази сфера е (x-2)2 + (y+3)2 + z2=25 Отговор: (x-2)2 + (y+3 )2 + z2=25 ниво. сфери

Слайд 10

Уравнение на сфера (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2 x y z M(x;y;z) R Нека дефинираме правоъгълна координатна система Oxyz Нека построим сфера с център в точка C и радиус R MC = (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 MC = R, или MC2 = R2 C(x0;y0;z0), следователно уравнението на сферата има формата :

Слайд 11

Слайд 12

Относителното положение на окръжността и правата r d Ако d< r, то прямая и окружность имеют 2 общие точки. d= r d>r Ако d = r, то правата и окръжността имат 1 обща точка. Ако d > r, то правата и окръжността нямат общи точки. Има 3 възможни случая: Сфера и равнина

Слайд 13

Взаимно разположение на сферата и равнината В зависимост от отношението на d и R са възможни 3 случая... Да въведем правоъгълна координатна система Oxyz Да построим равнина α, съвпадаща с равнината Oxy Да изобразим сфера с център в точка С , лежаща на положителната полуос Oz и имаща координати (0 ;0;d), където d е разстоянието (перпендикуляр) от центъра на сферата до равнината α.

Слайд 14

Сечението на сфера с равнина е окръжност. r Взаимно положение на сферата и равнината Да разгледаме случай 1 d< R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность радиусом r. r = R2 - d2 М С приближением секущей плоскости к центру шара радиус круга увеличивается. Плоскость, проходящая через диаметр шара, называется диаметральной. Круг, полученный в результате сечения, называется большим кругом.

Слайд 15

d = R, т.е. ако разстоянието от центъра на сферата до равнината е равно на радиуса на сферата, тогава сферата и равнината имат една обща точка Относителното положение на сферата и равнината

Слайд 16

d > R, т.е. ако разстоянието от центъра на сферата до равнината е по-голямо от радиуса на сферата, тогава сферата и равнината нямат общи точки. Относителното положение на сферата и равнината Разгледайте случай 3