Производна и нейните свойства. Производна на функция. Подробна теория с примери. Производна на сложна функция

Представяме обобщена таблица за удобство и яснота при изучаване на темата.

Константаy = C

Степенна функция y = x p

(x p) " = p x p - 1

Експоненциална функцияy = брадва

(a x) " = a x ln a

По-специално, когатоa = eимаме y = e x

(e x) " = e x

Логаритмична функция

(log a x) " = 1 x ln a

По-специално, когатоa = eимаме y = log x

(ln x) " = 1 x

Тригонометрични функции

(sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x

Обратни тригонометрични функции

(a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2

Хиперболични функции

(s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Нека анализираме как са получени формулите от посочената таблица или, с други думи, ще докажем извеждането на производни формули за всеки тип функция.

Производна на константа

Доказателство 1

За да се оттегли тази формула, нека вземем за основа дефиницията на производната на функция в точка. Използваме x 0 = x, където хприема стойността на всяко реално число или, с други думи, хе всяко число от домейна на функцията f (x) = C. Нека запишем границата на отношението на нарастването на функция към увеличението на аргумента като ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Моля, обърнете внимание, че изразът 0 ∆ x попада под знака за ограничение. Това не е несигурността „нула, разделена на нула“, тъй като числителят не съдържа безкрайно малка стойност, а точно нула. С други думи, увеличението постоянна функциявинаги има нула.

И така, производната на константната функция f (x) = C е равна на нула в цялата област на дефиниция.

Пример 1

Дадени са постоянните функции:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Решение

Нека опишем дадените условия. В първата функция виждаме производната на естественото число 3. В следващия пример трябва да вземете производната на А, Къде А- всяко реално число. Третият пример ни дава производната на ирационалното число 4. 13 7 22, четвъртата е производната на нула (нулата е цяло число). И накрая, в петия случай имаме производната на рационалната дроб - 8 7.

отговор:производните на дадени функции са нула за всяко реално х(по цялата зона на дефиниране)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0, f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Производна на степенна функция

Да преминем към степенна функцияи формулата на нейната производна, която има формата: (x p) " = p x p - 1, където показателят стре всяко реално число.

Доказателство 2

Ето доказателството на формулата, когато показателят е естествено число: p = 1, 2, 3, …

Отново разчитаме на определението за производна. Нека запишем границата на съотношението на увеличението на степенна функция към увеличението на аргумента:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

За да опростим израза в числителя, използваме биномната формула на Нютон:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p - x p = = C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Така:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (. C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = C p 1 · x p - . 1 + 0 + 0 = p (p - 1) !

Така доказахме формулата за производната на степенна функция, когато показателят е естествено число.

Доказателство 3

Да предостави доказателство за случая, когато п-всяко реално число, различно от нула, използваме логаритмичната производна (тук трябва да разберем разликата от производната на логаритмична функция). За да имате по-пълно разбиране, препоръчително е да изучавате производната на логаритмична функция и допълнително да разберете производната на неявна функция и производната на сложна функция.

Нека разгледаме два случая: когато хположително и кога хотрицателен.

Така че x > 0. Тогава: x p > 0 . Нека логаритмуваме равенството y = x p по основа e и приложим свойството на логаритъма:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

На този етап сме получили имплицитно зададена функция. Нека дефинираме неговата производна:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Сега разглеждаме случая, когато х –отрицателно число.

Ако индикаторът стре четно число, тогава степенната функция е дефинирана за x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Тогава x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Ако стре нечетно число, тогава степенната функция е дефинирана за x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Последният преход е възможен поради факта, че ако стртогава е нечетно число p - 1или четно число, или нула (за p = 1), следователно, за отрицателно хравенството (- x) p - 1 = x p - 1 е вярно.

И така, доказахме формулата за производната на степенна функция за всяко реално p.

Пример 2

Дадени функции:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Определете техните производни.

Решение

Трансформираме някои от дадените функции в таблична форма y = x p въз основа на свойствата на степента и след това използваме формулата:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Производна на експоненциална функция

Доказателство 4

Нека изведем производната формула, като използваме определението като основа:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Имаме несигурност. За да го разширим, нека напишем нова променлива z = a ∆ x - 1 (z → 0 като ∆ x → 0). В този случай a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . За последния преход е използвана формулата за преход към нова основа на логаритъм.

Нека заместим в първоначалния лимит:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Да си припомним второто прекрасен лимити след това получаваме формулата за производна експоненциална функция:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Пример 3

Експоненциалните функции са дадени:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Необходимо е да се намерят техните производни.

Решение

Използваме формулата за производната на експоненциалната функция и свойствата на логаритъма:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Производна на логаритмична функция

Доказателство 5

Нека предоставим доказателство на формулата за производната на логаритмична функция за всяка хв областта на дефиницията и всички допустими стойности на основата a на логаритъма. Въз основа на определението за производна получаваме:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

От посочената верига от равенства става ясно, че преобразуванията са базирани на свойството на логаритъма. Равенството lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e е вярно в съответствие с втората забележителна граница.

Пример 4

Дадени са логаритмични функции:

f 1 (x) = log ln 3 x, f 2 (x) = ln x

Необходимо е да се изчислят техните производни.

Решение

Нека приложим получената формула:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

И така, производната на естествения логаритъм е едно делено на х.

Производни на тригонометрични функции

Доказателство 6

Нека използваме някои тригонометрични формули и първата чудесна граница, за да изведем формулата за производната на тригонометрична функция.

Според дефиницията на производната на функцията синус получаваме:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Формулата за разликата на синусите ще ни позволи да извършим следните действия:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

И накрая, използваме първото прекрасно ограничение:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

И така, производната на функцията грях хще cos x.

Ще докажем и формулата за производната на косинуса:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Тези. производната на функцията cos x ще бъде – грях х.

Извеждаме формулите за производните на тангенс и котангенс въз основа на правилата за диференциране:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Производни на обратни тригонометрични функции

Разделът за производната на обратни функции предоставя изчерпателна информация за доказателството на формулите за производните на арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс, така че няма да дублираме материала тук.

Производни на хиперболични функции

Доказателство 7

Можем да изведем формулите за производните на хиперболичния синус, косинус, тангенс и котангенс, като използваме правилото за диференциране и формулата за производната на експоненциалната функция:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Решете физически задачиили примери в математиката е напълно невъзможно без познаване на производната и методите за нейното изчисляване. Производната е едно от най-важните понятия в математическия анализ. Решихме да посветим днешната статия на тази основна тема. Какво е производна, какво е нейното физично и геометрично значение, как се изчислява производната на функция? Всички тези въпроси могат да бъдат комбинирани в един: как да разберем производната?

Геометрично и физическо значение на производната

Нека има функция f(x) , посочени в определен интервал (а, б) . Точките x и x0 принадлежат на този интервал. Когато x се промени, самата функция се променя. Промяна на аргумента - разликата в стойностите му х-х0 . Тази разлика се записва като делта х и се нарича увеличение на аргумента. Промяна или увеличение на функция е разликата между стойностите на функция в две точки. Дефиниция на производна:

Производната на функция в точка е границата на отношението на нарастването на функцията в дадена точка към нарастването на аргумента, когато последният клони към нула.

Иначе може да се напише така:

Какъв е смисълът да се намери такава граница? И ето какво е то:

производната на функция в точка е равна на тангенса на ъгъла между оста OX и допирателната към графиката на функцията в дадена точка.

Физически смисълпроизводна: производната на пътя по време е равна на скоростта на праволинейно движение.

Всъщност още от ученическите дни всеки знае, че скоростта е особен път x=f(t) и време t . Средна скоростза определен период от време:

За да разберете скоростта на движение в даден момент t0 трябва да изчислите лимита:

Правило едно: задайте константа

Константата може да бъде извадена от знака за производна. Освен това това трябва да се направи. Когато решавате примери по математика, вземете го за правило - Ако можете да опростите израз, не забравяйте да го опростите .

Пример. Нека изчислим производната:

Второ правило: производна на сумата от функции

Производната на сумата от две функции е равна на сумата от производните на тези функции. Същото важи и за производната на разликата на функциите.

Няма да даваме доказателство на тази теорема, а по-скоро ще разгледаме практически пример.

Намерете производната на функцията:

Трето правило: производна на произведението на функциите

Производната на произведението на две диференцируеми функции се изчислява по формулата:

Пример: намерете производната на функция:

Решение:

Тук е важно да говорим за изчисляване на производни на сложни функции. Производната на сложна функция е равна на произведението на производната на тази функция по отношение на междинния аргумент и производната на междинния аргумент по отношение на независимата променлива.

В горния пример срещаме израза:

В този случай междинният аргумент е 8х на пета степен. За да изчислим производната на такъв израз, първо изчисляваме производната на външната функция по отношение на междинния аргумент и след това умножаваме по производната на самия междинен аргумент по отношение на независимата променлива.

Четвърто правило: производна на частното на две функции

Формула за определяне на производната на частното на две функции:

Опитахме се да говорим за производни за манекени от нулата. Тази тема не е толкова проста, колкото изглежда, така че бъдете предупредени: в примерите често има клопки, така че бъдете внимателни, когато изчислявате производни.

С всякакви въпроси по тази и други теми можете да се свържете със студентската служба. За краткосрочен планНие ще ви помогнем да решите най-трудните тестове и проблеми, дори ако никога преди не сте правили производни изчисления.

Решаването на физически задачи или примери по математика е напълно невъзможно без познаване на производната и методите за нейното изчисляване. Производната е едно от най-важните понятия в математическия анализ. Решихме да посветим днешната статия на тази основна тема. Какво е производна, какво е нейното физично и геометрично значение, как се изчислява производната на функция? Всички тези въпроси могат да бъдат комбинирани в един: как да разберем производната?

Геометрично и физическо значение на производната

Производната на функция в точка е границата на отношението на нарастването на функцията в дадена точка към нарастването на аргумента, когато последният клони към нула.

Иначе може да се напише така:

Какъв е смисълът да се намери такава граница? И ето какво е то:

Физическо значение на производната: производната на пътя по време е равна на скоростта на праволинейно движение.

Всъщност още от ученическите дни всеки знае, че скоростта е особен път x=f(t) и време t . Средна скорост за определен период от време:

За да разберете скоростта на движение в даден момент t0 трябва да изчислите лимита:

Правило едно: задайте константа

Пример. Нека изчислим производната:

Второ правило: производна на сумата от функции

Няма да даваме доказателство на тази теорема, а по-скоро ще разгледаме практически пример.

Намерете производната на функцията:

Трето правило: производна на произведението на функциите

Производната на произведението на две диференцируеми функции се изчислява по формулата:

Пример: намерете производната на функция:

Решение:

В горния пример срещаме израза:

Четвърто правило: производна на частното на две функции

Формула за определяне на производната на частното на две функции:

С всякакви въпроси по тази и други теми можете да се свържете със студентската служба. За кратко време ще ви помогнем да решите най-трудния тест и да разберете задачите, дори ако никога преди не сте правили производни изчисления.

ПЪРВА ПРОИЗВОДНА

(първа производна)Скоростта, с която стойността на функция се увеличава, когато нейният аргумент се увеличава във всяка точка, ако самата функция е дефинирана в тази точка. На графиката първата производна на функция показва нейния наклон. Ако y=f(x),неговата първа производна в точката x0е границата, към която клони f(x0+а)–f(x0)/акато Аклони към безкрайно малка стойност. Първата производна може да бъде означена dy/dxили y´(x).функция y(x)има постоянна стойност в точка x0,Ако dy/dxв точката x0е равно на нула. Необходима е първа производна, равна на нула, но недостатъчно състояниеза да може функцията да достигне своя максимум или минимум в дадена точка.

икономичност. Речник. - М.: "ИНФРА-М", Издателство "Вес Мир". Дж. Блек. Общо издание: доктор по икономика Осадчая И.М.. 2000 .

Икономически речник. 2000 .

Вижте какво е "ПЪРВО ПРОИЗВОДНО" в други речници:

- (производна) Скоростта, с която стойността на функция се увеличава, когато нейният аргумент се увеличава във всяка точка, ако самата функция е дефинирана в тази точка. На графиката първата производна на функция показва нейния наклон. Ако y=f(x), неговата първа производна в точката... ... Икономически речник

Този термин има други значения, вижте Производно. Илюстрация на концепцията за производна Производна ... Wikipedia

Производната е основната концепция на диференциалното смятане, характеризираща скоростта на промяна на функция. Дефинира се като границата на отношението на нарастването на функция към увеличението на нейния аргумент, когато увеличението на аргумента клони към нула, ако такова ограничение... ... Wikipedia

Проблем с гранични стойности специален тип; се състои в намиране на решение в областта на Dvariables x=(x1,..., x n). диференциално уравнение(1) от четен ред 2m за дадени стойности на всички производни от ред не по-висок от m на границата S на област D (или част от нея) ... Математическа енциклопедия

- (втора производна) Първата производна на първата производна на функцията. Първата производна измерва наклона на функцията; втората производна измерва как наклонът се променя с увеличаване на аргумента. Втора производна на y = f(x)… … Икономически речник

Тази статия или раздел се нуждае от преразглеждане. Моля, подобрете статията в съответствие с правилата за писане на статии. Дробна за ... Уикипедия

- (кръстосана частична производна) Ефектът от промяна на един аргумент на функция от две или повече променливи върху производната на дадена функция, взета по отношение на друг аргумент. Ако y=f(x,z), тогава неговата производна или първата производна на функцията y по отношение на аргумента x е равна на... ... Икономически речник

аналог на точковата скорост- Първата производна на движението на точка по обобщената координата на механизма...

аналог на ъгловата скорост на връзката- Първата производна на ъгъла на завъртане на връзката по отношение на обобщената координата на механизма... Политехнически терминологичен тълковен речник

обобщена скорост на механизма- Първата производна на обобщената координата на механизма по отношение на времето... Политехнически терминологичен тълковен речник

Книги

Колекция от задачи по диференциална геометрия и топология, Mishchenko A.S.. Тази колекция от задачи има за цел да отрази възможно най-много съществуващи изискваниякъм курсове по диференциална геометрия и топология, както от нови програми, така и от други курсове...
Моите научни статии. Книга 3. Методът на матриците на плътността в квантовите теории на лазер, произволен атом, Бондарев Борис Владимирович. Тази книга публикува рецензии научни статии, в който методът на матриците на плътността излага нови квантови теориилазер, произволен атом и квантов осцилатор със затихване...

Много лесен за запомняне.

Е, нека не отиваме далеч, нека веднага разгледаме обратната функция. Коя функция е обратна на експоненциалната функция? Логаритъм:

В нашия случай основата е числото:

Такъв логаритъм (т.е. логаритъм с основа) се нарича „естествен“ и ние използваме специална нотация за него: пишем вместо това.

На какво е равно? разбира се

Производната на естествения логаритъм също е много проста:

Примери:

Намерете производната на функцията.
Каква е производната на функцията?

Отговори: Експоненциалният и естественият логаритъм са уникално прости функции от производна гледна точка. Експоненциалните и логаритмичните функции с всяка друга основа ще имат различна производна, която ще анализираме по-късно, след като преминем през правилата за диференциране.

Правила за диференциране

Правила на какво? Пак нов мандат, пак?!...

Диференциацияе процесът на намиране на производната.

това е всичко Как иначе можете да наречете този процес с една дума? Не производна... Математиците наричат диференциала същото нарастване на функция при. Този термин идва от латинския differentia - разлика. тук

Когато извличаме всички тези правила, ще използваме две функции, например и. Ще ни трябват и формули за техните увеличения:

Има общо 5 правила.

Константата се изважда от знака за производна.

Ако - някакво постоянно число (константа), тогава.

Очевидно това правило работи и за разликата: .

Нека го докажем. Нека бъде или по-просто.

Примери.

Намерете производните на функциите:

в точка;
в точка;
в точка;
в точката.

Решения:

(производната е една и съща във всички точки, тъй като това линейна функция, помниш ли?);

Производно на продукта

Тук всичко е подобно: да влезем нова функцияи намерете увеличението му:

Производна:

Примери:

Намерете производните на функциите и;
Намерете производната на функцията в точка.

Решения:

Производна на експоненциална функция

Сега знанията ви са достатъчни, за да научите как да намирате производната на всяка експоненциална функция, а не само на експоненти (забравили ли сте вече какво е това?).

И така, къде е някакво число.

Вече знаем производната на функцията, така че нека се опитаме да намалим нашата функция до нова основа:

За целта ще използваме едно просто правило: . След това:

Е, проработи. Сега опитайте да намерите производната и не забравяйте, че тази функция е сложна.

проработи ли

Ето, проверете сами:

Формулата се оказа много подобна на производната на експонента: както беше, остава същата, само се появи фактор, който е просто число, но не и променлива.

Примери:
Намерете производните на функциите:

Отговори:

Това е просто число, което не може да се изчисли без калкулатор, тоест не може да се запише повече в проста форма. Затова го оставяме в този вид в отговора.

Имайте предвид, че тук е частното на две функции, така че прилагаме съответното правило за диференциране:

В този пример продуктът на две функции:

Производна на логаритмична функция

Тук е подобно: вече знаете производната на естествения логаритъм:

Следователно, за да намерите произволен логаритъм с различна основа, например:

Трябва да намалим този логаритъм до основата. Как се променя основата на логаритъм? Надявам се, че помните тази формула:

Само сега вместо това ще напишем:

Знаменателят е просто константа (постоянно число, без променлива). Производната се получава много просто:

Производни на експоненциална и логаритмични функциипочти никога не се появяват в Единния държавен изпит, но няма да навреди да ги знаете.

Производна на сложна функция.

Какво е "сложна функция"? Не, това не е логаритъм и не е арктангенс. Тези функции могат да бъдат трудни за разбиране (въпреки че ако намирате логаритъма за труден, прочетете темата „Логаритми“ и ще се оправите), но от математическа гледна точка думата „комплексен“ не означава „труден“.

Представете си малка конвейерна лента: двама души седят и извършват някакви действия с някакви предмети. Например, първият увива шоколадово блокче в обвивка, а вторият го завързва с панделка. Резултатът е съставен обект: шоколадово блокче, увито и завързано с панделка. За да изядете блокче шоколад, трябва да направите обратните стъпки в обратен ред.

Нека създадем подобен математически конвейер: първо ще намерим косинуса на число и след това ще повдигнем на квадрат полученото число. И така, дадено ни е число (шоколад), аз намирам неговия косинус (обвивка), а след това вие повдигате на квадрат полученото (завързвате го с панделка). какво стана функция. Това е пример за сложна функция: когато, за да намерим нейната стойност, извършваме първото действие директно с променливата и след това второ действие с това, което е резултат от първото.

С други думи, сложна функция е функция, чийто аргумент е друга функция: .

За нашия пример,.

Можем лесно да направим същите стъпки в обратен ред: първо го повдигате на квадрат, а аз след това търся косинуса на полученото число: . Лесно е да се досетите, че резултатът почти винаги ще бъде различен. Важна характеристикасложни функции: когато редът на действията се промени, функцията се променя.

Втори пример: (същото нещо). .

Действието, което извършваме последно, ще бъде извикано "външна" функция, а първо извършеното действие - съотв "вътрешна" функция(това са неофициални имена, използвам ги само за да обясня материала на прост език).

Опитайте се да определите сами коя функция е външна и коя вътрешна:

Отговори:Разделянето на вътрешни и външни функции е много подобно на промяната на променливи: например във функция

Какво действие ще извършим първо? Първо, нека изчислим синуса и едва след това го кубираме. Това означава, че това е вътрешна функция, но външна.
А оригинална функцияе техният състав: .
Вътрешен: ; външен: .
Изпит:.
Вътрешен: ; външен: .
Изпит:.
Вътрешен: ; външен: .
Изпит:.
Вътрешен: ; външен: .
Изпит:.

Променяме променливи и получаваме функция.

Е, сега ще извлечем нашето шоколадово блокче и ще потърсим производната. Процедурата винаги е обратна: първо търсим производната на външната функция, след това умножаваме резултата по производната на вътрешната функция. Във връзка с оригиналния пример изглежда така:

Друг пример:

И така, нека най-накрая формулираме официалното правило:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

Изглежда просто, нали?

Нека проверим с примери:

Решения:

1) Вътрешен: ;

Външен: ;

2) Вътрешен: ;

(Само не се опитвайте да го отрежете досега! Нищо не излиза изпод косинуса, помните ли?)

3) Вътрешен: ;

Външен: ;

Веднага става ясно, че това е сложна функция на три нива: в крайна сметка това вече е сложна функция сама по себе си и ние също извличаме корена от нея, тоест извършваме третото действие (поставете шоколада в обвивка и с панделка в куфарчето). Но няма причина да се страхувате: ние все пак ще „разопаковаме“ тази функция в същия ред, както обикновено: от края.

Тоест, първо диференцираме корена, след това косинуса и едва след това израза в скоби. И след това умножаваме всичко.

В такива случаи е удобно действията да се номерират. Тоест нека си представим това, което знаем. В какъв ред ще извършим действия за изчисляване на стойността на този израз? Да разгледаме един пример:

Колкото по-късно се извърши действието, толкова по-„външна“ ще бъде съответната функция. Последователността на действията е същата като преди:

Тук гнезденето обикновено е 4-степенно. Да определим хода на действие.

1. Радикален израз. .

2. Корен. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Събираме всичко заедно: