Абсцисната и ординатната ос се наричат координати вектор. Векторните координати обикновено се посочват във формуляра (x, y), а самият вектор като: =(x, y).

Формула за определяне на векторни координати за двумерни задачи.

В случай на двумерна задача, вектор с известни координати на точки A(x 1;y 1)И Б(х 2 ; г 2 ) може да се изчисли:

= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Формула за определяне на векторни координати за пространствени задачи.

В случай на пространствен проблем, вектор с известни координати на точкиА (x 1; y 1;z 1 ) и Б (х 2 ; г 2 ; z 2 ) може да се изчисли по формулата:

= (х 2 - х 1 ; г 2 - г 1 ; z 2 - z 1 ).

Координатите предоставят цялостно описание на вектора, тъй като е възможно да се конструира самият вектор с помощта на координатите. Познавайки координатите, е лесно да се изчисли и дължина на вектора. (Имот 3 по-долу).

Свойства на векторните координати.

1. Всякакви равни вектори V единна системакоординати имат равни координати.

2. Координати колинеарни векторипропорционален. При условие, че нито един от векторите не е нула.

3. Квадратът на дължината на произволен вектор е равен на сумата от квадратите на неговия координати.

4. По време на операция векторно умножениена реално числовсяка негова координата се умножава по това число.

5. При събиране на вектори изчисляваме сбора на съответния векторни координати.

6. Точков продуктдва вектора е равна на сумата от произведенията на съответните им координати.

Аналитична геометрия

Седмица на събитието

Оценка на модула в точки

контрол на модула

Максимум

минимум

Семестър 1

ДЗ No1, част 1

ДЗ №1, част 2

Контрол по модул №1

Наградни точки

Контрол по модул №2

Наградни точки

Контролни мерки и срокове за прилагането им Модул 1

1. ДЗ № 1 част 1 “Векторна алгебра” Срок за издаване 2 седмици, краен срок - 7 седмици

2. ДЗ №1 част 2 “Прави и равнини”

Срокът за издаване е 1 седмица, а падежът е 9 седмици

3. Контролна работа по модул №1 (РК №1) „Векторна алгебра, прави и равнини.“ Продължителност: 10 седмици

1. ДЗ № 2 „Криви и повърхнини 2-ра поръчка" Време за издаване 6 седмици, краен срок - 13 седмици

5. Тест "Криви и повърхнини" 2-ра поръчка." Продължителност: 14 седмици

6. Контрол по модул № 2 (РК № 2) „Матрици и системи от линейни алгебрични уравнения”

Продължителност: 16 седмици

Типични задачи, използвани при формиране на варианти за текущ контрол

1. домашна работаномер 1. "Векторна алгебра и аналитична геометрия"

Дадени са: точки A (0;3;2) , B (1;4;2) , D (0;1;2) ,

A(1;2;0); числа 30,

b 1; ъгъл

1. Намерете дължината на вектора |

n | , Ако

p aq,

n bp q

и p, q са единични

вектори, чиито ъгли са равни.

2. Намерете координатите на точката M, разделяща вектора AB в отношение a:1.

3. Проверете дали е възможно на вектори AB и AD построяват успоредник. Ако да, тогава намерете дължините на страните на успоредника.

4. Намерете ъглите между диагоналите на успоредник ABCD.

5. Намерете лицето на успоредника ABCD.

6. Уверете се, че на векторите AB, AD, AA 1 можете да построите паралелепипед. Намерете обема на този паралелепипед и дължината на височината му.

7. Намерете векторни координати AH, насочена по височината на паралелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, начертан от точка A към основната равнина A 1 B 1 C 1 D 1,

координати на точка H и координати на единичен вектор, съвпадащ по посока с вектор AH.

8. Намерете векторното разлагане AH чрез вектори AB, AD, AA 1.

9. Намерете проекцията на вектора AH към вектор AA 1.

10. Напишете уравненията на равнините: а) P, минаващи през точки A, B, D;

б) P1, минаваща през точка A и права A1 B1;

в) P2, минаваща през точка A1 успоредна на равнина P; d) P3, съдържащи прави AD и AA1;

д) P4, минаваща през точки A и C1, перпендикулярна на равнина P.

11. Намерете разстоянието между правите, на които лежат ръбовете AB и CC 1 ; напишете канонични и параметрични уравнения на общия перпендикуляр към тях.

12. Намерете точка A 2, симетрична на точка A1 спрямо равнината на основата

13. Намерете ъгъла между правата, на която лежи диагоналът A 1 C, и основната равнина ABCD.

14. Намерете остър ъгълмежду равнините ABC 1 D (равнина P) и ABB1 A1 (равнина P1).

2. Домашна работа #2. "Криви и повърхнини от втори ред"

В задачи 1–2 приведете даденото уравнение на права от втори ред в каноничен вид и построете крива в координатната система OXY.

IN Задача 3, като използвате дадените данни, намерете уравнението на кривата в координатната система OXY. За задачи 1–3 означават:

1) канонична форма на уравнението на линията;

2) трансформация паралелен трансфер, водещи до каноничната форма;

3) при елипса: полуоси, ексцентричност, център, върхове, фокуси, разстояния от точка С до фокуси; при хипербола: полуоси, ексцентричност, център, върхове, фокуси, разстояния от точка С до фокуси, уравнения на асимптоти; в случай на парабола: параметър, връх, фокус, уравнение на директрисата, разстояния от точка C до фокуса и директрисата;

4) за точка C проверете свойството, което характеризира този тип крива като геометрично място на точки.

IN Задача 4 посочва паралелната транслационна трансформация, която привежда даденото уравнение на повърхността до канонична форма, каноничната форма на уравнението на повърхността и вида на повърхността. Построяване на повърхност в каноничната координатна система OXYZ.

5x 2 y 2 20x 2y 4 , C (0;1

2) 5x 2 4y 2 20x 8y 64 , C (12;14) .

5) ;

Параболата е симетрична спрямо правата y 1 0 и има фокус

; 1 ,

пресича оста OX в точка С

; 0 , а клоновете му лежат в полуравнината

x 0 .

4y 2 z 2 8y 4z 1 0 .

Тест по модул № 1 „Векторна алгебра. Аналитична геометрия”

1. Дясна и лява тройка вектори. Определение векторен продуктвектори. Формулирайте свойствата на векторното произведение на векторите. Изведете формула за изчисляване на векторното произведение на два вектора, зададени от техните координати в ортонормална основа.

вектори

аз н,

мн,

1, m, n

може би,

векторно разлагане

c 3 i

12 j 6k

вектори

3 j 2 k и b 2 i 3 j 4 k.

Запишете уравнението на равнината,

преминаващ през точки M 1 5, 1, 4,

M 2 2, 3,1 и

перпендикулярна на равнината

6x 5y 4z 1 0. Напишете канонични уравнения

права, минаваща през точката M 0 0, 2,1 и ортогонална на намерената равнина.

Тест "Криви и повърхнини от втори ред"

1. Дефиниция на елипса като геометрично място на точки. Извеждане на каноничното уравнение на елипса в правоъгълник Декартова системакоординати Основни параметри на кривата.

2. Уравнение на повърхността x 2 4y 2 z 2 8x 4y 6z 17 0 води до каноничен

ум. Направете чертеж в каноничната координатна система. Посочете името на тази повърхност.

3. Напишете уравнение за равноосна хипербола, ако са известни нейният център O 1 1, 1 и един от фокусите й F 1 3, 1. Направете рисунка.

Тест по модул № 2 „Криви и повърхнини от втори ред. Матрици и системи от линейни алгебрични уравнения"

1. Хомогенни системи от линейни алгебрични уравнения (СЛАУ). Форми на запис на хомогенни SLAE. Доказателство за критерий за съществуване на ненулеви решения на хомогенна СЛАУ.

2. Решете матрично уравнениеСЕКИРА Б

Направете проверка.

3. а) Решете SLAE. б) Намерете нормалната фундаментална система от решения на съответната хомогенна система, частно решение на нееднородната система; напишете чрез тях общото решение на тази нехомогенна система:

x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 4 x 2 x 3 x 4 3

x 1 3 x 2 3 x 4 1

7 x 2 3 x 3 x 4 3

Въпроси за подготовка за модулни тестове, тестова работа, тест и изпит

1. Геометрични вектори. Безплатни вектори. Дефиниция на колинеарни и компланарни вектори. Линейни операции върху вектори и техните свойства.

2. Определение линейна зависимости линейна независимост на векторите. Доказателства за условия на линейна зависимост 2 и 3 вектора.

3. Дефиниция на базис във векторни пространства V 1, V 2, V 3. Доказателство на теоремата за съществуването и единствеността на разлагането на вектор спрямо базис. Линейни операции върху вектори, зададени от техните координати в базиса.

4. Определение на скаларното произведение на векторите, връзката му с ортогоналната проекция на вектора върху оста. Свойства на скаларното произведение, тяхното доказателство. Извеждане на формулата за изчисляване на скаларното произведение на вектори в ортонормален базис.

5. Дефиниция на ортонормална основа. Връзка между координатите на вектор в ортонормална база и неговите ортогонални проекциикъм векторите на тази основа. Извеждане на формули за изчисляване на дължината на вектор, неговите насочващи косинуси и ъгъла между два вектора в ортонормална основа.

6. Дясна и лява тройка вектори. Определение на векторното произведение на векторите, неговото механично и геометрично значение. Свойства на векторния продукт (бездокумент). Извеждане на формулата за изчисляване на векторното произведение в ортонормален базис.

7. Дефиниция на смесено произведение на вектори. Обем на паралелепипед и обем на пирамида, изградени върху некомпланарни вектори. Условие за копланарност на три вектора. Свойства на смесен продукт. Извеждане на формула за изчисляване на смесен продукт в ортонормална база.

8. Дефиниция на правоъгълна декартова координатна система. Решаване на най-прости задачи от аналитичната геометрия.

9. Различни видове уравнения на права върху равнина: векторни, параметрични, канонични. Векторът на посоката е прав.

10. Извеждане на уравнението на права, минаваща през две дадени точки.

11. Доказателство на теоремата, че в правоъгълна декартова координатна система върху равнина уравнение от първа степен определя права линия. Определяне на нормален вектор на права.

12. Уравнение с ъглов коефициент, уравнение на права линия „отсечки“. Геометричен смисъл на параметрите, включени в уравненията. Ъгълът между две прави. Условия за успоредност и перпендикулярност на две прави, дадени от техните общи или канонични уравнения.

13. Извеждане на формулата за разстоянието от точка до права на равнина.

14. Доказателство на теоремата, че в правоъгълна декартова координатна система в пространството уравнение от първа степен определя равнина. Общо уравнениесамолет. Определяне на нормален вектор на равнина. Извеждане на уравнението на равнина, минаваща през дадени три точки. Уравнение на равнината "в сегменти".

15. Ъгъл между равнините. Условия за успоредност и перпендикулярност на две равнини.

16. Извеждане на формулата за разстоянието от точка до равнина.

17. Общи уравнения на права линия в пространството. Извеждане на векторни, канонични и параметрични уравнения на права линия в пространството.

18. Ъгълът между две прави линии в пространството, условията на успоредност и перпендикулярност на две прави линии. Условия две прави да принадлежат на една и съща равнина.

19. Ъгълът между права линия и равнина, условията на успоредност и перпендикулярност на права линия и равнина. Условие правата да принадлежи на дадена равнина.

20. Проблемът за намиране на разстоянието между пресичащи се или успоредни прави.

21. Дефиниция на елипса като геометрично място на точки. Извеждане на каноничното уравнение на елипсата.

22. Дефиниция на хипербола като геометрично място на точки. Извеждане на уравнението на каноничната хипербола.

23. Дефиниция на парабола като геометрично място на точки. Извеждане на уравнението на каноничната парабола.

24. Дефиниция на цилиндрична повърхност. Канонични уравненияцилиндрични повърхности 2-ра поръчка.

25. Концепцията за повърхността на въртене. Канонични уравнения на повърхнини, образувани от въртене на елипса, хипербола и парабола.

26. Канонични уравнения на елипсоид и конус. Изследване на формата на тези повърхности по метода на сеченията.

27. Канонични уравнения на хиперболоиди. Изследване на формата на хиперболоидите по метода на сеченията.

28. Канонични уравнения на параболоиди. Изследване на формата на параболоидите по метода на сеченията.

29. Концепцията за матрица. Видове матрици. Матрично равенство. Линейни операции върху матрици и техните свойства. Транспониране на матрици.

30. Матрично умножение. Свойства на операцията умножение на матрица.

31. Определение обратна матрица. Доказателство за уникалността на обратната матрица. Доказателство на теоремата за обратната матрица на произведението на две обратими матрици.

32. Критерий за съществуване на обратна матрица. Понятието присъединена матрица, нейната връзка с обратната матрица.

33. Извеждане на формули на Крамер за решаване на системата линейни уравненияс неособена квадратна матрица.

34. Линейна зависимост и линейна независимостредове (колони) на матрицата. Доказателство на критерия за линейна зависимост на редове (колони).

35. Дефиниция на матричен минор. Основен минор. Теоремата за основата минор (без докуа). Доказателство за неговото следствие за квадратни матрици.

36. Методът на гранични минори за намиране на ранга на матрица.

37. Елементарни трансформации на матрични редове (колони). Намиране на обратната матрица чрез метода на елементарните трансформации.

38. Теорема за инвариантността на ранга на матрица при елементарни преобразувания. Намиране на ранг на матрица чрез метода на елементарните трансформации.

39. Системи от линейни алгебрични уравнения (СЛАУ). Различни формиЗаписи на СЛАУ. Съвместни и несъвместими SLAE. Доказателство за критерия на Кронекер-Капел за съвместимост на SLAE.

40. Хомогенни системи от линейни алгебрични уравнения (СЛАУ). Свойства на техните разтвори.

41. Определяне на фундаментална система от решения (FSS) на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения (SLAE). Теорема за структурата на общото решение на хомогенна СЛАУ. Изграждане на FSR.

42. Нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения (СЛАУ). Доказателство на теоремата за структурата на общото решение на нехомогенна СЛАУ.

Контролно събитие

Брой задачи

Точки за задачата

ДЗ No1, част 1

Спечелени точки

Контролно събитие

Брой задачи

Точки за задачата

ДЗ №1, част 2

Спечелени точки

Контролно събитие

Брой задачи

Точки за задачата

Контрол по модул №1

1 теория и 3 задачи

теория – 0; 3; 6

задачи - 0; 1; 2

Спечелени точки

Контролно събитие

Брой задачи

Точки за задачата

Спечелени точки

Контролно събитие

Брой задачи

Точки за задачата

1 теория и 3 задачи

теория – 0; 3; 6

задачи - 0; 1; 2

Спечелени точки

01 теория и 3 задачи

теория – 0; 3; 6

задачи - 0; 1; 2

Спечелени точки

Правила за поставяне на точки в списанието

1. Точки за дистанционно управление. Точките за ДЗ се дават на следващата седмицаслед падежа, съгласно съответната таблица. Студентът има право да предава самостоятелни задачи за проверка по-рано от крайния срок и да коригира констатирани от преподавателя грешки, като получава необходимите консултации. Ако до крайния срок за предаване на задачата ученикът доведе решението на задачата до правилния вариант, тогава той ще бъде награден максимален резултат. След изтичане на срока за предаване на заданието студент, който не е постигнал минималния резултат от заданието, може да продължи работа по заданието. Освен това, в случай успешна работастудентът се кредитира минимален резултатза ДЗ.

2. Точки за CD. Ако студентът не постигне минималния резултат за CD навреме, тогава през семестъра той може да пренапише тази работа два пъти. Ако резултатът е положителен (баловете не са по-ниски от установения минимум), на ученика се дава минималната оценка за CD.

3. Точки за “модулен контрол”.Като „модулен контрол“ се предлага писмена работа, състоящ се от теоретични и практични части. Всяка част от модулния контрол се оценява отделно. Студент, който получи оценка не по-ниска от минималната в една от частите на теста, се счита за издържал тази част и се освобождава от попълване в бъдеще. По преценка на преподавателя може да се проведе събеседване върху теоретичната част на заданието. Ако студентът не постигне установения минимум за всяка част от работата, тогава през семестъра той има два опита за всяка част, за да коригира ситуацията. Ако е положителен

В резултат на това (набор от точки не по-малко от установения минимум) студентът получава минимална оценка за „модулен контрол“.

4. Модулна оценка.Ако студентът е изпълнил всички текущи контролни дейности на модула (постигнал поне установения минимален резултат),

тогава оценката за модула е сумата от точки за всички контролни дейности на модула (в този случай студентът автоматично получава най-малко минималния праг). Окончателните оценки за модула се записват в дневника след приключване на всички контролни дейности.

5. Общ резултат. Сбор от точки за два модула.

6. Оценяване. Окончателното удостоверяване (изпит, диференциран тест, тест) се извършва въз основа на резултатите от работата през семестъра, след като студентът е завършил планирания обем учебни произведенияи получаване на оценка за всеки модул не по-ниска от минимално установената. Максималният сбор от точки за всички модули, включително точките за старание, е 100, минималният – 60. Сборът от точки за всички модули формира рейтинговата оценка по дисциплината за семестъра. Студент, издържал всички контролни прояви, получава окончателна оценка по дисциплината за семестъра в съответствие със скалата:

резултат от изпита,

Оценка на теста

диференцирано класиране

задоволително

незадоволителен

Можете да повишите рейтинга си и съответно оценката си от изпита на финалния изпит (писмена работа върху материала на дисциплината като цяло, проведена по време на изпитната сесия), максималната оценка е 30, минималната е -16 . Тези точки се сумират с получените точки за всички модули по дисциплината. В същото време, за да повиши оценката до „добър“ за изпита, студентът трябва да получи най-малко 21 точки, до „отличен“ ─ поне 26 точки. За специалности, в които се дава кредит по дисциплината, оценката не се повишава. Студентите, които имат рейтинг от 0-59 в началото на изпитната сесия, получават необходимия минимум за получаване на положителна оценка по дисциплината чрез повторно полагане на неиздържани контролни работи по отделните модули. В същото време учениците, които нямат добра причина, може в крайна сметка (до края на изпитната сесия) да получи оценка не по-висока от „задоволителна“.

Най-после се сдобих с тази обширна и дългоочаквана тема. аналитична геометрия. Първо, малко за този раздел на висшата математика... Със сигурност си спомняте училищен курс по геометрия с множество теореми, техните доказателства, чертежи и т.н. Какво да крия, нелюбим и често неясен предмет за значителна част от учениците. Колкото и да е странно, аналитичната геометрия може да изглежда по-интересна и достъпна. Какво означава прилагателното „аналитичен“? Две клиширани математически фрази веднага идват на ум: „метод на графично решение“ и „метод на аналитично решение“. Графичен метод , разбира се, е свързано с изграждането на графики и чертежи. Аналитиченсъщото методвключва решаване на проблеми главночрез алгебрични операции. В това отношение алгоритъмът за решаване на почти всички проблеми на аналитичната геометрия е прост и прозрачен, често е достатъчно внимателно да се прилага необходимите формули- и отговорът е готов! Не, разбира се, няма да можем да направим това без рисунки и освен това, за по-добро разбиране на материала, ще се опитам да ги цитирам извън необходимостта.

Новооткритият курс от уроци по геометрия не претендира да бъде теоретично завършен; той е насочен към решаване на практически задачи. В моите лекции ще включвам само това, което от моя гледна точка е важно в практически план. Ако имате нужда от по-пълна помощ за някой подраздел, препоръчвам следната доста достъпна литература:

1) Нещо, с което, без шега, са запознати няколко поколения: Училищен учебник по геометрия, автори – Л.С. Атанасян и компания. Тази закачалка за училищна съблекалня вече е преминала през 20 (!) Препечатки, което, разбира се, не е ограничението.

2) Геометрия в 2 тома. автори Л.С. Атанасян, Базилев В.Т.. Това е литература за гимназия, ще ви трябва първи том. Рядко срещаните задачи могат да изпаднат от погледа ми и наръчник за обучениеще окаже безценна помощ.

И двете книги могат да бъдат изтеглени безплатно онлайн. Освен това можете да използвате моя архив с готови решения, които можете да намерите на страницата Изтегляне на примери по висша математика.

Сред инструментите отново предлагам собствена разработка - софтуерен пакетв аналитичната геометрия, което значително ще опрости живота и ще спести много време.

Предполага се, че читателят е запознат с основните геометрични понятия и фигури: точка, права, равнина, триъгълник, паралелограм, паралелепипед, куб и др. Препоръчително е да запомните някои теореми, поне теоремата на Питагор, здравейте на повторителите)

И сега ще разгледаме последователно: понятието вектор, действия с вектори, векторни координати. Препоръчвам да прочетете допълнително най-важната статия Точково произведение на вектори, а също така Вектор и смесено произведение на вектори. Локална задача - Разделяне на сегмент в това отношение - също няма да бъде излишна. Въз основа на горната информация можете да овладеете уравнение на права в равнинас най-прости примери за решения, което ще позволи научете се да решавате геометрични задачи. Следните статии също са полезни: Уравнение на равнина в пространството, Уравнения на права в пространството, Основни задачи за права линия и равнина, други раздели на аналитичната геометрия. Естествено, стандартните задачи ще бъдат разгледани по пътя.

Векторна концепция. Безплатен вектор

Първо, нека повторим училищната дефиниция на вектор. векторнаречен насоченисегмент, за който са посочени неговото начало и край:

В този случай началото на сегмента е точката, краят на сегмента е точката. Самият вектор се означава с . Посокае от съществено значение, ако преместите стрелката в другия край на сегмента, получавате вектор и това вече е напълно различен вектор. Концепцията за вектор е удобно идентифицирана с движение физическо тяло: Съгласете се, влизането през вратите на института или излизането от вратите на института са съвсем различни неща.

Удобно е отделни точки от една равнина или пространство да се разглеждат като т.нар нулев вектор. За такъв вектор краят и началото съвпадат.

!!! Забележка: Тук и по-нататък можете да приемете, че векторите лежат в една равнина или можете да приемете, че са разположени в пространството - същността на изложения материал е валидна както за равнината, така и за пространството.

Обозначения:Мнозина веднага забелязаха пръчката без стрелка в обозначението и казаха, че има и стрелка в горната част! Вярно, че можете да го напишете със стрелка: , но и това е възможно записът, който ще използвам в бъдеще. защо Очевидно този навик се е развил по практически причини; стрелците ми в училище и университета се оказаха твърде различни по размер и рошави. В образователната литература понякога те изобщо не се занимават с клинописно писане, а подчертават буквите с удебелен шрифт: , като по този начин намекват, че това е вектор.

Това беше стилистика, а сега относно начините за писане на вектори:

1) Векторите могат да бъдат написани с две главни латински букви:
и така нататък. В този случай първата буква Задължителнообозначава началната точка на вектора, а втората буква обозначава крайната точка на вектора.

2) Векторите също се изписват с малки латински букви:
По-специално, за краткост нашият вектор може да бъде преозначен като малък латиница.

Дължинаили модулненулев вектор се нарича дължина на сегмента. Дължината на нулевия вектор е нула. Логично.

Дължината на вектора се обозначава със знака за модул: ,

Ще научим как да намираме дължината на вектор (или ще го повторим, зависи кой) малко по-късно.

Това беше основна информация за векторите, позната на всички ученици. В аналитичната геометрия т.нар безплатен вектор.

Казано по-просто - векторът може да се начертае от всяка точка:

Ние сме свикнали да наричаме такива вектори равни (дефиницията на равни вектори ще бъде дадена по-долу), но от чисто математическа гледна точка те са ЕДИН И СЪЩ ВЕКТОР или безплатен вектор. Защо безплатно? Защото в хода на решаване на проблеми можете да „прикрепите“ този или онзи „училищен“ вектор към ВСЯКА точка от равнината или пространството, от което се нуждаете. Това е много готина функция! Представете си насочен сегмент с произволна дължина и посока - той може да бъде "клониран" безкраен брой пъти и във всяка точка на пространството, всъщност той съществува НАВСЯКЪДЕ. Има една студентска поговорка: На всеки преподавател му пука за вектора. В крайна сметка това не е просто остроумна рима, всичко е почти правилно - там може да се добави и насочен сегмент. Но не бързайте да се радвате, често страдат самите ученици =)

така че безплатен вектор- Това много еднакви насочени сегменти. Определение за училищевектор, даден в началото на параграфа: „Насочен сегмент се нарича вектор...“ предполага специфиченнасочен сегмент, взет от дадено множество, който е свързан с определена точка в равнината или пространството.

Трябва да се отбележи, че от гледна точка на физиката концепцията за свободен вектор в общ случайе неправилно и има значение точката на приложение. Наистина, директен удар с еднаква сила по носа или челото, достатъчен, за да развия моя глупав пример, води до различни последствия. обаче несвободенвектори се намират и в хода на vyshmat (не отивайте там :)).

Действия с вектори. Колинеарност на вектори

Училищният курс по геометрия обхваща редица действия и правила с вектори: събиране по правилото на триъгълника, събиране по правилото на успоредника, правило за векторна разлика, умножение на вектор с число, скаларно произведение на вектори и др.Като отправна точка нека повторим две правила, които са особено подходящи за решаване на задачи от аналитичната геометрия.

Правилото за добавяне на вектори с помощта на правилото на триъгълника

Помислете за два произволни ненулеви вектора и:

Трябва да намерите сумата от тези вектори. Поради факта, че всички вектори се считат за свободни, ще отделим вектора от крайвектор:

Сумата от вектори е векторът. За по-добро разбиране на правилото е препоръчително да включите физически смисъл: нека някакво тяло пътува по вектор, а след това по вектор. Тогава сумата от вектори е векторът на резултантния път с начало в началната точка и край в точката на пристигане. Подобно правило е формулирано за сумата от произволен брой вектори. Както се казва, тялото може да върви по своя път много постно по зигзаг или може би на автопилот - по резултантния вектор на сумата.

Между другото, ако векторът е отложен от започнавектор, тогава получаваме еквивалента правило на успоредникдобавяне на вектори.

Първо, относно колинеарността на векторите. Двата вектора се наричат колинеарен, ако лежат на една права или на успоредни прави. Грубо казано, говорим за паралелни вектори. Но по отношение на тях винаги се използва прилагателното „колинеарни“.

Представете си два колинеарни вектора. Ако стрелките на тези вектори са насочени в една и съща посока, тогава такива вектори се наричат съвместно режисиран. Ако стрелките сочат в различни посоки, тогава векторите ще бъдат противоположни посоки.

Обозначения:колинеарността на векторите се записва с обичайния символ за паралелизъм: , докато е възможно детайлизиране: (векторите са сънасочени) или (векторите са противоположно насочени).

Работатаненулев вектор върху число е вектор, чиято дължина е равна на , а векторите и са сънасочени към и противоположно насочени към .

Правилото за умножаване на вектор по число е по-лесно за разбиране с помощта на картина:

Нека го разгледаме по-подробно:

1) Посока. Ако множителят е отрицателен, тогава векторът променя посокатакъм обратното.

2) Дължина. Ако множителят се съдържа в или , тогава дължината на вектора намалява. Така дължината на вектора е половината от дължината на вектора. Ако модулът на множителя е по-голям от едно, тогава дължината на вектора увеличавана моменти.

3) Моля, имайте предвид, че всички вектори са колинеарни, докато един вектор се изразява чрез друг, например, . Обратното също е вярно: ако един вектор може да бъде изразен чрез друг, тогава такива вектори задължително са колинеарни. Така: ако умножим вектор по число, получаваме колинеарни(спрямо оригинала) вектор.

4) Векторите са ко-насочени. Вектори и също са съвместно насочени. Всеки вектор от първата група е противоположно насочен по отношение на всеки вектор от втората група.

Кои вектори са равни?

Два вектора са равни, ако са в една и съща посока и имат еднаква дължина. Обърнете внимание, че една насоченост предполага колинеарност на векторите. Определението би било неточно (излишно), ако кажем: „Два вектора са равни, ако са колинеарни, еднакви по посока и имат еднаква дължина.“

От гледна точка на концепцията за свободен вектор, равните вектори са един и същ вектор, както беше обсъдено в предишния параграф.

Векторни координати в равнината и пространството

Първата точка е да разгледаме векторите в равнината. Нека представим декартовото правоъгълна системакоординати и от началото на координатите отлагаме единиченвектори и:

Вектори и ортогонален. Ортогонално = Перпендикулярно. Препоръчвам ви бавно да свикнете с термините: вместо успоредност и перпендикулярност използваме думите съответно колинеарностИ ортогоналност.

Обозначение:Ортогоналността на векторите се записва с обичайния символ за перпендикулярност, например: .

Разглежданите вектори се наричат координатни векториили orts. Тези вектори образуват основав самолет. Какво е основа, мисля, че е интуитивно ясно за мнозина, повече подробна информацияможете да намерите в статията Линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторитеС прости думи, основата и произходът на координатите определят цялата система - това е един вид основа, върху която кипи пълен и богат геометричен живот.

Понякога изградената основа се нарича ортонормалнаоснова на равнината: “орто” - тъй като координатните вектори са ортогонални, прилагателното “нормализиран” означава единица, т.е. дължините на базисните вектори са равни на единица.

Обозначение:основата обикновено се изписва в скоби, вътре в които в строга последователностбазисните вектори са изброени, например: . Координатни вектори забранено епренареждам.

Всякаквиравнинен вектор единственият начинизразено като:
, къде - числакоито се наричат векторни координатив тази основа. И самият израз наречен векторно разлаганепо основа .

Сервирана вечеря:

Да започнем с първата буква от азбуката: . Чертежът ясно показва, че при разлагането на вектор в базис се използват току-що обсъдените:
1) правилото за умножаване на вектор с число: и ;
2) събиране на вектори по правилото на триъгълника: .

Сега мислено начертайте вектора от всяка друга точка на равнината. Съвсем очевидно е, че неговото упадък ще го „следва безмилостно“. Ето я свободата на вектора - векторът „носи всичко със себе си“. Това свойство, разбира се, е вярно за всеки вектор. Забавно е, че самите базисни (свободни) вектори не трябва да се изчертават от началото; Вярно е, че не е нужно да правите това, тъй като учителят също ще покаже оригиналност и ще ви изтегли „кредит“ на неочаквано място.

Векторите илюстрират точно правилото за умножение на вектор по число, векторът е съпосочен с основния вектор, векторът е насочен срещуположно на основния вектор. За тези вектори една от координатите е равна на нула, можете да го запишете така:


А базисните вектори, между другото, са така: (всъщност те се изразяват чрез себе си).

И накрая: , . Между другото, какво е векторно изваждане и защо не говорих за правилото за изваждане? Някъде в линейната алгебра, не помня къде, отбелязах, че изваждането е специален случайдопълнение. По този начин разширенията на векторите "de" и "e" лесно се записват като сума: , . Следвайте чертежа, за да видите колко ясно работи доброто старо добавяне на вектори според правилото на триъгълника в тези ситуации.

Разгледаното разлагане на формата понякога се нарича векторно разлагане в орт системата(т.е. в система от единични вектори). Но това не е единственият начин да напишете вектор;

Или със знак за равенство:

Самите базисни вектори се записват по следния начин: и

Тоест координатите на вектора са посочени в скоби. В практически задачи се използват и трите варианта на нотация.

Съмнявах се дали да говоря, но все пак ще го кажа: векторните координати не могат да бъдат пренареждани. Строго на първо мястозапишете съответната координата единичен вектор , строго на второ мястозаписваме координатата, която съответства на единичния вектор. Наистина и са два различни вектора.

Намерихме координатите на самолета. Сега нека да разгледаме векторите в триизмерното пространство, тук почти всичко е същото! Просто ще добави още една координата. Трудно е да се правят триизмерни рисунки, така че ще се огранича до един вектор, който за простота ще отделя от началото:

Всякакви 3D космически вектор единственият начин разширяване върху ортонормална основа:
, където са координатите на вектора (числото) в тази основа.

Пример от снимката: . Нека видим как работят векторните правила тук. Първо, умножете вектора по число: (червена стрелка), (зелена стрелка) и (малинова стрелка). Второ, ето пример за добавяне на няколко в това случай от три, вектори: . Векторът на сумата започва от началната точка на изход (началото на вектора) и завършва в крайната точка на пристигане (края на вектора).

Всички вектори на триизмерното пространство, естествено, също са свободни; опитайте се мислено да отделите вектора от всяка друга точка и ще разберете, че неговото разлагане „ще остане с него“.

Подобно на плоския случай, в допълнение към писането широко се използват варианти със скоби: или .

Ако един (или два) координатни вектора липсват в разширението, тогава на тяхно място се поставят нули. Примери:
вектор (щателно ) – да пишем ;
вектор (щателно ) – да пишем ;
вектор (щателно ) – да пишем.

Базисните вектори се записват, както следва:

Това може би са всички минимални теоретични познания, необходими за решаване на проблемите на аналитичната геометрия. Може да има много термини и определения, така че препоръчвам на чайниците да препрочетат и разберат тази информация отново. И ще бъде полезно за всеки читател да се обърне към него основен урокза по-добро усвояване на материала. Колинеарност, ортогоналност, ортонормална основа, векторно разлагане - тези и други понятия ще бъдат често използвани в бъдеще. Отбелязвам, че материалите на сайта не са достатъчни за преминаване на теоретичния тест или колоквиума по геометрия, тъй като аз внимателно криптирам всички теореми (и без доказателства) - в ущърб на научния стил на представяне, но плюс за вашето разбиране на темата. За да получите подробна теоретична информация, моля да се поклоните на проф. Атанасян.

И преминаваме към практическата част:

Най-простите задачи на аналитичната геометрия.
Действия с вектори в координати

Силно препоръчително е да научите как да решавате задачите, които ще се разглеждат напълно автоматично, и формулите запаметявам, дори не е нужно да го помните нарочно, те сами ще го запомнят =) Това е много важно, тъй като други проблеми на аналитичната геометрия се основават на най-простите елементарни примери и ще бъде досадно да прекарвате допълнително време в ядене на пешки . Няма нужда да закопчавате горните копчета на ризата, много неща са ви познати от училище.

Поднасянето на материала ще следва паралелен ход – както за самолета, така и за космоса. Поради причината, че всички формули... ще видите сами.

Как да намерим вектор от две точки?

Ако са дадени две точки от равнината и , тогава векторът има следните координати:

Ако са дадени две точки в пространството и , тогава векторът има следните координати:

т.е. от координатите на края на векторатрябва да извадите съответните координати началото на вектора.

Упражнение:За същите точки запишете формулите за намиране на координатите на вектора. Формули в края на урока.

Пример 1

Дадени са две точки от равнината и . Намерете векторни координати

Решение:по съответната формула:

Като алтернатива може да се използва следният запис:

Естетите ще решат това:

Лично аз съм свикнал с първия вариант на записа.

отговор:

Според условието не беше необходимо да се изгражда чертеж (което е типично за проблемите на аналитичната геометрия), но за да изясня някои точки за манекени, няма да бъда мързелив:

Определено трябва да разберете разлика между координатите на точката и векторните координати:

Координати на точки– това са обикновени координати в правоъгълна координатна система. Мисля, че всеки знае как се нанасят точки върху координатна равнина от 5-6 клас. Всяка точка има строго определено място в равнината и не може да бъде преместена никъде.

Координатите на вектора– това е разширяването му според основата, в случая. Всеки вектор е свободен, така че при желание или необходимост можем лесно да го отдалечим от някоя друга точка на равнината. Интересно е, че за векторите изобщо не е нужно да изграждате оси или правоъгълна координатна система; имате нужда само от основа, в този случай ортонормална основа на равнината.

Записите на координати на точки и координати на вектори изглеждат подобни: , и значение на координатитеабсолютно различни, и трябва да сте добре запознати с тази разлика. Тази разлика, разбира се, важи и за пространството.

Дами и господа, нека напълним ръцете си:

Пример 2

а) Дадени са точки и . Намерете вектори и .
б) Дават се точки И . Намерете вектори и .
в) Дадени са точки и . Намерете вектори и .
г) Дават се точки. Намерете вектори .

Може би това е достатъчно. Това са примери, които можете да решите сами, опитайте се да не ги пренебрегвате, ще ви се отплати ;-). Няма нужда да правите чертежи. Решения и отговори в края на урока.

Какво е важно при решаването на задачи по аналитична геометрия?Важно е да бъдете ИЗКЛЮЧИТЕЛНО ВНИМАТЕЛНИ, за да избегнете майсторската грешка „две плюс две е равно на нула“. Веднага се извинявам, ако съм сбъркал някъде =)

Как да намерим дължината на сегмент?

Дължината, както вече беше отбелязано, се обозначава със знака за модул.

Ако са дадени две точки от равнината и , тогава дължината на сегмента може да се изчисли с помощта на формулата

Ако са дадени две точки в пространството и , тогава дължината на сегмента може да се изчисли с помощта на формулата

Забележка: Формулите ще останат правилни, ако съответните координати се разменят: и , но първата опция е по-стандартна

Пример 3

Решение:по съответната формула:

отговор:

За по-голяма яснота ще направя чертеж

сегмент – това не е вектори, разбира се, не можете да го преместите никъде. Освен това, ако рисувате в мащаб: 1 единица. = 1 см (две клетки от тетрадка), тогава полученият отговор може да се провери с обикновена линийка чрез директно измерване на дължината на отсечката.

Да, решението е кратко, но в него има още няколко важни точкикоето бих искал да изясня:

Първо, в отговора поставяме измерението: „единици“. В условието не пише КАКВО е, милиметри, сантиметри, метри или километри. Следователно, математически правилното решение би било общата формулировка: „единици“ - съкратено като „единици“.

Второ, нека повторим училищен материал, което е полезно не само за разглеждания проблем:

Моля, обърнете внимание важно техническа техника – премахване на множителя изпод корена. В резултат на изчисленията имаме резултат и добрият математически стил включва премахване на фактора под корена (ако е възможно). По-подробно процесът изглежда така: . Разбира се, да оставим отговора такъв, какъвто е, няма да е грешка - но със сигурност би било недостатък и сериозен аргумент за заяждане от страна на учителя.

Ето и други често срещани случаи:

Често коренът произвежда доста голям брой, например . Какво да правим в такива случаи? С помощта на калкулатора проверяваме дали числото се дели на 4: . Да, беше напълно разделено, така че: . Или може би числото отново може да се раздели на 4? . Така: . Последната цифра на числото е нечетна, така че разделянето на 4 за трети път очевидно няма да работи. Нека се опитаме да разделим на девет: . В резултат на това:
Готови.

Заключение:ако под корена получим число, което не може да бъде извлечено като цяло, тогава се опитваме да премахнем фактора от под корена - с помощта на калкулатор проверяваме дали числото се дели на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и др.

По време на решението различни задачикорените са често срещани, винаги се опитвайте да извличате фактори от корена, за да избегнете по-ниска оценка и ненужни проблеми с финализирането на вашите решения въз основа на коментарите на учителя.

Нека също повторим корени на квадрат и други степени:

Правила за действия със степени в общ изгледможе да се намери в училищен учебникпо алгебра, но мисля, че от дадените примери вече всичко или почти всичко е ясно.

Задача за самостоятелно решение с отсечка в пространството:

Пример 4

Дават се точки и . Намерете дължината на отсечката.

Решението и отговорът са в края на урока.

Как да намерим дължината на вектор?

Ако е даден плосък вектор, тогава неговата дължина се изчислява по формулата.

Ако е даден пространствен вектор, тогава неговата дължина се изчислява по формулата .

Намирането на координатите на вектор е доста често срещано условие за много задачи в математиката. Способността да намерите векторни координати ще ви помогне в други, повече сложни задачис подобни теми. В тази статия ще разгледаме формулата за намиране на векторни координати и няколко задачи.

Намиране на координатите на вектор в равнина

Какво е самолет? Равнината се счита за двумерно пространство, пространство с две измерения (измерението x и измерението y). Например хартията е плоска. Повърхността на масата е плоска. Всяка необемна фигура (квадрат, триъгълник, трапец) също е равнина. По този начин, ако в изявлението на проблема трябва да намерите координатите на вектор, който лежи на равнина, веднага си спомняме за x и y. Можете да намерите координатите на такъв вектор, както следва: Координати AB на вектора = (xB – xA; yB – xA). Формулата показва, че трябва да извадите координатите на началната точка от координатите на крайната точка.

Пример:

  • Вектор CD има начална (5; 6) и крайна (7; 8) координати.
  • Намерете координатите на самия вектор.
  • Използвайки горната формула, получаваме следния израз: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
  • Така координатите на вектора CD = (2; 2).
  • Съответно координатата x е равна на две, координатата y също е две.

Намиране на координатите на вектор в пространството

Какво е пространство? Пространството вече е триизмерно измерение, където са дадени 3 координати: x, y, z. Ако трябва да намерите вектор, който лежи в пространството, формулата практически не се променя. Добавя се само една координата. За да намерите вектор, трябва да извадите координатите на началото от крайните координати. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

Пример:

  • Вектор DF има начален (2; 3; 1) и краен (1; 5; 2).
  • Прилагайки горната формула, получаваме: Векторни координати DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
  • Не забравяйте, че координатната стойност може да бъде отрицателна, няма проблем.


Как да намеря векторни координати онлайн?

Ако по някаква причина не искате сами да намерите координатите, можете да използвате онлайн калкулатор. За да започнете, изберете векторното измерение. Размерността на вектора отговаря за неговите размери. Размерност 3 означава, че векторът е в пространството, размерност 2 означава, че е в равнината. След това въведете координатите на точките в съответните полета и програмата ще определи за вас координатите на самия вектор. Много е просто.


Като щракнете върху бутона, страницата автоматично ще се превърти надолу и ще ви даде правилния отговор заедно със стъпките за решение.


Препоръчва се да се учи добре тази тема, защото концепцията за вектор се среща не само в математиката, но и във физиката. Студенти от факултета Информационни технологииТе също изучават темата за векторите, но на по-сложно ниво.