Обиколка е затворена равнинна крива, всички точки на която са на еднакво разстояние от дадена точка (центъра на окръжността). Разстоянието от всяка точка на окръжността \(P\left((x,y) \right)\) до нейния център се нарича радиус. Центърът на окръжността и самата окръжност лежат в една равнина. Уравнение на окръжност с радиус \(R\) с център в началото ( канонично уравнение на окръжност ) има формата
    \((x^2) + (y^2) = (R^2)\).

    Уравнение на окръжност радиус \(R\) с център в произволна точка \(A\left((a,b) \right)\) се записва като
    \((\left((x - a) \right)^2) + (\left((y - b) \right)^2) = (R^2)\).

    Уравнение на окръжност, минаваща през три точки , записан във формата: \(\left| (\begin(array)(*(20)(c)) ((x^2) + (y^2)) & x & y & 1\\ (x_1^ 2 + y_1^2) & ((x_1)) & ((y_1)) & 1\\ (x_2^2 + y_2^2) & ((x_2)) & ((y_2)) & 1\\ (x_3^ 2 + y_3^2) & ((x_3)) & ((y_3)) & 1 \end(array)) \right| = 0.\\\)
    Тук \(A\left(((x_1),(y_1)) \right)\), \(B\left(((x_2),(y_2)) \right)\), \(C\left(( (x_3),(y_3)) \right)\) са три точки, лежащи върху окръжността.

    Уравнение на окръжност в параметричен вид
    \(\left\( \begin(aligned) x &= R \cos t \\ y &= R\sin t \end(aligned) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
    където \(x\), \(y\) са координатите на точките от окръжността, \(R\) е радиусът на окръжността, \(t\) е параметърът.

    Общо уравнение на окръжност
    \(A(x^2) + A(y^2) + Dx + Ey + F = 0\)
    предмет на \(A \ne 0\), \(D^2 + E^2 > 4AF\).
    Центърът на окръжността се намира в точката с координати \(\left((a,b) \right)\), където
    \(a = - \голям\frac(D)((2A))\нормален размер,\;\;b = - \голям\frac(E)((2A))\нормален размер.\)
    Радиусът на окръжността е
    \(R = \sqrt (\large\frac(((D^2) + (E^2) - 4AF))((2\вляво| A \вдясно|))\нормален размер) \)

    Елипсае равнинна крива за всяка точка, на която сумата от разстоянията до две дадени точки ( фокуси на елипса ) е константа. Разстоянието между огнищата се нарича фокусно разстояние и се означава с \(2c\). Средата на сегмента, свързващ огнищата, се нарича центъра на елипсата . Елипса има две оси на симетрия: първата или фокалната ос, минаваща през фокусите, и втората ос, перпендикулярна на нея. Точките на пресичане на тези оси с елипсата се наричат върхове. Сегментът, свързващ центъра на елипсата с върха, се нарича полуос на елипсата . Голямата полуос е означена с \(a\), малката полуос с \(b\). Елипса, чийто център е в началото и чиито полуоси лежат на координатни линии, се описва, както следва канонично уравнение :
    \(\large\frac(((x^2)))(((a^2)))\normalsize + \large\frac(((y^2)))(((b^2)))\ нормален размер = 1.\)

    Сумата от разстоянията от всяка точка на елипсата до нейните фокуси константа:
    \((r_1) + (r_2) = 2a\),
    където \((r_1)\), \((r_2)\) са разстоянията от произволна точка \(P\left((x,y) \right)\) до фокусите \((F_1)\) и \(( F_2)\), \(a\) е голямата полуос на елипсата.

    Връзката между полуосите на елипсата и фокусното разстояние
    \((a^2) = (b^2) + (c^2)\),
    където \(a\) е голямата полуос на елипсата, \(b\) е малката полуос, \(c\) е половината от фокусното разстояние.

    Ексцентричност на елипса
    \(e = \голям\frac(c)(a)\нормален размер

    Уравнения на директриси на елипса
    Директрисата на елипса е права линия, перпендикулярна на нейната фокална ос и пресичаща я на разстояние \(\large\frac(a)(e)\normalsize\) от центъра. Елипсата има две директриси, разположени от противоположните страни на центъра. Директрисните уравнения се записват във формата
    \(x = \pm \large\frac(a)(e)\normalsize = \pm \large\frac(((a^2)))(c)\normalsize.\)

    Уравнение на елипса в параметричен вид
    \(\left\( \begin(aligned) x &= a\cos t \\ y &= b\sin t \end(aligned) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
    където \(a\), \(b\) са полуосите на елипсата, \(t\) е параметърът.

    Общо уравнение на елипса
    \(A(x^2) + Bxy + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
    където \((B^2) - 4AC

    Общо уравнение на елипса, чиито полуоси са успоредни на координатните оси
    \(A(x^2) + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
    където \(AC > 0\).

    Периметър на елипса
    \(L = 4aE\вляво(e \вдясно)\),
    където \(a\) е голямата полуос на елипсата, \(e\) е ексцентрицитетът, \(E\) е пълен елиптичен интеграл от втори род.

    Приблизителни формули за периметъра на елипса
    \(L \approx \pi \left[ (\large\frac(3)(2)\normalsize\left((a + b) \right) - \sqrt (ab) ) \right],\;\;L \приблизително \pi \sqrt (2\вляво(((a^2) + (b^2)) \вдясно)),\)
    където \(a\), \(b\) са полуосите на елипсата.

    Площта на елипсата
    \(S = \pi ab\)

Когато имаме работа с кръгли вани, всичко е съвсем просто. Наистина има диаметри - горен и долен, има височина на нитовете, не е трудно да се изчисли периметъра... Остава само да направите шаблон и да го планирате сами, като наберете необходимата обща ширина на нитовете . Но какво ще стане, ако нашият продукт е овален? Колко шаблона са необходими за направата му и какви? Как се формира тази гладка линия, движеща се от малки радиуси в краищата на продукта до големи страни със сравнително лек завой?

За да разберем този въпрос, нека започнем с метода, описан от Г. Я. Федотов в книгата „Тайните на сътрудничеството“.

Това ни предлага авторът в главата „Котва“, посветена на производството на тази преносима плоска цев, която има овално сечение.

Геометричен метод за изчисляване на овалните параметри по Федотов

Както знаете, овалът се състои от четири съединителни дъги - две големи и две малки. Рамката изглежда е сглобена от нитовете на голям и малък варел. Всъщност това е така. Само, разбира се, майсторът прави два вида нитове специално - някои, така да се каже, за малък варел, други - за голям. След това, подреждайки ги в определен ред, ги стяга с обръчи, като се получава рамка с пресовани страни и овално сечение. За да се определи точно какъв вид нитове от един и друг тип трябва да бъдат, колко от тях трябва да бъдат включени в комплекта на рамката, е необходимо да се извършат някои изчисления. Първо върху лист хартия в реален размер начертайте овално сечение на рамката в най-широката й част. С помощта на компас начертайте спомагателен кръг, чийто диаметър трябва да бъде равен на височината на цевта. (). Под височината в случая Г.Я. Федотов предполага голямата ос на овала - това се вижда от фигурата

Центърът му е маркиран с две взаимно перпендикулярни аксиални линии. Вертикалната ос е разделена на пет равни части. Около точки 1 и 4 са начертани две малки окръжности, допирателни към голямата спомагателна окръжност. Правите линии се изчертават през пресечните точки на хоризонталната централна линия със спомагателния кръг и центровете на малки кръгове. В пресечната точка на тези линии с дъгите на малки кръгове ще има така наречените свързващи точки. Те са свързани с помощта на компас с големи дъги. Центровете на тези дъги ще бъдат в пресечната точка на хоризонталната централна линия и голямата дъга на спомагателния кръг.

За да се определи точно колко нитове са необходими за сглобяване на рамката на цевта, е необходимо да се определи нейният периметър. Тя ще бъде равна на сумата от дължините на голямата и малката дъга. Дължината на всяка дъга се намира по следния начин. Първо, определете периметъра на пълни кръгове, част от които са дъгите, които образуват овала. Периметрите се задават по формулата 2πR, където π=3,14. След това, разделяйки периметъра на малкия кръг на 3 части, се получава дължината на малката дъга. На свой ред периметърът на големия кръг се разделя на шест части и се определя дължината на голямата дъга. Общата дължина на двете дъги се удвоява и се получава периметърът на овала.

Не е ли всичко просто? Този метод наистина работи и работи безупречно.

Но какво ще стане, ако нашият овален продукт е вана с обем 500 литра?

Начертаването му в пълен размер не е най-лесната задача. Но имате нужда от две такива рисунки - за горния и долния овал.

Мащабиране? Изпълнен е с неточности...

От геометрията на конструкцията, дадена от Г. Я. Федотов, не е трудно да се изведат формули, с помощта на които могат да се получат същите количества, без да се чертае нищо на хартия.

Алгебричен метод за изчисляване на овалните параметри по Федотов

Въпреки факта, че Генадий Яковлевич не дава тези формули в книгата, ние все пак ще наречем метода с неговото име, тъй като той е правилен само за чертежа, даден по-горе, и всъщност просто го замества.

И така, нека L е дължината на овала, l неговата ширина, r радиусът на малкия кръг, R радиусът на големия кръг.

1) Намерете радиуса на малката окръжност:

r=L/5

2) Намерете спомагателното количество h - разстоянието между точката на пресичане на аксиалните линии и центъра на малкия кръг A 1:

h=1,5r

3) Намерете спомагателното количество c - разстоянието между две успоредни прави B 2 A 1 и A 2 B 1:

c= √ [(L/2) 2 +ч 2]

4) Намерете радиуса на голямата дъга R:

R=c+r

5) Намерете спомагателното количество q - разстоянието между точка B 1 (B 2) и точката на пресичане на голямата дъга на овала и хоризонталната централна линия:

q=Л-Р

6) Намерете ширината на овала l:

l=Л-2р

7) Умножете радиусите R и r по 2, за да намерите параметрите D и d. Това са нашите диаметри - необходимите за изработване на шаблони.

8) Намерете дължината на малката дъга m:

m=πd/3

9) Намерете дължината на голямата дъга M:

М=πD/6

10) И накрая, намерете периметъра на овала p:

p=2(М+м)

Това изчисление ще трябва да се повтори, за да се намерят параметрите на втория овал (долната или горната част на нашата вана).

Когато изчислявате овал според Федотов, трябва да имате предвид някои характеристики.

Първо, капитанът може да зададе само дължината на овала L. Ширината му l вече е изчислена, т.е. се оказва, че е строго обвързана с определена стойност на дължината. С други думи, ако трябва да променим ширината, ще трябва да променим дължината. Неудобно е.

Второ, при изчисляване по този метод се оказва, че големите и малките дъги на нашия продукт имат различни конуси. И така, за 500-литрова вана,
което се изчислява точно по този начин, диаметрите на големите дъги отгоре и отдолу са съответно 204 и 234 cm, а диаметрите на малките са 52 и 60. Така при височина на занитване 85 cm, коефициентът на конусност за малката дъга е 0,094, а за голямата - 0,353. За такъв овал моделите, описани в статията „Конус на продукт на бъчвар“, не работят и надеждността на фиксирането на дървени обръчи на определена височина трябва да се определи експериментално.

Универсални формули за изчисляване на овалните параметри

Оказва се обаче, че вертикалната ос на овала в нашия чертеж не трябва да бъде разделена точно на пет части. Може да се направи на четири части, или на три, или на шест. Освен това по принцип не е необходимо да се разделя на равни части. Ъгълът, образуван от хоризонталната аксиална линия и линиите AB, обикновено може да бъде всякакъв (разбира се, в границите на чертежа).

Нека означим този ъгъл със символа γ. И нека осите на овала (съответно неговата дължина и ширина) са равни на a и b.

Тогава универсални формулиза изчисляване на параметрите на овала ще изглежда така:

R=[(b/2*(sin(γ)-1)+(a/2*cos γ)] /

r=[(b/2*cos (γ/2)) - (a/2*sin (γ/2))] / [(cos (γ/2)-sin(γ/2)]

Страшно ли изглеждат? Хм, може би е вярно. Но използвайки тези формули, можем свободно да задаваме три параметъра: дължината на овала, неговата ширина и спомагателния ъгъл γ. Това означава, че можем да изчислим овал с всякакви дадени общи размери a и b и повече от един. С еднакви стойности на a и b можем да получим толкова различни овали, колкото можем да измислим различни значенияспомагателен ъгъл γ, който се вписва в чертежа.

Нека обясним с пример. Нека трябва да изчислим овал, чиито оси са съответно 150 и 84 см (параметрите на големия овал на нашата 500-литрова вана). Таблицата показва как диаметрите D и d, дължините на голямата и малката дъга M и m, както и периметърът на овала p ще се променят в зависимост от промяната на ъгъла γ.

Овална дължина, a, cm

Ширина на овала, b, cm

Диаметър на голямата дъга, D, cm

Малък диаметър на дъгата, d, cm

Дължина на голямата дъга, M, cm

Дължина на малката дъга, m, cm

Овален периметър, p, cm

Всички тези овали ще имат малко по-различни контури, но същите общи размери - 150x84 cm.

В същото време, като зададем стойности за големите и малките овали на нашия продукт, можем свободно да зададем същата конусност за големите и малките дъги, което ще направи така, че нашите овали да изглеждат равномерно един в друг, когато се гледат отгоре . За такива продукти разликата между големи и малки диаметри ще бъде една и съща и следователно коефициентът на конус ще бъде същият. Пример за такъв продукт е нашата османка,
със следните параметри: диаметри на големи дъги - 96 и 90 см, диаметри на малки дъги - 36 и 30 см, дължини на големи и малки овали - 66 и 60 см, и техните ширини - 44 и 38 см. Както можете да видите , разликата е в диаметрите, така че в габаритни размеринавсякъде равен на 6 cm коефициент на конус за височина на занитване от 45 cm е 0,133. Дървените обръчи са опънати еднакво по цялата повърхност на продукта и стабилно фиксирани на дадена височина.

За да избегнете необходимостта от извършване на сложни изчисления всеки път, достатъчно е да въведете горните формули веднъж в някоя компютърна програма. По-долу можете да изтеглите Excel документ, в който са въведени само стойностите a и b (трябва да въведете същите стойностикъм всички линии), след което програмата автоматично ще генерира всички необходими параметри на такива овали за широк диапазон от ъгли γ. Просто се уверете, че не въвеждате нищо на ръка в другите колони, за да не замените формулите с числови стойности.

В астрономията, когато се разглежда движението на космически тела по орбити, често се използва понятието „елипса“, тъй като техните траектории се характеризират точно с тази крива. В статията ще разгледаме въпроса какво представлява маркираната фигура и ще дадем формулата за дължината на елипсата.

Какво е елипса?

Според математическата дефиниция елипсата е затворена крива, за която сумата от разстоянията от която и да е нейна точка до две други конкретни точки, лежащи на главната ос, наречени фокуси, е постоянна стойност. По-долу има фигура, която обяснява това определение.

Може да се интересувате от:

На фигурата сумата от разстоянията PF" и PF е равна на 2 * a, т.е. PF" + PF = 2 * a, където F" и F са фокусите на елипсата, "a" е дължината от нейната голяма полуос се нарича малка полуос, а разстоянието CB = CB - дължината на малката полуос.

Картината по-горе също показва прост метод с въже и два пирона, който се използва широко за рисуване на елиптични криви. Друг начин да получите тази фигура е да изрежете конуса под произволен ъгъл спрямо оста му, който не е равен на 90o.

Ако елипсата се завърти по една от двете си оси, тогава тя образува триизмерна фигура, която се нарича сфероид.

Формула за обиколка на елипса

Въпреки че въпросната фигура е съвсем проста, дължината на нейната обиколка може да бъде точно определена чрез изчисляване на така наречените елиптични интеграли от втори род. Въпреки това, самоукият хиндуистки математик Рамануджан в началото на 20 век предложи достатъчно проста формуладължината на елипсата, която се приближава отдолу към резултата от отбелязаните интеграли. Тоест стойността на въпросната стойност, изчислена от нея, ще бъде малко по-малка от действителната дължина. Тази формула изглежда така: P ≈ pi *, където pi = 3,14 е числото pi.

Например, нека дължините на двете полуоси на елипсата са равни на a = 10 cm и b = 8 cm, тогава нейната дължина P = 56,7 cm.

Всеки може да провери, че ако a = b = R, тоест се разглежда обикновен кръг, тогава формулата на Рамануджан се редуцира до формата P = 2 * pi * R.

Имайте предвид, че в училищни учебнициЧесто се дава друга формула: P = pi * (a + b). Той е по-прост, но и по-малко точен. Така че, ако го приложим към разглеждания случай, получаваме стойността P = 56,5 cm.

В астрономията, когато се разглежда движението на космически тела по орбити, често се използва понятието „елипса“, тъй като техните траектории се характеризират точно с тази крива. В статията ще разгледаме въпроса какво представлява маркираната фигура и ще дадем формулата за дължината на елипсата.

Какво е елипса?

Според математическата дефиниция елипсата е затворена крива, за която сумата от разстоянията от която и да е нейна точка до две други конкретни точки, лежащи на главната ос, наречени фокуси, е постоянна стойност. По-долу има фигура, която обяснява това определение.

На фигурата сумата от разстоянията PF" и PF е равна на 2 * a, т.е. PF" + PF = 2 * a, където F" и F са фокусите на елипсата, "a" е дължината от нейната голяма полуос се нарича малка полуос, а разстоянието CB = CB - дължината на малката полуос.

Картината по-горе също показва прост метод с въже и два пирона, който се използва широко за рисуване на елиптични криви. Друг начин да се получи тази фигура е да се извърши под произволен ъгъл спрямо оста му, който не е равен на 90 o.

Ако елипсата се завърти по една от двете си оси, тогава тя образува триизмерна фигура, която се нарича сфероид.

Формула за обиколка на елипса

Въпреки че въпросната фигура е съвсем проста, дължината на нейната обиколка може да бъде точно определена чрез изчисляване на така наречените елиптични интеграли от втори род. Въпреки това, самоукият индуски математик Рамануджан в началото на 20-ти век предлага доста проста формула за дължината на елипса, която се доближава до резултата от маркираните интеграли отдолу. Тоест стойността на въпросната стойност, изчислена от нея, ще бъде малко по-малка от действителната дължина. Тази формула изглежда така: P ≈ pi *, където pi = 3,14 е числото pi.

Например, нека дължините на двете полуоси на елипсата са равни на a = 10 cm и b = 8 cm, тогава нейната дължина P = 56,7 cm.

Всеки може да провери, че ако a = b = R, тоест се разглежда обикновен кръг, тогава формулата на Рамануджан се редуцира до формата P = 2 * pi * R.

Имайте предвид, че училищните учебници често дават друга формула: P = pi * (a + b). Той е по-прост, но и по-малко точен. Така че, ако го приложим към разглеждания случай, получаваме стойността P = 56,5 cm.

Овалнае крива на затворена кутия, която има две оси на симетрия и се състои от две опорни окръжности със същия диаметър, вътрешно спрегнати с дъги (фиг. 13.45). Овалът се характеризира с три параметъра: дължина, ширина и радиус на овала. Понякога се посочват само дължината и ширината на овала, без да се определят неговите радиуси, тогава проблемът за конструиране на овал има голямо разнообразие от решения (виж фиг. 13.45, a ... d).

Използват се и методи за конструиране на овали на базата на две идентични референтни окръжности, които се докосват (фиг. 13.46, a), пресичат се (фиг. 13.46, b) или не се пресичат (фиг. 13.46, c). В този случай всъщност се задават два параметъра: дължината на овала и един от неговите радиуси. Този проблем има много решения. Очевидно е, че R > OAняма горна граница. В частност R = O 1 O 2(виж Фиг. 13.46.a и Фиг. 13.46.c), и центровете О 3И О 4се определят като точки на пресичане на основните кръгове (виж фиг. 13.46, b). Съгласно общата теория на точките партньорите се определят на права линия, свързваща центровете на дъги от оскулиращи окръжности.

Изграждане на овал с докосващи се опорни кръгове(проблемът има много решения) (ориз. 3.44). От центровете на референтните кръгове ЗАИ 0 1 с радиус, равен например на разстоянието между центровете им, се чертаят дъги от окръжности, докато се пресичат в точки ЗА 2 и О 3.

Фигура 3.44

Ако от точки ЗА 2 и О 3начертайте прави линии през центровете ЗАИ О 1, след това на пресечната точка с опорните кръгове получаваме свързващите точки СЪС, C 1, гИ D 1. От точки ЗА 2 и О 3като от центрове на радиус R 2начертайте дъги на спрежение.

Построяване на овал с пресичащи се опорни окръжности(задачата също има много решения) (фиг. 3.45). От пресечните точки на референтните окръжности C 2И О 3начертайте прави линии, например през центрове ЗАИ О 1докато се пресекат с референтните окръжности в точките на свързване C, C 1 DИ D 1, и радиуси R2,равен на диаметъра на референтната окръжност - дъгата на конюгиране.

Фигура 3.45 Фигура 3.46

Построяване на овал по две зададени оси AB и CD(фиг. 3.46). По-долу е едно от многото възможни решения. На вертикалната ос се нанася сегмент OE,равен на половината от голямата ос AB.От точката СЪСкак да нарисувате дъга с радиус от центъра SEдо пресечната точка с отсечката ACв точката Е 1. Към средата на сегмента AE 1възстановете перпендикуляра и маркирайте точките на неговото пресичане с осите на овала О 1И 0 2 . Изграждане на точки О 3И 0 4 , симетрични на точките О 1И 0 2 спрямо осите CDИ AB.Точки О 1И 0 3 ще бъдат центрове на референтни окръжности с радиус R1,равен на сегмента Около 1 A,и точките O2И 0 4 - центрове на дъги на конюгиране на радиус R2,равен на сегмента O 2 C.Прави линии, свързващи центрове О 1И 0 3 с O2И 0 4 На пресечната точка с овала ще се определят точките на свързване.


В AutoCAD овалът се конструира с помощта на две референтни окръжности с еднакъв радиус, които:

1. има точка за контакт;

2. пресичат се;

3. не се пресичат.

Да разгледаме първия случай. Построена е отсечка OO 1 =2R, в краищата на която (точките O и O 1) са разположени центровете на две опорни окръжности с радиус R и центровете на две спомагателни окръжности с радиус R 1 =2R. От пресечните точки на спомагателните окръжности O 2 и O 3 се изграждат съответно дъги CD и C 1 D 1. Помощните кръгове се отстраняват, след което вътрешните части на опорните кръгове се отрязват спрямо дъгите CD и C 1 D 1. На фигура ъъ полученият овал е маркиран с дебела линия.

Фигура Построяване на овал с докосващи се опорни окръжности със същия радиус