В равновесно състояние параметрите на газа (налягане, обем и температура) остават непроменени, но микросъстоянията са относителна позициямолекули, техните скорости непрекъснато се променят. Поради огромно количествомолекули, практически е невъзможно да се определят стойностите на техните скорости във всеки един момент, но е възможно, като се има предвид, че скоростта на молекулите е непрекъсната случайна променлива, да се посочи разпределението на молекулите по скорост.

Нека изберем отделна молекула. Случайността на движението позволява например проекция на скоростта u xмолекулите приемат нормалния закон за разпределение. В този случай, както Дж. С. Максуел показа, плътността на вероятността се записва, както следва:

подобно за други оси

Използвайки (2.28), от (2.31) получаваме:

Отбележете, че от (2.32) можем да получим функцията на разпределение на вероятностите на Максуел на абсолютните стойности на скоростта (Разпределение на скоростта на Максуел):

(2.36)

Средната скорост на една молекула (математическо очакване) може да се намери чрез общо правило[см. (2.20)]. Тъй като се определя средната стойност на скоростта, границите на интегриране се вземат от 0 до ¥ (математическите подробности са пропуснати):

Къде M = t 0 NА— моларна масагаз, R = k NА е универсалната газова константа, НА е числото на Авогадро.

С повишаване на температурата максимумът на кривата на Максуел се измества към по-високи скорости и разпределението на молекулите по uпромени (фиг. 2.6; Т 1< Т 2 ). Разпределението на Максуел позволява да се изчисли броят на молекулите, чиито скорости лежат в определен интервал Du. Получаваме съответната формула.

Тъй като общият брой Нмолекули в газ обикновено са високи, тогава вероятността d Пможе да се изрази като отношение на числото d Нмолекули, чиито скорости са в определен диапазон дукъм общия брой Нмолекули:

или графично изчислете площта извит трапецвариращи от u 1към u 2 (фиг. 2.7).

Ако скоростният интервал дуе достатъчно малък, тогава броят на молекулите, чиито скорости съответстват на този интервал, може да се изчисли приблизително с помощта на формула (2.38) или графично като площта на правоъгълник с основата ду.

На въпроса колко молекули имат скорост, равна на някаква конкретна стойност, следва странен на пръв поглед отговор: ако скоростта е абсолютно точно определена, тогава скоростният диапазон е нула (ду= 0) и от (2.38) получаваме нула, т.е. нито една молекула няма скорост, точно равна на предварително зададената. Това съответства на едно от положенията на теорията на вероятностите: за непрекъснато случайна променлива, каква е скоростта, не може да се „отгатне” абсолютно точно нейната стойност, която има поне една молекула в газа.

Разпределението на молекулите по скорост е потвърдено от различни експерименти.

Разпределението на Максуел може да се разглежда като разпределение на молекулите не само по скорост, но и по кинетична енергия (тъй като тези понятия са взаимосвързани).

Разпределение на Болцман.

Ако молекулите се намират в някакво външно силово поле, например гравитационното поле на Земята, тогава е възможно да се намери разпределението на техните потенциални енергии, тоест да се установи концентрацията на частици, които имат определена стойност на потенциалната енергия .

Разпределение на частиците по потенциални енергии в силови полета— гравитационни, електрически и др.— наречено разпределение на Болцман.

По отношение на гравитационното поле това разпределение може да се напише като зависимост от концентрацията пмолекула от височина чнад нивото на Земята или от потенциалната енергия на молекулата mgh:

Изразът (2.40) е валиден за частици идеален газ. Графично тази експоненциална зависимост е показана на фиг. 2.8.

Това разпределение на молекулите в гравитационното поле на Земята може да се обясни качествено, в рамките на молекулярно-кинетични концепции, с факта, че молекулите се влияят от два противоположни фактора: гравитационното поле, под влиянието на което всички молекули се привличат към Земята и молекулярно хаотично движение, стремящо се да разпръсне молекулите равномерно в целия възможен обем.

В заключение е полезно да се отбележат някои прилики между експоненциалните членове в разпределенията на Максуел и Болцман:

В първото разпределение, в експонента, отношението на кинетичната енергия на молекулата към kT,във втория - съотношението на потенциалната енергия към kT.

При статистическия метод за определяне на основната характеристика (X е съвкупността от координати и моменти на всички частици на системата) се използват определени модели на структурата на въпросното тяло.

Оказва се, че е възможно да се намери общи свойстваобщи статистически закони, които не зависят от структурата на материята и са универсални. Идентифицирането на такива модели е основната задача на термодинамичния метод за описание на топлинните процеси. Всички основни понятия и закони на термодинамиката могат да бъдат разкрити на базата на статистическата теория.

За изолирана (затворена) система или система в константа външно полесъстояние се нарича статистически равновесно, ако функцията на разпределение не зависи от времето.

Конкретната форма на функцията на разпределение на разглежданата система зависи както от набора от външни параметри, така и от характера на взаимодействието с околните тела. В този случай под външни параметри имаме предвид количества, определени от положението на тела, които не са включени в разглежданата система. Това е например обемът на системата V, силата на силовото поле и т.н. Нека разгледаме двата най-важни случая:

1) Разглежданата система е енергийно изолирана. Общата енергия на частиците E е постоянна. В същото време. E може да бъде включено в a, но подчертаването му подчертава специалната роля на E. Условието за изолация на системата за дадени външни параметри може да се изрази чрез равенството:

2) Системата не е затворена - възможен е обмен на енергия. В този случай той не може да бъде намерен; той ще зависи от обобщените координати и моменти на частиците на околните тела. Това се оказва възможно, ако енергията на взаимодействие на разглежданата система с околните тела.

При това условие функцията на разпределение на микросъстоянията зависи от средната интензивност на топлинното движение на околните тела, което се характеризира с температурата T на околните тела: .

Температурата също играе специална роля. Няма (за разлика от a) аналог в механиката: (не зависи от T).

В състояние на статистическо равновесие не зависи от времето и всички вътрешни параметри са непроменени. В термодинамиката това състояние се нарича състояние на термодинамично равновесие. Концепциите за статистическо и термодинамично равновесие са еквивалентни.

Функция на разпределение на микроскопична изолирана система - микроканонично разпределение на Гибс

Случаят на енергийно изолирана система. Нека намерим формата на функцията на разпределение за този случай.

Съществена роля при намирането на функцията на разпределение играят само интегралите на движение - енергия, - импулс на системата и - ъглов момент. Само те се контролират.

Хамилтонианът играе специална роля в механиката, т.к Това е функцията на Хамилтон, която определя формата на уравнението за движение на частиците. Запазването на общия импулс и ъгловия импулс на системата е следствие от уравненията на движението.

Следователно, точно такива решения на уравнението на Лиувил се отличават, когато зависимостта се проявява само чрез хамилтониана:

Защото,.

От всички възможни стойности на X (наборът от координати и моменти на всички частици в системата) се избират тези, които са съвместими с условието. Константата C може да се намери от условието за нормализиране:

където е площта на хиперповърхността във фазовото пространство, разпределена от условието за постоянна енергия.

Тези. - микроканонично разпределение на Гибс.

IN квантова теориясъстояние на равновесие, има и микроканонично разпределение на Гибс. Нека въведем следните обозначения: - пълен набор от квантови числа, характеризиращи микросъстоянието на система от частици, - съответните допустими стойности на енергия. Те могат да бъдат намерени чрез решаване на стационарното уравнение за вълновата функция на разглежданата система.

Функцията на разпределение на микросъстоянието в този случай ще представлява вероятността системата да бъде в определено състояние: .

Квантовото микроканонично разпределение на Гибс може да бъде записано като:

където е символът на Кронекер, - от нормализиране: - броят на микросъстоянията с дадена енергийна стойност (както и). Нарича се статистическо тегло.

От дефиницията всички състояния, отговарящи на условието, имат еднаква вероятност, равни. По този начин квантовото микроканонично разпределение на Гибс се основава на принципа на равни предварителни вероятности.

Функцията на разпределение на микросъстоянията на системата в термостат е каноничното разпределение на Гибс.

Нека сега разгледаме система, която обменя енергия с околните тела. От термодинамична гледна точка този подход съответства на система, заобиколена от много голям термостат с температура T. За голяма система (нашата система + термостат) може да се използва микроканоничното разпределение, тъй като такава система може да се счита за изолирана. Ще приемем, че разглежданата система представлява малка, но макроскопична част по-голяма системас температура Т и броя на частиците в него. Тоест, равенството (>>) е изпълнено.

Ще обозначим променливите на нашата система с X, а променливите на термостата с X1.

След това за цялата система записваме микроканоничното разпределение:

Ще се интересуваме от вероятността за състоянието на система от N частици за всякакви възможни състояния на термостат. Тази вероятност може да се намери чрез интегриране на това уравнение върху състоянията на термостата

Функцията на Хамилтон на системата и термостата може да бъде представена като

Ще пренебрегнем енергията на взаимодействие между системата и термостата в сравнение както с енергията на системата, така и с енергията на термостата. Това може да се направи, защото енергията на взаимодействие за една макросистема е пропорционална на нейната повърхност, докато енергията на една система е пропорционална на нейния обем. Но пренебрегването на енергията на взаимодействие в сравнение с енергията на системата не означава, че тя е равна на нула, в противен случай формулировката на проблема губи смисъла си.

По този начин разпределението на вероятностите за разглежданата система може да бъде представено като

Нека да преминем към интегрирането върху енергията на термостата

Следователно, използвайки свойството на -функцията

По-късно ще преминем към граничния случай, когато термостатът е много голям. Нека помислим специален случай, когато термостатът е идеален газ с N1 частици с маса m всяка.

Нека намерим количеството, което представлява количеството

където е обемът на фазовото пространство, съдържащо се в хиперповърхността. След това представлява обемът на слоя хиперсфера (сравнете с израза за триизмерно пространство

За идеален газ областта на интегриране се дава от условието

В резултат на интегрирането в посочените граници получаваме обема на топка с размери 3N1 с радиус, който ще бъде равен на. Така имаме

Откъде го вземаме?

Така, за разпределението на вероятностите, което имаме

Нека сега преминем към границата на N1 обаче, като приемем, че съотношението остава постоянно (така наречената термодинамична граница). Тогава получаваме

Като се има предвид, че

Тогава разпределителната функция на системата в термостата може да бъде записана като

където C се намира от условието за нормализиране:

Функцията се нарича класически статистически интеграл. По този начин разпределителната функция на системата в термостата може да бъде представена като:

Това е каноничното разпределение на Гибс (1901).

В това разпределение T характеризира средната интензивност на топлинното движение - абсолютна температурачастици от околната среда.

Друга форма на запис на разпределението на Гибс

В дефиницията микроскопичните състояния се считат за различни, като се различават само в пренареждането на отделните частици. Това означава, че можем да следим всяка частица. Подобно предположение обаче води до парадокс.

Изразът за квантовото канонично разпределение на Гибс може да се напише по аналогия с класическото:

Статистическа сума: .

Това е безразмерен аналог на статистическия интеграл. Тогава свободната енергия може да бъде представена като:

Нека сега разгледаме система, разположена в термостат и способна да обменя енергия и частици с околната среда. Извеждането на функцията на разпределение на Гибс за този случай е в много отношения подобно на извеждането на каноничното разпределение. За квантовия случай разпределението има формата:

Това разпределение се нарича Голямото канонично разпределение на Гибс. Тук m е химическият потенциал на системата, който характеризира промяната в термодинамичните потенциали, когато броят на частиците в системата се промени с една.

Z - от условието за нормализиране:

Тук сумирането се извършва не само върху квадратни числа, но и върху всички възможни стойности на броя на частиците.

Друга форма на запис: нека въведем функция, но тъй като преди това е получена от термодинамиката, където е голям термодинамичен потенциал. В резултат на това получаваме

Ето средния брой частици.

Класическото разпределение е подобно.

Разпределения на Максуел и Болцман

Каноничното разпределение на Гибс установява (даде) изрична форма на функцията на разпределение за стойностите на всички координати и моменти на частици (6N-променливи). Но такава функция е много сложна. Често по-простите функции са достатъчни.

Разпределение на Максуел за идеален едноатомен газ. Можем да разглеждаме всяка газова молекула като „разглеждана система“, принадлежаща на термостат. Следователно вероятността всяка молекула да има импулси в дадени интервали се дава от каноничното разпределение на Гибс: .

Заменяйки импулси със скорости и използвайки условия за нормализиране, получаваме

Функция на разпределение на Максуел за компонентите на скоростта. Лесно е да се получи разпределението по модул.

Във всяка система, чиято енергия е равна на сумата от енергиите на отделните частици, има израз, подобен на този на Максуел. Това е разпределението на Максуел-Болцман. Отново ще приемем, че „системата” е една частица, а останалите играят ролята на термостат. Тогава вероятността за състоянието на тази избрана частица за всяко състояние на останалите се дава от каноничното разпределение: , . За други количества... интегрирано

Разпределения на Максуел и Болцман. Трансферни явления

Конспект на лекцията:

1. Закон на Максуел за разпределението на молекулите по скорост. Характерни скорости на молекулите.

2. Разпределение на Болцман.

3. Среден свободен път на молекулите.

4. Трансферни явления:

а).дифузия;

б).вътрешно триене (вискозитет);

в).топлопроводимост.

1. Законът на Максуел за разпределението на молекулите по скорост. Характерни скорости на молекулите.

Газовите молекули се движат хаотично и в резултат на сблъсъци техните скорости се променят по големина и посока; В един газ има молекули както с много високи, така и с много ниски скорости. Може да се повдигне въпросът за броя на молекулите, чиито скорости лежат в интервала от и за газ в състояние на термодинамично равновесие при липса на външни силови полета. В този случай се установява известно стационарно разпределение на скоростта на молекулите, което не се променя с времето, което се подчинява на статистически закон, теоретично изведен от Максуел.

Колкото по-голям е общият брой на молекулите N, толкова по-голям брой молекули DN ще имат скорости в интервала oty; колкото по-голям е интервалът от скорости, толкова по-голям брой молекули ще имат скорости в определения интервал.

Нека въведем коефициента на пропорционалност е(ф).

, (1)

където f(u) се нарича функция на разпределение, която зависи от скоростта на молекулите и характеризира разпределението на молекулите по скорост.

Ако формата на функцията е известна, можете да намерите броя на молекулите, чиито скорости лежат в интервала от до.

Използвайки методите на теорията на вероятностите и законите на статистиката, Максуел през 1860г. теоретично получена формула, която определя броя на молекулите със скорости в диапазона от до.

, (2)

- разпределението на Максуел показва каква е пропорцията общ броймолекулите на даден газ имат скорости в диапазона от до.

От уравнения (1) и (2) формата на функцията следва:

- (3)

функция на разпределение на скоростта на молекулите на идеалния газ.

От (3) става ясно, че конкретният тип функция зависи от вида на газа (от масата на молекулата m 0) и температура.

Най-често законът за разпределение на молекулите според скоростите се записват във формата:

Функционалната графика е асиметрична (фиг. 1). Положението на максимума характеризира най-често срещаната скорост, която се нарича най-вероятната. Превишени скорости ти вътре, са по-често срещани от по-ниските скорости.

- делът на общия брой молекули със скорости в този диапазон.

S общо = 1.

С повишаване на температурата максимумът на разпределението се измества към по-високи скорости и кривата става по-плоска, но площта под кривата не се променя, т.к. S общо = 1.

Най-вероятната скорост е скоростта, близка до която се оказва скоростта на повечето молекули на даден газ.

За да го определим, ние го изследваме максимално.

4 ,

, .

По-рано беше показано, че

, ,

=> .

MKT също използва концепцията за средноаритметична скорост движение напредидеални газови молекули.

- равно на отношението на сумата от модулите на скоростта на всички молекули към

брой молекули.

От сравнението става ясно (фиг. 2), че най-малката е ти вътре.

2. Разпределение на Болцман.

Два фактора – термичното движение на молекулите и наличието на гравитационното поле на Земята водят газа до състояние, в което концентрацията и налягането му намаляват с височината.

Ако нямаше топлинно движение на молекулите на атмосферния въздух, тогава всички те биха се концентрирали на повърхността на Земята. Ако нямаше гравитация, тогава атмосферните частици щяха да бъдат разпръснати из цялата Вселена. Нека намерим закона за промяна на налягането с височина.

Налягането на газовата колона се определя по формулата.

Тъй като налягането намалява с увеличаване на надморската височина,

Къде rплътност на газа на височина ч.

Ще намерим строт уравнението на Менделеев-Клапейрон

или

Нека направим изчислението за изотермична атмосфера, като приемем, че Т=конст(не зависи от височината).

при h=0 , , ,

, , ,

Барометрична формула, определя налягането на газа на всяка надморска височина.

Получаваме израз за концентрацията на молекули на произволна височина.

където е потенциалната енергия на молекулата на височина ч.

Разпределение на Болцман във външно потенциално поле.

Следователно разпределението на молекулите по височина е тяхното разпределение по енергия. Болцман доказа, че това разпределение е валидно не само в случай на потенциално поле от гравитационни сили, но и във всяко потенциално поле от сили за колекция от всякакви идентични частици в състояние на хаотично топлинно движение.

От разпределението на Болцман следва, че молекулите са разположени в по-голяма концентрация там, където тяхната потенциална енергия е по-ниска.

Разпределението на Болцман е разпределението на частиците в потенциално силово поле.

3. Среден свободен път на молекулите.

Поради хаотичното топлинно движение, газовите молекули непрекъснато се сблъскват една с друга и изминават сложен зигзагообразен път. Между 2 сблъсъка молекулите се движат равномерно по права линия.

М минималното разстояние, на което центровете на 2 молекули се приближават един към друг при сблъсък, се нарича ефективен диаметър на молекулата d(фиг. 4).

Количеството се нарича ефективно напречно сечение на молекулата.

Нека намерим средния брой сблъсъци на хомогенна газова молекула за единица време. Ще възникне сблъсък, ако центровете на молекулите се приближат на разстояние, по-малко или равно на d. Предполагаме, че молекулата се движи със скорост, а другите молекули са в покой. Тогава броят на сблъсъците се определя от броя на молекулите, чиито центрове се намират в обем, който е цилиндър с основа и височина, равна на пътя, изминат от молекулата за 1 s, т.е. .

Разпределения на Максуел и Болцман. Трансферни явления

Конспект на лекцията:

Законът на Максуел за скоростното разпределение на молекулите. Характерни скорости на молекулите.

Разпределение на Болцман.

Среден свободен път на молекулите.

Трансферни явления:

а).дифузия;

б).вътрешно триене (вискозитет);

в).топлопроводимост.

Законът на Максуел за скоростното разпределение на молекулите. Характерни скорости на молекулите.

Молекулите на газа се движат хаотично и в резултат на сблъсъци техните скорости се променят по величина и посока; газът съдържа молекули както с много високи, така и с много ниски скорости. Може да се повдигне въпросът за броя на молекулите, чиито скорости лежат в интервала от и за газ в състояние на термодинамично равновесие при липса на външни силови полета. В този случай се установява известно стационарно разпределение на скоростта на молекулите, което не се променя с времето, което се подчинява на статистически закон, теоретично изведен от Максуел.

Колкото по-голям е общият брой на молекулите N, толкова по-голям брой молекули N ще имат скорости в интервала от и; колкото по-голям е интервалът от скорости, толкова по-голям брой молекули ще имат скорости в определения интервал.

Нека въведем коефициента на пропорционалност е( .

, 

където f( се нарича функция на разпределение, която зависи от скоростта на молекулите и характеризира разпределението на молекулите по скорост.

, (2)

- Разпределението на Максуел показва каква част от общия брой молекули на даден газ има скорости в диапазона от до.

От уравнения  и  следва формата на функцията 

- (3)

функция на разпределение на скоростта на молекулите на идеалния газ.

От (3) става ясно, че конкретният тип функция зависи от вида на газа (от масата на молекулата м 0 ) и температура.

Най-често законът за разпределение на молекулната скорост се записва във формата:

Графиката на функцията е асиметрична (фиг. 1). Положението на максимума характеризира най-често срещаната скорост, която се нарича най-вероятната. Превишени скорости  V, са по-често срещани от по-ниските скорости.

- делът на общия брой молекули със скорости в този диапазон.

С общо = 1.

С повишаване на температурата максимумът на разпределението се измества към по-високи скорости и кривата става по-плоска, но площта под кривата не се променя, т.к. С общо = 1 .

Най-вероятната скорост е скоростта, близка до която се оказва скоростта на повечето молекули на даден газ.

За да го определим, ние го изследваме максимално.

По-рано беше показано, че

, ,

 .

MCT също използва концепцията за средната аритметична скорост на транслационното движение на молекулите на идеалния газ.

- равно на отношението на сумата от модулите на скоростта на всички молекули към

брой молекули.

От сравнението става ясно (фиг. 2), че най-малката е  V .

Разпределение на Болцман.

Налягането на газовата колона се определя по формулата.

Тъй като налягането намалява с увеличаване на надморската височина,

Къде  плътност на газа на височина ч.

Ще намерим строт уравнението на Менделеев-Клапейрон

или

Нека направим изчислението за изотермична атмосфера, като приемем, че Т=конст(не зависи от височината).

при h=0 , , ,

, , ,

Барометричната формула определя налягането на газа на всяка надморска височина.

Получаваме израз за концентрацията на молекули на произволна височина.

където е потенциалната енергия на молекулата на височина ч.

Разпределение на Болцман във външно потенциално поле.

Разпределението на Болцман е разпределението на частиците в потенциално силово поле.

Среден свободен път на молекулите.

Количеството се нарича ефективно напречно сечение на молекулата.

IN В действителност всички молекули се движат и възможността за сблъсък на 2 молекули определя относителната им скорост. Може да се покаже, че ако се приеме разпределението на Максуел за скоростите на молекулите, .

За повечето газове при нормални условия

Среден свободен пъте средното разстояние, което една молекула изминава между два последователни сблъсъка. То е равно на отношението на изминатото разстояние във времето  tпът към броя сблъсъци през това време.

Разпределение на Максуел (разпределение на газовите молекулипо скорост).В равновесно състояние параметрите на газа (налягане, обем и температура) остават непроменени, но микросъстоянията - относителното положение на молекулите, техните скорости - непрекъснато се променят. Поради огромния брой молекули е практически невъзможно да се определят стойностите на техните скорости във всеки един момент, но е възможно, като се има предвид, че скоростта на молекулите е непрекъсната случайна променлива, да се посочи разпределението на молекулите по скорост .

Нека изберем отделна молекула. Случайността на движението позволява например проекция на скоростта  х молекулите приемат нормалния закон за разпределение. В този случай, както Дж. С. Максуел показа, плътността на вероятността се записва, както следва:

Къде Т 0 - масата на молекулата, Т- термодинамична температура на газа, к - константа на Болцман.

Подобни изрази могат да се получат за f( при ) И f( z ).

Въз основа на формула (2.15), можем да запишем вероятността една молекула да има проекция на скоростта, лежаща в диапазона от  х към  х + d X :

подобно за други оси

Всяко от условията (2.29) и (2.30) отразява независимо събитие. Следователно вероятността една молекула да има скорост, чиито проекции едновременно удовлетворяват всички условия, може да се намери с помощта на теоремата за умножение на вероятността [вж. (2.6)]:

Използвайки (2.28), от (2.31) получаваме:

(2.33)

и вероятността скоростта на една молекула да е между  към  + d :

Графиката на функция (2.33) е показана на фигура 2.5. скорост,съответстваща на максимума на кривата на Максуел се наричанай-вероятно V. Може да се определи с помощта на условието за максимална функция:

или

Средната скорост на една молекула (математическо очакване) може да се намери според общото правило [виж. (2.20)]. Тъй като се определя средната стойност на скоростта, границите на интегриране се вземат от 0 до  (математическите подробности са пропуснати):

Къде M = t 0 НА е моларната маса на газа, Р = к НА - универсална газова константа, НА е числото на Авогадро.

С повишаване на температурата максимумът на кривата на Максуел се измества към по-високи скорости и разпределение на молекулите  промени (фиг. 2.6; Т 1 < Т 2 ). Разпределението на Максуел ви позволява да изчислите броя на молекулите, чиито скорости лежат в определен интервал . Получаваме съответната формула.

Тъй като общият брой Нмолекули в газ обикновено са високи, тогава вероятността d Пможе да се изрази като отношение на числото d Нмолекули, чиито скорости са в определен диапазон d , към общия брой Нмолекули:

От (2.34) и (2.37) следва, че

Формула (2.38) ни позволява да определим броя на молекулите, чиито скорости са в диапазона от и: до i> 2. За да направите това, трябва да интегрирате (2.38):

или графично изчислете площта на извит трапец, варираща от  1 към  2 (фиг. 2.7).

Ако скоростният интервал d е достатъчно малък, тогава броят на молекулите, чиито скорости съответстват на този интервал, може да се изчисли приблизително с помощта на формула (2.38) или графично като площта на правоъгълник с основата d .

На въпроса колко молекули имат скорост, равна на някаква конкретна стойност, следва един странен на пръв поглед отговор: ако скоростта е абсолютно точно определена, тогава скоростният интервал е нула (d = 0) и от (2.38) получаваме нула, т.е. нито една молекула няма скорост, точно равна на предварително зададената. Това съответства на едно от положенията на теорията на вероятностите: за непрекъсната случайна променлива, като скоростта, е невъзможно да се „отгатне“ абсолютно точно нейната стойност, която има поне една молекула в газа.

Разпределението на молекулите по скорост е потвърдено от различни експерименти.

Разпределението на Максуел може да се разглежда като разпределение на молекулите не само по скорости, но и по кинетични енергии (тъй като тези понятия са взаимосвързани).

Разпределение на Болцман.Ако молекулите се намират в някакво външно силово поле, например гравитационното поле на Земята, тогава е възможно да се намери разпределението на техните потенциални енергии, т.е. да се установи концентрацията на частици с определена специфична стойност на потенциалната енергия.

Разпределение на частиците по потенциални енергии в siриболовни полета-гравитационни, електрически и др.-наречено разпределение на Болцман.

По отношение на гравитационното поле това разпределение може да се напише като зависимост от концентрацията пмолекули от височина ч над нивото на Земята или от потенциалната енергия на молекулата mgh:

Изразът (2.40) е валиден за частици идеален газ. Графично тази експоненциална зависимост е показана на фиг. 2.8.

Това разпределение на молекулите в гравитационното поле на Земята може да се обясни качествено, в рамките на молекулярно-кинетични концепции, с факта, че молекулите се влияят от два противоположни фактора: гравитационното поле, под влиянието на което всички молекули се привличат към Земята , и молекулярно-хаотично движение, което се стреми да разпръсне молекулите равномерно до възможно най-пълната степен.

В първото разпределение, в експонента, отношението на кинетичната енергия на молекулата към kT, във втория - съотношението на потенциалната енергия към kT.