Матричен метод за решаване на системи от линейни уравнения

Разгледайте система от линейни уравнения със следната форма:

$\left\(\begin(array)(c) (a_(11) x_(1) +a_(12) x_(2) +...+a_(1n) x_(n) =b_(1) ) \\ (a_(21) x_(1) +a_(22) x_(2) +...+a_(2n) x_(n) =b_(2) ) \\ (...) \\ (a_ (n1) x_(1) +a_(n2) x_(2) +...+a_(nn) x_(n) =b_(n) ) \end(array)\right .$.

Числата $a_(ij) (i=1..n,j=1..n)$ са системни коефициенти, числата $b_(i) (i=1..n)$ са свободни членове.

Определение 1

В случай, че всички свободни членове са равни на нула, системата се нарича хомогенна, в противен случай се нарича нехомогенна.

Всеки SLAE може да бъде свързан с няколко матрици и системата може да бъде написана в така наречената матрична форма.

Определение 2

Матрицата на системните коефициенти се нарича системна матрица и обикновено се обозначава с буквата $A$.

Колоната от свободни членове образува колонен вектор, който обикновено се означава с буквата $B$ и се нарича матрица от свободни членове.

Неизвестните променливи образуват вектор колона, която обикновено се обозначава с буквата $X$ и се нарича матрица на неизвестните.

Матриците, описани по-горе, имат формата:

$A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (...) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & ( a_(22) ) & (...) & (a_(2n) ) \\ (...) & (...) & (...) & (...) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (...) & (a_(nn) ) \end(array)\right),B=\left(\begin(array)(c) (b_(1) ) \ \ (b_(2) ) \\ (...) \\ (b_(n) ) \end(array)\right),X=\left(\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (...) \\ (x_(n) ) \end(array)\right).$

Използвайки матрици, SLAE може да бъде пренаписан като $A\cdot X=B$. Тази нотация често се нарича матрично уравнение.

Най-общо казано, всеки SLAE може да бъде написан в матрична форма.

Примери за решаване на система с помощта на обратна матрица

Пример 1

Дадено е SLAE: $\left\(\begin(array)(c) (3x_(1) -2x_(2) +x_(3) -x_(4) =3) \\ (x_(1) -12x_(2) ) -x_(3) -x_(4) =7) \\ (2x_(1) -3x_(2) +x_(3) -3x_(4) =5) \end(array)\right система $ матрична форма.

Решение:

$A=\left(\begin(array)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1 ) \\ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(масив)\right),B=\left(\begin(array)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \end(array)\right),X=\left(\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \ край (масив)\вдясно).$

$\left(\begin(array)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1) \ \ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_( 2) ) \\ (x_(3) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \end(array)\ надясно)$

В случай, че матрицата на системата е квадратна, SLAE може да се реши с помощта на матричния метод.

Имайки матрично уравнение $A\cdot X=B$, можем да изразим $X$ от него по следния начин:

$A^(-1) \cdot A\cdot X=A^(-1) \cdot B$

$A^(-1) \cdot A=E$ (свойство на матричен продукт)

$E\cdot X=A^(-1) \cdot B$

$E\cdot X=X$ (свойство на матричен продукт)

$X=A^(-1) \cdot B$

Алгоритъм за решаване на система от алгебрични уравнения с помощта на обратна матрица:

  • запишете системата в матрична форма;
  • изчислява детерминантата на матрицата на системата;
  • ако детерминантата на системната матрица е различна от нула, тогава намираме обратната матрица;
  • Изчисляваме решението на системата по формулата $X=A^(-1) \cdot B$.

Ако матрицата на една система има детерминанта, която не е равна на нула, тогава тази система има уникално решение, което може да бъде намерено с помощта на матричния метод.

Ако матрицата на системата има детерминанта, равна на нула, тогава тази системане може да се реши с матричния метод.

Пример 2

Дадено е SLAE: $\left\(\begin(array)(c) (x_(1) +3x_(3) =26) \\ (-x_(1) +2x_(2) +x_(3) =52) \\ (3x_(1) +2x_(2) =52) \end(array)\right $ Решете SLAE, като използвате метода на обратната матрица, ако е възможно.

Решение:

$A=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & ( 0) \end(array)\right),B=\left(\begin(array)(c) (26) \\ (52) \\ (52) \end(array)\right),X=\left (\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \end(array)\right). $

Намиране на детерминантата на системната матрица:

$\begin(array)(l) (\det A=\left|\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & (0) \end(array)\right|=1\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 3+2\cdot (-1)\cdot 3-3 \cdot 2\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-0\cdot (-1)\cdot 0=0+0-6-18-2-0=-26\ne 0) \end(масив)$ Тъй като детерминантата не е равна на нула, матрицата на системата има обратна матрица и следователно системата от уравнения може да бъде решена чрез метода на обратната матрица. Полученото решение ще бъде уникално.

Нека решим системата от уравнения, като използваме обратната матрица:

$A_(11) =(-1)^(1+1) \cdot \left|\begin(array)(cc) (2) & (1) \\ (2) & (0) \end(array) \right|=0-2=-2; A_(12) =(-1)^(1+2) \cdot \left|\begin(array)(cc) (-1) & (1) \\ (3) & (0) \end(array) \right|=-(0-3)=3;$

$A_(13) =(-1)^(1+3) \cdot \left|\begin(array)(cc) (-1) & (2) \\ (3) & (2) \end(array )\right|=-2-6=-8; A_(21) =(-1)^(2+1) \cdot \left|\begin(array)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (0) \end(array)\ дясно|=-(0-6)=6; $

$A_(22) =(-1)^(2+2) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (3) \\ (3) & (0) \end(array) \right|=0-9=-9; A_(23) =(-1)^(2+3) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (0) \\ (3) & (2) \end(array)\ надясно|=-(2-0)=-2;$

$A_(31) =(-1)^(3+1) \cdot \left|\begin(array)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (1) \end(array) \right|=0-6=-6; A_(32) =(-1)^(3+2) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (3) \\ (-1) & (1) \end(array) \right|=-(1+3)=-4;$

$A_(33) =(-1)^(3+3) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (0) \\ (-1) & (2) \end(array )\right|=2-0=2$

Търся обратна матрица:

$A^(-1) =\frac(1)(-26) \cdot \left(\begin(array)(ccc) (-2) & (6) & (-6) \\ (3) & ( -9) & (-4) \\ (-8) & (-2) & (2) \end(array)\right)=\frac(1)(26) \cdot \left(\begin(array) (ccc) (2) & (-6) & (6) \\ (-3) & (9) & (4) \\ (8) & (2) & (-2) \end(array)\right )=\left(\begin(array)(ccc) (\frac(2)(26) ) & (\frac(-6)(26) ) & (\frac(6)(26) ) \\ (\ frac(-3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(4)(26) ) \\ (\frac(8)(26) ) & (\frac(2) (26) ) & (\frac(-2)(26) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\ frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ (-\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2) (13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1)(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(array)\right).$

Нека намерим решение на системата:

$X=\left(\begin(array)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ ( -\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2)(13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1 )(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(масив)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (26) \\ (52) \\ (52 ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(c) (\frac(1)(13) \cdot 26-\frac(3)(13) \cdot 52+\frac(3 )(13) \cdot 52) ​​​​\\ (-\frac(3)(26) \cdot 26+\frac(9)(26) \cdot 52+\frac(2)(13) \cdot 52) ​​\\ (\frac(4)(13) \cdot 26+\frac(1)(13) \cdot 52-\frac(1)(13) \cdot 52) ​​\end(array)\right )=\left(\ begin(array)(c) (2-12+12) \\ (-3+18+8) \\ (8+4-4) \end(array)\right)=\left (\begin(array) (c) (2) \\ (23) \\ (8) \end(array)\right)$

$X=\left(\begin(array)(c) (2) \\ (23) \\ (8) \end(array)\right)$ е желаното решение на системата от уравнения.

Матричен метод SLAU решенияприлага се за решаване на системи от уравнения, в които броят на уравненията съответства на броя на неизвестните. Методът се използва най-добре за решаване на системи от нисък ред. Матричният метод за решаване на системи от линейни уравнения се основава на прилагането на свойствата на матричното умножение.

Този метод, с други думи метод на обратната матрица,така наречено, защото решението се свежда до обикновено матрично уравнение, за да разрешите което трябва да намерите обратната матрица.

Матричен метод на решение SLAE с детерминанта, която е по-голяма или по-малка от нула, е както следва:

Да предположим, че има SLE (система от линейни уравнения) с пнеизвестно (над произволно поле):

Това означава, че може лесно да се преобразува в матрична форма:

AX=B, Къде А— основната матрица на системата, бИ X— колони с безплатни условия и съответно решения на системата:

Нека умножим това матрично уравнение отляво по A−1— обратна матрица към матрица A: A −1 (AX)=A −1 B.

защото A −1 A=E, означава, X=A −1 B. Дясната страна на уравнението дава колоната с решение на първоначалната система. Условието за приложимост на матричния метод е неизродеността на матрицата А. Необходимо и достатъчно условие за това е детерминантата на матрицата да не е равна на нула А:

detA≠0.

За хомогенна система от линейни уравнения, т.е. ако вектор B=0, важи обратното правило: системата AX=0има нетривиално (т.е. не равно на нула) решение само когато detA=0. Тази връзка между решенията на еднородни и нееднородни системи от линейни уравнения се нарича Алтернатива на Фредхолм.

По този начин решението на SLAE с помощта на матричния метод се извършва съгласно формулата . Или решението на SLAE се намира с помощта на обратна матрица A−1.

Известно е, че за квадратна матрица Апоръчка пна пима обратна матрица A−1само ако неговата детерминанта е различна от нула. По този начин системата плинейни алгебрични уравнения с пРешаваме неизвестни чрез матричния метод само ако детерминантата на основната матрица на системата не е равна на нула.

Въпреки факта, че има ограничения за възможността за използване на такъв метод и има трудности при изчислението големи стойностикоефициенти и системи от висок ред, методът може лесно да се реализира на компютър.

Пример за решаване на нехомогенен SLAE.

Първо, нека проверим дали детерминантата на матрицата на коефициента на неизвестни SLAE не е равна на нула.

Сега намираме обединителна матрица, транспонирайте го и го заместете във формулата, за да определите обратната матрица.

Заместете променливите във формулата:

Сега намираме неизвестните чрез умножаване на обратната матрица и колоната от свободни членове.

така че х=2; y=1; z=4.

Когато преминавате от обичайната форма на SLAE към матричната форма, внимавайте с реда на неизвестните променливи в уравненията на системата. например:

НЕ МОЖЕ да се напише като:

Необходимо е първо да подредите неизвестните променливи във всяко уравнение на системата и едва след това да преминете към матрично записване:

Освен това трябва да внимавате с обозначаването на неизвестни променливи х 1, x 2 , …, x nможе да има и други букви. например:

в матрична форма го записваме така:

Матричният метод е по-добър за решаване на системи от линейни уравнения, в които броят на уравненията съвпада с броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната матрица на системата не е равна на нула. Когато има повече от 3 уравнения в една система, намирането на обратната матрица ще изисква повече изчислителни усилия, следователно в този случай е препоръчително да се използва методът на Гаус за решаване.

В тази статия ще говорим за матричния метод за решаване на система от линейни алгебрични уравнения, ще намерим неговата дефиниция и ще дадем примери за решения.

Определение 1

Метод на обратната матрица е метод, използван за решаване на SLAE, ако броят на неизвестните е равен на броя на уравненията.

Пример 1

Намерете решение на система от n линейни уравнения с n неизвестни:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Матричен тип запис : A × X = B

където A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n е матрицата на системата.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - колона с неизвестни,

B = b 1 b 2 ⋮ b n - колона със свободни коефициенти.

От уравнението, което получихме, е необходимо да изразим X. За да направите това, трябва да умножите двете страни на матричното уравнение отляво по A - 1:

A - 1 × A × X = A - 1 × B.

Тъй като A - 1 × A = E, тогава E × X = A - 1 × B или X = A - 1 × B.

Коментирайте

Обратната матрица на матрица A има право на съществуване само ако е изпълнено условието d e t A не е равно на нула. Следователно, когато се решават SLAE с помощта на метода на обратната матрица, първо се намира d e t A.

В случай, че d e t A не е равно на нула, системата има само една опция за решение: използване на метода на обратната матрица. Ако d e t A = 0, тогава системата не може да бъде решена с този метод.

Пример за решаване на система от линейни уравнения с помощта на метода на обратната матрица

Пример 2

Ние решаваме SLAE, използвайки метода на обратната матрица:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

Как да решим?

  • Записваме системата под формата на матрично уравнение A X = B, където

A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X = x 1 x 2 x 3, B = 1 3 2.

  • Изразяваме X от това уравнение:
  • Намерете детерминантата на матрица A:

d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t A не е равно на 0, следователно методът на обратната матрица е подходящ за тази система.

  • Намираме обратната матрица A - 1, използвайки съюзническата матрица. Изчисляваме алгебричните допълнения A i j към съответните елементи на матрицата A:

A 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6,

A 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7,

A 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5,

A 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17,

A 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1,

A 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10,

A 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10,

A 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5,

A 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0.

  • Записваме съюзната матрица A *, която е съставена от алгебрични допълнения на матрицата A:

A * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

  • Записваме обратната матрица по формулата:

A - 1 = 1 d e t A (A *) T: A - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 ,

  • Умножаваме обратната матрица A - 1 по колоната от свободни членове B и получаваме решение на системата:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

отговор : x 1 = - 1 ; x 2 = 0; х 3 = 1

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Метод на обратната матрицане е трудно, ако знаеш общи принципида работи с матрични уравнения и, разбира се, да може да извършва елементарни алгебрични операции.

Решаване на система от уравнения чрез метода на обратната матрица. Пример.

Най-удобно е да се разбере методът на обратната матрица, като се използва ясен пример. Нека вземем система от уравнения:

Първата стъпка за решаване на тази система от уравнения е да се намери детерминантата. Затова нека трансформираме нашата система от уравнения в следната матрица:

И намираме необходимата детерминанта:

Формула, използвана за решаване матрични уравнения, изглежда така:

По този начин, за да изчислим X, трябва да определим стойността на матрицата A-1 и да я умножим по b. Друга формула ще ни помогне за това:

В този случай ще бъде транспонирана матрица- тоест същият оригинален, но написан не в редове, а в колони.

Не бива да забравяме това метод на обратната матрица, подобно на метода на Крамър, е подходящ само за системи, в които детерминантата е по-голяма или по-малка от нула. Ако детерминантата е равна на нула, трябва да използвате метода на Гаус.

Следващата стъпка е да се състави матрица от второстепенни, която е следната схема:

В резултат на това получихме три матрици - минори, алгебрични добавки и транспонирана матрица на алгебрични добавки. Сега можете да продължите към действителното съставяне на обратната матрица. Вече знаем формулата. За нашия пример ще изглежда така.

Нека помислим система от линейни алгебрични уравнения(SLAU) относително пнеизвестен х 1 , х 2 , ..., х п :

Тази система в „свита“ форма може да бъде написана по следния начин:

С п i=1 а ij х й = б аз , i=1,2, ..., n.

В съответствие с правилото за умножение на матрици разглежданата система от линейни уравнения може да бъде записана матрична форма Ax=b, Къде

Матрица А, чиито колони са коефициентите за съответните неизвестни, а редовете са коефициентите за неизвестните в съответното уравнение се нарича матрица на системата. Матрица на колони b, чиито елементи са десните части на уравненията на системата, се нарича дясна матрица или просто дясната страна на системата. Матрица на колони х , чиито елементи са неизвестните неизвестни, се нарича системно решение.

Система от линейни алгебрични уравнения, записани във формата Ax=b, е матрично уравнение.

Ако системната матрица неизродени, тогава има обратна матрица и тогава решението на системата е Ax=bсе дава по формулата:

х=А -1 b.

ПримерРешете системата матричен метод.

Решениенека намерим обратната матрица за матрицата на коефициента на системата

Нека изчислим детерминантата, като разширим първия ред:

Тъй като Δ ≠ 0 , Това А -1 съществува.

Обратната матрица е намерена правилно.

Нека намерим решение на системата

следователно х 1 = 1, х 2 = 2, х 3 = 3 .

преглед:

7. Теоремата на Кронекер-Капели за съвместимостта на система от линейни алгебрични уравнения.

Система от линейни уравненияима формата:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

Тук са дадени a i j и b i (i = ; j = ), а x j са неизвестни реални числа. Използвайки концепцията за произведение на матрици, можем да пренапишем системата (5.1) във формата:

където A = (a i j) е матрица, състояща се от коефициенти за неизвестните на системата (5.1), която се нарича матрица на системата, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T са колонни вектори, съставени съответно от неизвестни x j и свободни членове b i .

Поръчана колекция псе наричат ​​реални числа (c 1 , c 2 ,..., c n). системно решение(5.1), ако в резултат на заместване на тези числа вместо съответните променливи x 1, x 2,..., x n, всяко уравнение на системата се превръща в аритметично тъждество; с други думи, ако има вектор C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T такъв, че AC  B.

Извиква се система (5.1). става,или разрешим,ако има поне едно решение. Системата се нарича несъвместим,или неразрешим, ако няма решения.

,

образувана чрез присвояване на колона от свободни членове отдясно на матрицата A се нарича разширена матрица на системата.

Въпросът за съвместимостта на системата (5.1) се решава със следната теорема.

Теорема на Кронекер-Капели . Една система от линейни уравнения е непротиворечива тогава и само тогава, когато ранговете на матриците A иA съвпадат, т.е. r(A) = r(A) = r.

За множеството M от решения на система (5.1) има три възможности:

1) M =  (в този случай системата е непоследователна);

2) M се състои от един елемент, т.е. системата има уникално решение (в този случай системата се нарича определени);

3) M се състои от повече от един елемент (тогава системата се нарича несигурен). В третия случай системата (5.1) има безкраен брой решения.

Системата има единствено решение само ако r(A) = n. В този случай броят на уравненията не е такъв по-малко числонеизвестни (mn); ако m>n, тогава m-n уравненияса следствие от другите. Ако 0

За да решите произволна система от линейни уравнения, трябва да можете да решавате системи, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните - т.нар. Системи тип Крамер:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Системите (5.3) се решават по един от следните начини: 1) методът на Гаус или методът на елиминиране на неизвестни; 2) по формулите на Крамер; 3) матричен метод.

Пример 2.12. Разгледайте системата от уравнения и я решете дали е последователна:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Решение.Изписваме разширената матрица на системата:

.

Нека изчислим ранга на основната матрица на системата. Очевидно е, че например минорът от втори ред в горния ляв ъгъл = 7  0; съдържащите го минори от трети ред са равни на нула:

Следователно рангът на основната матрица на системата е 2, т.е. r(A) = 2. За да изчислите ранга на разширената матрица A, помислете за граничния минор

това означава, че рангът на разширената матрица r(A) = 3. Тъй като r(A)  r(A), системата е непоследователна.