Коментирайте.Определянето на вероятността за събитие се основава на определен набор от условия. Ако при изчисляването на вероятността не са наложени ограничения, различни от условия, тогава такива вероятности се наричат безусловен. Въпреки това, в редица случаи е необходимо да се разгледат вероятностите за събития при допълнително условие, че е настъпило някакво събитие B.

Определение 1.Вероятност за събитие А, изчислено при допускане, че се е случило друго събитие IN, наречена условна вероятност събития Аи е обозначена.

Коментирайте.Строго погледнато, безусловните вероятности също са условни, тъй като отправната точка на изградената теория е предположението за съществуването на някакъв непроменлив набор от условия.

Пример 1.Хвърлят се два зара. Каква е вероятността сумата от падналите им точки да е 8 (събитие A), ако се знае, че тази сума е четно число (събитие B)?

Решение.Конструирайте пространство от резултати, намерете безусловната вероятност и условната вероятност.

Пример 2.От тесте карти бяха изтеглени последователно 2 карти.

Намерете:

а) безусловната вероятност втората карта да бъде асо (не се знае коя карта е излязла първа);

б) условната вероятност втората карта да бъде асо, ако първоначално е било изтеглено асо.

Решение.а) Нека означим с A събитието, състоящо се в появата на асо на второ място, B - събитието, състоящо се в появата на асо на първо място. Събития А могат да бъдат представени като . Поради несъвместимостта на събитията имаме . Общ бройслучаи, премахнете 2 карти от тесте от 36 карти (проба без повторения, като се вземе предвид реда!). Събитието ще бъде благоприятно резултат и събитието ще има благоприятни резултати. Тогава.

б) Ако първата изтеглена карта е асо, тогава в тестето остават 35 карти и сред тях има само 3 аса. Следователно.

Общото решение на проблема за намиране на условната вероятност за класическата дефиниция на вероятността:

Нека от единствените възможни, несъвместими и еднакво вероятни събития , , ..., събитие A да бъде предпочитано от m събития, събитие B да бъде предпочитано от k събития и събитие AB да бъде предпочитано от r събития (, ). Ако се е случило събитие B, това означава, че е настъпило едно от събитията, благоприятни за събитие B. При това условие събитие A е благоприятно от r и само от r събития, благоприятни за AB. Така . (1)

По същия начин, ако , тогава . (1’)

Ако B (съответно A) е невъзможно събитие, то равенството (1) (съответно (1’)) губи смисъл.

За всяко от равенствата (1) и (1’) е еквивалентно на така наречената теорема за умножение на вероятностите.

Теорема за умножение на вероятностите.Вероятността за произведението на събития А и Б е равна на произведението на вероятността за едно от тези събития и условната вероятност за другото, при условие че първото се е случило: (2).


Доказателствотеореми за умножение на вероятностите за схемата на класическия случай. Нека от единствените възможни, несъвместими и еднакво вероятни събития , , ..., събитие A да бъде предпочитано от m събития, събитие B да бъде предпочитано от k събития и събитие AB да бъде предпочитано от r събития (, ). Тогава , , a (от общото решение на задачата за намиране на условната вероятност). Замествайки получените стойности на вероятността във формула (2), получаваме идентичност. Теоремата е доказана.

Коментирайте.Теоремата за умножение е валидна и в случай, когато едно от събитията A или B е невъзможно събитие, тъй като в този случай равенствата и се извършват заедно с .

Последица.Вероятността за съвместно възникване на няколко зависими събития е равна на произведението на вероятността за едно от тях и условните вероятности за всички останали, а вероятността за всяко следващо събитие се изчислява при предположението, че всички предишни събития вече са се случили .

Пример 3.Една кутия съдържа 5 бели, 4 черни и 3 сини топки. Всеки опит се състои в теглене на една топка на случаен принцип, без да се връща в кутията. Намерете вероятността бяла топка да се появи при първия опит, черна топка при втория и синя топка при третия.

Решение.Нека събитието А- при първия тест ще се появи бяла топка, събитие IN- по време на втория тест ще се появи черна топка; събитие СЪС- при третия тест ще се появи синя топка. Вероятността бяла топка да се появи при първия опит. Вероятността черна топка да се появи при втория опит, изчислена при предположението, че при първия опит се е появила бяла топка, т.е. условна вероятност. Вероятността синя топка да се появи в третия опит, изчислена при предположението, че бяла топка се е появила при първия опит и черна при втория: . От събитията А, БИ СЪСса последователни, тогава изискваната вероятност

Определение 2.Събитие Анаречен независима от събитието IN, ако вероятността от събитието Ане зависи от това дали събитието се е случило INили не:

(3)

(настъпването на събитие B не променя вероятността за събитие A).

Определение 3.Събитие Анаречен зависим от събитието IN, ако вероятността от събитието Асе променя в зависимост от случилото се събитие INили не.

Бележка 1.Ако събитие A е независимо от събитие B, тогава по силата на (2) равенството е в сила , (4)

Тези. събитие B също е независимо от A. Така, при направеното предположение, свойството за независимост на събитията е взаимно.

Бележка 2.Концепцията за независимост на събитията играе важна роля в теорията на вероятностите и нейните приложения. IN практически въпросиза да определят независимостта на събитията, те рядко се обръщат към изпълнението на равенства (3) и (4). Обикновено за това се използват интуитивни съображения, базирани на опит (пример с монета и т.н.). За независими събития теоремата за умножение на вероятността има най-простата форма.

Теорема за умножение на вероятностите за независими събития.Вероятността за произведението на две независими събития е равна на произведението на техните вероятности:

.

Забележка 3.Ако независимостта на събитията се определя от равенството , то това определение винаги е вярно, включително когато и .

Определение 4.Извикват се събития , , … колективно независими , ако за всяко събитие от техния брой и произволни , , ..., са взаимно независими.

Бележка 4.Съгласно забележка 3, това определение е еквивалентно на следното.

Определение 4.За всякакви и .

Бележка 5.За независимост в съвкупността от няколко събития тяхната двойна независимост не е достатъчна.

Пример.Лицата на тетраедъра са оцветени: 1-во - червено, 2-ро - зелено, 3-то - синьо, 4-то - всички тези 4 цвята (ABC). Лесно се вижда, че вероятността лицето, върху което ще падне тетраедърът, когато бъде хвърлен, да е червено, е 0,5: има 4 лица, 2 от които са червени на цвят. Тогава. По същия начин може да се изчисли, че

По този начин събития A, B, C са независими по двойки. Ако обаче събития B и C са се случили заедно, тогава събитие A също се е случило, т.е. . Следователно събития A, B и C са колективно зависими.

Обобщение на теоремата за умножение на вероятноститев случай на произволен краен брой независими събития: .

Пример 4.Вероятността стрелецът да уцели целта с един изстрел е равна на . Стрелецът е произвел три изстрела. Намерете вероятността той да удари три пъти.

Решение.Нека събитието А- стрелецът уцели целта с първия изстрел, събитие IN- стрелецът уцели целта с втория изстрел; събитие СЪС- стрелецът уцели целта при третия изстрел. Вероятностите на тези събития са равни една на друга: . Тъй като вероятността за попадение в целта с всеки изстрел не зависи от резултата на другите изстрели, тогава и трите събития са независими в съвкупност, тогава .

Последица. (Теоремата за вероятността за възникване на поне едно от набор от независими събития).Вероятността за настъпване на поне едно от набор от независими събития А А

Условна вероятност

Събитие. Пространство на елементарни събития. Определено събитие, невъзможно събитие. Съвместни и несъвместни събития. Еднакво възможни събития. Пълна група от събития. Операции върху събития.

Събитиее феномен, за който може да се каже, че е се случваили не се случва, в зависимост от характера на самото събитие.

Под елементарни събитиясвързани с конкретен тест разбират всички нередуцируеми резултати от този тест. Всяко събитие, което може да възникне в резултат на този тест, може да се разглежда като набор от елементарни събития.

Пространството на елементарните събитияизвиква се произволно множество (крайно или безкрайно). Нейните елементи са точки (елементарни събития). Подмножествата на пространството на елементарните събития се наричат ​​събития.

Надеждно събитиеИзвиква се събитие, което със сигурност ще се случи в резултат на даден тест; (обозначен с E).

Невъзможно събитиее събитие, което в резултат на даден тест, не може да се случи; (означено с U). Например, появата на една от шест точки по време на едно хвърляне на зара е надеждно събитие, но появата на 8 точки е невъзможно.

Двете събития се наричат съвместно(съвместими) в даден експеримент, ако появата на един от тях не изключва появата на другия.

Двете събития се наричат несъвместими(несъвместими) в даден експеримент, ако не могат да се появят заедно в едно и също изпитване. Няколко събития се наричат ​​несъвместими, ако са несъвместими по двойки.

Начало на формата

Край на формата

Едно събитие е явление, за което може да се каже се случваили не се случва, в зависимост от характера на самото събитие. Събитията се обозначават с главни букви на латинската азбука A, B, C,... Всяко събитие възниква в резултат натестове .или Например хвърлянето на монета е изпитание, появата на герб е събитие; изваждаме лампата от кутията - тест, тя е дефектна - събитие; Изваждаме произволно топка от кутията - тест, топката се оказва черна - събитие.Случайно събитие е събитие, което може случи сеняма да стане не може да се случи; (означено с U). Например, появата на една от шест точки по време на едно хвърляне на зара е надеждно събитие, но появата на 8 точки е невъзможно.Еднакво възможни събития са онези събития, всяко от които

няма предимство при явяване

по-често от други по време на множество тестове, които се провеждат при едни и същи условия.Двойно несъвместими събития са събития, две от които не могат да се появят заедно.

Вероятността за случайно събитие е отношението на броя на събитията, които благоприятстват това събитие, към общия брой на всички еднакво възможни несъвместими събития: P(A) = където A е събитието; P(A) - вероятност за събитие; N е общият брой еднакво възможни и несъвместими събития; N(A) е броят на събитията, които са в полза на събитие А. Това е класическата дефиниция на вероятността за случайно събитие.
Класическата дефиниция на вероятността се прилага за тестове с краен брой еднакво възможни резултати от тестове.
Под елементарни събития, свързани с определен тест, разбираме всички неразложими резултати от този тест. Всяко събитие, което може да възникне в резултат на този тест, може да се разглежда като набор от елементарни събития.


Пространството на елементарните събития е произволно множество (крайно или безкрайно). Нейните елементи са точки (елементарни събития). Подмножествата на пространството на елементарните събития се наричат ​​събития.

Нарича се числена мярка за степента на обективна възможност за настъпване на събитие вероятност за събитие. Това определение, което качествено отразява концепцията за вероятността от събитие, не е математическо. За да стане това е необходимо да се дефинира качествено.

Според класическа дефиниция вероятността за събитие А е равна на съотношението на броя на благоприятните за него случаи към общия брой случаи, т.е.

Където P(A) е вероятността за събитие A.

Брой случаи в полза на събитие А

Общ брой случаи.

Статистическа дефиниция на вероятността:

Статистическата вероятност за събитие А е относителната честота на възникване на това събитие в извършените тестове, тоест:

Къде е статистическата вероятност за събитие А.

Относителна честота(и) на събитие А.

Брой опити, в които се появяват събития А

Общ брой опити.

За разлика от „математическата“ вероятност, разглеждана в класическата дефиниция, статистическата вероятност е характеристика на експерименталната, експериментална вероятност.

Ако има част от случаите, благоприятстващи събитие А, което се определя директно, без каквито и да е тестове, тогава има част от действително извършените опити, при които се е появило събитие А.

Геометрична дефиниция на вероятността:

Геометричната вероятност за събитие А е съотношението на мярката на региона, благоприятен за настъпването на събитие А, към мярката на целия регион, тоест:

В едномерния случай:


Трябва да оцените вероятността точка да удари CD/

Оказва се, че тази вероятност не зависи от местоположението на CD върху сегмента AB, а зависи само от неговата дължина.


Вероятността за попадение на точка не зависи нито от формите, нито от разположението на B върху A, а зависи само от площта на дадения сегмент.

Условна вероятност

Вероятността се нарича условно , ако се изчислява при определени условия и се обозначава:

Това е вероятността за събитие A. Тя се изчислява при условие, че събитие B вече е настъпило.

Пример. Извършваме тест, теглим две карти от тестето: Първата вероятност е безусловна.

Изчисляваме вероятността да изтеглим асо от тестето:

Изчисляваме появата на 2 аса от тестето:

A*B – съвместно протичане на събития

– теорема за умножение на вероятностите

Последица:

Теоремата за умножение за едновременно протичане на събития е:

Тоест, всяка следваща вероятност се изчислява, като се вземе предвид, че всички предишни условия вече са настъпили.

Независимост на събитието:

Две събития се наричат ​​независими, ако настъпването на едното не противоречи на настъпването на другото.

Например, ако асата се изтеглят многократно от тесте, тогава те са независими едно от друго. Многократно, тоест картата беше погледната и върната обратно в тестето.

Съвместни и несъвместни събития:

Съвместно 2 събития се наричат, ако настъпването на едно от тях не противоречи на настъпването на другото.

Теорема за добавяне на вероятности съвместни събития:

Вероятността за настъпване на едно от двете съвместни събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития без съвместното им настъпване.

За три съвместни събития:

Събитията се наричат ​​несъвместими, ако две от тях не могат да се появят едновременно в резултат на едно изпитание на случаен експеримент.

Теорема:Вероятността за възникване на едно от две несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития.

Вероятност за сумата от събития:

Теорема за добавяне на вероятности:

Вероятността за сумата от краен брой несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития:

Следствие 1:

Сумата от вероятностите за събития, образуващи пълна група, е равна на единица:

Следствие 2:

коментар:Трябва да се подчертае, че разглежданата теорема за добавяне е приложима само за несъвместими събития.

Вероятност за противоположни събития:

Отсрещасе наричат ​​две уникални възможни събития, които образуват пълна група. Едно от двете противоположни събития е обозначено с А, другият – през .

Пример: Попадение и пропуск при стрелба по мишена са противоположни събития. Ако А е хит, значи е пропуск.

Теорема:Сумата от вероятностите за противоположни събития е равна на единица:

Бележка 1:Ако вероятността за едно от две противоположни събития е означена с p, тогава вероятността за другото събитие е означена с q. Така, по силата на предишната теорема:

Бележка 2:При решаване на задачи за намиране на вероятността за събитие A, често е изгодно първо да се изчисли вероятността за събитието и след това да се намери желаната вероятност, като се използва формулата:

Вероятност за настъпване на поне едно събитие:

Да приемем, че в резултат на експеримента може да се появи едно, част от събитието или никакво.

Теорема:Вероятността за възникване на поне едно събитие от набор от независими събития е равна на разликата между единица и тяхната вероятност за липса на събития.

Формула за общата вероятност от събития:

Теорема:Ако събитие F може да се случи само ако се случи едно от събитията (хипотези), които образуват пълната група, тогава вероятността за събитието F е равна на сумата от произведенията на вероятностите за всяко от тези събития (хипотези) по съответните условни вероятности на събитието F.

Формулата за обща вероятност ви позволява да намерите вероятността за събитие А, което може да се случи само с всеки от пвзаимно изключващи се събития, които формират цялостна система, ако техните вероятности са известни, и условни вероятности събития Аспрямо всяко от системните събития са равни.

Събитията се наричат ​​още хипотези; те са взаимно изключващи се. Следователно в литературата можете да намерите и тяхното обозначение не по буквата б, и писмото з(хипотеза).

За решаване на проблеми с такива условия е необходимо да се разгледат 3, 4, 5 или общ случай пвъзможност за възникване на събитие А- с всяко събитие.

Използвайки теоремите за събиране и умножение на вероятностите, получаваме сумата от продуктите на вероятностите за всяко от събитията на системата по условна вероятност събития Аотносно всяко от системните събития. Тоест вероятността от събитие Аможе да се изчисли с помощта на формулата

или като цяло

,

което се нарича формула за обща вероятност .

Формула за пълна вероятност: примери за решаване на проблеми

Пример 1.Има три еднакви на вид урни: първата има 2 бели топки и 3 черни, втората има 4 бели и една черна, третата има три бели топки. Някой се приближава произволно до една от урните и изважда една топка от нея. Възползвайки се формула за обща вероятност, намерете вероятността тази топка да е бяла.

Решение. Събитие А- появата на бяла топка. Излагаме три хипотези:

Първата урна е избрана;

Втората урна е избрана;

Третата урна е избрана.

Условни вероятности за събитие Аотносно всяка от хипотезите:

, , .

Прилагаме формулата за обща вероятност, което води до необходимата вероятност:

.

Пример 2.В първия завод от всеки 100 електрически крушки се произвеждат средно 90 стандартни крушки, във втория - 95, в третия - 85, като продукцията на тези заводи съставлява съответно 50%, 30% и 20% от всички електрически крушки, доставени на магазините в определен район. Намерете вероятността да закупите стандартна електрическа крушка.

Решение. Нека обозначим вероятността за закупуване на стандартна електрическа крушка с А, и събитията, че закупената електрическа крушка е произведена съответно в първи, втори и трети завод до . По условие вероятностите за тези събития са известни: , , и условни вероятности за събитието Апо отношение на всеки от тях: , , . Това са вероятностите за закупуване на стандартна електрическа крушка, при условие че е произведена съответно в първия, втория и третия завод.

Събитие Аще се случи, ако се случи събитие К- електрическата крушка е произведена в първия завод и е стандартна или събитиена Л- крушката е произведена във втори завод и е стандартна или ивентна М- крушката е произведена в трети завод и е стандартна. Други възможности за настъпване на събитието Ане Следователно събитието Ае сумата от събития К, ЛИ М, които са несъвместими. Използвайки теоремата за добавяне на вероятностите, ние си представяме вероятността за събитие Авъв формата

и чрез теоремата за умножение на вероятността получаваме

тоест специален случайформули за пълна вероятност.

Замествайки стойностите на вероятността в лявата част на формулата, получаваме вероятността за събитието А :

Пример 3.Самолетът каца на летището. Ако времето позволява, пилотът приземява самолета, използвайки освен прибори и визуално наблюдение. В този случай вероятността за безопасно кацане е равна на . Ако летището е покрито с ниска облачност, тогава пилотът приземява самолета, ръководен само от прибори. В този случай вероятността за безопасно кацане е равна на; . Устройствата, които осигуряват сляпо кацане, са надеждни (вероятност за безотказна работа) П. При наличие на ниска облачност и неуспешни инструменти за сляпо кацане, вероятността за успешно кацане е равна на; . Статистиката показва, че в к% от кацанията летището е покрито с ниска облачност. Намерете обща вероятност за събитие А- безопасно кацане на самолета.

Решение. Хипотези:

Няма ниска облачност;

Има ниска облачност.

Вероятности на тези хипотези (събития):

;

Условна вероятност.

Отново ще намерим условната вероятност, използвайки формулата за пълна вероятност с хипотези

Слепите устройства за кацане работят;

Инструментите за сляпо кацане отказаха.

Вероятности на тези хипотези:

Според формулата за пълна вероятност

Пример 4.Устройството може да работи в два режима: нормален и ненормален. Нормален режим се наблюдава в 80% от всички случаи на работа на устройството, а ненормален режим - в 20% от случаите. Вероятност за повреда на устройството в рамките на определено време tравно на 0,1; при ненормално 0,7. Намерете пълна вероятностотказ на устройството с течение на времето t.

Решение. Отново обозначаваме вероятността от повреда на устройството А. И така, по отношение на работата на устройството във всеки режим (събитие), вероятностите са известни според условието: за нормален режим това е 80% (), за ненормален режим - 20% (). Вероятност за събитие А(т.е. повреда на устройството) в зависимост от първото събитие (нормален режим) е равно на 0,1 (); в зависимост от второто събитие (ненормален режим) - 0,7 ( ). Ние заместваме тези стойности във формулата за обща вероятност (т.е. сумата от продуктите на вероятността на всяко от събитията на системата с условната вероятност на събитието Аотносно всяко от събитията на системата) и пред нас е търсеният резултат.

Определение 1. Казва се, че събитие A зависи от събитие B, ако вероятността за настъпване на събитие A зависи от това дали събитие B се е случило или не. Вероятността събитие A да е настъпило, като се има предвид, че събитие B е настъпило, ще бъде обозначена и наречена условна вероятност за събитие А, предмет на Б.

Пример 1. В урната има 3 бели топки и 2 черни топки. Една топка се тегли от урната (първо теглене), а след това втора топка (второ теглене). Събитие B е появата на бяла топка по време на първото теглене. Събитие А е появата на бяла топка по време на второ теглене.

Очевидно вероятността за събитие A, ако се случи събитие B, ще бъде

Вероятността за събитие A, при условие че събитие B не се е случило (черна топка се появи по време на първото теглене), ще бъде

Виждаме това

Теорема 1. Вероятността за комбиниране на две събития е равна на произведението на вероятността на едно от тях и условната вероятност на второто, изчислена при условие, че се е случило първото събитие, т.е.

Доказателство. Представяме доказателството за събития, които се свеждат до модела на urn (т.е. в случая, когато е приложимо класическото определение за вероятност).

Нека има топки в урната, бели и черни. Да предположим, че сред белите топки има топки, отбелязани със „звездичка“, а останалите са чисто бели (фиг. 408).

От урната се изтегля една топка. Каква е вероятността за изваждане на бяла топка, отбелязана със „звезда“?

Нека B е събитие, състоящо се в появата на бяла топка, A е събитие, състоящо се в появата на топка, отбелязана със звездичка.

Вероятността да се появи бяла топка със звездичка, като се има предвид, че се появи бяла топка, ще бъде

Вероятността да се появи бяла топка със звезда е P (A и B). очевидно,

Замествайки левите части на изрази (2), (3) и (4) в (5), получаваме

Равенството (1) е доказано.

Ако разглежданите събития не се вписват в класическата схема, тогава формулата (1) служи за определяне на условната вероятност. А именно, условната вероятност за събитие A при настъпване на събитие B се определя с помощта на

Забележка 1. Приложете последната формула към израза:

В равенствата (1) и (6) левите страни са равни, тъй като това е същата вероятност, следователно десните страни също са равни; Следователно можем да напишем равенството

Пример 2. За случая на пример 1, даден в началото на този раздел, имаме. Съгласно формула (1) получаваме Вероятността P(A и B) се изчислява лесно и директно.

Пример 3. Вероятността да се произведе подходящ продукт с тази машина е 0,9. Вероятността продукт от 1-ви клас да се появи сред подходящи продукти е 0,8. Определете вероятността да произведете продукт от 1-ви клас с помощта на тази машина.

Решение. Събитие B е производството на подходящ продукт с помощта на тази машина, събитие A е появата на продукт от 1-ви клас. Тук, замествайки във формула (1), получаваме желаната вероятност

Теорема 2. Ако събитие А може да се случи само ако се случи едно от събитията, които образуват пълна група от несъвместими събития, тогава вероятността за събитие А се изчислява по формулата

Формула (8) се нарича формула за обща вероятност. Доказателство. Събитие А може да възникне, когато се случи някое от комбинираните събития

Следователно, чрез теоремата за добавяне на вероятности получаваме

Заменяйки членовете от дясната страна съгласно формула (1), получаваме равенство (8).

Пример 4. Произвеждат се три последователни изстрела по мишената. Вероятност за попадение с първия изстрел с втория с третия С едно попадение, вероятността за попадение в целта с две попадения, с три попадения Определете вероятността за попадение в целта с три изстрела (събитие A).

Както беше отбелязано в началото на нашия курс, имаме предвид, че експериментът се провежда при някакъв фиксиран набор от условия K. Ако тези условия се променят, тогава вероятността от събития, свързани с този експеримент, също се променя. Такава промяна винаги може да се разбира като появата на някакво събитие (различно от първоначалния набор от условия K). За да разберете как да определите нова (условна) вероятност в този случай, разгледайте съответните честоти. Нека експериментът се проведе N пъти, събитие B се случи N(B) пъти и събития A и B заедно N(AB) пъти. Тогава „условната“ честота на събитие А сред тези експерименти, при които е настъпило събитие В, е равна на

Имайки предвид, че вероятността наследява свойствата на честотите, можем да дадем следното

Определение 1. Условна вероятност за събитие А, при условие, че събитието се е случило , позвъни на номера

Понякога се използва друго обозначение

Пример 1. Симетрична монета се хвърля два пъти. Известно е, че един герб е паднал (събитие Б). Намерете вероятността за събитие А, състоящо се в това, че гербът е излязъл при първото хвърляне.

Лесно е да се изчисли това , А . От това следва, че

Лесно е да се провери, че за фиксирано B условната вероятност има следните свойства:

По този начин условната вероятност има всички основни свойства на вероятността.

Много важна роляважи следната теорема.

Теорема за умножение. Нека A и B са две събития и тогава

Неговото доказателство следва от определението за условна вероятност. Ползата от тази теорема е, че понякога можем директно да изчислим условната вероятност и след това да я използваме за изчисляване

Пример 2. В една урна има 5 топки - 3 бели и 2 черни. Без да се връщаме, избираме две топки. Намерете вероятността и двете топки да са бели.

Нека събитието е, че първата топка е бяла, а събитието, че втората топка е бяла. Лесно е да се изчисли това След като сме извадили една топка и знаем, че е бяла, имаме 4 топки и от тях 2 са бели. Тогава . По теоремата за умножение

Теоремата за умножение може лесно да се разшири до всеки краен брой събития.

Следствие 1. Тогава нека са случайни събития

Ако настъпването на събитие B не променя вероятността за събитие A, т.е. , тогава е естествено такива събития да се наричат ​​независими. В този случай по теоремата за умножение получаваме

Последната връзка е симетрична по отношение на A и B и има смисъл при . Затова ще го приемем като определение.

Определение 2. Събитията A и B се наричат ​​независими ако

Пример 3. Хвърлят се две симетрични монети. Събитие А е, че първата монета има герб, а събитие Б е, че втората монета има герб.

Интуитивно е ясно, че подобни събития трябва да са независими. наистина ,,

По този начин A и B са независими по смисъла на определението. По-малко очевидно е, че събития A и C са независими, където C означава, че е нарисуван само един герб (докажете го!).

По-трудно е да се определи независимостта на повече от две събития.

Определение 3. Събитията се наричат ​​независими общо,ако за всяко и всички събития от считаните е справедливо

Нека покажем с примери, че независимостта по двойки и изпълнението на последното равенство за списъка от всички събития не са достатъчни за независимост в съвкупността.

Пример 4. Правилен тетраедър е боядисан в три цвята: едното лице е синьо, второто е червено, третото е зелено, а четвъртото има и трите цвята. Този тетраедър се хвърля и се отбелязва на коя страна пада.

Нека означава външен вид синьо, - червено, - зелено. тогава, ,,

От тук разбираме това. По същия начин и за други двойки. Така имаме независимост по двойки. Но

Задача 1. Измислете пример за експеримент и три събития ,,, за които , но които не са независими по двойки.

Можем да дадем следното по-общо

Определение 4. Нека са някои класове събития.

Те се наричат ​​независими, ако някакви събития са независими в съвкупността.

Типична ситуация е описана в следния пример.

Пример 5. Симетричен зар се хвърля два пъти. обозначава набор от събития, свързани с резултата от първото хвърляне. се определя по подобен начин за резултата от второто хвърляне. Тогава те са независими.

Следният резултат е полезен при много проблеми.

Изречение 1. Ако събития A и B са независими, тогава всеки две от следните са независими: .

Доказателство. Да докажем независимост.

Предлага се да се докаже независимостта на останалите двойки събития независимо.

В много ситуации срещаме експерименти, които могат да бъдат разделени на два (или повече) етапа. На първия етап имаме няколко варианта и питаме нещо за това, което се случи накрая - на втория етап. В този случай резултатът, даден по-долу, е изключително полезен. Да започнем със следното определение.

Определение 5. Събитията образуват пълна група от събития (пространствен дял), ако

Теорема 1. Нека събитията образуват пълна група от събития, за всички и е произволно събитие. Тогава - формула за обща вероятност.

Доказателство. Тъй като събитията образуват пълна група, имаме

От тук получаваме

Където използвахме теоремата за умножение.

Пример 6. В дадена фабрика 30% от продуктите се произвеждат от машина A, 25% от продуктите от машина B, а останалите продукти от машина C. Машина A губи 1% от продукцията си, машина A - 1,2%, и машина С - 2 %. Един продукт беше избран на случаен принцип от всички произведени продукти. Каква е вероятността да е дефектен?

Нека означим събитието, че избраната част е произведена на машина A, - на машина B, - на машина C. Нека означим с D събитието, че избраната част е дефектна. Събитията образуват пълна група от събития. Според условията на проблема