КОМПЮТЪРЕН МОДЕЛ “ХИЩНИК-ЖЕРТВА”

Казачков Игор Алексеевич 1, Гусева Елена Николаевна 2
1 Магнитогорски държавен технически университет на името на. Г.И. Носова, Институт по строителство, архитектура и изкуство, студент 5-та година
2 Магнитогорски държавен технически университет на името на. Г.И. Носов, Институт по енергетика и автоматизирани системи, кандидат на педагогическите науки, доцент на катедра „Бизнес информатика и информационни технологии“

Анотация
Тази статия е посветена на преглед на компютърния модел „хищник-плячка“. Проведеното изследване предполага, че екологичното моделиране играе огромна роля в екологичните изследвания. Този въпрос е многостранен.

КОМПЮТЪРЕН МОДЕЛ "ХИЩНИК-ЖЕРТВА"

Казачков Игор Алексеевич 1, Гусева Елена Николаевна 2
1 Носов Магнитогорски държавен технически университет, Институт по строителство, архитектура и изкуства, студент от 5-ти курс
2 Магнитогорски държавен технически университет "Носов", Институт по енергетика и автоматизирани системи, доктор на педагогическите науки, доцент на катедра "Бизнес компютърни науки и информационни технологии"

Резюме
Тази статия предоставя преглед на компютърния модел "хищник-жертва". Проучването предполага, че симулацията на околната среда играе огромна роля в изследването на околната среда. Този проблем е многостранен.

Екологичното моделиране се използва за изследване на околната среда. Математически модели се използват в случаите, когато няма естествена средаи няма природни обекти, помага да се направи прогноза за влиянието на различни фактори върху изследвания обект. Този метод поема функциите на проверка, конструиране и интерпретиране на получените резултати. Въз основа на такива форми моделирането на околната среда се занимава с оценка на промените в околната среда около нас.

IN настоящ моментПодобни форми се използват за изследване на околната среда около нас, а когато е необходимо да се изследва някоя от нейните области, се използва математическо моделиране.

Този модел позволява да се предвиди влиянието на определени фактори върху обекта на изследване. По едно време типът „хищник-плячка“ беше предложен от такива учени като: Т. Малтус (Malthus 1798, Malthus 1905), Верхулст (Verhulst 1838), Пърл (Pearl 1927, 1930), както и А. Лотка ( Lotka 1925, 1927 ) и V. Volterra (Volterra 1926) Тези модели възпроизвеждат периодичния колебателен режим, който възниква в резултат на междувидовите взаимодействия в природата. Един от основните методи на познание е моделирането. В допълнение към факта, че може да предскаже промените, настъпващи в околната среда, той също помага за намираненай-добрият начин решаване на проблема. Математическите модели се използват в екологията от дълго време, за да се установят модели и тенденции в развитието на популациите и да се подчертае същността на наблюденията. Оформлението може да служи като пример

поведение, обект. При пресъздаване на обекти в математическата биология се използват прогнозиразлични системи , специални индивидуалности на биосистемите са предвидени за: вътрешната структура на индивида, условията за поддържане на живота, постоянствотоекологични системи
, благодарение на което се запазва жизнената дейност на системите. Появата на компютърното моделиране значително напредна границата на изследователските възможности. Има възможност за многостранно изпълнениетрудни форми , които не позволяват аналитично изследване, се появиханай-новите направления

, както и симулационно моделиране.Нека да разгледаме какво е моделиращ обект. „Обектът е затворено местообитание, където си взаимодействат две биологични популации: хищници и плячка. Протича процесът на растеж, изчезване и размножаване

директно върху повърхността на местообитанието. Плячката се храни с ресурсите, които присъстват в околната среда, докато хищниците се хранят с плячката.

В този случай хранителните ресурси могат да бъдат възобновяеми или невъзобновими.

Закон за запазване на средните стойности - Средното изобилие на всеки вид е постоянно, независимо от първоначалното ниво, при условие че специфичните темпове на нарастване на популацията, както и ефективността на хищничеството, са постоянни.

Законът за нарушаване на средните стойности - когато и двата вида намаляват пропорционално на техния брой, средният размер на популацията на плячката се увеличава, а този на хищниците намалява.

Моделът хищник-плячка е специална връзка между хищник и неговата плячка, в резултат на което и двамата печелят. Оцеляват най-здравите и адаптирани към условията на средата индивиди, т.е. всичко това се случва благодарение на естествения подбор. В среда, в която няма възможност за възпроизводство, хищникът рано или късно ще унищожи популацията на плячката, в резултат на което самата тя ще измре.“

На земята има много живи организми, които при благоприятни условия увеличават броя на своите роднини до огромни размери. Тази способност се нарича: биотичен потенциал на вида, т.е. увеличаване на числеността на даден вид за определен период от време. Всеки вид има свой собствен биотичен потенциал, например големите видове организми могат да се увеличат само 1,1 пъти за една година, докато организмите от по-малки видове, като ракообразни и др. могат да увеличат появата си до 1030 пъти, но бактериите са все още повече. Във всеки от тези случаи населението ще нараства експоненциално.

Експоненциалният растеж на населението е геометрична прогресия на растежа на населението. Тази способност може да се наблюдава в лабораторията при бактерии и дрожди. В нелабораторни условия експоненциален растежможе да се види в примера на скакалците или в примера на други видове насекоми. Такова увеличение на броя на видовете може да се наблюдава на места, където практически няма врагове и има повече от достатъчно храна. В крайна сметка нарастването на видовете, след като броят им се е увеличил за кратък период от време, растежът на популацията започва да намалява.

Нека разгледаме компютърен модел на възпроизвеждане на бозайници, използвайки модела на Лотка-Волтера като пример. Нека В определен район живеят два вида животни: елени и вълци. Математически модел на промените в населението в моделаТрайс-Волтера:

Първоначалният брой на жертвите е xn, броят на хищниците е yn.

Параметри на модела:

P1 – вероятност за среща с хищник,

P2 – коефициент на растеж на хищниците за сметка на плячката,

d – коефициент на смъртност на хищници,

a – коефициент на нарастване на броя на жертвите.

IN учебна задачабяха зададени следните стойности: броят на елените беше 500, броят на вълците беше 10, темпът на растеж на елените беше 0,02, темпът на растеж на вълците беше 0,1, вероятността за среща с хищник беше 0,0026, темпът на растеж на хищници за сметка на плячка е 0,000056. Данните са изчислени за 203 години.

Ние изследваме влиянието коефициентът на нарастване на жертвите за развитието на две популации, останалите параметри ще останат непроменени.В схема 1 се наблюдава увеличаване на броя на плячката и след това с известно закъснение се наблюдава увеличаване на хищниците. След това хищниците нокаутират жертвите, броят на жертвите рязко намалява и след него намалява броят на хищниците (фиг. 1).

Фигура 1. Размер на населението с ниска раждаемост сред жертвите

Нека анализираме промяната в модела чрез увеличаване на раждаемостта на жертвата a=0,06. На диаграма 2 виждаме цикличен осцилаторен процес, водещ до увеличаване на броя на двете популации с течение на времето (фиг. 2).

Фигура 2. Размер на населението при средна раждаемост на жертвите

Нека разгледаме как ще се промени динамиката на населението при висока стойност на раждаемостта на жертвата a=1,13. На фиг. 3 има рязко нарастване на числеността и на двете популации, последвано от изчезване както на плячка, така и на хищник. Това се дължи на факта, че популацията на плячката се е увеличила до такава степен, че ресурсите са започнали да се изчерпват, което води до изчезването на плячката. Изчезването на хищниците се дължи на факта, че броят на плячката е намалял и хищниците са изчерпали ресурсите си, за да оцелеят.

Фигура 3. Размер на населението с висока раждаемост сред жертвите

Въз основа на анализа на данните от компютърни експерименти можем да заключим, че компютърното моделиране ни позволява да прогнозираме размера на популацията и да изследваме влиянието на различни фактори върху динамиката на популацията. В горния пример разгледахме модела хищник-плячка, влиянието на раждаемостта на плячката върху броя на елените и вълците. Малкото увеличение на популацията на плячката води до малко увеличение на плячката, която след определен период се унищожава от хищници.Умереното увеличение на популацията на плячката води до увеличаване на размера и на двете популации. Голямото увеличение на популацията на плячката първо води до бързо нарастване на популацията на плячка, това се отразява на увеличаването на растежа на хищниците, но след това размножаващите се хищници бързо унищожават популацията на елените. В резултат на това и двата вида изчезват.

Гусева Е. Н. Теория на вероятностите и математическа статистика: учебник ръководство – 5 изд., доп. и преработено: [електронен ресурс]/ Е. Н. Гусева. – М.: Флинта, 2011.– 220 с.

Ризниченко Г.Ю. Математическа екология. М., 2009

Рубецков D.I. Феноменът на математическия модел на Лотка-Волтера и подобни // Известия университети. Приложна нелинейна динамика. - 2011. - № 2. - С. 69-87.

Ризниченко Г.Ю. Математическа екология. М., 2009

Волтера V. Математическа теория на борбата за съществуване. Москва-Ижевск: Институт за компютърни технологии, 2004. - 288 с.

Природата на мислите и моделите на природата. / Ед. Д.М. Гвишиани, И.Б. Novika, S.A. Пегова. М.: Мисъл, 2006.

Королев А. Компютърно моделиране/А. Королев: Бином, 2010.

Брой прегледи на публикацията: моля изчакайте

Взаимодействие на индивидите в системата хищник-жертва

5 курс 51 А група

Катедра по биоекология

Назарова А. А.

Научен ръководител:

Подшивалов А. А.

Оренбург 2011 г

ВЪВЕДЕНИЕ

ВЪВЕДЕНИЕ

В нашите ежедневни разсъждения и наблюдения, ние, без да го знаем, а често дори и без да го осъзнаваме, се ръководим от закони и идеи, открити преди много десетилетия. Имайки предвид проблема хищник-плячка, предполагаме, че жертвата също косвено влияе върху хищника. Какво щеше да вечеря един лъв, ако нямаше антилопи; какво биха направили мениджърите, ако нямаше работници; как да развием бизнес, ако клиентите нямат средства...

Системата „хищник-плячка“ е сложна екосистема, за която се реализират дълготрайни взаимоотношения между видовете хищник и плячка, типичен пример за коеволюция. Връзката между хищниците и тяхната плячка се развива циклично, илюстрирайки неутрално равновесие.

Изучаването на тази форма на междувидови взаимоотношения, в допълнение към получаването на интересни научни резултати, ни позволява да решим много практически проблеми:

оптимизиране на биотехническите мерки както по отношение на видовете плячка, така и по отношение на хищниците;

подобряване на качеството на териториалната защита;

регулиране на ловния натиск в ловните полета и др.

Горното определя актуалността на избраната тема.

Цел курсова работае изследване на взаимодействието на индивидите в системата "хищник-плячка". За постигане на целта се поставят следните задачи:

хищничеството и неговата роля при формирането на трофични връзки;

основни модели на връзката хищник-жертва;

влиянието на социалния начин на живот върху стабилността на системата „хищник-плячка”;

лабораторно моделиране на системата хищник-жертва.

Влиянието на хищниците върху броя на плячката и обратно е доста очевидно, но определянето на механизма и същността на това взаимодействие е доста трудно. Възнамерявам да разгледам тези въпроси в моята курсова работа.

#��������############################################# ### #######"#5#@#?#8#;#0###��#####################+# #### ######��\################ ################��#���# #### ######## Глава 4

ГЛАВА 4. ЛАБОРАТОРНО МОДЕЛИРАНЕ НА СИСТЕМАТА “ХИЩНИК - ПРИМИТ”

Учените от университета Дюк, в сътрудничество с колеги от Станфордския университет, Медицинския институт Хауърд Хюз и Калифорнийския технологичен институт, работещи под ръководството на д-р Лингчонг Ю, са разработили жива система от генетично модифицирани бактерии, която ще позволи по-подробно изследване на взаимодействие хищник-жертва на ниво популация.

Новият експериментален модел е пример за изкуствена екосистема, в която изследователите програмират бактериите да изпълняват нови функции. Такива препрограмирани бактерии могат да намерят широко приложение в медицината, почистването на околната среда и създаването на биокомпютри. Като част от тази работа учените пренаписаха „софтуера“ на E. coli (Escherichia coli) по такъв начин, че две различни бактериални популации формираха в лабораторията типична система от взаимодействия между хищник и жертва, чиято особеност беше, че бактериите не се поглъщаха един друг, но контролираха броя на противниковата популация чрез промяна на честотата на „самоубийствата“.

Областта на изследване, известна като синтетична биология, се появи около 2000 г. и повечето системи, създадени оттогава, разчитат на препрограмиране на една единствена бактерия. Моделът, разработен от авторите, е уникален с това, че се състои от две бактериални популации, живеещи в една и съща екосистема, чието оцеляване зависи една от друга.

Ключът към успешното функциониране на такава система е способността на двете популации да взаимодействат помежду си. Авторите създадоха два щама бактерии - „хищници“ и „тревопасни“, които в зависимост от ситуацията отделят токсични или защитни съединения в общата екосистема.

Принципът на работа на системата се основава на поддържане на съотношението на броя на хищниците и плячката в контролирана среда. Промените в броя на клетките в една от популациите активират препрограмирани гени, което задейства синтеза на определени химични съединения.

По този начин малък брой плячка в околната среда причинява активиране на гена за самоунищожение в клетките на хищника и тяхната смърт. Въпреки това, когато броят на плячката се увеличава, съединението, освободено в околната среда, достига критична концентрация и активира гена на хищника, който осигурява синтеза на „противоотрова“ на гена на самоубийството. Това води до увеличаване на популацията на хищници, което от своя страна води до натрупване в околната среда на съединение, синтезирано от хищници, което тласка жертвите към самоубийство.

Използвайки флуоресцентна микроскопия, учените документираха взаимодействията между хищници и плячка.

Клетките на хищници, оцветени в зелено, предизвикват самоубийство на клетките на плячката, оцветени в червено. Удължаването и разкъсването на клетката на плячката показва нейната смърт.

Тази система не е точно представяне на взаимодействията хищник-плячка в природата, т.к хищните бактерии не се хранят с плячка бактерии и двете популации се конкурират за едни и същи хранителни ресурси. Въпреки това авторите смятат, че разработената от тях система е полезен инструмент за биологични изследвания.

Новата система демонстрира ясна връзка между генетиката и динамиката на популацията, което ще помогне в бъдещи изследвания на влиянието на молекулярните взаимодействия върху промяната на популацията, централна тема в екологията. Системата предоставя практически неограничени възможности за променлива манипулация за подробно изследване на взаимодействията между околната среда, генната регулация и динамиката на популацията.

По този начин, чрез контролиране на генетичния апарат на бактериите, е възможно да се имитират процесите на развитие и взаимодействие на по-сложни организми.

ГЛАВА 3

ГЛАВА 3. ВЛИЯНИЕ НА СОЦИАЛНИЯ НАЧИН НА ЖИВОТ ВЪРХУ СТАБИЛНОСТТА НА СИСТЕМАТА „ХИЩНИК-ЖЕРТВА“

Еколози от САЩ и Канада показаха, че груповият начин на живот на хищниците и тяхната плячка радикално променя поведението на системата хищник-плячка и й придава повишена стабилност. Този ефект, потвърден от наблюдения върху динамиката на популацията на лъвове и антилопи гну в парка Серенгети, се основава на простия факт, че груповият начин на живот намалява честотата на случайните срещи между хищници и потенциални жертви.

Еколозите са разработили редица математически модели, които описват поведението на системата хищник-плячка. Тези модели, по-специално, дават добро обяснение за понякога наблюдаваните последователни периодични колебания в изобилието на хищници и плячка.

Такива модели обикновено се характеризират с високо ниво на нестабилност. С други думи, с широк диапазон от входни параметри (като смъртността на хищниците, ефективността на преобразуване на биомасата на плячката в биомасата на хищниците и т.н.) в тези модели, рано или късно всички хищници или изчезват, или първи изяжте всички жертви и след това пак умрете от глад.

В естествените екосистеми, разбира се, всичко е по-сложно, отколкото в математическия модел. Очевидно има много фактори, които могат да увеличат стабилността на системата хищник-плячка, и в действителност рядко води до такива резки скокове в числеността, както при канадските рисове и зайци.

Еколози от Канада и САЩ публикуваха в последен бройсписание " природа"статия, която привлече вниманието към един прост и очевиден фактор, който може драматично да промени поведението на системата хищник-плячка. Става въпрос заотносно груповия живот.

Повечето налични модели предполагат равномерно разпределение на хищниците и тяхната плячка в дадена област. На това се основават изчисленията за честотата на техните срещи. Ясно е, че колкото по-висока е плътността на плячката, толкова по-често хищниците ги срещат. От това зависи броят на атаките, включително успешните, и в крайна сметка интензивността на хищничеството от хищници. Например, ако има излишък от плячка (ако няма нужда да губите време в търсене), скоростта на потребление ще бъде ограничена само от времето, необходимо на хищника да хване, убие, изяде и смила следващата жертва. Ако плячката се среща рядко, основният фактор, определящ скоростта на паша, е времето, необходимо за търсене на жертвата.

В екологичните модели, използвани за описание на системите хищник-плячка, ключова роляРоля играе природата на зависимостта на интензивността на пашата (броя плячка, изядена от един хищник за единица време) от гъстотата на популацията на плячката. Последният се изчислява като брой животни на единица площ.

Трябва да се отбележи, че при групов начин на живот както на плячка, така и на хищници, първоначалното предположение за равномерно пространствено разпределение на животните не е изпълнено и следователно всички по-нататъшни изчисления стават неправилни. Например, при стаден начин на живот на плячка, вероятността да срещнете хищник всъщност няма да зависи от броя на отделните животни на квадратен километър, а от броя на стадата на една и съща единица площ. Ако плячката беше равномерно разпределена, хищниците биха се натъкнали на тях много по-често, отколкото при стаден начин на живот, тъй като между стадата се образуват огромни пространства, където няма плячка. Подобен резултат се получава и при груповия начин на живот на хищниците. Прайд от лъвове, скитащи из саваната, няма да забележат много повече потенциална плячка, отколкото би забелязал самотен лъв, който върви по същата пътека.

В продължение на три години (от 2003 до 2007 г.) учените проведоха внимателни наблюдения на лъвове и тяхната плячка (предимно антилопи гну) в обширна зона на парка Серенгети (Танзания). Плътността на населението се записва ежемесечно; редовно се оценява и интензивността на консумацията на лъвове различни видовекопитни животни Както самите лъвове, така и седемте основни вида от тяхната плячка водят групов начин на живот. Авторите въведоха необходимите изменения в стандартните екологични формули, за да отчетат това обстоятелство. Моделите са параметризирани въз основа на реални количествени данни, получени по време на наблюдения. Бяха разгледани четири варианта на модела: в първия груповият начин на живот на хищниците и плячката беше игнориран, във втория той беше взет предвид само за хищниците, в третия - само за плячката, а в четвъртия - и за двете .

Както може да се очаква, четвъртият вариант най-добре отговаряше на реалността. Той се оказа и най-стабилен. Това означава, че с широк диапазон от входни параметри в този модел е възможно дългосрочно стабилно съвместно съществуване на хищници и плячка. Данните от дългогодишни наблюдения показват, че и в това отношение моделът отразява адекватно реалността. Числеността на лъвовете и тяхната плячка в парка Серенгети е доста стабилна, като не се наблюдава нищо подобно на периодични координирани колебания (какъвто е случаят с рисовете и зайците).

Резултатите показват, че ако лъвовете и антилопите гну живеят сами, увеличаването на броя на плячката би довело до бързо ускоряване на хищничеството. Благодарение на груповия начин на живот това не се случва; активността на хищниците нараства сравнително бавно и общото ниво на паша остава ниско. Според авторите, подкрепени от редица косвени доказателства, броят на жертвите в парка Серенгети е ограничен не от лъвове, а от хранителни ресурси.

Ако ползите от колективизма за жертвите са съвсем очевидни, то по отношение на лъвовете въпросът остава открит. Това проучване ясно показа, че груповият начин на живот за хищник има сериозен недостатък - всъщност заради него всеки отделен лъв получава по-малко производство. Очевидно този недостатък трябва да бъде компенсиран с някои много съществени предимства. Традиционно се смяташе, че социалният начин на живот на лъвовете е свързан с лов на големи животни, с които дори лъвът трудно може да се справи сам. Въпреки това, в напоследъкмного експерти (включително авторите на обсъжданата статия) започнаха да се съмняват в правилността на това обяснение. Според тях колективните действия са необходими на лъвовете само при лов на биволи, а лъвовете предпочитат да се справят с други видове плячка сами.

Предположението, че прайдите са необходими за регулиране на чисто вътрешни проблеми, каквито има много в живота на лъва, изглежда по-правдоподобно. Например сред тях е разпространено детеубийството - убийството на чужди малки от мъжките. За жените, които остават в група, е по-лесно да защитят децата си от агресори. Освен това е много по-лесно за един прайд, отколкото за самотен лъв да защитава ловния си район от съседните прайдове.

Източник: Джон М. Фриксел, Анна Мосер, Антъни Р. Е. Синклер, Крейг Пакър. Образуването на групи стабилизира динамиката хищник-плячка // Природата. 2007. Т. 449. С. 1041–1043.

1. Симулационно моделиране системи "Хищник-жертва"

   Резюме >> Икономическо и математическо моделиране

   ... системи « Хищник-жертва"Изпълнен от Гизятулин Р.Р. гр.МП-30 Проверен от Лисовец Ю.П. МОСКВА 2007г Въведение Взаимодействие...модел взаимодействия хищниции жертвив самолет. Опростяване на предположенията. Нека се опитаме да сравним към жертватаи хищникнякои...

2. Хищник-Жертва

   Резюме >> Екология

   Приложенията на математическата екология са система хищник-жертва. Цикличното поведение на това системив стационарна среда беше... чрез въвеждане на допълнителна нелинейна взаимодействиямежду хищники жертва. Полученият модел има на своя...

3. Реферат по екология

   Резюме >> Екология

   фактор за жертви. Ето защо взаимодействие « хищник–жертва"има периодичен характер и се описва системаУравнения на Лотка... изместването е значително по-малко, отколкото в система « хищник–жертва". подобни взаимодействиясъщо се наблюдават в мимикрията на Батес. ...

Хищничество- форма на трофични връзки между организмите различни видове, за кой от тях ( хищник) атакува друг ( жертва) и се храни с плътта му, тоест обикновено има акт на умъртвяване на жертвата.

Система хищник-жертва- сложна екосистема, за която се реализират дълготрайни взаимоотношения между видовете хищник и плячка, типичен пример за коеволюция.

Коеволюцията е съвместната еволюция на биологични видове, взаимодействащи в една екосистема.

Връзката между хищниците и тяхната плячка се развива циклично, илюстрирайки неутрално равновесие.

1. Единственият ограничаващ фактор, ограничаващ размножаването на плячката, е натискът върху тях от хищници. Не се вземат предвид ограничените ресурси на средата за жертвата.

2. Размножаването на хищниците е ограничено от количеството храна, която получават (броя на жертвите).

В основата си моделът Lotka–Volterra е математическо описаниеДарвиновият принцип на борбата за съществуване.

Системата Volterra-Lotka, често наричана система хищник-плячка, описва взаимодействието на две популации - хищници (например лисици) и плячка (например зайци), които живеят според малко по-различни "закони". Плячката поддържа популацията си чрез хранене природен ресурс, като треви, което води до експоненциален растеж на популацията, ако няма хищници. Хищниците поддържат популацията си само като „ядат“ жертвите си. Следователно, ако популацията на плячката изчезне, тогава популацията на хищниците намалява експоненциално. Изяждането на плячка от хищници уврежда популацията на плячката, но в същото време осигурява допълнителен ресурс за размножаване на хищниците.

Въпрос

ПРИНЦИП ЗА МИНИМАЛЕН РАЗМЕР НА НАСЕЛЕНИЕТО

естествено съществуващ в природата феномен, характеризиращ се като уникален природен принцип, което означава, че всеки животински вид има определен минимален размер на популацията, нарушаването на който застрашава съществуването на популацията, а понякога и на вида като цяло.

правило за максимално население,се крие във факта, че популацията не може да се увеличава безкрайно поради изчерпването на хранителните ресурси и условията за възпроизводство (теория на Андреварта-Бърч) и ограничаването на въздействието на комплекс от абиотични и биотични фактори на околната среда (теория на Фредерикс).

Въпрос

И така, както вече беше ясно на Фибоначи, растежът на населението е пропорционален на неговия размер и следователно, ако растежът на населението не е ограничен от никакви външни фактори, той ускорява непрекъснато. Нека опишем този растеж математически.

Нарастването на популацията е пропорционално на броя на индивидите в нея, тоест Δ N~N, Къде Н-размер на популацията и Δ Н- изменението му за определен период от време. Ако този период е безкрайно малък, можем да напишем това dN/dt=r × Н , Къде dN/dt- промяна в размера на населението (растеж) и r - репродуктивен потенциал, променлива, характеризираща способността на популацията да увеличава размера си. Даденото уравнение се нарича експоненциален моделнарастване на населението (фиг. 4.4.1).

Фиг.4.4.1. Експоненциален растеж.

Както е лесно да се разбере, с течение на времето населението нараства все по-бързо и по-бързо и скоро се втурва към безкрайността. Естествено, никое местообитание не може да поддържа съществуването на популация с безкраен брой. Съществуват обаче редица процеси на нарастване на населението, които за определен период от време могат да бъдат описани с помощта на експоненциален модел. Говорим за случаи на неограничен растеж, когато някаква популация населява среда с излишък от свободни ресурси: крави и коне населяват пампата, брашнени бръмбари населяват елеватор за зърно, дрожди населяват бутилка гроздов сок и т.н.

Естествено експоненциалното нарастване на населението не може да продължи вечно. Рано или късно ресурсът ще бъде изчерпан и растежът на населението ще се забави. Какво ще е това спиране? Практическата екология знае най-много различни варианти: както рязко нарастване на числеността, последвано от изчезване на популация, която е изчерпала ресурсите си, така и постепенно забавяне на растежа с наближаването му определено ниво. Най-лесният начин да го опишем е бавното спиране. Най-простият модел, описващ такава динамика, се нарича логистикаи е предложен (за описване на нарастването на човешката популация) от френския математик Верхюлст през 1845 г. През 1925 г. подобен модел е преоткрит от американския еколог Р. Пърл, който предполага, че той е универсален.

В логистичния модел се въвежда променлива К- среден капацитет, равновесният размер на популацията, при който тя консумира всички налични ресурси. Увеличението в логистичния модел се описва с уравнението dN/dt=r × Н × (K-N)/К (фиг. 4.4.2).

ориз. 4.4.2. Логистичен растеж

чао Не малък, прирастът на населението се влияе основно от фактора r× Ни нарастването на населението се ускорява. Когато стане достатъчно висок, размерът на популацията започва да се влияе основно от фактора (K-N)/Ки нарастването на населението започва да се забавя. Кога N=K, (K-N)/K=0и нарастването на населението спира.

Въпреки цялата си простота, логистичното уравнение описва задоволително много случаи, наблюдавани в природата, и все още се използва успешно в математическата екология.

№ 16. Екологична стратегия за оцеляване- еволюционно развит набор от свойства на популация, насочени към увеличаване на вероятността за оцеляване и оставяне на потомство.

Така че A.G. Раменски (1938) разграничава три основни типа стратегии за оцеляване сред растенията: насилници, пациенти и експлеренти.

Насилници (siloviki) - потискат всички конкуренти, например дървета, образуващи местни гори.

Пациентите са видове, които могат да оцелеят в неблагоприятни условия(„сенколюбиви“, „солелюбиви“ и др.).

Експлерентите (пълнителите) са видове, които могат бързо да се появят там, където местните съобщества са нарушени - в сечища и опожарени места (трепетлики), на плитчини и др.

Екологичните стратегии на популациите са много разнообразни. Но в същото време цялото им разнообразие е между два вида еволюционен подбор, които се обозначават с константите на логистичното уравнение: r-стратегия и K-стратегия.

Знак	r-стратегии	К-стратегии
Смъртност	Не зависи от плътността	Зависи от плътността
Конкуренция	слаб	Остра
Продължителност на живота	Кратко	Дълги
Скорост на развитие	бързо	бавно
Време за възпроизвеждане	Рано	Късно
Подобряване на репродуктивната функция	слаб	Голям
Тип крива на оцеляване	Вдлъбнат	Изпъкнал
Размер на тялото	малък	Голям
Характер на потомството	Много, малки	Малък, голям
Размер на населението	Силни колебания	Константа
Предпочитана среда	Сменяем	Константа
Етапи на приемственост	Рано	Късно

Свързана информация.

Динамиката на населението е един от клоновете на математическото моделиране. Интересен е, защото има специфични приложения в биологията, екологията, демографията и икономиката. В този раздел има няколко основни модела, един от които, моделът Predator-Prey, се обсъжда в тази статия.

Първият пример за модел в математическата екология е моделът, предложен от V. Volterra. Той беше този, който за първи път разгледа модела на връзката между хищник и плячка.

Нека разгледаме постановката на проблема. Нека има два вида животни, едното от които поглъща другото (хищници и плячка). В този случай се правят следните предположения: хранителните ресурси на плячката не са ограничени и следователно, при липса на хищник, популацията на плячката нараства по експоненциален закон, докато хищниците, отделени от жертвите си, постепенно умират на глада, също според експоненциален закон. След като хищниците и плячката започнат да живеят в непосредствена близост един до друг, промените в размера на популацията им стават взаимосвързани. В този случай очевидно относителното увеличение на броя на плячката ще зависи от размера на популацията на хищниците и обратно.

В този модел се приема, че всички хищници (и цялата плячка) са в едни и същи условия. В същото време хранителните ресурси на жертвите са неограничени, а хищниците се хранят изключително с жертвите. И двете популации живеят в ограничен район и не взаимодействат с други популации и няма други фактори, които биха могли да повлияят на размера на популацията.

Самият математически модел „хищник – плячка” се състои от двойка диференциални уравнения, които описват динамиката на популациите от хищници и плячка в най-простия й случай, когато има една популация от хищници и една от плячка. Моделът се характеризира с колебания в размера на двете популации, като пикът при хищниците е малко зад пика при плячката. Този модел може да се намери в много трудове по динамика на населението или математическо моделиране. Той е широко застъпен и анализиран с помощта на математически методи. Формулите обаче не винаги могат да дадат очевидна представа за протичащия процес.

Интересно е да разберем как точно в този модел динамиката на населението зависи от изходните параметри и доколко това отговаря на реалността и здрав разум, и да го видите графично, без да прибягвате до сложни изчисления. За целта по модела Volterra е създадена програма в среда Mathcad14.

Първо, нека проверим модела за съответствие с реалните условия. За да направим това, нека разгледаме изродени случаи, когато само една от популациите живее при дадени условия. Теоретично е доказано, че при отсъствие на хищници популацията на плячката се увеличава неограничено във времето, а популацията на хищник при липса на плячка измира, което като цяло отговаря на модела и реалната ситуация (с посочената формулировка на проблем).

Получените резултати отразяват теоретичните: хищниците постепенно измират (фиг. 1), а броят на плячката се увеличава неограничено (фиг. 2).

Фиг. 1 Зависимост на броя на хищниците от времето при липса на плячка

Фиг. 2 Зависимост на броя на плячката от времето при липса на хищници

Както се вижда, в тези случаи системата съответства на математическия модел.

Нека разгледаме как се държи системата при различни начални параметри. Нека има две популации - лъвове и антилопи - съответно хищници и плячка и са дадени начални показатели. Тогава получаваме следните резултати (фиг. 3):

Таблица 1. Коефициенти на колебателен режим на системата

Фиг.3 Система със стойности на параметрите от Таблица 1

Нека анализираме данните, получени въз основа на графиките. С първоначалното увеличаване на популацията на антилопите се наблюдава нарастване на броя на хищниците. Обърнете внимание, че пиковото увеличение на популацията на хищници се наблюдава по-късно, по време на намаляването на популацията на плячката, което е напълно в съответствие с реалните концепции и математическия модел. Всъщност увеличаването на броя на антилопите означава увеличаване на хранителните ресурси за лъвовете, което води до увеличаване на техния брой. Освен това, активната консумация на антилопи от лъвове води до бързо намаляване на броя на плячката, което не е изненадващо, като се има предвид апетита на хищника или по-скоро честотата на хищниците, които ядат плячка. Постепенното намаляване на броя на хищниците води до ситуация, при която популацията на плячката се оказва в условия, благоприятни за растеж. След това ситуацията се повтаря с определен период. Ние заключаваме, че тези условия не са подходящи за хармоничното развитие на индивидите, тъй като те водят до рязко намаляване на популацията на плячка и рязко увеличаване на двете популации.

Нека сега да зададем началния брой на хищниците на 200 индивида при запазване на други параметри (фиг. 4).

Таблица 2. Коефициенти на колебателен режим на системата

Фиг.4 Система със стойности на параметрите от Таблица 2

Сега системата осцилира по-естествено. При тези предположения системата съществува доста хармонично, няма резки увеличения и намаления на числеността и в двете популации. Заключаваме, че с тези параметри и двете популации се развиват достатъчно равномерно, за да живеят заедно на една и съща територия.

Нека зададем първоначалния брой на хищниците на 100 индивида, броя на плячката на 200, като запазим други параметри (фиг. 5).

Таблица 3. Коефициенти на колебателен режим на системата

Фиг.5 Система със стойности на параметрите от Таблица 3

В този случай ситуацията е близка до първата разгледана ситуация. Обърнете внимание, че при взаимно увеличаване на популациите, преходите от увеличаване към намаляване на популацията на плячка стават по-плавни и популацията на хищници остава при липса на плячка на по-висока числена стойност. Ние заключаваме, че когато една популация е тясно свързана с друга, тяхното взаимодействие се осъществява по-хармонично, ако специфичните първоначални популации са достатъчно големи.

Нека разгледаме промяната на други системни параметри. Нека началните числа отговарят на втория случай. Да увеличим скоростта на възпроизводство на жертвите (фиг. 6).

Таблица 4. Коефициенти на колебателен режим на системата

Фиг.6 Система със стойности на параметрите от Таблица 4

Нека сравним този резултатс резултата, получен във втория случай. В този случай се наблюдава по-бърз растеж на жертвата. В този случай както хищникът, така и жертвата се държат като в първия случай, което се обяснява с ниския размер на популацията. При това взаимодействие и двете популации достигат връх при стойности, много по-големи, отколкото във втория случай.

Сега нека увеличим скоростта на растеж на хищниците (фиг. 7).

Таблица 5. Коефициенти на колебателен режим на системата

Фиг.7 Система със стойности на параметрите от Таблица 5

Нека сравним резултатите по същия начин. В този случай общи характеристикисистемата остава същата, с изключение на промяната в периода. Както може да се очаква, периодът се скъси, което се обяснява с бързото намаляване на популацията на хищниците при липса на плячка.

И накрая, нека променим коефициента на междувидово взаимодействие. Първо, нека увеличим честотата на хищници, които ядат плячка:

Таблица 6. Коефициенти на колебателен режим на системата

Фиг.8 Система със стойности на параметрите от Таблица 6

Тъй като хищникът яде плячката си по-често, максималният размер на популацията се е увеличил в сравнение с втория случай, а разликата между максималния и минималния размер на популацията също е намаляла. Периодът на трептене на системата остава същият.

А сега нека намалим честотата на яденето на плячка от хищници:

Таблица 7. Коефициенти на колебателен режим на системата

Фиг.9 Система със стойности на параметрите от Таблица 7

Сега хищникът яде плячката по-рядко, максималният размер на популацията е намалял в сравнение с втория случай, а максималният размер на популацията на плячката се е увеличил 10 пъти. От това следва, че при тези условия популацията на плячката има по-голяма свобода по отношение на възпроизводството, тъй като хищникът се нуждае от по-малко маса, за да се насити с нея. Разликата между максималния и минималния размер на популацията също е намаляла.

Когато се опитваме да моделираме сложни процеси в природата или обществото, по един или друг начин възниква въпросът за коректността на модела. Естествено, при моделирането процесът се опростява и някои незначителни детайли се пренебрегват. От друга страна, съществува опасност моделът да се опрости твърде много, като по този начин се изхвърлят важни характеристики на явлението заедно с маловажните. За да се избегне тази ситуация, преди моделирането е необходимо да се проучи предметната област, в която се използва този модел, да се проучат всички негови характеристики и параметри и най-важното, да се подчертаят тези характеристики, които са най-значими. Процесът трябва да има естествено описание, интуитивно разбираемо, съвпадащо в основните моменти с теоретичния модел.

Моделът, разгледан в тази работа, има редица съществени недостатъци. Например допускането на неограничени ресурси за жертвата, липсата на фактори от трети страни, влияещи върху смъртността и на двата вида и т.н. Всички тези предположения не отразяват реалната ситуация. Но въпреки всички недостатъци, моделът е широко разпространен в много области, дори далеч от екологията. Това може да се обясни с факта, че системата "хищник-плячка" дава обща представа за взаимодействието на видовете. Взаимодействие със средаи други фактори могат да бъдат описани с други модели и анализирани в комбинация.

Отношенията от типа "хищник-жертва" са съществена характеристика на различни видове жизнена дейност, в които има сблъсък между две взаимодействащи страни. Този модел има място не само в екологията, но и в икономиката, политиката и други области на дейност. Например, една от областите, свързани с икономиката, е анализът на пазара на труда, като се вземат предвид съществуващите потенциални служителии свободни работни места. Тази темаби било интересно продължение на работата върху модела хищник-плячка.

Модел хищник-плячка и макроикономически модел на Гудуин

Помислете за биологичен модел хищник-плячка, в който един вид осигурява храна за друг. Този модел, който отдавна се е превърнал в класика, е построен през първата половина на 20 век. Италианският математик V. Volterra обяснява колебанията в улова на риба в Адриатическо море. Моделът предполага, че броят на хищниците се увеличава, докато имат достатъчно храна, а увеличаването на броя на хищниците води до намаляване на популацията на плячка. Когато последните станат оскъдни, броят на хищниците намалява. В резултат на това от определен момент броят на плячката започва да нараства, което след известно време води до увеличаване на популацията на хищници. Цикълът е завършен.

Нека Nx(t)и N 2 (t) -брой жертви и хищници в даден момент tсъответно. Да приемем, че скоростта на нарастване на броя на плячката при липса на хищници е постоянна, т.е.

Къде А -положителна константа.

Появата на хищник трябва да намали скоростта на растеж на плячката. Ще приемем, че това намаление зависи линейно от броя на хищниците: колкото повече хищници, толкова по-нисък е темпът на растеж на плячката. Тогава

Къде t > 0.

Следователно за динамиката на броя на плячката получаваме:

Нека сега създадем уравнение, което определя динамиката на популацията на хищници. Да приемем, че техният брой, при липса на плячка, намалява (поради липса на храна) с постоянна скорост б,т.е.

Наличието на плячка води до увеличаване на скоростта на растеж на хищниците. Да приемем, че това увеличение е линейно, т.е.

Къде n> 0.

Тогава за скоростта на растеж на хищните риби получаваме следното уравнение:

В системата „хищник-плячка” (6.17)-(6.18) намаляването на скоростта на нарастване на броя на жертвите, причинено от изяждането им от хищници, е равно на mN x N 2,тоест пропорционално на броя на срещите им с хищника. Увеличаването на скоростта на растеж на броя на хищните риби, причинено от наличието на плячка, е равно на nN x N 2,също пропорционално на броя на срещите между плячка и хищници.

Нека въведем безразмерни променливи U = mN 2 /aи V = nN x /b.Динамика на променлива Uсъответства на динамиката на хищниците, а динамиката на променливата V-динамика на жертвата. По силата на уравнения (6.17) и (6.18) промяната в новите променливи се определя от системата от уравнения:

Да приемем, че кога t= 0 броят на индивидите от двата вида е известен, следователно те са известни начални стойностинови променливи?/(0) = U0, K(0) = K0. От системата от уравнения (6.19) може да се намери диференциалното уравнение за неговите фазови траектории:

Разделяйки променливите на това уравнение, получаваме:

ориз. 6.10.Построяване на фазовата траектория ADCBAсистеми от диференциални уравнения (6.19)

От тук, като се вземат предвид първоначалните данни, следва:

където е константата на интегриране СЪС = b(V Q -в V 0)/a - lnU 0 + U 0 .

На фиг. Фигура 6.10 показва как се изгражда линия (6.20) за дадена стойност на C. За да направим това, съответно в първото, второто и третото тримесечие, ние изграждаме графики на функциите x = V -в V, y = (b/a)x, при== В U-U+C.

По силата на равенството dx/dV = (V- 1)/U функция X = V-В К, определен при V> 0, увеличава се, ако V> 1, и намалява, ако V 1. Поради факта, че cPx/dV 1= 1/F 2 > 0, графика на функция l: = x(V)изпъкнало насочено надолу. Уравнение V= 0 определя вертикална асимптота. Тази функция няма наклонени асимптоти. Следователно графиката на функцията X = x(Y)изглежда като кривата, показана в първата четвърт на фиг. 6.10.

Функцията се изучава по подобен начин y =в U - U+ C,чиято графика е на фиг. 6.10 е изобразен в третата четвърт.

Ако сега поставим на фиг. 6.10 във втората четвърт графиката на функцията y = (b/a)x, тогава в четвъртата четвърт получаваме линия, която свързва променливите U и V.Наистина, приемайки точката V tпо оста OV,изчислете с помощта на функцията X= V - Vсъответните познания x x.След това, като използвате функцията при = (b/a)x, според получената стойност X (намираме y x(втора четвърт на фиг. 6.10). След това използваме графиката на функцията при= в U - U + Cопределят съответните стойности на променливата U(на фиг. 6.10 има две такива стойности - координатите на точките Ми Н).Наборът от всички такива точки (V; U)образува желаната крива. От конструкцията следва, че графиката на зависимостта (6.19) е затворена линия, съдържаща вътре точка E( 1, 1).

Нека си припомним, че получихме тази крива, като зададохме някои начални стойности U 0и V 0и изчислявайки константата C от тях, вземайки други начални стойности, получаваме друга затворена линия, която не пресича първата и също съдържа точка вътре в нея E( 1, 1). Това означава, че семейството от траектории на системата (6.19) във фазовата равнина ( V, U)е набор от затворени несвързани линии, концентрирани около точка E( 1, 1) и решенията на оригиналния модел U = SCH)и V = V(t) са периодични във времето функции. В този случай максимумът на функцията U = U(t) не достига максималната функция V = V(t) и обратно, т.е. колебания в числеността на населението около техните равновесни решения възникват в различни фази.

На фиг. Фигура 6.11 показва четири траектории на системата от диференциални уравнения (6.19) във фазовата равнина OUV,различни начални условия. Една от траекториите е равновесна – това е точката E( 1, 1), на което отговаря решението U(t) = 1, V(t)= 1. Точки (U(t),V(t)) на другите три фазови траектории, с увеличаване на времето, те се изместват по посока на часовниковата стрелка.

За да обясните механизма на промените в числеността на две популации, разгледайте траекторията ABCDAна фиг. 6.11. Както виждаме, на сайта ABкакто хищниците, така и плячката са малко. Следователно тук популацията на хищниците намалява поради липса на храна, а популацията на плячка расте. На сайта слънцеброят на плячката достига високи стойности, което води до увеличаване на броя на хищниците. На сайта SA Има много хищници и това води до намаляване на броя на плячката. Освен това след преминаване на точката гброят на жертвите намалява толкова много, че числеността на населението започва да намалява. Цикълът е завършен.

Моделът хищник-жертва е пример за структурно нестабилен модел. Тук малка промяна в дясната страна на едно от уравненията може да доведе до фундаментална промяна в неговия фазов портрет.

ориз. 6.11.

ориз. 6.12.

Наистина, ако вземем предвид вътрешноспецифичната конкуренция в уравнението на динамиката на плячката, получаваме система от диференциални уравнения:

Тук на t = 0 популацията на плячката се развива по логичен закон.

При t F 0 ненулево равновесно решение на система (6.21) за някои положителни стойностипараметър на вътревидова конкуренция Ие стабилен фокус, а съответните траектории се „навиват“ около равновесната точка (фиг. 6.12). Ако h = 0, тогава в този случай сингулярната точка E( 1, 1) на системата (6.19) е центърът, а траекториите са затворени линии (виж фиг. 6.11).

Коментирайте.Обикновено моделът "хищник-плячка" се разбира като модел (6.19), чиито фазови траектории са затворени. Въпреки това, модел (6.21) също е модел „хищник-плячка“, тъй като описва взаимното влияние на хищници и плячка.

Едно от първите приложения на модела хищник-плячка в икономиката за изследване на циклично променящите се процеси е макроикономическият модел на Гудуин, който използва непрекъснат подход за анализиране на взаимодействието между нивото на заетост и процента заплати.

В работата на В.-Б. Zang очертава версия на модела Goodwin, при който производителността на труда и предлагането на труд растат с постоянен темп на растеж, а процентът на пенсиониране на средствата е нула. Този модел формално води до уравненията на модела хищник-плячка.

По-долу разглеждаме модификация на този модел за случай на ненулев процент на пенсиониране на фонда.

Моделът използва следните обозначения: Л-брой работници; т-средна работна заплата на работниците; ДО -дълготрайни производствени активи (капитал); Y- национален доход; / - инвестиции; C - консумация; p е процентът на пенсиониране на средствата; Н- предлагане на труд на пазара на труда; Т = Y/K- капиталопроизводителност; А = Y/L-производителност на труда; при = L/N-процент на заетост; X = C/Y-норма на потребление в националния доход; ДО -увеличение на капитала в зависимост от инвестицията.

Нека запишем уравненията на модела Гудуин:

Къде a 0, b, g, p, N 0, g- положителни числа (параметри).

Уравнения (6.22) - (6.24) изразяват следното. Уравнение (6.22) е обичайното уравнение за динамиката на фондовете. Уравнение (6.23) отразява увеличение на нивото на заплатата, когато заетостта е висока (процентът на заплатата се покачва, ако предлагането на работна ръка е ниско) и намаляване на процента на заплатата, когато безработицата е висока.

Така уравнение (6.23) изразява закона на Филипс в линейна форма. Уравнения (6.24) означават експоненциален растеж на производителността на труда и предлагането на труд. Нека приемем също, че C = wL,тоест всички заплати се изразходват за потребление. Сега можете да трансформирате уравненията на модела, като вземете предвид равенствата:

Нека трансформираме уравнения (6.22)-(6.27). Ние имаме:
Къде

Къде

Следователно динамиката на променливите в модела на Гудуин се описва чрез система от диференциални уравнения:

което формално съвпада с уравненията на класическия модел “хищник-плячка”. Това означава, че колебанията на фазовите променливи се появяват и в модела на Гудуин. Механизмът на осцилаторната динамика е следният: при ниски заплати wпотреблението е ниско, инвестициите са високи и това води до увеличаване на производството и заетостта u.Много зает приводи до увеличаване на средната заплата w, което води до увеличаване на потреблението и намаляване на инвестициите, спад в производството и намаляване на заетостта u.

По-долу хипотезата за зависимостта на лихвения процент от нивото на заетостта на разглеждания модел се използва за моделиране на динамиката на фирма с един продукт. Оказва се, че в този случай, с някои допълнителни предположения, моделът на фирмата има цикличното свойство на модела „хищник-плячка“, обсъден по-горе.

• Виж: Volterra V. Указ, op.; Rizniienko G. Yu., Rubin A. B. Указ. оп.
• Виж: Zang V.-B. Синергична икономика. М., 2000.
• Виж: Пу Т. Нелинейна икономическа динамика. Ижевск, 2000; Тихонов А. Н. Математически модел // Математическа енциклопедия. Т. 3. М., 1982. С. 574, 575.